二次函数与利润最大问题
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二次函数与最大利润问题
学习目标:
体会二次函数是一类最优化问题的数学模型.了解数学的应用价值,掌握实际问题中变量之间的二次函数关系,并运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值.
学习重点:
本节重点是应用二次函数解决实际问题中的最值.应用二次函数解决实际问题,要能正确分析和把握实际问题的数量关系,从而得到函数关系,再求最值.实际问题的最值,不仅可以帮助我们解决一些实际问题,也是中考中经常出现的一种题型.
学习难点:
本节难点在于能正确理解题意,找准数量关系.这就需要同学们在平时解答此类问题时,在平时生活中注意观察和积累,使自己具备丰富的生活和数学知识才会正确分析,正确解题.
学习方法:
在教师的引导下自主学习。
学习过程:
一、有关利润问题:
某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在某一时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件. 请你帮助分析:销售单价是多少时,可以获利最多?
二、做一做:
某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.
⑴利用函数表达式描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系.
⑵利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系.?
⑶增种多少棵橙子,可以使橙子的总产量在60400个以上?
①当c=0时,函数的图象经过原点;②当c>0且函数图象开口向下时,方程ax2+bx+c=0必有两个不等实根;③当a<0,函数的图象最高点的纵坐标是;④当b=0时,函数的图象关于y轴对称.其中正确命题的个数有()A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
2.某类产品按质量共分为10个档次,生产最低档次产品每件利润为8元,如果每提高一个档次每件利润增加2元.用同样的工时,最低档次产品每天可生产60件,每提高一个档次将少生产3件,求生产何种档次的产品利润最大?
五、课后练习
1.某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件,每件盈利40元.为了扩大销售,增加盈利,尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施.经调查发现,如果每件衬衫每降价1元,商场平均每天可多售出2件.
(1)若商场平均每天要盈利1200元,每件衬衫应降价多少元?
(2)每件衬衫降低多少元时,商场平均每天盈利最多?
2.将进货为40元的某种商品按50元一个售出时,能卖出500个.已知这时商品每涨价一元,其销售数就要减少20个.为了获得最大利益,售价应定为多少?3.某商场销售某种品牌的纯牛奶,已知进价为每箱40元,生产厂家要求每箱售价在40元~70元之间.市场调查发现,若每箱以50元销售,平均每天可销售90箱;价格每降低1元,平均每天多销售3箱;价格每升高1元,平均每天少销售3箱.
(1)写出平均每天销售量y(箱)与每箱售价x(元)之间的函数表达式(注明范围);
(2)求出商场平均每天销售这种年奶的利润W(元)与每箱牛奶的售价x(元)之间的二次函数表达式;(每箱利润=售价-进价)
(3)求出(2)中二次函数图象的顶点坐标,并求出当x=40,70时W的值,在直角坐标系中画出函数图象的草图;
(4)由函数图象可以看出,当牛奶售价为多少时,平均每天的利润最大?最大利润是多少?
4.某医药研究所进行某一治疗病毒新药的开发,经过大量的服用试验后知,成年人按规定的剂量服用后,每毫升血液中含药量y微克(1微克=10-3毫克)随时间x小时的变化规律与某一个二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)相吻合.并测得
二次函数最大利润辅导(带答案)
二次函数最大利润应用题姓名_______ 2018.10.7 1.多个变量,只能确定一个自变量,其余都是因变量(函数),即x(自变量)→y(函数)→z(函数)→w(函数); 2.求最大利润,先建立二次函数关系式,再由对称轴求最值(注意:对称轴是否在取值范围内)。 1.某大众汽车经销商在销售某款汽车时,以高出进价20%标价.已知按标价的九折销售这款汽车9辆与将标价直降0.2万元销售4辆获利相同. (1)求该款汽车的进价和标价分别是多少万元? (2)若该款汽车的进价不变,按(1)中所求的标价出售,该店平均每月可售出这款汽车20辆;若每辆汽车每降价0.1万元,则每月可多售出2辆.求该款汽车降价多少万元出售每月获利最大?最大利润是多少? 解:(1)设进价为x万元,则标价是1.2x万元,由题意得: 1.2x×0.9×9﹣9x=(1.2x﹣0.2)×4﹣4x, 解得:x=10,所以售价为 1.2x=1.2×10=12(万元), 答:进价为10万元,标价为12万元; (2)设该款汽车降价a万元,利润为w万元,由题意得: w=(20+×2)(12﹣10﹣a), =﹣20(a﹣)2+45,∵﹣20<0, ∴当a=时,w最大=45,答:该款汽车降价0.5万元出售每月获利最大,最大利润是45万元. 2.某电子厂商投产一种新型电子产品,每件制造成本为18元,试销过程中发现,每月销售量y(万件)与销售单价x(元)之间的关系可以近似地看作一次函数y=﹣2x+100.(利润=售价﹣制造成本) (1)写出每月的利润z(万元)与销售单价x(元)之间的函数关系式; (2)当销售单价为多少元时,厂商每月能获得350万元的利润?当销售单价为多少元时,厂商每月能获得最大利润?最大利润是多少? (3)根据相关部门规定,这种电子产品的销售单价不能高于32元,如果厂商要获得每月不低于350万元的利润,那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元? 解:(1)z=(x﹣18)y=(x﹣18)(﹣2x+100) =﹣2x2+136x﹣1800, ∴z与x之间的函数解析式为z=﹣2x2+136x﹣1800(x>18); (2)由z=350,得350=﹣2x2+136x﹣1800,解这个方程得x1=25,x2=43 所以,销售单价定为25元或43元, 将z=﹣2x2+136x﹣1800 =﹣2(x﹣34)2+512(x>18), 答;当销售单价为34元时,每月能获得最大利润,最大利润是512万元; (3)结合(2)及函数z=﹣2x2+136x﹣1800的图象可知,当25≤x≤43时z≥350, 又售价不能高于32元,得25≤x≤32, 根据一次函数的性质,得y=﹣2x+100中y随x的增大而减小, ∴当x=32时,每月的销量最少,故制造成本最低.最低成本是18×(﹣2×32+100)=648(万元), 答:每月最低制造成本为648万元. 3.某企业生产并销售某种产品,假设销售量与产量相等,图中折线ABD、线段CD分别表示该产品每千克生产成本y1(单位:元)、销 售价y2(单位:元)与产量x(单位:kg)之间的函数关系. (1)请解释图中点D的横坐标、纵坐标的实际意义; (2)求线段AB所表示的y1与x之间的函数表达式; (3)当该产品产量为多少时,获得的利润最大?最大利润是多少? 解:(1)点D的横坐标、纵坐标的实际意义:当产量为130kg时,该产品每千克生产成本与销售价相等,都为42元;
二次函数最大利润问题专项练习(20191110123257)
二次函数最大利润问题练习 1.某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件,市场调查反映:每涨价1元,每星期少卖出10件;每降价1元,每星期可多卖出20件,已知商品的进价为每件40元,如何定价才能使利润最大? 2.某商店购进一批单价为20元的日用品,如果以单价30元销售,那么半个月内可以售出400 件.根据销售经验,提高单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高1元,销售量相应减少20件.如何提高售价,才能在半个月内获得最大利润? 3.某旅行社组团去外地旅游,30人起组团,每人单价800元.旅行社对超过30人的团给予优惠,即旅行团每增加一人,每人的单价就降低10元.你能帮助分析一下,当旅行团的人 数是多少时,旅行社可以获得最大营业额?
4.某商场以每台 2500 元进口一批彩电。如每台售价定为 2700 元,可卖出 400 台,以每 100 元为一个价格单位,若将每台提高一个单位价格,则会少卖出 50 台,那么每台定价为 多少元即可获得最大利润?最大利润是多少元? 5.某产品每件成本10 元,试销阶段每件产品的销售价 x (元) 与产品的日销售量y (件)之间的关系如下表: x (元) 15 20 30 ? 若日销售量y 是销售价 x 的一次函数. y (件) 25 20 10 ? ⑴求出日销售量y (件)与销售价 x (元)的函数关系式; ⑵要使每日的销售利润最大, 每件产品的销售价应定为多少元?此时每日销售利润是多 少元? 6.某商品的进价为每件 40 元.当售价为每件 60 元时,每星期可卖出 300 件,现需降价处理, 且经市场调查:每降价 1 元,每星期可多卖出 20 件.在确保盈利的前提下, 解答下列问题: ( 1)若设每件降价 x 元、每星期售出商品的利润为 y 元,请写出 y 与 x 的函数关系式, 并求出自变量x 的取值范围; (2)当降价多少元时,每星期的利润最大?最大利润是多少
二次函数最大利润求法经典
一、某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件,市场调查反映:每涨价2元,每星期少卖出20件。已知商品的进价为每件40元,如何定价才能使利润最大? 分析:本题用到的数量关系是: (1)利润=售价-进价 (2)销售总利润=单件利润×销售数量 问题1:售价为x 元时,每件的利润可表示为 (x-40) 问题2:售价为x 元,售价涨了多少元?可表示为 (x-60) 问题3:售价为x 元,销售数量会减少,减少的件数为 -60202 x ? (件) 问题4:售价为x 元,销售数量为y (件),那么y 与x 的函数关系式可表示为 -60300202x y =- ?=30010(60)x --=10900x -+ 因为0600 x x ??-≥? 自变量x 的取值围是 60x ≥ 问题4:售价为x 元,销售数量为y (件),销售总利润为W (元),那么W 与x 的函数关系式为 (40)W x y =-? =(40)(10900)x x --+ =210130036000x x -+- 问题5:售价为x 元,销售总利润为W (元)时,可获得的最大利润是多少? 因为 (40)W x y =-? =(40)(10900)x x --+ =2 10130036000x x -+- =210(130)36000x x --- =22210(13065)6536000x x ??--+--?? =2 10(65)4225036000x --+- =210(65)6250x --+ 所以可知,当售价为65元时,可获得最大利润,且最大利润为6250元
二、某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件,市场调查反映:每降价2元,每星期可多卖出40件,已知商品的进价为每件40元,如何定价才能使利润最大? 分析:本题用到的数量关系是: (1)利润=售价-进价 (2)销售总利润=单件利润×销售数量 问题1:售价为x 元时,每件的利润可表示为 (x-40) 问题2:售价为x 元,售价降了多少元?可表示为 (60-x ) 问题3:售价为x 元,销售数量会增加,增加的件数为 60402 x -? (件) 问题4:售价为x 元,销售数量为y (件),那么y 与x 的函数关系式可表示为 60300402 x y -=+?=30020(60)x +-=201500x -+ 因为0600x x ??-≥? 所以,自变量x 的取值围是 060x ≤≤ 问题4:售价为x 元,销售数量为y (件),销售总利润为W (元),那么W 与x 的函数关系式为 (40)W x y =-? =(40)x -(201500x -+) =220230060000x x -+- 问题5:售价为x 元,销售总利润为W (元)时,可获得的最大利润是多少? 因为 (40)W x y =-? =(40)x -(201500x -+) =2 20230060000x x -+- =220(115)60000x x --- =22211511520115)6000022x x ??????--+--?? ? ????????? =211520()66125600002 x --+- =220(57.5)6612560000x --+- =2 20(57.5)6125x --+
商品利润问题与二次函数典型例题解析
商品利润问题与二次函数典型例题解析 知识链接复习: 1、某水果批发商场经销一种高档水果,如果每千克盈利10元,每天可售出500千克.经市场调查发现,在进货价不变的情况下,若每千克涨价1元,日销售量将减少20千克.现该商场要保证每天盈利6 000元,同时又要顾客得到实惠,那么每千克应涨价多少元 解:设每千克应涨价x 元,读题完成下列填空 问题一:涨价后每千克盈利 元; 问题二:涨价后日销售量减少 千克; 问题三:涨价后每天的销售量是 千克; 问题四:涨价后每天盈利 元 根据题意列方程得: 解方程得: 因为商家涨价的目的是 ;所以 符合题意。 答: 。 2、二次函数y=ax 2 +bx+c 的顶点坐标是x= y= 3、函数y=x 2+2x-3(-2≤x ≤2)的最大值和最小值分别是 新知解析: 例1、某商品现在的售价为每件35元,每天可卖出50件。市场调查发现:如果调整价格,每降价1元,那么每天可多卖出两件。请你帮助分析,当每件商品降价多少元时,可使每天的销售额最大,最大销售额是多少 解:设当降价X 元时销售额为y 元,根据题意得: y=(35-x )(50+2x )=-2x 2+20x+1750 x=-a b 2=-) 2(×220=5 因为0<5<35且a=-2<0 所以y=(35-5)(50+10)=1800 答:当降价5元时 销售额最大为1800元。 此类习题注意要点: 1、根据题意设未知量,一般设增加或者减少量为x 元时相应的收益为y 元,列出函数关系式。 2、判断顶点横坐标是否在取值范围内。因为函数的最值不一定是实际问题的最值 3、根据题意求最值。写出正确答案。 例2、某民俗旅游村为接待游客住宿需要,开设了有100张床位的旅馆,当每张床位每天收费10元时,床位可全部租出,若每张床位每天收费提高2元,则相应的减少了10张床位租出,如果每张床位每天以2元为单位提高收费,为使租出的床位少且租金高,那么每张床位每天最合适的收费是多少元租金最高是多少钱 解:设当张价X 元时租金为y 元,根据题意得:y=(100-10 ×2 x )(10+x )=-5x 2+50x+1000 x=-a b 2=-)5_( ×250=5