第七章--线性变换

MATLAB软件应用第七章线性变换

例1：求矩阵

122

212

221

A

⎡⎤

⎢⎥

=⎢⎥

⎢⎥

⎣⎦

的特征值与特征向量，并将其对角化.

解1：建立m文件v1.m如下：

clc

A= [1 2 2;2 1 2; 2 2 1];

E=eye(3);

syms x

f=det(x*E-A) %矩阵A的特征多项式

solve(f) %矩阵A的特征多项式的根，即A的特征值

%所以A的特征值为x1=5,x2=x3=-1.

%（1）当x1=5时，求解（x1*E—A）X=0，得基础解系syms y

y=5;

B=y*E-A;

b1=sym(null(B)) %b1为（x1*E—A）X=0基础解系

%（2）当x2=-1时，求解（x2*E—A）X=0，得基础解系y=-1;

B=y*E-A;

b2=sym(null(B)) %b2为（x2*E—A）X=0基础解系

T=[b1,b2] %所有特征向量在基下的坐标所组成的矩阵

D=T^-1*A*T %将矩阵A对角化，得对角矩阵D

运行结果如下：

f =

x^3-3*x^2-9*x-5

ans =

5

-1

-1

b1 =

sqrt(1/3)

sqrt(1/3)

sqrt(1/3)

b2 =

[ sqrt(2/3), 0]

[ -sqrt(1/6), -sqrt(1/2)]

[ -sqrt(1/6), sqrt(1/2)]

T =

[ sqrt(1/3), sqrt(2/3), 0]

[ sqrt(1/3), -sqrt(1/6), -sqrt(1/2)]

[ sqrt(1/3), -sqrt(1/6), sqrt(1/2)]

D =

[ 5, 0, 0]

[ 0, -1, 0]

[ 0, 0, -1]

解2：建立m文件v2.m如下：

clc

A= [1 2 2;2 1 2; 2 2 1];

d=eig(A) %求全部特征值所组成的向量

[V,D]=eig(A) %求特征值及特征向量所组成的矩阵inv(V)*A*V %A可对角化，且对角矩阵为D

运行结果如下：

d =

-1

-1

5

V =

247/398 1145/2158 780/1351 279/1870 -1343/1673 780/1351 -1040/1351 1013/3722 780/1351 D =

-1 0 0 0 -1 0 0 0 5 ans =

-1 * * * -1 * * * 5

例2：求矩阵

110

430

102

A

-⎡⎤

⎢⎥

=-⎢⎥

⎢⎥

⎣⎦

的特征值与特征向量，并判别A

是否可以对角化.

解：建立m文件v3.m如下：clc

a=[-1 1 0;-4 3 0;1 0 2];

[V,D]=eig(a)

det(V)

运行结果如下：

V =

0 881/2158 881/2158

0 881/1079 881/1079

1 -881/2158 -881/2158

D =

2 0 0

0 1 0

0 0 1

ans =

所以矩阵A 不能对角化。

例3：求例1中矩阵A 的迹，并验证11,()n n

i i i i A tr A λλ====∑∏.

解：建立m 文件v4.m 如下：

clc

A= [1 2 2;2 1 2; 2 2 1];

fprintf('矩阵A 的迹=%d\n',trace(A)) %求矩阵A 的迹

d=eig(A) %求矩阵A 的特征值

b=sum(d,1); %矩阵d 元素求和

fprintf('矩阵A 特征根的和=%d',b)

fprintf('\n 矩阵A 的行列式=%d',det(A))

f=prod(d,1); %矩阵d 元素求积，即特征值求积 fprintf('\n 矩阵A 特征根的积=%d',f)

运行结果如下：

矩阵A 的迹=3

d =

-1

-1

5

矩阵A 特征根的和=3

矩阵A 的行列式=5

矩阵A 特征根的积=5>>

例4：对矩阵2121A ⎛⎫= ⎪--⎝⎭

，求矩阵B ，使得2B A = 解：建立m 文件v5.m 如下：

clc

A=[2 1;-2 -1];

[V,D]=eig(A)

B=V*sqrt(D)*inv(V)

B^2

运行结果如下：

V =

985/1393 -1292/2889 -985/1393 2584/2889

D =

1 0

0 0

B =

2 1 -2 -1 ans =

2 1 -2 -1

例5：对实对称矩阵

222

254

245

A

-

⎛⎫

⎪

=-

⎪

⎪

--

⎝⎭

，求正交矩阵U，使得T

U AU为

对角矩阵

解：建立m文件v6.m如下：

clc

A=[2 2 -2;2 5 -4;-2 -4 5]; %实对称矩阵A [P,D]=eig(A) %矩阵A的对角化P'*A*P

运行结果如下：

P =

-963/3230 2584/2889 1/3 -963/1615 -1292/2889 2/3 -963/1292 0 -2/3

D =

1 0 0 0 1 0 0 0 10 ans =

1 0 * * 1 * * 0 10