第六讲 数的整除(二)
第6讲 数的整除性(二)
第6讲数的整除性（二）我们先看一个特殊的数——1001。
因为1001=7×11×13，所以凡是1001的整数倍的数都能被7，11和13整除。
例1 abcabc能否被7，11和13整除？分析与解：因为abcabc=abc×1001,1001是7,11和13的倍数，所以abcabc能被7，11和13整除的数的特征：如果数A的末三位数字所表示的数与末三位数以前的数字所表示的数之差（大数减小数）能被7或11或13整除，那么数A能被7或11或13整除。
否则，数A就不能被7或11或13整除。
例2 判断306371能否被7整除？能否被13整除？解：因为371-306=65，65是13的倍数，不是7的倍数，所以306371能被13整除，不能被7整除。
例3已知10□8971能被13整除，求□中的数。
解：10□8-971=1008-971+□0=37+□0。
上式的个位数是7，若是13的倍数，则必是13的9倍，由13×9-37=80，推知□中的数是8。
例4 说明12位数baabbaabbaab一定是3,7,12的倍数。
分析与解：要判别baabbaabbaab能否被3,7,12整除，可以先把这个12位数进行改写。
根据十进制数的意义，有baabbaabbaab=abba×100010001。
因为100010001各数位上数字之和是3，能够被3整除，所以这个12位数能被3整除。
根据能被7（或13）整除的数的特征，100010001与（100010-1=）100009要么都能被7（或13）整除，要么都不能被7（或13）整除。
同理， 100009与（ 100-9=）91要么都能被7（或13）整除，要么都不能被7（或13）整除。
因为91=7×13，所以100010001能被7和13整除，推知这个12位数能被7和13整除。
例5 如果41位数 个20555□个20999能被7整除，那么中间放歌内的数字是几？分析与解：根据能被7整除的数的特征，555555与999999都能被7整除，所以 个18555与个18999也能被7整除。
第六讲 数的整除
第六讲数的整除重点点击：我们除在课本中已经学习了能被2，3，5整除的整数的特征外，还需要掌握能被7，11，13等整除的整数的特征和性质，并能熟练地运用这些性质和特征来解决数的整除问题。
例题精讲例1 研究能被7、11、13整除的数的特征。
【点拨】可以通过对458315的分析，找出能被7、11、13整除的数的特征。
458315=458×1000+315=458×1000+458-458+315=458×1001- (458-315)因为1001=7×11×13，所以458×1001一定能被7、11、13 整除，如果458 - 315的差也能被7、11、13整除，那么4 58315就能被7、11、13整除。
而458- 315恰好是这个数的末三位与末三位前面的数所组成的数的差，因为458- 315 =143，143不能被7整除，所以458315就不能被7整除；143能被11和13整除，所以458315能被11和13整除。
能被7、l1、13整除的数的特征是：如果一个数的末三位数字所表示的数与末三位前面的数字所组成的数的差（大数减小数）能被7或11或l3整除，那么这个数就能被7或11或13整除。
练一练1、判断527436能不能被7，11，13整除。
2、判断2206525321能否被7，1 1，13整除。
3、判断下面各数能否被7，11，1 3整除。
(1) 378287(2)六位数ABCABC例2一个四位数9□2 □既有约数2，又是3的倍数，同时又能被5整除。
这个四位数最大是多少？【点拨】因为这个四位数有约数2，所以这个四位数的个位数字应该是0，2，4，6，8中的一个。
又因为这个四位数能被5整除，所以这个四位数的个位数字应垓是0或5中的一个。
因此这个四位数的个位数字只能是：0即9□20。
再根据这个四位数能被3整除的特征，可知9+□+2+0=11+□能被3整除：所以是□可以是1，4，7．其中最大的数字是7，故这个最大的四位数是9720。
数的整除(2)
【例1】(★★★)在865后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除，且使这个数值尽可能的小。
如：六位自然数2010□□能被99整除，末两位数有多少种情况？【例2】(★★★)在523后面写出三个数字，使所得的六位数被7、8、9整除。
那么这三个数字的和是_______【例3】(★★★★)某个七位数1993□□□能够同时被2，3，4，5，6，7，8，9整除，那么它的最后三位数字依次是多少?【例4】(★★★★)在六位数1111□□中的两个方框内各填入一个数字，使此数能被17和19整除，那么方框中的两位数是多少？数的整除（2）【例5】(★★★)右图中最上排有五个数，将相邻两个数的乘积写在它们之间下方的圈内。
第二排的四个数填完后，再依次填第三、四、五排，第五排中的数A的末尾共有多少个0？【例6】(★★★★)把自然数从1开始作连乘积，即1×2×3×4×…问：当乘到多少时，乘积的最末10位数字第一次全为0？在线测试题温馨提示：请在线作答，以便及时反馈孩子的薄弱环节！1．(★★★)在361后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除，且使这个数值尽可能的小，那么这个数是( )A．361010 B．361020 C．361000 D．3612302．(★★★)在278后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被7、8、9整除，那么这三个数字的和是( )A．6 B．8 C．10 D．133．(★★★★)某个七位数1999□□□能够同时被2、3、7、11整除，那么这个七位数最小是( )A．1999000 B．1999074 C．1999388 D．19994624．(★★★★)在六位数77□□77中的两个方框内各填入一个数字，使此数能被17和19整除，那么方框中的两位数是( )A ．28B ．36C ．48D ．605．(★★★)如下图，图中最上排有五个数，将相邻两个数的乘积写在它们之间下方的圈内。
初中数学《数的整除》讲义及练习 (2)
5-2数的整除教学目标本讲是数论知识体系中的一个基石，整除知识点的特点介于“定性分析与定量计算之间”即本讲中的题型有定性分析层面的也有定量计算层面的，是很重要的一讲，也是竞赛常考的知识板块。
本讲力求实现的一个核心目标是让孩子熟悉和掌握常见数字的整除判定特性，在这个基础上对没有整除判定特性的数字可以将其转化为几个有整除判定特性的数字乘积形式来分析其整除性质。
另外一个难点是将数字的整除性上升到字母和代数式的整除性上，这个对于学生的代数思维是一个良好的训练也是一个不小的挑战。
知识点拨一、常见数字的整除判定方法1. 一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；2. 一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除；一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；3. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除.4. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除.【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.）二、整除性质性质1 如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除．即如果c︱a，c︱b，那么c︱(a±b)．性质2 如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除．即如果b∣a，c∣b，那么c∣a．用同样的方法，我们还可以得出：性质3如果数a能被数b与数c的积整除，那么a也能被b和c整除．即如果bc∣a，那么b∣a，c∣a．性质4如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么a一定能被b 与c的乘积整除．即如果b∣a，c∣a，且(b，c)=1，那么bc∣a．例如：如果3∣12，4∣12，且(3，4)=1，那么(3×4) ∣12．性质5 如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除．如果b｜a，那么bm｜am（m为非0整数）；性质6如果数a能被数b整除，且数c能被数d整除，那么ac也能被bd整除．如果b｜a，且d｜c，那么bd｜ac；例题精讲模块一、常见数的整除判定特征【例 1】已知道六位数20□279是13的倍数，求□中的数字是几？【巩固】六位数2008能被99整除，是多少？【巩固】六位数20□□08能被49整除，□□中的数是多少？【例 2】173□是个四位数字。
五年级数的整除(二)
五年级数的整除（二）提高训练
时间：15分钟分数：
1．填空
（1）.在5、46、2、15、51、24、47、30中，能被2整除的有（）；能被3整除的有（）；能同时被3、5整除的有（）；能同时被2、3、5整除的有（）。
(2) 17加上( )后就成为一个同时能被2，5，3整除的最小整数。
(3)能同时被3和5整除的最大三位奇数是( )。
(4) 一个数是100的因数，是10的倍数，没有因数4，比25小，这个数是( )。
(5) 一个四位数5AA1能被9整除，A是( )o
2．把下面每组数的最大公因数填在括号里
12,14和18( ) 15，2和45( )
16，24和20( ) 36，42和32( )
3．选择题
(1)已知三个数的和是46，第一个数比第二数多17，第三个数比第一个数少18，这三个数的最大公因数是( )。
A.3
B.9
C.l D．11
(2)一个偶数，它的各位上数字的和27，如果个位上的数字是( )，这个数就能同时被2，5和3整除。
-
A.l
B.5
C.O
D.6
(3)甲、乙两数的最大公因数是7，甲数的3倍与乙数的5倍的最大公因数( )o
A．肯定是7 B．肯定不是7 C．不能肯定
4．筐里共有苹果96个，如果不一次拿出，也不一个个拿出，要求每次拿出的同样多，拿完时又正好不多不少，共有几种拿法？
5．选用O，l，2，5，6组成：
(1)能被2，3整除的最大三位数：
(2)能被3，5整除的最小三位数：
(3)能被2，5整除的最小四位数：
(4)能被2，3，5整除的最大四位数：。
小学数学 数的整除特征(二)
数的整除特征（二）上一讲我们介绍了一个数能被2、5；4、25；8、125；3、9整除的特征，这一讲我们继续讨论一些有关问题.请看下面例题：4239235=4000000+200000+30000+9000+200+30+5=4×（999999+1）+2×（100000+1-1）+3×（9999+1）+9×1000+1-1）+2×（99+1）+3×（10+1-1）+5=4×999999+4+2×（99990+11-1）+3×9999+3+9×（990+11-1）+2×99+2+3×（11-1）+5=（4×999999+2×99990+2×11+3×9999+9×990+9×11+2×99+3×11）+（4+3+2+5）-（2+9+3）上式第一个括号内的每一个数都能被11整除，所以它们的和也能被11整除.如果4239235能被11整除，那么（4+3+2+5）-（2+9+3）也能被11整除.反过来，如果（4+3+2+5）-（2+9+3）能被11整除，那么4239235也能被11整除.而上式第二个括号内的各数正好是4239235的奇数位上的四个数字，第三个括号内的各数正好是4239235的偶数位上的三个数字，从而我们便得到一个数被11整除的特征是：如果一个自然数的奇数位上数字和与偶数位上数字和的差能被11整除，那么这个数便能被11整除.否则这个数便不能被11整除.一个数被11整除还有另外一个特征：如果一个数的末三位数字所表示的数与末三位以前的数字所表示的数的差能被11（7、13）整除，那么这个数就能被11（7、13）整除，否则这个数就不能被11（7、13）整除.例1 将1，2，3，…，30从左到右依次排列成一个51位数123456…2930，试求这个51位数除以11的余数.分析与解前面指出一个数被11整除的特征是：这个数奇数位上数字和与偶数位上数字和的差能被11整除.从这个特征的导出过程中我们还可以看出：一个数奇数位上数字和与偶数位上数字和的差除以11的余数，与原数除以11的余数是相等的.利用这一性质便可求出问题的结果来.因为51位数123456…282930的奇数位上的数字分别是0，9，8，7，6，5，4，3，2，1，0，9，8，7，6，5，4，3，2，1，0，9，7，5，3，1，这些数字之和为：1+3+5+7+9+（1+2+3+4+5+6+7+8+9）×2=115这个数的偶数位上的数字分别是3，2，2，2，2，…，2，1，1，…，1，8，6，4，2，这些数字之和为：2×10+1×10+3+8+6+4+2=53115-53=62，62÷11=5 (7)所以这个51位数除以11的余数是7.此题恰巧是奇数位上的数字和大于偶数位上的数字和，所以计算起来比较方便，如果有一个18位数919293949596979899，问这个数除以11的余数是几？上述18位数奇数位上的数字和为（9+8+7+6+5+4+3+2+1=）45，偶数位上的数字和为（9×9=）81.现在是偶数位上的数字和大于奇数位上的数字和，81-45=36，36÷11=3…3.应该怎么计算呢？请同学们动脑筋想一想，告诉你们答案为8，即上述那个18位数除以11余8.例2 将1至9这九个数字，按图1所示的次序排成一个圆圈.请你在某两个数字之间剪开，分别按顺时针和逆时针次序形成两个九位数（例如，在1和7之间剪开，得到两个九位数是193426857和758624391）.如果要求剪开后所得到的两个九位数的差能被396整除，那么剪开处左右两个数字的乘积是几？分析与解396=4×9×11，而4、9、11两两互质，根据前面提到的有关整除的性质，考虑被396整除，只要分别考虑被4、9、11整除就行了.前面提到如果一个数的各个数位上的数字和是9的倍数，那么这个数一定能被9整除.现在无论从哪两个数字之间剪开，按顺时针或逆时针次序所得到的两个九位数，其各个数位上的数字和，都是1至9九个数字之和45，45能被9整除，因此两个九位数一定能被9整除，那么这两个九位数之差当然也能被9整除.再考虑除以11的情况.考虑一个数能否被11整除，只要考虑这个数奇数位上数字和与偶数位上数字和之差除以11的余数.现在无论从哪两个数字之间剪开后所得到的两个九位数，它们数字的顺序恰好是互相颠倒的，因此这两个九位数的奇数位上数字和与偶数位数字和之差是完全一样的，换句话说，这两个九位数除以11的余数相同，从而它俩的差一定能被11整除.最后考虑所得两个九位数之差能否被4整除.从一个数能被4整除的特征可以知道，只要这两个九位数的末两位数字组成的两位数之差能被4整除，那么这两个九位数的差一定能被4整除.因此只需考虑：剪开处左面两个数字组成的两位数与右面两个数字颠倒顺序后组成的两位数之差能否被4整除.只要这个差能被4整除，所得两个九位数之差就能被396整除，否则就不能被396整除.在1与9之间剪开：71-39=32，32能被4整除.在9与3之间剪开：43-19=24，24能被4整除.在3与4之间剪开：93-24=69，69不能被4整除.在4与2之间剪开：62-34=28，28能被4整除.在2与6之间剪开：86-42=44，44能被4整除.在6与8之间剪开：58-26=32，32能被4整除.在8与5之间剪开：75-68=7，7不能被4整除.在5与7之间剪开：85-17=68，68能被4整除.在7与1之间剪开：91-57=34，34不能被4整除.因此本题共有下面六个答案：1×9=9，9×3=27，4×2=8，2×6=12，6×8=48，5×7=35.例3 下面是某校购买72张课桌和77把课椅的发票.由于不小心浸水，烘干后发票上的一些数字都模糊不清了，每一个模糊不清的数字用□表示，请恢复发票中注有□的数字.则有a2+b2=7，a2+b2=16.又因由a2≥7，所以当a2+b2=7时，有a2=7，b2=0；当a2+b2=16时，有a2=7、8、9，b2=9、8、7.这一来课桌的总价可以是70776分，79776分，88776分，97776分.70776+32879=103655，79776+32879=112655，88776+32879=121655，97776+32879=130655，这四个和里只有103655符合要求，所以课桌的总为70776分，70776÷72=983，课桌的单价为983分，恢复后的发票如下：例4 在□内填上合适的数字，使六位数□1991□能被66整除.分析与解用x、y分别代表六位数□1991□的十万位与个位上□内的下面分别加以讨论.否被11整除.这三个数奇数位上数字和与偶数位上数字和之差分别为1、4、7，都不能被11整除，所以y=0时此题无解.519912、819912这三个数能否被11整除.这三个数奇数位上数字和与偶数位上数字和之差分别为0、3、6，只有0能被11整除，所以219912能被66整除.619914、919914这三个数能否被11整除.这三个数奇数位上数字和与偶数位上数字和之差分别为1、2、5，都不能被11整除，所以y=4时此题无解.419916、719916这三个数能否被11整除.这三个数奇数位上数字和与偶数位上数字和之差分别为5、2、1，都不能被11整除，所以y=6时此题无解.519918、819918这三个数能否被11整除.这三个数奇数位上数字和与偶数位上数字和之差分别为6、3、0，只有0能被11整除，所以819918能被66整除.只有1991、1991这两个数能被66整除.从例2到例4的解答中，我们看到掌握“如果一个数能被几个两两互质数中的每一个数整除，那么这个数也能被这几个两两互质数的乘积整除.反过来，如果一个数能被几个两两互质数的乘积整除，那么这个数也能同时被这几个两两互质的数整除”这一结论，对解决一些有关整除的问题，带来了很大的方便，并能在解题过程中，锻炼和培养我们分析问题与解决问题的能力.。
初中数学竞赛专题选讲-数的整除(二)
初中数学竞赛专题选讲数的整除（二）一、内容提要在初一部分的我们介绍了能被2，3，4，5，7，8，9，11，13，25整除的自然数的特征，本讲将介绍用因式分解方法解答数的整除问题.几个常用的定理，公式，法则：⑴ n 个连续正整数的积能被n ！整除.（n 的阶乘：n ！＝1×2×3×…×n ）.例如：a 为整数时，2a(a+1)， 6a(a+1)(a+2), 24a(a+1)(a+2)(a+3)，…… ⑵ 若a b 且a c, 则 a (b c).⑶ 若a, b 互质，且a c, b c ， 则ab c .反过来也成立：a, b 互质， ab c ， 则a c, b c.例如：8和15互质，8｜a, 15|a ， 则120｜a.反过来也成立： 若120｜a. 则 8｜a, 15|a.⑷由乘法公式（n 为正整数）推得：由(a －b)(a n-1+a n-2b+……+ab n-2+b n-1)=a n －b n . 得 (a －b)|(a n －b n ).(a+b)(a 2n －a 2n －1b+……ab 2n －1+b 2n )=a 2n+1+b 2n+1 . (a+b)|(a 2n+1+b 2n+1).(a+b)(a 2n －1－a 2n －2b+……+ab 2n －2－b 2n －1)=a 2n －b 2n . (a+b)|(a 2n －b 2n ).概括起来：齐偶数次幂的差式a 2n －b 2n 含有因式a ＋b 和a －b.齐奇数次幂的和或差式a 2n+1＋b 2n+1或a 2n+1－b 2n+1只分别含有因式a ＋b 或a －b. 例如（a+b ）| (a 6－b 6), (a －b)| (a 8－b 8)；(a+b)|(a 5+b 5)， (a －b)|(a 5－b 5).二、例题例1. 已知:整数n>2. 求证：n 5－5n 3+4n 能被120整除..证明：n 5－5n 3+4n ＝n(n 4－5n 2+4)=n(n －1)(n+1)(n+2)(n －2).∵(n －2) (n －1)n(n+1) (n ＋2)是五个连续整数，能被n!整除，∴ 120｜n 5－5n 3+4n.例2. 已知：n 为正整数. 求证：n 3+23n 2+21n 是3的倍数.证明：n 3+23n 2+21n ＝21n （2n 2+3n+1） =21n(n+1)(2n+1)=21n(n+1)(n+2+n －1) = 21n(n+1)(n+2)+ 21n(n+1)(n －1).∵ 3！｜n(n+1)(n+2)， 且3！｜n(n+1)(n －1)..∴ 3｜21n(n+1)(n+2)+ 21n(n+1)(n －1). 即n 3+23n 2+21n 是3的倍数. （上两例关鍵在于创造连续整数）例3. 求证：⑴ 33｜255＋1； ⑵ 1989｜（19901990－19881988）.证明：⑴ 255＋1＝25×11＋111＝3211＋111.∵(32＋1)|(3211+111 ) ， 即33｜255＋1.⑵ 19901990－19881988＝19901990－19881990＋19881990－19881988.（添两项）∵（1990＋1988）｜（19901990－19881990）.即1989×2｜（19901990－19881990）.∵ 19881990－19881988=19881988(19882－1)＝19881988（1988＋1）（1988－1）.即 19901990－19881988＝1989×2N ＋1989×19881988×1987. （N 是整数）∴ 1989｜19901990－19881988.例4 设n 是正整数， 求证：7｜（32n+1+2n+2）.证明：32n+1+2n+2＝3×32n +4×2n =3×9 n +4×2 n ＋3×2 n －3×2 n （添两项）＝（4×2 n ＋3×2 n ）＋（3×9 n －3×2 n ）＝（4＋3）＋3（9 n －2 n ）＝7×2 n ＋3（9－2）N . （N 是整数）∴7｜（32n+1+2n+2）（例3，4是设法利用乘法公式）例5. 已知8719xy 能被33整除，求x, y 的值.解：∵33＝3×11，∴1＋9+x+y+8+7其和是3的倍数， 即x+y=3K －25 (k 为整数).又（1＋x+8）－(9+y+7)其差是11的倍数，即x －y=11h+7(h 是整数).∵0≤x ≤9， 0≤y ≤9，∴0≤x ＋y ≤18，9≤x －y ≤9，x+y>x －y, 且 x+y 和x －y 同是奇数或偶数.符合条件的有⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧==48414711y x y x y x 或或 . 解得⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==629529y x y x y x 或或 . 例6.设N ＝782x ，且17｜N, 求 x..解：N ＝2078＋100x=17×122＋4＋17×6x －2x＝17×（122＋6x ）+4－2x.∵ 17｜N ，∴17｜4－2x ，当 4－2x=0.∴ x=2.三、练习1.要使2n+1能被3整除，整数n应取＿＿＿，若6｜（5 n－1）, 则整数n应取＿＿＿.2.求证：①4!|（n4+2n3－n2－2n）；②24｜n(n2－1)(3n+2)；③6｜（n3+11n）；④30｜（n 5－n）.3.求证：①100｜9910－1）；②57｜（23333＋72222）；③995｜（996996－994994）；④1992｜（997997＋995995）.4.设n是正整数，求证3 n+3n+2+62n能被33整除.5.求证：六位数abcabc能被7，11，13，整除.3xy能被77整除，求x,y的值.6.已知：五位数987.已知：a,b,c都是正整数，且6｜（a+b+c）.求证：6｜（a3+b3+c3）.练习题参考答案1.正奇数；正偶数2.①，②分解为4个连续整数③n(n-1)(n+1)+12n ④n(n-1)(n+1)(n2-4+5)3.②81111＋491111③添项－1，1④添项995997－9959974.化为3n(1+32)+36n=11×3n＋36 n－3n＝……5.7×11×13＝1001六位数105a+104b+103c+102a+10b+c=……6.仿例57.由6｜（a+b+c）可知a,b,c中至少有一个是偶数，且a3+b3+c3－3abc含有因式a+b+c [文章来源：教学视频网/转载请保留出处。
数的整除特征(二)
数的整除特征（二）（一）阅读思考1. 已知一个五位数能被72整除，求x与y的和。
分析：要求x与y的和，当然要先知道x与y各是多少。
这个数能被72整除，说明它能同时被8和9整除。
我们先来研究能被8整除，首先50400就能被8整除；在这个数上不断加8，得到50408、50416、50424、……、50496都能被8整除。
再从中找出能被9整除的数。
一共有2个，它们是50400和50472。
所以的和可能是，也可能是2. 丁丁去北戴河玩了五天，把这五天日历上的数相加，其和恰好是45。
问丁丁是几号去北戴河的？分析：丁丁一共玩了五天，说明这五天的号数应是五个连续自然数。
如果设中间的那天是a号，则这五天分别是：、根据题意，可以列式为：即这五天应是7、8、9、10、11号那么他是7号去的北戴河。
3. 有72名学生购买同种课外读物，共交了□67.9□元（□为辨认不清的数字）。
问每人交了多少钱？分析：我们可以先把□67.9□元转化为□679□分。
□679□分能被72整除，也可以说□679□能同时被8、9整除。
所以，79□应能被8整除，所以个位上的数字应该是2。
又因为□679□能被9整除，所以□＋6＋7＋9＋2＝□＋24能被9整除，□应该是3。
这个数是36792，所以学生共用了367.92元。
每人交了元。
（二）尝试体验1. 求一个首位数字为5的最小六位数，使这个数能被9整除，且各位数字均不相同。
2. 在568后面补上三个数字，组成一个六位数，使它分别能被3、4、5整除，且使这个数尽可能的小。
3. 五位数4H97H能被3整除，它的最末两位数字组成的数7H能被6整除，求这个五位数。
4. 有一个六位数□1989□能被44整除，求这个六位数。
5. 小马虎在一张纸上写了一个无重复数字的五位数3□6□5，其中十位数字和千位数字看不清了，但是这个五位数是75的倍数，那么满足上述条件的五位数有哪些？6. 用1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字每个数字各用一次，写出三个能被9整除的尽可能大的三位数，这三个数各是多少？【试题答案】（二）尝试体验1. 求一个首位数字为5的最小六位数，使这个数能被9整除，且各位数字均不相同。
数的整除(二)
数的整除（二）通过第一节课的学习，我们已经了解了数的整除的特征，知道了如何判断2、3、5、7、8、9、11、13等数的倍数的判断方法。
同学们我相信通过今天的学习，你会了解更多的关于自然数的特征，掌握有关这方面的知识。
例1、成成在文具店买了5笔记本，1支钢笔，3枝自动笔和6块橡皮。
已知笔记本每本2元，1枝钢笔5元。
自动笔和橡皮的价格成成记不清了。
售货员要成成付25元。
成成马上说售货员把帐算错了，你知道为什么吗？例2、51能被17整除，204能否被17整除？208能被26整除，26能被13整除，208能否被13整除？例3、3448×6894的积能否被72整除？例4、一个六位数85□56□能否被45整除，这个数除以5所得的商是多少？例5、从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个数中选出4个不同的数字，组成一个四位数，使它能同时被2、3、5、7整除。
这个数最大是几？例6、abcabc这个六位数能否被7整除？能否被11整除？能否被13整除？例7、学校为竖笛小组买了75根竖笛，发票上的总价有两个数字模糊不清，只看到3□7. □元，你知道每根竖笛至少多少元吗？例8、一个六位数165□□□能同时被4和9整除，这个六位数最大是多少？最小是多少？知识点小结:数的整除的性质：1、如果整数a、b能被c整除，则（a＋b）与（a—b）也能被c整除。
这叫做和、差的整除性。
2、如果整数a能被整数b整除，c是整数，则积ac也能被b整除。
这叫做积的整除性。
3、如果整数a能被整数b整除，b又能被c整除，则a能也能被c整除。
这叫做整除的传递性。
4、如果整数a能同时被b、c整除，且b、c互质，则a一定能被b和c的积整除。
我能行：1、小兵在文具店买了3本笔记本，1支钢笔，2枝自动铅笔和4块橡皮。
已知笔记本每本2元，1枝钢笔5元。
自动铅笔和橡皮的价格小兵记不清了。
售货员要小兵付18元。
小兵马上说售货员把帐算错了，你知道为什么吗？2、3448×6894的积能否被72整除？3、1328×3597的积能否被44整除？4、一个五位数7□57□能被72整除，这个数除以8所得的商是多少？5、从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个数中选出4个不同的数字，组成一个四位数，使它能同时被3、7、9整除。
二、数的整除(“数”指自然数)
二、数的整除（“数”指自然数）（一）整除的意义自然数a除以自然数b，如果除得的商是自然数而没有余数，我们就说a能被b整除，或b能整除a。
a是b的倍数，或b是a的因数（约数）。
（二）能被2、5；4、25；8、125；3、9；11；13整除的数的特征。
1、一个数个位上的数能被2（或5）整除，这个数就能被2（或5）整除。
2、一个数末两位的数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除。
3、一个数末三位的数能被8（或125）整除，这个数就能被8（或125）整除。
4、如果一个数的“奇数位数字和”与“偶数位数字和”的差（以大减小）能被11整除，这个数就能被11整除。
5、如果一个数的末三位数字所表示的数与末三位以前的数字所表示的数之差（大减小）能被7（或13）整除，这个数就能被7（或13）整除。
6、如果一个数的各位数字的和能被3（或9）整除，这个数就能被3（或9）整除。
（三）一个数的约数。
1、A=a x.b y A的约数的个数有：（x+1）(y+1)；A的全部约数的和为：（1+a1+a2+……+a x）（1+b1+b2+……+b y）2、甲数×乙数＝最大公约数×最小公倍数3、把一个自然数分成两个自然数的和，当所分成的两个自然数的值相等或最接近时，它们的积最大；当其中有一个自然数是1时，它们的乘积最小。
4、把一个自然数拆成几个数的积，应尽量多拆成“3”（但要避免“1”的出现）。
三、应用题（一）平均数应用题。
平均数＝总数量÷总份数；总数量=平均数×总份数；总份数＝总数量÷平均数（解答时应注意“总份数的单位”）（二）盈亏问题。
（盈+亏）÷份数的差（或每份的差）=每份量（或份数）（盈－盈）÷份数的差（或每份的差）=每份量（或份数）（亏－亏）÷份数的差（或每份的差）=每份量（或份数）（三）植树问题。
1、非封闭线的两端都有“点”时：点数= 段数+ 12、非封闭线只有一端有“点”时：点数= 段数3、非封闭线的两端都没有“点”时：点数= 段数－14、封闭线上的“点数”：点数= 段数注意：爬楼梯时，楼梯为“段”；楼层为“点”（四）和倍问题：小数=和÷（倍数+1）；大数=和÷（倍数－1）差倍问题：小数=差÷（倍数－1）和差问题：大数=（和＋差）÷2；小数=（和－差）÷2（五）行程问题。
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数的整除(二)教案设计
教学内容：《黄冈金牌数学72变》六年级上册第六讲（教材48页至56页）教学目标：
运用学习的性质来解决实际问题，培养学生熟练掌握并应用的能力。
教学重点：掌握数的整除的性质及其应用
教学难点：如何把数的整除的性质付之于应用。
教学方法：自主探究、合作交流。
教学准备：多媒体课件
教学过程：
一．复习旧知，导入新课。
师：同学们让我们回顾一下，什么叫整除，什么叫质因数，如何找出几个数的最小公倍数。
二．讲授新课:（1）.整除的性质
例1.四位数57A1能被9整除，求A。
思路点拨：依据性质1，依四位数57A1的各位数字的和应该是9的倍数。
解；5+7+A+1=A+13
因为四位数57A1能被9整除，故A+13应是9的倍数。
又因为A大于等于0小于等于9，所以A+13就大于等于13小于等于18，所以A=18-13=5.
三，巩固练习
1.六位数a8919b能被33整除，求a和b。
答案；33=3×11，因为a8919b能被33整除，所以a8919b同时是3与11的倍数，故a+8+9+1+9+b=27+a+b应是3的倍数，且（a+9+9）—
（8+1+b）=9+a-b应是11的倍数。
所以9+a-b是11的倍数，得出，a-b=2.故a-b是偶数，所以，a+b为偶数，因为27+a+b是3的倍数，所以a+b是3的倍数。
又因为a不为0，所以a+b不为0，又因为a-b=2，所以a+b不等于18，故a+b=6或者12，所以a=4，b=2.或a=7，b=5.
例2.在568后面补上三位数，组成一个六位数，使它分别能被3.4.5整除，且使这个数值尽可能小，求这个六位数。
.根据一个整数分别被3；4；5整除的特征，通过分析推理，探求应补上的三个数。
解；设所求的六位数为568abc，568abc能被5整除，所以c=0或5，又因为568abc能被4整除，所以c=0.
要使568abc的数值尽可能的小，则二位数bc=20
568abc能被3整除，5+6+8+a+b+c=21+a是3的倍数。
要使568abc尽可能的小，故a=0
所以，所求的六位数是568020.
巩固练习；
任意一个三位数连着写两次得到一个六位数，这个六位数一定同时能被7；11；13整除，这是为什么？
设任意一个三位数abc，则这六个数为abc×1000+abc=1001abc=7×11×13abc。
五．课堂小结：
1、这节课我们学习了什么内容？你有哪些收获？还有什么问题
吗？
师：今天我们学习了什么？你有什么收获。
2、总结，这节课我们学习了数的整除的基本性质及相关应用，理解并熟练营运整数的整除性质，以及数的整除特征。
总之在解整除问题时，要求我们能认真分析题意，找出题中的内在联系，用整除的基本性质与整除特征找到合适的方法，灵活解题，以求提高解题正确率。
六，下课。