三角函数的周期性
三角函数的周期性
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4
正弦函数的周期性
2. y=sin(ωx) 的最小正周期
设ω>0，y =sin(ωx)的最小正周期设为L . 按定义 y = sin ω(x+L) = sin(ωx+ ωL) = sin ωx . 令ωx = x' 则有 sin (x' + ωL) = sin x' 因为sinx最小正周期是2π，所以有
都是
2π
而对复合函数 f (sinx)的周期性，由具体问题确定.
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7
复合函数的周期性
1. 复合函数 f(sinx) 的周期性
【例题】 研究以下函数的周期性：
(1) 2 sinx ； (2) sin x
【解答】 (1)
2 sinx 的定义域为R，值域为
1 2
,
2
，作图可知，
它是最小正周期为2π的周期函数.
如 y sin3x π 的最小周期与 y = sin(3x)相同，都是 2 π
2
3
于是，余弦函数 ycox ssinπxsin xπ的最小正周期与
2 2
sinx的最小正周期相同，都是2π.
.
6
三角函数的单调性
二、复合函数的周期性
将正弦函数 y = sin x 进行周期变换x→ ωx，sinx →sinωx
后者周期变为 2π ( 0)
而在以下的各种变换中，如
(1)初相变换 sin ωx → sin( ωx+φ)；
(2)振幅变换 sin( ωx +φ) → Asin( ωx+φ)；
(3)纵移变换 Asin( ωx +φ) → Asin( ωx+φ)+m；
高考数学复习点拨 理解三角函数的周期性
高考数学复习点拨理解三角函数的周期性高考数学复习点拨理解三角函数的周期性高考数学复习点拨理解三角函数的周期性认知三角函数的周期性(+2kπ)=sin，x(k∈z及)cos(x+2kπ)=cosx(k∈z)成立，y=sinx，x∈r和等式sinxy=cosx，x∈r的图象内要2π重复．函数周期性定义：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数t，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+t)=f(x)，那么函数f(x)叫做周期函数，非零常数t叫做这个函数的周期．1．认知定义时，必须把握住定义域内任一个x都满足用户f(x+t)=f(x)设立才行及π5ππ⎛ππ⎛⎛5ππ⎛⎛ππ⎛例如：sin+⎛=sin，sin+⎛=sin，但sin+⎛≠sin，446⎛42⎛⎛42⎛⎛62⎛π不是y=sinx的周期．2周期并不惟一，若t就是y=f(x)的周期，那么2t也就是y=f(x)的周期．这是因为f(2t+x)=f[t+(t+x)]=f(t+x)=f(x)；若t就是y=f(x)的周期，k∈z且k≠0，则kt也就是f(x)的周期．2π就是函数y=sinx和y=cosx的周期，那么2kπ(k∈z且k≠0)也就是y=sinx和y=cosx∴的周期．2．最小正周期的概念如果在周期函数f(x)的所有周期中存有一个最轻的正数，那么这个最轻正数就叫作f(x)的最轻正周期．-2π，4π，-4π，…中，存在最小正数2π，那么2π就是例如：函数y=sinx的周期2π，y=sinx的最轻正周期．函数y=cosx的最轻正周期也就是2π．基准1谋以下函数的最轻正周期t．（1）f(x)=3sinx；（2）f(x)=sin2x；π⎛⎛1（3）f(x)=2sinx+⎛．4⎛⎛2求解：（1）f(x)=3sinx=3sin(x+2π)=f(x+2π)，最轻正周期t=2π．（2）f(x)=sin2x=sin(2x+2π)=sin2(x+π)=f(x+π)，最小正周期t=π；π⎛π⎛1⎛1⎛⎛1（3）f(x)=2sinx+⎛=2sinx++2π⎛=2sin⎛(x+4π)+4⎛4⎛2⎛2⎛⎛2最小正周期t=4π．π⎛=f(x+4π)，4⎛⎛2π总结通常规律：y=asin(ωx+ϕ)，y=acos(ωx+ϕ)的最轻正周期就是y=atan(ωx+ϕ)的最小正周期是ω；π．ωπ⎛⎛1基准2澄清：y=2sinx+⎛的周期为2π．3⎛⎛2π⎛2π⎛1=4π，证明：y=2sinx+⎛的周期为123⎛⎛2根据函数的图象特征，所述函数的周期增加一倍，故其周期为2π．注：遇到求形式较复杂的函数的周期时要结合函数图象处理．。
三角函数的周期与周期函数
三角函数的周期与周期函数三角函数是数学中重要的函数之一，它具有很多特性和性质，其中之一就是周期性。
在本文中，我将探讨三角函数的周期以及周期函数的相关知识。
一、三角函数的周期1. 正弦函数的周期正弦函数（sin）是最常见的三角函数之一，其周期是2π，即sin(x + 2π) = sin(x)。
这意味着当自变量x增加2π时，正弦函数的值重复出现。
2. 余弦函数的周期余弦函数（cos）和正弦函数非常相似，其周期也是2π，即cos(x + 2π) = cos(x)。
与正弦函数不同的是，余弦函数在自变量增加2π时，其值也会重复出现。
3. 正切函数的周期正切函数（tan）是另一个常见的三角函数，其周期是π，即tan(x + π) = tan(x)。
当自变量x增加π时，正切函数的值会重新开始。
二、周期函数的性质1. 周期函数的定义周期函数是指当自变量增加一个周期时，函数值会重复出现的函数。
三角函数就是典型的周期函数。
2. 周期函数的图像特点周期函数的图像在一个周期内呈现出循环的形式。
对于正弦函数和余弦函数来说，它们的图像在一个周期内上升和下降，并且对称于坐标轴。
而正切函数的图像则在一个周期内交替地趋近于正无穷和负无穷。
3. 周期函数的性质周期函数具有一些特殊的性质。
例如，正弦函数具有奇对称性质，即sin(-x)=-sin(x)，而余弦函数则具有偶对称性质，即cos(-x)=cos(x)。
这些性质使得周期函数在数学和物理中应用广泛。
三、常见的周期函数1. 方形波函数方形波函数是一种以方形波形进行周期性重复的函数。
它在每个周期内的一半时间内取常数值，另一半时间内则取相反的常数值。
2. 锯齿波函数锯齿波函数是一种以锯齿形状进行周期性重复的函数。
它在一个周期内不断上升或下降，然后在下一个周期重新从起点开始。
3. 指数函数指数函数也可以是周期函数，例如指数函数f(x) = e^x。
尽管指数函数本身并不是周期函数，但可以通过在指数函数中引入复数来使其变成周期函数。
三角函数的周期性_课件
1．周期函数的定义：对于函数f(x)，如果存在一个 非零 常数T，使得
定义域内的每一个x值 ，都满足f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周
期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．(周期函数f(x)的周期不唯一，kT，
(k∈Z，k≠0)都是它的周期)，对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期
5．函数y＝cos
的单调递增区间为________．
解析：函数y＝cos
＝cos
，
∴y＝cos
的单调递增区间就是y＝cos
的单调递增区间，
由下式确定：2kπ－π≤x－ ≤2kπ，
k∈Z.∴2kπ－ ≤x≤2kπ＋ ，k∈Z，
即函数y＝cos
的单调递增区间是
，k∈Z.
答案：
，k∈Z
从等式f(x＋T)＝f(x)来看，应强调的是自变量x本身加的常数才是周期，如
【知识拓展】 余切函数图象和性质 函数y＝cot x的图象如图所示，
(1)定义域：函数y＝cot x的定义域为{x∈R且x≠kπ，k∈Z} (2)值域：函数y＝cot x的值域为R. (3)周期性：函数y＝cot x是周期函数，周期为π. (4)奇偶性：y＝cot x是奇函数，图象关于原点对称． (5)单调性：y＝cot x在每一个开区间(kπ，kπ＋π)，k∈Z内都是减函数．
上某处的函数值．
解析：∵f(x)的最小正周期为π，∴
，
又f(x)为偶函数，∴
，
∵当x∈
时，f(x)＝sin x，∴
答案：
变式1：(苏北四市联考)如图，函数f(x)＝Asinωx(A>0，ω>0)一个周期的图 象，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)的值等于________． 解析：由题图知f(x)的周期为8，∴ ＝8，∴ω＝ .又A＝2， ∴f(x)＝2sin x.又f(4)＝0，f(2)＋f(6)＝0，f(3)＋f(5)＝0， 原式＝f(1)＝2sin ＝2× ＝ . 答案：
三角函数的周期与周期性
三角函数的周期与周期性三角函数是一类重要的数学函数，常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
在数学中，我们经常会关注三角函数的周期性，即函数在一定范围内的重复性。
本文将探讨三角函数的周期与周期性，并探讨它们在实际应用中的重要性。
一、正弦函数的周期与周期性正弦函数是最常见的三角函数之一，它的周期是2π。
也就是说，对于任意实数x，正弦函数满足以下性质：sin(x+2π) = sin(x)。
这意味着正弦函数在每过2π个单位长度后，会重复出现相同的函数值。
正弦函数的周期性在物理学、工程学等领域有着广泛的应用。
例如，在交流电路中，交流电的波形可以用正弦函数来表示，而正弦函数的周期性可以帮助我们分析电流的周期性变化。
此外，在波动学中，正弦函数也被用来描述物体的周期性振动。
二、余弦函数的周期与周期性余弦函数是另一种常见的三角函数，它的周期也是2π。
与正弦函数类似，余弦函数也具有周期性性质：cos(x+2π) = cos(x)。
换句话说，余弦函数在每过2π个单位长度后，会再次获得相同的函数值。
余弦函数的周期性在几何学、物理学等领域有重要的应用。
在几何学中，余弦函数被广泛用于描述角度和距离之间的关系。
例如，在三角形中，余弦函数可以帮助我们计算出三个角的夹角大小。
在物理学中，余弦函数也被用于描述物体的周期性运动，例如旋转物体的角速度。
三、正切函数的周期与周期性正切函数是另一种常见的三角函数，它的周期是π。
也就是说，对于任意实数x，正切函数满足以下性质：tan(x+π) = tan(x)。
这表明正切函数在每过π个单位长度后，会再次获得相同的函数值。
正切函数的周期性在几何学、工程学等领域有广泛的应用。
在几何学中，正切函数用于描述角度和直线的斜率之间的关系。
在电子工程中，正切函数也常被用于计算电路中的电流和电势之间的关系。
综上所述，三角函数的周期性是它们在数轴上的重复性。
通过研究三角函数的周期性，我们可以更好地理解和应用这些函数。
三角函数的周期性
√） 一定不是 y sin x 的周期 （
2 2 7 x （2） 时，sin( x 3 ) sin x 则 3 6
一定是 y sin x 的周期
（ ） ×
应用
h 50
若钟摆的高度h(mm)与时间t(s) 之间的函数关系如图所示： (1)求该函数的周期; (2)求t=10s时钟摆的高度
2
2 2 T 3 3
一般地，函数 y A sin( x )及 y A cos( x ) （其中 A, , 为常数，且 A 0, 0 ）的周期是
T 2
若 0 则 T
2
应用 1，求下列函数的最小正周期
5 1 x (2) f ( x) cos( ) 2 3 2
60 55 50 45 40
35
30
25
20
20
15
10
10
5
o
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
3
t
通过我们刚才的研究知道 y=sinx, y=cosx是周期函数，周期都 是2 ， 那么下列函数的周期是多少呢？
(1) f ( x) 2cos 3x
1 T 4 2 (2) f ( x ) 2 sin( x ) 1 2 6
(1) f ( x ) sin(2 x
)
2，若函数f ( x) sin(kx ) 的最小 5 2 正周期为 ，求正数 k 的值。 3
思考 函数y=tanx是周期函数吗？
正切线.gsp
函数y=tan(ax)(a>0)是周期函数吗？
三角函数的周期性
诱导公式sin(x+2π =sinx,的几何意义 的几何意义． 诱导公式sin(x+2π) =sinx,的几何意义． sin(x+2
y o X X X+2π π X+2π π x
正弦函数值是按照一定规律不断重复地出现的 正弦函数值是按照一定规律不断重复地出现的 不断重复地 能不能从正弦、 能不能从正弦、余弦函数周期性归纳出一般函 数的规律性？ 数的规律性？
一般地， 函数y = A sin(ωx + ϕ ), x ∈ R及函 数y = A cos(ωx + ϕ ), x ∈ R(其中A, ω , ϕ为常 数, 且A ≠ 0, ω > 0)的周期为 : T = 2π
ω
.
求下列函数的周期： 练习： 练习：１．求下列函数的周期：
x (1) y = sin3x, x ∈ R;(2) y = cos ; 3 x π (3) y = 3sin , x ∈ R;(4) y = sin(x + ); 4 10
(2)
(1)y=3cosx,x∈R; ∈R;(2)y=sin2x,x∈R; ∈R; ∈R;
∴ cos x 是以 π为周期的周期函数. 是以2π为周期的周期函数.
Qsin(2x) = sin(2x + 2π ) = sin [ 2( x + π )] ,
是以π为周期的周期函数. ∴ y = sin 2x 是以π为周期的周期函数.
T = 2π
3.图象法: 3.图象法: 图象法
ω
(ω ≠ 0 )
练习 (1)函数 ＝sinπx的周期是 ＿＿＿ 函数y＝ 的周期是T= 函数 的周期是 (2)函数 ＝cos2πx的周期是 函数y＝ 的周期是T=_____. 函数 的周期是
三角函数与周期性
三角函数与周期性三角函数是数学中一类重要的函数，它们在各个科学领域和实际应用中都具有重要的作用。
一个关于三角函数的重要性质就是它们的周期性。
本文将介绍三角函数的周期性及其应用。
一、正弦函数的周期性正弦函数是最常见的三角函数之一，它的图像呈现出一种周期性的形态。
正弦函数被定义为在单位圆上以角度为自变量的对应的纵坐标。
在单位圆上，我们可以看到当角度增加到360度（或2π弧度）时，对应的纵坐标重新回到了起点。
这表明正弦函数的周期为360度（或2π弧度）。
在实际应用中，我们经常会遇到周期性变化的现象，例如天气和季节变化。
正弦函数能够很好地描述这些周期性变化。
通过对正弦函数进行适当的参数调整，可以拟合各种周期性变化的曲线，从而进行预测和分析。
二、余弦函数的周期性余弦函数是与正弦函数密切相关的三角函数，它的图像也具有周期性。
余弦函数定义为在单位圆上以角度为自变量的对应的横坐标。
与正弦函数类似，当角度增加到360度（或2π弧度）时，余弦函数的横坐标重新回到了起点。
因此，余弦函数的周期也为360度（或2π弧度）。
与正弦函数一样，余弦函数也广泛应用于周期性变化的描述和分析中。
例如，电流的正弦波是一种典型的周期性变化，可以用余弦函数进行建模。
此外，在信号处理、图像处理等领域中，余弦函数也是常用的工具之一。
三、其他三角函数的周期性除了正弦函数和余弦函数之外，还存在其他几种常见的三角函数，如正切函数、余切函数、正割函数和余割函数等。
这些函数在定义上与正弦函数和余弦函数有所区别，但它们的周期性性质与正弦函数和余弦函数类似。
例如，正切函数的图像在每180度（或π弧度）时呈现出一种周期性的形态。
余切函数、正割函数和余割函数的周期也是180度（或π弧度）。
这些函数的周期性性质使得它们在解决实际问题时非常有用。
例如，正切函数在几何学和物理学中经常出现，用于描述角的比例关系。
正割函数在天文学和工程学中也有广泛应用。
总结：三角函数是数学中重要的函数家族之一，它们具有周期性的特点。
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§1.3.1三角函数的周期性
【学习目标】1．理解周期函数、最小正周期的定义；
2．会求正、余弦函数的最小正周期．
【学习重点】函数的周期性、最小正周期的定义．
【学习难点】函数最小正周期的定义
1．问题：（1）今天是星期二，则过了七天是星期几？过了十四天呢？……
（2）物理中的单摆振动、圆周运动，质点运动的规律如何呢？
2．正弦函数()sin f x x =性质如下：
文字语言：正弦函数值按照一定的规律不断重复地取得；
符号语言：当x 增加2k π（k Z ∈）时，总有(2)sin(2)sin ()f x k x k x f x ππ+=+==． 也即：（1）当自变量x 增加2k π时，正弦函数的值又重复出现；
（2）对于定义域内的任意x ，sin(2)sin x k x π+=恒成立．
余弦函数也具有同样的性质，这种性质我们就称之为周期性．
3．周期函数的定义
对于函数()f x ，如果存在一个非零常数．．．．T ，使得当x 取定义域内的每一个值．．．．
时，都有 ()()f x T f x +=，那么函数()f x 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．
【思考】
（1）对于函数sin y x =，x R ∈有2sin()sin 636π
ππ+=，能否说23
π是它的周期？ （2） 正弦函数sin y x =，x R ∈是不是周期函数，如果是，周期是多少？ ()x 的周期为T ，则kT ，*k Z ∈也是()f x 的周期吗？为什么？
()h mm 与时间()t s 之间的函数关系如图所示：
（1）求该函数的周期；
（2）求10t s =时钟摆的高度．
例2．求证：函数cos2y x =的最小正周期是π．
例3．求下列函数的周期：
（1）()sin 2f x x =； （2）1()2cos(
)26g x x π=-．
总结：（1）函数sin()y A x ωϕ=+（其中,,A ωϕ均为常数，且0,0)A ω≠>的周期T= ．
（2）函数cos()y A x ωϕ=+（其中,,A ωϕ均为常数，且0,0)A ω≠>的周期T= ． 变式：求下列函数的周期：（1）3cos()y x =-；（2）sin(2)y x =-．
例3．(1)已知()()x f x f -=+1，求证：()x f 是周期函数，并求出它的最小正周期；
(2)已知)(1)2(x f x f -
=+，求证：)(x f 是周期函数，并求出它的最小正周期．
变式：已知()f x 满足1()(1)1()
f x f x f x ++=-，求证：()f x 是周期函数．
说明：（1）T 必须是常数，且不为零；
（2）对周期函数来说()()f x T f x +=必须对定义域内的任意x 都成立．
1．写出下列函数的周期:
(1)x y 3sin =； (2)3cos
x y =； (3)⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=34cos πx y ； (4)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=421sin 3πx y ； (5)()x y -=π31cos 2 ． 【课后作业】
1． 下列说法正确的是 ．
①因为x x sin )sin(=-π，所以π是函数x y sin =的一个周期；
②因为,tan )2tan(x x =+π所以π2是函数x y tan =的最小正周期；
③因为4π
=x 时，等式x x sin )2sin(=+π
成立，所以2
π是函数x y sin =的一个周期； ④因为x x cos )3cos(≠+π
，所以3
π不是函数x y cos =的一个周期． 2． 函数sin()24
x y π=-+的最小正周期是 ． 3．函数)3
cos(2x y ωπ
-=的最小正周期是4π，则ω= ． 4．已知函数()2cos(
)543k f x x π=+-的最小正周期不大于2，则正整数k 的最小值是 ． 5．函数)3sin(2)(π+=kx x f 与函数)6tan(3)(π
-=kx x g 的周期之和为π2，则正实数k 的值 为 ．
6．若函数()sin ()6
n f n n Z π=∈，则(1)(2)(3)(102)f f f f +++⋅⋅⋅+= ． 7．定义在R 上的函数)(x f 既是偶函数又是周期函数.若)(x f 的最小正周期是π，且当]2,0[π∈x 时，x x f sin )(=，则)3
5(πf = ． 8．已知函数()f x 对任意x ∈R ，有(5)()f x f x +=，且()()f x f x -=-，若(1)1f -=，
则(2016)f = ．
9．设)(x f 是定义域为R ，最小正周期为23π的函数，若⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<≤-=)
0(sin )02(cos )(ππx x x x x f ，则)415(π-f 的值等于 ．
10．已知函数()2sin(
)34
k f x x π=+，如果使()f x 的周期在23(,)34内，求正整数k 的值．
11．已知定义在R 上的函数)(x f 满足)
(1)1(x f x f =
+，且当[]1,0∈x 时，x x f 2)(=，求(7.5)f ．
12．一机械振动中，某质子离开平衡位置的位移()x cm 与时间()t s 之间的函数关系如图所示：
（1） 求该函数的周期；
（2） 求37.5t s =时，该质点离开平衡位置的位移．
13．求证：①x x y 2sin 2cos +=的周期为π； ②x x y cos sin +=的周期为
2π．
14．已知()y f x =是定义在R 上的函数，且对任意x R ∈有(2)[1()]()1f x f x f x +-=+成立．
(1)证明：()f x 是周期函数；(2)若(2)2f =-，求(2002)f 的值．。