期末专题三 分式方程中的参数问题
探究含参的分式方程(教学设计)
探究含参的分式方程（教学设计）成都铁中何怿熹教学目标：1、利用增根解决分式方程的参数问题2、解题过程中数学的转化思想和分类讨论思想的应用3、充分感受并学会对于复杂问题联立求解，避免漏解的重要性3、感受分式方程含参问题知识的横向联系，与不等式、概率等知识有机结合教学重点：分式方程化成整式方程时，未知数系数有参和无参的区别；有解和无解情况的具体考虑教学难点：分式方程化成整式方程时，未知数系数有参时，有解和无解情况的考虑教学信息技术的使用：爱学派平台、微课、mindmaster软件的使用、平板电脑、电子白板、Internet的使用一、课前准备工作1.通过爱学派平台给学生推送与分式方程增根问题的微课，预习相关内容，并完成一些对应习题，通过平台的数据统计反馈，了解学生对预设问题的掌握情况，便于在课堂教学中就学生的易错问题做详细剖析。
2.完成本章的知识体系的梳理，通过爱学派平台推送任务，学生以思维导图的形式呈现其总结归纳过程，并用于课堂展示，也给学生提供相互学习的机会。
二、复习回顾先做课前展示，思维导图的完成分享教学过程：（一）含参的整式方程ax=b的解的情况：①当a≠0时，方程的解x___________②当a=0时,{若此时b≠0时,等式两边___________________，此时方程___________________若此时b=0时，等式两边___________________，此时方程___________________，设计意图：以学生较为容易理解的整式方程引入，让学生感受在解决含参问题时分类讨论思想的重要性，为后面分式方程的含参问题中化成整式方程时，系数含参且无解类型的探讨埋下伏笔（二）分式方程的基本解法1、解分式方程的基本思想2、解分式方程的步骤①去分母:_________ ②解整式方程③验根：________________________________验根过程中算得使原分式方程的分母或最简公分母为零的根,我们称它为原方程的______，也叫原方程_______设计意图：对分式方程求解过程的复习也是贯穿整堂课求解含参分式方程的基础，强化学生对分式方程转化至整式方程求解通法。
含参数的分式方程
特殊情况处理
当参数取某些特殊值时，分式 方程可能出现特殊情况，如增 根、减根等。
对于这些特殊情况，需要采取 特定的处理方法，如分类讨论 、验证等。
特殊情况的处理是分式方程求 解过程中的重要环节，需要特 别关注。
PART 04
典型例题解析与讨论
一元一次含参数分式方程方源自形式形如 $frac{ax+b}{c} = d$，其中 $a, b, c, d$ 是常数，$c neq 0$
确定参数的取值范围 是分式方程求解的重 要步骤。
当参数取某些特定值 时，分式方程可能无 解、有唯一解或有无 穷多解。
参数变化对解的影响
随着参数的变化，分式方程的解 也会发生变化。
参数的微小变化可能导致解的显 著变化，如解的个数、解的性质
等。
通过分析参数变化对解的影响， 可以深入了解分式方程的性质。
待定系数法
待定系数思想
通过设定一些待定系数，将含参数的分式方程转化为关于待定系数的整式方程组 ，从而求解参数值。
待定系数步骤
首先根据方程特点设定待定系数；然后利用方程条件构建关于待定系数的整式方 程组；最后求解方程组得到参数值。
PART 03
参数对分式方程解的影响
参数取值范围
参数的取值范围直接 影响分式方程是否有 解，以及解的性质。
方程解的性质分析
本研究还对含参数分式方程的解进行了深入的性质分析，包括解的存在性、唯一性、连续性和可微性等 。这些性质分析为进一步的理论研究和实际应用提供了重要的参考依据。
未来研究方向展望
01
拓展应用领域
目前，含参数分式方程在多个领域具有广泛的应用前景， 如物理学、工程学、经济学等。未来研究可以进一步拓展 该方法的应用领域，探索其在更多实际问题中的适用性。
专题9.3 分式方程【十大题型】(举一反三)(沪科版)(原卷版)
专题9.3 分式方程【十大题型】【沪科版】【题型1 解分式方程的一般方法】.......................................................................................................................1【题型2 换元法解分式方程】...............................................................................................................................2【题型3 裂项法解分式方程】...............................................................................................................................3【题型4 根据分式方程的解求值】.......................................................................................................................4【题型5 已知分式方程有解或无解求参数】.......................................................................................................4【题型6 已知分式方程有增根求参数】...............................................................................................................5【题型7 已知分式方程有整数解求参数】...........................................................................................................5【题型8 根据分式方程解的取值范围求参数的范围】.......................................................................................6【题型9 解分式方程的运用（规律问题）】.......................................................................................................6【题型10 解分式方程的运用（新定义问题）】 (8)【题型1 解分式方程的一般方法】【例1】（2022·广东·平洲一中八年级阶段练习）分式方程：1x−2+3=4x−2的解是_________.【变式1-1】（2022·广西贵港·八年级期中）解下列分式方程：(1)2xx 2−xx−1=1；(2)1x 3−23−x =12x 2−9．【变式1-2】（2022·山东省泰安第十五中学八年级阶段练习）当x =________时，分式x−8x−7与分式17−x 互为相反数．【变式1-3】（2022·上海·上外附中七年级期末）解方程：x 5x 4+x 2x1=x 3x2+x 4x3例解方程：，则原方程转换为：【题型2 换元法解分式方程】【例2】（2022·河南·南阳市第十三中学校八年级阶段练习）阅读下面材料，解答后面的问题：解方程：x−1x−4xx−1=0．解：设y =x−1x，则原方程化为：y −4y =0，方程两边同时乘以y 得：y 2﹣4＝0，解得：y ＝±2，经检验：y ＝±2都是方程y −4y =0的解，∴当y ＝2时，x−1x=2，解得x ＝﹣1；当y ＝﹣2时，x−1x=−2，解得：x =13．经检验：x ＝﹣1或x =13都是原分式方程的解，∴原分式方程的解为x ＝﹣1或x =13．上述这种解分式方程的方法称为换元法．问题：(1)若在方程x−1x+x x−1=52中，设 ＝y ，则原方程可化为 ，原方程的解为 ；(2)模仿上述换元法解方程：x−1x 2−3x−1−1＝0．【变式2-1】（2022·−x 3(x 21)+1=0，如果y ，那么原方程化为关于y 的整式方程是（ ）A ．3y 2+3y−1=0B ．3y 2−3y−1=0C ．3y 2−y +1=0D ．3y 2−y−1=0【变式2-2】（2022·上海·八年级课时练习）如果16x 2−8x +1=0，那么4x 的值是（ ）A ．1B ．-1C ．±1D ．4【变式2-3】（2022·上海·+12x−y =312x−y =1 ．解题技巧：裂项相消法：【题型3 裂项法解分式方程】【例3】（2022·山东烟台·八年级期中）观察下面的变形规律：11×2=11–12；12×3=12–13；13×4=13–14；……解答下面的问题：(1)已知n 为正整数，结合你的发现，请将1n(n 1)写成上面式子形式；(2)说明你（1）中式子的正确性；(3)直接写出11×2+12×3+13×4+ … +12021×2022的结果；(4)类比你发现的规律，解关于n （n 为正整数）的分式方程：11×3+13×5+15×7+⋅⋅⋅+1(2n−1)(2n1)=n 1002n202．【变式3-1】（2022·山东·济南市天桥区泺口实验学校八年级阶段练习）观察下面的变形规律：11×2=1−12,12×3=12−13,13×4=13−14,14×5=14−15，…，回答问题：若1(x1)×(x2)+1(x2)×(x3)+1(x3)×(x4)+…+1(x99)×(x100)＝1x100，则x 的值为 _____．【变式3-2】（2022·江苏·镇江市江南学校八年级阶段练习）观察下列算式：16=12×3=12−13,112=13×4=13−14,120=14×5=14−15.......(1)由此可推断：142=___；(2)请用含字母m (m 为正整数)的等式表示(1)中的一般规律___；(3)仿照以上方法解方程：3(x−1)(x−4)=1x -1【变式3-3】（2022·湖南·岳阳市第十九中学八年级阶段练习）阅读理解并回答问题．观察下列算式：16=12×3=12−13112=13×4=13−14120=14×5=14−15……(1)填空：142＝ ＝ ；(2)请用含有m （m 表示整数）的代数式表示上述式子特点的一般规律： ．(3)请用（2）中的规律解方程：1x(x1)+1(x 1)(x2)+⋯+1(x 9)(x10)=1(x 10)．【题型4 根据分式方程的解求值】【例4】（2022·河北·南皮县桂和中学八年级阶段练习）若关于x 的方程2axa−x =83的解为x =1，则a 等于（ ）A ．−1B ．1C ．4D ．8【变式4-1】（2022·湖南·溆浦县圣达学校八年级期中）已知关于x 的方程3x−1=x ax (x−1)的增根是x =1，则字母a 的值为（ ）A ．1B ．−1C ．2D ．−2【变式4-2】（2022·北京市第九中学八年级期中）若x =4是关于x 的方程2x−m x−3=3的解，则m 的值为________．【变式4-3】（2022·全国·八年级专题练习）若关于x 的方程ax x 1+3x1+3x =2有增根x =−1，则2a−3的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．6【题型5 已知分式方程有解或无解求参数】【例5】（2022·黑龙江黑龙江·三模）关于x 的分式方程1−axx−2+2=12−x 有解，则a 的取值范围是________．【变式5-1】（2022·湖南·八年级单元测试）若关于x 的分式方程1x−2+x mx 2−4=m 的值为( )A ．-6B ．-10C ．0或-6D ．-6或-10【变式5-2】（2022·河北·邢台市第六中学八年级阶段练习）已知关于x 的分式方程x x−2+2m2−x =3m 无解，则m 的值是（ ）A ．1或13B ．1或3C ．13D ．1【变式5-3】（2022·重庆·二模）若关于x2x−m ≥−1+23)+12≤9有且只有两个奇数解，且关于y 的分式方程my−4y−2=2−3y−22−y 有解，则所有满足条件的整数m 的和是（ ）A ．7B ．10C ．13D ．21【题型6 已知分式方程有增根求参数】【例6】（2022·湖南·永州市冷水滩区京华中学八年级期中）如果方程5x−42x−4=2x k3x−6有增根，则k 是 _______________．【变式6-1】（2022·浙江宁波·七年级期末）用去分母的方法解关于x 的分式方程2−xx−3=a3−x −2时会产生增根，则a 的值是__________．【变式6-2】（2022·江西省石城二中九年级阶段练习）解关于x 的方程xx -1−kx 2-1=x x 1不会产生增根，则k 的值是（ ）A ．2B ．1C ．k≠2且k≠−2D ．无法确定【变式6-3】（2022·全国·八年级）若关于x 的方程mx 2−9+2x 3=1x−3有增根，则增根是多少？并求方程产生增根时m 的值．【题型7 已知分式方程有整数解求参数】【例7】（2022·重庆·四川外国语大学附属外国语学校九年级期中）若关于x 的不等式组x 3−4＜−2x 332x +a−2≥5(1−2x )，有且仅有四个整数解，且使关于y 的分成方程a y 2=2y−1y 2+1有整数解，则所有满足条件的整数a 的值之和是（ ）A ．−2B ．3C ．5D ．10【变式7-1】（2022·安徽·九年级专题练习）若整数a 使关于x 的分式方程8−ax2−x ﹣2＝xx−2有整数解，则符合条件的所有a 之和为（ ）A ．7B ．11C ．12D ．13【变式7-2】（2022·重庆一中八年级阶段练习）关于x 的不等式组a x 3≥x+131−3(x−1)＜14+2x有解且至多有4个整数解，关于y 的分式方程3y 153−y+2ayy−3=2的解为整数，则所有满足条件的整数a 的和为（ ）A ．4B ．8C ．11D ．15【变式7-3】（2022·全国·八年级专题练习）若关于x 的不等式组{x−3(x−2)>−2a x 2<x 有解，关于y 的分式方程ay−14−y+3y−4=−2有整数解，则符合条件的所有整数a 的和为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．5【题型8 根据分式方程解的取值范围求参数的范围】【例8】（2022·重庆一中九年级阶段练习）若关于x>0x−1有解，且关于y 的方程2ay−3=4−y−a3−y 的解是正数，则所有满足条件的整数a 的值之和是（ ）A ．﹣8B ．﹣4C ．﹣3D ．﹣1【变式8-1】（2022·山东·龙口市教学研究室八年级期中）若关于x 的分式方程2x m=3x 3有负数解，则m 的取值范围为______．【变式8-2】（2022·江苏宿迁·八年级阶段练习）关于x 的方程x−1x−3=2+kx−3的解大于1，则k 的取值范围为_____________．【变式8-3】（2022·山东济南·八年级期中）若关于x 的分式方程x ax−2+2a2−x =5的解是非负整数解，且a 满足不等式a +2>1，则所有满足条件的整数a 的值之和是（ ）A ．18B ．16C ．12D ．6【题型9 解分式方程的运用（规律问题）】【例9】（2022·山东聊城·八年级期末）已知：①x +2x ＝3可转化为x +1×2x＝1+2，解得x 1＝1，x 2＝2，②x +6x ＝5可转化为x +2×3x＝2+3，解得x 1＝2，x 2＝3，③x +12x ＝7可转化为x +3×4x＝3+4，解得x 1＝3，x 2＝4，……根据以上规律，关于x 的方程x +n 2nx−3＝2n +4的解为_____．【变式9-1】（2022·湖南·岳阳市第十九中学八年级阶段练习）解方程①1x 1=2x 1−1的解是x =0；②2x 1=4x 1−1的解是x =1；③3x 1=6x 1−1的解是x = ；④4x1的解是x = ；（1）请完成上面的填空；（2）根据你发现的规律直接写出第⑤个方程和它的解；（3）请你用一个含正整数n 的式子表述上述规律，并写出它的解．【变式9-2】（2022·江苏无锡·八年级期中）阅读下列材料：方程1x 1−1x =1x−2−1x−3的解为x =1，方程1x −1x−1=1x−3−1x−4的解为x =2，方程1x−1−1x−2=1x−4−1x−5的解为x =3，(1)请直接写出方程1x−4−1x−5=1x−7−1x−8的解为________；(2)观察上述方程与解的特征，写出一个解为−5的分式方程：________；(3)观察上述议程与解的特征，写出能反映上述方程一般规律的方程，并直接写出这个方程的解：________；________．【变式9-3】（2022·四川遂宁·八年级期末）先阅读下面的材料，然后解答问题．通过计算，发现：方程x +1x =2+12的解为x 1＝2，x 2=12；方程x +1x =3+13的解为x 1＝3，x 2=13；方程x +1x =4+14的解为x 1＝4，x 2=14；…(1)观察猜想：关于x 的方程x +1x =n +1n 的解是；(2)利用你猜想的结论，解关于x 的方程x +1x−3=a +1a−3；(3)实践运用：对关于x 的方程x−1x =m−1m 的解，小明观察得“x 1=m ”是该方程的一个解，则方程的另一个解x 2=，请利用上面的规律，求关于x 的方程x 2−x−1x−1=m−1m−1的解．【题型10 解分式方程的运用（新定义问题）】【例10】（2022·辽宁大连·八年级期末）当a ≠b 时，定义一种新运算：F(a,b)=>b <b，例如：F(3,1)=23−1=1，F(−1,4)=2×44−(−1)=85．（1）直接写出F(a +1,a)=_______________；（2）若F(m,2)−F(2,m)=1，求出m 的值．【变式10-1】（2022·广西·北海市实验学校八年级期中）对于非零的两个有理数a ，b ，规定a ⊕b ＝1b −1a ，若2⊕(2x−1)＝0，则x 的值为（ ）A ．56B ．54C ．32D ．−16【变式10-2】（2022·全国·七年级专题练习）定义新运算：对于任意实数a ，b (其中a ≠0)，都有a *b ＝1a −a−ba，等式右边是通常的加法、减法及除法运算，比如：2*1＝12−2−12＝0.(1)求5*4的值；(2)若x *2＝1(其中x ≠0)，求x 的值．【变式10-3】（2022·江苏扬州·八年级期中）“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程．”这是我国古代著名数学家刘徽在《九章算术》对方程一词给出的注释．对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的一个解，则称这两个方程为“相似方程”，②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”．（1）判断一元一次方程3−2(1−x )=4x 与分式方程2x 12x−1−1=44x 2−1是否是“相似方程”，并说明理由；（2）已知关于x ，y 的二元一次方程y =mx +6与y =x +4m 是“相伴方程”，求正整数m 的值.。
专题01 分式(压轴考点)(原卷版)
专题01 分式(压轴考点)【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一分式的化简求值中取值要有意义】 (1)【考点二分式的混合运算错题复原】 (2)【考点三分式方程中增根问题】 (5)【考点四分式方程中解的情况求参数求值问题】 (5)【考点五分式方程中无解问题】 (5)【考点六分式中新定义问题】 (6)【考点七分式方程的应用与一次函数的综合】 (8)【典型例题】【考点一分式的化简求值中取值要有意义】【考点二分式的混合运算错题复原】【考点三分式方程中增根问题】【考点四分式方程中解的情况求参数求值问题】【考点五分式方程中无解问题】【考点六分式中新定义问题】【考点七分式方程的应用与一次函数的综合】【例题7】（2023·福建泉州·统考二模）毛笔书法是我国传统文化中极具代表性的一种艺术形式．某校书法兴趣小组计划购进一批毛笔，已知每支乙种毛笔的价格比每支甲种毛笔的价格多10元，且用600元购买甲种毛笔的数量与用1000元购买乙种毛笔的数量相等．(1)求甲、乙两种毛笔每支各多少元?(2)若要求购进甲、乙两种毛笔共50支，且乙种毛笔数量不少于甲种毛笔数量的2倍，试求购买这两种毛笔总费用的最小值．【变式7-1】（2023春·河南商丘·九年级统考期中）某学校为做好绿化、改善育人环境，准备购买A，B两种树苗在学校栽种．已知1棵A种树苗比1棵B种树苗贵5元，用400元购买的A种树苗与用300元购买的B种树苗的数量相同．(1)求购买1棵A种树苗和1棵B种树苗各需多少元．(2)若该校计划购买A，B两种树苗共150棵，且A种树苗的数量不少于B种树苗的一半，则怎样购买可以使购买费用最低，最低费用为多少？【变式7-2】（2023春·全国·八年级专题练习）2022年秋季，中小学开始实施《义务教育劳动课程标准（2022年版）》，传递了“双减”背景下加强劳动教育的鲜明信号，某校准备利用学校劳动实践基地，开展劳动教育．现欲购进甲、乙两种菜苗供学生栽种．已知用300元购进甲种菜苗的数量比用300元购进乙种菜苗的数量多300棵，单独购一棵甲种菜苗和一棵乙种菜苗共需1.5元．(1)求购进一棵甲种菜苗和一棵乙种菜苗各需要多少元；(2)学校准备购进两种菜苗共600棵，甲种菜苗不少于200棵，不多于320棵，则购买总费用最少需要多少元？【变式7-3】（2023春·河南驻马店·八年级校考阶段练习）2022年12月21日发布的《成都市“十四五”世界赛事名城建设规划》提出到2025年将每年举办国际和全国赛事达到50项以上，让体育运动深度融入人们日常生活．现需建造一处5100（2m）的多功能场馆，由甲、乙两个工程队合作完成．已知甲队比乙队每天多建造2（2m）与乙队建造720（2m）所需天数相同，甲队施工每天费用为1000元，m），甲队建造900（2乙队施工每天费用为600元．(1)求甲、乙两队每天建造的面积；(2)该场馆先由乙队施工，然后换成甲队完成剩余的施工，若甲队建造的面积不少于乙队建造面积的2倍，那么该场馆的建设费用至少需要多少元？。
专题09 分式方程中的参数问题(原卷版)
八下数学思维解法技巧培优小专题专题9 分式方程中的参数问题题型一由分式方程解的情况求参数的值或取值范围【典例1】（2019•淅川县期末）若关于x的方程2m−3x−1−xx−1=0无解，则m的值是（）A．3B．2C．1D．﹣1【点拨】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解得到x﹣1＝0，求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．【典例2】（2019•吉安县期末）若mx−3−1−x3−x=0无解，则m的值是（）A．3B．﹣3C．﹣2D．2【点拨】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到m的值，经检验即可得到分式方程的解．【典例3】（2019•齐齐哈尔）关于x的分式方程2x−ax−1−11−x=3的解为非负数，则a的取值范围为__________________．【点拨】根据解分式方程的方法和方程2x−ax−1−11−x=3的解为非负数，可以求得a的取值范围．【典例4】（2019•江阴市期中）若分式方程x−2x−3−2=mx−3有增根，则m的值为______．【点拨】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值．【典例5】（2019•江都区四模）若关于x 的分式方程1x−2−m 2−x=1的解是正数，求m 的取值范围．【点拨】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，由分式方程的解为正数确定出m 的范围即可．题型二 分式方程与不等式的综合【典例6】（2019•九龙坡区校级月考）已知关于x 的分式方程2−ax 1−x−1x−1+1＝0有整数解，且关于x 的不等式组{3x ≤2(x −12)2x −x−13＜a的解集为x ≤﹣1，则符合条件的所有整数a 的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【点拨】解分式方程得x =4a+1且x ≠1，则整数a 为0，1，﹣2，﹣3，﹣5时分式方程的解为整数解，再解不等式组得到a ＞−43，从而得到满足条件的整数a 的值．【典例7】（2019•巴南区期中）若关于x 的分式方程m2−x−1＝1−xx−2的解为正数，且关于y 的不等式组{2y−53≤−3y −m −1＞−1无解，那么符合条件的所有整数m 的和为（ ）A ．5B ．3C ．1D ．0【点拨】根据题意可以求得m 的取值范围，从而可以得到符合条件的m 的整数值，从而可以解答本题．【典例8】（2019•沙坪坝区校级月考）若实数a 使关于x 的不等式组{13x −1≤x−1212a −3x ＞0有且只有4个整数解，且使关于x 的方程2x−1+5−a 1−x=−2的解为正数，则符合条件的所有整数a 的和为（ ）A ．7B ．10C ．12D ．1【点拨】解不等式组求得其解集，根据不等式组只有4个整数解得出a 的取值范围，解分式方程得出x =5−a2，由方程的解为正数且分式有意义得出a 的取值范围，综合两者所求最终确定a 的范围，据此可得答案．【典例9】（2019•沙坪坝区校级一模）如果关于x 的不等式组{5x+36≤x +115a −x ≥0至少有3个整数解，且关于x 的分式方程axx−5=1−a 5−x−3xx−5的解为整数，则符合条件的所有整数a 的取值之和为（ ）A ．﹣10B ．﹣9C ．﹣7D ．﹣3【点拨】先分别解不等式组里的两个不等式，因为不等式组有解，写出其解集为﹣3≤x ≤15a ，根据不等式组至少有3个整数解，可得a 的取值，再解分式方程得x =a−1a+3，根据解为整数即得到a 的范围．得到两个a 的范围必须同时满足，即求得可得到的整数a 的值．【典例10】（2019•长寿区模拟）若关于x 的方程k1−x=3x−1−2有非负实数解，关于x 的一次不等式组{x−12−2x ≤1x +k ≤2有解，则满足这两个条件的所有整数k 的值的和是________．【点拨】分式方程去分母转化为整式方程，表示出分式方程的解，由分式方程有非负实数解确定出k 的范围，由不等式有解确定出k 的范围，进而确定出k 的具体范围，求出整数解，进而求出之和即可．巩固练习1．（2019•九龙坡区期末）关于x 的分式方程ax−24−x+6x−4=−3的解为正数，且关于x 的不等式组{x ＞1a+x 2≥x −72有解，则满足上述要求的所有整数a 的绝对值之和为（ ）A ．12B ．14C ．16D ．182．（2019•南岸区模拟）若数k 使关于x 的不等式组{3x +k ≤0x3−x−12≤1只有4个整数解，且使关于y 的分式方程k y−1+1=y+ky+1的解为正数，则符合条件的所有整数k 的积为（ ） A ．2 B ．0C ．﹣3D ．﹣63．（2019•嘉祥县模拟）若关于x 的方程3x−1=1−k1−x无解，则k 的值为（ ） A ．3B ．1C ．0D ．﹣14．（2019•碑林区校级期末）若关于x 的分式方程x+a x−2+a 2=12x−4无解，则a 的值为（ ） A ．−32B ．2C ．−32或2D ．−32或﹣25．（2019•渝中区校级期中）关于y 的分式方程3−a y−2=y−62−y 有正整数解，且关于x 的不等式{3x +32＜3a 2x−36≥23无解，则满足条件的所有整数a 的和为（ ） A ．﹣4B ．0C ．﹣8D ．﹣126．（2019•渝中区二模）若数a 使关于x 的不等式组{x−22≤−12x +27x +4＞−a有且只有4个整数解，且使关于y 的分式方程2y−1+a 1−y=3的解为正数，则符合条件的所有整数a 的和为（ ） A ．﹣2B ．0C ．3D ．67．（2019•江油市一模）若数a 使关于x 的不等式组{x−22≤−12x +22x +4＞−a有且仅有四个整数解，且使关于y 的分式方程ay−2+22−y=2有非负数解，则满足条件的整数a 的值是__________．8．（2019•保康县模拟）若关于x 的方程x+m x−3+3m 3−x =2的解为正数，则m 的取值范围是__________． 9．（2019•沙坪坝区校级期中）关于x 的分式方程2x−1+kx x 2−1=3x+1会产生增根，则k ＝__________．。
专题11 含参数的分式方程(解析版)-2020-2021学年八年级数学上册期末综合复习专题提优训练
2020-2021学年八年级数学上册期末综合复习专题提优训练（人教版）专题11 含参数的分式方程【典型例题】1．（2020·广西百色·初一期末）增根是一个数学用语，其定义为在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根．对于分式方程：223393mx x x x +=--+ （1）若该分式方程有增根，则增根为________．（2）在（1）的条件下，求出m 的值．【答案】解：（1）当分母值为0时，分式方程有增根，可得：x ±3=0，解得：x =3或x =-3，即增根是：x =3或x =-3，故答案为：x =3或x =-3；（2）解：223393mx x x x +=--+ 2(x +3)+mx =3(x -3)mx -x =-15①若x =3时，3m -3=-15；m =-4②若x =-3时，-3m +3=-15；m =6．综上：m 的值是-4或6.【专题训练】一、选择题1．（2020·山东丁庄镇中心初级中学月考）若关于x 的方程62033x m x x --=--有增根，则m 的值是（ ）A ．32 B ．23- C ．3 D ．3-【答案】A2．（2020·江苏省南菁高级中学实验学校月考）如果关于x 的方程2133mx x =---无解，则m 的值等于（ ）A ．﹣3B ．﹣2C ．﹣1D ．3【答案】B3．（2020·河北一模）关于x 的方程2311x mx -=-的解是正数，m 的值可能是（ ）A ．23 B ．12 C ．0 D ．-1【答案】B4．（2020·甘肃初三一模）关于x 的分式方程2x a1x 1+=+的解为负数，则a 的取值范围是( )A ．a >1B ．a <1C ．a <1且a 2≠-D ．a >1且a 2≠【答案】D5．（2020·晋州市第三中学初二月考）已知关于x 的分式方程433x kx x -=--的解为非正数，则k 的取值范围是（）A ．k ≤－12B ．k ≥ －12且k ≠ －3C ．k >－12D ．k <－12【答案】A6．（2020·重庆南开中学初三月考）如果关于x 的分式方程6312233ax x x x --++=--有正整数解，且关于y 的不等式组521510y y a -⎧≥-⎪⎨⎪+->⎩至少有两个整数解，则满足条件的整数a 的和为（ ）． A ．3 B ．7 C ．8 D ．12【答案】A7．（2020·沙坪坝·重庆一中初三开学考试）若关于x 的一元一次不等式组53212x x x a+⎧≥+⎪⎨⎪≤⎩有解且最多有7个整数解；且关于y 的分式方程23111y a a y y+++=--有非负数解，则所有满足条件的整数a 有（ ）个． A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B二、填空题8．（2020·湖南期中）当m ＝______时，分式方程233x m x x-=--会出现增根 【答案】－1．9．（2020·山东丁庄镇中心初级中学月考）若关于x 的分式方程12224x a a x x ++=--无解，则a 的值为__________． 【答案】2a =-或32a =- 10．（2020·江苏泰州中学附属初中初二期中）若解关于x 的方程12x x --＝2m x -+2时产生了增根，则m ＝_____． 【答案】﹣1．11．（2020·成都市树德实验中学月考）若数a 使关于x 的不等式组542x x a <⎧⎨-≥⎩有且只有四个整数解，且使关于y 的方程2211y a a y y++=--的解为非负数，则符合条件的正整数a 的值为___________．【答案】212．（2020·四川期中）如果关于x的不等式组1343(2)x mx x-⎧⎪⎨⎪->-⎩的解集为x<1，且关于x的分式方程2311mxx x+=--的解是非负数，则所有符合条件的整数m的值之和是____．【答案】-2.13．（2020·四川省成都市七中育才学校月考）从0，1，2，3，4，5，6这7个数中，随机抽取一个数，记为a，若数a使关于x的不等式组5514x xx a+<+⎧⎨->-⎩的解集为1x>，且使关于x的分式方程622axx-=-的解为非负数，那么这7个数字所有满足条件a的值的积是______．【答案】2014．（2020·四川省成都七中育才学校学道分校月考）从-4，-3，1，3，4这五个数中，随机抽取一个数，记为a，若数a使关于x的不等式组()1923xx a⎧-≤-⎪⎨⎪-<⎩的解集是x a<，且使关于x的分式方程3122x ax x--=--有整数解，那么这5个数中所有满足条件的a的值之和是______．【答案】0三、解答题15．（2020·襄汾县第二初级中学校期末）若关于x的分式方程311mx x+--＝1的解为正数，求m的取值范围．【答案】解：去分母得：m﹣3＝x﹣1，解得：x＝m﹣2，由分式方程的解为正数，得到m﹣2＞0，且m﹣2≠1，解得：m＞2且m≠3，故答案为：m ＞2且m ≠3．16．若关于x 的方程4233k x x x-+=--有增根，求增根和k 的值． 【答案】解:方程两边都乘（x ①3①,得k +2①x ①3①=①x +4①∵原方程有增根,∴最简公分母（x ①3①=0①解得x =3①当x =3时,k =1①17．已知关于x 的方程2m x =的解满足3(03)25x y n n x y n-=-⎧<<⎨+=⎩，若1y >，求m 的取值范围。
含字母参数分式方程的有增根、有解和无解问题
含字母参数分式方程的有增根、有解和无解问题【要点梳理】要点一 分式方程的增根分式方程有增根，指的是解分式方程时，在把分式方程转化为整式方程的变形过程中，方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式，从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值；要点二 分式方程的无解而分式方程无解则是指不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等．它包含两种情形：（一）原方程化去分母后的整式方程无解；（二）原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解.【典型例题】类型一、概念理解1.分式方程的增根概念：把分式方程化为整式方程后，得到的整式方程的根使分式方程中分母的值为0，分式方程无解，这样的根叫做________．检验方法：将解得的整式方程的根代入最简公分母，看计算结果是否为0，不为0就是原分式方程的根，若为0则为增根，必须舍去．【答案】增根解：把分式方程化为整式方程后，得到的整式方程的根使分式方程中分母的值为0，分式方程无解，这样的根叫做增根，故答案为：增根．2.分式方程有增根与分式方程无解的关系：分式方程的增根与无解并非同一个概念，分式方程无解，可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解．分式方程的增根是去分母后的________方程的根，也是使________方程的分母为0的根．【答案】 整式 分式分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的分母为0的根．故答案为：整式，分式类型二、含参分式方程的增根3、关于x 的方程225111m x x x +=+--去分母转化为整式方程后产生增根，求m 的值． 【答案】－10或－4【分析】方程两边同时乘以21x -将分式方程化为整式方程，再将整式方程的增根代入整式方程中计算求解即可.解：方程两边同乘以21x -，得2(1)5(1)x x m --+=，当210x -=时，1x =±，∴关于x 的方程225111m x x x +=+--的增根为±1， 当1x =时，2(11)5(11)10m =--+=-；当1x =-时，2(11)5(11)4m =----+=-，故m 的值为10-或4-．【点拨】本题主要考查分式方程的增根，解题的关键是理解增根产生的原因，并能从整式方程中代入增根求解对应参数.举一反三：【变式1】如果解关于x 的分式方程1134x m x x +-=-+出现了增根，求m 的值． 【答案】-3【分析】分式方程的增根是分式方程转化为整式方程的根，且使分式方程的分母为0的未知数的值． 解：由分式方程1134x m x x +-=-+去分母， 整理得（m+2）x=-4m-15，由分母可知，分式方程的增根可能是3或-4，当x=3时，（m+2）×3=-4m-15，解得m=-3， 当x=-4时，（m+2）×（-4）=-4m-15，此方程无解．故m 的值为-3．【点拨】本题考查了分式方程的增根．增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．【变式2】已知关于x 的方程214339m m x x x +-=+--． （1）若m ＝﹣3，解这个分式方程；（2）若原分式方程无解，求m 的值．【答案】（1）x ＝5.5；（2）m ＝﹣1，m ＝2，m ＝﹣47． 【分析】（1）把m ＝−3代入原方程得23134339x x x -+-=+--，方程两边都乘最简公分母（x −3）（x ＋3），可以把分式方程转化为整式方程求解； （2）方程两边都乘最简公分母（x −3）（x ＋3），分式方程转化为整式方程，m （x −3）＋（x ＋3）＝m ＋4，整理得（m ＋1）x ＝1＋4m ，原分式方程无解，m ＋1＝0，m ＝−1，然后把x ＝3．x ＝−3分别代入整式方程求m 值．解：（1）依题意把m ＝﹣3代入原方程得23134339x x x --+-=+--． 方程两边都乘最简公分母（x ﹣3）（x +3）得，﹣3（x ﹣3）+（x +3）＝1，解得x ＝5.5，检验：把x ＝5.5代入（x +3）（x ﹣3）≠0．∴x ＝5.5是原方程的解；（2）当（x +3）（x ﹣3）＝0时．x ＝±3． 方程两边都乘最简公分母（x ﹣3）（x +3），得，m （x ﹣3）+（x +3）＝m +4，整理得（m +1）x ＝1+4m ，∵原分式方程无解．∴m +1＝0，m ＝﹣1．把x ＝±3代入m （x ﹣3）+（x +3）＝m +4． m ＝2，m ＝﹣47． ∴m ＝﹣1，m ＝2，m ＝﹣47． 【点拨】分式方程转化为整式方程求解，最后注意需检验．无解注意整式方程一次项系数带字母系数，字母系数为零，再把增根代入化简的整式方程，这样不漏m 的值．类型三、含参分式方程的有解、无解问题4、若关于x 的分式方程212111m x x x -=--+无解．求m 的值． 【答案】2或－4【分析】分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程无解得到x ＝1或−1，代入整式方程即可求出m 的值．解：分式方程两边同乘（x ＋1）（x −1），去分母得：m －（x ＋1）＝2（x −1），整理得：3x ＝m ＋1，由分式方程无解得到x −1＝0，或x ＋1＝0，即x ＝1或−1，代入整式方程得：m ＝2或－4．【点拨】此题考查了分式方程的解，解决本题的关键是熟记分式方程无解即最简公分母为0．举一反三：【变式1】关于x 的分式方程3601(1)x k x x x x ++-=--有解，则k 该满足什么条件？ 【答案】3k ≠-且5k ≠.【分析】根据分式方程有解的条件进行求解即可；解：方程去分母得：()()3160x x x k -+-+=，去括号得：3360x x x k -+--=，移项、合并得：83x k =+，∵该分式方程有解，∴0x ≠且1x ≠，即30k +≠，且38k +≠，解得：3k ≠-目5k ≠．【点拨】本题主要考查了分式方程有解的相关计算，准确分析计算是解题的关键．【变式2】若关于x 的方程：234393ax x x x +=--+无解，求a 的值． 【答案】a ＝1或8或﹣6．【分析】分式的无解分两种情况来解：（1）是分式有增根，即分母为零；（2）是分式方程转化成整式方程后，整数方程无解，即未知数系数为0．解：分式方程去分母得：3x +9+ax ＝4x ﹣12，（1）由分式方程有增根，得到（x +3）（x ﹣3）＝0，即x ＝3或x ＝﹣3，把x ＝3代入整式方程得：18+3a ＝0，即a ＝﹣6；把x ＝﹣3代入整式方程得：﹣3a ＝﹣24，即a ＝8，综上，a 的值为﹣6或8．（2）整式方程整理得：（a ﹣1）x ＝﹣21，由方程无解，得到a ﹣1＝0，即a ＝1或8或﹣6．【点拨】注意区分分式方程无解和有增根两种情况．分式方程无解包括有增根和化成整数方程后无解的情况，而有增根仅仅是分式分母为0一种情形．类型四、分式方程的增根和无解综合5、有下列说法：①不论k 取何实数，多项式x 2﹣ky 2总能分解能两个一次因式积的形式；②关于x 的分式方程3122++=--x m x x 无解，则m ＝1；③关于x 、y 的方程组252ax y x ay a +=-⎧⎨-+=⎩，将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，其中，当a 每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，则这个公共解为31x y =⎧⎨=-⎩，其中正确的是____．（填序号） 【答案】②③【分析】分别运用因式分解的公式法、分式方程的解法及解二元一次方程组的方法，可作出判断． 解：①当k 为负值时，多项式x 2﹣ky 2不能分解能两个一次因式积的形式，故①不正确；②将关于x的分式方程3122++=--x mx x两边同时乘以（x﹣2）得3﹣x﹣m＝x﹣2∴x＝52m，∵原分式方程无解，∴x＝2，∴52m＝2，解得m＝1，故②正确；③将所给方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得（a﹣1）x+（a+2）y＝2a﹣5，（x+y）a+2y﹣x＝2a﹣5，∴225x yy x+=⎧⎨-=-⎩，解得：31 xy=⎧⎨=-⎩则当a每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，则这个公共解为31xy=⎧⎨=-⎩，故③正确．综上，正确答案为：②③．【点拨】本题考查了因式分解、分式方程的解、二元一次方程组的解，解题关键是理解题意，遵循题意按照相应的解题方法准确进行计算．举一反三：【变式1】已知关于x的分式方程512x ax x+-=-．(1)若分式方程的根是5x=，求a的值；(2)若分式方程有增根，求a的值；(3)若分式方程无解；求a的值的．【答案】(1)1;(2)-2;(3)3或-2【分析】分式方程去分母转化为整式方程，（1）把x=5代入整式方程求出a的值即可；（2）由分式方程有增根，得到最简公分母为0求出x的值，代入整式方程求出a的值即可；（3）分a-3=0与a-3≠0两种情况，根据分式方程无解，求出m的值即可．解：(1)去分母得，x（x+a）-5（x-2）=x（x-2），整理得：(3)100a x -+=把x =5代入(3)100a x -+=得，5(3)100a -+=，∴a =1；(2) 由分式方程有增根，得到x （x -2）=0，解得：x=2或x=0，把x=2代入整式方程(3)100a x -+=得：a=-2；把x=0代入整式方程(3)100a x -+=得：a 的值不存在，∴分式方程有增根，a=-2(3) 化简整式方程得：（a -3）x =-10，当a -3=0时，该方程无解，此时a =3；当a -3≠0时，要使原方程无解，必须为分式方程增根，由（2）得：a =-2，综上，a 的值为3或-2．【点拨】此题考查了分式方程的解和增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．【变式2】已知W ＝（1122a a +-+）÷2244a a a -+． （1）化简W ；（2）若a ，2，4恰好是等腰△ABC 的三边长，求W 的值．（3）若12k W a +=+的解为正数，求k 的取值范围． 【答案】(1)22a a -+；(2)W 的值为13；(3)3k >-. 【分析】（1）先算括号里的，再运用完全平方公式进行化简即可得；（2）根据a ，2，4恰好是等腰△ABC 的三边长可得a ＝4，将a ＝4代入即可得；（3）根据题意得2122a k a a -+=++，解得3a k =+，根据12k W a +=+的解为正数得30k +>，进行计算即可得．(1)解：2112()2244a W a a a a =+÷-+-+ =2222(2)(2)(2)(2)(2)a a a a a a a a ⎡⎤+-+÷⎢⎥+-+--⎣⎦ =22(2)(2)(2)2a a a a a-+- =22a a -+ 解：∵a ，2，4恰好是等腰△ABC 的三边长，∴a ＝4，2422124263a W a --====++． (3) 解：由题意得，2122a k a a -+=++， 21a k -=+3a k =+ ∵12k W a +=+的解为正数， ∴30k +>，2320a k +=++≠3k >-．【点拨】本题考查了分式的化简求值，等腰三角形，分式方程，解题的关键是掌握这些知识点．【变式3】阅读下列材料：在学习“分式方程及其解法”的过程中，老师提出一个问题：若关于x 的分式方程14a x =-的解为正数，求a 的取值范围．经过独立思考与分析后，小明和小聪开始交流解题思路，小明说：解这个关于x 的方程，得到方程的解为4x a =+，由题目可得40a +>，所以4a >-，问题解决．小聪说：你考虑的不全面，还必须保证4a ≠-才行．(1)请回答：的说法是正确的，正确的理由是．完成下列问题：(2)已知关于x 的方程233m x x x -=--的解为非负数，求m 的取值范围； (3)若关于x 的方程322133x nx x x --+=---无解，求n 的值． 【答案】(1)小聪，分式的分母不能为0；(2)6m ≥-且3m ≠-；(3)1n =或53． 【解析】【分析】（1）根据分式有意义的条件：分母不能为0，即可知道小聪说得对；（2）首先按照解分式方程的步骤得到方程的解，再利用解是非负数即可求出m 的取值范围；（3）按照解分式方程的步骤去分母得到整式方程，若分式方程无解，则得到增根或者整式方程无解，即可求出n 的范围．(1)解：∵分式方程的解不能是增根，即不能使分式的分母为0∴小聪说得对，分式的分母不能为0．(2) 解：原方程可化为233m x x x +=-- 去分母得：2(3)m x x +=-解得：6x m =+∵解为非负数∴60m +≥，即6m ≥-又∵30x -≠∴63m +≠，即3m ≠-∴6m ≥-且3m ≠-(3) 解：去分母得：322(3)x nx x -+-=--解得：(1)2n x -=∵原方程无解∴10n -=或者3x =①当10n -=时，得：1n =②当3x =时，23(1)n =-，得：53n = 综上：当1n =或53n =时原方程无解．【点拨】本题考查了解分式方程以及根据分式方程的解确定参数范围，重点要掌握解分式方程的步骤：去分母化成整式方程；再解整式方程；验根．理解当分式方程无解时包含整式方程无解和有曾根两种情况．。
专题02整式乘法二元一次方程组分式方程中含参数问题共40题(原卷版)
专题02 整式乘法、二元一次方程组、分式方程中含参数问题【考点一 整式乘法中含参数问题】1．（2021·全国·七年级专题练习）若()3255x x ax -++的结果中不含4x 项，则=a ____________． 2．（2021·江苏·七年级专题练习）若()323232256x ax x b x c x x ++--=-+恒成立，则a b c ++=______．3．（2022·江苏·泰州市第二中学附属初中七年级期中）若（x +2m ）（x ﹣4）去括号后不含x 的一次项，则m 的值为__．4．（2022·贵州黔东南·八年级期末）多项式()()132ax x +-的乘积不含x 的一次项，则a 的值为______． 5．（2022·重庆一中七年级期中）若多项式2834x x +-与323421x mx x +-+的和不含二次项，则常数m 的值是______．6．（2021·山东青岛·期中）如果整式()()22321mx x x x +--+运算后不含2x 项，则m =__________．7．（2021·山东·东平县实验中学阶段练习）要使（﹣6x 3）（x 2+ax +5）+3x 4的结果中不含x 4项，则a 的值为_______8．（2021·江苏连云港·七年级期中）若()()2323x px q x x ++--展开后不含2x ，3x 项，则pq 的值是__________． 9．（2021·陕西·武功县教育局教育教学研究室七年级期末）若计算（x +m ）（4x 3）5x 所得的结果中不含x 的一次项，则常数m 的值为________．10．（2021·全国·八年级阶段练习）已知（x 2+mx +n ）与（x ﹣2）的乘积中，不含x 的一次项和x 的二次项，则m ﹣n 的值为 ___．【考点二 二元一次方程中含参数问题】1．（2022·云南·云大附中七年级期中）若()2320n m m x y --+=是二元一次方程，则m n +的值______．2．（2022·广东·东莞市竹溪中学七年级期中）已知方程212315a b x y +-+=是关于x 、y 的二元一次方程，则a +b 的值为_______．3．（2022·上海市民办桃李园实验学校期中）若1230m n x y +-+=是关于x ,y 的二元一次方程，则45m n +的值是________.4．（2022·湖北·咸宁市第三初级中学七年级期中）若()()2132420m nm n x y ---++=是关于x 、y 的二元一次方程，则m ＝______，n ＝______．5．（2019·湖南·湘潭市第十六中学七年级期中）若方程：2354237m n x y +-+=是关于x 、y 的二元一次方程，则m =______，n =_____．6．（2022·江苏·七年级专题练习）如果2120a b x y -++=是二元一次方程，则=a ____，b =_____．7．（2021·吉林·长春市第二实验中学七年级阶段练习）若方程13121m n x y -++=是二元一次方程，则mn 的值为______．8．（2021·浙江省衢州市衢江区实验中学七年级开学考试）方程(k 2－4)x 2+(2k －4)x +(k +3)y +3k ＝0中，若此方程为关于x ，y 的二元一次方程，则k 值为_____ ．9．（2022·江苏·七年级专题练习）若方程()2025135nm n x y---=是关于x ，y 的二元一次方程，则nm ＝__． 10．（2021·全国·七年级课时练习）若225432a b x y -+-=是关于x 和y 的二元一次方程，则=a ________，b =________．【考点三 二元一次方程组中含参数问题】1．（2022·吉林·长春市第二实验中学七年级阶段练习）已知12x y =⎧⎨=⎩是方程31mx y -=的解，则m 的值为_____．2．（2021·上海同济大学附属存志学校期末）若关于x ，y 方程组4258mx y x y +=⎧⎨+=⎩无解，则m ＝__________．3．（2022·重庆市巴川中学校七年级期中）若方程组121x y kx y +=+⎧⎨-=⎩的解满足x ﹣2y ＝﹣1，则k 的值为_________．4．（2022·四川攀枝花·七年级期中）若方程组28320mx y x y +=⎧⎨-=⎩的解是正整数，则正整数m =______．5．（2022·广西桂林·七年级期中）满足方程组42332x y mx y m +=⎧⎨+=+⎩的x ，y 互为相反数，则m =_________．6．（2021·全国·八年级单元测试）已知关于x 、y 的方程组210320mx y x y +=⎧⎨-=⎩有整数解，即x 、y 都是整数，m 是正整数，则m 的值是__．7．（2021·山东·日照市新营中学七年级期中）已知方程组351ax by x cy +=⎧⎨-=⎩，甲得正确的解23x y =⎧⎨=⎩，丙乙比较粗心，把c 给看错了，解的36x y =⎧⎨=⎩，则a b c ++=__________．8．（2021·四川省珙县巡场中学校七年级期中）若关于x 、y 的二元一次方程组22x y k k x y +=⎧⎪⎨-=⎪⎩的解也是二元一次方程346x y -=的解，则k 的值为_____________．9．（2021·浙江丽水·七年级期末）已知关于x ，y 的二元一次方程组66x y a b x y a b +=+-⎧⎨-=-+⎩（a ，b 为实数）．（1）若21x a =-，则a 的值是__________；（2）若x ，y 同时满足40ax by ++=，250x y ay +-=，则a b +的值是__________．10．（2021·江苏·苏州草桥中学七年级期末）若关于x 、y 的二元一次方程组111222,a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解为3,2x y =⎧⎨=⎩，则关于x 、y 的二元一次方程组111222(1)2,(1)2a x b y c a x b y c ++=⎧⎨++=⎩的解为________．【考点四 分式方程中含参数问题】1．（2022·四川成都·二模）己知关于x 的分式方程221-=+x ax 的解为4x =，则a 的值为（ ） A ．4B ．3C ．0D ．3-2．（2022·四川眉山·二模）若关于x 的分式方程3233x a a x x+=--无解，则a 的值为（ ） A ．1a =B ．12a =C ．1或12D ．1-或12-3．（2022·河南周口·八年级期末）若关于x 的分式方程21211--=--kx k x x无解，则k 的值为（ ） A ．13k =-B ．1k =C ．13k =或2D ．0k =4．（2022·山东淄博·一模）关于x 的分式方程16mx =+，下列说法正确的是（ ） A ．方程的解是x ＝m －6 B ．当m ＜6时，方程的解是负数 C ．当m ＞6时，方程的解是正数D ．以上说法均不正确5．（2022·四川·泸州市第二十八初级中学校一模）已知关于x 的方程241422x m m x x x -+=--+无解，则实数m 的取值是（ ） A ．1,22m m ==-B ．1,22m m =-=C ．10,2m m ==-D ．10,2m m ==6．（2022·山东济宁·八年级期末）若关于x 的分式方程7311+=--mx x 无解，则实数m =_______． 7．（2022·湖南常德·一模）若关于x 的分式方程232k x -=+的解为负数，则k 的取值范围是______． 8．（2022·四川南充·二模）已知关于x 的分式方程3122x m x x =+--的解是非负数，则m 的取值范围是_______． 9．（2022·四川广元·一模）若关于x 的分式方程1322m xx x-=---有增根，则实数m 的值是______． 10．（2022·湖南长沙·八年级期末）若关于x 的分式方程3411x mx x=+--的解为正数，则m 的取值范围是______．。
专题28 根据分式方程解的情况求参数-【微专题】2022-2023学年七年级数学下册常考点微专题
专题28 根据分式方程解的情况求参数（2022春·浙江金华·七年级统考期末）1. 若关于x 的方程333x a x x +--＝3a 有增根，则a 的值为（ ）A. ﹣1B. 17 C. 13 D. 1（2022春·浙江绍兴·七年级统考期末）2. 设m ，n 为实数，定义如下一种新运算：39n m n m =-☆，若关于x 的方程()()121a x x x =+☆☆无解，则a 的值是（ ）A. 4B. －3C. 4或－3D. 4或3（2022春·浙江宁波·七年级统考期末）3. 关于x 的方程31111x m x x --=++有增根，则m 的值是（ ）A. 1- B. 4 C. 4- D. 2（2022春·浙江宁波·七年级校考期末）4. 若关于x 的方程21201mx x x x +-=--无解，则m ＝_____．（2022春·浙江舟山·七年级统考期末）5. 若关于x 的方程1222x m x x ++=--有增根，则m 的值是______________．（2022春·浙江湖州·七年级统考期末）6. 若关于x 的方程5211ax x x =+--有增根，则a 的值是______．（2022春·浙江宁波·七年级统考期末）7. 若关于x 的分式方程211111k k x x x +-=--+有增根，则k 的值为______．（2022春·浙江杭州·七年级杭州外国语学校校考期末）8. 若关于x 的分式方程()()1222121x x x a x x x x --+-=-+-+的解是正数，则a 的取值范围是 _____．（2022春·浙江衢州·七年级统考期末）9. 关于x 的分式方程633x mx x x-=--（m 为常数）无解，则m 的值是______．（2022春·浙江·七年级统考期末）10. 关于x 的分式方程2111ax x x =+--有增根，则a 的值是______．（2022春·浙江绍兴·七年级统考期末）11. 若关于x 的分式方程133x a x x+=---有增根，则a=________．（2022春·浙江宁波·七年级统考期末）12. 关于x 的分式方程211111k k x x x --=--+有增根，则k =________．（2022春·浙江绍兴·七年级校联考期末）13. 若关于x 的分式方程14x x +-＝2﹣4a x -有增根，则常数a 的值是__．（2022春·浙江宁波·七年级校考期末）14. 关于x 的分式方程223242mx x x x +=--+无解，则m 的值为_______．（2022春·浙江金华·七年级统考期末）15. （一）教材阅读：“解分式方程一定要验根，即把求得的根代入原方程，或者代入原方程两边所乘的公分母，看分母的值是否为零，使分母为零的根我们说它是增根．”（二）知识应用：（1）小明说，方程224024x x x -=--无解，试通过解方程说明理由．（2）m 为何值时，方程2233x m x x-=---有增根．（2022春·浙江杭州·七年级杭州外国语学校校考期末）16. 已知，关于x 的分式方程1235a b x x x --=+-．（1）当2a =，1b =时，求分式方程的解；（2）当1a =时，求b 为何值时分式方程1235a b x x x --=+-无解；（3）若3a b =，且a 、b 为正整数，当分式方程1235a b x x x --=+-的解为整数时，求b 的值．（2021春·浙江金华·七年级统考期末）17. 关于x 的分式方程：223422mx x x x -=--+．（1）当m ＝3时，求此时方程的根；（2）若这个关于x 的分式方程会产生增根，试求m 的值．（2020春·浙江·七年级期末）18. 若关于x 的分式方程2213m x x x+-=-无解，求m 的值．19. 先阅读下面的材料，然后回答问题：方程1122x x +=+的解为12x =,212x =；方程1133x x +=+的解为13x =,213x =；方程1144x x +=+的解为14x =,214x =； …（1）观察上述方程的解,猜想关于x 的方程1155x x +=+的解是___；（2）根据上面的规律,猜想关于x 的方程11x a x a +=+的解是___；（3）猜想关于x 的方程x−1112x =的解并验证你的结论；（4）在解方程：21013y y y ++=+时,可将方程变形转化为(2)的形式求解，按要求写出你的变形求解过程．专题28 根据分式方程解的情况求参数（2022春·浙江金华·七年级统考期末）【1题答案】【答案】D【解析】【分析】首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到x ﹣3＝0，据此求出x 的值，代入整式方程求出a 的值即可．【详解】解：去分母，得：x ﹣3a ＝3a （x ﹣3），由分式方程有增根，得到x ﹣3＝0，即x ＝3，把x ＝3代入整式方程，可得：a ＝1．故选：D ．【点睛】本题主要考查了分式方程的增根，解答此题的关键是要明确：（1）化分式方程为整式方程；（2）把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．（2022春·浙江绍兴·七年级统考期末）【2题答案】【答案】D【解析】【分析】利用新定义的运算性质将原方程转化为分式方程，利用解分式方程的一般步骤求得分式方程的解，依据题意得到关于a 的方程，解方程即可求得结论．【详解】解：∵39n m n m =-☆，∴39x x x x =-☆，9123x x =-☆12，∴原方程为：1213939ax x x =+--，去分母得：ax =12+3x -9，移项，合并同类项得：（a -3）x =3，解得：33x a =-，∵关于x 的方程()()121a x x x =+☆☆无解，∴原方程有增根3或a -3=0，∴333a =-或a -3=0，解得：解得：a =4或a =3，故选：D ．【点睛】本题主要考查了解分式方程和分式方程的解，本题是新定义型，理解新定义中的运算性质并熟练应用是解题的关键．（2022春·浙江宁波·七年级统考期末）【3题答案】【答案】C【解析】【分析】由分式方程有增根，得到10x +=，求出x 的值，将原方程去分母化解为整式方程，将x 的值代入即可求出m 的值．【详解】由分式方程有增根，得到10x +=，解得：=1x -，分式方程31111x m x x --=++，去分母得311x m x --=+，将=1x -代入311x m x --=+中，得：3111m ---=-+，解得：4m =-，故选：C ．【点睛】本题考查了分式方程的增根，关键是求出增根的值，代入到分式方程化简后的整式方程中去求未知数参数的值．（2022春·浙江宁波·七年级校考期末）【4题答案】【答案】1或2【解析】【分析】去分母得（m -2）x +1=0，根据方程无解分情况讨论，求解即可．【详解】解：去分母，得mx+1﹣2x＝0，化简得（m﹣2）x+1＝0，当2x x-=0时，x＝0或x＝1当方程有增根为x＝0时，m不存在；当方程有增根x＝1时，得m﹣2+1＝0，即当方程有增根时m＝1；当m﹣2＝0时，原方程无解，此时m＝2，综上所述：m＝1或2，故答案为：1或2．【点睛】本题考查了分式方程的解，理解分式方程无解的含义是解题的关键．（2022春·浙江舟山·七年级统考期末）【5题答案】【答案】-1【解析】【分析】利用分式方程解法的一般步骤解分式方程，令方程的解为2得到关于m 的方程，解方程即可得出结果．【详解】解：去分母得：1−（x＋m）＝2（x−2），去括号得：1−x−m＝2x−4，移项，合并同类项得：−3x＝m−5，∴53mx-=．∵关于x的方程1222x mx x++=--有增根，∴x=2∴52 3m-=，∴m＝−1．故答案为：−1．【点睛】本题主要考查了解分式方程，分式方程的增根，理解分式方程增根的意义解答是解题的关键．（2022春·浙江湖州·七年级统考期末）【6题答案】【答案】5【解析】【分析】先将分式方程转化为整式方程，再根据分式方程的增根是使最简公分母为0的未知数的值，然后代入计算即可求得a 的值．【详解】解：将5211ax x x =+-- 两边乘以()1x -得：()521ax x =+-∵分式方程有增根，∴10x -=，解得1x =，∴将1x =代入()521ax x =+-，解得5a =．故答案为：5．【点睛】此题主要考查了分式方程的增根，解题关键是掌握增根的求解方法．（2022春·浙江宁波·七年级统考期末）【7题答案】【答案】1或13-##13-或1【解析】【分析】解分式方程，先将原方程变形为整式方程，然后根据方程有增根的概念可知，1x =或=1x -是原方程的增根，代入求值即可求解．【详解】解：方程左右两边同时乘以(1)(1)x x -+得：1(1)(1)k x k x +-+=-，∵原方程有增根，∴1x =或=1x -，当1x =时，1(11)(11)k k +-+=-，1k ∴=，当=1x -时，1(11)(11)k k +--+=--，13k ∴=-，故答案为：1或13-．【点睛】此题主要考查了分式方程的增根，以及解分式方程，正确理解相关概念准确计算是解题关键．（2022春·浙江杭州·七年级杭州外国语学校校考期末）【8题答案】【答案】5a >-且1a ≠-【解析】【分析】分式方程去分母后转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，根据解为正数列出不等式，求出不等式的解集得到a 的范围，且将x =-1，2代入求出a 的值，即可确定出a 的范围．【详解】解：()()1222121x x x a x x x x --+-=-+-+去分母得：()()()21122x x x x a -+--=+，解得：52a x +=，∵分式方程的解是正数，∴502a +>，解得：5a >-，根据题意得：10,20x x +≠-≠，∴2,1x x ≠≠-，∴522a +≠且512a +≠-，即1,7a a ≠-≠-，综上所述，a 的取值范围是5a >-且1a ≠-．故答案为：5a >-且1a ≠-【点睛】此题考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法是解本题的关键．（2022春·浙江衢州·七年级统考期末）【9题答案】【答案】-1或1##1或-1【解析】【分析】分式方程无解一是整理后的整式方程无解，求出对应的m的值，二是分式方程化为整式方程得到的解使分式方程的分母为0的根，把增根代入整式方程的方程即可求出m的值．【详解】解：633x mxx x-=--，方程两边都乘（x﹣3）得x﹣6＝﹣mx，即x+mx＝6，由于原方程无解，当m=-1时，整理后的整式方程无解，则原分式方程也无解；当m≠-1时，原分式方程有增根为x＝3，∴把x＝3代入x+mx＝6,即3+3m=6，解得m＝1．综上，则m=-1或m=1.故答案为：-1或1．【点睛】本题考查了分式方程无解的问题，正确区分分式方程无解和有增根的区别是解答本题的关键．（2022春·浙江·七年级统考期末）【10题答案】【答案】2【解析】【分析】解出分式方程去分母化简得a x- x＝1，根据分式方程有增根得增根为x＝1，所以a﹣1＝1，求出a的值．【详解】解：方程两边都乘以（x﹣1）得：a x＝2+x-1，即a x- x＝1，∵方程有增根，∴x﹣1＝0，∴x＝1，∴a﹣1＝1，∴a＝2．故答案为：2．【点睛】本题考查了解分式方程，增根，得到关于m 的方程是解题的关键．（2022春·浙江绍兴·七年级统考期末）【11题答案】【答案】3【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出a 的值即可．【详解】解：133x a x x+=---，去分母得： x −a ＝3-x ，由分式方程有增根，得到x −3＝0，即x ＝3，代入整式方程得：3−a ＝3-3，解得：a ＝3．故答案为：3．【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．（2022春·浙江宁波·七年级统考期末）【12题答案】【答案】3或13【解析】【分析】解分式方程，先将原方程变形为整式方程，然后根据方程有增根的概念可知，1x =或=1x -是原方程的增根，代入求值即可求解．【详解】解：方程左右两边同时乘以(1)(1)x x -+得：1(1)(1)k x k x --+=-∵原方程有增根∴1x =或=1x -，当1x =时，1(11)(11)k k --+=-3k ∴=当=1x -时，1(11)(11)k k ---+=--k ∴=13故答案为：3或13．【点睛】此题主要考查了分式方程的增根，以及解分式方程，正确理解相关概念准确计算是解题关键．（2022春·浙江绍兴·七年级校联考期末）【13题答案】【答案】5【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出x 的值，代入整式方程计算即可求出a 的值．【详解】解：去分母得：x +1＝2x ﹣8+a ，由分式方程有增根，得到x ﹣4＝0，即x ＝4，把x ＝4代入整式方程得：a ＝5．故答案为：5．【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．（2022春·浙江宁波·七年级校考期末）【14题答案】【答案】1或6或4-【解析】【分析】方程两边都乘以()()22x x +-，把方程化为整式方程，再分两种情况讨论即可得到结论．【详解】解：223242mx x x x +=--+ ，()()232222mx x x x x ∴+=-+-+，()()2232x mx x ∴++=-，()110m x ∴-=-，当1m =时，显然方程无解，又原方程的增根为：2x =±，当2x =时，15m -=-，4m ∴=-，当2x =-时，15m -=，6m ∴=，综上当1m =或4m =-或6m =时，原方程无解．故答案为：1或6或4-．【点睛】本题考查的是分式方程无解的知识，掌握分式方程无解时的分类讨论是解题的关键．（2022春·浙江金华·七年级统考期末）【15题答案】【答案】（1）理由见解析（2）m =1时方程有增根【解析】【分析】（1）方程两边同时乘以最简公分母(2)(2)x x +-，把方程化为整式方程，解方程并检验方程的根即可；（2）方程两边同时乘以最简公分母(3)x -，把方程化为整式方程，然后根据增根的定义求出增根，把增根代入计算即可求解．【小问1详解】解：去分母，得()2240x x +-=，解得x =2经检验：x =2是方程的增根，所以原方程无解；【小问2详解】解：去分母，得()223x m x -=---，化简，得4x m =-，因为方程有增根，所以34m =-，解得，m =1，所以m =1时，方程2233x m x x-=---有增根．【点睛】本图主要考查了解分式方程和分式方程增根的定义，正确理解分式方程增根的定义是解题的关键．（2022春·浙江杭州·七年级杭州外国语学校校考期末）【16题答案】【答案】（1）15x =- （2）1152或（3）3、29、55、185【解析】【分析】（1）将a 和b 的值代入分式方程，解分式方程即可；（2）把a 的值代入分式方程，分式方程去分母后化为整式方程，分类讨论b 的值，使分式方程无解即可；（3）将a =3b 代入方程，分式方程去分母化为整式方程，表示出整式方程的解，由解为整数和b 为正整数确定b 的取值．【小问1详解】解：把a =2，b =1代入原分式方程中，得：211235x x x --=+-，方程两边同时乘以()()235x x +-，得：()()()()()25123235x x x x x ---+=+-，解得：15x =-，检验：把15x =-代入()()2350x x +-≠，∴原分式方程的解为：15x =-．【小问2详解】解：把a =1代入原分式方程中，得：11235b x x x --=+-，方程两边同时乘以()()235x x +-，得：()()()()()523235x b x x x x ---+=+-，去括号，得：22523232715x x x bx b x x -++--=--，移项、合并同类项，得：()112310b x b -=-，①当1120b -=时，即112b =，原分式方程无解；②当1120b -≠时，得310112b x b-=-，Ⅰ.32x =-时，原分式方程无解，即31031122b b -=--时，此时b 不存在；Ⅱ.x =5时，原分式方程无解，即3105112b b-=-时，此时b =5；综上所述，1152b b ==或时，分式方程1235a b x x x --=+-无解．【小问3详解】解：把a =3b 代入分式方程1235a b x x x --=+-中，得：31235b x b x x -+=+-，方程两边同时乘以()()235x x +-，得：()()()()()3523235b x x b x x x -+-+=+-，()101815b x b +=-整理得：，解得：()1810195181519518101010b b x b b b+--===-+++，∵b 为正整数，x 为整数，∴10+ b 必为195的因数，10+b ≥11，∵195=3×5×13，∴195的因数有1、3、5、13、15、39、65、195，∵1、3、5都小于11，∴10十b 可以取13、15、39、65、195这五个数，对应地，方程的解x =3、5、13、15、17，又x =5为分式方程的增根，故应舍去，对应地，b 只可以取3、29、55、185，∴满足条件的b 可取3、29、55、185这四个数．【点睛】本题主要考查分式方程的计算，难度较大，涉及知识点较多．熟练掌握解分式方程的步骤是解决这三道小题的前提条件；其次，分式方程无解的两种情况要熟知，一是分式方程去分母后的整式方程无解，而是分式方程去分母后的整式方程的解是原分式方程的增根．总之，解分式方程的步骤要重点掌握．（2021春·浙江金华·七年级统考期末）【17题答案】【答案】（1）x =-5；（2）-4或6【解析】【分析】（1）把m =3代入分式方程，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出x 的值，代入整式方程计算即可求出m 的值．【详解】解：（1）把m =3代入方程得：2323422x x x x +=--+，去分母得：3x +2x +4=3x -6，解得：x =-5，检验：当x =-5时，（x +2）（x -2）≠0，∴分式方程的解为x =-5；（2）去分母得：mx +2x +4=3x -6，∵这个关于x 的分式方程会产生增根，∴x =2或x =-2，把x =2代入整式方程得：2m +4+4=0，解得：m =-4；把x =-2代入整式方程得：-2m =-12，解得：m =6．【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．（2020春·浙江·七年级期末）【18题答案】【答案】m 的值是-0.5或-1.5．【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，求出x 的值，代入整式方程求出m 的值或未知数的系数为0，求出m 即可．【详解】解：方程两边都乘x (x -3)，得()()()2323+--=-m x x x x x ，即()216m x +=-，当2m +1=0时，这个方程无解，此时m =-0.5，关于x 的分式方程2213m x x x+-=-无解，故x =0或x -3=0，即x =0或x =3，当x =0时，代入(2m +1)x =-6，得(2m +1)·0=-6，此方程无解，当x =3时，代入(2m +1)x =-6，得(2m +1)·3=-6，解得m =-1.5，综上所述，m 的值是-0.5或-1.5．【点睛】本题考查了分式方程的无解，一种方程的系数为零，一种是增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．【19题答案】【答案】（1）15=x ,215x = ；（2） 1x a =,21x a= ；（3）x 1=2,x 2=−12；（4）1222,3y y ==- ；【解析】【分析】（1）观察阅读材料中的方程解过程，归纳总结得到结果；（2）仿照方程解方程，归纳总结得到结果；（3）方程变形后，利用得出的规律得到结果即可；（4）方程变形后，利用得出的规律得到结果即可．【详解】（1）猜想方程1155x x +=+ 的解是1215,5x x == ；（2）猜想方程11x a x a+=+ 的解是1x a =，21x a=；(3)猜想关于x 的方程x−1112x =的解为x 1=2,x 2=12，理由为：方程变形得：x−112-2x =,即x+(−1x )=2+(−12),依此类推得到解为x 1=2,x 2=−12；（4）方程变形得：111313y y ++=++，可得13y +=或 113y +=，解得：1222,3y y ==-.【点睛】此题考查分式方程的解，解题关键在于找到基本规律掌握解分式方程的基本步骤.。