半角的三角函数(2)(课件)
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2024年度高中数学必修四三角函数PPT课件
建筑设计
在建筑设计中，利用三角函数计算建筑物的角度、高度和距离等 参数，确保设计的准确性和美观性。
机械设计
在机械设计中，三角函数用于计算齿轮、轴承等机械元件的尺寸和 角度，保证机械传动的精确性和稳定性。
航空航天工程
在航空航天工程中，利用三角函数分析飞行器的姿态、航向和速度 等参数，确保飞行安全。
21
2024/3/24
32
THANKS
感谢观看
2024/3/24
33
周期性、奇偶性、单调性等
解三角形
正弦定理、余弦定理及应用
29
常见题型解析及技巧点拨
01
三角函数求值问题：利 用同角关系式、诱导公 式等求解
2024/3/24
02
三角函数的图像与性质 应用：判断单调性、周 期性等
03
04
三角恒等变换的应用： 证明等式、化简表达式 等
30
解三角形问题：利用正 弦定理、余弦定理求解 边或角
易错知识点剖析及防范措施
混淆三角函数定义域和值域
注意定义域和值域的区别，避免混淆
忽视三角函数的周期性
在解题时要考虑周期性，避免漏解或 多解
2024/3/24
错误使用三角恒等变换公式
注意公式的适用条件和变形方式，避 免误用
忽视解三角形的限制条件
在解三角形时要注意边和角的限制条 件，避免得出不符合题意的解
第三象限
正弦、余弦均为负、正切为正 。
第四象限
正弦为负、余弦为正、正切为 负。
2024/3/24
7
02 三角函数诱导公 式与变换
2024/3/24
8
诱导公式及其应用
2024/3/24
诱导公式的基本形式
课件1：3.2.2 半角的正弦、余弦和正切
作业布置 1.同步训练3.1.3； 2.预习课本下一节内容，并完成课后习题.
再见
1 5.
由 cos2θ＝2cos2θ－1＝－35，故选 B.
知识点2：
1 sin 2 (sin cos )2
1 cos 2 2cos2
升幂降角公式
1 cos 2 2sin 2
cos2 1 cos 2
2
sin 2 1 cos 2
降幂升角公式
2
典型例题
2．若 tanα＝3，则scions22αα的值等于(
课堂练习
又|sinα|＞|cosα|，∴α∈π2，34π.
∴2α∈π，32π.
∴cos2α＝－
1－sin22α＝－
17 9.
课堂小结
1.化简时，有些题目首先要降幂，然后才可以寻找到二倍角的形式， 进而寻找到它们的关系． 2.有条件的等式证明，常常先观察条件式及欲证式中左右两边的三 角函数式的区别与联系，灵活使用条件变形即可得证．
公式
S2α sin2α＝__2_si_n_α_c_o_s_α___
C2α
cos2α＝__c_o_s2_α_－__s_in__2α_＝__1_－__2_s_in_2_α__ ＝__2_c_o_s2_α_－__1_
T2α
2tanα tan2α＝__1_－__t_a_n_2α___
知识点1：倍角公式
sin 2 2sin cos
引入课题
③二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式，其它如4α是2α的两 倍，α/2是α/4的两倍,3α是3α/2的两倍，α/3是α/6的两倍等，所有这 些都可以应用二倍角公式。因此，要理解“二倍角”的含义，即 当α=2β时，α就是β的二倍角。凡是符合二倍角关系的就可以应用 二倍角公式。
三角函数认识ppt课件
辅助角公式
总结词
用于将三角函数式化为单一三角函数的形式。
详细描述
辅助角公式是三角函数中常用的化简工具，它可以将复杂的三角函数式化为单一三角函数的形式，便于计算和理 解。具体公式如下：sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny，cos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny， tan(x+y)=(tanx+tany)/(1-tanxtany)。
三角函数认识ppt课件
目录
• 三角函数的定义 • 三角函数的图像与性质 • 三角函数的应用 • 三角函数的变换公式 • 三角函数的特殊值
01
三角函数的定义
角度与弧度的关系
角度制
以度（°）为单位，规定一周为 360度，每度分为60分，每分为 60秒。
弧度制
以弧度（rad）为单位，规定圆的 周长为2π弧度。角度与弧度的转 换公式为：1° = π/180 rad。
三角函数的基本恒等式
正弦、余弦、正切之间的基本恒等式。
利用这些恒等式，可以方便地进行三角函数的转换和化简，对于解决三角函数问 题非常有用。
THANK YOU
积的和差公式
总结词
用于计算两个角的三角函数值的乘积之和或之差。
详细描述
积的和差公式也是三角函数中常用的公式之一，它可以计算两个角的三角函数值 的乘积之和或之差。具体公式如下：sin(x-y)=sinxcosy-cosxsiny，cos(xy)=cosxcosy+sinxsiny，tan(x-y)=(tanx-tany)/(1+tanxtany)。
详细描述
和差角公式是三角函数中非常重要的公式之一，它可以将两个角的三角函数值 相加或相减，得到新的三角函数值。具体公式如下： sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny，cos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny， tan(x+y)=(tanx+tany)/(1-tanxtany)。
半角的正弦、余弦、和正切及万能公式省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
注：公式中旳正负号由
2
2 tan
tan
1
2
tan2
2
所在象限拟定
2
根si据n 2半角旳1正 弦c2os、余弦例、1：正已求知：切si公n2式(, c2os,02),
sin
, tan
2
4 5
cos 1 cos
2
2
解： ( , 0), cos 3
2
5
( , 0),
24
tan 1 cos 2 1 cos
半角旳正弦、余弦、正切 和万能置换公式
sin 2 2sin cos
cos 2 cos2 sin2 1 2sin2 2 cos2 1 tan 2 2 tan
1 tan2
能否利用上述公式，处理下面旳问题？
已知 cos 2 , 求 sin
42
解：cos 1 2sin2
8 sin2
cos
2
例6已知 cos(
4
x)
3, 5
117c2os(x
7
4
x)
,求 sin 2x 2 sin2 x
3,
201
tan x
x
的值。
2
4
5 12
4
sin( x) 4
4
5
tan( x) 4tan x 7
4
3
sin 2x 2 tan x 2 7 7 1 tan 2 x 1 72 25
1 cos
4
4
8
8
2
I ,sin 0 sin
8
8
8
1 cos
4 2
1 2 2
2
2 2 2
一、半角旳正弦、余弦、正切公式
2
2 tan
tan
1
2
tan2
2
所在象限拟定
2
根si据n 2半角旳1正 弦c2os、余弦例、1：正已求知：切si公n2式(, c2os,02),
sin
, tan
2
4 5
cos 1 cos
2
2
解： ( , 0), cos 3
2
5
( , 0),
24
tan 1 cos 2 1 cos
半角旳正弦、余弦、正切 和万能置换公式
sin 2 2sin cos
cos 2 cos2 sin2 1 2sin2 2 cos2 1 tan 2 2 tan
1 tan2
能否利用上述公式，处理下面旳问题？
已知 cos 2 , 求 sin
42
解：cos 1 2sin2
8 sin2
cos
2
例6已知 cos(
4
x)
3, 5
117c2os(x
7
4
x)
,求 sin 2x 2 sin2 x
3,
201
tan x
x
的值。
2
4
5 12
4
sin( x) 4
4
5
tan( x) 4tan x 7
4
3
sin 2x 2 tan x 2 7 7 1 tan 2 x 1 72 25
1 cos
4
4
8
8
2
I ,sin 0 sin
8
8
8
1 cos
4 2
1 2 2
2
2 2 2
一、半角旳正弦、余弦、正切公式
半角的正弦、余弦和正切PPT教学课件
cos
3 5
,
(
,
3
2
).
求 sin , cos , tan 值。
222
讲评：
（1）欲求 的三角函数值，只需已知角的余弦值
2
（2）由角 的范围求角 2 的范围，再根据 2 角的
所在象限确定符号。
变式1：
已知 求
cos 3 ,
sin
, cos
,
5 tan
2
2
2
是第三象限角, 值。
讲评:
请大家回忆二倍角的正弦、余弦、 正切的公式 。
公式的推导：
(1)你能从中求出 sin,cos,tan 吗?
(2)我们发现 是的2半角,那么
是谁2
的半角呢?代入后会有什么结论呢?
思考讨论：
注意：
1余.公弦式、的正“切本。质”是用角的余弦表示2
的正弦、
2.根号前均有“± ”它由角“2 ”所在象限来确定 的，如果没有给定角的范围，“± ”应保留。
(1).运用了分类讨论思想； (2). 解题关键是定号。
变式2：已知 cos 3, (, 3 ). 求 tan 值。
5
2
4
分析：
（1）已知角 和所求角 4 均与角 2 具有“倍、半”
关系；
（2）由 cos 求 cos 值；
2
（3）再由 cos 求“tan ” 的
值。
2
4
讲评：
由角的变换 体会“半、倍”关系的
作2业.化：简：P152 2. 3.
P153 2.
新课标人教版课件系列
《高中历史》
必修2
第二课 古代手工业的进步
教学目 标
课标要求： 1、知识目标：列举古代中国手工业发展的基本史
高中教育数学必修第二册《4.3.2 半角公式》教学课件
答案：54
3．已知 sin α＝－45，π<α<32π，则 sinα2＝________，cosα2＝________.
解析：∵π<α<32π，sin α＝－54，∴cos α＝－35，且2π<α2<34π，∴sinα2＝
1－cos 2
α＝2 5
5，cosα2＝－
1＋cos 2
α＝－
55.
答案：2
跟踪训练 2 已知函数 f(x)＝sin2x＋2 3sin xcos x＋3cos2x，x∈R， (1)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间； (2)求函数 f(x)在区间－π6，π3上的值域．
解析：(1)f(x)＝1－c2os 2x＋ 3sin 2x＋31＋c2os 2x＝2＋ 3sin 2x＋cos 2x＝2sin2x＋π6＋2，
＋
1＋2cos2α2－1－ 1－1－2sin2α2
sin2α2＋cos2α2－2sinα2cosα2
＝
1＋2cos2α2－1＋
1－1－2sin2α2
sinα2＋cosα22 2cosα2－sinα2
＋
2sicnoα2s－α2＋cossα2in2α2因
为
π<α<32π，所以π2<α2<34π，所以
α
α
∵tan α＝－34，∴cos α＝－35，∴cosα2＝－
1＋cos 2
α＝－
5 5.
答案：A
2．已知 tanα2＝13，则 cos α＝________.
解析：∵tanα2＝±
1－cos 1＋cos
αα，∴tan2α2＝11－＋ccooss
αα，
∴11－＋ccooss αα＝91，解得 cos α＝45.
半角的正弦、余弦和正切PPT课件
证明:
tan
2Leabharlann sincos
2 2
2
2 sin
2
cos
2 cos2
2
2
sin 1 cos
或
sin 1 cos
2 sin
cos
2
2
sin
2 2
讲评：
2 cos
2
cos
tan
2
（1）三角变换选择公式的依据是：使角统一； 名统一；结构统一。 α (2k 1) π 和α kπ，k Z (2)成立的条件分别是： （3）tan
变式1：
已知 求
3 , 5 sin , cos , tan 2 2 2 cos
是第三象限角, 值。
讲评:
(1).运用了分类讨论思想； (2). 解题关键是定号。
3 3 变式2：已知 cos 5 , ( , 2 ).
求 tan 4 值。
分析：
温故知新：
请大家回忆二倍角的正弦、余弦、 正切的公式 。
公式的推导：
(1)你能从中求出 sin , cos ,tan 吗? (2)我们发现 是2 是谁的半角呢?代入后会有什么结论 呢?
的半角,那么 2
思考讨论：
注意：
1.公式的“本质”是用角的余弦表示 2 余弦、正切。
的正弦、
1 sin cos 1 sin cos
y cos2 x 2 3 sin x cos x sin 2 x
P153 2.
高中数学课件三角函数ppt课件完整版
2024/1/26
单调性
在各象限内，正弦、余弦 函数的单调性及其变化规 律。
最值问题
利用三角函数的性质求最 值，如振幅、周期等参导公式与恒等 式
REPORTING
2024/1/26
7
诱导公式及其应用
01
诱导公式的基本形式
通过角度的加减、倍角、半角等关系，将任意角的三角函数值转化为基
8
恒等式及其证明方法
2024/1/26
恒等式的基本形式
两个解析式之间的一种等价关系，即对于某个变量或一组变量的取值范围内，无论这些变 量取何值，等式都成立。
恒等式的证明方法
通常采用代数法、几何法或三角法等方法进行证明。其中，代数法是通过代数运算和变换 来证明恒等式；几何法是通过几何图形的性质和关系来证明恒等式；三角法是通过三角函 数的性质和关系来证明恒等式。
化简为简单的形式。
12
三角函数的乘除运算规则
乘积化和差公式
通过乘积化和差公式，可以将两 个三角函数的乘积转化为和差的
形式，从而简化运算。
商的化简
利用同角三角函数的基本关系， 可以将三角函数的商转化为简单
的三角函数运算。
倍角公式
通过倍角公式，可以将三角函数 的乘方运算转化为简单的三角函
数运算。
2024/1/26
建立三角函数与数列、概率统计相关 的数学模型
结合计算机编程和数学软件，实现模 型的数值模拟和可视化
2024/1/26
利用数学分析、高等代数等方法求解 模型
22
PART 06
总结回顾与拓展延伸
REPORTING
2024/1/26
23
本章节知识点总结回顾
三角函数图像
正弦、余弦、正切函数的图像 及其周期性、奇偶性等性质。
单调性
在各象限内，正弦、余弦 函数的单调性及其变化规 律。
最值问题
利用三角函数的性质求最 值，如振幅、周期等参导公式与恒等 式
REPORTING
2024/1/26
7
诱导公式及其应用
01
诱导公式的基本形式
通过角度的加减、倍角、半角等关系，将任意角的三角函数值转化为基
8
恒等式及其证明方法
2024/1/26
恒等式的基本形式
两个解析式之间的一种等价关系，即对于某个变量或一组变量的取值范围内，无论这些变 量取何值，等式都成立。
恒等式的证明方法
通常采用代数法、几何法或三角法等方法进行证明。其中，代数法是通过代数运算和变换 来证明恒等式；几何法是通过几何图形的性质和关系来证明恒等式；三角法是通过三角函 数的性质和关系来证明恒等式。
化简为简单的形式。
12
三角函数的乘除运算规则
乘积化和差公式
通过乘积化和差公式，可以将两 个三角函数的乘积转化为和差的
形式，从而简化运算。
商的化简
利用同角三角函数的基本关系， 可以将三角函数的商转化为简单
的三角函数运算。
倍角公式
通过倍角公式，可以将三角函数 的乘方运算转化为简单的三角函
数运算。
2024/1/26
建立三角函数与数列、概率统计相关 的数学模型
结合计算机编程和数学软件，实现模 型的数值模拟和可视化
2024/1/26
利用数学分析、高等代数等方法求解 模型
22
PART 06
总结回顾与拓展延伸
REPORTING
2024/1/26
23
本章节知识点总结回顾
三角函数图像
正弦、余弦、正切函数的图像 及其周期性、奇偶性等性质。
2024-2025学年高一数学同步课件4.3.2半角公式(课件)
综合练习
若＜α＜π，sinα= ，则tan =_____.
3
解：若＜α＜π，sinα= ，
则cosα= − =- ，
∴ tan =
−
=3.
本课小结
半角公式
半角公式
半角
由此得
−
；
+
.
sin =±
cos =±
上式两边分别相除，可得
tan=±
−
.
+
课文精讲
➢ 半角公式
又根据正切函数的定义，得到
·
tan= =
=
· +
−
；cos
=±
− −
=
=
.
+ +
sin =±
tan=±
+
.
课文精讲
➢ 半角公式
在这些公式中，根号前面的符号由
所在象限想应的三角函数值的符号确定，
若 所在象限无法确定，则应保留根号前
面的正、负两个符号.
半角公式
授课教师：
温故知新
两角和与差的余弦公式
及其应用
两角和与差的三
角函数公式
两角和与差的正弦、正
切公式及其应用
三角函数的叠加及其应用
积化和差与和差化积公式
学习目标
1.掌握半角公式；（重点）
2.会利用公式以及逆用公式进行化简、计算及证
2021-2022学年新教材北师大版必修第二册 第4章 半角公式 课件(56张)
2.学习三角恒等变换时应注意哪些问题？ [提示] (1)学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而 忽视对思想方法的理解，要学会借助前面几个有限的公式来推导后继 公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式．
(2)研究形如 f(x)＝a sin x＋b cos x 的函数性质，都要运用辅助角 公式化为一个整体角的正弦函数或余弦函数的形式．因此辅助角公式 是三角函数中应用较为广泛的一个重要公式，也是高考常考的考点之 一．对一些特殊的系数 a，b 应熟练掌握，例如 sin x±cos x＝
可求α2的正弦、余弦、正切的值．
思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若 α≠kπ，k∈Z，则 tan α2＝1＋sincoαs α＝1－sincoαs α恒成立．
()
(2)对任意角 α 都有 1＋sin α＝sin
α2＋cos
α22.
(3)sin x＋ 3cos x＝2sin x＋π6.
[跟进训练] 2．某工人要从一块圆心角为 45°的扇形木板中割出一块一边在 半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为 1m，求割出的长方形 桌面的最大面积(如图).
[解] 连接 OC，设∠COB＝θ，
则 0°<θ<45°，OC＝1.
∵AB＝OB－OA＝cos θ－AD＝cos θ－sin θ，
∴S 矩形 ABCD＝AB·BC＝(cos θ－sin θ)·sin θ ＝－sin2θ＋sin θcos θ＝－12(1－cos 2θ)＋12sin 2θ
＝12(sin
2θ＋cos
2θ)－12＝
2 2 cos
(2θ－45°)－12.
当 2θ－45°＝0°，即 θ＝22.5°时，Smax＝ 22－1(m2). ∴割出的长方形桌面的最大面积为 22－1m2.
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7 7 2 2 sin(a ) (sin a cos a ), 即 sin a cos a .(1) 5 10 4 2
由题设条件，应用二倍角余弦公式得
7 cos 2a cos 2 a sin 2 a (cos a sin a )(cos a sin a ) 25 7 1 (cos a sin a ), 故 cos a sin a .(2) 由①和②式得 5 5 3 4 3 sin a , cos a , 因此 tan a ,由两角和的正切公式得 5 5 4 3 3 tana 3 4 4 3 3 48 25 3 . tan a 3 1 3tana 11 3 3 43 3 1 4
1 sinx cosx , (1) 5 方法二：联立方程 sin2 x cos 2 x 1, (2)
5
由①得sinx=
1 -cosx，将其代入②，整理得 5
25cos2x-5cosx-12=0，∴cosx=3 sinx 5 , ∵- ＜x＜0，∴ 2 cosx 4 , 5
故sinA+sinC=2sin B.
变式2-1 已知A、B为锐角，求证：A+B= 的充要条件是 4 (1+tanA)〓(1+tanB)=2. 解析：充分性：∵(1+tanA)(1+tanB)=2， ∴1+(tanA+tanB)+tanAtanB=2，且tanAtanB 1， ∴tan(A+B)(1-tanAtanB)=1-tanAtanB，∴tan(A+B)=1，
第六节 和、差、倍角的三角函数(2)
基础梳理
1. 两角差的余弦公式为______________________； cos(a+b)=cos acos b-sin asin b 两角和的余弦公式为________________________； sin(a-b)=sin acos b-cos asin b 两角差的正弦公式为________________________； sin(a+b)=sin acos b+cos asin b 两角和的正弦公式为________________________； 上述公式对任意的a、b都成立． tana tanb tan(a b ) 2. 公式T(a-b)是________ ________ tana tanb ， 1 ________
1 2
3. 不查表求值：tan 20°+4sin 20°=________.
sin 20 sin 20 2sin 40 4 sin 20 解析： tan 20°+4sin 20°= cos 20 cos 20
sin20 2sin60 20 sin20 3cos20 sin20 3. cos 20 cos 20
cos(a-b)=cos acos b+sin asin b
tana tanb tan(a b ) 公式T(a+b)是________________， a tanb 1 tan
2 它们成立的条件是______________． 2
a k
, b k
, a b k
2. (2011 黄桥中学高三期中试题)函数f(x)=cos x- cos2x (x∈R)的最大值等于________． 解析：
1 1 1 2 3 f ( x) cos x cos 2 x cos 2 x cos x cos x ） ， （ 2 2 3 2 4 而cos x∈[-1,1]，则函数的最大值为 4 .
b
a
5 5 4 5 2 7 5 . 9 3 9 3 27
3 5
或cosx=
4 5
，
∴sinx-cosx=3sin2 (2)
7 . 5
x x x x x 2sin cos cos 2 2sin 2 sinx 1 2 2 2 2 2 sinx cosx tanx cotx cosx sinx
=sinxcosx(2-cosx-sinx)
2 tan a b=a 在T(a+b)中，令_____，可得到tan 2a=________________，简记为T2a. 1 tan 2 a
4. 在C2a中考虑sin2a+cos2a=1可将C2a变形为 1-2sin2a 2a-sin2a=______________=____________，它简记 2cos2a-1 cos 2a=cos 为C′2a. 5. 半角公式 1 a a a代替a 2 2 , 在C2a中，用________得cos a=2cos -1=1-2sin 2
2
, k Z.
3. 二倍角公式 b=a 2sin acos a 在S(a+b)中，令_____，可得到sin 2a=________________，简记为S2a.
b=a cos2a-sin2a 在C(a+b)中，令_____，可得到cos 2a=________________，简记为C2a.
基础达标
1. (必修4P115第5题改编)若 cos a 2sin a 5, 则 tan a ____________ .
cosa 2sina 5, 解析：由 sin2a ( 5 2sina )2 1, sin 2a cos 2a 1, 得 2 sina 5, 5 解得 tan a 2. cosa 5 , 5
(1+tan A)〓(1+tan B)=2.
题型三 三角恒等变换中角的拆、拼 【例3】 已知 cos a ,sin b , 且 2 9 2 3
a b . 2 2 2 b a "a "," b " 与结论中的角 分析：抓住条件中的角 2 2 b a a b a b a b . 的关系： 2 2 2 2 a b a ,0 b , ,0 , 解： 2 2 4 2 2 2 4
题型二 三角恒等式证明 【例2BC中，已知sinAcos2
A C 3 2 +sinCcos 2 = sinB． 2 2
分析：条件与结论不仅在角上存在差异，而且在式子的结构 上存在较大的差异，条件是一个三次式，而结论是一个一次 式，为缩小这种差异，需对条件进行降次等变形． 证明：由 sin A cos 2
2
6. 升降幂公式主要用于化简、求值和证明，其形式为： 2cos2a 2sin2a 升幂公式：1+cos 2a=________；1-cos 2a=________.
7. 派生公式 1〒sin 2a (1)(sin a〒cos a)2=________________； a a 2 2 2sin 2 2cos 2 (2)1+cos a=________；(3)1-cos a=________； tan(a+b)(1-tan atan b (4)tan a+tan b=________________________. )
2sinxcosx 2tanx . 解析：∵f(tan x)=sin 2x= 2 2 2 sin x cos x tan x 1 2x 2 1 . 即f(x)= 2 x 1 ∴f(-1)= 12 1 1.
经典例题
题型一 sinx+cosx，sinx-cosx，sinxcosx 三者之间的转换问题
【例1】 (1)求sin x-cos x的值； (2)求
3sin2
1 已知- 2 ＜x＜0，sin x+cos x= . 5
x x x x 2sin cos cos 2 2 2 2 2 的值． tanx cotx
分析：由(sinx-cosx)2=(sinx+cosx)2-4sinxcosx知，只需 求出sinxcosx即可． 1 解：(1)方法一：由sinx+cosx= ，平方得 5 1 2x+2sinxcosx+cos2x= sin ， 24 25 即2sinxcosx=- 25 . 49 2=1-2sinxcosx= ∵(sinx-cosx) ， 25 又∵- ＜x＜0，∴sinx＜0，cosx＞0， 2 sinx-cosx＜0，∴sinx-cosx=- 7
1 108 12 2 . 5 125 25
变式 1-1
7 2 7 ,cos 2a , 求sin a 及tan a . 已知 sin a 4 10 25 3
解析：由题设条件，应用两角差的正弦公式得
4. 在△ABC中，已知BC=8，AC=5，三角形面积为12， 则cos 2C=________.
1 3 解析： ∵S△ABC= AC BC sin C 12, sin C , 2 5 7 2 cos 2C 1 2sin C . 25 5. 若f(tan x)=sin 2x，则f(-1)的值是________．
a ,0 b ,
b
1
a
2
求 cos
, sin(a b ) 1 cos(a b )2 4 5 , 4 2 4 2 2 2 2 9 2 a a 5 cos( b ) 1 sin b , 2 3 2 a b b a b a b a cos cos[(a ) ( b )] cos(a ) cos( b ) sin(a ) sin( b ) 2 2 2 2 2 2 2 a , b
由题设条件，应用二倍角余弦公式得
7 cos 2a cos 2 a sin 2 a (cos a sin a )(cos a sin a ) 25 7 1 (cos a sin a ), 故 cos a sin a .(2) 由①和②式得 5 5 3 4 3 sin a , cos a , 因此 tan a ,由两角和的正切公式得 5 5 4 3 3 tana 3 4 4 3 3 48 25 3 . tan a 3 1 3tana 11 3 3 43 3 1 4
1 sinx cosx , (1) 5 方法二：联立方程 sin2 x cos 2 x 1, (2)
5
由①得sinx=
1 -cosx，将其代入②，整理得 5
25cos2x-5cosx-12=0，∴cosx=3 sinx 5 , ∵- ＜x＜0，∴ 2 cosx 4 , 5
故sinA+sinC=2sin B.
变式2-1 已知A、B为锐角，求证：A+B= 的充要条件是 4 (1+tanA)〓(1+tanB)=2. 解析：充分性：∵(1+tanA)(1+tanB)=2， ∴1+(tanA+tanB)+tanAtanB=2，且tanAtanB 1， ∴tan(A+B)(1-tanAtanB)=1-tanAtanB，∴tan(A+B)=1，
第六节 和、差、倍角的三角函数(2)
基础梳理
1. 两角差的余弦公式为______________________； cos(a+b)=cos acos b-sin asin b 两角和的余弦公式为________________________； sin(a-b)=sin acos b-cos asin b 两角差的正弦公式为________________________； sin(a+b)=sin acos b+cos asin b 两角和的正弦公式为________________________； 上述公式对任意的a、b都成立． tana tanb tan(a b ) 2. 公式T(a-b)是________ ________ tana tanb ， 1 ________
1 2
3. 不查表求值：tan 20°+4sin 20°=________.
sin 20 sin 20 2sin 40 4 sin 20 解析： tan 20°+4sin 20°= cos 20 cos 20
sin20 2sin60 20 sin20 3cos20 sin20 3. cos 20 cos 20
cos(a-b)=cos acos b+sin asin b
tana tanb tan(a b ) 公式T(a+b)是________________， a tanb 1 tan
2 它们成立的条件是______________． 2
a k
, b k
, a b k
2. (2011 黄桥中学高三期中试题)函数f(x)=cos x- cos2x (x∈R)的最大值等于________． 解析：
1 1 1 2 3 f ( x) cos x cos 2 x cos 2 x cos x cos x ） ， （ 2 2 3 2 4 而cos x∈[-1,1]，则函数的最大值为 4 .
b
a
5 5 4 5 2 7 5 . 9 3 9 3 27
3 5
或cosx=
4 5
，
∴sinx-cosx=3sin2 (2)
7 . 5
x x x x x 2sin cos cos 2 2sin 2 sinx 1 2 2 2 2 2 sinx cosx tanx cotx cosx sinx
=sinxcosx(2-cosx-sinx)
2 tan a b=a 在T(a+b)中，令_____，可得到tan 2a=________________，简记为T2a. 1 tan 2 a
4. 在C2a中考虑sin2a+cos2a=1可将C2a变形为 1-2sin2a 2a-sin2a=______________=____________，它简记 2cos2a-1 cos 2a=cos 为C′2a. 5. 半角公式 1 a a a代替a 2 2 , 在C2a中，用________得cos a=2cos -1=1-2sin 2
2
, k Z.
3. 二倍角公式 b=a 2sin acos a 在S(a+b)中，令_____，可得到sin 2a=________________，简记为S2a.
b=a cos2a-sin2a 在C(a+b)中，令_____，可得到cos 2a=________________，简记为C2a.
基础达标
1. (必修4P115第5题改编)若 cos a 2sin a 5, 则 tan a ____________ .
cosa 2sina 5, 解析：由 sin2a ( 5 2sina )2 1, sin 2a cos 2a 1, 得 2 sina 5, 5 解得 tan a 2. cosa 5 , 5
(1+tan A)〓(1+tan B)=2.
题型三 三角恒等变换中角的拆、拼 【例3】 已知 cos a ,sin b , 且 2 9 2 3
a b . 2 2 2 b a "a "," b " 与结论中的角 分析：抓住条件中的角 2 2 b a a b a b a b . 的关系： 2 2 2 2 a b a ,0 b , ,0 , 解： 2 2 4 2 2 2 4
题型二 三角恒等式证明 【例2BC中，已知sinAcos2
A C 3 2 +sinCcos 2 = sinB． 2 2
分析：条件与结论不仅在角上存在差异，而且在式子的结构 上存在较大的差异，条件是一个三次式，而结论是一个一次 式，为缩小这种差异，需对条件进行降次等变形． 证明：由 sin A cos 2
2
6. 升降幂公式主要用于化简、求值和证明，其形式为： 2cos2a 2sin2a 升幂公式：1+cos 2a=________；1-cos 2a=________.
7. 派生公式 1〒sin 2a (1)(sin a〒cos a)2=________________； a a 2 2 2sin 2 2cos 2 (2)1+cos a=________；(3)1-cos a=________； tan(a+b)(1-tan atan b (4)tan a+tan b=________________________. )
2sinxcosx 2tanx . 解析：∵f(tan x)=sin 2x= 2 2 2 sin x cos x tan x 1 2x 2 1 . 即f(x)= 2 x 1 ∴f(-1)= 12 1 1.
经典例题
题型一 sinx+cosx，sinx-cosx，sinxcosx 三者之间的转换问题
【例1】 (1)求sin x-cos x的值； (2)求
3sin2
1 已知- 2 ＜x＜0，sin x+cos x= . 5
x x x x 2sin cos cos 2 2 2 2 2 的值． tanx cotx
分析：由(sinx-cosx)2=(sinx+cosx)2-4sinxcosx知，只需 求出sinxcosx即可． 1 解：(1)方法一：由sinx+cosx= ，平方得 5 1 2x+2sinxcosx+cos2x= sin ， 24 25 即2sinxcosx=- 25 . 49 2=1-2sinxcosx= ∵(sinx-cosx) ， 25 又∵- ＜x＜0，∴sinx＜0，cosx＞0， 2 sinx-cosx＜0，∴sinx-cosx=- 7
1 108 12 2 . 5 125 25
变式 1-1
7 2 7 ,cos 2a , 求sin a 及tan a . 已知 sin a 4 10 25 3
解析：由题设条件，应用两角差的正弦公式得
4. 在△ABC中，已知BC=8，AC=5，三角形面积为12， 则cos 2C=________.
1 3 解析： ∵S△ABC= AC BC sin C 12, sin C , 2 5 7 2 cos 2C 1 2sin C . 25 5. 若f(tan x)=sin 2x，则f(-1)的值是________．
a ,0 b ,
b
1
a
2
求 cos
, sin(a b ) 1 cos(a b )2 4 5 , 4 2 4 2 2 2 2 9 2 a a 5 cos( b ) 1 sin b , 2 3 2 a b b a b a b a cos cos[(a ) ( b )] cos(a ) cos( b ) sin(a ) sin( b ) 2 2 2 2 2 2 2 a , b