观察分岔与混沌现象(MATLAB)
Matlab实验报告
实验目的：用Matlab观察分岔与混沌现象。
题目：Feigenbaum曾对超越函数sin()yx（为非负实数）进行了分岔与混沌的研究，试利用迭代格式1sin()kkxx，做出相应的Feigenbaum图
算法设计：
1、因为为非负实数，所以试将的范围限制在[0,3]，制图时x的坐标限制在[0,3]，考虑到y的值有正有负，所以把y的坐标限制在[-3,3]。
2、根据课本上给的例题，编写程序代码来绘图。
程序代码：
clear;clf;
hold on
axis([0,3,-3,3]);
grid
for a=0:0.005:3
x=[0.1];
for i=2:150
x(i)=a*sin(pi*x(i-1));
end
pause(0.1)
for i=101:150
plot(a,x(i),'k.');
end
end
图像： 00.511.522.53-3-2-10123
结果分析：在取值在[0,0.3]区间内时，y的值保持在0，然后开始上升，在取值在0.75附近时，开始分岔为两支。从整体上看，随着的值越来越大，所产生的迭代序列越来越复杂，可能会随机地落在区间（-3,3）的任一子区间内。并可能重复，这就是混沌的遍历性。
进一步分析：由于的取值空间偏小，考虑扩大其取值范围到[0,6]，再进一步观察图像。程序代码如下：
clear;clf;
hold on
axis([0,6,-6,6]);
grid
for a=0:0.05:6
x=[0.1];
for i=2:150
x(i)=a*sin(pi*x(i-1));
end pause(0.1)
for i=101:150
plot(a,x(i),'k.');
end
end
图像：
0123456-6-4-20246
分析：由图像可见，随着取值范围的增大，图像呈现出周期性的特点。
总结：1、当取值范围比较小，不足以发现图像规律时，可以考虑扩大变量的取值范围。
2、由于图像是由大量点构成的，所以在编程的时候注意循环语句的应用。
混沌
非线性电路中的混沌现象实验理解与思考
一、实验原理表述与探讨
非线性是自然界中普遍存在的现象，正是非线性的存在构成了多姿多彩的自然界。从数学上来说，非线性（non-linear），是指输出输入均不是正比例的情形。宇宙形成初的混沌状态即为非线性。自变量与变量之间不成线性关系，成曲线或抛物线关系或不能定量,这种关系叫非线性关系。
混沌现象则是近年来新出现的一个科学名词。首先是科学家在对天气预报作计算机模拟时发现的,后来又从数学上和实验上得到证实.混沌来自非线性.由于在自然界和人类社会中绝大多数是非线性系统,所以混沌是一种普遍现象.对于什么是混沌，目前科学上还没有确切的定义，但随着研究的深入，混沌的一系列特点和本质的被揭示，对混沌完整的、具有实质性意义的确切定义将会产生。目前人们把混沌看成是一种无周期的有序。无论是复杂系统，如气象系统、太阳系，还是简单系统，如钟摆、滴水龙头等，皆因存在着内在随机性而出现类似无轨，但实际是非周期有序运动，即混沌现象．现在混沌研究涉及的领域包括数学、物理学、生物学、化学、天文学、经济学及工程技术的众多学科，并对这些学科的发展产生了深远影响．混沌包含的物理内容非常广泛，研究这些内容更需要比较深入的数学理论，如微分动力学理论、拓扑学、分形几何学等等．目前混沌的研究重
点已转向多维动力学系统中的混沌、量子及时空混沌、混沌的同步及控制等方面．
本实验电路及原理如下：
如图1所示．电路中电感L和电容C1、C2并联构成一个振荡电路．方程如下所示：
这里，UC1、UC2是电容C1、C2上的电压，iL是电感L上的电流，G=1/R0是电导，g为R的伏安特性函数．如果R是线性的，g是常数，电路就是一般的振荡电路，得到的解是正弦函数．电阻R0的作用是调节C1和C2的位相差，把C1和C2两端的电压分别输入到示波器的x，y轴，则显示的图形是椭圆．如果R是非线性的，则会看到如下现象：
电路中的R是非线性元件，它的伏安特性如图2所示，是一个分段线性的电阻，整体呈现出非线性．gUC1是一个分段线性函数．由于g总体是非线性函数，三元非线性方程组没有解析解．若用计算机编程进行数值计算，当取适当电路参数时，可在显示屏上观察到模拟实验的混沌现象．
使用matlab求解vanderpol方程的研究方法
使用matlab求解vanderpol方程的研究方法
研究van der pol方程是一种重要的非线性动力学问题，它描述了一些自振系统的运动行为。这个方程由物理学家布里尔·范·德·波尔在1920年首次提出，并广泛用于描述电路、生物和化学系统中的自振现象。van der pol方程的一般形式如下：
d^2x/dt^2 - μ(1 - x^2)dx/dt + x = 0
其中，x是系统的状态变量，t是时间，而μ是一个非负常数，代表了系统的非线性因素。
为了研究van der pol方程的行为，我们可以使用MATLAB进行求解和分析。下面将介绍几种常用的方法。
1. 数值解法：通过数值方法求解van der pol方程是最常用的研究方法之一、MATLAB中可以使用ode45函数来进行求解。该函数基于Adams-Bashforth-Moulton方法，可以自动选择适当的步长，并给出较高的数值精度。例如，我们可以定义一个匿名函数来表示van der pol方程，并使用ode45来求解：
```MATLAB
mu = 1; % 设置μ的值
[t, x] = ode45(f, [0, 10], [0.1; 0]); % 求解方程
plot(t, x(:,1)); % 绘制解的图像
xlabel('t'); ylabel('x');
``` 这段代码定义了一个匿名函数f，其中t是时间，x是状态变量。通过ode45函数对该方程进行求解，给定了初始条件[0.1; 0]，求解时间范围为[0, 10]。最后，使用plot函数对解进行可视化。
2. 分岔和稳定性分析：van der pol方程是一个具有非线性耗散的系统，因此它可以表现出各种动力学行为，如周期振荡、混沌和吸引子等。MATLAB提供了一些函数用于分析方程的分岔和稳定性。例如，可以使用bifurcation函数分析van der pol方程的分岔图：
```MATLAB
-非线性电路混沌现象的探究以及基于Multisim的仿真设计
-非线性电路混沌现象的探究以及基于Multisim的仿真设计
D
非线性电路混沌现象的探究以及基于
Multisim的仿真设计
一、引言
混沌是二十世纪最重要的科学发现之一，被誉为继相对论和量子力学之后的第三次物理革命，它打破了确定性与随机性之间不可逾越的分界线，将经典力学研究推进到一个崭新的时代。由于混沌信号是一种貌似随机而实际却是由确定信号系统产生的信号，使得混沌在许多领域（如保密通信，自动控制，传感技术等）得到了广泛的应用[1]。
20多年来混沌一直是举世瞩目的前沿课题和研究热点，它揭示了自然界及人类社会中普遍存在的复杂性、有序性和无序的统一，大大拓宽了人们的视野，加深了人们对客观世界的认识。目前混沌控制与同步的研究成果已被用来解决秘密通信、改善和提高激光器性能以及控制人类心律不齐等问题。
混沌(chaos)作为一个科学概念，是指一个确定性系统中出现的类似随机的过程。理论和实践都证明，即使是最简单的非线性系统也能产生十分复杂的行为特性，可以概括一大类非线性系统的演化特征。混沌现象出现在非线性电路中是极为普遍的现象，通过改变电路中的参数可以观察到倍周期分岔、阵法混乱和奇异吸引子等现象。
二、混沌电路简介
对电路系统来说，在有些二阶非线性非自治电路或三阶非线性自治电路中，出现电路的解既不是周期性的也不是拟周期的，但在状态平面上其相轨迹始终不会重复，但是有界的，而且电路对初始条件十分敏感，这便是非线性电路中的混沌现象。
根据Li-York定义，一个混沌系统应具有三种性质：
（1）存在所有阶的周期轨道；
（2）存在一个不可数集合，此集合只含有混沌轨道，且任意两个轨道既不趋向远离也不趋向接近，而是两种状态交替出现，同时任一轨道不趋于任一周期轨道，即此集合不存在渐近周期轨道；
（3）混沌轨道具有高度的不稳定性。
可见，周期轨道与混沌运动有密切关系，表现在两个方面：
第一， 在参数空间中考察定常的运动状态，系统往往要在参量变化过程中先经历一系列周期制度，然后进入混沌状态；
BOOST变换器不连续导通模式下的混沌现象分析
BOOST变换器不连续导通模式下的混沌现象分析
苏嘉梁;潘峰;刘勇平
【摘 要】研究输出电压反馈型Boost DC/DC变换器,构建并推导了不连续导通方式下(即DCM方式)变换器的离散映射模型.基于此数学模型,以倍周期分岔理论分析了变换器的分岔特性.并利用Matlab软件搭建仿真模块,通过仿真验证了离散模型的正确性,并且详细给出了变换器从稳定逐步到混沌的全过程.该文的研究具有基础性,为更加深入研究Boost变换器工作时的混沌现象打下基础.
【期刊名称】《太原科技大学学报》
【年(卷),期】2015(036)005
【总页数】6页(P347-352)
【关键词】混沌;BOOST变换器;压控模式;不连续传导模式
【作 者】苏嘉梁;潘峰;刘勇平
【作者单位】太原科技大学,太原030024;太原科技大学,太原030024;太原科技大学,太原030024
【正文语种】中 文
【中图分类】TM46
DC/DC变换器作为一个分段强非线性动力学系统，分岔和混沌现象十分普遍
[1]。这些非线性现象对于系统的稳定性有直接影响，各国学者已对此进行了大量研究并取得丰富成果，已有研究表明，变换器的主电路参数在工作时具有一个稳定域，一旦不在此范围，即失去稳态，甚至进入混沌。
研究非线性系统最根本的是构建一个精确且合适的数学模型。现有的DC/DC变换器建模方法主要有俩大类：数值法和解析法
[2]。缺点是无法得到解析解，难以反映变换器实际工作机理。解析法又可分为连续法和离散法俩大类。连续法在低频下可以利用成熟的经典控制理论来分析，并且误差很小，但是在高频下则不能正确反映变换器的实际工作机理。离散法精度高且可以利用计算机迭代从而其速度快，迭代得到的解析解也可准确反映出变换器的实际工做状态。现有研究表明：离散数学模型最能反映DC/DC变换器丰富的分岔与混沌现象。
为此，以电压控制模式Boost DC/DC变换器作为研究对象，全面考虑变换器的3个工作模态，建立了不连续导通模式下(即DCM模式)变换器的离散数学模型，并据此给出分岔图，采用倍周期分岔理论进行混沌现象研究，最后进行Matlab仿真给出时域波形图和相图。整个研究过程不失一般性，适合于其他DC/DC变换器的建模与混沌分析，为进一步分析混沌现象建立了基础。
非线性电路中的混沌现象实验报告
1 非线性电路中的混沌现象
学号：37073112
姓名：蔡正阳
日期：2009年3月24日
五：数据处理：
1．计算电感L
本实验采用相位测量。根据RLC谐振规律，当输入激励的频率LCf21时，RLC串联电路将达到谐振，L和C的电压反相，在示波器上显示的是一条过二四象限的45度斜线。
测量得：f=32.8kHz；实验仪器标示：C=1.095nF
由此可得：
mHCfL50.21)108.32(10095.114.34141239222
估算不确定度：
估计u(C)=0.005nF，u(f)=0.1kHz
则：
32222106.7)()(4)(CCuffuLLu
即 mHLu16.0)(
最终结果：mHLuL)2.05.21()(
2
2．用一元线性回归方法对有源非线性负阻元件的测量数据进行处理：
（1）原始数据：
R V R V R
V
71200 -12
2044.9 -8 1753.4 -4
21000 -11.8 2036.2 -7.8 1727.5 -3.8
12150 -11.6 2027.2 -7.6 1699.6 -3.6
8430 -11.4 2017.8 -7.4 1669.4 -3.4
6390 -11.2 2007.9 -7.2 1636.7 -3.2
5100 -11 1997.5 -7 1601.2 -3
4215 -10.8 1986.7 -6.8 1562.4 -2.8
3564 -10.6 1975.3 -6.6 1519.7 -2.6
3070 -10.4 1963.4 -6.4 1472.3 -2.4
2680 -10.2 1950.9 -6.2 1420 -2.2
2369 -10 1937.6 -6 1360.9 -2
2115 -9.8 1923.7 -5.8 1295.1 -1.8
电力系统中的混沌现象
电力系统中的混沌现象
陈奉苏;蔡文康
【期刊名称】《上海电力学院学报》
【年(卷),期】1996(000)003
【摘 要】一定负荷范围内在简单电力系统的电子计算机模拟中已经观察到混沌行为。混沌的存在是由李雅普诺夫指数的计算和分析所确定。
【总页数】6页(P40-45)
【作 者】陈奉苏;蔡文康
【作者单位】[1]上海电力学院基础部;[2]上海电力学院基础部
【正文语种】中 文
【中图分类】TM711
【相关文献】
1.基于Matlab/Simulink研究电力系统的分叉与混沌现象 [J], 欧家祥;彭志炜
2.混沌现象对电力系统中的影响与应用 [J], 张成虎
3.电力系统环面分岔与混沌现象 [J], 贾宏杰;余贻鑫;李鹏
4.电力系统混沌现象及相关研究 [J], 贾宏杰;余贻鑫;王成山
5.电力系统混沌现象与不同失稳模式之间的关系 [J], 贾宏杰;余贻鑫;李鹏;宿吉峰
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基于MATLAB的DC_DC变换电路实验教学探讨_龚立娇
127实践教学
总第213期
电力电子技术是一门新兴技术，它是由电力学、电子学和控制
理论三个学科交叉而成的，已成为现代电气工程及其自动化专业
不可缺少的一门专业基础课。电力电子技术所涉及的科学技术近
一二十年来的发展十分迅速，已渗透到国民经济各部门，应用范围
十分广泛，已成为电气工程学科中最为活跃的一个分支。实验有利
于学生掌握理论知识、培养学生的实践动手能力并启发学生的创
新意识和创新思维。[1]
电力电子技术是一门实践性非常强的应用技
术，课程教学过程中虽安排了一定量的实验内容，但由于电力电子技
术的特殊性，在实验过程中容易出现器件损坏而影响后续实验的
进行，这也使同学增加心理负担，往往在实验中放不开，分析和解决
问题的能力较难建立，因此实验效果不好。另外，由于实验设备、器
材、经费、场所和人员等制约，难以就所有讲授的变换电路都去做
实验，对硬件设备要求较高的复杂的实验往往很难实现更深一步
的实践教学，开展研究性实验项目更是无从谈起。针对电力电子技
术课程实践教学中存在的问题，课程组从教学内容、教学方法、教
学手段等各方面进行了改革，其根本目的是要提高学生学习的主动
性，培养学生的应用能力和自主研究的能力。
计算机仿真为电力电子技术的教学及设计提供了一个有效的工
具，借助计算机仿真技术，可以弥补实验器材缺乏的不足，减少实
验耗材，完成现有实验设备难以实现的复杂实验，缩短实验时间，
更加完整地分析实验对象的系统性能指标，优化电路设计，让学生
有机会在“做中学，学中做”，从而真正深化这门课程的学习。笔者
就MATLAB仿真软件在电力电子技术教学改革实践中的应用进行
了研究，对电力电子技术课程的实践教学方法和内容开展了探索性
研究。本文重点介绍在DC-DC变换电路实验教学中引入MATLAB
开展仿真实验的实验设计，为学生的个性化学习提供便利。
一、MATLAB仿真
目前，MATLAB涉及通信、信号处理、电气工程、人工智能
等诸多领域，已经成为风靡全球的科学计算软件。MATLAB中提
约瑟夫森结I-V特性及非线性Matlab模拟
江苏科技大学数理学院 约瑟夫森结I-V特性及非线性的数值模拟
_______________________________________________________________________________________________作者：彭加福 0640502112 （*******************） 共16页 - 1 -
约瑟夫森结I-V特性及非线性的数值模拟
彭加福
（江苏科技大学数理学院，应用物理，0640502112）
摘要：本文基于Matlab对约瑟夫森结（Josephson Junction）RCSJ模型的交直流I-V特性及非线性混沌现象进行数值模拟。通过计算机数值模拟得到该模型的非线性微分方程数值解，研究了RCSJ模型中各参量对约瑟夫森结的影响，进而简要分析其I-V特性和非线性混沌现象的产生机理，绘制出约瑟夫森结的交直流I-V特性曲线、非线性微分方程的相图及因其高度非线性而引起的通过倍周期分岔和阵发性原理进入混沌状态的分岔图。
关键词：超导器件 隧道效应 约瑟夫森结 弱耦合 倍周期分岔 庞加莱截面 混沌
1． 引 言
自1911年荷兰科学家昂纳斯（H. K. Onnes）发现汞的超导现象以来，人们对超导进行了大量开拓性的研究，使超导理论]1[日趋成熟，与此同时，超导技术也在各个领域得到深入而广泛的应用]2[。约瑟夫森效应的发现开拓了超导量子干涉仪（SQUID）在弱电方面的应用。人们在对约瑟夫森效应进行研究的过程中发明了各种超导器件及应用电路]3[，促使超导技术应用的新领域——超导电子学逐渐发展起来。在其中，因具有各种独特性（量子干涉、特殊的I-V特性和高度的非线性等），约瑟夫森结得到广泛的研究和应用，并成为超导电子器件的核心部件。实际使用中的约瑟夫森结总处于某一电路之中，因此，利用等效电路理论来研究和分析约瑟夫森结的物理行为是一种很有效的方法。在各模型中，其物理行为均可用微分方程来描述，但这些方程大多不易直接求解析解，因而发展了很多间接解法]5[],4[。其中，利用电路模拟（RCSJ模型和RSJ模型等等），如图1、图2所示，并用数值计算来研究约瑟夫森结的方法最直接，简易。
时延双PN结二极管电磁系统中的分岔与混沌现象
第２５卷第５期 ２０１０年１Ｏ月 电 力 学 报 Ｊ（）ＵＲＮＡＬ ０Ｆ ＥＬＥＣＴＲＩＣ ＰＯＷＥＲ ＶｏＬ ２５ ＮＯ．５ Ｏｃｔ． ２Ｏ１Ｏ
文章编号： １００５—６５４８（２０１０）０５—０３７７—０３
时延双ＰＮ结二极管电磁系统中
的分岔与混沌现象
王玲桃
（山西大学工程学院，太原０３００１３）
摘 要：于一个由线性无损传输线加双ＰＮ结二板管非线性边界条件组成的简单电磁系统，通
过行波分析理论确定了电压反射波的局部映射关系。应用混沌动力学理论分析了系统随参数 变
化而发生的分岔与混沌现象。研究表明：系统具有复杂的非线性动力学特性，表现出了非常丰富的
非线性现象。
关键词：无穷维电磁系统；双ＰＮ结二极管；分岔；混沌
中图分类号：ＴＮ８ｌ１ 文献标识码：Ａ
非线性理论的发展使人们对自然界中的许多复
杂现象有了新的认识，然而自然界中的现象都是在
一定的时间和空间中出现的，分析这类无穷维动力
系统要比分析仅随时间变化的系统更为复杂、也更
难处理无穷维时空系统的非线性现象研究已成为人
们关注的焦点＿１ ］，目前人们对于无穷维动力系统时
空发展行为的认识尚处于摸索阶段。
传输线能够有效地将信息或能量从一个地方传
递到另一个地方。近年来，有关传输线时延系统及
传输线系统中的时空非线性现象研究引起了许多学
者的关注 。］。本文基于线性无损传输线终端接双
ＰＮ结二极管和负电阻时的电磁系统，详细描述了
电压反射波的局部映射通向混沌的道路，并对电压
反射波的复杂的非线性现象进行了分析。
１ 时延双ＰＮ结二极管系统模型及分析
在线性无损均匀传输线左端 一０处接一个双
ＰＮ结二极管，右端３／？一ｄ处接一个线性负电阻Ｒ，
构成了传输线时延二极管电磁系统，原理表示图如
图１所示。双ＰＮ结二极管相当于一个非线性压控
电阻，其特性用 一ｇ（ ）表示，二极管具有弯折作
用，而线性电阻Ｒ具有放大作用，这两种机制的结
合会产生许多非线性现象。传输线具有分布参数的
分岔与混沌理论与应用作业
分岔与混沌理论与应用
学院：
专业：
姓名：
学号： 1 我对混沌理论的认识
1、混沌理论概述
混沌是指发生在确定性系统中的貌似随机的不规则运动，一个确定性理论描述的系统，其行为却表现为不确定性－－不可重复、不可预测，这就是混沌现象。混沌现象起因于物体不断以某种规则复制前一段的运动状态，而产生无法预测的随机效果。所谓“差之毫厘，失之千里”正是此一现象的最佳批注。具体而言，混沌现象发生于易变动的物体或系统，该物体在行动之初极为简单，但经过一定规则的连续变动之后，却产生始料所未及的后果，也就是混沌状态。但是此种混沌状态不同于一般杂乱无章的混乱状况，此一混沌现象经过长期及完整分析之后，可以从中理出某种规则出来。混沌现象虽然最先用于解释自然界，但是在人文及社会领域中因为事物之间相互牵引，混沌现象尤为多见。
混沌理论，是近三十年才兴起的科学革命，它与相对论与量子力学同被列为二十世纪的最伟大发现和科学传世之作。混沌的发现揭示了我们对规律与由此产生的行为之间－－即原因与结果之间－－关系的一个基本性的错误认识。我们过去认为，确定性的原因必定产生规则的结果，但它们可以产生易被误解为随机性的极不规则的结果。我们过去认为，简单的原因必定产生简单的结果(这意昧着复杂的结果必然有复杂的原因)，但简单的原因可以产生复杂的结果。我们认识到，知道这些规律不等于能够预言未来的行为。这一思想已被一群数学家和物理学家，其中包括威廉·迪托 (William Ditto)、艾伦·加芬科(Alan Garfinkel)和吉姆·约克 (Jim Yorke)，变成了一项非常有用的实用技术，他们称之为混沌控制。实质上，这一思想就是蝴蝶效应。初始条件的小变化产生随后行为的大变化，这可以是一个优点；你必须做的一切，是确保得到你想要的大变化。对混沌动力学如何运作的认识，使我们有可能设计出能完全实现这一要求的控制方案。这个方法已取得若干成功。
2、分叉的概述