《基本不等式的应用》教学案例

《基本不等式的应用》教学案例

【案例背景】

《基本不等式》是人教A 版普通高中新课程标准实验教科书数学必修5第三章第四节内容，是在系统的学习了不等关系，掌握了不等式性质的基础上展开的，作为重要的基本不等式之一,为后续的学习奠定基础。 要进一步了解不等式的性质及运用，研究最值问题，基本不等式是必不可缺的。基本不等式在不等式知识体系中起了承上启下的作用，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，它也是对学生进行情感价值观教育的好素材，近几年高考对不等式的证明要求有所降低，主要以求最值等形式出现，所以利用基本不等式求最值应重点研究。

【案例描述】

一、教学设计思路

本节课是复习课，通过上几节课的学习，让学生自己观察、分析、发现解题规律，进而归纳总结出一般方法。

二、教学目标及重点难点

教学目标

（一）知识与技能：进一步掌握基本不等式2b a ab +≤

，会应用此不等式求某些函数

的最值。

（二）过程与方法：通过对问题的探究，培养学生分析问题、解决问题及归纳能力。

（三）情感态度与价值观：激发学生学习和应用数学知识的兴趣，培养严谨的科学态度。 教学重点

利用基本不等式求最值

教学难点

拆项、凑项构造基本不等式的形式，及不等式成立的条件

三、教学过程

（一） 复习回顾

1、 基本不等式

2、 利用基本不等式求最值应具备的条件是什么？

（二） 典型引路

求下列函数的值域

（1）（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x

（三）题型归纳

1．)0,0()()(>>++=B A C x g B

x Ag y 类型函数求最值（g(x)恒正或恒负） 例1：求下列函数的值域

（1）y ＝3x 2＋

12x 2 （2）y ＝x ＋1x 例2：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值.

方法：凑项

2．n

mx c

bx ax y +++=2类型函数求最值（给出x 的范围）

例3. 求2710(1)1x x y x x ++=

>-+的值域。 法一：分离

法二：换元

变式：

若改为x > 4呢 2.

求函数2y =的值域。 注意：若遇等号取不到的情况，应结合函数()a

f x x x =+

的单调性。 3．)(cx b ax y -=（ac<0）类型函数求最值

例4. 当

时，求(82)y x x =-的最大值。 方法：凑系数 变式：设23

0<

4． 二元函数的条件最值

例5.（1)已知 且 ，求 的最小值. （2）已知正数 满足 ，求 的最小值. 方法：整体代换

注意：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性

例6.已知x>0,y>0,xy=x+y+3,

求xy 和x+y 的取值范围

方法：构造不等式 （四）变式训练

求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值.

（1）1

2,33y x x x =+>-

（2）4sin ,(0,)sin y x x x π=+

∈

（五）达标检测 求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值.

()241.1.1x x y x x -+=>-求函数的最小值()2114x y x

x x -=>-+变为求的最大值呢？112x y +=,x y 2x y +y x 12+,0x y >1x y +=

【基础题】

（1）231

,(0)x x y x x ++=>（2）若+∈R y x ,且12=+y x ，求y x 1

1

+的最小值

【提高题】

（1）已知01x <<，求函数y =.；

（2）2

03x <<，求函数y =.

【拓展性】 已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝1ab

的最小值 （六）学习总结

我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用均值不等式。

【案例评析】

学生通过这节课的学习不仅掌握了求最值的方法，还体验到成功的喜悦。进而使学生掌握了学习数学的方法。