【解析版】中考数学常考易错点：1.5《二次根式》(原创)
八年级数学下学期《二次根式》易错题集
《二次根式》易错题集易错题知识点1．忽略二次根式有意义的条件，只有被开方数a≥0时，式子a才是二次根式；若a<0，则式子a就不能叫二次根式，即a无意义。
2．易把2a与2)(a混淆。
3．二次根式的乘除法混合运算的顺序，一般从左到右依次进行或先把除法统一成乘法后，再用乘法运算法则计算。
4．对同类二次根式的定义理解不透。
5．二次根式的混合运算顺序不正确。
典型例题选择题1．当a＞0，b＞0时，n是正整数，计算的值是（）A．（b﹣a）B．（a n b3﹣a n+1b2）C．（b3﹣ab2）D．（a n b3+a n+1b2）考点：二次根式的性质与化简。
分析：把被开方数分为指数为偶次方的因式的积，再开平方，合并被开方数相同的二次根式．解答：解：原式=﹣=a n b3﹣a n+1b2=（a n b3﹣a n+1b2）．故选B．点评：本题考查的是二次根式的化简．最简二次根式的条件：被开方数中不含开得尽方的因式或因数．2．当x取某一范围的实数时，代数式的值是一个常数，该常数是（）A．29 B．16 C．13 D．3考点：二次根式的性质与化简。
分析：将被开方数中16﹣x和x﹣13的取值范围进行讨论．解答：解：=|16﹣x|+|x﹣13|，（1）当时，解得13＜x＜16，原式=16﹣x+x﹣13=3，为常数；（2）当时，解得x＜13，原式=16﹣x+13﹣x=29﹣2x，不是常数；（3）当时，解得x＞16；原式=x﹣16+x﹣13=2x﹣29，不是常数；（4）当时，无解．故选D点评：解答此题，要弄清二次根式的性质：=|a|，分类讨论的思想．3．当x＜﹣1时，|x﹣﹣2|﹣2|x﹣1|的值为（）A．2 B．4x﹣6 C．4﹣4x D．4x+4考点：二次根式的性质与化简。
分析：根据x＜﹣1，可知2﹣x＞0，x﹣1＜0，利用开平方和绝对值的性质计算．解答：解：∵x＜﹣1∴2﹣x＞0，x﹣1＜0∴|x﹣﹣2|﹣2|x﹣1|=|x﹣（2﹣x）﹣2|﹣2（1﹣x）=|2（x﹣2）|﹣2（1﹣x）=﹣2（x﹣2）﹣2（1﹣x）=2．故选A．点评：本题主要考查二次根式的化简方法与运用：a＞0时，=a；a＜0时，=﹣a；a=0时，=0；解决此类题目的关键是熟练掌握二次根式、绝对值等考点的运算．4．化简|2a+3|+（a＜﹣4）的结果是（）A．﹣3a B．3a﹣C．a+D．﹣3a考点：二次根式的性质与化简；绝对值。
中考数学常考易错点：1-5《二次根式》
1.5 二次根式易错清单1.你理解平方根和算术平方根的区别与联系吗?【例1】(2014·江苏南京)8的平方根是().A. 4B. ±4【解析】∵(±2)2=8,∴8的平方根是.【答案】 D【误区纠错】容易错误地选择C.2.你能发现二次根式的隐含条件吗?A. -1B. 0C. 1D. 2【解析】∵(m-1)2+=0,∴m-1=0,n+2=0.∴m=1,n=-2.∴m+n=1+(-2)=-1.【答案】 A【误区纠错】忘记考查二次根式有意义的条件,不知如何下手.3.a一定等于吗?【误区纠错】错误地把负数(x-1)直接平方后移到根号里面.4.在运算中常见错误.【解析】本题涉及特殊角的三角函数值、绝对值、二次根式化简、负指数四个考点.在计算时,需要针对每个考点分别进行计算,然后根据实数的运算法则求得计算结果.二次根式的加减只将系数相加减.【例5】(2014·四川成都)先化简,再求值:【解析】本题是一道关于分式化简和二次根式的综合类题,注意不能去掉分母.名师点拨1.能利用二次根式的概念及性质解决相关的问题.2.会利用二次根式的加减法则进行加减运算.3.能根据先乘除后加减法则进行二次根式的混合运算.提分策略1.二次根式的化简与计算.(1)利用二次根式的性质,先把每个二次根式化简,然后进行运算;在中考中二次根式常与零指数、负指数结合在一起考查.(2)此类分式与二次根式综合计算与化简问题,一般先化简再代入求值;最后的结果要化为分母没有根号的数或者是最简二次根式.2.二次根式的非负性.(2)若几个非负数的和等于零,则这几个数都为零.A. 20或16B. 20C. 16D. 以上答案均不对(1)若4是腰长,则三角形的三边长为:4,4,8,不能组成三角形;(2)若4是底边长,则三角形的三边长为:4,8,8,能组成三角形,周长为4+8+8=20,故选B.【答案】 B专项训练一、选择题3. (2014·安徽淮北五校联考)估计7-的值在().A. 1到2之间B. 2到3之间C. 3到4之间D. 4到5之间4. (2014·河北唐山模拟) 的运算结果是().(第5题)A. 2a+bB. -2a+bC. bD. 2a-b6. (2013·河北三模)一个正方形的面积等于10,则它的边长a满足().A. 3<a<4B. 5<a<6C. 7<a<8D. 9<a<107. (2013·山东德州特长展示)下列各式(题中字母均为正实数)中化简正确的是().二、填空题三、解答题10. (2014·山东禹城二模)先化简,再求值:11. (2014·上海长宁区二模)计算:12. (2014·内蒙古赤峰模拟)先化简,再求值:13. (2014·湖北黄石九中模拟)先化简,后计算:14. (2013·浙江温州一模)计算:15. (2013·湖北荆州模拟)先化简,再求值:参考答案与解析1. B[解析]二次根式化为最简二次根式后,如果被开方数相同就叫同类二次根式.2. C[解析]原式=a-2+a-3=2a-5.5. C[解析]原式=-a+(a+b)=b.6. A[解析]解题的关键是注意找出和10最接近的两个能完全开方的数.7. D[解析]考查二次根式的相关性质.。
2020年中考数学必考专题04 二次根式的运算(解析版)
专题04 二次根式的运算1．二次根式：形如式子a （a ≥0）叫做二次根式。
（或是说，表示非负数的算术平方根的式子，叫做二次根式）。
2．二次根式有意义的条件：被开方数≥0 3．二次根式的性质： （1）是非负数；（2）（a ）2=a （a ≥0）；（3）==a a 2（4）非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积， 即=·（a ≥0,b ≥0）。
（5）非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，即= （a ≥0,b>0）。
反之，4．最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。
5．同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
6．分母有理化：分母有理化就是通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程，混合运算中进行二次根式的除法运算，一般都是通过分母有理化而进行的。
7．分母有理化的方法：分子分母同乘以分母的有理化因式。
8．有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，则说这两个代数式互为有理化因式。
())0,0(0,0>≥=≥≥=⨯b a b ab a b a ab b a 专题知识回顾（＞0）（＜0）0 （=0）；9．找有理化因式的方法：（1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分。
如：①的有理化因式为，②的有理化因式为。
（2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分。
即的有理化因式为，的有理化因式为，的有理化因式为10．二次根式的加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再将同类二次根式分别合并。
一般地，二次根式的加减法可分以下三个步骤进行：（1）将每一个二次根式都化简成最简二次根式（2）判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类二次根式结合成一组（3）合并同类二次根式11．二次根式的乘法两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变，即（≥0，≥0）。
专题6二次根式易错题疑难题综合拓展题及2022中考真题集训(解析版)
专题6 二次根式易错题疑难题综合拓展题及2022中考真题集训类型一 易错题：教材易错易混题集训易错点1 考虑问题不全面典例1（2021春•+x 的取值范围是（ ）A ．x ＞﹣2B ．x ≥3C ．x ≥3且x ≠﹣2D ．x ≥﹣2思路引领：根据二次根式有意义的条件即可求出答案．解：由题意可知：x ―3≥0x +2＞0，解得：x ≥3，故选：B ．总结提升：本题考查二次根式以有意义的条件，解题的关键是正确理解二次根式的条件，本题属于基础题型．变式训练1．（2019•x 应满足的条件是（ ）A ．x ≠3B ．x ≤―13C ．x ≥―13且x ≠3D ．x ＞―13且x ≠3思路引领：根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．解：由题意得，1+3x ≥0，x ﹣3≠0，解得，x ≥―13且x ≠3，故选：C ．总结提升：本题考查的是二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数、分式分母不为0是解题的关键．易错点2 (0)a a =³时，忽略a ≥0典例2（2022春•乐陵市期末）先阅读材料，然后回答问题．（1经过思考，小张解决这个问题的过程如下：===在上述化简过程中，第 ④ 步出现了错误，化简的正确结果为 （2思路引领：（1|a |即可进行判断；（2）把被开方数化成完全平方的形式，然后利用二次根式的性质即可化简求解．解：（1）在化简过程中④故答案是：④―（2）原式====总结提升：本题考查了二次根式的化简求值，正确把被开方数化成完全平方的形式是本题的关键．变式训练1= ．思路引领：根据二次根式的性质和完全平方公式化简即可．===―1，―1．总结提升：本题考查了二次根式的性质和化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．2．对于题目：“化简并求值：1a+a =15”，甲、乙两人的解答不同．甲的解答是：1a 1a +1a ―a =2a―a =495，乙的解答是：1a 1a +a ―1a =a =15．阅读后你认为谁的解答是错误的？为什么？思路引领：已知二次根式具有双重非负性，即被开方数为非负数，二次根式的值为非负数，已知a =15，故可得1a ―a ＝5―15＞01a―a ，再对待求式进行化简求值即可解答题目．解：乙错误，理由如下：1a +=1a +=1a +|1a―a |．∵a =15，∴1a―a ＝5―15=245＞0，∴|1a ―a |=1a―a ，1a +1a +1a ―a =2a ―a =495．故乙的解答是错误的．总结提升：本题考查分式的化简求值，正确进行计算是解题关键．易错点3 忽视二次根式的隐含条件典例3阅读下列解答过程，判断是否正确．如果正确，请说明理由；如果不正确，请写出正确的解答过程．已知a ―a （a ﹣1思路引领：先根据二次根式有意义的条件求出a 的取值范围，再进行化简．解：不正确，∵﹣a 3＞0，∴a ＜0，―＝﹣＝（﹣a+1总结提升：本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的化简是解题的关键．变式训练1．（2022秋•长安区期中）求代数式a+a＝﹣2022．下面是小芳和小亮的解题过程，都是把含有字母式子先开方再进行运算的方法，请认真思考、理解解答过程，回答下列问题．小芳：解：原式＝a=a+1﹣a＝1小亮：解：原式＝a=a+a﹣1＝﹣4045（1） 的解法是错误的；（2）求代数式a a＝4―思路引领：（1）根据题意得到a﹣1＜0，根据二次根式的性质计算即可；（2）根据二次根式的性质把原式化简，代入计算即可．解：（1）∵a＝﹣2022，∴a﹣1＝﹣2022﹣1＝﹣2023＜0，1﹣a，∴小亮的解法是错误的，故答案为：小亮；（2）∵a＝4∴a﹣3＝4――3＝1―0，3﹣a，则a＝a＝a+2（3﹣a）＝6﹣a，当a＝4―6﹣（4―2+总结提升：=|a|是解题的关键．易错点4 成立的条件是a≥0，b≥0典例4（2022春•⋅x的取值范围是（ ）A．x≥1B．x≥0C．0≤x≤1D．x为任意实数思路引领：根据二次根式有意义的条件列不等式组求解．解：由题意可得x≥0x―1≥0，解得：x≥1，故选：A．总结提升：a≥0）是解题关键．变式训练1．（2021春•―(x x的取值范围是（ ）A．x≥﹣1B．x≥﹣2C．x≤﹣1D．﹣2≤x≤﹣1思路引领：根据二次根式化简与有意义的条件，即可求得：x+1≤0x+2≥0，解此不等式组即可求得答案．=―（x+1∴x+1≤0 x+2≥0，解得：﹣2≤x≤﹣1．故选：D．总结提升：此题考查了二次根式化简与有意义的条件．此题比较简单，注意掌握二次根式有意义的条件．易错点5 运用想当然的运算法则典例5（2021秋•÷解：原式=―①=②=(2―③=④（1）老师认为小明的解法有错，请你指出小明从第 步开始出错的；（2）请你给出正确的解题过程．思路引领：根据二次根式的运算法则即可求出答案．解：（1）③，故答案为：③．（2）原式＝＝―＝总结提升：本题考查二次根式的运算法则，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则．变式训练1．（2022春•―=4．他的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．思路引领：根据二次根式的加减法的法则进行分析即可．解：有错误，＝＝总结提升：本题主要考查二次根式的加减法，解答的关键是对二次根式的加减法的法则的掌握．易错点6 误用乘法公式典例6（2022秋•金水区校级期中）计算：下面是李明同学在解答某个题目时的计算过程，请认真阅读并完成相应任务．222+22+2……第一步＝10……第三步任务一：填空：以上步骤中，从第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ；任务二：请写出正确的计算过程；任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就二次根式运算时还需注意的事项给其他同学提一条建议．思路引领：任务一：利用完全平方公式进行计算即可解答；任务二：先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答；任务三：根据在进行二次根式运算时，结果必须化成最简二次根式，即可解答．解：任务一：填空：以上步骤中，从第一步开始出现错误，这一步错误的原因是完全平方公式运用错误，故答案为：一，完全平方公式运用错误；任务二：222+2﹣[2﹣+2]＝5﹣（6﹣+5）＝5﹣5＝任务三：在进行二次根式运算时，结果必须化成最简二次根式．总结提升：本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．易错点7 运用运算律出现符号错误典例7（2022秋•迎泽区校级月考）下面是小明同学进行实数运算的过程，认真阅读并完成相应的任务：×+1)︸①×︸②第一步―10+2……第二步―8……第三步任务一：以上化简步骤中第一步中：标①的运算依据是 ；标②的运算依据是 （运算律）．任务二：第 步开始出现错误，错误原因是 ，该式运算后的正确结果是 ．思路引领：利用二次根式的性质、二次根式的加减法法则、除法法则计算可得结论．解：任务一、①由②的运算依据是乘法的分配律；故答案为：二次根式的性质．乘法的分配律；任务二、从第二步开始出现错误．×+1)×1―10﹣2―12，故答案为：任务一：二次根式的性质；乘法的分配律．任务二：①12．总结提升：本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质及运算法则是解决本题的关键．变式训练1．（2022春•12(的过程，请认真阅读并完成相应的任务．―12(―12(2第一步―12×―12×第二步第三步第四步=―第五步任务一：小明同学的解答过程从第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ．任务二：请你写出正确的计算过程．思路引领：先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答．解：（1）任务一：小明同学的解答过程从第二步开始出现错误，这一步错误的原因是去括号后，括号内第二项没有变号，故答案为：二；去括号后，括号内第二项没有变号；（2―12(―12(2总结提升：本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．易错点8 滥用运算律典例8（2021秋•迎泽区校级月考）下面是小倩同学进行实数运算的过程，认真阅读并完成相应的任务：÷1 )第一步1⋯第二步+2第三步+2﹣10…第四步―8…第五步任务一：以上化简步骤中第一步化简的依据是 ．任务二：第 二 步开始出现错误，该式运算后的正确结果是 ．思路引领：利用二次根式的性质、二次根式的加减法法则、除法法则计算可得结论．故答案为：二次根式的性质．任务二、从第二步开始出现错误．÷1)÷1）=2+4++52总结提升：本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质及运算法则是解决本题的关键．类型二疑难题：常考疑难问题突破疑难点1 二次根式非负性的应用1．已知实数a 满足|2019﹣a |+a ，求a ﹣20192的值．思路引领：首先由二次根式有意义的条件来去绝对值，得到a ﹣2019a ，由此得到a ﹣20192＝2019．解：∵a ﹣2019≥0，∴a ＞2019．∴由|2019﹣a |+=a 得到a ﹣2019+a ，整理，得a ﹣2019＝20192．∴a ﹣20192＝2019．总结提升：a ≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．疑难点2 整体思想在二次根式中的应用2．（2018春•禹州市期中）已知a =+1，b ―1（a b +b a―1）的值思路引领：先由a 、b 的值计算出ab 、a +b 的值，再代入到原式=•a 2b 2abab a 2得．解：∵a =1，b =―1，∴a +b ＝ab 1）1）＝2，则原式=•a 2b 2ab ab＝总结提升：本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及完全平方公式．3．（1）已知x =x 2﹣2x +5的值；（2）若a ＝2b ＝2，求a思路引领：（1）先把x 2﹣2x +5化简，再代入求值；（2）先把a―解：（1）由x 2+1，∴x 2﹣2x +5+1）2﹣2+1）+5＝―2+5＝7；（2=a =ab a b，当a ＝2+b ＝2―原式=总结提升：先化简再代入，应该是求值题的一般步骤；不化简，直接代入，虽然能求出结果，但往往导致繁琐的运算．疑难点3 判断求知问题4．（2019春•西湖区校级期中）王老师为了解学生掌握二次根式知识的情况，出了这样一道题：“根据所给”粗心的黎明同学把式子看错了，他根据条件得到2”思路引领：2，继而求出答案．解：45﹣x 2﹣（35﹣x 2）＝10，2，5．总结提升：本题考查二次根式的乘除法运算，难度不大，关键是平方差公式的运用．类型三 综合拓展题：思维能力专项特训专题1 二次根式性质的应用1．（2022秋•+|2a ﹣b +1|＝0，则（b ﹣a ）2022＝（ ）A ．﹣1B ．1C ．52022D ．﹣52022思路引领：因为算术平方根具有非负性，在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，若+|2a ﹣b +1|＝0，则a +b +5＝0，2a ﹣b +1＝0，联立组成方程组，解出a 和b 的值即可解答．|2a ﹣b +1|＝0，∴a+b+5=02a―b+1=0，解得a=―2 b=―3，∴（b﹣a）2022＝（﹣3+2）2022＝（﹣1）2022＝1．故选：B．总结提升：本题考查了非负数的性质以及解二元一次方程组，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列出关于a、b的方程是解题的关键．2．已知x、y为实数，且y=+12，求5x﹣3y的值．思路引领：根据二次根式有意义的条件列出不等式，求出x、y的值，计算即可．解：由题意得，3x﹣4≥0，4﹣3x≥0，解得，x=4 3，∴y=1 2，则5x﹣3y＝5×43―3×12=316．总结提升：本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．3．（2022春•大连月考）已知实数a在数轴上的对应点位置如图，则化简|a―1|―（ ）A．2a﹣3B．﹣1C．1D．3﹣2a思路引领：根据数轴上a点的位置，判断出（a﹣1）和（a﹣2）的符号，再根据非负数的性质进行化简．解：由图知：1＜a＜2，∴a﹣1＞0，a﹣2＜0，原式＝a﹣1﹣[﹣（a﹣2）]＝a﹣1+（a﹣2）＝2a﹣3．故选：A．总结提升：此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出a﹣1＞0，a﹣2＜0是解题关键．4．当x+6有最小值，最小值为多少？思路引领：≥0，可以得出最小值．0，∴当x =―12时，6有最小值，最小值为6．总结提升：本题考查了算术平方根．解题的关键是掌握算术平方根的非负性．5．（2019秋•渠县校级期中）已知x 、y 、a 满足：+=x 、y 、a 的三条线段组成的三角形的面积．思路引领：直接利用二次根式的性质得出x +y ＝8，进而得出：3x ―y ―a =0x ―2y +a +3=0x +y =8，进而得出答案．解：根据二次根式的意义，得x +y ―8≥08―x ―y ≥0，解得：x +y ＝8，0，根据非负数得：3x ―y ―a =0x ―2y +a +3=0x +y =8，解得：x =3y =5a =4，∴可以组成直角三角形，面积为：12×3×4＝6．总结提升：此题主要考查了二次根式的应用，正确应用二次根式的性质是解题关键．专题2 二次根式大小比较方法1 平方法1．（2022•思路引领：++解：2=202=∴20+故答案为：＜．总结提升：（1）此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．（2）解答此题的关键是比较出两个数的平方的大小关系．方法2 分子有理化法2．认真阅读下列解答过程：比较2―解：∵2―（2―1，=1，又20即22的大小关系．思路引领：认真阅读题目，然后依据题目所给的方法进行比较即可．―2=21，2＞0，＜1．2．总结提升：1，―2=1是解题的关键．方法3 作商法3．利用作商法比较大小思路引领：根据作商比较法，看最后的比值与1的大小关系，从而可以解答本题．=×=1，总结提升：本题考查分母有理化、实数大小的比较，解题的关键是明确作商法比较大小的方法．方法四定义法4思路引领：根据非负数的性质和有理数大小的比较方法即可得到结论．解：∵5﹣a≥0，∴a≤5，∴a﹣6＜0，00，总结提升：本题考查的是实数的大小比较，要善于借助一个中间数作桥梁是解决问题的关键．专题3 二次根式的运算5．（2019秋•皇姑区校级月考）计算：（1）（2）―÷（3）(1―――1)2．（4―11)―20180――2|．思路引领：（1）直接化简二次根式进而合并即可；（2）直接利用二次根式的混合运算法则进而得出答案；（3）直接利用二次根式的混合运算法则计算进而得出答案；（4）直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质分别化简进而得出答案．解：（1）原式＝+＝（2）原式＝（＝﹣1；（3）原式=+―（12+1﹣=――＝﹣―（4）原式＝3――1﹣2=总结提升：此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．专题4 二次根式的求值6．（2022秋•宁德期中）已知：x =y =（1）填空：|x ﹣y |＝ ；（2）求代数式x 2+y 2﹣2xy 的值．思路引领：（1）根据二次根式的减法运算法则计算即可．（2）将代数式转化为（x ﹣y ）2，再分别求出x ﹣y 和xy 的值，进而可得答案．解：（1）|x ﹣y |＝||＝+=故答案为：（2）x 2+y 2﹣5xy ＝（x ﹣y ）2，∵x ﹣y =∴（x ﹣y ）2﹣3xy =2=8．即代数式x 2+y 2﹣2xy 的值为8．总结提升：本题考查二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．7．（2020春•川汇区期末）计算题：已知x +1x x ―1x 的值．思路引领：根据平方差公式计算；∵x +1x∴（x +1x）22，∴x 2+2+1x 2=5，∴x 2﹣2+1x 2=5﹣4，∴（x ―1x）2＝1，∴x―1x=±1．总结提升：本题考查的是分式的化简求值、二次根式的乘法，熟记平方差公式、完全平方公式是解题的关键．8．（2017秋•昌江区校级期末）已知正数m、n满足m4n＝3，求值：思路引领：由m4n＝3得出2﹣2﹣3＝0，―13，代入计算即可．解：∵m4n＝3，2+（2﹣23＝0，2﹣2+3＝0，1）+―3）＝0，―1+=3，∴原式=3232012=12015．总结提升：本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的运用及二次根式性质．类型四中考真题：精选2022中考真题过关1．（2022•内蒙古）实数a1+|a﹣1|的化简结果是（ ）A．1B．2C．2a D．1﹣2a思路引领：根据数轴得：0＜a＜1，得到a＞0，a﹣1＜0=|a|和绝对值的性质化简即可．解：根据数轴得：0＜a＜1，∴a＞0，a﹣1＜0，∴原式＝|a|+1+1﹣a＝a+1+1﹣a＝2．故选：B．总结提升：=|a|是解题的关键．2．（2022•安顺）估计（A．4和5之间B．5和6之间C．6和7之间D．7和8之间思路引领：直接利用二次根式的性质结合估算无理数的大小方法得出答案．解：原式＝2∵34，∴5＜2+6，故选：B．总结提升：此题主要考查了二次根式的混合运算，估算无理数的大小，正确估算无理数是解题关键．3．（2022•x的取值范围是（ ）A．x＞2B．x＜2C．x≤2D．x≥2思路引领：根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数即可得出答案．解：∵3x﹣6≥0，∴x≥2，故选：D．总结提升：本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件：被开方数是非负数是解题的关键．4．（2022•广州）代数式1有意义时，x应满足的条件为（ ）A．x≠﹣1B．x＞﹣1C．x＜﹣1D．x≤﹣1思路引领：直接利用二次根式有意义的条件、分式有意义的条件分析得出答案．解：代数式1有意义时，x+1＞0，解得：x＞﹣1．故选：B．总结提升：此题主要考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，正确掌握相关定义是解题关键．5．（2022•聊城）射击时，子弹射出枪口时的速度可用公式v=a为子弹的加速度，s 为枪筒的长．如果a＝5×105m/s2，s＝0.64m，那么子弹射出枪口时的速度（用科学记数法表示）为（ ）A．0.4×103m/s B．0.8×103m/s C．4×102m/s D．8×102m/s思路引领：把a＝5×105m/s2，s＝0.64m代入公式v=解：v=8×102（m/s），故选：D．总结提升：此题主要考查了二次根式的性质与化简以及科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．6．（2022•x﹣2在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）A．x＞﹣1B．x≥﹣1C．x≥﹣1且x≠0D．x≤﹣1且x≠0思路引领：根据二次根式的被开方数是非负数，a﹣p=1a p（a≠0）即可得出答案．解：∵x+1≥0，x≠0，∴x≥﹣1且x≠0，故选：C．总结提升：本题考查了二次根式有意义的条件，负整数指数幂，掌握二次根式的被开方数是非负数，a﹣p=1a p（a≠0）是解题的关键．7．（2022•荆州）若3―a，小数部分为b，则代数式（2+）•b的值是 ．思路引领：3―a、b的值，代入所求式子计算即可．解：∵12，∴1＜3―2，∵若3―a，小数部分为b，∴a＝1，b＝31＝2∴（2+）•b＝（2+（2―2，故答案为：2．总结提升：本题考查了估算无理数的大小的应用，解题的关键是求出a、b的值．8．（2022•随州）已知m为正整数，=m有最小值3×7＝21．设n1的整数，则n的最小值为 ，最大值为 ．思路引领：n最小为31越小，300 n越小，则n=2时，即可求解．∴n最小为3，1的整数，越小，300n越小，则n 越大，2时，300n=4，∴n ＝75，故答案为：3；75．总结提升：本题考查二次根式的乘除法，二次根式的性质与化简，解题的关键是读懂题意，根据关键词“大于”，“整数”进行求解．9．（2022•遂宁）实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，化简|a +1|― ．思路引领：根据数轴可得：﹣1＜a ＜0，1＜b ＜2，然后即可得到a +1＞0，b ﹣1＞0，a ﹣b ＜0，从而可以将所求式子化简．解：由数轴可得，﹣1＜a ＜0，1＜b ＜2，∴a +1＞0，b ﹣1＞0，a ﹣b ＜0，∴|a +1|＝a +1﹣（b ﹣1）+（b ﹣a ）＝a +1﹣b +1+b ﹣a＝2，故答案为：2．总结提升：本题考查二次根式的性质与化简、实数与数轴，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．10．（2022•内蒙古）已知x ，y 是实数，且满足y+18，则的值是 ．思路引领：根据负数没有平方根求出x 的值，进而求出y 的值，代入计算即可求出值．解：∵y =18，∴x ﹣2≥0，2﹣x ≥0，∴x ＝2，y =18，则原式==12，故答案为：12总结提升：此题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．11．（2022•济宁）已知a ＝2+b ＝2―a 2b +ab 2的值．思路引领：利用因式分解，进行计算即可解答．解：∵a ＝2b ＝2∴a 2b +ab 2＝ab （a +b ）＝（2+（2（2+2―＝（4﹣5）×4＝﹣1×4＝﹣4．总结提升：本题考查了二次根式的混合运算，代数式求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．12．（2022•河池）计算：|﹣3﹣1―（π﹣5）0．思路引领：先去绝对值，计算负整数指数幂，零指数幂和二次根式乘法，再合并即可．解：原式＝―13―1=23．总结提升：本题考查实数的混合运算，解题的关键是掌握实数相关运算的法则．13．（2022•泰州）（1×（2）按要求填空：小王计算2x x 24―1x 2的过程如下：解：2x x 24―1x 2=2x (x 2)(x 2)―1x 2⋯⋯第一步=2x (x 2)(x 2)―x 2(x 2)(x 2)⋯⋯第二步=2x x2(x2)(x2)⋯⋯第三步=x2(x2)(x2)⋯⋯第四步=1x2．……第五步小王计算的第一步是 （填“整式乘法”或“因式分解”），计算过程的第 步出现错误．直接写出正确的计算结果是 ．思路引领：（1）原式利用二次根式乘法法则计算，合并即可得到结果；（2）观察解题的过程，分析第一步变形的依据，找出出错的步骤，计算出正确的结果即可．解：（1）原式＝＝＝（2）2xx24―1x2=2x(x2)(x2)―1x2=2x(x2)(x2)―x2(x2)(x2)=2x(x2) (x2)(x2)=2x x2 (x2)(x2)=x2(x2)(x2)=1x2，小王计算的第一步是因式分解，计算过程的第三步出现错误．直接写出正确的计算结果是1x2．故答案为：因式分解，三，1x2．总结提升：此题考查了二次根式的混合运算，因式分解﹣运用公式法，以及分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．。
八年级数学二次根式易混淆知识点
二次根式是指含有根号的代数式，常见的形式有平方根、立方根、四次根等。
在学习和运用二次根式的过程中，有一些易混淆的知识点容易令学生们产生困惑。
下面我们来详细讨论一下这些知识点。
1.化简二次根式：对于一个二次根式，我们希望化简它，使得根号内不含有平方数。
但是在化简二次根式的过程中，有一些易混淆的地方需要注意。
首先，我们需要知道如何分解因式，因为化简二次根式的关键就是将根号内的数分解成完全平方数的乘积。
例如，对于√32这个二次根式，我们可以将32分解成其平方因子和剩余的部分：32=16*2、然后，我们就可以将二次根式化简为√(16*2)=√16*√2=4√2其次，我们需要知道如何将二次根式与有理数进行运算。
在这个过程中，有一些易混淆的地方需要注意。
首先，我们要注意有理数的分子和分母是否含有根号。
如果有，我们需要采用有理化分母的方法进行处理。
例如，对于√3/2这个分数，我们可以将其有理化分母，得到√3/√4=√3/2、然后，我们就可以进行有理数的加减乘除运算。
例如，对于√3/2+√2/3这个表达式，我们可以将其通分得到(3√3+2√2)/6最后，我们需要注意二次根式的简化形式。
在化简二次根式的过程中，有时我们会得到平方根和立方根或其他形式的根号。
在这种情况下，我们需要将其转化为同一形式的根号。
例如，对于∛8这个二次根式，我们可以将其转化为平方根：∛8=∛(2*4)=∛(2*2*2)=√2∛2、通过这样的转化，我们可以更方便地进行计算和化简。
2.二次根式的加减运算：在进行二次根式的加减运算时，有一些易混淆的地方需要注意。
首先，我们要注意二次根式的有理部分与根号部分分别进行计算。
例如，对于√5+√8这个表达式，我们不能直接合并根号内的数进行计算，而是要先计算出有理部分和根号部分的结果，然后再合并得到最终结果。
我们可以将√5+√8=1√5+2√2=√5+2√2、这个结果是最简形式。
其次，我们需要注意如何进行有理化分母。
初中数学中的二次根式的易错点和考试重点，你都知道吗？
初中数学中的⼆次根式的易错点和考试重点，你都知道吗？
说到数学的⼆次根式的，很多⼩伙伴都表⽰累觉不爱，今天晓⽼师和凯哥就和⼤家梳理下相关
知识，赶紧收藏吧！
在学习⼆次根式中，有三⼤易错点：
1、求⼆次根式中字母的取值范围，忽略了分母不为0的情况；
2、忽视隐含的条件；
3、错误运⽤了结合律.
⽽接下来这⼆⼤知识点主要为⾼频考点中考频率五星
▼
知识点1：⼆次根式的化简
最简⼆次根式：在根号内不含分母，不含开的尽⽅的因数或因式叫做最简⼆次根式.
凯哥点评：判断最简⼆次根式的过程中要注意：
（1）在⼆次根式的被开⽅数中，只要含有分数或⼩数，就不是最简⼆次根式；
（2）在⼆次根式的被开⽅数中的每⼀个因式（或因数），如果幂的指数⼤于或等于2，也不是最简⼆次根式．
知识点2 ⼆次根式的混合运算
1、⼆次根式的混合运算包括⼆次根式的加、减、乘、除、乘⽅、开⽅运算.
2、⼆次根式的混合运算实质上就是实数的混合运算和⽆理数的混合运算.
因此：
（1）运算顺序与有理数的混合运算；
（2）运算律仍然适⽤；
（3）与多项式的乘法和因式分解类似，可以利⽤乘法公式与因式分解的⽅法来简化⼆次根式的有关运算；
（4）对于分母含有⼆次根式的代数式，要掌握有理化的⽅法，化分母为整式。
凯哥点评：本题要注意运算顺序．分母有理化是根据平⽅差公式使分母不含⼆次根式．。
二次根式易错题集
二次根式易错题集一、二次根式的概念： 二次根式的性质： 1.()0≥a a 是一个非负数。
2.()02≥=a a a3.()()⎩⎨⎧-≥==002 a a a a a a错题：1.=25 52.()=-23 －（－3）=33.()=--21255－1=44.()=263()54696322=⨯=∙或()=263()()545463222==⨯5.()=--2666-=-- 6.=-2551515122=⎪⎭⎫ ⎝⎛= 7.根据条件，请你解答下列问题：（1）已知n -20是整数，求自然数n 的值；解：首先二次根式有意义，则满足,020≥-n 所以,20≤n 又因为n -20是整数，所以根号内的数一定是一个平方数，即n -20必定可化为()0,202≥=-a a a n 且为整数这种形式，即()0,202≥=-a a a n 且为整数。
所以满足条件的平方数2a 有0，1，4，9，16。
所以.4,11,16,19,20=n（2）已知n 20是整数，求正整数n 的最小值解：因为n 20是整数，所以根号内的数一定是一个平方数，即n 20必定可化为()为整数a a n 220=这种形式，即()为整数a a n 220=，而()为整数a a n 25420⨯⨯=，4可以开平方，剩下不能开平方的数5，所以正整数n 的最小值就是5，因2555=⨯能被开平方。
所以我们要把常数先进行分解，把能开平方的数分解出来，剩下的不能开平方的数与字母相乘再配成能开平方的数，而字母的最小值就是这个不能开平方的数。
7-2.(2)已知n -12是正整数，求实数n 的最大值；解：因为n -20是正整数，所以满足,012 n -所以,12 n 所以根号内的数一定是一个平方数，即n -20必定可化为()0,202 a a a n 且为整数=-这种形式，即()0,202 a a a n 且为整数=-。
所以满足条件的平方数2a 有1，4，9。
二次根式易错点和典型题
二次根式易错点和典型题二次根式是数学中的重要概念，也是高中数学中的重点内容之一。
然而，学生在学习二次根式时常常会遇到一些易错点和典型题。
本文将针对二次根式的易错点和典型题进行详细的讲解，帮助学生更好地理解和掌握这一知识点。
易错点一：二次根式的化简在化简二次根式时，学生常常容易遗漏或错误地进行操作。
化简二次根式的基本原则是尽量将根号内的式子化为最简形式，常用的化简方法有去除平方因子、合并同类项以及有理化等。
需要注意的是，在合并同类项时，要注意系数的合并和符号的运算，容易混淆。
此外，有时候还需要利用公式进行化简，例如平方差、平方和等。
易错点二：二次根式的运算在进行二次根式的运算时，学生常常会将根号外的系数运算错误，或是忽略运算规则。
例如，在计算二次根式乘法时，要注意乘法运算的顺序，同时要注意系数和指数的运算。
另外，对于二次根式的除法和加减法，一般需要先进行有理化处理，然后再进行运算。
典型题一：二次根式的简化题目：将 $\sqrt{12}$ 化简为最简形式。
解析：首先，我们找到根号内的平方因子，发现12可以写成4和3的乘积。
因此，我们可以将 $\sqrt{12}$ 化简为 $\sqrt{4 \cdot 3}$。
接下来，利用乘积的性质，我们可以将其进一步化简为 $\sqrt{4} \cdot \sqrt{3}$。
再利用平方根的性质，我们可以得到最终结果为 2$\sqrt{3}$。
典型题二：二次根式的运算题目：计算 $(\sqrt{2} + 3)(\sqrt{2} - 1)$。
解析：首先，我们利用乘法公式将括号内的乘积展开，得到 $\sqrt{2} \cdot\sqrt{2} + 3 \cdot \sqrt{2} - \sqrt{2} - 3$。
然后，我们化简相同项，得到 $2 +2\sqrt{2} - \sqrt{2} - 3$。
接下来，我们再次合并同类项，得到最终结果为 $-1 +\sqrt{2}$。
二次根式易错题和重点题
二次根式易错题和重点题一、二次根式的定义和性质二次根式是指在数学中关于平方根的表达式，它的一般形式可以表示为√a（其中a≥0）。
在学习二次根式时，常常会遇到一些易错题和重点题，下面将逐一讨论这些问题。
1. 二次根式的化简化简二次根式是学习二次根式的基本技能。
对于像√(4a^2)这样的二次根式，我们可以将指数提出来，得到2a√a。
类似地，对于√(9b^4)，化简后可得3b^2√b。
化简二次根式可以使得运算更加简便，因此在解题过程中需要注意灵活运用化简技巧。
2. 二次根式的加减运算对于同类项的二次根式，可进行加减运算。
例如，对于√2 + √3，由于两个二次根式不具备相同的根次数和根数，无法进行简单的加减运算。
但是，如果是√2 + √2，则可以合并为2√2。
在进行二次根式加减运算时，需要注意根次数和根数是否相同。
3. 二次根式的乘法二次根式的乘法运算一般需要使用分配律。
例如，对于(√3 + √2)(√3 - √2)，可以按照分配律展开，并利用√a * √a = a的性质得到3 - 2 = 1。
在进行二次根式乘法运算时，需要注意运用分配律以及二次根式的性质。
4. 二次根式的除法二次根式的除法运算需要利用有理化方法。
例如，对于√6 / √2，可以将分子和分母同时乘以√2，得到√12 / 2。
而√12可以继续化简为2√3，因此答案为√3。
在进行二次根式的除法运算时，需要注意利用有理化方法将分母中的二次根式消除。
二、常见易错题和重点题解析1. 题目：化简√(2+√3) - √(2-√3)解析：利用二次根式的加减运算，将两个二次根式合并。
根据公式(a+b)(a-b) = a^2 - b^2，可以得到(√2)^2 - (√3)^2 = 2 - 3 = -1。
因此答案为-1。
2. 题目：求解2√3 = √(x+4)解析：首先进行两边的平方运算，得到4 * 3 = x + 4。
化简后得到12 = x。
因此答案为x = 12。
二次根式易错点总结
二次根式易错点总结
二次根式是数学中的一个重要概念，但在学习过程中，学生常常会遇到一些易错点。
以下是对二次根式易错点的总结：
1. 对定义理解不准确：二次根式的定义为非负实数的平方根。
学生需要明确，只有非负实数才有实数平方根，且负数没有实数平方根。
2. 运算顺序混淆：在进行二次根式的加减运算时，学生需要遵循先乘除后加减的原则。
然而，在二次根式的乘除法中，学生需要先进行乘除法再进行加减法。
3. 对性质理解不准确：在进行二次根式的化简时，学生需要掌握并准确应用二次根式的性质。
例如，当对一个二次根式进行化简时，应先将各个项的系数提取出来，然后再进行化简。
4. 对运算律掌握不熟练：在进行二次根式的运算时，学生需要熟练掌握运算律。
例如，在进行二次根式的乘除法时，学生需要掌握乘法分配律、乘法结合律等运算律。
5. 对运算顺序掌握不准确：在进行二次根式的混合运算时，学生需要明确运算的顺序，即先进行乘方运算，然后进行乘除运算，最后进行加减运算。
此外，当有括号时，应先进行括号内的运算。
6. 对负数平方根的理解存在误区：虽然负数没有实数平方根，但在某些情况下，我们可以通过引入复数来定义负数的平方根。
然而，学生需要明确，在实数范围内，负数没有平方根。
综上所述，为了更好地掌握二次根式，学生需要准确理解其定义、性质、运算律和运算顺序，并注意一些常见的易错点。
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1.5二次根式
易错清单
1.你理解平方根和算术平方根的区别与联系吗?
【例1】(2014·江苏南京)8的平方根是().
A. 4
B. ±4
【解析】∵(±2)2=8,
∴8的平方根是.
【答案】 D
【误区纠错】容易错误地选择C.
2.你能发现二次根式的隐含条件吗?
A. -1
B. 0
C. 1
D. 2
【解析】∵(m-1)2+=0,
∴m-1=0,n+2=0.
∴m=1,n=-2.
∴m+n=1+(-2)=-1.
【答案】 A
【误区纠错】忘记考查二次根式有意义的条件,不知如何下手.
3.a一定等于吗?
【误区纠错】错误地把负数(x-1)直接平方后移到根号里面.
4.在运算中常见错误.
【解析】本题涉及特殊角的三角函数值、绝对值、二次根式化简、负指数四个考点.在计算时,需要针对每个考点分别进行计算,然后根据实数的运算法则求得计算结果.二次根式的加减只将系数相加减.
【例5】(2014·四川成都)先化简,再求值:
【解析】本题是一道关于分式化简和二次根式的综合类题,注意不能去掉分母.
名师点拨
1.能利用二次根式的概念及性质解决相关的问题.
2.会利用二次根式的加减法则进行加减运算.
3.能根据先乘除后加减法则进行二次根式的混合运算.
提分策略
1.二次根式的化简与计算.
(1)利用二次根式的性质,先把每个二次根式化简,然后进行运算;在中考中二次根式常与零指数、负指数结合在一起考查.
(2)此类分式与二次根式综合计算与化简问题,一般先化简再代入求值;最后的结果要化为分母没有根号的数或者是最简二次根式.
2.二次根式的非负性.
(2)若几个非负数的和等于零,则这几个数都为零.
A. 20或16
B. 20
C. 16
D. 以上答案均不对
(1)若4是腰长,则三角形的三边长为:4,4,8,不能组成三角形;
(2)若4是底边长,则三角形的三边长为:4,8,8,能组成三角形,周长为4+8+8=20,故选B.【答案】 B
专项训练
一、选择题
3. (2014·安徽淮北五校联考)估计7-的值在().
A. 1到2之间
B. 2到3之间
C. 3到4之间
D. 4到5之间
4. (2014·河北唐山模拟) 的运算结果是().
(第5题)
A. 2a+b
B. -2a+b
C. b
D. 2a-b
6. (2013·河北三模)一个正方形的面积等于10,则它的边长a满足().
A. 3<a<4
B. 5<a<6
C. 7<a<8
D. 9<a<10
7. (2013·山东德州特长展示)下列各式(题中字母均为正实数)中化简正确的是().
二、填空题
三、解答题
10. (2014·山东禹城二模)先化简,再求值:
11. (2014·上海长宁区二模)计算:
12. (2014·内蒙古赤峰模拟)先化简,再求值:
13. (2014·湖北黄石九中模拟)先化简,后计算:
14. (2013·浙江温州一模)计算:
15. (2013·湖北荆州模拟)先化简,再求值:
参考答案与解析
1. B[解析]二次根式化为最简二次根式后,如果被开方数相同就叫同类二次根式.
2. C[解析]原式=a-2+a-3=2a-5.
5. C[解析]原式=-a+(a+b)=b.
6. A[解析]解题的关键是注意找出和10最接近的两个能完全开方的数.
7. D[解析]考查二次根式的相关性质.。