第7章 状态变量控制系统

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控制系统的状态空间分析与设计

控制系统的状态空间分析与设计

控制系统的状态空间分析与设计控制系统的状态空间分析与设计是现代控制理论的重要内容之一,它提供了一种描述和分析控制系统动态行为的数学模型。

状态空间方法是一种广泛应用于系统建模和控制设计的理论工具,其基本思想是通过描述系统内部状态的变化来揭示系统的特性。

一、状态空间模型的基本概念状态空间模型描述了系统在不同时间点的状态,包括系统的状态变量和输入输出关系。

在控制系统中,状态变量是指影响系统行为的内部变量,如电压、速度、位置等。

通过状态空间模型,可以将系统行为转化为线性代数方程组,从而进行分析和设计。

1. 状态方程控制系统的状态方程是描述系统状态演化的数学表达式。

一般形式的状态方程可以表示为:x(t) = Ax(t-1) + Bu(t)y(t) = Cx(t) + Du(t)其中,x(t)是系统在时刻t的状态向量,A是系统的状态转移矩阵,B是控制输入矩阵,u(t)是系统的控制输入,y(t)是系统的输出,C是输出矩阵,D是直接传递矩阵。

2. 状态空间矩阵状态空间矩阵包括系统的状态转移矩阵A、控制输入矩阵B、输出矩阵C和直接传递矩阵D。

通过这些矩阵,可以准确描述系统的状态变化与输入输出之间的关系。

3. 系统的可控性和可观性在状态空间分析中,可控性和可观性是评估系统控制性能和观测性能的重要指标。

可控性是指通过调节控制输入u(t),系统的状态可以在有限时间内从任意初始状态x(0)到达任意预期状态x(t)。

可控性可以通过系统的状态转移矩阵A和控制输入矩阵B来判定。

可观性是指通过系统的输出y(t)可以完全确定系统的状态。

可观性可以通过系统的状态转移矩阵A和输出矩阵C来判定。

二、状态空间分析方法状态空间分析方法包括了系统响应分析、系统稳定性分析和系统性能指标分析。

1. 系统响应分析系统的响应分析可以通过状态方程进行。

主要分析包括零输入响应和零状态响应。

零输入响应是指当控制输入u(t)为零时,系统的输出y(t)变化情况。

控制工程技术基础 第7章现代控制理论简介

控制工程技术基础 第7章现代控制理论简介
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7.2控制系统的状态空间表达式
7.2.1状态、状态变量
状态:系统运动信息的集合。 状态变量:可以完全确定系统的运动状态且数目最小的一组变量。所 谓完全确定,是指只要给定t0时刻的这组变量的值和系统在t ≥t0时系 统的输入函数,则系统在t > t0的任意时刻的状态就可完全确定。所谓 数目最小是指:如果变量数目大于该值,则必有不独立的变量;小于 该值,又不足以描述系统的运动状态。 状态向量:n个状态变量x1 (t),x2 (t),…, xn (t)所构成的向量X(t)就 是系统的状态向量,记作X(t)=[x1 (t),x2 (t),…, xn (t)]T
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7.4最优控制
以上可见,邦特略京极小值原理实际上是把一个求性能指标J的 最小值问题,转化成一个求哈密顿函数H的最小值问题。 当系统的状态方程为
第7章现代控制理论简介
7.1概述 7.2控制系统的状态空间表达式 7.3状态反馈与输出反馈 7.4最优控制
7.1概述
现代控制理论的基本内容包括五个方面,简单说明如下。 1.最优控制 在图7-1所示系统中,有一组输入函数u (t)作用在受控系统上,其 相应状态变量是x (t),通过量测系统可得到这些状态的某种组合y (t), 此即系统输出。根据实际需要,可为受控系统指定一些目标(性能指 标)。 2.最优估计 图7-1所示系统中,输出量y (t)是通过量测系统由状态转换过来 的。但实际的量测系统常受到噪声v (t)的干扰,如图7-2所示。如果将 整个系统看成是一个信息传递系统,用输入噪声w( t)表示这个系统的 模型误差,也称动态噪声,则从y (t)中,克服w( t)和v (t)的影响估计 出状态x (t)来,称为最优状态估计问题。

自动控制原理第7章离散控制系统

自动控制原理第7章离散控制系统
差分方程描述了系统在离散时间点的行为,通过求解差分方程可 以预测系统未来的输出。
Z变换
01
Z变换是分析离散时间信号和系统 的有力工具,它将离散时间信号 或系统转化为复平面上的函数或 传递函数。
02
Z变换的基本思想是通过将离散时 间信号或系统进行无限次加权和 ,将其转化为一个复数域上的函 数或传递函数。
离散状态方程
离散状态方程是描述离散控制系统动 态行为的数学模型,它的一般形式为 $mathbf{dot{x}}(k) = Amathbf{x}(k) + Bu(k)$,其中 $mathbf{x}(k)$表示在时刻$k$的系 统状态向量,$u(k)$表示在时刻$k$ 的输入向量,$A$和$B$是系统的系 数矩阵。
稳态误差主要来源于系统本身的结构 和参数,以及外部干扰和测量噪声。
离散控制系统的动态响应分析
动态响应定义
动态响应是指系统在输入信号作 用下,系统输出信号随时间变化 的特性。
动态响应的描述方

动态响应可以通过系统的传递函 数、频率特性、根轨迹图等方式 进行描述。
优化动态响应的方

通过调整系统参数、改变系统结 构、引入反馈控制等方法,可以 优化系统的动态响应。
离散控制系统的仿真工具与实例
仿真工具介绍
离散控制系统的仿真工具用于模拟和测试系统的性能和稳定性。常见的仿真工具包括MATLAB/Simulink、 LabVIEW等。这些工具提供了丰富的数学函数库和图形化界面,方便用户进行系统建模和仿真。
仿真实例分析
通过具体的仿真实例,可以深入了解离散控制系统的性能和特点。例如,可以设计一个温度控制系统,通过调整 系统参数和控制算法,观察系统在不同工况下的响应特性和稳定性。通过对比不同方案,可以评估各种参数和控 制策略对系统性能的影响,为实际应用提供参考和依据。

控制系统的状态观测与估计

控制系统的状态观测与估计

控制系统的状态观测与估计在控制系统中,状态观测与估计是实现系统控制的关键步骤之一。

通过对系统状态的观测与估计,我们可以了解系统当前的状态,并作出相应的控制策略。

本文将介绍控制系统的状态观测与估计的基本原理和常用方法。

一、状态观测与估计的概述状态观测与估计是指通过对系统的输入和输出进行测量,利用系统的数学模型和观测数据推断系统的内部状态。

在实际应用中,往往无法直接测量到系统的所有状态变量,因此需要通过观测和估计的方法来获取系统状态信息。

二、状态观测的基本原理1. 定义系统的状态变量:在进行状态观测前,需要明确系统的状态变量。

状态变量可以是系统的输出量和输入量的某些函数,也可以是系统的内部变量。

2. 设计观测器:观测器是用来估计系统状态的一个数学模型。

观测器根据系统的输入和输出计算出系统状态的估计值。

3. 滤波器设计:为了减小测量误差和噪声对系统状态估计的影响,可以设计滤波器对测量数据进行滤波处理,提高状态估计的准确性。

三、常用的状态观测与估计方法1. 最小二乘法:最小二乘法是一种常用的状态估计方法,通过最小化观测数据与估计值之间的误差平方和,求解最优的状态估计值。

2. 扩展卡尔曼滤波器(EKF):扩展卡尔曼滤波器是一种非线性系统的状态估计方法。

它通过将系统状态的概率分布线性化,将非线性系统转化为线性系统的问题,进而进行状态估计。

3. 粒子滤波器:粒子滤波器是一种基于随机采样的状态估计方法。

它利用一组粒子来表示系统的状态分布,并通过对粒子进行加权采样来计算状态的估计值。

四、状态观测与估计的实际应用状态观测与估计在控制系统中有广泛的应用,例如:1. 航空航天领域:在飞行器控制系统中,通过对飞行器的动力学模型和传感器数据进行观测与估计,实现姿态控制和轨迹跟踪。

2. 机器人控制:在机器人控制系统中,通过对机器人的运动模型和传感器测量数据进行观测与估计,实现自主定位和导航。

3. 资源管理:在电力系统等资源管理领域,通过观测和估计系统状态,实现对资源的优化调度和能源的有效利用。

现代控制理论-第7章 最优控制

现代控制理论-第7章  最优控制

(3)控制规律:
u* kx(t)
P由黎卡提微分k 方Q2程1BT得P 到 边界条件:P(tf)=Q0

PA AT P PBQ21BT P Q1 P(t)
例:求解使:J最小的u*(t)
0 1 0 x 0 0x 1u,
பைடு நூலகம்
J
第二节 状态调节器
在不消耗过多控制能量的前提下,使系统各状态在受 到外界干扰作用下,维持平衡状态。
一.无限长时间状态调节器
1.原系统:可控系统

2.性能指标: 说明:(1) J

x Ax Bu, y Cx
12表0 (示xTQ1系x u统TQ2要u)d求t 状态变量偏离平衡点的累积
u* kx(t)
3.控制规律
k Q21BT P
正定实对称P由黎卡提代数方程得到:
PA AT P PBQ21BT P Q1 0
例:求使J最小的u*(t)。 0 1 0
解:
x 0 0x 1u,
J

1

(xT
x uTu)dt
误差最小,这xTQ意1x 味着因某种原因系统状态偏离平衡点,控制
作用应使它很快回复到平衡点,调节器的名称由此而来
(2) 表示在控制过程中,消耗的能量最小
J中(3的u)TQ权Q2u1重半正定,Q2正定,用来确定状态变量与控制能量在
即寻求控制规律,使系统的状态变量x(t)按性能指标J的要 求,在无限长的时间内达到平衡点
1.原系统:可控、可观系统
x Ax Bu, y Cx

2.性能指标:J

1 2

[(y
0

现代控制理论基础 第7章 状态空间分析法在工程中的应用

现代控制理论基础 第7章  状态空间分析法在工程中的应用

h2
特征多项式
1 0
0 1
1
w
0
u
h02 h1 h0h1 h2
y
11 0 1 h0h2 11h1
h0
x1
w
h1
y
h2
I (A11 hA21) 3 h02 (11 h1) (11h0 h2 )
期望极点-3, -2+j, -2-j;期望特征方程
g0 9, g1 42, g2 148, g3 492
状态反馈
12
五、降维观测器设计
由于小车位移z可测,无需估计,可用降维观测器进行设计。重新排列系统状 态变量次序,把需由降维观测器估计的变量与可观测的变量分开,则状态方程 和输出方程为
d dt

z

--z--
0 1 0 0
第七章 状态空间分析法在工程中的应用
第一节 单倒置摆系统的状态空间设计 第二节 大型桥式吊车行车系统的状态空间设计 第三节 液压伺服电机最优控制系统
1
线性控制理论在工程设计中应用最广泛的是状态空 间综合方法,也就是状态反馈与状态观测器的相关理论 与方法。本章通过三个工程实例予以说明状态空间分析 方法的具体应用。
3
若不给小车施加控制力,是一个不稳定系统。 控制的目的是,当倒置摆无论出现向左或向右倾倒时,通过控制直
流电动机使小车在水平方向运动,将倒置摆保持在垂直位置上。
4
一、倒置摆的状态空间描述
根据牛顿定律
M d 2z m d 2 (z l sin ) u
dt 2
dt 2
由于绕摆轴旋转运动的惯性力矩应与重力矩平衡,因而有
(6-3) (6-4)
联立求解
..

状态变量分析

状态变量分析

RiL (t)
vs
(3)消除中间变量 vC2,将 vC2 vS vC1 代入,得
C1
d vC1 dt
iL
C2
d(vS vC1 ) dt
0
(4)整理,得
diL dt
R L iL
1 L vC1
1 L vS
d
vC1
dt
1 C1 C2
iL
C2 C1 C2
dvS dt
写成矩阵形式,为
diL
x2
dx1 dt
(b1 a1b2 ) f
dy dt
b2
df dt
(b1 a1b2 ) f
正如前面所述,状态变量的选取可以是多种形式的。
输出方程为 y x1 b2 f
写成矩阵形式,为
y 1
0
x1 x2
b2
f
7.2.4 从模拟图建立状态方程
根据系统的输入-输出方程或系统函数可以作出系 统的时域或复频域模拟图,然后选择每一个积分器的输 出端信号作为状态变量,最后得到系统的状态方程和输 出方程。
信号与系统
第七章 状态变量分析
第七章 状态变量分析
状态变量分析概述 7.1 状态与状态空间 7.2 连续系统状态方程的建立 7.3 系连续系统状态方程的 本章要点
状态变量分析概述
系统的描述方法 – 输入-输出描述法、状态变量描述法
输入-输出描述法(端口分析法、外部法) – 用系统的输入-输出变量之间的关系来描述系统的 特性; – 数学模型是 n 阶微分(或差分)方程。
方程。
iS (t)
解 选取 vC (t) 和 iL (t) 为状态变量, 它们都是独立的状态变量。
vC
(t)

现代控制理论状态变量及状态空间PPT课件

现代控制理论状态变量及状态空间PPT课件

[解]:
+ _u1
i1 R1
+_u2 i2 R2
1) 选择状态变量
两个储能元件L1和L2,可以选择i1和i2为状态 变量,且两者是独立的。
2)根据基尔霍夫电压定律,
L1 uA L2
列写2个回路的微分方程:
u1
L1
di1 dt
(i1
i2)R1
u2
左回路
+ _u1
i1 R1
(i1
i2)R1
u2
L2
di2 dt
特征值,非零向量 x称为 A的对应于 的特征 向量。
xAx (A)x0 (IA)x0
方阵 的 n次多项式 f()IA为 A的特征
多项式。IA 0为 A的特征方程。
IA 0 的解为特征根。
(IA) x0 的解为特征向量。
例:求
A
1 0
1 1
的特征值和特征向量。
解:
IA1
0
1
10
( 1 )( 1 ) 0 1 1 , 2 1
注:负反馈时为-
D
u
x x
y
B
C
A
1.3 状态变量及状态空间表达式的建立(1)
建立Байду номын сангаас态空间描述的三个途径: 1、由系统框图(方块图)建立 2、由系统机理进行推导 3 、由微分方程或传递函数演化而得
1.3.1 从系统框图出发建立状态空间
将系统每个环节变换成相应的模拟结构图,然后组合 起来,最终得到状态空间。
u2
di2
dt
R1 L2
i1
R1 R2 L2
i2
1 L2
u2
uA i1R1 i2R1 u2 3)状态空间表达式为:
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(1) 构造原系统的对偶系统 (2)使用MATLAB的函数place()及acker(),求得状态观测器的反馈 矩阵G
G G
T
ac ker( A , C , P );
T T
T
place ( A , C , P )
T T
P为给定的观测器极点,G 为状态观测器的反馈矩阵;
课内练习1
P102 2.7.6 2.7.7 1 3
0 ˆ TB B B C ˆ C CT
1
[C C
CC ]Βιβλιοθήκη 其中,(AC,BC)为能控子系统。
ˆ ˆ ˆ ˆ [ A , B , C , D , T , K ] ctrbf ( A , B , C )
T为相似变换阵,K为长度为N的矢量,其元素为各个块的秩。Sum(K)可以 求得A中能控部分的秩
x Ax Bu y Cx Du
在MATLAB中,系统状态空间用(A,B,C,D)矩阵组表示。
举例:
1 3 x 4 5 0 y 8
6 12 7 12 0 0
9 6 9 13 2 2
10 4 8 2 x 2 11 14 1 1 x 2
课内练习2
P101 2.7.6 2.7.7 2 1 2
状态变量控制系统
2006-12
主要内容
状态空间模型的建立及转换 状态空间模型的分析 系统能控性和能观性的判别 状态反馈控制器的设计
状态空间模型的建立及转换
模型的建立
状态方程与输出方程的组合称为状态空间表达式,又称 为动态方程,经典控制理论用传递函数将输入—输出关 系表达出来,而现代控制理论则用状态方程和输出方程 来表达输入—输出关系,揭示了系统内部状态对系统性 能的影响。
n 1
当秩为n时,系统的状态完全能观测,否则 系统状态不完全能观测
V o obsv ( A , C )
rank(Vo)
不完全能控性分解
当系统不完全能控时,则存在相似变换阵T,使得系统变换为
ˆ A TAT
1
AC A 21
0
AC
fai =
0.9909 -0.1722 0.0861 0.7326
fai即为t=0.1秒时的状态转移矩阵
例题
已知系统A=[0 –2;1 –3],b=[2;0];c=[1 0];d=[0],x0=[1 1],求系统在t在1秒内的状态向量及输出响应。
x = y = 1.0000 0.9048 0.8187 0.7408 0.6703 0.6065 0.5488 0.4966 0.4493 0.4066 0.3679 0.3329 0.3012 0.2725 0.2466 0.2231 0.2019 0.1827 0.1653 0.1496 0.1353 1.0000 0.9048 0.8187 0.7408 0.6703 0.6065 0.5488 0.4966 0.4493 0.4066 0.3679 0.3329 0.3012 0.2725 0.2466 0.2231 0.2019 0.1827 0.1653 0.1496 0.1353 1.0000 0.9048 0.8187 0.7408 0.6703 0.6065 0.5488 0.4966 0.4493 0.4066 0.3679 0.3329 0.3012 0.2725 0.2466 0.2231 0.2019 0.1827 0.1653 0.1496 0.1353
1 1 O O O O
能控性判断
B ] ,当秩 能控判定矩阵为 为n时,系统的状态完全能控,否则不完 全能控。 U c [ B , AB ,..., A
n 1
U c ctrb ( A , B )
rank(Uc)
能观测性判断
能观测判定矩阵为 V
O
C CA ... CA
6 4 u 2 0
系统为一个两输入两输出系统 >> A=[1 6 9 10; 3 12 6 8; 4 7 9 11; 5 12 13 14]; >> B=[4 6; 2 4; 2 2; 1 0]; >> C=[0 0 2 1; 8 0 2 2]; >> D=zeros(2,2); >> ss(A,B,C,D)

状态反馈控制器的设计
状态完全可观 基于极点配置设计状态反 馈控制器 状态不可观 须设计状态观测器 基于极点 配置设计状态反馈控制器
极点配置
单变量系统 K=acker(A,b,P)
式中,P为给定的极点,K为状态反馈矩阵
多变量系统 K=place(A,B,P)
状态观测器
在MATLAB中,根据对偶原理,设计问题可以大大简 化,求解过程如下:
用法举例: 1)[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,iu) %iu用来指定第n个输入,当只有一个输入时可忽略 1 0 0 已知系统状态空间模型为: x x u
1 2 1 y 1 3 x u
>> A=[0 1; -1 -2]; B=[0;1]; C=[1,3]; D=[1]; >> [num,den]=ss2tf(A,B,C,D) num = 1.0000 5.0000 den = 2.0000
1
2
1
2)[z,p,k]=ss2zp(A,B,C,D,iu) %iu用来指定第n个输入,当只有一个输入时可忽略 >> [z,p,k]=ss2zp(A,B,C,D) z= -0.4384
-4.5616
p= -1 -1 k=
1
3)已知一个单输入三输出系统的传递函数模型为:
G 11 ( s ) G 31 ( s )
不完全能观测分解
当系统不完全能观时,则存在相似变换阵T,使得系统变 换为
A TAT
1
Ao 0
A12 AO
BO B TB BO

C CT

1
[0 C O ]
其中,(AO,CO)为能观测子系统
[ A , B , C , D , T , K ] obsvf ( A , B , C )
线性系统的标准型变换
转为对角标准型 转为约当标准型 转为能控标准型 转为能观标准型
转为对角标准型
[v,diag]=eig(A)
其中,v是变换矩阵,diag为求得的对角标准型矩阵。
转为约当标准型
[v,j]=jordan(A)
其中,v是变换矩阵,j为求得的约当标准型矩阵
转为能控标准型
设有任意型状态空间系统(A,B,C,D),如果状 态是完全能控的,必存在线性非奇异变换Tc,则 可求得能控标准型系数为 A T AT B T B 。 , , ˆ C CT 其中变换阵T 可由函数ctrb()求得: c
1

1
C
C
c
,,
c
Tc =ctrb(a,b)
转为能观标准型
设有任意型状态空间系统(A,B,C,D),如果 状态是完全能观测的,必存在线性非奇异变 换 T o ,则可求得能观测标准型系数为 A T AT , B T B , C CT 其中变换阵 T o 可由函 数obsv()求得: T o =obsv(a,c)
y1 ( s ) u(s)

2
2 s 6 s 11 s 6
3 2
G 21 ( s )
s5 s 6 s 11 s 6
3 2
s 2s s 6 s 11 s 6
3 2
>> num=[0 0 -2;0 -1 -5;1 2 0];den=[1 6 11 6]; >> [A,B,C,D]=tf2ss(num,den)
A= -6 -11 -6 1 0 0 1 0 -1 2 0 0
B= 1 0 0
C=
0 0 1 -2 -5 0
D=
0 0 0
4)系统的零极点增益模型: >> z=[-3];p=[-1,-2,-5];k=6; >> [A,B,C,D]=zp2ss(z,p,k)
G (s)
6 ( s 3) ( s 1)( s 2 )( s 5 )
>> a=[0 -2;1 -3]; >> b=[2;0];c=[1 0];d=[0]; >> x0=[1 1]; >> t=[0:0.05:1]; u=0*t; >> [y,x]=lsim(a,b,c,d,u,t,x0)
系统能控性和能观性的判别
线性系统的标准型变换 能控性判断 能观测性判断 不完全能控性分解 不完全能观测分解
A=
-1.0000 0 0
B=
1 1 0 D=
2.0000 -7.0000 -3.1623 0 C= 3.1623 0
0
0 1.8974
0
状态空间模型的分析
x ( t ) exp( At ) x ( 0 )

t
exp[ A ( t )] Bu ( )d
At
0
(t ) e
a= x1 x2 x3 x4 x1 1 6 9 10 x2 3 12 6 8 x3 4 7 9 11 x4 5 12 13 14 c=
b= u1 u2
x1 4 6
x2 2 4 x3 2 2 x4 1 0 d= u1 u2 y1 0 0 y2 0 0 Continuous-time model.
x1 x2 x3 x4
获取控制系统的状态变量及输出的响应 expm(A)计算给定时间的状态转移矩阵 求得系统的输出响应和状态响应 [y,x]=lsim(A,B,C,D,u,t,x0)
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