复变函数与积分变换课件 1-3章 暮燕飘零
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复变函数 第三章 复变函数的积分
C
{ u [ x ( t ), y ( t )] i [ v [ x ( t ), y ( t )]]}( x ' ( t ) iy ' ( t )) dt
i v x t,y () t) xt ' () u (()() x ty t) yt ' () } d t {(()
f[ z ( t)] z '( t) dt fz ( ) d z f [ z ( t ) ] zt ' ( ) d t
C
（ 3 . 6 ）
用（3.6）式计算复变函数的积分,是从积分路径的 参数方程着手,称为参数方程法.
例3.1 计算 z d z ,C : 从原点到点 3 4 i 的直线 . C y x3 t, 0t 1 , 解 直线方程为 A y 4 t ,
C C
u ( x , y ) d x v ( x , y ) d y iv ( x , y ) d x u ( x , y ) d y
C C
C
f ( z )d z
结 论 1 ： 当是 fz () 连 续 函 数 , C 是 光 滑 曲 线 时 ， () d z 一 定 存 在 。 fz 结 论 2 ： () d z 可 以 通 过 两 个 二 元 实 函 数 的 fz
k k
证明 令 z x iy x x x y y y k k k k k k 1 k k k 1
n
k n k k k k k k
n
u (k, x v(k, y k) k k) k
k 1 k 1 n n
k 1 n
{ u [ x ( t ), y ( t )] i [ v [ x ( t ), y ( t )]]}( x ' ( t ) iy ' ( t )) dt
i v x t,y () t) xt ' () u (()() x ty t) yt ' () } d t {(()
f[ z ( t)] z '( t) dt fz ( ) d z f [ z ( t ) ] zt ' ( ) d t
C
（ 3 . 6 ）
用（3.6）式计算复变函数的积分,是从积分路径的 参数方程着手,称为参数方程法.
例3.1 计算 z d z ,C : 从原点到点 3 4 i 的直线 . C y x3 t, 0t 1 , 解 直线方程为 A y 4 t ,
C C
u ( x , y ) d x v ( x , y ) d y iv ( x , y ) d x u ( x , y ) d y
C C
C
f ( z )d z
结 论 1 ： 当是 fz () 连 续 函 数 , C 是 光 滑 曲 线 时 ， () d z 一 定 存 在 。 fz 结 论 2 ： () d z 可 以 通 过 两 个 二 元 实 函 数 的 fz
k k
证明 令 z x iy x x x y y y k k k k k k 1 k k k 1
n
k n k k k k k k
n
u (k, x v(k, y k) k k) k
k 1 k 1 n n
k 1 n
复变函数与积分变换
C f ( z )dz lim 1 f ( k ) zk . n k
n
3.积分的性质
g 设 f ( z ) ， ( z ) 在曲线 C 上可积，则 C 1) C f ( z )dz C f ( z )dz ， 与 C 反向； 2) C Kf ( z )dz K C f ( z )dz，K 为常数；
习题：
1.设C是正向圆周z 1, 计算下列各积分的值。 dz dz dz 1 ） ; 2) ; 3) ; i z2 cos z c c c ( z )( z 2) 2 解：
dz 1) 0; z2 c dz 2) 0; cos z c 4i 3) 2i ; i i c ( z )( z 2) 2 i4 2 2 dz 1
z re i
z x iy
(5)代数表示:
5.运算 1)相等; 2)四则运算,及运算规律; 3)共轭运算,及运算规律; 4) z z r r [cos( ) i sin( )]
1 2 1 2 1 2 1 2
5)
z1 r 1 [cos(1 2 ) i sin(1 2 )] z2 r2 r i (1 2 ) 1e ． r2
2i
3.沿指定曲线计算下列各积分.
ez 1 ） z 2 dz, C : z 2 1; c ez 3) C ( z 1)( z 2) dz, C : z 3; eiz 3 2) 2 dz, C : z 2i ; z 1 2 c ez 4) 3 dz, C : z 2; C z
2 2
在区域x 0内连续，且 u v v u , 在区域x 0上成立时， 1, 2a x y x y 1 即，当a 时，函数f ( z )在区域x 0内是解析的。 2
复变函数课件-第三章复变函数的积分解读
1、复变函数积分的定义
设在复平面 C 上有一条连接 z 0 及 Z 两点的简单曲 线 C 。设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 是在 C 上的连续函数。其中 u(x,y)及v(x,y)是f(z)的实部及虚部。 把曲线C用分点 z0 , z1 , z2 ..., zn 1 , zn Z
C
f ( z )dz 0 f ( z )dz f ( z )dz 0 f ( z )dz f ( z )dz
C1 C2 C1 C2
b
a
C1
结论2: 周线C : f ( z )dz 0 C 函数f(z)的积分与路径无关,
目的
研究复积分与路径的无关性:
k
zk
C
z1
z0
复变函数的积分
分实部与虚部，有 n 1
[u (
k 1
k
k
, k ) iv( k , k )][( xk 1 xk ) i ( yk 1 yk )]
n 1
或者
u (
k 1 n 1 k 1
n 1
, k )( xk 1 xk ) v( k , k )( yk 1 yk )
max{| zk 1 zk | ( xk 1 xk ) ( yk 1 yk )
2 2
0 | k 0,1,2,..., n 1} 0
时，上面的四个式子分别有极限：
u( x, y)dx, v( x, y)dy, v( x, y)dx, u( x, y)dy,
C f ( z)dz C f ( z)dz, （4） 积分是在相反的方向上取的。
复变函数积分的性质：
第三章,复变函数的积分(1)
(4) 设曲线C的长度为L, 函数f (z)在C上满足
f (z) M , 则
C
f ( z )dz f ( z ) ds ML.
C
19
估值不等式
事实上,
f (
k 1
n k 1
n
k
)zk f ( k ) zk
k 1
n
n
f ( k ) sk M sk ML,
C C
10
定 理 2 设光滑曲线C由参数方程给出： C : z z ( t ) x( t ) iy( t ) ( t ),
z ( ) 是起点, z ( ) 是终点，f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y )
在包含C的区域D内连续，则
C
f ( z )dz
C
f ( z )dz 存在，
C f ( z )dz C udx vdy iC vdx udy
8
证 设 ζ ξ iη k k k 明
，则
zk zk zk 1 ( xk iyk ) ( xk 1 iyk 1 ) ( x k x k 1 ) i ( y k y k 1 ) x k i y k
β α
12
i v[ x( t ), y( t )] x( t ) u[ x( t ), y( t )] y ( t )dt .
f z ( t ) z ( t )dt
如果C是由C1, C2, …, Cn年等光滑曲线段依 次相互连接所组成的按段光滑曲线，那么定义
o
3 2
x
27
§3 基本定理的推广—复合闭路定理
复变函数课件第一章1-3节
2. 复球面的定义 球面上的点, 除去北极 N 外, 与复平面内的 点之间存在着一一对应的关系. 我们可以用球 面上的点来表示复数. 我们规定: 复数中有一个唯一的“无穷大”与复 平面上的无穷远点相对应, 记作∞. 因而球面上 的北极 N 就是复数无穷大∞的几何表示. 球面上的每一个点都有唯一的复数与之对 应, 这样的球面称为复球面.
L z1 z z2
(j=1,2)的直线；
（2）中心在点(0, -1), 半径为2的圆。 o x 解 （1） z=z1+t (z2-z1) （-∞<t <+∞）
( 2)
z − (− i ) = 2
y
例2 方程 Re(i z) = 3 表示 什么图形？ 解 设 z = x + iy
(z)
Re(iz ) = 3
例4.试用复数表示圆的方程 a( x 2 + y 2 ) + bx + cy + d = 0 (a ≠ 0, bc不全为0)
例5.证明 : z1 + z 2 + z1 − z 2 = 2 z1 + z 2
2 2 2
(
2
)
§2 复数的表示方法
1. 点的表示 2. 向量表示法 3. 三角表示法 4. 指数表示法
z1
z2 - z1
(三角不等式 )
o
z2
x
3. 三角表示法
⎧ x = r cosθ 由⎨ 得 ⎩ y = r sin θ
4. 指数表示法
再由Euler公式 : e iθ = cosθ + i sin θ得
z = r (cos θ + i sin θ )
z = re
复变函数ppt第三章
移向得
∫C0 f ( z)dz = ∫C1 f ( z)dz + ∫C2 f ( z)dz + L+ ∫Cn f ( z)dz
完
27
例3 设C为一简单闭光滑曲线, a∈C.计算积分 ∫ C
page47
dz . z−a
参考解答 a
C
r
a
C
Cr
(1)
(2)
完
28
dz 例4 计算积分 ∫ C 2 . 积分按逆时针方向,沿曲线 逆 z −z C进行,C是包含单位圆周|z|=1的任意一条光
31
定理3 定理3 设w=f(z) 在单连通区域D内解析,则由
F(z) = ∫ f (ξ )dξ
z0
z
z ∈ D (Th3-1)
定义的函数F(z)在D内解析,且
F ′( z ) = f ( z )
参考证明
完
32
牛顿－莱布尼兹公式
定理4 定理4 设w=f(z) 在单连通区域 单连通区域D内解析, Φ ( z )是f(z) 单连通区域 的任一原函数,那么
都含在C0内部,这n+1条曲线围成了一个多连通区域 多连通区域 D,D的边界 ∂D 称为复闭路 复闭路. 复闭路 左手法则定正向: 左手法则定正向 沿着D的边界走, 区域D的点总在 左手边.
C0
C3
C2 C1
∴当C0取逆时针, C1 , C2 ,L , Cn都取顺时针.
24
∂D = C 0 + C1 + C 2 +
第三章 复变函数的积分 复变函数
引言 复变函数积分的概念 柯西—古萨定理 柯西 古萨定理 柯西积分公式、 柯西积分公式、 解析函数的高阶导数公式 解析函数与调和函数的关系
《复变函数》第3章
§1 复变函数积分的概念
一、定义 1. 有向曲线: C : z z (t ) x(t ) iy(t ) 选定正方向: 起点 终点 C + 简单闭曲线正方向: P 沿正向前进, 曲线 内部在左方. 2. 复变函数的积分:(P70定义)
f ( z )dz
c
2014-10-20
( n ) k 1
复 变 函 数（第四版）
第三章 复变函数的积分
§1 §2 §3 §4 §5 §6 §7 复变函数积分的概念 柯西－古萨(Cauchy-Goursat)基本定理 基本定理的推广－复合闭路定理 原函数与不定积分 柯西积分公式 解析函数的高阶导数 解析函数与调和函数的关系
《复变函数》(第四版) 第1 页
2014-10-20
2014-10-20 《复变函数》(第四版) 第16页
条件放宽, C 为解析域 D 的边界. f (z)在D C D上连续 , 则 c f ( z )dz 0 例: 对任意 C .
c z
2
dz 0
c e dz 0 c sin z dz 0
2014-10-20 《复变函数》(第四版) 第17页
dz ire d i 2 dz ire c 0 n1 i ( n1) d n 1 ( z z0 ) r e i 2 i 0 n in d n r r e
2014-10-20 《复变函数》(第四版)
i
2 0
e in d
第7 页
( 接上页例 )
i [v( k ,k )xk u( k ,k )yk ] .
k 1
《复变函数》(第四版) 第3 页
n
2014-10-20
复变函数与积分变换第一章z专选课件
欢迎交流
复变函数与积分变换及应用背景
（莫里斯克莱恩 ）(1908-1992)
(《古今数学思想》(Mathematical Thought
from Ancient to Modern Times)的作者, 美国 数学史家) 指出: 从技术观点来看,十九世纪最 独特的创造是单复变函数的理论.这个新的数学 分支统治了十九世纪,几乎象微积分的直接扩展 统治了十八世纪那样.这一丰饶的数学分支,一直 被称为这个世纪的数学享受.它也被欢呼为抽象 科学中最和谐的理论之一.
“眼过十遍不如手过一遍”
“好记性不如烂笔头”。
学习方法之五部曲
做作业：
做作业是检验自己对听课、复习收获大小的 一个重要标志。也是深化听课、复习的继续。更 是培养、提高运算能力、综合运用所学知识去分 析问题解决问题能力的重要手段。
学习方法之五部曲
答疑：
在学习上遇到疑问时及时去请教老师,答疑 是向老师学习、请教的良好时机，请同学们利 用好它。 俗话说：“学问、学问，有学有问” 培根说过：“多问的人将多闻”。
是科学上的文化人，将来谁不知道 义的方法, 它开辟了Fourier分析这样一个近代数学 的重要分支. Fourier分析在物理、数学和工程技术上都有广 泛的应用. 对自然界的深刻研究是数学最富饶的源泉.
分形概念，也不能称为有知识。”
——物理学家 惠勒
常微分学常没分，
7.zz2Re(z),zz2iIm(z).
映射。
y 0.
y 0.
积分变换 的内容包括：傅里叶变换和拉普拉斯变换。
其中，课堂讲授的内容必须掌握，其余根据需要自学。
学习方法之五部曲
预习：
预习的目的是： 1、 使听课时心中有底，不至于被动地只
复变函数与积分变换及应用背景
（莫里斯克莱恩 ）(1908-1992)
(《古今数学思想》(Mathematical Thought
from Ancient to Modern Times)的作者, 美国 数学史家) 指出: 从技术观点来看,十九世纪最 独特的创造是单复变函数的理论.这个新的数学 分支统治了十九世纪,几乎象微积分的直接扩展 统治了十八世纪那样.这一丰饶的数学分支,一直 被称为这个世纪的数学享受.它也被欢呼为抽象 科学中最和谐的理论之一.
“眼过十遍不如手过一遍”
“好记性不如烂笔头”。
学习方法之五部曲
做作业：
做作业是检验自己对听课、复习收获大小的 一个重要标志。也是深化听课、复习的继续。更 是培养、提高运算能力、综合运用所学知识去分 析问题解决问题能力的重要手段。
学习方法之五部曲
答疑：
在学习上遇到疑问时及时去请教老师,答疑 是向老师学习、请教的良好时机，请同学们利 用好它。 俗话说：“学问、学问，有学有问” 培根说过：“多问的人将多闻”。
是科学上的文化人，将来谁不知道 义的方法, 它开辟了Fourier分析这样一个近代数学 的重要分支. Fourier分析在物理、数学和工程技术上都有广 泛的应用. 对自然界的深刻研究是数学最富饶的源泉.
分形概念，也不能称为有知识。”
——物理学家 惠勒
常微分学常没分，
7.zz2Re(z),zz2iIm(z).
映射。
y 0.
y 0.
积分变换 的内容包括：傅里叶变换和拉普拉斯变换。
其中，课堂讲授的内容必须掌握，其余根据需要自学。
学习方法之五部曲
预习：
预习的目的是： 1、 使听课时心中有底，不至于被动地只
复变函数与积分变换讲义详细讲课文档
3.指数形式与三角形式
利用直角坐标与极坐标的关系: x = r cos, y = r sin,
可以将z表示成三角表示式: zr(co issin )
利用欧拉公式 e i = cos + i sin 得指数表示式:
z rei (rz,Arzg)
例1 将下列复数化为三角表示式与指数表示式.
pp
1 )z 1 2 2 i; 2 )z sin ic o s . 55
建立和发展。
复变函数的理论和方法在数学、自然科学和工程技术
第五页，共21页。
中有着广泛的应用，是解决诸如流体力学，电磁学，
热学弹性理论中平面问题的有力工具。
复变函数中的许多概念，理论和方法是实变函数在复
数领域的推广和发展。
第六页，共21页。
第一讲 复数的代数运算及几何表示
教学重点：1.复习复数的基本概念 2.计算有关复数的典型题
数之间的关系。然而一直到C.Wessel (挪威.17451818)和R.Argand (法国.1768-1822） 将复数用平面 向量或点来表示，以及 K. F.Gauss(德国1777-1855)
与W.R.Hamilton (爱尔兰1805-1865)定义复数 a ib
为一对有序实数后，才消除人们对复数真实性的长久 疑虑，“复变函数”这一数学分支到此才顺利地得到
yy 12
x 2
i
xy 21 x2
x y 12
x 2
(z 2
0)
2
1
2
1
2
复数运算满足交换律,结合律和分配律:
z1+z2=z2+z1 ; z1z2=z2z1 ; z1+(z2+z3)=(z1+z2)+z3
高等数学复变函数与积分变换第一章 复数与复变函数
第一章 复数与复变函数第一节 复数1．复数域每个复数z 具有x iy +的形状，其中x 和R y ∈，1-=i 是虚数单位；x 和y 分别称为z 的实部和虚部，分别记作z x Re =，z y Im =。
复数111iy x z +=和222iy x z +=相等是指它们的实部与虚部分别相等。
如果0Im =z ，则z 可以看成一个实数；如果0Im ≠z ，那么z 称为一个虚数；如果0Im ≠z ，而0Re =z ，则称z 为一个纯虚数。
复数的四则运算定义为：)21()21()22()11(b b i a a ib a ib a ±+±=+±+)1221()2121()22)(11(b a b a i b b a a ib a ib a ++-=++ ()()11121221122222()222222a ib a a b b a b a b i a ib a b a b ++-=++++ 复数在四则运算这个代数结构下，构成一个复数域，记为C 。
2．复平面C 也可以看成平面2R ，我们称为复平面。
作映射：),(:2y x iy x z R C +=→，则在复数集与平面2R 之建立了一个1-1对应。
横坐标轴称为实轴，纵坐标轴称为虚轴；复平面一般称为z -平面，w -平面等。
3．复数的模与辐角复数z x iy =+可以等同于平面中的向量。
向量的长度称为复数的模，定(,)x y义为：||z向量与正实轴之间的夹角称为复数的辐角，定义为：Arg arctan 2y z i xπ=+（k Z ∈）。
复数的共轭定义为：z x iy =-；复数的三角表示定义为：||(cos sin )z z Argz i Argz =+；复数加法的几何表示：设1z 、2z 是两个复数，它们的加法、减法几何意义是向量相加减，几何意义如下图：关于两个复数的和与差的模，有以下不等式：（1）、||||||1212z z z z +≤+；（2）、||||||||1212z z z z +≥-； （3）、||||||1212z z z z -≤+；（4）、||||||||1212z z z z -≥-； （5）、|Re |||,|Im |||z z z z ≤≤；（6）、2||z zz =；例1．1试用复数表示圆的方程：22()0a x y bx cy d ++++= （0a ≠）其中a,b,c,d 是实常数。