线性代数二三阶行列式共25页
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二阶与三阶行列式线性代数PPT课件
19 世纪末美国数学物理学家吉布斯( Willard Gibbs ) 发表了关于《向量分析基础》 的著名论述。
14
第14页/共49页
其后英国物理学家狄拉克 ( P. A. M. Dirac 19021984)提出了行向量和列向量的乘积为标量。
我们习惯的列矩阵和向量都是在 20 世纪由物理学家给 出的。
16
第16页/共49页
阿贝尔(Abel) 与伽罗瓦(Galois)
挪威数学家阿贝尔(1802.8.5—1829.4.6)，以证明 五次元方程的根式解的不可能性而闻名。 法国数学家厄米特（Hermite 1822—1901）在谈 到阿贝尔的贡献时曾说过：“阿贝尔留下的工作， 可以使以后的数学家足够忙碌150年！” 在和阿贝尔同时期的一个法国少年读到了他的著作， 于是在不到20岁的时候在代数方程论推陈出新创立了 一门新的数学理论——伽罗瓦理论，这个发现者伽罗 瓦还建立了群论的基础理论。
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第7页/共49页
范德蒙( Vandermonde ) 是第一个对行列式 理论进行系统的阐述(即把行列式理论与线 性方程组求解相分离)的人。并且给出了一 条法则，用二阶子式和它们的余子式来展开 行列式。就对行列式本身进行研究这一点而 言，他是这门理论的奠基人。
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第8页/共49页
拉世 界体系的探讨》中 , 证明了 Vandermonde 的一些 规则 , 并推广了他的展开行列式的方法 , 用 r 行中所 含的子式和它们的余子式的集合来展开行列式，这 个方法现在仍然以他的名字命名。
23
第23页/共49页
对于二元线性方程组
aa1211xx11
a12 x2 a22 x2
b1 , b2 .
若记
D a11 a12 ,
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其后英国物理学家狄拉克 ( P. A. M. Dirac 19021984)提出了行向量和列向量的乘积为标量。
我们习惯的列矩阵和向量都是在 20 世纪由物理学家给 出的。
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阿贝尔(Abel) 与伽罗瓦(Galois)
挪威数学家阿贝尔(1802.8.5—1829.4.6)，以证明 五次元方程的根式解的不可能性而闻名。 法国数学家厄米特（Hermite 1822—1901）在谈 到阿贝尔的贡献时曾说过：“阿贝尔留下的工作， 可以使以后的数学家足够忙碌150年！” 在和阿贝尔同时期的一个法国少年读到了他的著作， 于是在不到20岁的时候在代数方程论推陈出新创立了 一门新的数学理论——伽罗瓦理论，这个发现者伽罗 瓦还建立了群论的基础理论。
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范德蒙( Vandermonde ) 是第一个对行列式 理论进行系统的阐述(即把行列式理论与线 性方程组求解相分离)的人。并且给出了一 条法则，用二阶子式和它们的余子式来展开 行列式。就对行列式本身进行研究这一点而 言，他是这门理论的奠基人。
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拉世 界体系的探讨》中 , 证明了 Vandermonde 的一些 规则 , 并推广了他的展开行列式的方法 , 用 r 行中所 含的子式和它们的余子式的集合来展开行列式，这 个方法现在仍然以他的名字命名。
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对于二元线性方程组
aa1211xx11
a12 x2 a22 x2
b1 , b2 .
若记
D a11 a12 ,
2019年二阶三阶行列式及线性方程组.ppt
一、二元线性方程组与二阶行列式
用消元法解二元线性方程组
a11x1+a12x2=b1 a21x1+a22b1a22 -a12b2 a11a22 -a12a21
x2
=
a11b2 a11a22
-b1a21 - a12a21
提示: [a11x1+a12x2=b1] a21a11a21x1+a12a21x2=b1a21 [a21x1+a22x2=b2] a11 a11a21x1+a11a22x2=a11b2 (a11a22-a12a21) x2=a11b2-b1a21
a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31
二、三阶行列式
a11 a12 a13 我们用符号 a21 a22 a23 表示代数和
a31 a32 a33 a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31 并称它为三阶行列式
一、二元线性方程组与二阶行列式
用消元法解二元线性方程组
a11x1+a12x2=b1 a21x1+a22x2=b2
得
x1
=
b1a22 a11a22
- a12b2 - a12a21
x2
=
a11b2 -b1a21 a11a22 -a12a21
我们用符号 a11 a1 a2 2
表示代数和a11a22-a12a21 这样就有
对角线法则
二阶行列式是主对角线上两元素之积减去的副对角线上
二元素之积所得的差
a11 a1 a2 2 1 a2
二阶和三阶行列式
a11 D
a12
a13 a23 a33 a43
a12
a14 a24 a34 a44
a13 a23 a33
a21 a22 a31 a32 a41 a42
a11
a21 a23 M 12 a31 a33 a41 a43
1 2
a24 a34 a44
A12 1 M 12 M 12
M 44 a21 a22 a31 a32
a41 a42 a43 a44
a 32 的代数余子式 A32 ( 1)32 M 32 a13 的代数余子式 A ( 1)13 M 13 13
a21 a31 a41
完
a22b1 a12 a21b1 x2 a11a22 a12a21
a11 a12 D a11a22 a12a21 , a21 a22
a12 a22
主对角线 a11 a21 称 D 为二阶行列式。 副对角线
(-)
a13 a11 a33 a31
(+)
a12 a32
(+) (+)
a23 a21 a22
(-)
(-)
三元线性方程组
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 设有三元线性方程组 a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b 31 1 32 2 33 3 3
解 计算二阶行列式
D
2 1 3 2
7 , D1
5 11
1 2
21 , D2
2
5
3 11
7 .
由 D 7 0 知方程组有唯一解：
D1 D2 x1 3 , x2 1. D D
1、二阶、三阶行列式
4、克拉默法则。
Ynu hyq
5
线性代数 二阶、三阶行列式
Ynu hyq
6
线性代数 二阶、三阶行列式
一、二阶行列式
1、引入
一元一次方程 ax = b 当 a≠0 时， x a 1b 例 解二元线性方程组 2 x1 3 x 2 22 x 2 x 10 2 1 得 于是 二元 （三元）线性方程组
1
线性代数 二阶、三阶行列式
a11 a21 a31 a n1
a12 a22 a32 an 2
a13 a1n a23 a3 n a33 a3 n an 3 ann
Ynu hyq
2
线性代数 二阶、三阶行列式
1、知道n 阶行列式的定义，熟练掌握行列式 的基本性质及展开定理，掌握计算行列式 的一般方法，熟悉范德蒙行列式，了解行 列式的乘法定理及某些特殊分块矩阵行列 式的计算方法； 2、正确使用克拉默（Cramer）法则解线性方 程组。
Ynu hyq
22
线性代数 二阶、三阶行列式
3、三元线性方程组 a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3
a11 若系数行列式 D a21 a31 b1 a12 a13 a11 D1 b2 a22 a23 , D2 a21 b3 a32 a33 a31
Ynu hyq
3
线性代数 二阶、三阶行列式
本章要点
• 1、n 阶行列式的定义及基本性质，展开 定理，行列式的乘法定理，某些特殊分块 矩阵的行列式，范德蒙行列式； 2、克莱姆（Cramer）法则。
线性代数-行列式-PPT文档资料
即
a 11 a 12 D a a a a . 11 22 12 21 a 21 a 22
1.二阶行列式的计算
主对角线 副对角线
对角线法则
a a . a a 12 21 11 22
a 11
a 21
a 12
a 22
a x a x b , 11 1 12 2 1 对于二元线性方程组 a x a x b . 21 1 22 2 2
若记 系数行列式
a 11 a 12 D , a 21 a 22
当D 时，则二元线性方程组的解为 0
b a a b 1 22 12 2 x ， 1 a a a a 11 22 12 21
a x a x b , 11 1 12 2 1 a x a x b . 21 1 22 2 2
说明1
对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．
说明2 三阶行列式包括3!项,每一项都是位于 不同行,不同列的三个元素的乘积,其中三项为 正,三项为负.
1 2 3
例2
计算三阶行列式 D 4 0 5 0 -1 2
按对角线法则，有
解
D 1 0 2 2 5 0 3 4 ( 1 )
1 2
类似地，消去 x ，得 1
（ a a a a ） x a b b a , 11 22 12 21 2 11 2 1 21
当 a a a a 0 时， 方程组的解为 11 22 12 21
b a a b 1 22 12 2 x ， 1 a a a a 11 22 12 21
3 0 0 2 4 2 1 5 ( 1 )
0 0 12 0 16 5
a 11 a 12 D a a a a . 11 22 12 21 a 21 a 22
1.二阶行列式的计算
主对角线 副对角线
对角线法则
a a . a a 12 21 11 22
a 11
a 21
a 12
a 22
a x a x b , 11 1 12 2 1 对于二元线性方程组 a x a x b . 21 1 22 2 2
若记 系数行列式
a 11 a 12 D , a 21 a 22
当D 时，则二元线性方程组的解为 0
b a a b 1 22 12 2 x ， 1 a a a a 11 22 12 21
a x a x b , 11 1 12 2 1 a x a x b . 21 1 22 2 2
说明1
对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．
说明2 三阶行列式包括3!项,每一项都是位于 不同行,不同列的三个元素的乘积,其中三项为 正,三项为负.
1 2 3
例2
计算三阶行列式 D 4 0 5 0 -1 2
按对角线法则，有
解
D 1 0 2 2 5 0 3 4 ( 1 )
1 2
类似地，消去 x ，得 1
（ a a a a ） x a b b a , 11 22 12 21 2 11 2 1 21
当 a a a a 0 时， 方程组的解为 11 22 12 21
b a a b 1 22 12 2 x ， 1 a a a a 11 22 12 21
3 0 0 2 4 2 1 5 ( 1 )
0 0 12 0 16 5
线性代数行列式完整版
a11 a12 a1n
D
a21
a22
a2n
(1) N ( j1 j2 jn ) a1 j1 a2 j2 anjn
记
Det(aij )
an1 an2 ann
是所有取自不同行、不同列n个元素的乘积
并冠以符号 (1)N ( j1 j2 jn ) 的项的和.
a1 j1 a2 j2 anjn
即
7
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a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a31 a32 a33
a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
可以用对角线法则来记忆如下.
8
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二阶与三阶行列式 排列及其逆序数 n阶行列式定义
转置行列式
3
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记号： a11 a12 a21 a22
称其为二阶行列式 .
它表示数：
a11a22 a12a21
即
a11 a12 a21 a22
a11a22 a12a21
数a（ij i, j 1,2)称为它的元素。
为
li+[(n-i)-li]= n-i (i=1,2,…,n)
从而
此即
23
N (x1x2 xn ) N (xn xn1 x1)
(n 1) (n 2) 2 1 n(n 1)
2
N (xn xn1 x1)
n(n 1) 2
I
.
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（二）n阶行列式定义
分析：
a11 a12 a13
例3
线性代数-行列式(完整版)
01
对于二元一次方程组，可以直接应用克拉默法则求解
未知数。
02
对于三元一次方程组，需要先判断系数矩阵的行列式
是否为零，若不为零，则可以使用克拉默法则求解。
03
对于更高元次的线性方程组，克拉默法则同样适用，
但计算量会随着元次的增加而急剧增大。
矩阵可逆性判别方法
01
一个方阵可逆的充分必要条件是其行列式不等于零。
行列式基本性质
行列式中如果有两行（或两列）元素成比例，则此行列式等于零。
若行列式的某一行（或某一列）的元素都是两数之和，例如第i行的元素都是两数之 和：$a_{ij}=b_{ij}+c_{ij}$，则此行列式等于两个行列式之和，这两个行列式的第i行 分别为$b_{ij}$和$c_{ij}$，其余各行与原行列式的相应的行相同。
对于一个n阶方阵A，其行列式记作|A|或det(A)， 是一个数值。
行列式的值可以通过对矩阵元素进行特定的运算 得到，该运算满足一定的性质。
行列式基本性质
行列式与它的转置行列式相等。
交换行列式的两行（或两列），行列式变号。 行列式的某一行（或某一列）中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘 此行列式。
克拉默法则介绍
克拉默法则（Cramer's Rule）是线性 代数中一个关于求解线性方程组的定理。
该法则适用于具有相同数量方程的方程组， 且系数矩阵的行列式不为零的情况。
克拉默法则通过计算系数矩阵的行 列式以及将系数矩阵的某一列替换 为常数项列后得到的新矩阵的行列 式，来求解方程组的解。
克拉默法则在方程组求解中应用
应用领域
范德蒙德行列式在多项式插值、数值分析等领域有广 泛应用。
范德蒙德行列式在多项式拟合中应用
1_1二阶与三阶行列式
第一章 行列式
• 线性代数的重要目标是解线性方程组 • 而解线性方程组经常要用到行列式的概念
首先来看一下二阶和三阶行列式
1
§1.1 二阶与三阶行列式
一、 二阶行列式
用消元法解二元线性方程组 ⎧a11 x1 + a12 x2 = b1 , (1) ⎨ ⎩a21 x1 + a22 x2 = b2 . (2 )
1 0
−2 −2
1 = −
=1
x2 =D2 = 2
D
x3 = D3 = 1
D
24
作业：P25 1（1）（5） 2（1）（2） 3（2）
25
19
⎧ a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1 , ⎪ ⎨a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2 , ⎪a x + a x + a x = b ; ⎩ 31 1 32 2 33 3 3 a11 b1 a13 a23 , a33 a11 D = a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33
4 1 1
解:
a 1 0 4 1 1
1 a 0 = a −1
2
a2-1>0当且仅当 |a|>1
16
利用三阶行列式求解三元线性方程组
⎧ a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1 , ⎪ 如果三元线性方程组 ⎨a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2 , ⎪a x + a x + a x = b ; ⎩ 31 1 32 2 33 3 3
a11b2 − b1a21 x2 = . a11a22 − a12a21
• 线性代数的重要目标是解线性方程组 • 而解线性方程组经常要用到行列式的概念
首先来看一下二阶和三阶行列式
1
§1.1 二阶与三阶行列式
一、 二阶行列式
用消元法解二元线性方程组 ⎧a11 x1 + a12 x2 = b1 , (1) ⎨ ⎩a21 x1 + a22 x2 = b2 . (2 )
1 0
−2 −2
1 = −
=1
x2 =D2 = 2
D
x3 = D3 = 1
D
24
作业：P25 1（1）（5） 2（1）（2） 3（2）
25
19
⎧ a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1 , ⎪ ⎨a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2 , ⎪a x + a x + a x = b ; ⎩ 31 1 32 2 33 3 3 a11 b1 a13 a23 , a33 a11 D = a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33
4 1 1
解:
a 1 0 4 1 1
1 a 0 = a −1
2
a2-1>0当且仅当 |a|>1
16
利用三阶行列式求解三元线性方程组
⎧ a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1 , ⎪ 如果三元线性方程组 ⎨a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2 , ⎪a x + a x + a x = b ; ⎩ 31 1 32 2 33 3 3
a11b2 − b1a21 x2 = . a11a22 − a12a21
二阶、三阶行列式
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1 , a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2 , a x + a x + a x = b ; 31 1 32 2 33 3 3
得
a11 b1 D2 = a21 b2 a31 b3
a13 a23 , a33 a11 a12 D = a21 a22 a31 a32 a13 a23 a33
记
即
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1 , a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2 , a x + a x + a x = b ; 31 1 32 2 33 3 3 a11 a12 D = a21 a22 a31 a32 a13 a23 a33
则三元线性方程组的解为: 则三元线性方程组的解为
D1 x1 = , D
D2 x2 = , D
D3 x3 = . D
三、小结
二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方 程组引入的. 程组引入的 二阶与三阶行列式的计算 对角线法则
a11 a21
a12 a22
= a11a22 − a12 a21 .
a11 a12 a21 a22 a31 a32
a13 a23 = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a11a23a32 − a12a21a33 − a13a22a31, a33
若记 系数行列式
D=
a11
a12
a21 a22
,
a11 x1 + a12 x2 = b1 , a21 x1 + a22 x2 = b2 .
二阶和三阶行列式
Da11 a12, a21 a22
7
a a1 2x x 1 11 1 a a1 2x 2 x 22 2 b b1 2,.
D1
b1 b2
a12, a22
a a1 2x x 1 11 1 a a1 2x 2 x 22 2 b b1 2,.
D2
a11 a21
b1 . b2
8
则二元线性方程组的解为
a31 a32 a33 a 31 a 32
Da 1 a 2 1 a 3 2 3 a 1 a 2 2 a 3 3 a 1 1 a 2 3 a 3 12
a 1 a 2 a 1 3 3 a 2 1 a 2 a 2 3 1 a 3 1 a 2 a 3 3 2 .1
12
(2)对角线法则
a11 a12 a13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a1a12a 233a1a22a331a1a 32a132 a1a32a231a1a22a133a1a 12a 33.2
32
定义 1.3 一个排列中所有逆序的总数称为此排列
的逆序数. 例如 排列32514 中，
32514
1 0 31 逆序数为3
故此排列的逆序数为1+3+0+1+0=5.
33
排列的奇偶性 逆序数为奇数的排列称为奇排列; 逆序数为偶数的排列称为偶排列.
34
三、计算排列逆序数的方法
方法1 从左到右分别计算出排列中每个元素后
t 5 4 4 3 1 0 0 1 0
18
此排列为偶排列.
39
2 n n 1 n 2 321
解 n1
n n 1 n 2 321 n2
tn1n2 2 1 nn1,
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36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
Байду номын сангаас
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
1、不要轻言放弃，否则对不起自己。
2、要冒一次险!整个生命就是一场冒险。走得最远的人，常是愿意 去做，并愿意去冒险的人。“稳妥”之船，从未能从岸边走远。-戴尔．卡耐基。
梦 境
3、人生就像一杯没有加糖的咖啡，喝起来是苦涩的，回味起来却有 久久不会退去的余香。
线性代数二三阶行列式 4、守业的最好办法就是不断的发展。 5、当爱不能完美，我宁愿选择无悔，不管来生多么美丽，我不愿失 去今生对你的记忆，我不求天长地久的美景，我只要生生世世的轮 回里有你。