2021年上海中考各区二模数学试题及答案汇总
2021年上海市徐汇区中考数学二模试卷(含解析)
2021年上海市徐汇区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的]1．（4分）如果m 是任意实数，那么下列代数式中一定有意义的是( )A B C ．11m + D 2．（4分）将抛物线2y x =-向右平移3个单位，再向下平移2个单位后所得新抛物线的顶点是( )A ．(3,2)-B ．(3,2)--C ．(3,2)D ．(3,2)-3．（4分）人体红细胞的直径约为0.0000077米，那么将0.0000077用科学记数法表示是( )A ．60.7710-⨯B ．77.710-⨯C ．67.710-⨯D ．57.710-⨯4．（4分）如果剪掉四边形的一个角，那么所得多边形的内角和的度数不可能是( )A ．180︒B ．270︒C ．360︒D ．540︒5．（4分）王老师给出一个函数的解析式．小明、小杰、小丽三位同学分别正确指出了这个函数的一个性质．小明：该函数图象经过第一象限；小杰：该函数图象经过第三象限；小丽：在每个象限内，y 值随x 值的增大而减小．根据他们的描述，王老师给出的这个函数解析式可能是( )A ．3y x =B ．2y x =C ．3y x =D ．1y x=- 6．（4分）已知：在ABC ∆中，AC BC =，点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，延长DE 至点F ，使得EF DE =，那么四边形AFCD 一定是( )A ．菱形B ．矩形C ．直角梯形D ．等腰梯形二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）计算：2232m n nm -= ．8．（4分）方程1111x x -=+的解是 ． 9．（4分）方程组2231x y x y ⎧-=⎨-=-⎩的解是 ． 10．（4分）如果关于x 的方程230x x k +-=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是 ．11．（4分）甲公司1月份的营业额为60万元，3月份的营业额为100万元，假设该公司2、3两个月的增长率都为x ，那么可列方程是 ． 12．（4分）菱形ABCD 中，已知4AB =，60B ∠=︒，那么BD 的长是 ．13．（4分）如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，90A ∠=︒，2AD =，4AB =，5CD =，如果,AB a BC b ==，那么向量BD 是 （用向量a 、b 表示）．14．（4分）小杰和小丽参加社会实践活动，随机选择“做社区志愿者”和“参加社会调查”两项中的一项，那么两人同时选择“做社区志愿者”的概率是 ．15．（4分）如图，小杰同学跳起来把一个排球打在离他2米（即2CO =米）远的地上，排球反弹碰到墙上，如果他跳起击球时的高度是1.8米（即 1.8AC =米），排球落地点离墙的距离是6米（即6OD =米），假设排球一直沿直线运动，那么排球能碰到墙面离地的高度BD 的长是 米．16．（4分）古希腊数学家把下列一组数：1、3、6、10、15、21、⋯叫做三角形数，这组数有一定的规律性，如果把第一个三角形数记为1x ，第二个三角形数记为2x ，⋯，第n 个三角形数记为n x ，那么1n n x x -+的值是 （用含n 的式子表示）．17．（4分）如图，矩形ABCD 中，6AB =，10BC =，将矩形ABCD 绕着点A 逆时针旋转后，点D 落在边BC 上，点B 落在点B '处，联结BB '，那么ABB ∆'的面积是 ．18．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 和点(6,2)E -都在反比例函数k y x=的图象上，如果45AOE ∠=︒，那么直线OA 的表达式是 ．三、（本大题共7题，第19-22题每题10分第23、24题每题12分；第25题14分；满分78分）19．（10分）解不等式组：3(5)3(2) 223134xxx x+>--⎧⎪+⎨-⎪⎩．20．（10分）先化简再求值：22222()21a b ab b aba ab b a b b-+-⋅-+--，其中23a=+，23b=-．21．（10分）如图，在梯形ABCD中，//CD AB，10AB=，以AB为直径的O经过点C、D，且点C、D三等分弧AB．（1）求CD的长；（2）已知点E是劣弧DC的中点，联结OE交边CD于点F，求EF的长．22．（10分）问题：某水果批发公司用每千克2元的价格购进1000箱橘子，每箱橘子重10千克．由于购进的橘子有损耗，所以真正可以出售的橘子不到10000千克．如果该公司希望这批橘子销售能获得5000元利润，应该把销售价格定为多少元？思路：为了解决这个问题，首先要估计这10000千克橘子中除去损耗后剩下多少橘子可以销售，因此需要估计损耗的橘子是多少千克．方案：为此，公司采用抽样调查来估计这批橘子的损耗情况．公司设计如下两种抽样方案：①从仓库中最方便处打开若干箱子逐个检查；②把这批橘子每箱从1~1000编号，用电脑随机选择若干号码，打开相应的箱子进行逐个检查．解决：（1）公司设计的两个抽样方案，从统计意义的角度考虑，你认为哪个方案比较合适？并说明理由；（2）该公司用合理的方式抽取了20箱橘子进行逐个检查，并在表中记录了每个被抽到的箱子里橘子的损耗情况．被抽到的箱子里橘子的损耗情况表：根据如表信息，请你估计这批橘子的损耗率；（3）根据以上信息，请你帮该公司确定这批橘子的销售价格，尽可能达到该公司的盈利目标（精确到0.01元/千克）．23．（12分）如图，在ACB∠=︒，点D是斜边AC的中点，四边形CBDE是平∆中，90ABC行四边形．（1）如图1，延长ED交AB于点F，求证：EF垂直平分AB；（2）如图2，联结BE、AE，如果BE平分ABC=．AB BC∠，求证：324．（12分）如图，已知抛物线212y x m =+与y 轴交于点C ，直线443y x =-+与y 轴和x 轴分别交于点A 和点B ，过点C 作CD AB ⊥，垂足为点D ，设点E 在x 轴上，以CD 为对角线作CEDF ．（1）当点C 在ABO ∠的平分线上时，求上述抛物线的表达式；（2）在（1）的条件下，如果CEDF 的顶点F 正好落在y 轴上，求点F 的坐标；（3）如果点E 是BO 的中点，且CEDF 是菱形，求m 的值．25．（14分）如图，已知BAC ∠，且3cos 5BAC ∠=，10AB =，点P 是线段AB 上的动点，点Q 是射线AC 上的动点，且AQ BP x ==，以线段PQ 为边在AB 的上方作正方形PQED ，以线段BP 为边在AB 上方作正三角形PBM ．（1）如图1，当点E 在射线AC 上时，求x 的值；（2）如果P 经过D 、M 两点，求正三角形PBM 的边长；（3）如果点E 在MPB ∠的边上，求AQ 的长．2021年上海市徐汇区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的]1．（4分）如果m 是任意实数，那么下列代数式中一定有意义的是( )A B C ．11m + D【解答】解：A 、当0m <B 、当1m <-无意义，故此选项不符合题意；C 、当1m =-时，11m +无意义，故此选项不符合题意；D 、m故选：D ．2．（4分）将抛物线2y x =-向右平移3个单位，再向下平移2个单位后所得新抛物线的顶点是( )A ．(3,2)-B ．(3,2)--C ．(3,2)D ．(3,2)-【解答】解：将抛物线2y x =-向右平移3个单位，再向下平移2个单位后，得2(3)2y x =---， ∴顶点坐标为(3,2)-，故选：A ．3．（4分）人体红细胞的直径约为0.0000077米，那么将0.0000077用科学记数法表示是( )A ．60.7710-⨯B ．77.710-⨯C ．67.710-⨯D ．57.710-⨯【解答】解：将0.0000077用科学记数法表示是67.710-⨯．故选：C ．4．（4分）如果剪掉四边形的一个角，那么所得多边形的内角和的度数不可能是( )A ．180︒B ．270︒C ．360︒D ．540︒【解答】解：剪去一个角，若边数减少1，则内角和(32)180180=-⋅︒=︒，若边数不变，则内角和(42)180360=-⋅︒=︒，若边数增加1，则内角和(52)180540=-⋅︒=︒，所以，所得多边形内角和的度数可能是180︒，360︒，540︒，不可能是270︒．故选：B ．5．（4分）王老师给出一个函数的解析式．小明、小杰、小丽三位同学分别正确指出了这个函数的一个性质．小明：该函数图象经过第一象限；小杰：该函数图象经过第三象限；小丽：在每个象限内，y 值随x 值的增大而减小．根据他们的描述，王老师给出的这个函数解析式可能是( )A ．3y x =B ．2y x =C ．3y x =D ．1y x=- 【解答】解：A 、3y x =图象过一、三象限，但y 值随x 值的增大而增大，故A 不符合题意； B 、2y x =图象不经过三象限，对称轴为y 轴，在第一象限内，y 随x 增大而增大，故B 不符合题意；C 、3y x=图象过一、三象限，在每个象限内，y 值随x 值的增大而减小，故C 符合题意； D 、1y x=-图象经过二、四象限，在每个象限内，y 值随x 值的增大而增大，故D 不符合题意；故选：C ．6．（4分）已知：在ABC ∆中，AC BC =，点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，延长DE 至点F ，使得EF DE =，那么四边形AFCD 一定是( )A ．菱形B ．矩形C ．直角梯形D ．等腰梯形 【解答】解：E 是AC 中点，AE EC ∴=， DE EF =，∴四边形ADCF 是平行四边形，AD DB =，AE EC =，12DE BC ∴=， DF BC ∴=，CA CB =，AC DF ∴=，∴四边形ADCF 是矩形；故选：B ．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）计算：2232m n nm -= 2m n ．【解答】解：22232m n nm m n -=．故答案为：2m n ．8．（4分）方程1111x x -=+的解是 115x -+=，215x --= ． 【解答】解：去分母得：21x x x x +-=+， 解得：15x -±= 检验：把15x -±=代入得：左边=右边， 则分式方程的解为115x -+=，215x --． 故答案为：115x -+，215x --=． 9．（4分）方程组2231x y x y ⎧-=⎨-=-⎩的解是 21x y =-⎧⎨=-⎩ ． 【解答】解：2231x y x y ⎧-=⎨-=-⎩①②， 由②，得1x y =-③，把③代入①，得22(1)3y y --=，整理，得22y -=，解，得1y =-．把1y =-代入③，得2x =-．所以原方程组的解为21x y =-⎧⎨=-⎩． 故答案为：21x y =-⎧⎨=-⎩． 10．（4分）如果关于x 的方程230x x k +-=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是94k >- ． 【解答】解：根据题意得△234()0k =-->，解得94k >-． 故答案为94k >-． 11．（4分）甲公司1月份的营业额为60万元，3月份的营业额为100万元，假设该公司2、3两个月的增长率都为x ，那么可列方程是 260(1)100x += ．【解答】解：依题意得：260(1)100x +=．故答案为：260(1)100x +=．12．（4分）菱形ABCD 中，已知4AB =，60B ∠=︒，那么BD 的长是 43 ．【解答】解：四边形ABCD 为菱形，1302ABD ABC ∴∠=∠=︒，12BO BD =，BD AC ⊥． 在Rt ABO ∆中，cos BO ABO AB ∠=， 3cos 4232BO AB ABO ∴=⋅∠=⨯=． 243BD BO ∴==． 故答案为：43．13．（4分）如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，90A ∠=︒，2AD =，4AB =，5CD =，如果,AB a BC b ==，那么向量BD 是 25b a - （用向量a 、b 表示）．【解答】解：过点D 作DE BC ⊥于E ．//AD BC ，180A ABC ∴∠+∠=︒，90A ∠=︒，90ABE ∴∠=︒，DE BC ⊥，90DEB =︒∴四边形ABED 是矩形，2AD BE ∴==，4AB DE ==，5CD =，90CED ∠=︒， 2222543CE CD DE ∴=-=-=，∴2255BE BC b ==， //AB DE ，AB DE =，∴DE a =，25BD BE ED b a =+=-， 故答案为：25b a -．14．（4分）小杰和小丽参加社会实践活动，随机选择“做社区志愿者”和“参加社会调查”两项中的一项，那么两人同时选择“做社区志愿者”的概率是 14． 【解答】解：把“做社区志愿者”和“参加社会调查”分别记为A 、B ，画树状图如图：共有4个等可能的结果，符合条件的结果有1个，∴小杰和小丽两人同时选择“做社区志愿者”的概率是14， 故答案为：14． 15．（4分）如图，小杰同学跳起来把一个排球打在离他2米（即2CO =米）远的地上，排球反弹碰到墙上，如果他跳起击球时的高度是1.8米（即 1.8AC =米），排球落地点离墙的距离是6米（即6OD =米），假设排球一直沿直线运动，那么排球能碰到墙面离地的高度BD 的长是 5.4 米．【解答】解：由题意得：AOC BOD ∠=∠．AC CD ⊥，BD CD ⊥，90ACO BDO ∴∠=∠=︒．~ACO BDO ∴∆∆．∴AC OC BD OD=． 即1.826BD =． 5.4BD ∴=（米)．故答案为：5.4．16．（4分）古希腊数学家把下列一组数：1、3、6、10、15、21、⋯叫做三角形数，这组数有一定的规律性，如果把第一个三角形数记为1x ，第二个三角形数记为2x ，⋯，第n 个三角形数记为n x ，那么1n n x x -+的值是 2n （用含n 的式子表示）．【解答】将条件数据1、3、6、10、15、21、⋯，依次扩大2倍得到：2，6，12，20，30，42，⋯，这组新数据中的每一个数据可以改写成两个相邻正整数的乘积，即212=⨯，623=⨯，1234=⨯，2045=⨯，⋯，∴(1)2n n n x ⨯+=，(1)n ． 所以21(1)(1)2n n n n n n x x n --⨯+⨯++==． 故答案是：2n ．17．（4分）如图，矩形ABCD 中，6AB =，10BC =，将矩形ABCD 绕着点A 逆时针旋转后，点D 落在边BC 上，点B 落在点B '处，联结BB '，那么ABB ∆'的面积是 545 ．【解答】解：如图，过D '作D E AD '⊥于点E ，过点B 作BF AB ⊥'于点F ，由题意得：10AD AD '==，6D E CD '==，6AB AB ='=，DAD BAB ∠'=∠'．63sin 105D E DAD AD '∠'==='， 3sin 5BAB ∴∠'=． ∴11354662255BAB S AB BF ∆'=⨯'⨯=⨯⨯⨯=． 故答案为：545． 18．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 和点(6,2)E -都在反比例函数k y x =的图象上，如果45AOE ∠=︒，那么直线OA 的表达式是 2y x =- ．【解答】解：点(6,2)E -在反比例函数k y x =的图象上， 6(2)12k ∴=⨯-=-，∴反比例函数为12y x=-， 如图，OE 顺时针旋转90︒，得到OD ，连接DE ，交OA 于F ，点(6,2)E -，(2,6)D ∴--，45AOE ∠=︒，45AOD ∴∠=︒，OD OE =，OA DE ∴⊥，DF EF =，(2,4)F ∴-，设直线DE 的解析式为y kx b =+，∴2662k b k b -+=-⎧⎨+=-⎩，解得125k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， ∴直线DE 的解析式为152y x =-， ∴设直线OA 的解析式为y mx =，把F 的坐标代入得，42m -=，解得2m =-，∴直线OA 的解析式为2y x =-，故答案为2y x =-．三、（本大题共7题，第19-22题每题10分第23、24题每题12分；第25题14分；满分78分）19．（10分）解不等式组：3(5)3(2)223134x x x x +>--⎧⎪+⎨-⎪⎩． 【解答】解：解不等式3(5)3(2)x x +>--，得： 2.5x >-，解不等式223134x x +-，得：20x ， ∴不等式组的解集为20x ．20．（10分）先化简再求值：22222()21a b ab b ab a ab b a b b-+-⋅-+--，其中23a =23b = 【解答】解：22222()21a b ab b ab a ab b a b b-+-⋅-+--2()[]()()()1a b b a b ab a b a b a b b -+=-⋅-+-- 1()1b ab a b a b b =-⋅--- 11b ab a b b -=⋅-- ab a b=-， 当23a =+，23b =-时，原式(23)(23)3(23)(23)232323+-====+--+-+． 21．（10分）如图，在梯形ABCD 中，//CD AB ，10AB =，以AB 为直径的O 经过点C 、D ，且点C 、D 三等分弧AB ．（1）求CD 的长；（2）已知点E 是劣弧DC 的中点，联结OE 交边CD 于点F ，求EF 的长．【解答】解：（1）AB 为直径，点C 、D 三等分弧AB ，∴60AD CD BC ===︒60AOD COD BOC ∴∠=∠=∠=︒．OC OD =，OCD ∴∆为等边三角形．152CD OD AB ∴===． （2）点E 是劣弧DC 的中点，∴DE EC =．AD BC =，∴AE BE =．OF CD ∴⊥．OC OD =，1302DOFDOC∴∠=∠=︒．在Rt ODF∆中，cosOF FODOD∠=．353cos5OF OD FOD∴=⋅∠=⨯=．5OE OD==，535EF OE OF∴=-=-．22．（10分）问题：某水果批发公司用每千克2元的价格购进1000箱橘子，每箱橘子重10千克．由于购进的橘子有损耗，所以真正可以出售的橘子不到10000千克．如果该公司希望这批橘子销售能获得5000元利润，应该把销售价格定为多少元？思路：为了解决这个问题，首先要估计这10000千克橘子中除去损耗后剩下多少橘子可以销售，因此需要估计损耗的橘子是多少千克．方案：为此，公司采用抽样调查来估计这批橘子的损耗情况．公司设计如下两种抽样方案：①从仓库中最方便处打开若干箱子逐个检查；②把这批橘子每箱从1~1000编号，用电脑随机选择若干号码，打开相应的箱子进行逐个检查．解决：（1）公司设计的两个抽样方案，从统计意义的角度考虑，你认为哪个方案比较合适？并说明理由；（2）该公司用合理的方式抽取了20箱橘子进行逐个检查，并在表中记录了每个被抽到的箱子里橘子的损耗情况．被抽到的箱子里橘子的损耗情况表：箱号每箱橘子的损耗重量（千克）箱号每箱橘子的损耗重量（千克）10.88110.77根据如表信息，请你估计这批橘子的损耗率；（3）根据以上信息，请你帮该公司确定这批橘子的销售价格，尽可能达到该公司的盈利目标（精确到0.01元/千克）．【解答】解：（1）从统计意义的角度考虑，方案②比较合适，因为此时每箱橘子都有被抽到的可能，选取的样本具有代表性，属于简单随机抽样，所以方案②比较合适；（2）(8.578.15)(1020)100%8.36%+÷⨯⨯=．即估计这批橘子的损耗率为8.36%；（3）10000(18.36%)2100005000⨯--⨯=，x解得， 2.73x≈．答：该公司可确定这批橘子的销售价格约为2.73元/千克，能够尽可能达到该公司的盈利目标．23．（12分）如图，在ACBABC∠=︒，点D是斜边AC的中点，四边形CBDE是平∆中，90行四边形．（1）如图1，延长ED交AB于点F，求证：EF垂直平分AB；（2）如图2，联结BE、AE，如果BE平分ABC=．AB BC∠，求证：3【解答】（1）证明：四边形CBDE 是平行四边形， //DE BC ∴，90ABC ∠=︒，90AFD ∴∠=︒，DF AB ∴⊥，又D 为AC 的中点，AD BD ∴=，AF BF ∴=，即EF 垂直平分AB ；（2）证明：延长ED 交AB 于点F ，由（1）知，EF 垂直平分AB ，12DF BC ∴=， 四边形CBDE 是平行四边形，BC DE ∴=，32EF DF DE BC ∴=+=， BE 平分ABC ∠，45FBE ∴∠=︒，45FBE FEB ∴∠=∠=︒，BF EF ∴=， 32BF BC ∴=， 23AB BF BC ∴==．24．（12分）如图，已知抛物线212y x m =+与y 轴交于点C ，直线443y x =-+与y 轴和x 轴分别交于点A 和点B ，过点C 作CD AB ⊥，垂足为点D ，设点E 在x 轴上，以CD 为对角线作CEDF ．（1）当点C 在ABO ∠的平分线上时，求上述抛物线的表达式；（2）在（1）的条件下，如果CEDF 的顶点F 正好落在y 轴上，求点F 的坐标；（3）如果点E 是BO 的中点，且CEDF 是菱形，求m 的值．【解答】解：（1）对于443y x =-+①，令4403y x =-+=，解得3x =，令0x =，则4y =， 故点A 、B 的坐标分别为(0,4)、(3,0)，由点A 、B 的坐标知，4OA =，3OB =，则5AB =， 连接BC ，如下图，点C 在ABO ∠的平分线上，则OC CD =，BC BC =，Rt BCD Rt BCO(HL)∴∆≅∆，故3BD OB ==，则532AD =-=，设OC CD x ==，则4AC x =-，在Rt ADC ∆中，由勾股定理得：22(4)4x x -=+，解得32x =， 故点C 的坐标为3(0,)2， 则抛物线的表达式为21322y x =+； （2）如上图，过点C 作//CH x 轴交AB 于点H ，则ABO AHC ∠=∠， 由AB 得表达式知，4tan tan 3ABO AHC ∠==∠，则3tan 4ACH ∠=， 故直线CD 的表达式为3342y x =+②， 联立①②并解得65125x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故点D 的坐标为6(5，12)5， 如果CEDF 的顶点F 正好落在y 轴上，则//DE y 轴，且DE CF =， 故125D DE y ==， 则123395210F C y y DE =+=+=， 故点F 的坐标为39(0,)10； （3）点E 是BO 的中点，故点3(2E ，0)， 由（2）知，直线CD 的表达式为34y x m =+③， 联立①③并解得，点D 的坐标为4812(25m -，3616)25m +， 而点E 、C 的坐标分别为3(2，0)、(0,)m ， CEDF 是菱形，则DE CE =， 即22224812336163()()()252252m m m -+-+=+， 即29360m m -=，解得4m =（舍去）或0，故0m=．25．（14分）如图，已知BAC∠，且3cos5BAC∠=，10AB=，点P是线段AB上的动点，点Q是射线AC上的动点，且AQ BP x==，以线段PQ为边在AB的上方作正方形PQED，以线段BP为边在AB上方作正三角形PBM．（1）如图1，当点E在射线AC上时，求x的值；（2）如果P经过D、M两点，求正三角形PBM的边长；（3）如果点E在MPB∠的边上，求AQ的长．【解答】解：3cos5A=，则4sin5A=．（1）当点E在AC上时，则90AQP∠=︒，AQ PB x==，则10AP AB PB x=-=-，则3 cos105AQ xAAP x===-，解得154x=；（2）如图1，过点Q作QH AP⊥于点H，P经过D、M两点，则PQ PD PB AQ x====，∴点H是AP的中点，则622cos 5AP AH x A x ===， 则6105AB AP PB x x =+=+=， 解得5011x =， 即正三角形PBM 的边长为5011；（3）①当点E 在PC 边上时，如图2，过点Q 作QH AB ⊥于点H ，作PQ 的中垂线交QH 于点G ，交PQ 于点N ， 则180180456075QPA MPB QPE ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒， 则907515HQP ∠=︒-︒=︒，则15230HGP ∠=︒⨯=︒， 在Rt PHQ ∆中，设PH t =，则2GQ GP t ==，3GH t =，423sin 5QH t t x A x ∴===，解得5(23)t =+ 则31055(23)AP AH PH PB x x =++==+， 解得100253x +=； ②当点E 在AB 边上时，如图3，过点Q 作QH AB ⊥于点H ，则3sin5PH QH AQ A x===，3cos5AH x A x==，PH AH∴>，即点P在BA的延长线上，与题意不符；综上，100253 AQ+=．。
2021年上海市浦东新区中考数学二模卷及答案
2021年上海市浦东新区中考数学二模卷及答案2021 年浦东新区中考二模试题数学卷 2021.4（满分150分，考试时间100分钟）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题；2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】 1．化简(3x3)2所得的结果是（）．A．9x B．9x C．6x D．6x 2．若a?b，则下列各式中一定成立的是（） A．a?3?b?3 B．9669ab? C．?3a??3b D．ac?bc 333．在平面直角坐标系中，下列直线中与直线y?2x?3平行的是（）A．y?x?3 B．y??2x?3 C．y?2x?3 D．y?3x?2 4．在平面直角坐标系中，将二次函数y?2x的图象向左平移3个单位，所得图象的解析式为（）A．y?2(x?3) B．y?2(x?3) C．y?2x?3 D．y?2x?3 5．在正多边形中，外角和等于内角和的是（） A．正六边形 B．正五边形 C．正四边形D．正三边形 6．已知半径分别是3和5的两个圆没有公共点，那么这两个圆的圆心距d的取值范围是（） A．d?8 B． d?2 C．0?d?2 D． d?8或0?d?2二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置】7．因式分解：x?2x? ． 8．如果方程2222221?x?a??3的根是x?3，那么a? ． 2 19．请你写一个大于2且小于3的无理数． 10．函数f(x)?1的定义域是． 1?x11． 3a?2b?2a? ．??1，BC=6，那么AB= ． 313．在一个不透明的布袋中装有2个白球和n个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若41 从中随机摸出一个球，摸到黄球的概率是，则n?__________． a 512．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA?2 14．如图1，已知a∥b，?1?40，那么?2的度数等于．b图115．两个相似三角形对应边上高的比是1∶4 ，那么它们的面积比是．16．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=6，以点C为圆心的⊙C与AB相切，那么⊙C的半径等于．17．在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，如果四边形EFGH为菱形，那么四边形ABCD可能是（只要写一种）． 18．如图2，在△ABC中，AD是BC上的中线，BC=4，AC/ ∠ADC=30°，把△ADC沿AD所在直线翻折后点C落在点C′ 的位置，那么点D 到直线BC′ 的距离是．三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）解分式方程：B D 图2C12x?2?1 x?1x?1 20．（本题满分10分）一块长方形绿地的面积为2400平方米，并且长比宽多20米，那么这块绿地的长和宽分别为多少米？221．（本题满分10分，每小题满分各5分）如图3，在△ABC中，sin∠B=A 4，∠C=30°，AB=10。
2021年上海市长宁区中考数学二模试卷(含解析)
2021年上海市长宁区中考数学二模试卷一、选择题（每小题4分）.1．﹣8的倒数是（）A．﹣8B．8C ．﹣D ．2．下列运算正确的是（）A．（a2）3＝a5B．a2•a4＝a8C．a6÷a3＝a2D．（ab）3＝a3b3 3．一家鞋店对上周某品牌女鞋的销售量统计如下：尺寸（码）3536373839241173销售量（双）这家鞋店决定本周进该品牌女鞋时多进一些尺寸为37码的鞋，影响鞋店决策的统计量是（）A．平均数B．众数C．中位数D．方差4．下列方程中，有实数解的是（）A．x2﹣x+1＝0B．x2+1＝0C ．D ．5．下列命题中，假命题是（）A．对角线互相垂直的矩形是正方形B．对角线相等的菱形是正方形C．对角线互相垂直平分的四边形是正方形D．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形6．如果两个圆相交，且其中一个圆的圆心在另一个圆的圆内时，我们称此两圆的位置关系为“内相交”．如图1，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点O在边AC上．如果⊙C与直线AB相切，以OA为半径的⊙O与⊙C“内相交”，那么OA的长度可以是（）A．B．C．D．二、填空题（每题4分，满分48分）.7．计算：a（a+1）＝．8．函数：的定义域是．9．方程组的解是．10．正多边形的一个外角等于20°，则这个正多边形的边数是．11．如果抛物线y＝（m+1）x2的最高点是坐标轴的原点，那么m的取值范围是．12．观察反比例函数y＝的图象，当0＜x＜1时，y的取值范围是．13．从，π这三个数中任选一个数，选出的这个数是有理数的概率为．14．某校为了解本校学生每周阅读课外书籍的时间，对本校全体学生进行了调查，并绘制如图所示的频率分布直方图，那么图中m的值为．15．如图，在△ABC中，AB＝AC＝12，DC＝4，过点作C作CE∥AB交BD的延长线于点E，＝，，那么用向量表示为．16．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深几何？”（注：丈，尺是长度单位，1丈＝10尺）这段话的意思是：有一水池一丈见方，池中央生有一棵芦苇，露出水面一尺．如把它引向岸边，正好与岸边齐．问水有多深？即如图所示的截面图中，AB＝1丈，CD垂直平分AB，DE＝1尺，CD＝CB，那么水的深度CE是尺．17．如图，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，圆心O1、O2在公共弦AB的两侧，AB＝O1O2＝4，sin∠AO1B＝，那么O2A的长是．18．如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，CD是斜边AB的中线．将△ABC绕点A 旋转，点B、点C分别落在点B′、点C′处，且点B′在射线CD上，边AC'与射线CD 交于点E．如果＝3，那么线段CE的长是．三、解答题（本大题共7题，满分78分）[将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上]19．计算：．20．解不等式组：，并求出它的正整数解．21．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，CD＝15，BC＝16，AB＝12，点E 是边BC上的一点，联结DE，且DE＝CE．（1）求梯形ABCD的面积；（2）求∠DEC的正切值．22．某商店销售一种商品．经过市场调查发现：该产品的销售单价需定在50元到110元之间较为合理，每月销售量y（万件）与销售单价x（元/件）存在如图所示的一次函数关系．根据图象提供的信息，解答下列问题：（1）求这种商品的每月销售量y（万件）关于销售单价x（元/件）（50≤x≤110）的函数解析式；（2）已知六月份、八月份这种商品的销售单价分别为95元/件和84元/件，且每月销售量的增长率是相同的，求这个增长率．23．如图，已知四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，AC平分∠BAD，BD平分∠ABC，点E在边BC的延长线上，联结OE，交边CD于点F．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）如果OE⊥CD，求证：CE•OF＝CF•OE．24．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣x+c经过点A（1，0）、B（3，0），且与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）如果将抛物线向左平移m（m＞0）个单位长度，联结AC、BC，当抛物线与△ABC 的三边有且只有一个公共点时，求m的值；（3）如果点P是抛物线上一动点，且在点B的右侧，联结PC，直线PA交y轴于点E，当∠PCE＝∠PEC时，求点P的坐标．25．已知半圆O的直径AB＝4，点C、D在半圆O上（点C与点D不重合），∠COB＝∠DBO，弦BD与半径OC相交于点E，CH⊥AB，垂足为点H，CH交弦BD于点F．（1）如图1，当点D是的中点时，求∠COB的度数；（2）如图2，设OH＝x，＝y，求y关于x函数解析式，并写出定义域；（3）联结OD、OF，如果△DOF是等腰三角形，求线段OH的长．参考答案一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）[每题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂]1．﹣8的倒数是（）A．﹣8B．8C ．﹣D ．解：根据倒数的定义得：﹣8×（﹣）＝1，因此﹣8的倒数是﹣．故选：C．2．下列运算正确的是（）A．（a2）3＝a5B．a2•a4＝a8C．a6÷a3＝a2D．（ab）3＝a3b3解：A、（a2）3＝a6，故此选项错误；B、a2•a4＝a6，故此选项错误；C、a6÷a3＝a3，故此选项错误；D、（ab）3＝a3b3，故此选项正确；故选：D．3．一家鞋店对上周某品牌女鞋的销售量统计如下：尺寸（码）3536373839241173销售量（双）这家鞋店决定本周进该品牌女鞋时多进一些尺寸为37码的鞋，影响鞋店决策的统计量是（）A．平均数B．众数C．中位数D．方差解：鞋店最关心的应该是某一尺码鞋子的销售量最多，在统计量中也就是众数，所以影响鞋店决策的统计量是众数，故选：B．4．下列方程中，有实数解的是（）A．x2﹣x+1＝0B．x2+1＝0C．D．解：方程x2﹣x+1＝0的根的判别式△＝1﹣4＝﹣3＜0，所以方程A没有实数解；方程x2+1＝0的根的判别式△＝0﹣4＝﹣4＜0，故方程B没有实数解；方程＝可变形为x2﹣1＝2x﹣2，整理得x2﹣2x+1＝0．解得x＝1，当x＝1时，分式方程无解．故方程C没有实数解；方程＝1﹣x的解为x＝1，故方程D有实数解．故选：D．5．下列命题中，假命题是（）A．对角线互相垂直的矩形是正方形B．对角线相等的菱形是正方形C．对角线互相垂直平分的四边形是正方形D．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形解：A、对角线互相垂直的矩形是正方形，是真命题；B、对角线相等的菱形是正方形，是真命题；C、对角线互相相等且垂直平分的四边形是正方形，原命题是假命题；D、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，是真命题；故选：C．6．如果两个圆相交，且其中一个圆的圆心在另一个圆的圆内时，我们称此两圆的位置关系为“内相交”．如图1，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点O在边AC上．如果⊙C与直线AB相切，以OA为半径的⊙O与⊙C“内相交”，那么OA的长度可以是（）A．B．C．D．解：△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝5，作CD⊥AB于D，以C为圆心，以CD为半径的圆C与直线AB相切于D，∴CD是⊙C半径，∵AC•BC＝，即＝•CD，∴CD＝，∴⊙C的半径为，∵4﹣＝，4+＝，∴＜OA＜，故选：B．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案】7．计算：a（a+1）＝a2+a．解：原式＝a2+a．故答案为：a2+a8．函数：的定义域是x≥2．解：根据题意得：x﹣2≥0，解得：x≥2．9．方程组的解是．．解：∵x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）．∴x2﹣y2＝0可改写成：x+y＝0或者x﹣y＝0．∴方程组可以改写为：或者．解得：．故答案为：．10．正多边形的一个外角等于20°，则这个正多边形的边数是18．解：因为外角是20度，360÷20＝18，则这个多边形是18边形．故答案为：1811．如果抛物线y＝（m+1）x2的最高点是坐标轴的原点，那么m的取值范围是m＜﹣1．解：根据题意知点O（0，0）是抛物线y＝（m+1）x2的最高点知抛物线的开口向下．∴m+1＜0，解得：m＜﹣1．故答案为：m＜﹣1．12．观察反比例函数y＝的图象，当0＜x＜1时，y的取值范围是y＞2．解：∵k＝2，∴反比例函数y＝的图象在一三象限，且在每个象限y随x的增大而减小，当x＝1时，y＝2，∴当0＜x＜1时，y的取值范围y＞2，故答案为y＞2．13．从，π这三个数中任选一个数，选出的这个数是有理数的概率为．解：∵在，π这三个数中，有理数有这1个，∴选出的这个数是无理数的概率为，故答案为：．14．某校为了解本校学生每周阅读课外书籍的时间，对本校全体学生进行了调查，并绘制如图所示的频率分布直方图，那么图中m的值为0.140．解：m＝（1﹣0.12﹣0.2﹣0.25﹣0.15）÷2＝0.28÷2＝0.140，故答案为：0.140．15．如图，在△ABC中，AB＝AC＝12，DC＝4，过点作C作CE∥AB交BD的延长线于点E，＝，，那么用向量表示为﹣．【解答】解：∵CE∥AB，∴＝，∵AB＝AC＝12，DC＝4，∴AD＝8；∴＝＝，∴AB＝2CE，∵＝，∴＝﹣，∴＝+＝﹣．16．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深几何？”（注：丈，尺是长度单位，1丈＝10尺）这段话的意思是：有一水池一丈见方，池中央生有一棵芦苇，露出水面一尺．如把它引向岸边，正好与岸边齐．问水有多深？即如图所示的截面图中，AB＝1丈，CD垂直平分AB，DE＝1尺，CD＝CB，那么水的深度CE是12尺．解：设水池里水的深度是x尺，由题意得，x2+52＝（x+1）2，解得：x＝12，答：水池里水的深度是12尺．故答案为：12．17．如图，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，圆心O1、O2在公共弦AB的两侧，AB＝O1O2＝4，sin∠AO1B＝，那么O2A的长是．解：如图，过点A作AE⊥O1B于E，∵⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，∴O1O2垂直平分AB，∴AH＝BH＝2，∵sin∠AO1B＝＝，∴设AE＝12x，AO1＝13x，∴O1E＝＝5x，∴BE＝8x，∵AE2+BE2＝AB2，∴144x2+64x2＝16，∴x＝，∴AO1＝13x＝，∴O1H＝＝＝3，∴O2H＝1，∴O2A＝＝＝，故答案为．18．如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，CD是斜边AB的中线．将△ABC绕点A 旋转，点B、点C分别落在点B′、点C′处，且点B′在射线CD上，边AC'与射线CD 交于点E．如果＝3，那么线段CE的长是．解：根据已知，作出的图形，如图所示：∵△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，CD是斜边AB的中线．∴AD＝CD＝DB＝AB＝3，∴∠DAC＝∠ACD，根据旋转性质：∠B′AE＝∠B′CA，∴△B′AE∽△B′CA，∴＝＝，∴AE＝3EC′，∴＝＝，∴＝＝，∴B′C＝8，B′E＝，∴EC＝B′C﹣B′E＝8﹣＝，故答案为：．三、解答题（本大题共7题，满分78分）[将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上]19．计算：．解：原式＝3+3﹣2﹣2+＝3+3﹣2﹣2+2+2＝6．20．解不等式组：，并求出它的正整数解．解：，由不等式①，得x＜3，由不等式②，得x≥，故原不等式组的解集是≤x＜3，∴该不等式组的正整数解是1，2．21．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，CD＝15，BC＝16，AB＝12，点E 是边BC上的一点，联结DE，且DE＝CE．（1）求梯形ABCD的面积；（2）求∠DEC的正切值．解：（1）过D作DF⊥BC于F，∵梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，CD＝15，BC＝16，AB＝12，∴DF＝AB＝12，∴CF＝，∴AD＝BF＝BC﹣CF＝16﹣9＝7，∴梯形ABCD的面积＝；（2）∵DE＝CE，∴EF＝DE﹣9，∵DE2＝DF2+EF2，∴DE2＝144+（DE﹣9）2，∴DE＝，∴EF＝，∴tan∠DEC＝＝．22．某商店销售一种商品．经过市场调查发现：该产品的销售单价需定在50元到110元之间较为合理，每月销售量y（万件）与销售单价x（元/件）存在如图所示的一次函数关系．根据图象提供的信息，解答下列问题：（1）求这种商品的每月销售量y（万件）关于销售单价x（元/件）（50≤x≤110）的函数解析式；（2）已知六月份、八月份这种商品的销售单价分别为95元/件和84元/件，且每月销售量的增长率是相同的，求这个增长率．解：（1）由题意，设y＝kx+b，图象过点（70、5），（90、3），∴，解得：，∴函数解析式为：y＝﹣x+12（50≤x≤110）；（2）由（1）中解析式知：六月份的销售量为：y＝﹣×95+12＝2.5（万件），九月份的销售量为：y＝﹣×84+12＝3.6（万件），设每月销售量的增长率为x，则由题意得：2.5（1+x）2＝3.6，解得：x＝20%，答：每个月的增长率为20%．23．如图，已知四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，AC平分∠BAD，BD平分∠ABC，点E在边BC的延长线上，联结OE，交边CD于点F．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）如果OE⊥CD，求证：CE•OF＝CF•OE．【解答】证明：（1）∵AC平分∠BAD，BD平分∠ABC，∴∠DAC＝∠BAC，∠ABD＝∠CBD，∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB＝∠BAC，∠ADB＝∠DBC＝∠ABD，∴AB＝BC，AB＝AD，∴AD＝BC，又∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵AB＝AD，∴平行四边形ABCD是菱形；（2）如图，过点O作OH⊥BC于H，∵四边形ABCD是菱形，∴∠OCB＝∠OCD，又∵OF⊥CD，OH⊥BC，∴OF＝OH，∵∠E＝∠E，∠EFC＝∠EHO＝90°，∴△CEF∽△OEH，∴＝，∴CE•OF＝CF•OE．24．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣x+c经过点A（1，0）、B（3，0），且与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）如果将抛物线向左平移m（m＞0）个单位长度，联结AC、BC，当抛物线与△ABC 的三边有且只有一个公共点时，求m的值；（3）如果点P是抛物线上一动点，且在点B的右侧，联结PC，直线PA交y轴于点E，当∠PCE＝∠PEC时，求点P的坐标．解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得：，解得，故抛物线的表达式为y＝x2﹣x+4；（2）当抛物线与△ABC的三边有且只有一个公共点时，则抛物线过点C（0，4），由抛物线的表达式知，其对称轴为x＝2，则平移后抛物线再过点C时，m＝4；（3）设点P的坐标为（t，t2﹣t+4），设直线PA的表达式为y＝kx+b，则，解得，故点E的坐标为（0，﹣t+4），而点C（0，4），∵∠PCE＝∠PEC，则点P在CE的中垂线上，由中点公式得：y P＝（y C+y E），即t2﹣t+4＝（4﹣t+4），解得t＝1（舍去）或，故点P的坐标为（，）．25．已知半圆O的直径AB＝4，点C、D在半圆O上（点C与点D不重合），∠COB＝∠DBO，弦BD与半径OC相交于点E，CH⊥AB，垂足为点H，CH交弦BD于点F．（1）如图1，当点D是的中点时，求∠COB的度数；（2）如图2，设OH＝x，＝y，求y关于x函数解析式，并写出定义域；（3）联结OD、OF，如果△DOF是等腰三角形，求线段OH的长．解：（1）如图1中，连接BC．∵＝，∴∠ABD＝∠DBC，∵∠COB＝∠ABD，∴∠OBC＝2∠COB，设∠COB＝x，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝2x，∵∠COB+∠OCB+∠OBC＝180°，∴x+2x+2x＝180°，∴x＝36°，∴∠COB＝36°．（2）如图2中，过点E作EJ⊥CF于J．∵CH⊥OB，∴∠CHO＝∠CHB＝90°，∵∠COB+∠C＝90°，∠ABD+∠HFB＝90°，∴∠C＝∠HFB，∵∠HFB＝∠CFE，∴∠C＝∠CFE，∴EC＝EF，∵EJ⊥CF，∴CJ＝JF，∵OC＝4，OH＝x，∴CH＝＝，∵EJ∥OH，∴＝，∴＝，∴＝，∴＝，∴y＝（0＜x＜4）．（3）如图3﹣1中，当FD＝FC时，∵FD＝FO，OD＝OB，∴∠D＝∠FOD＝∠B，∵∠EOB＝∠B，∴∠D＝∠DOF＝∠B＝∠EOC，∴△FDO≌△EOB（ASA），∴FD＝FO＝EO＝EB，设FD＝FO＝EO＝EB＝x，则EC＝EF＝4﹣x，BF＝2x﹣4，BD＝3x﹣4，∵△DOB∽△BEO，∴＝，∴＝，解得x＝或（舍弃），∵OF2﹣OH2＝BF2﹣BH2，∴OF2﹣OH2＝BF2﹣（4﹣OH）2，∴（）2＝（﹣4）2﹣16+8OH，∴OH＝﹣1．如图3﹣2中，当DC＝DF时，∵OC＝OD，∴DF＝OC，∵EC＝CF，∴DE＝OE，∴∠D＝∠DOE，∵OD＝OB，∴∠D＝∠EBO，∵∠COB＝∠B，∴∠D＝∠B＝∠EOB＝∠DOE＝45°，∵CH⊥OB，∴△OCH是等腰直角三角形，∴OH＝OC＝2，综上所述，OH的值为﹣1或2．。
2021年上海市杨浦区中考数学二模试卷及答案详解
2021年上海市杨浦区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．（4分）下列各数中无理数是（）A．B．C．D．2．（4分）下列说法中，不一定成立的是（）A．如果a＞b，那么a+c＞b+c B．如果a+c＞b+c，那么a＞bC．如果a＞b，那么ac2＞bc2D．如果ac2＞bc2，那么a＞b3．（4分）下列方程中，有实数根的方程是（）A．x4+1＝0B．＝﹣1C．＝﹣x D．＝4．（4分）已知A（x1，y1）和点B（x2，y2）是双曲线y＝上的两个点，如果x1＜x2，那么y1和y2的大小关系正确的是（）A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1＝y2D．无法判断5．（4分）为了解某校九年级400名学生的体重情况，从中随机抽取50名学生的体重进行分析，在这项调查中（）A．400名学生B．被抽取的50名学生C．400名学生的体重D．被抽取的50名学生的体重6．（4分）下列命题中，真命题是（）A．平分弦的直径垂直于弦B．垂直平分弦的直线平分这条弦所对的弧C．在同圆中，相等的弦所对的弧也相等D．经过半径一端且垂直于这条半径的直线是圆的切线二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）计算：a3•a﹣1＝．8．（4分）分解因式：x2﹣4x＝．9．（4分）已知函数f（x）＝，那么自变量x的取值范围是．10．（4分）不等式组的解集是．11．（4分）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+m﹣1＝0有两个相等的实数根，那么m的值为．12．（4分）一个射箭运动员连续射靶5次，所得环数分别是：8，6，10，7，9．13．（4分）在一个布袋中，装有除颜色外其他完全相同的2个红球和2个白球，如果从中随机摸出两个球．14．（4分）已知G是△ABC的重心，设，，那么＝（用、表示）．15．（4分）如果一个正六边形的边心距为厘米，那么它的半径长为厘米．16．（4分）如图，已知在正方形网格中，点A、B、C、D在小正方形的顶点上，那么tan ∠AOC＝．17．（4分）如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，那么我们把这条直线叫做这个平面图形的面积等分线．已知在菱形ABCD中，AB＝6，点E在边AD上，且AE＝2，那么线段EF的长为．18．（4分）如图，已知在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，点D是边BC的中点，将△BDE 沿直线DE翻折，点B落在B'处，如果∠AB'D＝90°，那么线段AE的长为．三.解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：﹣﹣（）﹣1÷+（1﹣）2．20．（10分）解方程：．21．（10分）如图，已知正比例函数y＝kx的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（a，3），过点B作BD⊥x轴，交反比例函数的图象于点C（1）求a、k的值；（2）联结AC，如果BD＝6，求△ACD的面积．22．（10分）如图1是一种手机平板支架，由底座、支撑板和托板构成，手机放置在托板上，量得底座长AB＝11cm，支撑板长BC＝8cm，托板CD固定在支撑板顶端点C处，托板CD可绕点C旋转（1）如果∠ABC＝60°，∠BCD＝70°，求点D到直线AB的距离（精确到0.1cm）；（2）在第（1）小题的条件下，如果把线段CD绕点C顺时针旋转20°后，使点D落在直线AB上，求线段BC旋转的角度．（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）23．（12分）已知：如图，AB是半圆O的直径，C是半圆上一点（不与点A、B重合），E 是直径AB上一点，且AE＝AD（1）求证：CE＝CD；（2）如果＝3，延长EC与弦AD的延长线交于点F，求证：四边形OCFD是菱形．24．（12分）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x﹣5与x轴相交于点A，抛物线y＝ax2+6x+c经过A、B两点．（1）求这条抛物线的表达式；（2）设抛物线与x轴的另一个交点为C，点P是抛物线上一点，点Q是直线AB上一点，求点Q的坐标；（3）在第（2）小题的条件下，联结QC，使得∠QCD＝∠ABC，求线段DQ的长．25．（14分）如图，已知Q是∠BAC的边AC上一点，AQ＝15，点P是射线AB上一点，联结PQ，与边AC相交于另一点D．（1）当圆心O在射线AB上时，求⊙O的半径；（2）当圆心O到直线AB的距离为时，求线段AP的长；（3）试讨论以线段PQ长为半径的⊙P与⊙O的位置关系，并写出相应的线段AP取值范围．2021年上海市杨浦区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．（4分）下列各数中无理数是（）A．B．C．D．【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【解答】解：A、是无理数；B、是有理数；C、＝2是有理数；D、＝5是有理数；故选：A．【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．2．（4分）下列说法中，不一定成立的是（）A．如果a＞b，那么a+c＞b+c B．如果a+c＞b+c，那么a＞bC．如果a＞b，那么ac2＞bc2D．如果ac2＞bc2，那么a＞b【分析】根据不等式的性质1，不等式的两边同时加上或减去一个数或整式，不等号的方向不变，可以排除A，B，根据不等式的性质2，不等式的两边同时乘以或除以一个正数，不等号的方向不变即可排除D，即可得到答案．【解答】解：根据不等式的性质，不等式两边同时加上或减去一个数或者整式．可知A 不符合题意；根据不等式的性质，不等式两边同时加上或减去一个数或者整式．可知B不符合题意；若c＝0则不等式不成立，C符合题意；根据不等式的性质，不等式两边同时乘以或除以一个正数不等号的方向不变．故选：C．【点评】本题考查不等式的性质，当利用不等式的性质2，3时应注意乘数或除数不为0．3．（4分）下列方程中，有实数根的方程是（）A．x4+1＝0B．＝﹣1C．＝﹣x D．＝【分析】利用乘方的意义可对A进行判断；通过解无理方程可对B、C进行判断；通过解分式方程可对D进行判断．【解答】解：A、x4≥0，x7+1＞0，方程x8+1＝0没有实数解；B、≥0；C、两边平方得x+2＝x4，解得x1＝﹣1，x4＝2，经检验；D、去分母得x＝1，故选：C．【点评】本题考查了无理方程：解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．用乘方法（即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号）来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．4．（4分）已知A（x1，y1）和点B（x2，y2）是双曲线y＝上的两个点，如果x1＜x2，那么y1和y2的大小关系正确的是（）A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1＝y2D．无法判断【分析】由于点A（x1，y1）、B（x2，y2）不一定在同一象限，所以无法判断出y1、y2的大小．【解答】解：∵k＝2＞0，∴双曲线在一、三象限．①当x2＜x2＜0时，y4＞y2；②当0＜x4＜x2时，y1＞y5；③当x1＜0＜x2时，y1＜y2；故选：D．【点评】本题考查了反比例函数图象的性质，分类讨论是解题的关键．5．（4分）为了解某校九年级400名学生的体重情况，从中随机抽取50名学生的体重进行分析，在这项调查中（）A．400名学生B．被抽取的50名学生C．400名学生的体重D．被抽取的50名学生的体重【分析】根据总体、个体、样本、样本容量的定义判断即可．【解答】解：为了解某校九年级400名学生的体重情况，从中随机抽取50名学生的体重进行分析，样本是被抽取的50名学生的体重．故选：D．【点评】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．6．（4分）下列命题中，真命题是（）A．平分弦的直径垂直于弦B．垂直平分弦的直线平分这条弦所对的弧C．在同圆中，相等的弦所对的弧也相等D．经过半径一端且垂直于这条半径的直线是圆的切线【分析】根据圆的有关概念和性质、垂径定理进行判断解答．【解答】解：A、平分弦（非直径）的直径垂直于弦；B、垂直平分弦的直线平分这条弦所对的弧；C、在同圆或等圆中，原命题是假命题；D、经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；故选：B．【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解圆的有关概念和性质、垂径定理等知识，难度不大．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）计算：a3•a﹣1＝a2．【分析】根据同底数幂的乘法，可得答案．【解答】解：原式＝a3+（﹣1）＝a2．故答案为：a2．【点评】本题考查了负整数指数幂，利用同底数幂的乘法计算是解题关键．8．（4分）分解因式：x2﹣4x＝x（x﹣4）．【分析】直接提取公因式x进而分解因式得出即可．【解答】解：x2﹣4x＝x（x﹣3）．故答案为：x（x﹣4）．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．9．（4分）已知函数f（x）＝，那么自变量x的取值范围是．【分析】根据分式有意义的条件进行计算即可．【解答】解：∵2x+3≠4，∴；故答案为．【点评】本题考查了函数自变量的取值范围问题，掌握分式有意义的条件是解题的关键．10．（4分）不等式组的解集是x＜1．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式3x﹣15≤0，得：x≤5，解不等式＞2，则不等式组的解集为x＜1，故答案为：x＜1．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．11．（4分）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+m﹣1＝0有两个相等的实数根，那么m的值为10．【分析】根据一元二次方程x2﹣6x+m﹣1＝0有两个相等的实数根得到△＝36﹣4（m﹣1）＝0，求出m的值即可．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣6x+m﹣8＝0有两个相等的实数，∴△＝36﹣4（m﹣5）＝0，∴m＝10，故答案为10．【点评】此题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．12．（4分）一个射箭运动员连续射靶5次，所得环数分别是：8，6，10，7，9．【分析】先由平均数的公式求得平均数的值，再根据方差的公式计算方差，最后计算标准差．【解答】解：由题意知：＝＝8，方差S2＝[（8﹣8）5+（6﹣8）7+（10﹣8）2+（5﹣8）2+（6﹣8）2]＝5∴标准差是方差的平方根为．故答案为：．【点评】计算标准差需先算出方差，计算方差的步骤是：（1）计算数据的平均数；（2）计算偏差，即每个数据与平均数的差；（3）计算偏差的平方和；（4）偏差的平方和除以数据个数．标准差即方差的算术平方根；注意标准差和方差一样都是非负数．13．（4分）在一个布袋中，装有除颜色外其他完全相同的2个红球和2个白球，如果从中随机摸出两个球．【分析】画树状图，共有12个等可能的结果，摸到的两个球颜色相同的结果有4个，再由概率公式求解即可．【解答】解：画树状图如图：共有12个等可能的结果，摸到的两个球颜色相同的结果有4个，∴摸到的两个球颜色相同的概率为＝，故答案为：．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．14．（4分）已知G是△ABC的重心，设，，那么＝（用、表示）．【分析】首先根据题意作出图形，然后根据图，即可求得的值，又由G是△ABC的重心，即可求得的值，继而求得的值．【解答】解：如图，∵，，∴＝﹣＝﹣，∵D是BC的中点，∴＝＝（﹣），∴＝+＝+（﹣）＝（+），∵G是△ABC的重心，∴＝＝×（+）＝（+）．故答案为：（+）．【点评】此题考查了平面向量的知识与三角形重心的性质．此题难度适中，注意掌握三角形法则的应用，注意数形结合思想的应用．15．（4分）如果一个正六边形的边心距为厘米，那么它的半径长为2厘米．【分析】根据题意画出图形，先求出∠AOB的度数，再根据三角函数求出OA的长即可．【解答】解：如图所示，∵图中是正六边形，∴∠AOB＝＝60°．∵OA＝OB，∴△OAB是等边三角形．∵OD⊥AB，OD＝，∴OA＝＝4；故答案为：2．【点评】本题考查的是正多边形和圆，熟知正六边形的性质是解答此题的关键．16．（4分）如图，已知在正方形网格中，点A、B、C、D在小正方形的顶点上，那么tan ∠AOC＝3．【分析】如图，取格点E，连接AE、BE，通过计算得直角三角形△ABE，利用CD∥BE，得到∠AOC＝∠ABE．在Rt△ABE中，依据正切值的意义可求解．【解答】解：如图，取格点E、BE，设网格中的小正方形的边长为1，则BE＝，AE＝．由网格可以看出：∠AED＝45°，∠BED＝45°．∴∠AEB＝45°+45°＝90°．同理，∠ACD＝90°．∴CD∥BE．∴∠AOC＝∠ABE．∴tan∠AOC＝tan∠ABE．在Rt△ABE中，tan∠ABE＝．∴tan∠AOC＝3．故答案为：3．【点评】本题主要考查了解直角三角形．本题是网格问题，依据网格的特点，巧妙的构造直角三角形是解题的关键．17．（4分）如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，那么我们把这条直线叫做这个平面图形的面积等分线．已知在菱形ABCD中，AB＝6，点E在边AD上，且AE＝2，那么线段EF的长为2．【分析】过点A和点E作AG⊥BC，EH⊥BC于点G和H，可得矩形AGHE，再根据菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，可得BG＝3，AG＝3＝EH，由题意可得，FH＝FC ﹣HC＝2﹣1＝1，进而根据勾股定理可得EF的长．【解答】解：如图，过点A和点E作AG⊥BC，得矩形AGHE，∴GH＝AE＝2，∵在菱形ABCD中，AB＝6，∴BG＝4，AG＝3，∴HC＝BC﹣BG﹣GH＝2﹣3﹣2＝7，∵EF平分菱形面积，EF经过菱形对角线交点，∴FC＝AE＝2，∴FH＝FC﹣HC＝2﹣7＝1，在Rt△EFH中，根据勾股定理，得EF＝＝＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质．18．（4分）如图，已知在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，点D是边BC的中点，将△BDE 沿直线DE翻折，点B落在B'处，如果∠AB'D＝90°，那么线段AE的长为或2．【分析】分两种情况讨论，由折叠的性质和锐角三角函数可求解．【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，∴AB＝4，BC＝，∵点D是边BC的中点，∴BD＝CD＝，∵将△BDE沿直线DE翻折，∴B'D＝BD＝，∴点B'在以点D为圆心，BD为半径的圆上，当点B'与点C不重合时，连接AD，在Rt△ACD和Rt△AB'D中，，∴Rt△ACD≌Rt△AB'D（HL），∴∠DAC＝∠DAB'，∵∠BDB'+∠B'DC＝180°＝∠B'AC+∠B'DC，∴∠B'AC＝∠BDB'，∵折叠，∴∠BDE＝∠EDB'，∴∠BDE＝∠DAC，∴tan∠DAC＝tan∠BDE＝＝，∴设EH＝x，DH＝2x，∵∠B＝30°，∴BH＝EH＝5x x∵BH+DH＝BD＝，∴x＝，∴EH＝，BE＝，∴AE＝，当点B'与点C重合时，∠AB'D＝90°，∴DE是BC的垂直平分线，∴DE∥AC，∴，∴AE＝BE＝AB＝2，综上所述：AE＝或8．故答案为：或2．【点评】本题考查了翻折变换，锐角三角函数，全等三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．三.解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：﹣﹣（）﹣1÷+（1﹣）2．【分析】先根据负整数指数幂的意义、完全平方公式计算和除法运算化为乘法运算，再分母有理化，然后合并即可．【解答】解：原式＝2+﹣8×+2＝2+2+﹣＝5．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．20．（10分）解方程：．【分析】观察可得方程最简公分母为（x2﹣9）．去分母，转化为整式方程求解．结果要检验．【解答】解：方程两边同乘以（x+3）（x﹣3）得：（2分）4x＝x2﹣3+2（x+3）﹣2（x﹣3），（2分）整理得：x7﹣4x+3＝7，（2分）解得：x1＝4，x2＝3，（8分）经检验：x2＝3是原方程的增根，（8分）所以，原方程的解为x＝1【点评】（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解；（2）解分式方程一定注意要验根．21．（10分）如图，已知正比例函数y＝kx的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（a，3），过点B作BD⊥x轴，交反比例函数的图象于点C（1）求a、k的值；（2）联结AC，如果BD＝6，求△ACD的面积．【分析】（1）把点A（a，3）代入反比例函数关系式可求出a的值，确定点A的坐标，进而求出正比例函数的关系式；（2）根据BD＝6，求出点B的横坐标，求出OB，代入求出BC，根据三角形的面积公式进行计算即可．【解答】解：（1）把点A（a，3）代入反比例函数y＝，2＝，解得a＝2，∴点A（3，3），k＝；（2）当BD＝6＝y时，代入y＝，x＝4，∴OB＝4，当x＝8代入y＝得，y＝，∴CD＝BD﹣BC＝8﹣＝，＝××（8﹣2）＝．∴S△ACD【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点，函数图象上点的坐标特征，三角形面积，求得交点的坐标是解题的关键．22．（10分）如图1是一种手机平板支架，由底座、支撑板和托板构成，手机放置在托板上，量得底座长AB＝11cm，支撑板长BC＝8cm，托板CD固定在支撑板顶端点C处，托板CD可绕点C旋转（1）如果∠ABC＝60°，∠BCD＝70°，求点D到直线AB的距离（精确到0.1cm）；（2）在第（1）小题的条件下，如果把线段CD绕点C顺时针旋转20°后，使点D落在直线AB上，求线段BC旋转的角度．（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）【分析】（1）通过作垂线，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系，求出CN、CF，即可求出点D到直线AB的距离；（2）画出旋转后的图形，结合图形，明确图形中的已知的边角，再利用直角三角形的边角关系求出相应的角度即可．【解答】解：（1）如图2，过D作DM⊥AB，过点C作CN⊥AB于点N，过点D作DQ ⊥CN交CB于点Q，在Rt△CNB中，∠ABC＝60°，∴CN＝CB•sin∠ABC＝8×≈6.92（cm），∵∠BCN＝90°﹣60°＝30°，又∵∠DCB＝70°，∴∠DCF＝70°﹣30°＝40°，在Rt△DCF中，∠DCF＝40°，∴CF＝CD•cos40°≈4×0.77＝4.62（cm），∵∠DMN＝∠MNF＝∠NFD＝90°，∴四边形MNFD是矩形，∴DM＝FN＝CN﹣CF＝3.92﹣4.62＝2.8（cm），即点D到直线AB的距离为2.3cm；（2）把线段CD绕点C顺时针旋转20°后，∠C′＝70°+20°＝90°，∵BC＝8cm，CD＝6cm，∴tan∠C′BD′＝＝0.75，∵tan37°≈0.75，∴∠C′BD′＝37°，∵∠ABC＝60°，∴∠CBC′＝60°﹣37°＝23°，答：线段BC旋转的角度为23°．【点评】本题考查解直角三角形的应用，锐角三角函数的意义，通过作辅助线构造直角三角形是常用的方法，也是基本的方法．23．（12分）已知：如图，AB是半圆O的直径，C是半圆上一点（不与点A、B重合），E 是直径AB上一点，且AE＝AD（1）求证：CE＝CD；（2）如果＝3，延长EC与弦AD的延长线交于点F，求证：四边形OCFD是菱形．【分析】（1）由“SAS”可证△DAC≌△EAC，可得CE＝CD；（2）先求出∠AOD＝∠AEC＝108°，可证OD∥CE，由菱形的判定可得结论．【解答】证明：（1）如图，连接AC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵AD∥OC，∴∠DAC＝∠OCA，∴∠DAC＝∠OAC，在△DAC和△EAC中，，∴△DAC≌△EAC（SAS），∴CE＝CD；（2）如图2，连接CA，∵＝3，∴∠AOD＝4∠COD，∵AD∥OC，∴∠ADO＝∠DOC，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵∠AOD+∠OAD+∠ADO＝180°，∴5∠ADO＝180°，∴∠ADO＝36°，∴∠AOD＝108°，∠DOC＝36°，∵OD＝OC，∴∠ODC＝72°，∴∠ADC＝108°，∵△DAC≌△EAC，∴∠ADC＝∠AEC＝108°，∴∠AOD＝∠AEC，∴OD∥CE，又∵OC∥AD，∴四边形OCFD是平行四边形，又∵OD＝OC，∴平行四边形OCFD是菱形．【点评】本题考查了菱形的判定，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．24．（12分）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x﹣5与x轴相交于点A，抛物线y＝ax2+6x+c经过A、B两点．（1）求这条抛物线的表达式；（2）设抛物线与x轴的另一个交点为C，点P是抛物线上一点，点Q是直线AB上一点，求点Q的坐标；（3）在第（2）小题的条件下，联结QC，使得∠QCD＝∠ABC，求线段DQ的长．【分析】（1）求出A、B坐标代入y＝ax2+6x+c即可得答案；（2）求出C坐标，设P、Q坐标，根据平行四边形两条对角线的中点重合可列方程求解；（3）CD与AB交于N，由∠QCD＝∠ABC可得△CQN∽△BQC，求出QN及N坐标，再求CN解析式及D坐标即可得出答案．【解答】解：（1）在y＝x﹣5中令x＝0，得y＝﹣7，∴A（5，0），﹣8），将A（5，0），﹣7）代入y＝ax2+6x+c得：，解得，∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+6x﹣6；（2）在y＝﹣x2+6x﹣3中令y＝0得x1＝2，x2＝5，∴C（5，0），点P是抛物线上一点，点Q是直线AB上一点，设P（m，﹣m2+6m﹣5），Q（n，则BP的中点为（，），CQ的中点为（，），∵四边形BCPQ是平行四边形，∴线段BP的中点，即是CQ的中点，∴，解得或，∴Q（3，﹣6）；（3）设CD与AB交于N，如图：∵B（0，﹣5），4），﹣2），∴CQ＝2，BQ＝3，∵∠QCD＝∠ABC，且∠CQN＝∠BQC，∴△CQN∽△BQC，∴，即＝，∴QN＝，设N（t，t﹣5），﹣2），∴＝，∴t＝或t＝，∵在∠QCB内作射线CD，∴t＝，N（，﹣），设CN解析式为y＝kx+b，将N（，﹣），8）代入得：，解得，∴CN解析式为y＝﹣5x+5，令x＝3得y＝﹣10，∴Q（3，﹣10），∴DQ＝﹣2﹣（﹣10）＝6．【点评】本题考查二次函数、平行四边形及相似三角形综合知识，解题关键是设出坐标，利用相似三角形性质求出ND的长度．25．（14分）如图，已知Q是∠BAC的边AC上一点，AQ＝15，点P是射线AB上一点，联结PQ，与边AC相交于另一点D．（1）当圆心O在射线AB上时，求⊙O的半径；（2）当圆心O到直线AB的距离为时，求线段AP的长；（3）试讨论以线段PQ长为半径的⊙P与⊙O的位置关系，并写出相应的线段AP取值范围．【分析】（1）解直角三角形求出PA即可．（2）分两种情形：如图2﹣1中，当点O在射线AB的上方时，如图2﹣2中，当点O在射线AB的下方时，分别利用相似三角形的性质求解即可．（3）求出两圆内切时AP的值，条件⊙O与AC相切于时A时，AP的值，即可判断．【解答】解：（1）如图1中，∵点O在PA上，PQ是⊙O的切线，∴PQ⊥AP，∵cot∠PAQ＝＝，∴可以假设PA＝3k，PQ＝4k，∴k＝2，∴PA＝9，PQ＝12，∴⊙O的半径为．（2）如图2﹣1中，当点O在射线AB的上方时，过点O作OH⊥AB于H．∵PQ是⊙O的切线，∴∠PHO＝∠OPQ＝∠PKQ＝90°，∴∠OPH+∠QPK＝90°，∠QPK+∠PQK＝90°，∴△PHO∽△QKP，∴＝，设PA＝4m，则AH＝PH＝m，∴＝，解得，m＝，经检验，x＝，且符合题意．∴AP＝4或6．如图2﹣6中，当点O在射线AB的下方时．综上所述，满足条件的AP的值为3或．（3）如图3﹣8中，当⊙P与⊙O内切时，由△PHO∽△QKP，可得＝＝，∵OH⊥AP，∴AH＝PH，∴AP＝5PH，QK＝2PH，∴PA＝QK＝12，如图3﹣6中，当⊙O与AC相切于点A时，∵∠OAQ＝∠OPQ＝90°，OQ＝OQ，∴Rt△OAQ≌Rt△OPQ（HL），∴AQ＝PQ，∵OA＝OP，∴OQ垂直平分线段AP，∴AP＝2AH＝18，观察图像可知：当⊙O与⊙P内含时，0＜AP＜12．当⊙O与⊙P内切时，AP＝12．当⊙O与⊙P相交时，12＜AP＜18．【点评】本题属于圆综合题，考查了切线的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，两圆的位置关系等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会寻找特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题．。
2021年上海市嘉定区中考数学二模试卷(学生版+解析版)
2021年上海市嘉定区中考数学二模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上. 1．（4分）下列四个选项中的数，不是分数的是( )A ．80%B C ．123D ．2272．（4分）已知：0a ≠，下列四个算式中，正确的是( ) A ．235a a a +=B ．236a a a ⋅=C ．238()a a =D ．231a a a -÷=3．（4分）下列四个函数解析式中，其函数图象经过原点的是( ) A ．112y x =+ B ．2y x=-C ．22y x x =+D ．2(1)y x =-4．（4分）下列各统计量中，表示一组数据波动程度的量是( ) A ．频率B ．方差C ．平均数D ．众数5．（4分）下列四个命题中，真命题是( ) A ．对角线互相平分的四边形是平行四边形B ．对角线互相垂直的四边形是菱形C ．以一条对角线为对称轴的四边形是菱形D ．对称轴互相垂直的四边形是矩形6．（4分）如果两圆的圆心距为3，其中一个圆的半径长为3，那么这两个圆的位置关系不可能是( ) A ．两圆内切B ．两圆内含C ．两圆外离D ．两圆相交二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）化简：|1= ． 8．（4分）计算：(1)(2)x x +⋅-= ． 9．（4分）如果点(3,)P b 在函数11y x =+的图象上，那么b 的值为 ． 10．（4分）如果关于x 的方程260x x m -+=有两个相等的实数根，那么m 的值为 ．11．（4x =-的实数解是 ．12．（4分）从一副去掉大小王的扑克牌中随机抽取一张，抽到数字为“6”的扑克牌的概率是 ．13．（4分）如果点1(A x ，1)y 和2(B x ，2)y 在反比例函数(0)ky k x=<的图象上，且120x x <<，那么1y 与2y 的大小关系为：1y 2y ．（填“<”或“=”或“>” )14．（4分）为了估计某个鱼塘里的鱼的数量，养殖工人网住了50条鱼，在每条鱼的尾巴上做个记号后，又将鱼放回鱼塘．等鱼游散后再随机撒网，网住60条鱼，发现其中有2条鱼的尾巴上有记号．设该鱼塘里有x 条鱼，依据题意，可以列出方程： ．15．（4分）已知AD 是ABC ∆的中线，设向量AB a =，向量AD b =，那么向量AC = （用向量a 、b 的线性组合表示）．16．（4分）如果一个正三角形的半径长为2，那么这个三角形的边长为 ．17．（4分）已知直角三角形的直角边长为a 、b ，斜边长为c ，将满足222a b c +=的一组正整数称为“勾股数组”，记为(a ，b ，)c ，其中a b c <．事实上，早在公元前十一世纪，中国古代数学家商高就发现了“勾三、股四、弦五”，我们将其简记为(3，4，5)．类似的勾股数组还有很多⋯．例如：(5，12，13)，(7，24，25)，(9，40，41)，(11，60，61)，(13，84，85)，⋯．如果21(a n n =+为正整数），那么b c += ．（用含n 的代数式表示） 18．（4分）在矩形ABCD 中，6AB =，4BC =（如图），点E 是边AB 的中点，联结DE ．将DAE ∆沿直线DE 翻折，点A 的对应点为A '，那么点A '到直线BC 的距离为 ．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）先化简，再求值：22111111x x x x ++-+--，其中，2x ． 20．（10分）解方程组：2222560441x xy y x xy y ⎧--=⎨-+=⎩． 21．（10分）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，6AC =，3cos 5A =．D 是AB 边的中点，过点D 作直线CD 的垂线，与边BC 相交于点E ． （1）求线段CE 的长； （2）求sin BDE ∠的值．22．（10分）张先生准备租一处房屋开一家公司．现有甲、乙两家房屋出租，甲家房屋已装修好，每月租金3000元；乙家房屋没有装修，每月租金2000元，但要装修成甲家房屋的模样，需要花费40000元．请你自行定义变量，建立函数，并利用与函数有关的知识帮助张先生设计一个租房方案（备注：只从最省钱的角度设计租房方案，写出具体的解题过程）．23．（12分）已知：四边形ABCD 是正方形，点E 是BC 边的中点，点F 在边AB 上，联结DE 、EF ．（1）如图1，如果1tan 2BEF ∠=，求证：EF DE ⊥； （2）如图2，如果3tan 4BEF ∠=，求证：3DEF CDE ∠=∠．24．（12分）在平面直角坐标系xOy （如图）中，二次函数2()21f x ax ax a =-+-（其中a 是常数，且0)a ≠的图象是开口向上的抛物线． （1）求该抛物线的顶点P 的坐标；（2）我们将横、纵坐标都是整数的点叫做“整点”，将抛物线2()21f x ax ax a =-+-与y 轴的交点记为A ，如果线段OA 上的“整点”的个数小于4，试求a 的取值范围；（3）如果(1)f -、(0)f 、f （3）、f （4）这四个函数值中有且只有一个值大于0，试写出符合题意的一个函数解析式；结合函数图象，求a 的取值范围．25．（14分）已知：O 的半径长是5，AB 是O 的直径，CD 是O 的弦．分别过点A 、B 向直线CD 作垂线，垂足分别为E 、F ．（1）如图1，当点A 、B 位于直线CD 同侧，求证：CF DE =；（2）如图2，当点A 、B 位于直线CD 两侧，30BAE ∠=︒，且2AE BF =，求弦CD 的长； （3）设弦CD 的长为l ，线段AE 的长为m ，线段BF 的长为n ，探究l 与m 、n 之间的数量关系，并用含m 、n 的代数式表示l ．2021年上海市嘉定区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上. 1．（4分）下列四个选项中的数，不是分数的是( )A ．80%BC ．123D ．227【解答】解：是无理数，无理数一定不是分数，∴不是分数， 故选：B ．2．（4分）已知：0a ≠，下列四个算式中，正确的是( ) A ．235a a a +=B ．236a a a ⋅=C ．238()a a =D ．231a a a -÷=【解答】解：A ，235a a a +≠，故此选项不正确．B ，23235a a a a +⋅==，故此选项不正确．C ，23236()a a a ⨯==，故此选项不正确．D ，23231a a a a --÷==，故此选项正确．故选：D ．3．（4分）下列四个函数解析式中，其函数图象经过原点的是( ) A ．112y x =+ B ．2y x=-C ．22y x x =+D ．2(1)y x =-【解答】解：A 、令0x =，则1y =，故不符合题意；B 、0x =无意义，故不符合题意；C 、0x =，则0y =，故符合题意；D 、0x =，则1y =，故不符合题意．故选：C ．4．（4分）下列各统计量中，表示一组数据波动程度的量是( ) A ．频率B ．方差C ．平均数D ．众数【解答】解：频率是指某数据出现的次数占总次数的比，不表示波动程度，故A 不符合题意；方差是指每个数据与平均数的差的平方的平均数，表示数据波动程度，故B符合题意；平均数是指一组数据的和除以数据个数，不表示数据波动程度，故C不符合题意；众数值一组数中出现次数最多的数，不表示数据波动程度，故D不符合题意．故选：B．5．（4分）下列四个命题中，真命题是()A．对角线互相平分的四边形是平行四边形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．以一条对角线为对称轴的四边形是菱形D．对称轴互相垂直的四边形是矩形【解答】解：对角线互相平分的四边形是平行四边形是平行四边形判定定理，是真命题，故A符合题意；对角线互相垂直的四边形是菱形是假命题，故B不符合题意；以一条对角线为对称轴的四边形可能是“筝”形，以一条对角线为对称轴的四边形是菱形是假命题，故C不符合题意；对称轴互相垂直的四边形是矩形是假命题，故D不符合题意，故选：A．6．（4分）如果两圆的圆心距为3，其中一个圆的半径长为3，那么这两个圆的位置关系不可能是()A．两圆内切B．两圆内含C．两圆外离D．两圆相交【解答】解：两圆的圆心距为3，其中一个圆的半径长为3，则另一圆的圆心在前一圆上，如图：两圆位置可能是：内切、外切及相交，但不能是外离，故选：C．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）化简：|1=1 ．【解答】解：|11．8．（4分）计算：(1)(2)x x +⋅-= 22x x -- ． 【解答】解：22(1)(2)222x x x x x x x +⋅-=-+-=--， 故答案为：22x x --．9．（4分）如果点(3,)P b 在函数11y x =+的图象上，那么b 的值为 14． 【解答】解：将(3,)P b 代入11y x =+得：11314b ==+，故答案为：14． 10．（4分）如果关于x 的方程260x x m -+=有两个相等的实数根，那么m 的值为 9 ． 【解答】解：方程260x x m -+=有两个相等的实数根，∴△224(6)40b ac m =-=--=，解得9m =， 故答案为：9．11．（4x =-的实数解是 1- ．【解答】x =-两边平方得：223x x +=， 整理得2230x x --=， 解得13x =，21x =-，当13x =，左边3=，右边3=-，∴左边≠右边，13x ∴=不是原方程的解，舍去，当21x =-时，左边1=，右边1=，∴左边=右边，21x ∴=-是原方程的解，1x ∴=-，故答案为：1-．12．（4分）从一副去掉大小王的扑克牌中随机抽取一张，抽到数字为“6”的扑克牌的概率是113． 【解答】解：因为一副扑克牌中共有54张牌，去掉大小王的扑克牌，数字为“6”的有4张．则抽到黑桃的概率为：415213=． 故答案为：113． 13．（4分）如果点1(A x ，1)y 和2(B x ，2)y 在反比例函数(0)ky k x=<的图象上，且120x x <<，那么1y 与2y 的大小关系为：1y < 2y ．（填“<”或“=”或“>” )【解答】解：点1(A x ，1)y 和2(B x ，2)y 在反比例函数(0)k y k x=<的图象上，且120x x <<，且在同一个象限内，y 随x 的增大而增大， 12y y ∴<，故答案为：<．14．（4分）为了估计某个鱼塘里的鱼的数量，养殖工人网住了50条鱼，在每条鱼的尾巴上做个记号后，又将鱼放回鱼塘．等鱼游散后再随机撒网，网住60条鱼，发现其中有2条鱼的尾巴上有记号．设该鱼塘里有x 条鱼，依据题意，可以列出方程： 26050x = ． 【解答】解：设该鱼塘里有x 条鱼，依据题意，可以列出方程： 26050x =． 故答案为：26050x =． 15．（4分）已知AD 是ABC ∆的中线，设向量AB a =，向量AD b =，那么向量AC = 2b a - （用向量a 、b 的线性组合表示）． 【解答】解：如图，BD BA AD =+，∴BD a b =-+，AD 是中线，2BC BD ∴=，∴22BC b a =-，∴222AC AB BC a b a b a =+=+-=-，故答案为：2b a -，16．（4分）如果一个正三角形的半径长为2，那么这个三角形的边长为 23 ． 【解答】解：如图：正三角形ABC ，半径2OA OB OC ===，延长AO 交BC 于H ， 3603120BOC ∠=︒÷=︒，O 为正三角形中心， 90BHO ∴∠=︒，60BOH ∠=︒，2BC BH =， sin 603BH OB ∴=⋅︒= 23BC ∴=故答案为：2317．（4分）已知直角三角形的直角边长为a 、b ，斜边长为c ，将满足222a b c +=的一组正整数称为“勾股数组”，记为(a ，b ，)c ，其中a b c <．事实上，早在公元前十一世纪，中国古代数学家商高就发现了“勾三、股四、弦五”，我们将其简记为(3，4，5)．类似的勾股数组还有很多⋯．例如：(5，12，13)，(7，24，25)，(9，40，41)，(11，60，61)，(13，84，85)，⋯．如果21(a n n =+为正整数），那么b c += 2441n n ++ ．（用含n 的代数式表示）【解答】解：观察“勾股数组” (a ，b ，)c ，当a 为奇数时，1c b =+， 又21(a n n =+为正整数），由勾股定理可得：222(21)c b n -=+，即222(1)(21)b b n +-=+， 解得222b n n =+， 2221c n n ∴=++， 2441b c n n ∴+=++，故答案为：2441n n ++．18．（4分）在矩形ABCD 中，6AB =，4BC =（如图），点E 是边AB 的中点，联结DE ．将DAE ∆沿直线DE 翻折，点A 的对应点为A '，那么点A '到直线BC 的距离为5425．【解答】解：过A '作//FG BC 交AB 于F ，交CD 于G ，过A '作A H BC '⊥于H ，如图：矩形ABCD 中，6AB =，4BC =，E 是边AB 的中点 90A ∴∠=︒，4AD BC ==，6CD AB ==，3AE =，DAE ∆沿直线DE 翻折，点A 的对应点为A '，90DA E A ∴∠'=∠=︒，4A D AD '==，3A E AE '==，又//FG BC ，90A DG DAG EA F ∴∠'=︒-∠'=∠'，而90EFA AGD ∠'=∠'=︒，EFA ∴∆'∽△A GD '，∴34EF FA EA A G DG A D ''===''， 设3EF m =，3FA n '=，则4AG m '=，4DG n =，4FA AG BC '+'==，AE EF DG +=，∴344334n m m n +=⎧⎨+=⎩，解得2425n =， 96425DG n ∴==， 5425CG CD DG ∴=-=， 5425A H ∴'= 故答案为：5425． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）先化简，再求值：22111111x x x x ++-+--，其中，x ． 【解答】解：22111111x x x x ++-+-- 211111(1)(1)x x x x x +=+-+-+- 211(1)(1)(1)x x x x x -++-+=+- 2111(1)(1)x x x x x -++--=+- 2(1)(1)(1)x x x --=+- 11x x -=-+，当x 时，原式21)213==-=-+=-+ 20．（10分）解方程组：2222560441x xy y x xy y ⎧--=⎨-+=⎩． 【解答】解：22560x xy y --=可化为(6)()0x y x y -+=，60x y ∴-=或0x y +=，22441x xy y -+=可化为(21)(21)0x y x y -+--=，210x y ∴-+=或210x y --=，原方程组相当于以下四个方程组：60210x y x y -=⎧⎨-+=⎩①，60210x y x y -=⎧⎨--=⎩②，0210x y x y +=⎧⎨-+=⎩③，0210x y x y +=⎧⎨--=⎩④， 解①②③④分别得：3214x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，3214x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，1313x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，1313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ∴原方程组的解为：3214x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或3214x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1313x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩． 21．（10分）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，6AC =，3cos 5A =．D 是AB 边的中点，过点D 作直线CD 的垂线，与边BC 相交于点E ．（1）求线段CE 的长；（2）求sin BDE ∠的值．【解答】解：（1）90ACB ∠=︒，6AC =，3cos 5A =， ∴35AC AB =， 10AB ∴=，228BC AB AC ∴=-=，又D 为AB 中点，152AD BD CD AB ∴====， DCB B ∴∠=∠，cos CD DCB CE ∴∠=，cos BC B AB ∠=， ∴5810CE =， 254CE ∴=； （2）作EF AB ⊥交AB 于F ，由（1）知254CE =， 则257844BE =-=，22154DE CE CD =-=， 设BF x =，则5DF BD BF x =-=-，在Rt DEF ∆中，2222215()(5)4EF DE DF x =-=--， 在Rt BEF ∆中，222227()4EF BE BF x =-=-， ∴2222549(5)1616x x --=-， 解得75x =， 7sin 25EF BDE DE ∴∠==．22．（10分）张先生准备租一处房屋开一家公司．现有甲、乙两家房屋出租，甲家房屋已装修好，每月租金3000元；乙家房屋没有装修，每月租金2000元，但要装修成甲家房屋的模样，需要花费40000元．请你自行定义变量，建立函数，并利用与函数有关的知识帮助张先生设计一个租房方案（备注：只从最省钱的角度设计租房方案，写出具体的解题过程）．【解答】解：设张先生组的时间为自变量x ，租金为函数值y ，∴租甲家房屋y 与x 的关系为：3000y x =，租甲家房屋y 与x 的关系为：400002000y x =+，①当甲家费用高于乙家费用时3000400002000x x >+，解得：40x >；②当甲家费用等于乙家费用时3000400002000x x =+，解得：40x =；③当甲家费用低于乙家费用时3000400002000x x <+，解得：40x <，综上所诉，①当租期超过40个月时，租乙家合适；②当租期等过40个月时，租家、乙家都可以；③当租期低于40个月，租甲家合适．23．（12分）已知：四边形ABCD 是正方形，点E 是BC 边的中点，点F 在边AB 上，联结DE 、EF ．（1）如图1，如果1tan 2BEF ∠=，求证：EF DE ⊥； （2）如图2，如果3tan 4BEF ∠=，求证：3DEF CDE ∠=∠．【解答】解：（1）证明：四边形ABCD 是正方形，90A B C ∴∠=∠=∠=︒，BC CD =，设正方形ABCD 边长为m ，则BC CD m ==，点E 是BC 边的中点， 12BE CE m ∴==， 1tan 2BEF ∠=， ∴12BF BE =， 而1122m CE CD m ==， ∴BF CE BE CD=， FBE ECD ∴∆∆∽，FEB EDC ∴∠=∠，90EDC DEC ∠+∠=︒，90FEB DEC ∴∠+∠=︒，90FED ∴∠=︒，EF DE ∴⊥；（2）过E 作EH AD ⊥于H ，连接AE ，如图：四边形ABCD 是正方形，EH AD ⊥于H ，////AB EH CD ∴，CDE DEH ∴∠=∠， E 是BC 中点，AH DH ∴=，EH ∴垂直平分AD ，AEH DEH ∴∠=∠，CDE DEH AEH ∴∠=∠=∠，Rt BEF ∆中，3tan 4BEF ∠=，即34BF BE =， 设3BF m =，则4BE m =，28BC BE m ∴==，5EF m =，8AB BC m ∴==，5AF AB BF m =-=，EF AF ∴=，FAE FEA ∴∠=∠，而FAE AEH ∠=∠，FEA AEH ∴∠=∠，CDE DEH AEH FEA ∴∠=∠=∠=∠，3DEF CDE ∴∠=∠．24．（12分）在平面直角坐标系xOy （如图）中，二次函数2()21f x ax ax a =-+-（其中a 是常数，且0)a ≠的图象是开口向上的抛物线．（1）求该抛物线的顶点P 的坐标；（2）我们将横、纵坐标都是整数的点叫做“整点”，将抛物线2()21f x ax ax a =-+-与y 轴的交点记为A ，如果线段OA 上的“整点”的个数小于4，试求a 的取值范围；（3）如果(1)f -、(0)f 、f （3）、f （4）这四个函数值中有且只有一个值大于0，试写出符合题意的一个函数解析式；结合函数图象，求a 的取值范围．【解答】解：（1）抛物线的方程为22()21(1)1f x ax ax a a x =-+-=--，∴抛物线的顶点坐标为(1,1)-；（2）A 为抛物线与y 轴的交点，A ∴点坐标为(0,1)a -，线段OA 上的整点个数小于4，则可知14a -<，5a <，故a 的取值范围为05a <<；（3）已知(1)f -、(0)f 、f （3）、f （4）有且只有一个大于0，（即其余的小于或等于0) 由题可知该函数对称轴为1x =，开口方向向上，故有f （4）f >（3）(1)(0)f f =->，f ∴（4）0>，∴得16810a a a -+->， 得19a >， f （3）0，得9610a a a -+-， 得14a ，取16a =， 2115()636f x x x =--， a ∴的取值范围为1194a <．25．（14分）已知：O 的半径长是5，AB 是O 的直径，CD 是O 的弦．分别过点A 、B 向直线CD 作垂线，垂足分别为E 、F ．（1）如图1，当点A 、B 位于直线CD 同侧，求证：CF DE =；（2）如图2，当点A 、B 位于直线CD 两侧，30BAE ∠=︒，且2AE BF =，求弦CD 的长；（3）设弦CD 的长为l ，线段AE 的长为m ，线段BF 的长为n ，探究l 与m 、n 之间的数量关系，并用含m 、n 的代数式表示l ．【解答】（1）证明：如图1中，连接OD ，过点O 作OH EF ⊥于H ．BF EF ⊥，AE EF ⊥，OH EF ⊥，////BF OH AE ∴，OA OB =，HF HE ∴=，OH CD ⊥，CH DH ∴=，CF DE ∴=．（2）连接OD ，过点O 作OH CD ⊥于H ，设AB 交CD 于J ．BF CD ⊥，AE CD ⊥，90BFJ AEJ ∴∠=∠=︒，BJF AJE ∠=∠，BFJ AEJ ∴∆∆∽， ∴12BJ BF AJ AE ==， 11033BJ AB ∴==， 105533OJ OB BJ ∴=-=-=，//OH AE ，30JOH BAE ∴∠=∠=︒，5cos303OH OJ ∴=⋅︒== OH CD ⊥，DH CH ∴===，2CD DH ∴==．（3）如图1，当点A 、B 位于直线CD 同侧时，11()()22OH BF AE m n =+=+， 在Rt ODH ∆中，222OD OH DH =+，222115()44m n l ∴=++， 22()100m n l ∴++=，l ∴如图2中，当点A 、B 位于直线CD 两侧时，1||2OH m n =-， 在Rt ODH ∆中，222OD OH DH =+，222115()44m n l ∴=-+， 22()100m n l ∴-+=，l ∴综上所述，l l =．。
2021年上海市浦东新区中考数学二模试卷(含解析)
2021年上海市浦东新区中考数学二模试卷一、选择题（每题4分）.1．下列实数中，是无理数的是（）A．0.B．3.1415926C．D．2．下列二次根式里，被开方数中各因式的指数都为1的是（）A．B．C．D．3．我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容如下：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个，又问各该几个钱？若设买甜果x个，买苦果y个，则下列关于x、y的二元一次方程组中符合题意的是（）A．B．C．D．4．下列语句所描述的事件中，是不可能事件的是（）A．手可摘星辰B．黄河入海流C．大漠孤烟直D．红豆生南国5．在下列图形中，中心对称图形是（）A．等边三角形B．平行四边形C．等腰梯形D．正五边形6．下列命题中，真命题是（）A．周长相等的锐角三角形都全等B．周长相等的直角三角形都全等C．周长相等的钝角三角形都全等D．周长相等的等腰直角三角形都全等二、填空题（共12小题）.7．据统计，截至2021年4月14日，全国各地累计报告接种疫苗175 623 000剂次，这个数用科学记数法表示为．8．计算：＝．9．在实数范围内分解因式：x2﹣4＝．10．如果关于x的方程x2+3x﹣k＝0没有实数根，那么k的取值范围是．11．方程＝2的解是．12．将抛物线y＝x2+2向右平移2个单位后，所得新抛物线的顶点坐标是．13．在数据1、2、3、4、5、6、n中，众数是2，那么这组数据的中位数是．14．如果两个相似三角形的相似比是1：3，那么这两个三角形面积的比是．15．已知两个非零向量、的方向相反，且2||＝3||，那么用表示为．16．一副三角尺按如图的位置摆放（顶点C与F重合，边CA与边FE叠合，顶点B、C、D在一条直线上）．将三角尺DEF绕着点F按顺时针方向旋转n°后（0＜n＜180 ），如果EF∥AB，那么n的值是．17．将联结四边形对边中点的线段称为“中对线”．凸四边形ABCD的对角线AC＝BD＝4，且两条对角线的夹角为60°，那么该四边形较短的“中对线”的长度为．18．如图，矩形ABCD中，点E、F分别在AD、BC边上，DE＝2AE、BF＝2CF，将四边形ABFE沿BF所在直线翻折，点A落在点A'处，点E落在点E'处，如果EF⊥CE'，那么的值为．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．计算：|3﹣|﹣+2﹣2+．20．解不等式组：并写出这个不等式组的自然数解．21．平面直角坐标系xOy中，直线y＝x与直线y＝﹣1相交于点A，反比例函数y＝（k ≠0）的图象经过点A且与直线y＝x的另一个交点为点B．（1）求反比例函数的解析式；（2）点C在直线y＝﹣1上且横坐标为3，求∠ACB的正切值．22．如图1是一个公园入口双翼闸机的双翼展开时的截面图，闸机的双翼△PCA和△QDB 成轴对称，PC和QD均垂直于地面，双翼边缘的端点A与B在同一水平线上，且它们之间的距离为16cm，双翼边缘AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠QDB＝30°．（1）求闸机通道宽度，即PC和QD之间的距离；（2）经实践调查，8：00至14：00该公园入园游客较多，图2为该公园8：00至14：00每一小时为一个时段的入园人数统计图的一部分（每个时间段含前一个整点时刻不含后一个整点时刻），现已知所有统计数据的平均数为4200人．①求出9：00～10：00时段的入园游客人数；②根据该公园的承载能力，建议“某个时段入园游客超过5000人”或“在园内游客总数超过20000人”的对游客入园进行适当限流，如不考虑个别出园游客，那么哪几个时段建议公园需要采取限流措施？并分别说明原因．23．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，对角线AC、BD交于点O，过点C作CE ⊥CD交AB的延长线于点E，联结OE，OC＝OE．（1）求证：OE＝AC；（2）如果DB平分∠ADC，求证：四边形ABCD是菱形．24．已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴与x轴的交点为M（﹣3，0），抛物线上三点A、B、C到点M的距离都为5，其中点A、B在x轴上（点A在点B的左侧），点C在y轴正半轴上，抛物线的顶点为点P．（1）求点A、B、C的坐标；（2）求这条抛物线的表达式及顶点坐标；（3）点Q是抛物线对称轴上一点，当以点Q为圆心，QA为半径的圆与线段AP有两个交点时，求点Q的纵坐标的取值范围．25．四边形ABCD内接于半径为2的⊙O，BC＝，射线BO与对角线AC交于点E．（1）如果AB、CD是⊙O的内接正n边形的边，AD是⊙O的内接正（n+2）边形的边，①求AB的长；②试证明△ABE∽△ACB，并求的值；（2）当△AEO为等腰三角形且点E在BO的延长线上时，求∠ABC的大小．参考答案一、选择题（共6小题）.1．下列实数中，是无理数的是（）A．0.B．3.1415926C．D．解：A、是循环小数，属于有理数，故本选项不合题意；B、3.1415926是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；C、是无理数，故本选项符合题意；D、，是整数，属于有理数，故本选项不合题意；故选：C．2．下列二次根式里，被开方数中各因式的指数都为1的是（）A．B．C．D．【分析】根据二次根式的定义判断即可．解：A．x，y的指数分别为2，2．所以此选项错误；B．x2+y2的指数为1，所以此选项正确；C．x+y的指数为2，所以此选项错误；D．x，y的指数分别为1，2．所以此选项错误；故选：B．3．我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容如下：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个，又问各该几个钱？若设买甜果x个，买苦果y个，则下列关于x、y的二元一次方程组中符合题意的是（）A．B．C．D．【分析】根据题意可以列出相应的方程组，从而可以解答本题．解：由题意可得，，故选：D．4．下列语句所描述的事件中，是不可能事件的是（）A．手可摘星辰B．黄河入海流C．大漠孤烟直D．红豆生南国【分析】不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．解：A、手可摘星辰是不可能事件，故选项正确，符合题意；B、黄河入海流是必然事件，故选项错误，不符合题意；C、大漠孤烟直是随机事件，故选项错误，不符合题意；D、红豆生南国是必然事件，故选项错误，不符合题意．故选：A．5．在下列图形中，中心对称图形是（）A．等边三角形B．平行四边形C．等腰梯形D．正五边形【分析】根据中心对称图形的概念求解．解：A、等边三角形不是中心对称图形，故本选项错误；B、平行四边形是中心对称图形，故本选项正确；C、等腰梯形不是中心对称图形，故本选项错误；D、正五边形不是中心对称图形，故本选项错误．故选：B．6．下列命题中，真命题是（）A．周长相等的锐角三角形都全等B．周长相等的直角三角形都全等C．周长相等的钝角三角形都全等D．周长相等的等腰直角三角形都全等【分析】全等三角形必须是对应角相等，对应边相等，根据全等三角形的判定方法，逐一检验．解：A、周长相等的锐角三角形的对应角不一定相等，对应边也不一定相等，假命题；B、周长相等的直角三角形对应锐角不一定相等，对应边也不一定相等，假命题；C、周长相等的钝角三角形对应钝角不一定相等，对应边也不一定相等，假命题；D、由于等腰直角三角形三边之比为1：1：，故周长相等时，等腰直角三角形的对应角相等，对应边相等，故全等，真命题．故选：D．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置】7．据统计，截至2021年4月14日，全国各地累计报告接种疫苗175 623 000剂次，这个数用科学记数法表示为 1.75623×108．【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．解：175 623 000＝1.75623×108．故答案为：1.75623×108．8．计算：＝3b．【分析】分子和分母分别相乘，再约分．解：原式＝＝3b，故答案为3b．9．在实数范围内分解因式：x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）．【分析】把4看成22再利用平方差公式进行因式分解．解：原式＝（x+2）（x﹣2）．故答案是：（x+2）（x﹣2）．10．如果关于x的方程x2+3x﹣k＝0没有实数根，那么k的取值范围是．【分析】根据判别式的意义得到△＝32﹣4×（﹣k）＜0，然后解不等式即可．解：根据题意得△＝32﹣4×（﹣k）＜0，解得．故答案为：．11．方程＝2的解是x＝﹣1．【分析】根据算术平方根的性质得x≤3，然后把方程两平方得x的解，检验即可得到答案．解：∵3﹣x≥0，∴x≤3，∵＝2，∴3﹣x＝4，∴x＝﹣1，经检验，x＝﹣1是原方程的解，符合题意，故答案为：x＝﹣1．12．将抛物线y＝x2+2向右平移2个单位后，所得新抛物线的顶点坐标是（2，2）．【分析】根据平移规律，可得顶点式解析式．解：将抛物线y＝x2+2向右平移2个单位后，得y＝（x﹣2）2+2，∴顶点坐标为（2，2），故答案为（2，2）．13．在数据1、2、3、4、5、6、n中，众数是2，那么这组数据的中位数是3．【分析】根据数据1、2、3、4、5、6、n中，众数是2，可以得到n的值，然后将数据按照从小到大排列，即可得到这组数据的中位数．解：∵数据1、2、3、4、5、6、n中，众数是2，∴n＝2，∴这组数据按照从小到大排列是：1、2、2、3、4、5、6，∴这组数据的中位数是3，故答案为：3．14．如果两个相似三角形的相似比是1：3，那么这两个三角形面积的比是1：9．【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求出即可．解：∵两个相似三角形的相似比是1：3，又∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，∴这两个三角形面积的比是1：9．故答案为：1：9．15．已知两个非零向量、的方向相反，且2||＝3||，那么用表示为．【分析】根据平面向量的定义，以及已知条件即可解决问题．解：∵两个非零向量、的方向相反，且2||＝3||，∴2＝﹣3，∴．故答案是：．16．一副三角尺按如图的位置摆放（顶点C与F重合，边CA与边FE叠合，顶点B、C、D在一条直线上）．将三角尺DEF绕着点F按顺时针方向旋转n°后（0＜n＜180 ），如果EF∥AB，那么n的值是45．【分析】分两种情形讨论，分别画出图形求解即可．解：①如图1中，EF∥AB时，∠ACE＝∠A＝45°，∴旋转角n＝45时，EF∥AB．②如图2中，EF∥AB时，∠ACE+∠A＝180°，∴∠ACE＝135°∴旋转角n＝360﹣135＝225，∵0＜n＜180，∴此种情形不合题意，故答案为4517．将联结四边形对边中点的线段称为“中对线”．凸四边形ABCD的对角线AC＝BD＝4，且两条对角线的夹角为60°，那么该四边形较短的“中对线”的长度为2．【分析】根据三角形中位线定理可得菱形EFGH，然后根据菱形的性质及等边三角形的性质可得答案．解：如图，设两条对角线AC、BD的夹角为60°，取四边的中点并连接起来，设AC与EH交点M．∴EH是三角形ABD的中位线，∴EH＝BD＝2，EH∥BD，同理，FG＝BD＝2，FG∥BD，EF＝AC＝2，EF∥AC，HG＝AC＝2，HG∥AC，∴EH∥HG∥AC，EF＝FG＝HG＝HE，∴四边形EFGH是菱形，∵EH＝BD＝2，EH∥BD，∴∠AOB＝60°＝∠AME，∵FE∥AC，∴∠FEH＝∠AME＝60°，∴△HEF为等边三角形，∴HF＝EH＝2，∴较短的“中对线”长度为2．故答案为：2．18．如图，矩形ABCD中，点E、F分别在AD、BC边上，DE＝2AE、BF＝2CF，将四边形ABFE沿BF所在直线翻折，点A落在点A'处，点E落在点E'处，如果EF⊥CE'，那么的值为．【分析】作EF⊥CE′交于点H，连接EE′，交BC于点Q，设AB长为y，AD长为x，根据相似三角形的判定与性质可得答案．解：如右图，作EF⊥CE′交于点H，连接EE′，交BC于点Q，由题可知，∠EQC＝∠FHC＝90°，∵∠EFQ＝∠CFH，∴△EFQ∽△CFH，设AB长为y，AD长为x，∵DE＝2AE、BF＝2CF，∴x，QF＝FC＝x，∴，∵∠FHC＝∠QEC＝90°，∠C＝∠C，∴△FHC∽△E′QC，∴，∴，∴，∴．故答案为：．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．计算：|3﹣|﹣+2﹣2+．【分析】直接根据实数的运算法则计算即可．解：原式＝＝．20．解不等式组：并写出这个不等式组的自然数解．【分析】先分别解答不等式组中的两个不等式的解集，然后求其交集即为不等式组的解集，再根据不等式组的解集来取自然数解．解：，由①得x＞﹣3．由②得，∴原不等式组的解集是．∴原不等式组的自然数解为0，1，2，3，4．21．平面直角坐标系xOy中，直线y＝x与直线y＝﹣1相交于点A，反比例函数y＝（k ≠0）的图象经过点A且与直线y＝x的另一个交点为点B．（1）求反比例函数的解析式；（2）点C在直线y＝﹣1上且横坐标为3，求∠ACB的正切值．【分析】（1）先根据直线y＝x与直线y＝﹣1相交于点A，可计算出点A的坐标，再把点A的坐标代入y＝中即可得出答案；（2）根据题意标出点C如图，则可知点C的坐标，过点B作x轴垂线与直线y＝﹣1交于点D，根据反比例函数与正比例函数交点性质，可得出点B的坐标，即可得出BD与CD的长度，在Rt△BCD中即可得出答案．解：（1）∵直线y＝x与直线y＝﹣1相交于点A，∴，解得x＝﹣2，∴点A（﹣2，﹣1），把A（﹣2，﹣1）代入中，解得k＝2，∴反比例函数解析式为y＝；（2）如图，标出点C，连接BC，过点B作x轴垂线与直线y＝﹣1交于点D，∵点A（﹣2，﹣1），C（3，﹣1）∴点B（2，1），∴CD＝1，BD＝2，∴tan∠ACD＝，∴∠ACB的正切值为2．22．如图1是一个公园入口双翼闸机的双翼展开时的截面图，闸机的双翼△PCA和△QDB 成轴对称，PC和QD均垂直于地面，双翼边缘的端点A与B在同一水平线上，且它们之间的距离为16cm，双翼边缘AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠QDB＝30°．（1）求闸机通道宽度，即PC和QD之间的距离；（2）经实践调查，8：00至14：00该公园入园游客较多，图2为该公园8：00至14：00每一小时为一个时段的入园人数统计图的一部分（每个时间段含前一个整点时刻不含后一个整点时刻），现已知所有统计数据的平均数为4200人．①求出9：00～10：00时段的入园游客人数；②根据该公园的承载能力，建议“某个时段入园游客超过5000人”或“在园内游客总数超过20000人”的对游客入园进行适当限流，如不考虑个别出园游客，那么哪几个时段建议公园需要采取限流措施？并分别说明原因．【分析】（1）过A作AE∥CP于点E，过B作BF⊥QD于点F，根据三角函数即可得到答案；（2）平均数为4200人，设9：00﹣10：00人数为x，然后根据平均数概念列出方程求解即可．解：（1）过A作AE∥CP于点E，过B作BF⊥QD于点F，直角三角形ACE中，AE＝sin30°×AC＝27，同理，BF＝27且AB＝16，27×2+16＝70，∴PC与QD间的距离为70cm．（2）①∵平均数为4200人，设9：00﹣10：00人数为x，∴（3000+x+4800+3800+2500+5100）÷6＝4200，∴x＝6000，∴9：00﹣10：00时段的入园游客人数为6000；②9：00﹣10：00和13：00﹣14：00需要限流，9：00﹣10：00限流原因：入园人数是6000，超过5000；13：00﹣14：00限流原因如下：8：00﹣13：00入园总人数为20100人超过20000人；13：00﹣14：00入园人数为：5100人，超过5000人．23．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，对角线AC、BD交于点O，过点C作CE ⊥CD交AB的延长线于点E，联结OE，OC＝OE．（1）求证：OE＝AC；（2）如果DB平分∠ADC，求证：四边形ABCD是菱形．【分析】（1）过O作OF⊥CE于F，由等腰三角形的性质得CF＝EF，再证OF是△ACE 的中位线，得OA＝OC，即可得出结论；（2）证△AOB≌△OCD（ASA），得OB＝OD，则四边形ABCD是平行四边形，再证BC＝DC，即可得出结论．【解答】证明：（1）过O作OF⊥CE于F，如图所示：∵OC＝OE，∴CF＝EF，∵OF⊥CE，CE⊥CD，∴OF∥CD，∵AB∥DC，OF∥AB，∴OF∥AB，∴OF是△ACE的中位线，∴OA＝OC，∴OE＝AC；（2）∵AB∥DC，∴∠OAB＝∠OCD，在△AOB和△OCD中，，∴△AOB≌△OCD（ASA），∴OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∵DB平分∠ADC，∴∠ADB＝∠CDB，∴∠CBD＝∠CDB，∴BC＝DC，∴平行四边形ABCD是菱形．24．已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴与x轴的交点为M（﹣3，0），抛物线上三点A、B、C到点M的距离都为5，其中点A、B在x轴上（点A在点B的左侧），点C在y轴正半轴上，抛物线的顶点为点P．（1）求点A、B、C的坐标；（2）求这条抛物线的表达式及顶点坐标；（3）点Q是抛物线对称轴上一点，当以点Q为圆心，QA为半径的圆与线段AP有两个交点时，求点Q的纵坐标的取值范围．【分析】（1）由点C到点M（﹣3，0）距离为5，可得．解得y＝±4．进而求解；（2）用待定系数法即可求解；（3）圆Q与直线AP相切的临界点，进而求解．解：（1）∵点A、B在x轴上（点A在点B的左侧），且到点M（﹣3，0）的距离为5，∴点A坐标为（﹣8，0），点B坐标为（2，0），∵点C在y轴上，设点C的坐标为（0，y）．由点C到点M（﹣3，0）距离为5，可得．解得y＝±4．∵点C在y轴正半轴上，∴点C的坐标为（0，4）；（2）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣8，0）、B（2，0）、C（0，4）．∴，解得，∴抛物线的表达式是，∴抛物线的顶点P的坐标为（﹣3，）；（3）过点A作AQ1⊥AP与抛物线的对称轴相交于点Q1．此时以Q1为圆心，Q1A为半径的圆与线段AP相切于点A．∵∠MPA+∠MAP＝90°，∠MAP+∠MAQ1＝90°．∴∠MPA＝∠MAQ1．∴tan∠MPA＝tan∠MAQ1．∴．∵AM＝5，PM＝，∴Q1M＝4．即点Q1坐标为（0，﹣4）；作AP的中垂线与AP相交于点N，与对称轴x＝﹣3相交于点Q2，则PN＝PA．此时以Q2为圆心，Q2A为半径的圆经过点A、点P．∵AQ1⊥AP，NQ2⊥AP，∴∠Q1AP＝∠Q2NP＝90°．∴AQ1∥NQ2．∴．∵点P的坐标为（﹣3，），点Q1的坐标为（﹣3，﹣4），∴PQ1＝，∴PQ2＝．∴Q2M＝PM﹣PQ2＝﹣＝．即点Q2坐标为（0，），∴当以点Q为圆心，QA为半径的圆与线段AP有两个交点时，点Q纵坐标取值范围是．25．四边形ABCD内接于半径为2的⊙O，BC＝，射线BO与对角线AC交于点E．（1）如果AB、CD是⊙O的内接正n边形的边，AD是⊙O的内接正（n+2）边形的边，①求AB的长；②试证明△ABE∽△ACB，并求的值；（2）当△AEO为等腰三角形且点E在BO的延长线上时，求∠ABC的大小．解：（1）①如图1，连接OC，过点O作OH⊥BC，垂足为点H．∵OB＝OC，OH⊥BC，∴BH＝BC＝，∠BOC＝2∠BOH．在Rt△BOH中，BO＝2，BH＝，∴．∴∠BOH＝60°，∠OBH＝30°．∴∠BOC＝120°，∠OCB＝30°．∵AB、CD是⊙O内接正n边形的边，AD是⊙O内接正（n+2）边形的边，∴∠AOB＝∠DOC＝，∠AOD＝，∴．解得n＝4，n＝（不符合题意，舍去）．经检验n＝4是原方程的解且符合题意．∴∠AOB＝＝90°．在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，AO＝BO＝2，∴AB＝．②∵△AOB是等腰直角三角形，∴∠ABE＝45°．∵OA＝OC，∠AOC＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC＝360°﹣90°﹣120°＝150°，∴∠ACO＝15°，∴∠ACB＝∠ACO+∠OCB＝15°+30°＝45°，∴∠ABE＝∠ACB，∵∠BAE＝∠CAB，∴△ABE∽△ACB．如图2，过点B作BG⊥AC，垂足为点G．在Rt△BGC中，∠BGC＝90°，∠ACB＝45°，BC＝，∴BG＝CG＝．在Rt△ABG中，∠BGA＝90°，BG＝，AB＝，∴AG＝．∴AC＝AG+CG＝，∵△ABE∽△ACB，∴AB2＝AE•AC．即．解得，∴．（2）设∠AEB＝x°，由（1）知∠OBC＝∠OCB＝30°，∴∠ECB＝（x﹣30）°，∠ECO＝∠EAO＝（x﹣60）°．①如图3，如果AO＝AE，那么∠AOE＝∠AEB＝x°．根据题意可得x+x+x﹣60＝180．解得x＝80．∴∠ABO＝40°，∴∠ABC＝∠ABO+∠OBC＝40°+30°＝70°．②如果AO＝EO，那么∠OAE＝∠OEA．根据题意可得x＝x﹣60．此方程无解．∴此种情况不存在．③如图4，如果AE＝OE，那么∠EAO＝∠EOA＝（x﹣60）°．根据题意可得x+x﹣60+x﹣60＝180．解得x＝100．∴∠ABC＝20°+30°＝50°．综上所述，∠ABC的度数为70°或50°．。
2021年上海市普陀区中考数学二模试卷(含解析)
2021年上海市普陀区中考数学二模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上] 1．（4分）下列计算中，正确的是( ) A ．23235a a a +=B ．23235a a a ⋅=C ．22233a a a ÷=D ．235(2)8a a =2．（4分）下列单项式中，可以与23x y 合并同类项的是( ) A ．32x yB ．322y xC ．23x yD ．232x y z3．（4x =的根是( ) A ．2x =-B ．1x =-C ．0x =D ．2x =4．（4分）已知两组数据：1x 、2x 、3x 、4x 、5x 和12x +、22x +、32x +、42x +、52x +，下列有关这两组数据的说法中，正确的是( ) A ．平均数相等B ．中位数相等C ．众数相等D ．方差相等5．（4分）已知在ABC ∆和△A B C '''中，AB A B =''，AC AC =''，下列条件中，不一定能得到ABC ∆≅△A B C '''的是( ) A ．BC B C ''=B ．A A ∠=∠'C ．C C ∠=∠'D ．90B B ∠=∠'=︒6．（4分）如图，在平面直角坐标系中，ABC ∆的顶点A 、B 均在y 轴上，点C 在x 轴上，将ABC ∆绕着顶点B 旋转后，点C 的对应点C '落在y 轴上，点A 的对应点A '落在反比例函数6y x=在第一象限的图象上．如果点B 、C 的坐标分别是(0,4)-、(2,0)-，那么点A '的坐标是( )A ．(3,2)B ．3(2，4)C ．(2,3)D ．3(4,)2二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．（4分）因式分解：34a a -= ． 8．（4分）已知2()1f x x =-，则(3)f = ． 9．（4分）不等式组2431x x -<⎧⎨-<⎩的解集是 ．10．（4分）已知正比例函数(y kx k =是常数，0)k ≠的函数值y 随x 的值增大而减小，那么k 的取值范围是 ．11．（4分）如果关于x 的方程210x x m -+-=有两个相等的实数根，那么m 的值等于 ． 12．（4分）抛物线22(0)y ax ax a =++≠的对称轴是直线 ．13．（4分）为了唤起公众的节水意识，从1993年起，联合国将每年的3月22日定为“世界水日”．某居委会表彰了社区内100户节约用水的家庭，5月份这100户家庭节约用水的情况如表所示，那么5月份这100户家庭节水量的平均数是 吨． 每户节水量（单位：吨） 5 6 7.2节水户户62 28 10数14．（4分）小明已有两根长度分别是2cm 和5cm 的细竹签，盒子里有四根长度分别是3cm 、4cm 、7cm 、8cm 的细竹签，小明从盒子里随意抽取一根细竹签，恰能与已有的两根细竹签首尾顺次联结组成三角形的概率等于 ．15．（4分）如图，两条平行线1l 、2l 分别经过正五边形ABCDE 的顶点B 、C ．如果120∠=︒，那么2∠= ．16．（4分）如图，已知ABC ∆中，D 、E 分别为边AB 、AC 的中点，点F 在DE 的延长线上，EF DE =，设,BC a AF b ==，那么向量AC 用向量a 、b 表示是 ．17．（4分）已知等腰三角形ABC 中，AB AC =，6BC =，以A 为圆心2为半径长作A ，以B 为圆心BC 为半径作B ，如果A 与B 内切，那么ABC ∆的面积等于 ． 18．（4分）如图，正方形ABCD 中，4AB =，E 为边BC 的中点，点F 在AE 上，过点F 作MN AE ⊥，分别交边AB 、DC 于点M 、N ，联结FC ，如果FNC ∆是以CN 为底边的等腰三角形，那么FC = ．三、解答题：（本大题共7题，满分78分19．（10分）计算：12020211()|32|273--+--+．20．（10分）解方程：22241323x x x x -=++-．21．（10分）在平面直角坐标系xOy 中（如图），已知直线122y x =-+分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，一个正比例函数的图象与这直线交于点C ，点C 的横坐标是1． （1）求正比例函数的解析式；（2）将正比例函数的图象向上或向下平移，交直线122y x =-+于点D ，设平移后函数图象的截距为b ，如果交点D 始终落在线段AB 上，求b 的取值范围．22．（10分）如图1，一扇窗户打开后可以用窗钩AB 将其固定，窗钩的一个端点A 固定在窗户底边OE 上，且与转轴底端O 之间的距离为20cm ，窗钩的另一个端点B 可在窗框边上的滑槽OF 上移动，滑槽OF 的长度为17cm ，AB 、BO 、AO 构成一个三角形．当窗钩端点B 与点O 之间的距离是7cm 的位置时（如图2)，窗户打开的角AOB ∠的度数为37︒． （1）求钩AB 的长度（精确到1)cm ；（2）现需要将窗户打开的角AOB ∠的度数调整到45︒时，求此时窗钩端点B 与点O 之间的距离（精确到1)cm ．（参考数据：sin370.6︒≈，cos370.8︒≈，tan370.75︒≈，2 1.4)≈23．（12分）已知：如图，在ABCD 中，点E 、F 分别在边BC 、边BC 的延长线上，四边形AEFD 是菱形，菱形的对角线AF 分别交DE 、DC 于点P 、Q ，AF EFBF PF=． 求证：（1）四边形ABCD 为矩形； （2）BE DQ FQ PE ⋅=⋅．24．（12分）在平面直角坐标系xOy 中（如图），已知抛物线212y x bx c =++与x 轴交于点(2,0)A -、(6,0)B ，与y 轴交于点C ，点D 是在第四象限内抛物线上的一个动点，直线AD与直线BC 交于点E ．（1）求b 、c 的值和直线BC 的表达式； （2）设45CAD ∠=︒，求点E 的坐标；（3）设点D的横坐标为d，用含d的代数式表示ACE∆与DCE∆的面积比．25．（14分）在梯形ABCD中，//AD BC，AB BC⊥，3AD=，5CD=，3cos5C=（如图）．M 是边BC上一个动点（不与点B、C重合），以点M为圆心，CM为半径作圆，M与射线CD、射线MA分别相交于点E、F．（1）设185CE=，求证：四边形AMCD是平行四边形；（2）联结EM，设FMB EMC∠=∠，求CE的长；（3）以点D为圆心，DA为半径作圆，D与M的公共弦恰好经过梯形的一个顶点，求此时M的半径长．2021年上海市普陀区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上] 1．（4分）下列计算中，正确的是( ) A ．23235a a a +=B ．23235a a a ⋅=C ．22233a a a ÷=D ．235(2)8a a =【解答】解：A 、223a a +，无法计算，故此选项错误；B 、23236a a a ⋅=，故此选项错误；C 、22233a a a ÷=，故此选项正确；D 、236(2)8a a =，故此选项错误；故选：C ．2．（4分）下列单项式中，可以与23x y 合并同类项的是( ) A ．32x yB ．322y xC ．23x yD ．232x y z【解答】解：A 、32x y 与23x y ，所含字母相同，但是相同字母的指数不相同，不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；B 、322y x 与23x y ，所含字母相同，相同字母的指数相同，是同类项，能合并，故本选项符合题意；C 、2x y 与23x y ，所含字母相同，但是相同字母的指数不相同，不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；D 、232x y z 与23x y ，所含字母不尽相同，不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；故选：B ．3．（4x =的根是( ) A ．2x =-B ．1x =-C ．0x =D ．2x =【解答】解：将方程两边平方得： 22x x +=．解这个一元二次方程得：12x =，21x =-．检验：把12x =，21x =-分别代入原方程， 2x =是原方程的根，1x =-是原方程的增根．∴原方程的根为：2x =．故选：D ．4．（4分）已知两组数据：1x 、2x 、3x 、4x 、5x 和12x +、22x +、32x +、42x +、52x +，下列有关这两组数据的说法中，正确的是( ) A ．平均数相等B ．中位数相等C ．众数相等D ．方差相等【解答】解：因为新数据是在原数据的基础上每个加2，∴这两组数据的波动幅度不变，故选：D ．5．（4分）已知在ABC ∆和△A B C '''中，AB A B =''，AC AC =''，下列条件中，不一定能得到ABC ∆≅△A B C '''的是( ) A ．BC B C ''=B ．A A ∠=∠'C ．C C ∠=∠'D ．90B B ∠=∠'=︒【解答】解：A 、由AB A B =''，AC AC =''，BC B C ''=可以判定ABC ∆≅△()A B C SSS '''，不符合题意．B 、由AB A B =''，AC AC=''，A A ∠=∠'可以判定ABC ∆≅△()A B C SAS '''，不符合题意． C 、由AB A B =''，AC AC =''，C C ∠=∠'不可以判定ABC ∆≅△()A B C SSA '''，符合题意． D 、由AB A B =''，AC AC=''，90B B ∠=∠'=︒可以判定Rt ABC Rt ∆≅△()A B C HL '''，不符合题意． 故选：C ．6．（4分）如图，在平面直角坐标系中，ABC ∆的顶点A 、B 均在y 轴上，点C 在x 轴上，将ABC ∆绕着顶点B 旋转后，点C 的对应点C '落在y 轴上，点A 的对应点A '落在反比例函数6y x=在第一象限的图象上．如果点B 、C 的坐标分别是(0,4)-、(2,0)-，那么点A '的坐标是( )A ．(3,2)B ．3(2，4)C ．(2,3)D ．3(4,)2【解答】解：设A B '与x 轴的交点为D ，由题意可知(2,0)D ， 设直线A B '的解析式为4y kx =-， 把(2,0)D 代入得024k =-， 解得2k =，∴直线A B '的解析式为24y x =-，由624y x y x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩解得32x y =⎧⎨=⎩或16x y =-⎧⎨=-⎩， ∴点A '的坐标是(3,2)，故选：A ．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．（4分）因式分解：34a a -= (2)(2)a a a +- ． 【解答】解：324(4)(2)(2)a a a a a a a -=-=+-． 故答案为：(2)(2)a a a +-． 8．（4分）已知2()1f x x =-，则(3)f 31 ．【解答】解：当3x =2(31)(3)3131(31)(31)f +===--+，31．9．（4分）不等式组2431x x -<⎧⎨-<⎩的解集是 24x -<< ．【解答】解：解不等式24x -<，得：2x >-， 解不等式31x -<，得：4x <， 则不等式组的解集为24x -<<， 故答案为：24x -<<．10．（4分）已知正比例函数(y kx k =是常数，0)k ≠的函数值y 随x 的值增大而减小，那么k 的取值范围是 0k < ．【解答】解：对于正比例函数(0)y kx k =≠，y 随x 的值增大而减小， 0k ∴<．故答案为：0k <．11．（4分）如果关于x 的方程210x x m -+-=有两个相等的实数根，那么m 的值等于 54． 【解答】解：方程210x x m -+-=有两个相等的实数根，∴△224(1)4(1)0b ac m =-=---=，解得54m =， 故答案为：54． 12．（4分）抛物线22(0)y ax ax a =++≠的对称轴是直线 12x =- ．【解答】解：抛物线2y ax bx c =++的对称轴方程2b x a=-， ∴抛物线22(0)y ax ax a =++≠的对称轴是122a x a =-=-． 即对称轴是12x =-．故答案为：12x =-．13．（4分）为了唤起公众的节水意识，从1993年起，联合国将每年的3月22日定为“世界水日”．某居委会表彰了社区内100户节约用水的家庭，5月份这100户家庭节约用水的情况如表所示，那么5月份这100户家庭节水量的平均数是 5.5 吨．【解答】解：5月份这100户家庭节水量的平均数是5626287.2105.5100⨯+⨯+⨯=（吨)，故答案为：5.5．14．（4分）小明已有两根长度分别是2cm 和5cm 的细竹签，盒子里有四根长度分别是3cm 、4cm 、7cm 、8cm 的细竹签，小明从盒子里随意抽取一根细竹签，恰能与已有的两根细竹签首尾顺次联结组成三角形的概率等于14． 【解答】解：已有两根长度分别是2cm 和5cm 的细竹签，∴设第3根，竹签长为x cm ，则第三根可以构成三角形的范围是：37x <<，故只有4cm ，符合题意，则小明从盒子里随意抽取一根细竹签，恰能与已有的两根细竹签首尾顺次联结组成三角形的概率是：14． 故答案为：14． 15．（4分）如图，两条平行线1l 、2l 分别经过正五边形ABCDE 的顶点B 、C ．如果120∠=︒，那么2∠= 92︒ ．【解答】解：正五边形ABCDE 的一个内角是108︒， 310811082088∴∠=︒-∠=︒-︒=︒， 12//l l ，388∠=︒，21808892∴∠=︒-︒=︒，故答案为：92︒．16．（4分）如图，已知ABC ∆中，D 、E 分别为边AB 、AC 的中点，点F 在DE 的延长线上，EF DE =，设,BC a AF b ==，那么向量AC 用向量a 、b 表示是 2b a - ．【解答】解：如图，在ABC∆中，D、E分别为边AB、AC的中点，DE∴是ABC∆的中位线，//DE BC ∴，且12DE BC=．BC a=，∴12DE a=．又EF DE=，∴12EF DE a==．AF b=，∴AE AF EF=-．点E是AC的中点，∴122()2()22AC AE AF EF b a b a ==-=-=-．故答案是：2b a-．17．（4分）已知等腰三角形ABC中，AB AC=，6BC=，以A为圆心2为半径长作A，以B为圆心BC为半径作B，如果A与B内切，那么ABC∆的面积等于37．【解答】解：A的半径为2，B的半径为6，A与B内切，624AB ∴=-=，过点A 作AD BC ⊥于D ， 则132BD BC ==， 由勾股定理得，2222437AD AB BD =-=-=， ABC ∴∆的面积167372=⨯⨯=， 故答案为：37．18．（4分）如图，正方形ABCD 中，4AB =，E 为边BC 的中点，点F 在AE 上，过点F 作MN AE ⊥，分别交边AB 、DC 于点M 、N ，联结FC ，如果FNC ∆是以CN 为底边的等腰三角形，那么FC = ．【解答】解：延长AE ，DC 交于点A '，过点F 作FH CD ⊥于H ，ABCD 是正方形，4AB BC ∴==，//AB CD ，1A ∴∠=∠'．在ABE ∆和△ACE '中， 1A AEB A EC BE EC ∠=∠'⎧⎪∠=∠'⎨⎪=⎩． ABE ∴∆≅△()A CE AAS '．4AB AC ∴='=．E 为边BC 的中点，122BE EC BC ∴===．AE ∴sin 1BE AE ∴∠=．sin A ∴∠'=AE MN ⊥， 90A FN ∴∠'=︒． 290A ∴∠'+∠=︒．cos 2sin A ∴∠=∠' FN FC =，FH CN ⊥，12NH CH CN ∴==．设NH x =，则2NC x =． 42A N AC NC x ∴'='+=+．在Rt FHN ∆中，cos 2NH FN ∠==，FN ∴=．在Rt △A FN '中，cos 2FN A N ∠='∴=． 43x ∴=．FC FN ∴=．． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分19．（10分）计算：12020211()2|3--+-【解答】解：原式1213(2=-+-+12=-+3=-．20．（10分）解方程：22241323x x x x -=++-． 【解答】解：方程两边同乘以(3)(1)x x +-得： 2(1)24(3)(1)x x x x --=+-，整理得：22222423x x x x --=+-， 则24210x x --=， (7)(3)0x x -+=，解得：17x =，23x =-，检验：当3x =-时，(3)(1)0x x +-=， 故3x =-是方程的增根， 当7x =时，(3)(1)0x x +-≠， 故7x =是原方程的根．21．（10分）在平面直角坐标系xOy 中（如图），已知直线122y x =-+分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，一个正比例函数的图象与这直线交于点C ，点C 的横坐标是1． （1）求正比例函数的解析式；（2）将正比例函数的图象向上或向下平移，交直线122y x =-+于点D ，设平移后函数图象的截距为b ，如果交点D 始终落在线段AB 上，求b 的取值范围．【解答】解：（1）把1x =代入122y x =-+得，32y =，3(1,)2C ∴，设正比例函数解析式为y kx =， 把C 的坐标代入得32k =， ∴正比例函数的解析式为32y x =； （2）直线122y x =-+中，令0y =，则4x =，(4,0)A ∴，(0,2)B ，设平移后的直线解析式为32y x b =+， 把(4,0)A 代入得，3402b ⨯+=，解得6b =-，∴符合题意的b 的取值范围是62b -．22．（10分）如图1，一扇窗户打开后可以用窗钩AB将其固定，窗钩的一个端点A固定在窗户底边OE上，且与转轴底端O之间的距离为20cm，窗钩的另一个端点B可在窗框边上的滑槽OF上移动，滑槽OF的长度为17cm，AB、BO、AO构成一个三角形．当窗钩端点B与点O之间的距离是7cm的位置时（如图2)，窗户打开的角AOB∠的度数为37︒．（1）求钩AB的长度（精确到1)cm；（2）现需要将窗户打开的角AOB∠的度数调整到45︒时，求此时窗钩端点B与点O之间的距离（精确到1)cm．（参考数据：sin370.6≈︒≈，2 1.4)︒≈，tan370.75︒≈，cos370.8【解答】解：（1）如图2，过点A作AH OF⊥于H，sin 0.6AHO AO==， 200.612()AH cm ∴=⨯=， 2240014416()OH AO AH cm ∴=-=-=，1679()BH cm ∴=-=， 221448115()AB AH BH cm ∴=+=+=；（2）45AOB ∠=︒，AH OF ⊥， 102()AH OH cm ∴==， 222252005()BH AB AH cm ∴=-=-=，1459()OB OH BH cm ∴=-=-=，答：时窗钩端点B 与点O 之间的距离为9cm ．23．（12分）已知：如图，在ABCD 中，点E 、F 分别在边BC 、边BC 的延长线上，四边形AEFD 是菱形，菱形的对角线AF 分别交DE 、DC 于点P 、Q ，AF EFBF PF=． 求证：（1）四边形ABCD 为矩形； （2）BE DQ FQ PE ⋅=⋅．【解答】证明：（1）四边形ADFE 是菱形，AF DE ∴⊥，90EPF ∴∠=︒，AF EFBF PF=，PFE AFB ∠=∠， ABF EPF ∴∆∆∽，90ABE EPF ∴∠=∠=︒，∴平行四边形ABCD 是矩形；（2）四边形ABCD 是矩形， AD BC EF ∴==， EC CF BE CE ∴+=+， BE CF ∴=，90DPF QCF ∠=∠=︒，CQF PQD ∠=∠， DPQ FCQ ∴∆∆∽，∴FQ CFDQ DP =， ∴FQ BEDQ PE=， BE DQ FQ PE ∴⋅=⋅．24．（12分）在平面直角坐标系xOy 中（如图），已知抛物线212y x bx c =++与x 轴交于点(2,0)A -、(6,0)B ，与y 轴交于点C ，点D 是在第四象限内抛物线上的一个动点，直线AD与直线BC 交于点E ．（1）求b 、c 的值和直线BC 的表达式； （2）设45CAD ∠=︒，求点E 的坐标；（3）设点D 的横坐标为d ，用含d 的代数式表示ACE ∆与DCE ∆的面积比．【解答】解：（1）抛物线212y x bx c =++与x 轴交于点(2,0)A -、(6,0)B ， ∴10422103662b c b c ⎧=⨯-+⎪⎪⎨⎪=⨯++⎪⎩， 解得26b c =-⎧⎨=-⎩， ∴抛物线解析式为21262y x x =--， 当0x =时，6y =-，∴点(0,6)C -，设直线BC 解析式为y mx n =+，则606n m n =-⎧⎨=+⎩， 解得：16m n =⎧⎨=-⎩， ∴直线BC 解析式为6y x =-；（2）如图1，过点E 作EH OC ⊥于H ，点(0,6)C -，点(6,0)B ，点(2,0)A -，6OB OC ∴==，2OA =，45OBC OCB ∴∠=∠=︒，62BC =22436210AC OA OC =+=+=45ABC CAD ∠=∠=︒，ACE ACB ∠=∠，ACE BCA ∴∆∆∽， ∴AC CE BC AC=， ∴21062210=102CE ∴= EH CO ⊥，45ECH ∠=︒，103EH HC ∴==， 83OH ∴=， ∴点10(3E ，8)3-； （3）点D 的横坐标为d ，∴点21(,26)2D d d d --，(06)d <<， 如图2，过点D 作//DF AB 交BC 于点F ，ABE DFE ∴∆∆∽， ∴AB AE DF DE=， ACE DCE S AE S DE∆∆=， ∴ACE DCE S AB S DF ∆∆=． 点F 在直线BC 上，∴点21(22F d d -，2126)2d d --， 2132DF d d ∴=-， ∴228161632ACE DCE S S d d d d ∆∆==--． 25．（14分）在梯形ABCD 中，//AD BC ，AB BC ⊥，3AD =，5CD =，3cos 5C =（如图）．M 是边BC 上一个动点（不与点B 、C 重合），以点M 为圆心，CM 为半径作圆，M 与射线CD 、射线MA 分别相交于点E 、F ．（1）设185CE =，求证：四边形AMCD 是平行四边形； （2）联结EM ，设FMB EMC ∠=∠，求CE 的长；（3）以点D 为圆心，DA 为半径作圆，D 与M 的公共弦恰好经过梯形的一个顶点，求此时M 的半径长．【解答】（1）证明：如图1中，连接EM ，过点M 作MG CD ⊥于G ，则95EG CG ==， 在Rt CGM ∆中，9533cos 5CG CM C ===， AD CM ∴=，//AD CM ，∴四边形AMCD 是平行四边形．（2）解：如图2中，过点E 作EH BC ⊥于H ，过点M 作MT EC ⊥于T ．ME MC =，MT EC ⊥，CT ET ∴=，3cos 5CT C CM ∴==， 设6EC k =，则3CT ET k ==，5MC ME k ==，在Rt CEH ∆中，42455EH CE k ==，31855CH EC k ==， 75MH CM CH k ∴=-=， 24tan 7EMH ∴∠=， FMB EMC ∠=∠，424tan 7AB FMB BM BM ∴∠===， 76BM ∴=， 2956CM BC BM k ∴=-==， 2965CE k ∴==．（3）如图31-中，当公共弦经过点A 时，过点D 作DP BC ⊥于P ，则四边形ABPD 是矩形．3AD BP ∴==，在Rt CDP ∆中，3cos 5PC C CD ==， 5CD =， 3PC ∴=，4AB PD ==，336BC ∴=+=，设CM AM x ==，在Rt ABM ∆中，则有2224(6)x x =+-， 解得133x =， M ∴的半径为133．如图32-中，当公共弦经过点D 时，连接MD ，MP ，过点M 作MN AD ⊥于N ．设CM ME MP x ===，则3DN x =-， 22222DM MN DN MP DP =+=-， 22224(3)3x x ∴+-=-， 173x ∴=， 综上所述，满足条件的M 的半径为133或173．。
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2021年上海中考各区二模数学试题及答案汇总
2021年上海各区县中考二模试题及答案
2021学年虹口区调研测试
九年级数学 2021.04
（满分150分，考试时间100分钟）
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共25题；
2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；
3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．计算(a2)3的结果是（）
A．a； B．a； C．a； D．a．
56892．下列代数式中，x?1的一个有理化因式是（）
A．x?1； B．x?1； C．x?1； D．x?1．
2x10的解集是（） 3．不等式组??x?1?0 A．x??111； B．x?1；C．??x?1； D．??x?1．
22 2 ） 4．下列事件中，是确定事件的是（
A．上海明天会下雨； B．将要过马路时恰好遇到红灯；
C．有人把石头孵成了小鸭； D．冬天，盆里的水结成了冰．
） 5．下列多边形中，中心角等于内角的是（ A．正三角形； B．正四边形； C．正六边形； D．正八边形．
6．下列命题中，真命题是（）
A．有两边和一角对应相等的两个三角形全等； B．有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等； C．有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等； D．有两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等．
初三数学基础考试卷―1―
2021年上海各区县中考二模试题及答案
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
据报道，截止2021年3月某市网名规模达5180000人.请将数据5180000用科学记数7．
法表示为 .
8．分解因式：2x2?8x? .
9．如果关于x的方程x2?3x?a?0有两个相等的实数根，那么a? .
10．方程2?x?x的根是 . 11．函数y?x?1的定义域是 . 12．在反比例函数y?2k?3的图像所在的每个象限中，如果函数值y随自变量x的值的x增大而增大，那么常数k的取值范围是 .
13．为了了解某中学学生的上学方式，从该校全体学生900名中，随机抽查了60名学生，
结果显示有15名学生“步行上学”.由此，估计该校全体学生中约有名学生“步行上学”.
14．在Rt?ABC中，?C?90?，点G是Rt?ABC的重心，如果CG?6，那么斜边AB的长等于 .
15．如图，在?ABC中，点E、F分别在边AC、BC上，EF∥AB，CE?若AC?a，BC?b，则EF? .
（第15题图）
（第16题图）
1AE，2（第18题图）
16．如图，A、B的半径分别为1cm、2cm，圆心距AB为5cm.将A由图示位置沿直线AB向右平移，当该圆与
B内切时，A平移的距离是 .
17．定义?a,b,c?为函数y?ax2?bx?c的“特征数”.如：函数y?x2?3x?2“特征数”
是?1,3,?2?，函数y??x?4“特征数”是?0,?1,4?.如果将“特征数”是?2,0,4?的函数
初三数学基础考试卷―2―
2021年上海各区县中考二模试题及答案
图像向下平移3个单位，得到一个新函数图像，那么这个新函数的解析式
是 .
18．在Rt?ABC中，?C?90?，AC?BC?2（如图），若将?ABC绕点A顺时针方
向旋转60?到?AB'C'的位置，联结C'B，则C'B的长为 . 三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（本题满分10分）
x2x?11?)? 先化简，再求值：(2，其中x?3?3． x?9x?3x?3
20．（本题满分10分）
22??x?6xy?9y?1①解方程组：?．
②??x?y?3?0
21．（本题满分10分）
如图，等腰?ABC内接于半径为5的求BC的长.
1O，AB?AC，tan?ABC?．
322．（本题满分12分，第1小题5分，第2小题5分）
初三数学基础考试卷―3―
（第21题图）
2021年上海各区县中考二模试题及答案
某商店试销一种成本为10元的文具．经试销发现，每天销售件数y（件）是每件销售价格x（元）的一次函数，且当每件按15元的价格销售时，每天能卖出50件；当每件按
20元的价格销售时，每天能卖40件.
（1）试求y关于x的函数解析式（不用写出定义域）；
（2）如果每天要通过销售该种文具获得450元的利润，那么该种文具每件的销售价
格应该定位多少元？（不考虑其他因素）
23．（本题满分12分，第1小题6分，第2小题6分）
如图，四边形ABCD是平行四边形，点E为DC延长线上一点，联结AE，交边BC于点F，联结BE．
（1）求证：AB?AD?BF?ED；
（2）若CD?CA，且?DAE?90?，求证：四边形ABEC是菱形.
（第23题图）
24．（本题满分14分，第1小题4分，第2小题5分，第3小题3分）
B(3,0)、C(2,3)如图，平面直角坐标系xOy中，抛物线y?ax?bx?c过点A(?1,0)、
三点，且与y轴交于点D．
（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴；
初三数学基础考试卷―4―
22021年上海各区县中考二模试题及答案
（2）分别联结AD、DC、CB，直线y?4x?m与线段DC交于点E，当此直线将四边形ABCD的面积平分时，求m的值．
（3）设点F为抛物线对称轴上的一点，当以点A、B、C、F为顶点的四边形是梯形时，请直接写出所有满足条件的点F的坐标．
（第24题图）
25．（本题满分14分，第1小题4分，第2小题5分，第3小题5分）
如图，在Rt?ABC中，?ACB?90?，AB?13，CD∥AB.点E为射线CD上一动点（不与点C
重合），联结AE，交边BC于点F，?BAE的平分线交BC于点G．（1）当CE?3时，求
S?CEF:S?CAF的值；
（2）设CE?x，AE?y，当CG?2GB时，求y与x之间的函数关系式；（3）当AC?5时，联结EG，若?AEG为直角三角形，求BG的长．
（第25题图）
初三数学基础考试卷―5―
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