开放探索性问题之一
专题三 开放探究型问题
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[对应训练]
• 单1．击如此图，处在编四边辑形母AB版CD中文，本点H样是B式C的中点，作射线AH，在线段AH及
其延•长第线二上级分别取点E，F，连结BE，CF.
(1)请•你第添三加级一个条件，使得△BEH≌△CFH，你添加的条件是 ___E_H_＝__F_H___•，第并•四证第级明五；级
在 Rt△CHD 中，tan60°＝DCHH，∴DH＝ 3CH，∵AD＋DE＝AD＋AF
＝FD＝2DH＝2 3CH，即：AD＋DE＝2 3CH.
精品课件
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【点评】本题是三角形的综合题，综合考查了全等三角形、等腰三角形
•三单线击合一此、处直角编三辑角母形的版性文质，本本样题从式第一问中三条线段的数量关系，
(2)结论开放型问题：从剖析题意入手，充分捕捉题设信息，通过由因
导果，顺向推理或联想、类比、猜测等，从而获得所求的结论；
(3)条件和结论都开放型：此类问题没有明确的条件和结论，并且符合
条件的结论具有多样性，需将已知的信息集中进行分析，探索问题成立
所必须具备的条件或特定的条件应该有什么结论，通过这一思维活动得
S四边•形第OAMB二＝6级，∴k＝6；
(2)存•在第点三E，级使得PE＝PF.由题意，得点P的坐标为(3，2)．①如图1， 过点P作PG⊥•x轴第•四于第级点五G，级过点F作FH⊥PG于点H，交y轴于点K.∵∠PGE＝ ∠FHP＝90°，∠EPG＝∠PFH，PE＝PF，∴△PGE≌△FHP，∴PG＝FH＝2 ，FK＝OK＝3－2＝1，GE＝HP＝2－1＝1，∴OE＝OG＋GE＝3＋1＝4， ∴E(4，0)；
(1)如图•a，第当三∠级ACB＝90°时，连结CD，过点C作CF⊥CD交BA的延长线于
专题选讲探索性、开放性问题
专题选讲 探索性、开放性问题[窍门点击]探索性课题学习是新课程倡导的旨在培养学生创新意识和实践能力的学习方式.此类问题综合性强,内涵丰富,其结论与题设之间的跨度大,探索性问题形式多样、解法新颖，解答时需要灵活与综合地运用基础知识、基本技能和数学思想方法去探索条件、结论及其内在联系，有利于考查学生的思维品质与创造性解决问题的能力，因此近几年的高考中几乎每年都考，特别是有望得高分的学生一定要关注这类题型.探索性问题常见的几类题型有:①填空题中的开放题;②试验、猜想、归纳型；③条件探索型；④结论不确定型（如是否存在型）.探索性问题的解答,应突出数学思想方法,如等价转化、数形结合、分析法、待定系数、数学归纳法、反证法、换元法、分类讨论等方法的使用，解出的结果一定要结合题目的各种条件加以检验才能下结论.[范例解剖]例1．以椭圆x 2+a 2y 2=a 2(a>1)的一个顶点C （0，1）为直角顶点作此椭圆的内接等腰直角三角形ABC ，试问：这样的直角三角形是否存在？若存在，最多有几个？若不存在说明理由. [点评]:这个探索性问题是属于结论不定型,首先要 利用已知的各种信息直觉猜想一下是否存在,借助图形,不难判断这样的等腰直角三角形一定存在,过C 点作两条倾斜角为450和1350的直线交椭圆于A,B 两点,则三 角形ABC 就是满足条件的三角形,探究的主要问题就变成是有几个这样的三角形,[略解]:假设存在A,B 使得ABC 是等腰直角三角形,设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则CA CB ⋅=0, 即(x 1,y 1-1)⋅(x 2,y 2-1)=0, x 1x 2+y 1y 2-y 1-y 2+1=0.设CA 的直线方程是y=kx+1,将直线方程代入椭圆方程得:(a 2k 2+1)x 2+2a 2kx=0所以x 1=2222a k a k 1-+, x 2=2222a k a k-+,又y 1y 2-y 1-y 2=k 2x 1x 2+k(x 1+x 2)+1- k(x 1+x 2)-2= k 2x 1x 2-1, 代入得(k-1)[k 2-(a 2-1)k+1]=0(*)① 当,k=1, k 2-(a 2-1)k+1=0无实数解;②当时,解为k=1;③当时,方程(*)除了有k=1外,方程 k 2-(a 2-1)k+1=0有两个不等的实根,故方程(*)共有三个根,综上所述,最多有三个等腰直角三角形.例2．已知{a n }满足：(n-1)a n+1=(n+1)(a n -1),a 2=6,b n =n+a n (n N).（1）写出数列{b n }的前4项；（2）求出{b n }的通项公式（写出推理过程）；（3）是否存在非零常数p,q使数列{qpn a n +}成等差数列？若存在，试举出一个实例；若不存在，说明理由.[略解](1)由(n-1)a n+1=(n+1)(a n -1),a 2=6得:a 1=1,a 2=6,a 3=15,a 4=28.b 1=2,b 2=8,b 3=18, b 4=32.(2) 猜想:b n =2n 2,a n =2n 2-n.用数学归纳法证明(略).(3)此问是探索性问题. 假设存在非零常数p,q 使数列{qpn a n +}成等差数列. 为了求出p,q,取数列的前三项即:321a 2a a 2p q p q 3p q=++++. 所以121152p q p q 3p q=++++,解得p+2q=0. 这里得到的仅仅是{q pn a n +}为等差数列的必要条件,要想说明{q pn a n +}是否等差数列,还需进一步验证这一条件是否是充分条件.当p=-2q 时, n 1a p(n 1)q +++-q pn a n +=-1q .这表明{q pn a n +}是一个以-1q为公差的等差数列. 所以存在非零常数p,q 使数列{q pn a n +}成等差数列.如p=-2,q=1就是其中的一个.[点评]:①一般所要探索命题成立的条件是充要条件,但是经常立刻找到充要条件是比较困难的,因此就要退一步,先假定结论成立,找出必要条件,再验证充分性.②此题如果注意到等差数列的通项是一次函数,也可立刻找到结论的充要条件. {qpn a n +}是等差数列⇔qpn a n +=kn+b ⇔a n =(kn+b)(pn+q) ⇔2n 2-n=pkn 2+(kq+bp)n+bq 对任意大于0的自然数恒成立⇔pk 2kq bp 1bq 0=⎧⎪+=-⎨⎪=⎩解得p+2q=0.这个结果是充要条件,就不必验证.法二:第(2)问:求b n 的通项也可用待定系数法,利用递推关系先求出a n 的通项,再解出b n 的通项. 由(n-1)a n+1=(n+1)(a n -1)得(n-1)[a n+1-(n+1)]=(n+1)(a n -n),设 c n =(a n -n),则(n-1)c n+1=(n+1)c n ,用逐项作商累乘的方法得:c n =2n 2-2n,则a n =2n 2-n.而b n =n+a n =2n 2.这样推理就不用数学归纳法证明了.例3.已知a,b,c,d ∈[0,1],M=(1-a)(1-b)(1-c)(1-d),N=1-a-b-c-d,试比较M,N 的大小,你能由此得出一个一般的结论吗?若能得出将结论证明,若不能得出请举出反例.[略解]:先考查两个的情形(1-a)(1-b)=1-a-b+ab1-a-b ≥1-a-b,当且仅当a,b 中至少有一个为0时等号成立.则(1-a)(1-b)(1-c)≥(1-a-b)(1-c)= 1-a-b-c+c(a+b) ≥1-a-b-c,当且仅当a,b,c 中至少有一个为0时等号成立.则(1-a)(1-b)(1-c)(1-d) ≥(1-a-b-c)(1-d)= 1-a-b-c-d+d(a+b+c) ≥1-a-b-c-d,当且仅当a,b,c,d 中至少有一个为0时等号成立.可以猜想一般的结论是(1-a 1)(1-a 2)…(1-a n ) ≥1-a 1-a 2-…-a n ,可以用数学归纳法证明(略).[点评]:本题探索的特点是将多元的问题化归为二元问题,再进行迁移和推广,体现了探索过程的由特殊到一般、由具体到抽象、由少元到多元的特点.例4．已知函数F(x)=kx 2∈R).（1）是否存在实数对(m,k)同时满足以下条件:①F(x)取最大值时x 的值与G(x)取最小值时x 的值相等;②k 为整数.(2)将满足条件①的实数对(m,k)的集合记为A,设B={222(m,k)k (m 1)r ,r 0+-≤>},求使A ⊆B 的r 的取值范围.[略解](1)假设存在实数对(m,k)满足条件,则有当x=k,k<0时,F(x)取得最大值,当x=k 时, G(x)取最小值,所以k 0k k Z <⎧=⎪∈⎪⎩,又4+2m-m 2=5-(m-1)2,所以0≤k 2, 则k又k 为整数,k<0所以k=-1,所以满足条件的实数对有两个(-1,-1)和(-1,3).(2)由题意22(m 1)r -≤,则22max (m 1)]r -≤,22(m 1)(m 1)-=-,设θ,θ∈[0,π],则原式θ+5cos 2θ=-( sin θ-10)2+214, 所以,r 2≥214,r的取值范围是,)2+∞. [点评]:此题的关键是探索x 取何值时, F(x)取最大值且G(x)取最小值,这里隐含k 的正负号的考虑,另外在含有两个以上字母的方程、不等式的混合问题中,将变量分离,用其中的一个变量的范围(或其最值)确定另一个变量的范围,不等号的方向要明确. 例5.已知直线ax-y=1与双曲线x 2-2y 2=1相交于P 、Q 两点.(1)是否存在整数a,使得PQ =(2)是否存在实数a, 使得以PQ 为直径的圆过原点O.[略解](1)假设存在整数a,使得PQ =设直线与双曲线的交点坐标分别为P （x 1,y 1）,Q(x 2,y 2), 联立22ax y 1x 2y 1-=⎧⎨-=⎩消去y 得：(1-2a 2)x 2+4ax-3=0. 则1221224a x x 12a 3x x 12a ⎧+=-⎪⎪-⎨⎪⋅=-⎪-⎩且△=4(3-2a 2)>0.所以PQ ==,所以212a =-,解得a=1或a=-1,两个都满足△>0, 所以存在整数a=1或-1,使得PQ =.(2) 以PQ 为直径的圆过原点O 等价于PQ 的中点M 到O 点的距离等于1PQ 2, 又M(222a 1,2a 12a 1--),则22222a 1()()2a 12a 1+=--222232a (1a )(12a )-+⋅-. 解得a 2=-2,所以不存在实数a, 使得以PQ 为直径的圆过原点O.[点评]:在考查直线与圆锥曲线的位置关系中,与弦长有关的问题要熟练使用弦长公式,并注意韦达定理的使用,和判别式的隐含条件,和中点有关的问题注意中点坐标的使用.此外这类问题都需要将直线和曲线联立,消元等过程,这样烦琐的计算一定要有耐心和毅力.[习题精选]1.正四面体内有一个与其各面都相切的球,过一条高和侧棱作一截面,则节目，截面的大致图形是(A B C D2.如图,在三棱锥A-BCD,E 在棱AB 上,F 在棱CD 上,并使A E C F EB F D==λ(λ>0),设α为异面直线EF 与AC 所成的角,β为异面直线EF 与BD 所成的角,则α+β的值是( ) CA.6πB.4πC.2π D.与λ有关的变量 3.已知函数y=f(x),x ∈R,f(0)≠0,且对于任意的实数x 1,x 2都有f(x 1)+f(x 2)=2f(12x x 2+)f (⋅12x x 2-),则此函数为( )B A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.奇偶性不定4.如图,圆锥高SO,AB 为底面圆O 的直径,A ’B 为弦,∠ASB=α,∠A ’SB=β,当α与β满足( )条件时,△A ’SB 的面积大于△ASB 的面积. DA. α>2π B. α+β>π C. α<2π且α+β<π D.α>2π且α+β>π 5. 过抛物线)0(2>=a ax y 的焦点F 作一直线交抛物于A 、B 两点，若线段AF 、BF的长分别为m , n ，则n m mn +等于（ ）D A ．a 21 B ．a 41 C ．2a D ．4a 6. 函数)(x f 对任意实数x 都有)1()(+<x f x f ，那么（ ）CA ．)(x f 是增函数B ．)(x f 没有单调减区间C ．)(x f 可能存在单调增区间，也可能不存在单调增区间D ．)(x f 没有单调增区间7.定义在R 上的奇函数f(x)为增函数,偶函数g(x)在区间[0,)+∞上的图象与f(x)的图象重合,设a>b>0,给出下列不等式①f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b); ②f(a)-f(-b)> g(b)-g(-a); ③f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b); ④f(a)-f(-b)<g(b)-g(-a).其中正确的是是 .①②8.由下列各式1>12;1+12+13>1; 1+12+13+14+15+16+17>32;1+12+13…+115>2…,你能得出一般的结论吗?是 .1+12+13…+n 1n 212>-. A B CD E F9.已知椭圆22x y 143+=,F 1,F 2是焦点,问椭圆上是否存在点M,使M 到左准线的距离d 是1MF 和2MF 的比例中项?解:若椭圆上存在满足条件的点,则有121212MF MF 4MF e dd MF MF ⎧+=⎪⎪=⎨⎪=⋅⎪⎩,解得d=85,但椭圆的左准线方程x=-4,左顶点是(-2,0),即椭圆上的点到左准线的最近距离为2,而d=85<2,不可能. 不存在点M,使M 到左准线的距离d 是1MF 和2MF 的比例中项.10. 某产品中有15只正品，5只次品，每次取1只测试，取后不放回，直到5只次品全部测出为止，求经过10次测试，5只次品全部被发现的概率。
重视开放性、探索性问题教学提高学生思维品质
五、 探究定理的证明， 拓宽定理的应用 目 前， 世界上可以查到的证明勾股定理的方法有 几百种。 教材中虽然已对勾股定理进行了证明， 但在教 学中， 若能够根据学生的能力，适当引导补充一些证 法， 不仅有利于定理的应用和理解， 而且能使学生获得 探究解决问题的新方法， 更有利于培养学生的创造性
学科教学
重_ 开欢性一 o 问题教_ 视 一 探索rm 学
开远布第‘中学 普 一 母
由于开放性问题要么条件不完备 ，要么结论不确
4 !产_ c * 0** f i/ 71 ,* v4 4
庚，曾建议发射一种勾股定理的图形，如果宇宙人是 “ 文明的人”那么他们一定会认识这种“ ， 语言” 你认 的，
为这有可能吗?
定， 因此这类试题具有新颖 、 灵活、 发散的特点。 而且解
答这类问题往往没有固定 的模式 ，需要应用观察 、 类
比、 归纳、 推测等多种思维活动来寻找解题的策略， 具
有较为广阔的思维空间，因而更能考查学生的探索能
力和创新精神。
此问题提出后， 学生会展开激烈的争论， 调动了学
生思维的积极性， 急于知道新知识的欲火被点燃 ， 激发
七 2 一一 户T 图 (4 )
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C比
说明:对于此例的研究， 不仅使学生掌握了多种证 明问题的方法， 培养其思维能力， 而且丰富了研究数学
问题的方法和手段。
C B
E
D
这样的问题系列富有探索性，学生纷纷动脑、 动 口、 动手， 积极参与探索， 不仅获得了知识， 而且自己总
结了一般规律， 真正感受到了探索的艰难和成功的欣
球的“ ， 人”向宇宙发出了许多信号。 如地球上的人类的 语言 、 、 音乐 各种图形等， 说我国著名的 学家华罗
2012年中考数学二轮复习考点解密 开放探索性问题(含解析)
2012年中考数学二轮复习考点解密开放探索性问题第一部分讲解部分一、专题诠释开放探究型问题，可分为开放型问题和探究型问题两类．开放型问题是相对于有明确条件和明确结论的封闭型问题而言的，它是条件或结论给定不完全、答案不唯一的一类问题．这类试题已成为近年中考的热点，重在考查同学们分析、探索能力以及思维的发散性，但难度适中．根据其特征大致可分为：条件开放型、结论开放型、方法开放型和编制开放型等四类．探究型问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的一类问题．根据其特征大致可分为：条件探究型、结论探究型、规律探究型和存在性探究型等四类．二、解题策略与解法精讲由于开放探究型试题的知识覆盖面较大，综合性较强，灵活选择方法的要求较高，再加上题意新颖，构思精巧，具有相当的深度和难度，所以要求同学们在复习时，首先对于基础知识一定要复习全面，并力求扎实牢靠；其次是要加强对解答这类试题的练习，注意各知识点之间的因果联系，选择合适的解题途径完成最后的解答．由于题型新颖、综合性强、结构独特等，此类问题的一般解题思路并无固定模式或套路，但是可以从以下几个角度考虑：1．利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）进行归纳、概括，从特殊到一般，从而得出规律．2．反演推理法（反证法），即假设结论成立,根据假设进行推理，看是推导出矛盾还是能与已知条件一致．3．分类讨论法．当命题的题设和结论不惟一确定，难以统一解答时，则需要按可能出现的情况做到既不重复也不遗漏，分门别类加以讨论求解，将不同结论综合归纳得出正确结果．4．类比猜想法．即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法，并加以严密的论证．以上所述并不能全面概括此类命题的解题策略，因而具体操作时，应更注重数学思想方法的综合运用．三、考点精讲（一）开放型问题考点一：条件开放型：条件开放题是指结论给定，条件未知或不全，需探求与结论相对应的条件．解这种开放问题的一般思路是：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，逆向追索，逐步探求．例1：（2011江苏淮安）在四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC.请再添加一个条件，使四边形ABCD是矩形.你添加的条件是.(写出一种即可)分析：已知两组对边相等，如果其对角线相等可得到△ABD≌△ABC≌ADC≌△BCD，进而得到，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，使四边形ABCD是矩形．解：若四边形ABCD的对角线相等，则由AB=DC，AD=BC可得．△ABD≌△ABC≌ADC≌△BCD，所以四边形ABCD的四个内角相等分别等于90°即直角，所以四边形ABCD是矩形，故答案为：对角线相等．评注：此题属开放型题，考查的是矩形的判定，根据矩形的判定，关键是是要得到四个内角相等即直角．考点二：结论开放型：给出问题的条件，让解题者根据条件探索相应的结论并且符合条件的结论往往呈现多样性，这些问题都是结论开放问题．这类问题的解题思路是：充分利用已知条件或图形特征，进行猜想、类比、联想、归纳，透彻分析出给定条件下可能存在的结论，然后经过论证作出取舍．例2：（2011天津）已知一次函数的图象经过点（0，1），且满足y随x的增大而增大，则该一次函数的解析式可以为．分析：先设出一次函数的解析式，再根据一次函数的图象经过点（0，1）可确定出b的值，再根据y随x的增大而增大确定出k的符号即可．解：设一次函数的解析式为：y=kx+b（k≠0），∵一次函数的图象经过点（0，1），∴b=1，∵y随x的增大而增大，∴k＞0，故答案为y=x+1（答案不唯一，可以是形如y=kx+1，k＞0的一次函数）．评注：本题考查的是一次函数的性质，即一次函数y=kx+b（k≠0）中，k＞0，y随x的增大而增大，与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上．考点三：条件和结论都开放的问题：此类问题没有明确的条件和结论，并且符合条件的结论具有多样性，因此必须认真观察与思考，将已知的信息集中分析，挖掘问题成立的条件或特定条件下的结论，多方面、多角度、多层次探索条件和结论，并进行证明或判断．例3：（2010•玉溪）如图，在平行四边形ABCD中，E是AD的中点，请添加适当条件后，构造出一对全等的三角形，并说明理由．分析：先连接BE，再过D作DF∥BE交BC于F，可构造全等三角形△ABE和△CDF．利用ABCD是平行四边形，可得出两个条件，再结合DE∥BF，BE∥DF，又可得一个平行四边形，那么利用其性质，可得DE=BF，结合AD=BC，等量减等量差相等，可证AE=CF，利用SAS可证三角形全等．解：添加的条件是连接BE，过D作DF∥BE交BC于点F，构造的全等三角形是△ABE与△CDF．理由：∵平行四边形ABCD，AE=ED，∴在△ABE与△CDF中，AB=CD，∠EAB=∠FCD，又∵DE∥BF，DF∥BE，∴四边形BFDE是平行四边形，∴DE=BF，又AD=BC，∴AD﹣DE=BC﹣BF，即AE=CF，∴△ABE≌△CDF．（答案不唯一，也可增加其它条件）评注：本题利用了平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定、以及等量减等量差相等等知识．考点四：编制开放型：此类问题是指条件、结论、解题方法都不全或未知，而仅提供一种问题情境，需要我们补充条件，设计结论，寻求解法的一类题，它更具有开放性．例4：（2010年江苏盐城中考题）某校九年级两个班各为玉树地震灾区捐款1800元．已知2班比1班人均捐款多4元，2班的人数比1班的人数少10%．请你根据上述信息，就这两个班级的“人数”或“人均捐款”提出一个用分式方程．．．．解决的问题，并写出解题过程．分析：本题的等量关系是：两班捐款数之和为1800元；2班捐款数-1班捐款数=4元；1班人数=2班人数×90%，从而提问解答即可．解：解法一：求两个班人均捐款各多少元？设1班人均捐款x元，则2班人均捐款（x+4）元，根据题意得1800 x ·90%=1800x+4解得x=36 经检验x=36是原方程的根∴x+4=40答：1班人均捐36元，2班人均捐40元解法二：求两个班人数各多少人？设1班有x人，则根据题意得1800 x +4=180090x%解得x=50 ，经检验x=50是原方程的根∴90x % =45答：1班有50人，2班有45人．评注：对于此类编制开放型问题，是一类新型的开放型问题，它要求学生的思维较发散，写出符合题意的正确答案即可，难度要求不大，但学生容易犯想当然的错误，叙述不够准确，如单位的问题、符合实际等要求，在解题中应该注意防范．（二）探究型问题考点五：动态探索型：此类问题结论明确，而需探究发现使结论成立的条件的题目．例5：（2011•临沂）如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合，三角扳的一边交CD于点F．另一边交CB的延长线于点G．（1）求证：EF=EG；（2）如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立．请说明理由：（3）如图3，将（2）中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若AB=a、BC=b，求E FE G的值．分析：（1）由∠GEB+∠BEF=90°，∠DEF+∠BEF=90°，可得∠DEF=∠GEB，又由正方形的性质，可利用SAS证得Rt△FED≌Rt△GEB，则问题得证；（2）首先点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为H、I，然后利用SAS证得Rt△FEI ≌Rt△GEH，则问题得证；（3）首先过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为M、N，易证得EM∥AB，EN∥AD，则可证得△CEN∽△CAD，△CEM∽△CAB，又由有两角对应相等的三角形相似，证得△GME∽△FNE，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．解：（1）证明：∵∠GEB+∠BEF=90°，∠DEF+∠BEF=90°，∴∠DEF=∠GEB，又∵ED=BE，∴Rt△FED≌Rt△GEB，∴EF=EG；（2）成立．证明：如图，过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为H、I，则EH=EI，∠HEI=90°，∵∠GEH+∠HEF=90°，∠IEF+∠HEF=90°，∴∠IEF=∠GEH，∴Rt△FEI≌Rt△GEH，∴EF=EG；（3）解：如图，过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为M、N，则∠MEN=90°，∴EM∥AB，EN∥AD．∴△CEN∽△CAD，△CEM∽△CAB，∴,N E C E E M C E A D C A A BC A==，∴N E E M A DA B=，即N E A D b E MA Ba==，∵∠IEF+∠FEM=∠GEM+∠FEM=90°， ∴∠GEM=∠FEN ， ∵∠GME=∠FNE=90°， ∴△GME ∽△FNE ， ∴E F E N E G E M =，∴E F b E Ga=．评注：此题考查了正方形，矩形的性质，以及全等三角形与相似三角形的判定与性质．此题综合性较强，注意数形结合思想的应用．考点六：结论探究型：此类问题给定条件但无明确结论或结论不惟一，而需探索发现与之相应的结论的题目． 例6：（2011福建省三明市）在矩形ABCD 中，点P 在AD 上，AB =2，AP =1．将直角尺的顶点放在P 处，直角尺的两边分别交AB ，BC 于点E ，F ，连接EF （如图①）． （1）当点E 与点B 重合时，点F 恰好与点C 重合（如图②），求PC 的长；（2）探究：将直尺从图②中的位置开始，绕点P 顺时针旋转，当点E 和点A 重合时停止．在这个过程中，请你观察、猜想，并解答： ①tan ∠PEF 的值是否发生变化？请说明理由；②直接写出从开始到停止，线段EF 的中点经过的路线长．分析：（1）由勾股定理求PB ，利用互余关系证明△APB ∽△DCP ，利用相似比求PC ；（2）tan ∠PEF 的值不变．过F 作FG ⊥AD ，垂足为G ，同（1）的方法证明△APB ∽△DCP ，得相似比P F G F P EA P==21=2，再利用锐角三角函数的定义求值；（3）如图3，画出起始位置和终点位置时，线段EF 的中点O 1，O 2，连接O 1O 2，线段O 1O 2即为线段EF 的中点经过的路线长，也就是△BPC 的中位线． 解：（1）在矩形ABCD 中，∠A =∠D =90°，AP =1，CD =AB =2，则PB ∴∠ABP +∠APB =90°， 又∵∠BPC =90°， ∴∠APB +∠DPC =90°， ∴∠ABP =∠DPC ， ∴△APB ∽△DCP ，∴A P PBC DP C=即12PC=∴PC（2）tan ∠PEF 的值不变．理由：过F 作FG ⊥AD ，垂足为G ， 则四边形ABFG 是矩形， ∴∠A =∠PFG =90°，GF =AB =2， ∴∠AEP +∠APE =90°， 又∵∠EPF =90°， ∴∠APE +∠GPF =90°， ∴∠AEP =∠GPF ， ∴△APE ∽△GPF ， ∴P F G F P EA P==21=2，∴Rt △EPF 中，tan ∠PEF =P F P E=2，∴tan ∠PEF 的值不变；（3）线段EF ．评注：本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，解直角三角形．关键是利用互余关系证明相似三角形．考点七：规律探究型：规律探索问题是指由几个具体结论通过类比、猜想、推理等一系列的数学思维过程，来探求一般性结论的问题，解决这类问题的一般思路是通过对所给的具体的结论进行全面、细致的观察、分析、比较，从中发现其变化的规律，并猜想出一般性的结论，然后再给出合理的证明或加以运用.例7：（2011四川成都）设12211=112S ++,22211=123S ++,32211=134S ++,…,2211=1(1)n S nn +++设...S =+S ＝_________ (用含n 的代数式表示，其中n 为正整数)．分析：由222222222222)]1([]1)1([)]1([122)]1([)1()1()1(11+++=+++++=+++++=+=n n n n n n n n n n n n nn n n nS n ，求n S ，得出一般规律．解：∵222222222222)]1([]1)1([)]1([122)]1([)1()1()1(11+++=+++++=+++++=+=n n n n n n n n n n n n nn n n nS n ，∴1111)1(1)1(+-+=+++=n nn n n n S n ，∴1111312112111+-+++-++-+=n nS111+-+=n n 1211)1(22++=+-+=n n n n n故答案为：122++n n n评注：本题考查了二次根式的化简求值．关键是由S n 变形，得出一般规律，寻找抵消规律．考点八：存在探索型：此类问题在一定的条件下，需探究发现某种数学关系是否存在的题目．例8：（2011辽宁大连）如图15，抛物线y ＝ax 2+bx +c 经过A （－1，0）、B （3，0）、C （0，3）三点，对称轴与抛物线相交于点P 、与直线BC 相交于点M ，连接PB ． （1）求该抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在一点Q ，使△QMB 与△PMB 的面积相等，若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由；（3）在第一象限、对称轴右侧的抛物线上是否存在一点R ，使△RPM 与△RMB 的面积相等，若存在，直接写出点R 的坐标；若不存在，说明理由．分析：（1）利用待定系数法求解；（2）若想求Q 点坐标，Q 到MB 的距离应该等于P 到MB 的距离，所以Q 点应该在经过P 点且平行于BM 的直线上，或者在这条直线关于BM 对称的直线上，因此，求出这两条直线的解析式，其与抛物线的交点即为所求Q 点；（3）设出R 点坐标，分别用其横坐标表示出△RPM 与△RMB 的面积，利用相等列出方程即可求出R 点坐标．解：（1）322++-=x x y（2）∵4)1(2+--=x y ∴P （1，4）BC ：3+-=x y ，M （1，2）P （1，4）；PB ：62+-=x y ， 当PQ ∥BC 时： 设PQ 1：b x y +-=∵P （1，4）在直线PQ 上b +-=14；5=b ∴PQ 1：5+-=x y⎩⎨⎧++-=+-=3252x x y x y 解得⎩⎨⎧==4111y x ，⎩⎨⎧==3222y x∴1Q ：（2，3）；将PQ 向下平移4个单位得到1+-=x y⎩⎨⎧++-=+-=3212x x y x y解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=2171217311y x ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+=2171217311y x∴2Q ：（2173-，2171+-）；3Q ：（2173+，2171--）xx ，322++-x x ） ∵P （1，4），M （1，2）∴ 224=-=PM()11221-=-⨯⨯=∆x x S P Q Rx x x x x RN 3)3()32(22+-=+--++-=()11221-=-⨯⨯=∆x x S PQR∵x x x 312+-=- 解得121+=x ，122+-=x （舍） ∴当12+=x 时，24)121(2=+-+-=y∴R （12+，2）x评注：求面积相等问题通常是利用过顶点的平行线完成；在表示面积问题时，对于边不在特殊线上的通常要分割．四、真题演练1．（2011山东潍坊）一个y 关于x 的函数同时满足两个条件：①图象过(2，1)点；②当0x 时．y 随x 的增大而减小，这个函数解析式为_______________ (写出一个即可) 2．（2011山西）如图，四边形ABCD 是平行四边形，添加一．个．条件：___________ _______________________，可使它成为矩形．3．（2011•泰州）“一根弹簧原长10cm ，在弹性限度内最多可挂质量为5kg 的物体，挂上物体后弹簧伸长的长度与所挂物体的质量成正比，，则弹簧的总长度y （cm ）与所挂物体质量x （kg ）之间的函数关系式为y=10+0.5x （0≤x≤5）．”王刚同学在阅读上面材料时发现部分内容被墨迹污染，被污染的部分是确定函数关系式的一个条件，你认为该条件可以是： （只需写出1个）．3．（4．（2011广西百色）已知矩形ABCD 的对角线相交于点O ，M 、N 分别是OD 、OC 上异于O 、C 、D 的点．（1）请你在下列条件①DM =CN ，②OM =ON ，③MN 是△OCD 的中位线，④MN ∥AB 中任选一个添加条件（或添加一个你认为更满意的其他条件），使四边形ABNM 为等腰梯形，你添加的条件是 ．（2）添加条件后，请证明四边形ABNM 是等腰梯形．（第14题）D第二部分练习部分1．（2011•贺州）写出一个正比例函数，使其图象经过第二、四象限：y=﹣x（答案不唯一）．分析：先设出此正比例函数的解析式，再根据正比例函数的图象经过二、四象限确定出k的符号，再写出符合条件的正比例函数即可．解答：解：2．（2011•湖南张家界）在△ABC中，AB=8，AC=6，在△DEF中，DE=4，DF=3，要使△ABC 与△DEF相似，则需添加的一个条件是（写出一种情况即可）．分析：解答：解：则需添加的一个条件是：BC：EF=2：1．∵在△ABC中，AB=8，AC=6，在△DEF中，DE=4，DF=3，∴AB：DE=2：1，AC：DF=2：1，∵BC：EF=2：1．∴△ABC∽△DEF．故答案为：．3．（2010江苏连云港中考题）若关于x的方程x2－mx＋3＝0有实数根，则m的值可以为___________．(任意给出一个符合条件的值即可)4．（2011广东湛江）如图，点B，C，F，E在同直线上，∠1=∠2，BC=EF，∠1 _______（填“是”或“不是”）∠2的对顶角，要使△ABC ≌△DEF ，还需添加一个条件，可以是 _______（只需写出一个）5．（2011福建省漳州市，19,8分）如图，∠B =∠D ，请在不增加辅助线的情况下，添加一个适当的条件，使△ABC ≌△ADE ，并证明． （1）添加的条件是 ； （2）证明：6．（2010浙江杭州中考题）给出下列命题：命题1． 点(1,1)是直线y ＝ x 与双曲线y ＝ x1的一个交点;命题2． 点(2,4)是直线y ＝ 2x 与双曲线y ＝ x 8的一个交点; 命题3． 点(3,9)是直线y ＝ 3x 与双曲线y ＝ x27的一个交点;… … ．（1）请观察上面命题，猜想出命题n (n 是正整数); （2）证明你猜想的命题n 是正确的．7．（2011•德州）●观察计算当a=5，b=3时，2a b +．当a=4，b=4时，2a b +2a b +．●探究证明如图所示，△ABC 为圆O 的内接三角形，AB 为直径，过C 作CD ⊥AB 于D ，设AD=a ，BD=b ． （1）分别用a ，b 表示线段OC ，CD ；（2）探求OC 与CD 表达式之间存在的关系（用含a ，b 的式子表示）． ●归纳结论根据上面的观察计算、探究证明，你能得出2a b +2a b +．●实践应用要制作面积为1平方米的长方形镜框，直接利用探究得出的结论，求出镜框周长的最小值．8．（2011浙江绍兴）数学课上，李老师出示了如下框中的题目．小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答： （1）特殊情况•探索结论当点E 为AB 的中点时，如图1，确定线段AE 与的DB 大小关系．请你直接写出结论：AE = DB （填“＞”，“＜”或“=”）．（2）特例启发，解答題目解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE=DB（填“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，（请你完成以下解答过程）（3）拓展结论，设计新题在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC．若△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长（请你直接写出结果）．★“真题演练”参考答案★1．【分析】本题的函数没有指定是什么具体的函数，可以从一次函数，反比例函数，二次函数三方面考虑，只要符合条件①②即可．【答案】符合题意的函数解析式可以是y= 2x，y=-x+3，y=-x2+5等，（本题答案不唯一）故答案为：y=2x，y=-x+3，y=-x2+5等．2．【分析】：由有一个角是直角的平行四边形是矩形．想到添加∠ABC＝90°；由对角线相等的平行四边形是矩形．想到添加AC＝BD．【答案】∠ABC＝90°（或AC＝BD等）3．解：根据弹簧的总长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）之间的函数关系式为y=10+0.5x （0≤x≤5）可以得到：当x=1时，弹簧总长为10.5cm，当x=2时，弹簧总长为11cm，…∴每增加1千克重物弹簧伸长0.5cm ， 故答案为：每增加1千克重物弹簧伸长0.5cm ．4．解：（1）选择①DM =CN ；（2）证明：∵AD =BC ，∠ADM =∠BCN ，DM =CN ∴△AND ≌△BCN ，∴AM =BN ，由OD =OC 知OM =ON ， ∴OCON ODOM =∴MN ∥CD ∥AB ，且MN ≠AB ∴四边形ABNM 是等腰梯形．★“练习部分”参考答案★1．【分析】设此正比例函数的解析式为y=kx （k≠0）， ∵此正比例函数的图象经过二、四象限， ∴k ＜0，∴符合条件的正比例函数解析式可以为：y=﹣x （答案不唯一）． 【答案】故答案为：y=﹣x （答案不唯一）．2．【分析】因为两三角形三边对应成比例，那么这两个三角形就相似，从题目知道有两组个对应边的比为2：1，所以第三组也满足这个比例即可．【答案】BC ：EF=2：13．【分析】由于这个方程有实数根，因此⊿＝()22241212b a m m -=--=-≥0，即m 2≥12．【答案】答案不唯一，所填写的数值只要满足m 2≥12即可，如4等4．【分析】根据对顶角的意义可判断∠1不是∠2的对顶角．要使△ABC ≌△DEF ，已知∠1=∠2，BC=EF ，则只需补充AC=FD 或∠BAC=∠FED 都可，答案不唯一． 【答案】解：根据对顶角的意义可判断∠1不是∠2的对顶角故填：不是．添加AC=FD 或∠BAC=∠FED 后可分别根据SAS 、AAS 判定△ABC ≌△DEF ， 故答案为：AC=FD ，答案不唯一．5．解：（1）添加的条件是：AB =AD ，答案不唯一； （2）证明：在△ABC 和△ADE 中， ∠B =∠D ， AB =AD ， ∠A =∠A ，∴△ABC ≌△ADE ．6．(1)命题n ；点(n , n 2) 是直线y = nx 与双曲线y =xn3的一个交点(n 是正整数)．(2)把 ⎩⎨⎧==2ny nx 代入y = nx ，左边= n 2，右边= n ·n = n 2，∵左边=右边，∴点(n ，n 2)在直线上． 同理可证：点(n ，n 2)在双曲线上， ∴点(n ，n 2)是直线y = nx 与双曲线y = xn3的一个交点，命题正确．7．解：●观察计算：2a b +，2a b +．●探究证明：（1）∵AB=AD+BD=2OC ， ∴OC=2a b +.∵AB 为⊙O 直径， ∴∠ACB=90°．∵∠A+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°， ∴∠A=∠BCD ．∴△ACD ∽△CBD ．（4分） ∴A D C D C DB D=．即CD 2=AD•BD=ab ，∴（5分）（2）当a=b 时，OC=CD ，2a b +a≠b 时，OC ＞CD ，2a b +＞．●结论归纳：2a b +≥．●实践应用设长方形一边长为x 米，则另一边长为1x米，设镜框周长为l 米，则12()l x x=+≥=4.当x=1x，即x=1（米）时，镜框周长最小．此时四边形为正方形时，周长最小为4米．8．解：（1）故答案为：=． （2）故答案为：=．证明：在等边△ABC 中，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，AB=BC=AC ， ∵EF ∥BC ，∴∠AEF=∠AFE=60°=∠BAC ， ∴AE=AF=EF ， ∴AB ﹣AE=AC ﹣AF ， 即BE=CF ，∵∠ABC=∠EDB+∠BED=60°， ∠ACB=∠ECB+∠FCE=60°， ∵ED=EC ，∴∠EDB=∠ECB，∴∠BED=∠FCE，∴△DBE≌△EFC，∴DB=EF，∴AE=BD．（3）答：CD的长是1或3．。
开放探索性问题归类分析
开放探索性问题归类分析“学好数学是创新思维的载体”．由于开放探索性问题对考查学生思维能力和创造能力有积极作用，对于促进数学课程改革，数学知识教学的创新都有重要的导向作用．它既可以考查学生的创新意识和综合素质，又能促进教师转变教学观念，改进教学方法，加强学生创新能力的培养，因此开放探索性问题在中考中越来越受到重视．这种题型的最大特点是条件和结论的不确定性，不唯一性，使得解题的方法与答案呈现多样性，通常这类题目有以下几种类型：条件开放与探索，结论开放与探索，条件与结论都开放与探索及方案设计，解题策略的开放等．1.条件开放与探索给出问题的结论，让解题者分析探索使结论成立应具备的条件，而满足结论的条件往往不唯一，这样的问题是条件开放性问题，解决这类问题的一般思路是：从结论出发，执果索因，逆向推理，逐步探求结论成立的条件或把可能产生结论的条件一一列出，逐个分析． 例1.已知直线l 把口ABCD 分成两部分，要使这两部分面积相等，直线l 所在位置需满足的条件是——（只需填上一个你认为合适的条件）．【分析】要把口ABCD 的面积分为面积相等的两部分，这样的直线很多，它们有一个共同特点，都要经过对角线的交点.【答案】对角线所在直线（答案不唯一，只要该直线过对角线交点即可）．【点拨】此题的关键是确定对角线的交点．2.结论开放与探索给出问题的条件，让解题者根据条件探索相应的结论，并且符合条件的结论往往呈现多样性，或者相应的结论的“存在性”需要解题者进行推断，甚至要求探求者探求条件在变化中的结论，这些问题都是结论开放性问题，它要求解题者充分利用条件进行大胆而合理的猜想，发现规律，得出结论，这类题主要考查解题者的发散思维和应用所学基础知识的能力． 解决这类问题的一般思路是：从剖析题意入手，充分捕捉题设信息，通过由因导果，顺向推理或联想类比、猜测等，从而获得所求的结论．例2.在平面直角坐标系中，给定以下五点A （-2，0），B （1，0），C （4，0），D （-2，29），E （0，-6），从这五点中选取三点，使经过这三点的抛物线满足以平行于y 轴的直线为对称轴，我们约定：把经过三点A 、E 、B 的抛物线表示为抛物线AEB ，如图.(1)符合条件的抛物线有几条？不求关系式，请用约定的方法一一表示出来；(2)在(1)中是否存在这样一条抛物线，它与余下的两点所确定的直线不相交？如果存在，试求出抛物线及直线的关系式；若不存在，请说明理由．【分析】(1)通过观察图形，确定出符合条件的抛物线，再代入点的坐标验证．(2)先通过猜想，得到结论，再通过计算求出该抛物线的关系式及直线的关系式．用解方程组的方法确定两图象是否有交点，从而得出结论．【解】．（l ）符合条件的抛物线还有五条：①抛物线AEC ；②抛物线EBC ；③抛物线DEB ；④抛物线DEC ；⑤抛物线DBC(2)在(1)中存在抛物线DBC.设y ＝ax 2＋bx ＋c ，把D(-2,29),B(1,0),C(4,0)代入，求得 145412+-=x x y .过A 、E 两点的直线y=kx ＋b ，把A （-2，0）、E(0，-6)代入得，y ＝-3x-6，假设两图象相交，则-3x-6 =145412+-=x x y ,Δ<0,∴两图象不相交，所以存在． 【点拨】分别用三点式或两点式求其关系式．3.条件结论都开放与探索此类问题没有明确的条件和结论，并且符合条件的结论具有多样性，它要求学生通过自己的观察和思考，将已知的信息集中进行分析，探索问题成立所必须具备的条件或特定的条件是应该有什么结论．通过这一思维活动揭示事物内在联系，从而把握事物的整体性和一般性．例3.某七年级学生做作业时，不慎将墨水瓶打翻，使一道作业题只看到如下字样： “甲、乙两地相距40 km ，摩托车的速度为45 km/h ，汽车的速度为35 km/h ，■（后面一段矩形黑框是被墨水污染了…无法辨认的文字）”．请你将这道题补充完整，并列方程解答．【分析】由已知条件可知，此题可补充为相遇问题或追及问题，问题都是求时间、若补充为相遇问题，可设摩托车经xh 相遇，(45+35)x=40,x=0.5；若补充为追及问题，可设经xh 追上汽车，(45 -35)x =40,x=4.【解】摩托车和汽车分别从甲、乙两地相向而行，则经过几小时后能相遇？设经过xh 相遇，列方程得(45十35)x=40，x=0.5.答：经过0.5 h 相遇．【点拨】此例题要仔细阅读题目中的已知部分，领会命题者的意图，结合问题情景，进行合理补充，然后解答，注意条件与结论不唯一.。
探索性问题
[规律方法] 对于结论探索性问题，需要先得出一个结论， 再进行证明．注意含有两个变量的问题，变量归一是常用 的解题思想，一般把其中的一个变量转化为另一个变量， 根据题目条件，确定变量的值，遇到数列中的比较大小问 题可以采用构造函数，根据函数的单调性进行证明，这是 解决复杂问题常用的方法．
存在探索性问题
(1)求证：A1C⊥平面 AB1C1； (2)若 D 是棱 CC1 的中点，在棱 AB 上是否存在一点 E，使 得 DE∥平面 AB1C1？若存在，请确定点 E 的位置；若不 存在，请说明理由．
[解]
(1)证明：∵AB＝2BC，AC＝ 3BC，
π ∴△ABC 为直角三角形且∠ACB＝ ， 2 ∴BC⊥AC，又 AA1⊥平面 ABC， ∴BC⊥AA1，又 AA1∩AC＝A， ∴BC⊥平面 ACC1A1， ∴BC⊥A1C，B1C1⊥A1C. ∵AC＝AA1， ∴侧面 ACC1A1 为正方形， ∴AC1⊥A1C. 又 B1C1∩AC1＝C1， ∴A1C⊥平面 AB1C1.
n n
[规律方法]
对于数列问题，一般要先求出数列的通项，
不是等差数列和等比数列的要转化为等差数列或等比数 列．遇到 Sn 要注意利用 Sn 与 an 的关系将其转化为 an，再 研究其具体性质．遇到(－1)n 型的问题要注意分 n 为奇数 与偶数两种情况进行讨论，本题易忘掉对 n 的奇偶性的讨 论而致误．
条件探索性问题
此类问题的基本特征是： 针对一个结论， 条件未知需探求， 或条件增删需确定，或条件正误需判定，解决此类问题的 基本策略是：执果索因，先寻找结论成立的必要条件，再 通过检验或认证找到结论成立的充分条件，在“执果索 因”的过程中，常常会犯的一个错误是不考虑推理过程的 可逆与否，误将必要条件当作充分条件，应引起注意．
条件开放的探索性问题
数学高考综合能力题选讲29条件开放的探索性问题100080 北京中国人民大学附中 梁丽平题型预测探索性问题的明显特征是问题本身具有开放性及问题解决的过程中带有较强的探索性．对于条件开放的探索性问题，往往采用分析法，从结论和部分已知的条件入手，执果索因，导出所需的条件．另外，需要注意的是，这一类问题所要求的往往是问题的充分条件，而不一定是充要条件，因此，直觉联想、较好的洞察力都将有助于这一类问题的解答．范例选讲例1．在四棱锥P ABCD -中，四条侧棱长都相等，底面ABCD 是梯形，//AB CD ，AB CD >．为保证顶点P 在底面ABCD 所在平面上的射影O 在梯形ABCD 的外部，那么梯形ABCD 需满足条件___________________（填上你认为正确的一个条件即可）．讲解： 条件给我们以启示．由于四条侧棱长都相等，所以，顶点P 在底面ABCD 上的射影O 到梯形ABCD 四个顶点的距离相等．即梯形ABCD 有外接圆，且外接圆的圆心就是O ．显然梯形ABCD 必须为等腰梯形．再看结论．结论要求这个射影在梯形的外部，事实上，我们只需找出使这个结论成立的一个充分条件即可．显然，点B 、C 应该在过A 的直径AE 的同侧．不难发现，ACB ∆应该为钝角三角形．故当90ACB ∠>︒（且AC>BC ）时可满足条件．其余等价的或类似的条件可以随读者想象．点评：本题为条件探索型题目，其结论明确，需要完备使得结论成立的充分条件，可将题设和结论都视为已知条件，进行演绎推理推导出所需寻求的条件．这类题要求学生变换思维方向，有利于培养学生的逆向思维能力．例2．老师给出一个函数()y f x =，四个学生甲、乙、丙、丁各指出这个函数的一个性质：甲：对于x R ∈，都有()()11f x f x +=-；A乙：在(,0]-∞上函数递减； 丙：在()0,+∞上函数递增； 丁：()0f 不是函数的最小值．如果其中恰有三个人说得正确，请写出一个这样的函数：____________．讲解：首先看甲的话，所谓“对于x R ∈，都有()()11f x f x +=-”，其含义即为：函数()f x 的图像关于直线1x =对称．数形结合，不难发现：甲与丙的话相矛盾．（在对称轴的两侧，函数的单调性相反）因此，我们只需选择满足甲、乙、丁（或乙、丙、丁）条件的函数即可． 如果我们希望找到满足甲、乙、丁条件的函数，则需要认识到：所谓函数在(,0]-∞上单调递减，并不是说函数()f x 的单调递减区间只有(,0]-∞．考虑到关于直线1x =的对称性，我们不妨构造函数，使之在(,1]-∞上单调递减，这样，既不与乙的话矛盾，也满足丁所说的性质．如()()21f x x =-即可．如果希望找到满足乙、丙、丁条件的函数，则分段函数是必然的选择．如()1, 0, 0x x f x x x -+≤⎧=⎨>⎩． 点评：本题考查学生对于函数性质的理解和掌握．思考这样的问题，常常需要从熟悉的函数（一次、二次、反比例函数，指数、对数、三角函数等）入手，另外，分段函数往往是解决问题的关键．例3．对任意函数()f x ，x D ∈，可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下：① 输入数据0x D ∈，经数列发生器输出()10x f x =； ② 若1x D ∉，则数列发生器结束工作；若1x D ∈，则将1x 反馈回输入端，再输出()21x f x =，并依此规律继续下去．现定义()421x f x x -=+． （Ⅰ）若输入04965x =，则由数列发生器产生数列{}n x ．请写出数列{}n x 的所有项；（Ⅱ）若要数列发生器产生一个无穷的常数数列{}n x ，试求输入的初始数据0x 的值；（Ⅲ）若输入0x 时，产生的无穷数列{}n x 满足：对任意正整数n ，均有1n n x x +<，求0x 的取值范围．（Ⅳ）是否存在0x ，当输入数据0x 时，该数列发生器产生一个各项均为负数的的无穷数列．讲解：（Ⅰ）对于函数()421x f x x -=+，()(),11,D =-∞-⋃-+∞． 若04965x =，代入计算可得：123111,,1195x x x ===-，故产生的数列{}n x 只有三项．（Ⅱ）要使数列发生器产生一个无穷的常数数列，实际上是对于任意的正整数n ，都应该有1n n x x +=．又()1n n x f x +=421n n x x -=+．所以，只需令()f x x =． 解得： 1 2x x ==或．由于题目实际上只要求找到产生“无穷常数数列”的一个充分条件，所以，令01x =（或2）即可．此时必有1n n x x +=＝1（或2）．事实上，相对于本题来讲，01x =（或2）是产生“无穷常数数列”的充要条件（这是因为函数()421x f x x -=+是一一对应）．如果把函数换成()2322x x f x x+-=，请读者思考：有多少个满足条件的初值0x ？（Ⅲ）要使得对任意正整数n ，均有1n n x x +<，我们不妨先探索上述结论成立的一个必要条件．即1121421x x x x -<=+． 事实上，不等式421x x x -<+的解为1x <-或12x <<．（＊） 所以，11x <-或112x <<．下面我们来研究这个条件是否充分． 当11x <-时，12114264411x x x x -==->++，所以，虽然有12x x <，但此时324x x <<，显然不符合题意．当112x <<时，由上可知：12x x <，且不难求得212x <<，以此类推，可知，必有：对任意正整数n ，均有1n n x x +<成立．综上所述，112x <<．由()10x f x =及（＊），不难得知：0x 的取值范围为()1,2． （Ⅳ）要求使得()0n x <∈任取n N 成立的初值0x ．实质上是执果索因．令0n x <，则由()1n n x f x -=不难解得1112n x --<<． 又由()12n n x f x --=，可解得：21557n x -<<．由此我们知道，如果0n x <，则必有21557n x -<<．即n x 与2n x -不可能同时小于0．故在本题的规则下，不可能产生各项均为负数的数列{}n x ．点评：本题为条件探索型问题，执果索因，恰当运用分析法，寻找使结论成立的充分条件是解决这类问题的常用方法．高考真题1．（1998年全国高考）如图, 在直四棱柱A 1B 1C 1D 1-ABCD 中，当底面四边形ABCD 满足条件__________时, 有A 1C ⊥B 1D 1.(注：填上一种你认为正确的一种条件即可, 不必考虑所有可能的情形.)2．（2002上海春季高考）设曲线1C 和2C 的方程分别为()1,0F x y =和()2,0F x y =，则点()12,P a b C C ∉⋂的一个充分条件为_____________________．3．（2002年上海高考）命题A ：底面为正三角形，且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥．命题A 的等价命题B 可以是：底面为正三角形，且 的三棱锥是正三棱锥．4．（2000年全国高考18题）略．[答案与提示：1．满足AC ⊥BD 的任一条件均可； 2．()1,0F a b ≠／()2,0F a b ≠，A 1 D 1B 1C 1A DB C／()1,0F a b ≠且()2,0F a b ≠／12C C ⋂=∅／1P C ∉等； 3．侧棱相等/侧棱与底面所成角相等/……]；（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）．1．（2000年全国高考题）如图，已知平行六面体ABCD-1111D C B A 的底面ABCD是菱形，且CB C 1∠=BCD ∠= 60．（I ）证明：C C 1⊥BD ；（II ）假定CD=2，C C 1=23，记面BD C 1为α，面CBD 为β，求二面角 βα--BD 的平面角的余弦值； （III ）当1CC CD的值为多少时，能使⊥C A 1平面BD C 1？请给出证明．。
开放型探究问题
例4．如图，有一条折线A1B1A2B2A3B3A4B4…，它是由过A1（0，0），B1 （2，2），A2（4，0）组成的折线依次平移4，8，12，…个单位得到的， 直线y=kx+2与此折线恰有2n（n≥1，且为整数）个交点，则k的值为 ﹣
【分析】
解答：
解决探究型问题的常见思考角度：
1、利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）进 行归纳、概括，从特殊到一般，从而得出规律； 2、反演推理法（反证法），即假设结论成立，根据假设进行推理， 看是推导出矛盾还是能与已知条件一致； 3、分类讨论法，当命题的题设和结论不唯一确定，难以统一解答 时，则需要按可能出现的情况做到挤不重复也不遗漏，分门别类 加以讨论求解，将不同结论综合归纳得出正确结果。 4、类比猜想法 ，即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一 个类似问题的结论或解决方法，并加以严密的论证。
探究型问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要 经过推断，补充并加以证明的一类问题。 根据特征一般分为一下几类： 条件探究型、结论探究型、规律探究型和存在性探究型等。 探究型问题的特点： 1、知识面覆盖广、综合性较强； 2、题意新颖，构思精巧独特； 3、解题要求灵活性较高，具有一定的深度和难度。 探究型问题解题的要求： 1、拥有牢固的基础知识，全面的基本技能。 2、加强针对性练习，注意各个知识点之间的因果联系，学会选择 合适的解题途径。 3、考虑问题要全面，要注重数学思想的综合应用。
解答：
【分析】（1）由题意可知：对称轴只需要小于或等于2即可，从
而可求出b的范围； （2）①将A代入抛物线解析式即可求出b的值． ②由进行分 类讨论即可．
本题考查二次函数的综合问题，涉及勾股 定理，二次函数的性质，等腰三角形的性质，锐角 三角函数等知识，综合程度较高，需要学生灵活运 用所学知识．
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《开放探索性问题之一——规律型探究》教学设计 赣县南塘中学 谢玉莲 教学任务分析： 教学 内容 九年级数学总复习专题复习：开放探索性问题之一——规律探究.
教学 目标
知识技能目标 (1)在经历不同类型的规律型探究问题过程中，初步认识规律型探究问题的基本特征； (2)在规律探究活动中，积累解答规律型探究问题基本经验，并能运用从特殊到一般的方法来来解答规律型探究问题.
数学思考 (1)引导学生参与观察、比较、分析、猜想、验证等探究过程，发展合情推理与演绎推理能力，培养学生的发散性思维能力. (2)体会“从特殊到一般”及“数形结合”等数学思想方法在规律探究中的运用. 问题解决 (1)能综合运用数学知识来探究规律； (2)获得规律探究的基本方法； (3)能从数学角度发现问题和提出问题，增强应用意识； (4)经历规律探究过程，提高反思能力. 情感态度 (1)调动学生积极参与规律探究活动，激发学生对数学的好奇心与求知欲； (2)体验探究规律的乐趣,增强学好数学的信心； (3)培养学生独立思考、善于表达、敢于质疑的数学学习品质.
教学 重点 解答规律型探究问题的基本方法.
教学 难点 规律探究的方法自然数列求和公式的推导.
教学 方法 启发式、讨论式、探究式.
教学 准备 (1)准备好学案；(2)准备好多媒体辅助图形课件. 教学流程设计 教学流程 教 学 内 容 师生行为 设计意图
活动一： 玩接龙游戏, 感知规律
1.组织学生观看数青蛙动画视频，玩数青蛙接龙游戏. 2.引导学生反思游戏过程，用含字母的代数式表示总结的规律.
(1)学生观看数青蛙动画视频；(2)教师组织学生玩数青蛙接龙游戏；(3)引导学生初步感知其中的规律探究，并将这个规律用代数式表示.
使学生通过观看动画视频及参与游戏,创设情境,营造轻松的课堂氛围,调动学生的积极性,同时使学生对规律型探究问题有初步的认识.
活动二： 赏杨辉三角， 猜想规律
规律探究① 杨辉是我国南宋时期杰出的数学家和数学教育家.他是世界上第一个排出丰富的纵横图和讨论其构成规律的数学家.三角是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如右图： (1)请你仔细观察，什么数是不变的？什么数是变化的？变化的数与不变的数之间有什么关系？ (2)根据以上思考，请在“？”号处填上合适的数. (3)第8行有 个数组成，依次是 ，第n行有 个数组成.
(1)学生根据导学案独立观察分析；(2)教师引导学生探究规律. 让学生感受数式类规律型探究的解法，同时渗透爱国主义教育，也为后面图案类规律型探究问题埋下伏笔.
活动三： 数“UU笑脸”， 发现规律
规律探究② 如图：是一组由深圳2011年世界大学生运动会吉祥物“UU笑脸”组成的有规律的图案，请你观察比较它们的组成规律，填写下表：
第一个图案 第二个图案 第三个图案 第四个图案 第n个图案 1 2 3 4 5 6 UU笑脸个数 若要求第10个图案由多少个“UU笑脸”组成，可列式为 . 若要求第20个图案由多少个“UU笑脸”组成，可列式为 . 若要求第n个图案由多少个“UU笑脸”组成，可列式为 .
(1)学生根据学案独立审题、思考、填写表格,教师巡视,了解学生完成情况；(2)教师组织学生相互交流讨论,在黑板上展示2到3个算式,引导学生分析推导出计算公式.
(1)激发学生的学习兴趣，鼓励学生关注社会热点，培养应用数学意识，让学生感受图案类规律型探究的解法；(2)学生在经历从特殊到一般的规律探究过程中掌握规律型探究问题的解法；(3)体会从特殊到一般、数形结合思想在解题中的应用；(4)为规律探究③作好铺垫.
„„111121133114641151010511?15?15?1活动四： 看几何图形， 探究规律
规律探究③ 变式一：根据算式1+2+3+…+n的特征可构造如下图形，在直线l上依次取点B0，B1，B2，B3，B4，…Bn，使线段BIB1=1，BIB2=2，B2B3=3，B3B4=4…，按这种规律取下去，则线段BnBn+1= ， 线段B0Bn= （n0的整数）.
l B0 B1 B2 B3 B4 变式二：分别以线段B0B1、B1B2、B2B3、B3B4、…BnBn+1为底边在直线l的上方分别作等腰直角三角形A1B0B1、A2B1B2、A3B2B3、A4B3B4、…AnBn-1Bn，并分别作出底边上的高A1H1、A2H2、A3H3、A4H4、…AnHn. 则A1H1= 、A2H2= 、A3H3= 、A4H4= 、AnHn= .
H4H3H2H1A4A3A2A1B4B3B2B
1
B
0
变式三：若以点B0为坐标原点,直线l为x轴建立平面直角坐标系，
你能提出哪些规律性的问题？请你写出来，并和同伴交流，看看谁做得好.
2
246
5101520yxH4H3H2H1A4A3A2A1B4B3B2B1B0
(1)教师通过变式将规律探究③的算式转化成图形的方法；(2)学生思考,在规律②的基础上完成变式一的探究；(3)引导学生分析高与底边的关系，完成变式二的探究；(4)启发学生逐步思考,由易到难、逐步深入地探究其他方面的规律；(5)引导学生从数学角度提出问题并解决变式三；(6)学生可能想到探究点Bn 、An.的坐标变化规律,也有可能想到探究三角形的面积变化规律或腰长的变化规律，课堂上解决点Bn 、An.的坐标变化规律,其它问题根据教学时间灵活处理.
此题的最终目的是完成变式三的探究.为降低难度利用②的探究结果.转化为图形规律的探究，不仅渗透从特殊到一般、数形结合的思想方法，还让学生运用从特殊到一般的方法解答规律型探究问题有更深入的体验.鼓励学生从不同的角度探究图形的规律，培养学生的发散思维能力，在课堂获得成功的体验.
规律探究 方法总结
引导学生回顾本
节课的探究过程，进行归纳总结.
让学生对解答规律型探究问题有更深刻的认识，培养善于反思总结的学习习惯.
课外作业 布 置
1.观察下列等式： ①531422 ②732522 ③933622 ④1134722…… 则第n（n为正整数）个等式为＿＿＿＿＿＿＿＿＿. 2.如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是 ．
3.已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，第n个等腰直角三角形的斜边长是 ．
教师布置课外作业.
学生巩固
规律型探究问题的解法.
附：板书设计 AB
C
DEFG
规律型探究问题 例题 板演 特殊（具体）→一般 教学设计说明 一、教学内容分析： 规律探究题是指在特定的背景、情境或某些条件下（可以是函数关系式、有规律的数或式、特定的生活情境、流程图、具有某种特征的图形、图案或图表），让学生通过认真分析，仔细观察，提取相关的数据、信息，进行适当的分析，综合归纳，做出大胆猜想，得出结论，进而加以验证或解决问题的数学探索题。其解题思维过程是：从特殊情况入手→探索发现规律→综合归纳→猜想得出结论→验证结论，它体现了“从特殊到一般再到特殊”及转化的数学思想方法。 规律探究题让学生主动探究与思考，体验数学知识之间的内在联系，通过自主探究，考查学生数学学习的经验，以及掌握数学研究方法的情况，有利于学生创造性思维能力的培养与训练，因而此类试题经常成为中考中考查知识、能力与数学思想方法的载体。 近年来全国各地的中考试题中规律探究题的内容丰富，形式多样。从题型来看：主要以填空题和选择题的形式出现，少数以解答题的形式出现，也有以探究性压轴题的形式出现的；从试题内容的呈现形式来看：有数式类、图形类、坐标类等类型；从规律的表现形式来看：有反映数式运算规律的、有反映函数关系类的、有反映循环周期规律的。从试题的难易程度来看：有容易题（仔细观察即可发现规律）、有中等题（在观察的基础上再经过比较分析才能获得结论）、难题（在中等题的基础上还要猜想及反复验证的过程）。 二、学情分析： 学生通过从小学到初中九年的数学学习，已经掌握了一定的数学基础知识与基本技能、对“从特殊到一般再到特殊”及“数形结合”的数学思想方法也有体会，规律探究题学生也做过不少，这为本节课教学活动的展开奠定了基础。但学生对于规律探究题的解决只是停留在见题解题的层面上，对规律探究题的类型特征及探究策略没有系统的了解，对规律探究要运用的数学思想方法更没有较深的体会。 三、教学方法的选择： 规律探究的教学组织应以小组合作探究性学习为宜，但由于教师对学生的学习习惯及个体差异不了解，学生对教师的教学习惯也不了解，所以小组合作性探究很难组织好。基于此种考虑，本节课的教学活动应以教师启发为主，引导学生既能独立思考，又能大胆地表述自己的想法与观点，在师生交流中逐步概括出探索规律的一般过程，渗透数形结合的思想方法。 四、教学设计思路： 教学内容及例题的选择以及课堂教学的组织都围绕两条主线展开：（1）从特殊到一般的规律探究过程（渗透数形结合的思想方法）。（2）规律探究的主要题型：数式类（数列排布规律、数式运算规律）；图形类（图案的排列组合规律、图形的变换规律）。用自然数列的求和方法串起每个问题，规律探究由易到难逐层递进。