极限数学思想方法的应用

极限数学思想方法的应用 极限数学思想方法在小学数学中的应用 一、 极限思想的内涵 极限的思想方法是人们从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的一种数学思想方法，它是事物转化的重要环节。但由于小学生受年龄特点的限制，他们对具体的、数量有限的事物容易理解，对抽象的、数量无限的事物难于把握。所以要理解“极限”的内涵，我们可以从“无限”入手，让小学生首先理解小学数学中的“无限”。极限思想简单地说就是无限逼近的意思。 早在先秦诸子的著作中就已有了极限思想的萌芽，如在《庄子?天下篇》就提出过“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。数学家刘微(约255-295)在注释《九章算术》时创立了有名的“割圆术”，则把极限思想和极限概念运用于解决实际的数学问题，他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与园合体而无所失矣”解决了推求圆周率精确值问题，是应用极限思想的成功事例。而刘微提出的这种无限接近的思想也就是后来建立极限概念的基础。 二、极限思想的作用 极限是指用以描述变量在一定的变化过程中的终极状态的概念。而极限思想是在小学教学中是一种重要的数学思想，灵活地借助极限思想，可以将某些数学问题化为易，避免一些复杂运算，探索出解题方向或转化途径。 三、极限思想在教材中的分布点 小数和整数的数位顺序表 “自然数”“奇数”“偶数”“倍数”“质数”、“合数”的教学 循环小数的认识 直线、射线、平行线的认识 小数点的移动变化规律 圆的认识 圆的面积 圆柱的体积 角的认识及大小比较 倍数与公倍数 四、极限思想方法的渗透策略 1、从“图形”上看“无限延伸性” 小学几何概念中有许多概念是具有无限性的，如直线 、射线、角的边、平行线的长度等等它们都是可以无限延伸的，通过一点可以画无数条直线等等，如人教版四年级上册《直线、射线和角》的教学，有多个渗透极限思想的点，一是直线的两端、射线的一端(没有端点)可以无限延伸，教学时，可以借助学生的想象，先让学生画一条直线，然后延长，再延长一直到不能画为止，这时可提问，还可以延伸吗，直至想象这条直线穿出教室，学校 ， 我们所在的城市 地球的大气层 太阳系„„，师让学生闭上眼睛，自己边说直线的路径，边让学生体会直线两端的无限延伸，从中体会其中的“极限”思想;二是经过一点可以画( )条直线，这里我们可以借助现代化工具制作多媒体课件，在让学生试画之后，出示课件，经过一个点的直线，1条，3条，10条，50条，上百条„„直至变成近似于以这个点为中心的圆，而这个圆即是答案，个数是无限的，圆则是最终极限的结果。 2、从“数量”上看“无限多” 现行人教版小学教材中有许多知识点会涉及到数量无限多的情 况。 在“自然数”、“奇数”、“偶数”、“小数”这些概念教学时， 教师可让学生体会自然数是数不完的，奇数、偶数的个数有无限 多个，小数没有最小的数。如四年级下册求0.5和0.6之间有几 个小数，答案是无数个，写不完也数不完，让学生体会这样的小 数是无穷无尽的。在五年级上册循环小数这一部分内容中，1 ? 6= 0.1666„商是一个循环小数，它的小数点后面的数字是写不完 的。通过这些方面让学生初步体会“无限”思想。 以上两点是从不同方面体现了“无限”的观念，并不是真正意义 上的“极限”，但是，培养学生的无限观念是初步形成极限思想的 基础，是学生必经的一个阶段，所以我们应重视无限的教学。 3、从“方法”上看“无限逼近”。 “无限?极限”的原因在于无限的结果可能是收敛的，也可能是 发散的。由于小学生的生活经验、数学知识还比较贫乏，他们只 能通过一些具体的事例，逐渐感悟到什么是“无限地逼近”，为 将来学习“收敛”这个数学中概念积累一些感性的认识。因此， 逐步理解“逼近”是形成极限思想的另一个重要方面。 在教学《圆的认识》的片段:深究圆与正多边形。师在让学生理 解了圆之所以美，是因为在同一个圆里，半径处处相等这一道理 之后，课件出示正三角形，从中心出发，连接三个顶点，三条长 度相等。再出示正四边形、正六边形、正八边形(右图)，最后是 正三十二边形，正一百边形，然后让学生想象，如果是正一千边 形、正一万边形，正一亿边形，直至无穷无尽，它就是---圆(生 答)。整个过程其实就是一个正多边形不断地逼近一个圆的过程， 先通过课件实物引导，再想象无穷无尽多边形即是一个圆，老师 不断地引导学生理解随着边的无限增多，正多边形逐渐成为一个 圆。 在教学《圆的面积》时，让学生将圆分割成若干个小扇形，生:分的份数越多，拼成的图形就越接近长方形。 这个过程中从“分的份数越来越多”到“这样一直分下去”的过程就是“无限”的过程，“图形就真的变成了长方形”就是收敛的结果。学生经历了从无限到极限的过程，感悟了极限思想的具大价值。以上计算公式的推导过程，采用了“变曲为直”、“化圆为方”极限分割思路。在通过有限想象无限，根据图形分割拼合的变化趋势，想象它们的最终结果。既使学生掌握了计算公式，又萌发了无限逼近的极限思想。 五、极限思想方法的应用及案例分析。 1、比较0.99„„与1的大小。 首先学生很容易理解1?3=0.33„„，2?3=0.66„„，因为1/3 +2/3 =1，所以0.33„„+0.66„„=1，也就是0.99„„=1; 其次，0.99„„和1比较大小，让学生找大于0.99„„而小于1的数，学生找不到这样的数，从而告诉学生0.99„„=1。 再次1-0.9=0.1，1-0.99=0.01，1-0.999=0.001，1-0.9999=0.0001，„„1-0.999„„=,这时可以引导学生观察:随着小数部分9的个数的不断增多，与1的差在逐渐的减少，而在0.999„„中的小数部分有无穷多个9，那么最终的差会是多少呢, 这样使学生认识到差会越来越小，最终成为0。从而使学生认识到0.999„„=1 事实证明这种办法学生是可以理解和接受的，这种办法的核心就是极限思想的体现。学生对这种办法的理解过程正是对极限思想的感知过程。 2、1根长1米的木棒，每天截去一半，这样的过程可以无限制地进行下去。第1天截去后剩下部分的长度占原长的 1/2 ，第2天截去后剩下的占全长的 1/4 ，第3天截去后剩下的占全长的 1/6，„„，第10天截去后剩下的占全长的 1/，„„，第n天截去后剩下的占全长的 1/ ，„„如果我们这样不断地截下去，木棒所剩部分的长度是 ( 0 )。 从图中直观地看出随着加数的不断增加，空白部分的面积逐渐扩大，并且越来越接近正方形的面积即不断地逼近1，当有无限多项相加时其结果为1。 3、对所学过的长方形、正方形、三角形、梯形、平行四边形、圆的面积公式做出整理。 可以以梯形为核心进行梳理的主要手段可以借助极限的思想将公式进行联络。利用极限思想得到三角形的面积计算公式，方法是让梯形的上底趋于0，梯形即趋于三角形，梯形的面积计算公式当上底趋于0时的极限就是三角形的面积计算公式。我们甚至可以把长方形、正方形、平行四边形面积计算公式都看成是梯形面积计算公式的极限形式。 于是可以构建出下面的知识网络系统。

4、圆环面积的“极限”渗透计算法 小学数学第11册第5单元《圆的周长和面积》分为:圆的认识，扇形的认识，圆的周长，圆的面积四部分。课本在讲解圆的面积计算公式时，采用了把圆分成若干等份后，拼补成一个近似的长方形。接着指出:把圆等分的份数越多，拼成的图形越接近于长方形。如果把圆等分的份数趋于无穷多，就能拼成一个精确的长方形。这里运用了“无限分割”的方法，实际上渗透的是“极限思想”。如图

因为长方形面积=长×宽 所以圆的面积=πr× r=πr2 用S表示圆的面积，那么圆的面积公式就是:S=πr2 为了巩固圆面积的计算公式，教材安排了例题“圆环面积的计算”: 圆环面积=外圆面积-内圆面积 即:S圆环=πR2-πR2 最后，教材提出想一想，还可以怎样算,要求在上述计算中，逆向运用乘法分配律得出: S圆环=π(R2-r2) 现在再考虑，还有没有其他算法呢, 我们可以从推导圆面积计算公式时运用的“无限分割”即“极限思想”来进行圆环面积的计算，如下图2:

由此得出计算圆环面积的另一公式: S圆环=长方形的面积,长×宽,(C+c)/2×(R-r)=π(R+r)×(R-r) 然后，通过实例来比较这两种算法: 例 一个圆环的外圆半径是8.5分米，内圆半径是6.5分米。求这个圆环的面积。 解法一: S圆环=πR2-πr2 3.14 × 8.52-3.14 × 6.52 = 3. 14 ×(8.52- 6.52) = 3. 14 ×(72.25- 42.25) = 3. 14 × 30= 94. 2(平方分米) 解法二: S圆环=π(R+ r)(R- r) =3.14×(8.5+6.5)(8.5-6.5) = 3. 14 ×(15 × 2) = 3. 14 ×30 =94. 2(平方分米) 显然，第二种算法更为简便，且容易确认:R2-r2=(R+ r) ×(R- r)。事实上，到初中学习乘法公式时，就会知道这恰恰又是一个公式。 由于解法二是把圆面积计算方法推算过程中的“极限思想”迁移到圆环面积计算中来，必然对培养学生的学习兴趣和提高数学思维能力起到积极的作用。 【案例】“射线的初步认识” 师:请同学们在白纸上画一条3厘米长的线段，说一说它有什么 特点。 生:1(它是直的、用尺可以量出长度;2(它有两个端点„„