十年(2010-2019)高考数学真题分类汇编(试卷版+解析版)：数列
十年高考真题分类汇编(2010-2019) 数学 专题01 集合 解析版
十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学专题01 集合1.(2019•全国1•理T1)已知集合M={x|-4<x<2},N={x|x2-x-6<0},则M∩N=( )A.{x|-4<x<3}B.{x|-4<x<-2}C.{x|-2<x<2}D.{x|2<x<3}【答案】C【解析】由题意得N={x|-2<x<3},则M∩N={x|-2<x<2},故选C.2.(2019•全国1•文T2)已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,3,4,5},B={2,3,6,7},则B∩∁U A=( )A.{1,6}B.{1,7}C.{6,7}D.{1,6,7}【答案】C【解析】由已知得∁U A={1,6,7},∴B∩∁U A={6,7}.故选C.3.(2019•全国2•理T1)设集合A={x|x2-5x+6>0},B={x|x-1<0},则A∩B=( )A.(-∞,1)B.(-2,1)C.(-3,-1)D.(3,+∞)【答案】A【解析】由题意,得A={x|x<2,或x>3},B={x|x<1},所以A∩B={x|x<1},故选A.4.(2019•全国2•文T1)已知集合A={x|x>-1},B={x|x<2},则A∩B=( )A.(-1,+∞)B.(-∞,2)C.(-1,2)D.⌀【答案】C【解析】由题意,得A∩B=(-1,2),故选C.5.(2019•全国3•T1)已知集合A={-1,0,1,2},B={x|x2≤1},则A∩B=( )A.{-1,0,1}B.{0,1}C.{-1,1}D.{0,1,2}【答案】A【解析】A={-1,0,1,2},B={x|-1≤x≤1},则A∩B={-1,0,1}.故选A.6.(2019•北京•文T1)已知集合A={x|-1<x<2},B={x|x>1},则A∪B=( )A.(-1,1)B.(1,2)C.(-1,+∞)D.(1,+∞)【答案】C【解析】∵A={x|-1<x<2},B={x|x>1},∴A∪B=(-1,+∞),故选C.7.(2019•天津•T1)设集合A={-1,1,2,3,5},B={2,3,4},C={x∈R|1≤x<3},则(A∩C)∪B=( )A.{2}B.{2,3}C.{-1,2,3}D.{1,2,3,4}【答案】D【解析】A∩C={1,2},(A∩C)∪B={1,2,3,4},故选D.8.(2019•浙江•T1)已知全集U={-1,0,1,2,3},集合A={0,1,2},B={-1,0,1},则(∁U A)∩B=( )A.{-1}B.{0,1}C.{-1,2,3}D.{-1,0,1,3}【答案】A【解析】∁U A={-1,3},则(∁U A)∩B={-1}.9.(2018•全国1•理T2)已知集合A={x|x2-x-2>0},则∁R A=( )A.{x|-1<x<2}B.{x|-1≤x≤2}C.{x|x<-1}∪{x|x>2}D.{x|x≤-1}∪{x|x≥2}【答案】B【解析】A={x|x<-1或x>2},所以∁R A={x|-1≤x≤2}.10.(2018•全国1•文T1)已知集合A={0,2},B={-2,-1,0,1,2},则A∩B=( )A.{0,2}B.{1,2}C.{0}D.{-2,-1,0,1,2}【答案】A【解析】由交集定义知A∩B={0,2}.11.(2018•全国2•文T2,)已知集合A={1,3,5,7},B={2,3,4,5},则A∩B=( )A.{3}B.{5}C.{3,5}D.{1,2,3,4,5,7}【答案】C【解析】集合A、B的公共元素为3,5,故A∩B={3,5}.12.(2018•全国3•T1)已知集合A={x|x-1≥0},B={0,1,2},则A∩B=( )A.{0}B.{1}C.{1,2}D.{0,1,2}【答案】C【解析】由题意得A={x|x≥1},B={0,1,2},∴A∩B={1,2}.13.(2018•北京•T1)已知集合A={x||x|<2},B={-2,0,1,2},则A∩B=( )A.{0,1}B.{-1,0,1}C.{-2,0,1,2}D.{-1,0,1,2}【答案】A【解析】∵A={x|-2<x<2},B={-2,0,1,2},∴A∩B={0,1}.14.(2018•天津•理T1)设全集为R,集合A={x|0<x<2},B={x|x≥1},则A∩(∁R B)=( )A.{x|0<x≤1}B.{x|0<x<1}C.{x|1≤x<2}D.{x|0<x<2}【答案】B【解析】∁R B={x|x<1},A∩(∁R B)={x|0<x<1}.故选B.15.(2018•天津•文T1)设集合A={1,2,3,4},B={-1,0,2,3},C={x∈R|-1≤x<2},则(A∪B)∩C=( )A.{-1,1}B.{0,1}C.{-1,0,1}D.{2,3,4}【答案】C【解析】A∪B={-1,0,1,2,3,4}.又C={x∈R|-1≤x<2},∴(A∪B)∩C={-1,0,1}.16.(2018•浙江•T1)已知全集U={1,2,3,4,5},A={1,3},则∁U A=( )A.⌀B.{1,3}C.{2,4,5}D.{1,2,3,4,5}【答案】C【解析】∵A={1,3},U={1,2,3,4,5},∴∁U A={2,4,5},故选C.17.(2018•全国2•理T2,)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},则A中元素的个数为( )A.9B.8C.5D.4【答案】A【解析】满足条件的元素有(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,1),(0,0),(0,-1),(1,-1),(1,0),(1,1),共9个。
十年真题(2010-2019)高考数学(理)分类汇编专题04 导数及其应用(新课标Ⅰ卷)(解析版)
专题04导数及其应用历年考题细目表填空题2010 定积分2010年新课标1理科13解答题2019 导数综合问题2019年新课标1理科20解答题2018 导数综合问题2018年新课标1理科21解答题2017 导数综合问题2017年新课标1理科21解答题2016 导数综合问题2016年新课标1理科21解答题2015 导数综合问题2015年新课标1理科21解答题2014 导数综合问题2014年新课标1理科21解答题2013 导数综合问题2013年新课标1理科21解答题2012 导数综合问题2012年新课标1理科21解答题2011 导数综合问题2011年新课标1理科21解答题2010 导数综合问题2010年新课标1理科21历年高考真题汇编1．【2019年新课标1理科05】函数f（）在[﹣π，π]的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（），∈[﹣π，π]，∴f（﹣）f（），∴f（）为[﹣π，π]上的奇函数，因此排除A；又f（），因此排除B，C；故选：D．2．【2018年新课标1理科05】设函数f（）＝3+（a﹣1）2+a．若f（）为奇函数，则曲线y＝f（）在点（0，0）处的切线方程为（）A．y＝﹣2 B．y＝﹣C．y＝2 D．y＝【解答】解：函数f（）＝3+（a﹣1）2+a，若f（）为奇函数，可得a＝1，所以函数f（）＝3+，可得f′（）＝32+1，曲线y＝f（）在点（0，0）处的切线的斜率为：1，则曲线y＝f（）在点（0，0）处的切线方程为：y＝．故选：D．3．【2016年新课标1理科07】函数y＝22﹣e||在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（）＝y＝22﹣e||，∴f（﹣）＝2（﹣）2﹣e|﹣|＝22﹣e||，故函数为偶函数，当＝±2时，y＝8﹣e2∈（0，1），故排除A，B；当∈[0，2]时，f（）＝y＝22﹣e，∴f′（）＝4﹣e＝0有解，故函数y＝22﹣e||在[0，2]不是单调的，故排除C，故选：D．4．【2015年新课标1理科12】设函数f（）＝e（2﹣1）﹣a+a，其中a＜1，若存在唯一的整数0使得f（0）＜0，则a的取值范围是（）A．[）B．[）C．[）D．[）【解答】解：设g（）＝e（2﹣1），y＝a﹣a，由题意知存在唯一的整数0使得g（0）在直线y＝a﹣a的下方，∵g′（）＝e（2﹣1）+2e＝e（2+1），∴当时，g′（）＜0，当时，g′（）＞0，∴当时，g（）取最小值﹣2，当＝0时，g（0）＝﹣1，当＝1时，g（1）＝e＞0，直线y＝a﹣a恒过定点（1，0）且斜率为a，故﹣a＞g（0）＝﹣1且g（﹣1）＝﹣3e﹣1≥﹣a﹣a，解得a＜1故选：D．5．【2014年新课标1理科11】已知函数f（）＝a3﹣32+1，若f（）存在唯一的零点0，且0＞0，则实数a 的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣2）【解答】解：∵f（）＝a3﹣32+1，∴f′（）＝3a2﹣6＝3（a﹣2），f（0）＝1；①当a＝0时，f（）＝﹣32+1有两个零点，不成立；②当a＞0时，f（）＝a3﹣32+1在（﹣∞，0）上有零点，故不成立；③当a＜0时，f（）＝a3﹣32+1在（0，+∞）上有且只有一个零点；故f（）＝a3﹣32+1在（﹣∞，0）上没有零点；而当时，f（）＝a3﹣32+1在（﹣∞，0）上取得最小值；故f（）3•1＞0；故a＜﹣2；综上所述，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）；故选：D．6．【2012年新课标1理科10】已知函数f（），则y＝f（）的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：设则g′（）∴g（）在（﹣1，0）上为增函数，在（0，+∞）上为减函数∴g（）＜g（0）＝0∴f（）0得：＞0或﹣1＜＜0均有f（）＜0排除A，C，又f（）中，，能排除D．故选：B．7．【2012年新课标1理科12】设点P在曲线上，点Q在曲线y＝ln（2）上，则|PQ|最小值为（）A．1﹣ln2 B．C．1+ln2 D．【解答】解：∵函数与函数y＝ln（2）互为反函数，图象关于y＝对称，函数上的点到直线y＝的距离为，设g（）（＞0），则g′（），由g′（）0可得≥ln2，由g′（）0可得0＜＜ln2，∴函数g（）在（0，ln2）单调递减，在[ln2，+∞）单调递增，∴当＝ln2时，函数g（）min＝1﹣ln2，，由图象关于y＝对称得：|PQ|最小值为．故选：B．8．【2011年新课标1理科09】由曲线y，直线y＝﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）A．B．4 C．D．6【解答】解：联立方程得到两曲线的交点（4，2），因此曲线y，直线y＝﹣2及y轴所围成的图形的面积为：S．故选C．9．【2010年新课标1理科03】曲线y在点（﹣1，﹣1）处的切线方程为（）A．y＝2+1 B．y＝2﹣1 C．y＝﹣2﹣3 D．y＝﹣2﹣2【解答】解：∵y，∴y′，所以＝y′|＝﹣1＝2，得切线的斜率为2，所以＝2；所以曲线y＝f（）在点（﹣1，﹣1）处的切线方程为：y+1＝2×（+1），即y＝2+1．故选：A．10．【2019年新课标1理科13】曲线y＝3（2+）e在点（0，0）处的切线方程为．【解答】解：∵y＝3（2+）e，∴y'＝3e（2+3+1），∴当＝0时，y'＝3，∴y＝3（2+）e在点（0，0）处的切线斜率＝3，∴切线方程为：y＝3．故答案为：y＝3．11．【2013年新课标1理科16】若函数f（）＝（1﹣2）（2+a+b）的图象关于直线＝﹣2对称，则f（）的最大值为．【解答】解：∵函数f（）＝（1﹣2）（2+a+b）的图象关于直线＝﹣2对称，∴f（﹣1）＝f（﹣3）＝0且f（1）＝f（﹣5）＝0，即[1﹣（﹣3）2][（﹣3）2+a•（﹣3）+b]＝0且[1﹣（﹣5）2][（﹣5）2+a•（﹣5）+b]＝0，解之得，因此，f（）＝（1﹣2）（2+8+15）＝﹣4﹣83﹣142+8+15，求导数，得f′（）＝﹣43﹣242﹣28+8，令f′（）＝0，得1＝﹣2，2＝﹣2，3＝﹣2，当∈（﹣∞，﹣2）时，f′（）＞0；当∈（﹣2，﹣2）时，f′（）＜0；当∈（﹣2，﹣2）时，f′（）＞0；当∈（﹣2，+∞）时，f′（）＜0∴f（）在区间（﹣∞，﹣2）、（﹣2，﹣2）上是增函数，在区间（﹣2，﹣2）、（﹣2，+∞）上是减函数．又∵f（﹣2）＝f（﹣2）＝16，∴f（）的最大值为16．故答案为：16．12．【2010年新课标1理科13】设y＝f（）为区间[0，1]上的连续函数，且恒有0≤f（）≤1，可以用随机模拟方法近似计算积分，先产生两组（每组N个）区间[0，1]上的均匀随机数1，2，…N和y1，y2，…y N，由此得到N个点（i，y i）（i＝1，2，…，N），再数出其中满足y i≤f（i）（i＝1，2，…，N）的点数N1，那么由随机模拟方案可得积分的近似值为．【解答】解：由题意可知得，故积分的近似值为．故答案为：．13．【2019年新课标1理科20】已知函数f（）＝sin﹣ln（1+），f′（）为f（）的导数．证明：（1）f′（）在区间（﹣1，）存在唯一极大值点；（2）f（）有且仅有2个零点．【解答】证明：（1）f（）的定义域为（﹣1，+∞），f′（）＝cos，f″（）＝﹣sin，令g（）＝﹣sin，则g′（）＝﹣cos0在（﹣1，）恒成立，∴f″（）在（﹣1，）上为减函数，又∵f″（0）＝1，f″（）＝﹣11+1＝0，由零点存在定理可知，函数f″（）在（﹣1，）上存在唯一的零点0，结合单调性可得，f′（）在（﹣1，0）上单调递增，在（0，）上单调递减，可得f′（）在区间（﹣1，）存在唯一极大值点；（2）由（1）知，当∈（﹣1，0）时，f′（）单调递增，f′（）＜f′（0）＝0，f（）单调递减；当∈（0，0）时，f′（）单调递增，f′（）＞f′（0）＝0，f（）单调递增；由于f′（）在（0，）上单调递减，且f′（0）＞0，f′（）0，由零点存在定理可知，函数f′（）在（0，）上存在唯一零点1，结合单调性可知，当∈（0，1）时，f′（）单调递减，f′（）＞f′（1）＝0，f（）单调递增；当∈（）时，f′（）单调递减，f′（）＜f′（1）＝0，f（）单调递减．当∈（，π）时，cos＜0，0，于是f′（）＝cos0，f（）单调递减，其中f （）＝1﹣ln（1）＞1﹣ln（1）＝1﹣ln2.6＞1﹣lne＝0，f（π）＝﹣ln（1+π）＜﹣ln3＜0．于是可得下表：（﹣1，0）0 （0，1）1（）（）πf′（）﹣0 + 0 ﹣﹣﹣﹣f（）减函数0 增函数大于0 减函数大于0 减函数小于0结合单调性可知，函数f（）在（﹣1，]上有且只有一个零点0，由函数零点存在性定理可知，f （）在（，π）上有且只有一个零点2，当∈[π，+∞）时，f（）＝sin﹣ln（1+）＜1﹣ln（1+π）＜1﹣ln3＜0，因此函数f（）在[π，+∞）上无零点．综上，f（）有且仅有2个零点．14．【2018年新课标1理科21】已知函数f （）+aln．（1）讨论f（）的单调性；（2）若f（）存在两个极值点1，2，证明：a﹣2．【解答】解：（1）函数的定义域为（0，+∞），函数的导数f ′（）1，设g（）＝2﹣a+1，当a≤0时，g（）＞0恒成立，即f′（）＜0恒成立，此时函数f（）在（0，+∞）上是减函数，当a＞0时，判别式△＝a2﹣4，①当0＜a≤2时，△≤0，即g（）≥0，即f′（）≤0恒成立，此时函数f（）在（0，+∞）上是减函数，②当a＞2时，，f′（），f（）的变化如下表：（0，）（，）（，+∞）f′（）﹣0 + 0 ﹣f（）递减递增递减综上当a≤2时，f（）在（0，+∞）上是减函数，当a＞2时，在（0，），和（，+∞）上是减函数，则（，）上是增函数．（2）由（1）知a＞2，0＜1＜1＜2，12＝1，则f（1）﹣f（2）＝（2﹣1）（1）+a（ln1﹣ln2）＝2（2﹣1）+a（ln1﹣ln2），则2，则问题转为证明1即可，即证明ln1﹣ln2＞1﹣2，则ln1﹣ln 1，即ln1+ln1＞1，即证2ln1＞1在（0，1）上恒成立，设h（）＝2ln ﹣，（0＜＜1），其中h（1）＝0，求导得h ′（）10，则h（）在（0，1）上单调递减，∴h（）＞h（1），即2ln ﹣0，故2ln ＞，则a﹣2成立．（2）另解：注意到f（）＝aln＝﹣f（），即f（）+f（）＝0，由韦达定理得12＝1，1+2＝a＞2，得0＜1＜1＜2，1，可得f（2）+f（）＝0，即f（1）+f（2）＝0，要证a﹣2，只要证a﹣2，即证2aln2﹣a20，（2＞1），构造函数h（）＝2aln﹣a，（＞1），h′（）0，∴h（）在（1，+∞）上单调递减，∴h（）＜h（1）＝0，∴2aln﹣a0成立，即2aln2﹣a20，（2＞1）成立．即a﹣2成立．15．【2017年新课标1理科21】已知函数f（）＝ae2+（a﹣2）e﹣．（1）讨论f（）的单调性；（2）若f（）有两个零点，求a的取值范围．【解答】解：（1）由f（）＝ae2+（a﹣2）e﹣，求导f′（）＝2ae2+（a﹣2）e﹣1，当a＝0时，f′（）＝﹣2e﹣1＜0，∴当∈R，f（）单调递减，当a＞0时，f′（）＝（2e+1）（ae﹣1）＝2a（e）（e），令f′（）＝0，解得：＝ln，当f′（）＞0，解得：＞ln，当f′（）＜0，解得：＜ln，∴∈（﹣∞，ln）时，f（）单调递减，∈（ln，+∞）单调递增；当a＜0时，f′（）＝2a（e）（e）＜0，恒成立，∴当∈R，f（）单调递减，综上可知：当a≤0时，f（）在R单调减函数，当a＞0时，f（）在（﹣∞，ln）是减函数，在（ln，+∞）是增函数；（2）①若a≤0时，由（1）可知：f（）最多有一个零点，当a＞0时，f（）＝ae2+（a﹣2）e﹣，当→﹣∞时，e2→0，e→0，∴当→﹣∞时，f（）→+∞，当→∞，e2→+∞，且远远大于e和，∴当→∞，f（）→+∞，∴函数有两个零点，f（）的最小值小于0即可，由f（）在（﹣∞，ln）是减函数，在（ln，+∞）是增函数，∴f（）min＝f（ln）＝a×（）+（a﹣2）ln0，∴1ln0，即ln1＞0，设t，则g（t）＝lnt+t﹣1，（t＞0），求导g′（t）1，由g（1）＝0，∴t1，解得：0＜a＜1，∴a的取值范围（0，1）．方法二：（1）由f（）＝ae2+（a﹣2）e﹣，求导f′（）＝2ae2+（a﹣2）e﹣1，当a＝0时，f′（）＝﹣2e﹣1＜0，∴当∈R，f（）单调递减，当a＞0时，f′（）＝（2e+1）（ae﹣1）＝2a（e）（e），令f′（）＝0，解得：＝﹣lna，当f′（）＞0，解得：＞﹣lna，当f′（）＜0，解得：＜﹣lna，∴∈（﹣∞，﹣lna）时，f（）单调递减，∈（﹣lna，+∞）单调递增；当a＜0时，f′（）＝2a（e）（e）＜0，恒成立，∴当∈R，f（）单调递减，综上可知：当a≤0时，f（）在R单调减函数，当a＞0时，f（）在（﹣∞，﹣lna）是减函数，在（﹣lna，+∞）是增函数；（2）①若a≤0时，由（1）可知：f（）最多有一个零点，②当a＞0时，由（1）可知：当＝﹣lna时，f（）取得最小值，f（）min＝f（﹣lna）＝1ln，当a＝1，时，f（﹣lna）＝0，故f（）只有一个零点，当a∈（1，+∞）时，由1ln0，即f（﹣lna）＞0，故f（）没有零点，当a∈（0，1）时，1ln0，f（﹣lna）＜0，由f（﹣2）＝ae﹣4+（a﹣2）e﹣2+2＞﹣2e﹣2+2＞0，故f（）在（﹣∞，﹣lna）有一个零点，假设存在正整数n0，满足n0＞ln（1），则f（n0）（a a﹣2）﹣n0n0n0＞0，由ln（1）＞﹣lna，因此在（﹣lna，+∞）有一个零点．∴a的取值范围（0，1）．16．【2016年新课标1理科21】已知函数f（）＝（﹣2）e+a（﹣1）2有两个零点．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）设1，2是f（）的两个零点，证明：1+2＜2．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（）＝（﹣2）e+a（﹣1）2，∴f′（）＝（﹣1）e+2a（﹣1）＝（﹣1）（e+2a），①若a＝0，那么f（）＝0⇔（﹣2）e＝0⇔＝2，函数f（）只有唯一的零点2，不合题意；②若a＞0，那么e+2a＞0恒成立，当＜1时，f′（）＜0，此时函数为减函数；当＞1时，f′（）＞0，此时函数为增函数；此时当＝1时，函数f（）取极小值﹣e，由f（2）＝a＞0，可得：函数f（）在＞1存在一个零点；当＜1时，e＜e，﹣2＜﹣1＜0，∴f（）＝（﹣2）e+a（﹣1）2＞（﹣2）e+a（﹣1）2＝a（﹣1）2+e（﹣1）﹣e，令a（﹣1）2+e（﹣1）﹣e＝0的两根为t1，t2，且t1＜t2，则当＜t1，或＞t2时，f（）＞a（﹣1）2+e（﹣1）﹣e＞0，故函数f（）在＜1存在一个零点；即函数f（）在R是存在两个零点，满足题意；③若a＜0，则ln（﹣2a）＜lne＝1，当＜ln（﹣2a）时，﹣1＜ln（﹣2a）﹣1＜lne﹣1＝0，e+2a＜e ln（﹣2a）+2a＝0，即f′（）＝（﹣1）（e+2a）＞0恒成立，故f（）单调递增，当ln（﹣2a）＜＜1时，﹣1＜0，e+2a＞e ln（﹣2a）+2a＝0，即f′（）＝（﹣1）（e+2a）＜0恒成立，故f（）单调递减，当＞1时，﹣1＞0，e+2a＞e ln（﹣2a）+2a＝0，即f′（）＝（﹣1）（e+2a）＞0恒成立，故f（）单调递增，故当＝ln（﹣2a）时，函数取极大值，由f（ln（﹣2a））＝[ln（﹣2a）﹣2]（﹣2a）+a[ln（﹣2a）﹣1]2＝a{[ln（﹣2a）﹣2]2+1}＜0得：函数f（）在R上至多存在一个零点，不合题意；④若a，则ln（﹣2a）＝1，当＜1＝ln（﹣2a）时，﹣1＜0，e+2a＜e ln（﹣2a）+2a＝0，即f′（）＝（﹣1）（e+2a）＞0恒成立，故f（）单调递增，当＞1时，﹣1＞0，e+2a＞e ln（﹣2a）+2a＝0，即f′（）＝（﹣1）（e+2a）＞0恒成立，故f（）单调递增，故函数f（）在R上单调递增，函数f（）在R上至多存在一个零点，不合题意；⑤若a，则ln（﹣2a）＞lne＝1，当＜1时，﹣1＜0，e+2a＜e ln（﹣2a）+2a＝0，即f′（）＝（﹣1）（e+2a）＞0恒成立，故f（）单调递增，当1＜＜ln（﹣2a）时，﹣1＞0，e+2a＜e ln（﹣2a）+2a＝0，即f′（）＝（﹣1）（e+2a）＜0恒成立，故f（）单调递减，当＞ln（﹣2a）时，﹣1＞0，e+2a＞e ln（﹣2a）+2a＝0，即f′（）＝（﹣1）（e+2a）＞0恒成立，故f（）单调递增，故当＝1时，函数取极大值，由f（1）＝﹣e＜0得：函数f（）在R上至多存在一个零点，不合题意；综上所述，a的取值范围为（0，+∞）证明：（Ⅱ）∵1，2是f（）的两个零点，∴f（1）＝f（2）＝0，且1≠1，且2≠1，∴﹣a，令g（），则g（1）＝g（2）＝﹣a，∵g′（），∴当＜1时，g′（）＜0，g（）单调递减；当＞1时，g′（）＞0，g（）单调递增；设m＞0，则g（1+m）﹣g（1﹣m），设h（m），m＞0，则h′（m）0恒成立，即h（m）在（0，+∞）上为增函数，h（m）＞h（0）＝0恒成立，即g（1+m）＞g（1﹣m）恒成立，令m＝1﹣1＞0，则g（1+1﹣1）＞g（1﹣1+1）⇔g（2﹣1）＞g（1）＝g（2）⇔2﹣1＞2，即1+2＜2．17．【2015年新课标1理科21】已知函数f（）＝3+a，g（）＝﹣ln（i）当a为何值时，轴为曲线y＝f（）的切线；（ii）用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数h（）＝min{f（），g（）}（＞0），讨论h（）零点的个数．【解答】解：（i）f′（）＝32+a．设曲线y＝f（）与轴相切于点P（0，0），则f（0）＝0，f′（0）＝0，∴，解得，a．因此当a时，轴为曲线y＝f（）的切线；（ii）当∈（1，+∞）时，g（）＝﹣ln＜0，∴函数h（）＝min{f（），g（）}＜0，故h（）在∈（1，+∞）时无零点．当＝1时，若a，则f（1）＝a0，∴h（）＝min{f（1），g（1）}＝g（1）＝0，故＝1是函数h（）的一个零点；若a，则f（1）＝a0，∴h（）＝min{f（1），g（1）}＝f（1）＜0，故＝1不是函数h（）的零点；当∈（0，1）时，g（）＝﹣ln＞0，因此只考虑f（）在（0，1）内的零点个数即可．①当a≤﹣3或a≥0时，f′（）＝32+a在（0，1）内无零点，因此f（）在区间（0，1）内单调，而f（0），f（1）＝a，∴当a≤﹣3时，函数f（）在区间（0，1）内有一个零点，当a≥0时，函数f（）在区间（0，1）内没有零点．②当﹣3＜a＜0时，函数f（）在内单调递减，在内单调递增，故当时，f（）取得最小值．若0，即，则f（）在（0，1）内无零点．若0，即a，则f（）在（0，1）内有唯一零点．若0，即，由f（0），f（1）＝a，∴当时，f（）在（0，1）内有两个零点．当﹣3＜a时，f（）在（0，1）内有一个零点．综上可得：a时，函数h（）有一个零点．当时，h（）有一个零点；当a或时，h（）有两个零点；当时，函数h（）有三个零点．18．【2014年新课标1理科21】设函数f（）＝aeln，曲线y＝f（）在点（1，f（1））处得切线方程为y＝e（﹣1）+2．（Ⅰ）求a、b；（Ⅱ）证明：f（）＞1．【解答】解：（Ⅰ）函数f（）的定义域为（0，+∞），f′（），由题意可得f（1）＝2，f′（1）＝e，故a＝1，b＝2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（）＝eln，∵f（）＞1，∴eln1，∴ln，∴f（）＞1等价于ln＞e﹣，设函数g（）＝ln，则g′（）＝1+ln，∴当∈（0，）时，g′（）＜0；当∈（，+∞）时，g′（）＞0．故g（）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，从而g（）在（0，+∞）上的最小值为g（）．设函数h（）＝e﹣，则h′（）＝e﹣（1﹣）．∴当∈（0，1）时，h′（）＞0；当∈（1，+∞）时，h′（）＜0，故h（）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，从而h（）在（0，+∞）上的最大值为h（1）．综上，当＞0时，g（）＞h（），即f（）＞1．19．【2013年新课标1理科21】已知函数f（）＝2+a+b，g（）＝e（c+d），若曲线y＝f（）和曲线y＝g（）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y＝4+2．（Ⅰ）求a，b，c，d的值；（Ⅱ）若≥﹣2时，f（）≤g（），求的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意知f（0）＝2，g（0）＝2，f′（0）＝4，g′（0）＝4，而f′（）＝2+a，g′（）＝e（c+d+c），故b＝2，d＝2，a＝4，d+c＝4，从而a＝4，b＝2，c＝2，d＝2；（Ⅱ）由（I）知，f（）＝2+4+2，g（）＝2e（+1）设F（）＝g（）﹣f（）＝2e（+1）﹣2﹣4﹣2，则F′（）＝2e（+2）﹣2﹣4＝2（+2）（e﹣1），由题设得F（0）≥0，即≥1，令F′（）＝0，得1＝﹣ln，2＝﹣2，①若1≤＜e2，则﹣2＜1≤0，从而当∈（﹣2，1）时，F′（）＜0，当∈（1，+∞）时，F′（）＞0，即F（）在（﹣2，1）上减，在（1，+∞）上是增，故F（）在[﹣2，+∞）上的最小值为F（1），而F（1）＝﹣1（1+2）≥0，≥﹣2时F（）≥0，即f（）≤g（）恒成立．②若＝e2，则F′（）＝2e2（+2）（e﹣e﹣2），从而当∈（﹣2，+∞）时，F′（）＞0，即F（）在（﹣2，+∞）上是增，而F（﹣2）＝0，故当≥﹣2时，F（）≥0，即f（）≤g（）恒成立．③若＞e2时，F′（）＞2e2（+2）（e﹣e﹣2），而F（﹣2）＝﹣2e﹣2+2＜0，所以当＞﹣2时，f（）≤g（）不恒成立，综上，的取值范围是[1，e2]．20．【2012年新课标1理科21】已知函数f（）满足f（）＝f′（1）e﹣1﹣f（0）2；（1）求f（）的解析式及单调区间；（2）若，求（a+1）b的最大值．【解答】解：（1）f（）＝f'（1）e﹣1﹣f（0）⇒f'（）＝f'（1）e﹣1﹣f（0）+令＝1得：f（0）＝1∴f（）＝f'（1）e﹣1﹣令＝0，得f（0）＝f'（1）e﹣1＝1解得f'（1）＝e故函数的解析式为f（）＝e﹣令g（）＝f'（）＝e﹣1+∴g'（）＝e+1＞0，由此知y＝g（）在∈R上单调递增当＞0时，f'（）＞f'（0）＝0；当＜0时，有f'（）＜f'（0）＝0得：函数f（）＝e﹣的单调递增区间为（0，+∞），单调递减区间为（﹣∞，0）（2）f（）（a+1）﹣b≥0得h′（）＝e﹣（a+1）①当a+1≤0时，h′（）＞0⇒y＝h（）在∈R上单调递增，→﹣∞时，h（）→﹣∞与h（）≥0矛盾②当a+1＞0时，h′（）＞0⇔＞ln（a+1），h'（）＜0⇔＜ln（a+1）得：当＝ln（a+1）时，h（）min＝（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）﹣b≥0，即（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）≥b ∴（a+1）b≤（a+1）2﹣（a+1）2ln（a+1），（a+1＞0）令F（）＝2﹣2ln（＞0），则F'（）＝（1﹣2ln）∴F'（）＞0⇔0＜当时，F（）ma即当a时，（a+1）b的最大值为21．【2011年新课标1理科21】已知函数f（），曲线y＝f（）在点（1，f（1））处的切线方程为+2y﹣3＝0．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）如果当＞0，且≠1时，f（），求的取值范围．【解答】解：由题意f（1）＝1，即切点坐标是（1，1）（Ⅰ）由于直线+2y﹣3＝0的斜率为，且过点（1，1），故即解得a＝1，b＝1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以）．考虑函数（＞0），则．（i）设≤0，由知，当≠1时，h′（）＜0．而h（1）＝0，故当∈（0，1）时，h′（）＜0，可得；当∈（1，+∞）时，h′（）＜0，可得h（）＞0从而当＞0，且≠1时，f（）﹣（）＞0，即f（）．（ii）设0＜＜1．由于当∈（1，）时，（﹣1）（2+1）+2＞0，故h′（）＞0，而h（1）＝0，故当∈（1，）时，h（）＞0，可得h（）＜0，与题设矛盾．（iii）设≥1．此时h′（）＞0，而h（1）＝0，故当∈（1，+∞）时，h（）＞0，可得h（）＜0，与题设矛盾．综合得，的取值范围为（﹣∞，0]．22．【2010年新课标1理科21】设函数f（）＝e﹣1﹣﹣a2．（1）若a＝0，求f（）的单调区间；（2）若当≥0时f（）≥0，求a的取值范围．【解答】解：（1）a＝0时，f（）＝e﹣1﹣，f′（）＝e﹣1．当∈（﹣∞，0）时，f'（）＜0；当∈（0，+∞）时，f'（）＞0．故f（）在（﹣∞，0）单调减少，在（0，+∞）单调增加（II）f′（）＝e﹣1﹣2a由（I）知e≥1+，当且仅当＝0时等号成立．故f′（）≥﹣2a＝（1﹣2a），从而当1﹣2a≥0，即时，f′（）≥0（≥0），而f（0）＝0，于是当≥0时，f（）≥0．由e ＞1+（≠0）可得e ﹣＞1﹣（≠0）． 从而当时，f ′（）＜e ﹣1+2a （e ﹣﹣1）＝e ﹣（e ﹣1）（e ﹣2a ）， 故当∈（0，ln 2a ）时，f '（）＜0，而f （0）＝0，于是当∈（0，ln 2a ）时，f （）＜0．综合得a 的取值范围为．考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：导数的概念及运算，导数与函数的单调性、极值、最值，导数与函数的综合问题，定积分与微积分基本定理.历年考题主要以选择填空或解答题题型出现，重点考查的知识点为：导数的运算，导数与函数的单调性、极值、最值，导数与函数的综合问题，定积分，预测明年本考点题目会比较稳定.备考方向以知识点导数的运算，导数与函数的单调性、极值、最值，导数与函数的综合问题，定积分为重点较佳. 最新高考模拟试题1．已知函数10()ln ,0x x f x x x x⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩，＜＞，若()()F x f x kx =-有3个零点，则k 的取值范围为( ) A ．(21e -，0) B ．(12e -，0) C ．(0，12e ) D ．(0，21e) 【答案】C【解析】由题意，函数10()ln ,0x x f x x x x⎧<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，，要使得函数()()F x f x kx =-在R 上有3个零点，当0x >时，令()()0F x f x kx =-=，可得2ln xk x =，要使得()0F x =有两个实数解，即y k =和()2ln xg x x =有两个交点，又由()312ln xg x x -'=，令12ln 0x -=，可得x =当x ∈时，()0g x '>，则()g x 单调递增；当)x ∈+∞时，()0g x '<，则()g x 单调递减，所以当x =()max 12g x e =，若直线y k =和()2ln xg x x =有两个交点，则1(0,)2k e ∈，当0x <时，y k =和()1g x x =有一个交点，则0k >，综上可得，实数k 的取值范围是1(0,)2e ，故选C.2．已知,(0,)2παβ∈，sin sin 0βααβ->，则下列不等式一定成立的是（） A ．2παβ+< B ．2παβ+= C ．αβ< D ．αβ>【答案】C【解析】由题意，sin sin βααβ>，sin sin αβαβ∴>，设()sin ,0,2xf x x x π⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，()2cos sin ',0,2x x xf x x x π-⎛⎫∴=∈ ⎪⎝⎭，设()cos sin ,0,2g x x x x x π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，()'cos sin cos sin 0g x x x x x x x ∴=--=-<，()g x ∴在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，且()()00g x g <=，()'0f x ∴<,所以()sin x f x x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭递减， ()()sin sin ,f f αβαβαβ>⇔>Qαβ∴<，故选C.3．已知函数()ln 2f x a x x =-+（a 为大于1的整数），若()y f x =与(())y f f x =的值域相同，则a 的最小值是（ ）（参考数据：ln20.6931≈，ln3 1.0986≈，ln5 1.6094≈）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】A【解析】 '()ln 2()=1a a x f x a x x f x x x-=-+⇒-=，当x a >时，'()0f x <，函数()f x 单调递减，当0x a <<时，'()0f x >，函数()f x 单调递增，故max ()()ln 2f x f a a a a ==-+，又当0,()x f x →→-∞，所以函数()f x 的值域为(,ln 2]a a a -∞-+，令'()ln 2()ln 11ln ,t a a a a t a a a =-+⇒=+-= '1,()0a a Z t a >∈∴>Q 因此()t a 是单调递增函数，因此当2,a a Z ≥∈时，()(2)2ln 20t a t ≥=>，令()ln 2f x a x x n =-+=由上可知：ln 2n a a a ≤-+，(())()y f f x f n ==，由上可知函数(n)f 在0x a <<时，单调递增，在x a >时，单调递减，要想(())()y f f x f n ==的值域为(,ln 2]a a a -∞-+，只需ln 2a a a a ≤-+，即ln 220a a a -+≥，设()ln 22g a a a a =-+，2,a a Z ≥∈，'()ln 1g a a =-，所以当3,a a Z ≥∈时，函数()g a 单调递增，(2)2ln 240,(3)3ln 340g g =-<=-<，(4)4ln 460,(5)5ln 580g g =-<=->，所以a 的最小值是5，故本题选A.4．已知实数a ，b ，c ，d 满足ln 12113a c b d +-==+-，则22()()a c b d -+-的最小值为（ ）A ．8B ．4C ．2 D【答案】D【解析】 Q ln 12113a cb d +-==+-ln 11ln 1a b a b +∴=⇒=+，2113c d c d -=⇒=+- 可以看成()ln f x x =和()1g x x =+之间的最小值 '1()f x x =Q 当111x x=⇒=时，即点()1,0到直线()1g x x =+的距离最小d ==5．若函数()ln f x x a x =在区间()1,+∞上存在零点，则实数a 的取值范围为( )A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()0,∞+D ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ 【答案】D【解析】因为函数()ln f x x a x =，所以()1a f x x '=-=令()22g x x a =，因为()2g x '==，当(1,)x ∈+∞ 时，10,0>>，所以()0g x '>所以()g x 在(1,)+∞上为增函数，则()(1)12g x g a >=-，当120a -≥时，()0g x >，所以()0f x '>，所以()f x 在(1,)+∞上为增函数，则()(1)0f x f >=，所以()f x 在(1,)+∞上没有零点.当120a -<时，即12a >，因为()g x 在(1,)+∞上为增函数，则存在唯一的0(1,)x ∈+∞，使得0()0g x =，且当0(1,)x x ∈时，()0g x <，当0(,)x x ∈+∞时，()0g x >；所以当0(1,)x x ∈时，()0f x '<，()f x 为减函数，当0(,)x x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 为增函数，当0x x =时，min 0()()f x f x =，因为0()(1)0f x f <=，当x 趋于+∞时，()f x 趋于+∞，所以在0(,)x x ∈+∞内，()f x 一定存在一个零点. 所以1(,)2a ∈+∞，故答案选D.6．已知函数1()2x a f x e ax x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，若对任意(0,)x ∈+∞，都有()()f x xf x '≥-成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．3,2e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B ．(,-?C ．3,2e 轹÷-+?ê÷ê滕 D ．)é-+?êë【答案】D【解析】令2()()(21)x g x xf x x e ax a ==-+-，则()()()g x f x xf x ''=+， 因为对任意(0,)x ∈+∞，都有()()f x xf x '≥-成立，所以()()()0g x f x xf x ''=+≥在(0,)x ∈+∞上恒成立；即()(21)20xg x x e ax '=++≥在(0,)x ∈+∞上恒成立； 即(21)122x x x e a e x x +⎛⎫-≤=+ ⎪⎝⎭在(0,)x ∈+∞上恒成立； 令1()2x h x e x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，(0,)x ∈+∞， 则22211(21)()2x x x x x h x e e e x x x +-⎛⎫'=-++= ⎪⎝⎭， 由()0h x '=得2210x x +-=，解得1x =-（舍）或12x =， 所以，当102x <<时，22(21)()0x x x h x e x+-'=<，1()2x h x e x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭单调递减； 当12x >时，22(21)()0x x x h x e x+-'=<，1()2x h x e x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭单调递增；所以min 1()2h x h ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 因为(21)122x x x e a e x x +⎛⎫-≤=+ ⎪⎝⎭在(0,)x ∈+∞上恒成立，所以只需2a -≤a ≥-故选D7．已知奇函数()f x 是定义在R 上的可导函数，其导函数为()f x '，当0x >时，有()()22f x xf x x '>+，则不等式()()()22018+2018420x f x f +-<＋的解集为( )A ．(),2016-∞-B ．()2016,2012--C ．(),2018-∞-D ．()2016,0-【答案】A【解析】设()()2g x x f x =， 因为()f x 为R 上奇函数，所以()()()()22g x x f x x f x -=--=-，即()g x 为R 上奇函数对()g x 求导，得()()()2f g f x x x x x '=+'⎡⎤⎣⎦，而当0x >时，有()()220f x xf x x '>+≥ 故0x >时，()0g x '>，即()g x 单调递增，所以()g x 在R 上单调递增不等式()()()22018+2018420x f x f +-<＋ ()()()22018+201842x f x f +<--， ()()()22018+201842x f x f +< 即()()20182g x g +<所以20182x +<，解得2016x <-故选A 项.8．已知函数35791131()135791113x x x x x x f x x =+-+-+-+，则使不等式(1)0f x ->成立的x 的最小整数为（ ）A ．-3B ．-2C ．-1D ．0【答案】D【解析】 根据题意，函数35791131()135791113x x x x x x f x x =+-+-+-+，其导数24681012()1f x x x x x x x '=-+-+-+，0x ≠时，()f x '可以看成是1为首项，2x -为公比的等比数列，则有24681012()1f x x x x x x x '=-+-+-+142101x x +=>+， 函数()f x 在R 上为增函数， 又由111111(1)1(1)()()()035791113f -=+-+-+-+->， 35791113222222(2)1(2)035791113f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+-+-+-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 则函数()f x 在(2,1)--上存在唯一的零点，设其零点为t ，(1)011f x x t x t ->⇒->⇒>+，又由21t -<<-，则110t -<+<，故不等式(1)0f x ->成立的x 的最小整数为0；故选：D ．9．直线y ax =是曲线1ln y x =+的切线，则实数a =____．【答案】1【解析】解：∵1ln y x =+，∴1y x'= 设切点为(,1ln )m m +，得切线的斜率为1m ，所以曲线在点(),1ln m m +处的切线方程为：1ln 1()y m x m m --=⨯-． 即：1ln y m x m-= 它过原点，∴ln 0m -=，∴1m =，∴11a m==． 故答案为：1．10．函数()2x f x ae x =-与()21g x x x =--的图象上存在关于x 轴的对称点，则实数a 的取值范围为_________．【答案】1a …【解析】()21g x x x =--关于x 轴对称的函数为()21h x x x =-++，因为函数()2x f x ae x =-与()21g x x x =--的图象上存在关于x 轴的对称点， 所以()2x f x ae x =-与()21h x x x =-++的图象有交点， 方程221x ae x x x -=-++有解，即1x ae x =+有解，0a =时符合题意，0a ≠时转化为()11x e x a=+有解， 即()1,1x y e y x a==+的图象有交点， ()11y x a =+是过定点()1,0-的直线，其斜率为1a， 设()1,1x y e y x a ==+相切时，切点的坐标为(),m m e ，则111mmem a ea⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪⎩，解得1a=，切线斜率为11a=，由图可知，当11a≥，即1a≤且0a≠时，()1,1xy e y xa==+的图象有交点，此时，()2xf x ae x=-与()21h x x x=-++的图象有交点，函数()2xf x ae x=-与()21g x x x=--的图象上存在关于x轴的对称点，综上可得，实数a的取值范围为1a≤，故答案为1a≤.11．已知函数()1xf x e=-，若存在实数,()a b a b<使得()()f a f b=，则2+a b的最大值为________. 【答案】32ln27【解析】作出函数()1xf x e=-图像如下：由题意，令,a b为方程()f x m=的两个根，由图像易得01m<<；由1xe m-=得1xe m=±，解得ln(1)x m=+或ln(1)x m=-，因为a b<，所以ln(1)b m=+，ln(1)a m=-，因此22ln(1)2ln(1)ln(1)(1)a b m m m m+=-++=-+，令232()(1)(1)1g m m m m m m=-+=--++，01m<<，则2()321(31)(1)g m m m m m'=--+=--+，因为01m<<，所以由()0g m'>得13m<<；由()0g m'<得113m<<，即函数()g m在10,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；在1,13⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；所以2max11132()1133327g m g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 因此2+a b 的最大值为32ln 27. 故答案为32ln2712．已知实数a ，b ，c 满足2121a c b c e a b e +--+++≤（e 为自然对数的底数），则22a b +的最小值是_______． 【答案】15【解析】设()(1)xu x e x =-+，则()1xu x e '=-， 所以函数u()的增区间为（0，+），减区间为(-,0), 所以()(0)0u x u ≥=，即e 1x x ≥+；可知21121121a c b c e a c b a e c b +--++++--+=++≥， 当且仅当210a c b c +=--=时取等； 因为2121a c b c e a b e +--+++≤所以2121a c b c e a b e +--+=++，210a c b c +=--=． 所以1,2c a c b +=-=， 解得22222(1)51144245c c a b c c ++=+=++≥，当且仅当15c =时，取等号．故答案为：1513．已知直线x t =与曲线()()()ln 1,xf x xg x e =+=分别交于,M N 两点，则MN 的最小值为________【答案】1. 【解析】令()()()ln(1)th t g t f t e t =-=-+，1'()()()1t h t g t f t e t =-=-+，显然为增函数，且'(0)0h = 所以当(1,0)t ∈-时，'()0,()h t h t <单调递减； 当(1,)t ∈+∞时，'()0,()h t h t >单调递增.所以min ()(0)1h t h ==. 故答案为1.14．曲线cos y a x =在6x π=处的切线l 的斜率为12，则切线l 的方程为_____． 【答案】2306x y π---=【解析】解：曲线cos y a x =，可得'sin y a x =-， 曲线cos y a x =在6x π=处的切线l 的斜率为12， 可得1sin62a π-=， 所以1a =-. 所以切点坐标为：3(,)62π-， 则切线l 的方程为：3126y x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭. 即：2306x y π---=．故答案为：2306x y π---=．15．已知函数22,0,(),0,x x x f x e x ⎧≤=⎨>⎩若方程2[()]f x a =恰有两个不同的实数根12,x x ，则12x x +的最大值是______． 【答案】3ln 22- 【解析】作出()f x 的函数图象如图所示，由()2f x a =⎡⎤⎣⎦，可得()1f x =>， 即1a >，不妨设12x x <，则2212x x e ==(1)t t =>，则12ln x x t ==，12ln x x t ∴+=()ln g t t =，则'()g t =， 当 18t <<时，()'0g t >，()g t 在()1,8上递增； 当8t >时，()'0g t <，()g t 在()8,+∞上递减； 当8t =时，()g t 取得最大值g(8)=ln82=3ln22--, 故答案为3ln 22-.16．已知函数31,0()2,0ax x f x x ax x x -≤⎧=⎨-+->⎩的图象恰好经过三个象限，则实数a 的取值范围______.【答案】0a <或2a > 【解析】（1）当0a <时，()f x 在(,0]-∞上单调递减，又(0)1f =-，所以函数()f x 的图象经过第二、三象限，当0x >时，33(1)2,2()(1)2,02x a x x f x x a x x ⎧---=⎨-++<<⎩…， 所以223(1),2()3(1),,02x a x f x x a x ⎧--=⎨-+<<⎩'…，①若1a -„时，()0f x '>恒成立，又当0x +→时，()2f x →，所以函数()f x 图象在0x >时，经过第一象限，符合题意；②若10a -<<时，()0f x '>在[2,)+∞上恒成立，当02x <<时，令()0f x '=，解13x =，所以()f x在⎛ ⎝上单调递减，在2⎫⎪⎪⎭上单调递增，又(2210f a ⎛=+=> ⎝所以函数()f x 图象在0x >时，经过第一象限，符合题意；（2）当0a =时，()f x 的图象在(,0)-∞上，只经过第三象限，()0f x '>在(0,)+∞上恒成立，所以()f x 的图象在(0,)+∞上，只经过第一象限，故不符合题意；（3）当0a >时，()f x 在(,0)-∞上单调递增，故()f x 的图象在(,0)-∞上只经过第三象限，所以()f x 在(0,)+∞上的最小值min ()0f x <，当02x <<时，令()0f x '=，解得x =2<时，即11a <时，()f x 在(0,)+∞上的最小值为21f ⎛= ⎝，令2102211f a a ⎛=<⇒>∴<< ⎝.211a ⇒≥时，则()f x 在02x <<时，单调递减，当2x ≥时，令()0f x '=，解得x =，21113a <⇒≤<，()f x 在(2,)+∞上单调递增，故()f x 在(0,)+∞上的最小值为(2)82f a =-，令8204a a -<⇒>，所以1113a ≤<；213a ≥⇒≥，()f x 在⎛ ⎝上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增，故()f x 在(0,)+∞上的最小值为2f =，显然20<，故13a ≥；结上所述：0a <或2a >.17．已知函数()||ln (0)f x x a x a =-->. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）比较222222ln 2ln 3ln 23n n++⋯+ 与(1)(21)2(1)n n n -++的大小(n N +∈且)2n >，并证明你的结论.【答案】（I ）见解析；（II ）见解析 【解析】（Ⅰ）函数()f x 可化为ln ,()ln ,0x x a x af x a x x x a --≥⎧=⎨--<<⎩，当0x a <<时，1()10f x x '=--<，从而()f x 在(0,)a 上总是递减的， 当x a ≥时，11()1x f x x x-=-='，此时要考虑a 与1的大小.若1a ≥，则()0f x '≥，故()f x 在[,)a +∞上递增，若01a <<，则当1a x ≤<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>，故()f x 在[,1)a 上递减， 在(1,)+∞上递增，而()f x 在x a =处连续，所以 当1a ≥时，()f x 在(0,)a 上递减，在[,)a +∞上递增； 当01a <<时，()f x 在(0,1)上递减，在[1,)+∞上递增.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知当1a =，1x >时，1ln 0x x -->，即ln 1x x >-，所以ln 11x x x<-.所以 222222ln 2ln 3ln 23n nL +++22211111123n <-+-+-L 222111123n n ⎛⎫=--+++ ⎪⎝⎭L 11112334(1)n n n ⎛⎫<--+++ ⎪⨯⨯+⎝⎭L 11121n n ⎛⎫=--- ⎪+⎝⎭1(1)2(1)n n n -=--+ 2221(1)(21)2(1)2(1)n n n n n n --+-+==++. 18．已知函数()()21ln 2f x x x ax a =++∈R ．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若12,x x 为()f x 的两个极值点，证明：()()21212+44282f x f x a a x x f +++⎛⎫-> ⎪⎝⎭.【答案】（1）当2a <-时，()f x 在0,2a ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭为增函数，,22a a ⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭减函数，⎫+∞⎪⎪⎝⎭为增函数；当2a ≥-时，()f x 在()0,∞+为增函数．（2）证明见解析．【解析】（1）()f x 的定义域为()0,∞+，()()210x ax f x x x'++=>，对于函数21y x ax =++，①当240a ∆=-≤时，即22a -≤≤时，210x ax ++≥在0x >恒成立．()210x ax f x x++'∴=≥在()0,∞+恒成立，()f x ∴在()0,∞+为增函数；②当∆>0，即2a <-或2a >时，当2a <-时，由()0f x '>，得x <x >，0<<， ()f x ∴在⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭为增函数，⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭减函数，,2a ⎛⎫-++∞⎪ ⎪⎝⎭为增函数， 当2a >时，由()210x ax f x x++'=>在()0,∞+恒成立，()f x ∴在()0,∞+为增函数．综上，当2a <-时，()f x在⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭为增函数，⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭减函数，⎫+∞⎪⎪⎝⎭为增函数； 当2a ≥-时，()f x 在()0,∞+为增函数．（2）由（1）知2a <-，且1212,1x x a x x +=-=， 故()()121222f x f x x x f ++⎛⎫- ⎪⎝⎭()()21222111222121211ln ln 222ln 2222x x x x ax x x ax x x x x a +⎛⎫+++++ ⎪++⎛⎫⎛⎫⎝⎭=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21ln +228a a ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭故只需证明ln 1022a a⎛⎫----> ⎪⎝⎭，令2at =-，故1t >， 原不等式等价于ln 1t t <-对1t >成立， 令1()ln (1),'()0tg t t t g t t-=--=<，所以()ln (1)g t t t =--单调递减，有()ln (1)(1)0g t t t g =--<= 得证.19．已知函数()ln(1)1(1)f x ax x a =+-+…. （Ⅰ）当1a =时，求()f x 的最大值； （Ⅱ）若1()e f x e +„对1,x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ）[1,e] 【解析】（Ⅰ）当1a =时，()ln(1)1f x x x =+-+，定义域为(1,)-+∞. 1()111xf x x x -'=-=++. 令()0f x '=，得0x =.当(1,0)x ∈-时，()0f x '>，()f x 单调递增， 当(0,)x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减. 所以max ()(0)1f x f ==. （Ⅱ）()11a f x ax '=-+11ax a ax -+-=+，1x a >-.令()0f x '=，得1a x a-=. 当11,a x a a -⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增；当1,a x a -⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以max 11()ln a f x f a a a -⎛⎫==+ ⎪⎝⎭. 依题意有11ln e a a e ++„，设1()ln (1)g a a a a =+…， 则22111()0a g a a a a-'=-=…，所以()g a 在[1,)a ∈+∞上单调递增. 又1e 1(e)ln e e e g +=+=，故1e 1ln ea a ++„()(e)g a g ⇔„1e a ⇒剟， 即实数a 的取值范围为[1,e].20．对于函数()y f x =的定义域D ，如果存在区间[],m n D ⊆，同时满足下列条件：①()f x 在()()f x g x +上是单调函数；②当[],x m n ∈时，()f x 的值域为[]2,2m n ，则称区间()()f x g x +是函数()f x 的“单调倍区间”．已知函数()ln 2,0()02,0a x x x f x a a x ->⎧⎪=>≤ （1）若2a =，求()f x 在点()(),e f e 处的切线方程； （2）若函数()f x 存在“单调倍区间”，求a 的取值范围． 【答案】（1）22y x e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）(231,4,2164e e ⎛⎤⎤ ⎦⎥⎝⎦U 【解析】（1）当2a =时，()()2ln 20f x x x x =-> 当0x >时，()22f x x '=-，则：()22f e e'=-，又()22f e e =- ()f x ∴在()(),e f e 处的切线方程为：()()2222y e x e e⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭即：22y x e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）()ln 2,0()02,0a x x x f x a a x ->⎧⎪=>≤Q ()()2,000ax x f x a x ⎧->⎪⎪∴=>⎨≤' 列表如下：设函数()f x 存在“单调倍区间”是()()f x g x +①当0m n <≤时，由()f x 在(),0-∞上单调递减，则有2222a na m=-=()2n m =-2=12=，代入2222a n a m ==得：12221222a n a m ⎧=-⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩要使此关于,m n 的方程组在0m n <≤时有解，则使得2y a =与()21202y x x x =-+≥的图象有两个公共点当14x =时，min 38y =，当0x =时，12y =结合两函数图象，则31282a <≤，即：31164a <≤ 即此时满足()f x 存在“单调倍区间”的a 的取值范围是31,164⎛⎤⎥⎝⎦②当02a m n <<≤时，由()f x 在0,2a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则有 ln 22ln 22a m m m a n n n -=⎧⎨-=⎩即：1ln 41ln 4ma mn a n⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩设()ln 4x g x x =，则()21ln 4xg x x-'= 当()0,x e ∈时，()0g x '>，()g x 为增函数 当(),x e ∈+∞时，()0g x '<，()g x 为减函数要使方程1ln 4x a x =有两解，则1y a =与()ln 4x g x x =的图象在0,2a ⎛⎤ ⎥⎝⎦有两个交点结合两函数图象，则()212a e a g g e a⎧>⎪⎪⎨⎛⎫⎪≤< ⎪⎪⎝⎭⎩，即：2ln 122114a e a a a a e ⎧>⎪⎪⎪⎪≤⎨⎪⎪<⎪⎪⎩解得：242e a e <≤即此时满足()f x 存在“在单调倍区间”的a 的取值范围是(24,2e e ⎤⎦③当2a m n <<时，由()f x 在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，则有ln 22ln 22a m m n a n n m -=⎧⎨-=⎩两式相减得：()ln ln 0a m n -=，此式不成立，即此时()f x 不存在“单调倍区间” 综上，函数()f x 存在“单调倍区间”的a 的取值范围是(231,4,2164e e ⎛⎤⎤ ⎦⎥⎝⎦U 21．已知函数2()(0)4x x a f x e a x ++=⋅≥+. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当[0,1)b ∈时，设函数22(3)()(2)(2)x e b x g x x x +-+=>-+有最小值()h b ，求()h b 的值域. 【答案】(1)见解析；(2) 21(),24e h b ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦【解析】解：（1）()f x 定义域为(,4)(4,)-∞--+∞U ，224(4)4x a x a e x x +⎛⎫-+=+ ⎪++⎝⎭222(4)34(4)x x a x a ex +++++=⋅+.令2(4)340x a x a ++++=，①。
2010-2019十年高考数学真题分类汇编专题08 数列 学生版解析版
22 243 3十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学专题 08 数列一、选择题1.(2019·全国 1·理 T9)记 S n 为等差数列{a n }的前 n 项和.已知 S 4=0,a 5=5,则()A.a n =2n-5C.S n =2n 2-8nB.a n =3n-10D.S n =1n 2-2n2.(2019·浙江·T10)设 a,b∈R,数列{a n }满足 a 1=a,a n+1=a n +b,n∈N *,则()A.当 b=1时,a 10>10C.当 b=-2 时,a 10>10B.当 b=1时,a 10>10D.当 b=-4 时,a 10>103.(2018·全国 1·理 T4)记 S n 为等差数列{a n }的前 n 项和,若 3S 3=S 2+S 4,a 1=2,则 a 5=( )A.-12B.-10C.10D.124.(2018·浙江·T10)已知 a 1,a 2,a 3,a 4 成等比数列,且 a 1+a 2+a 3+a 4=ln(a 1+a 2+a 3).若 a 1>1,则()A.a 1<a 3,a 2<a 4B.a 1>a 3,a 2<a 4C.a 1<a 3,a 2>a 4D.a 1>a 3,a 2>a 45.(2018·北京·理 T4 文 T5)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于 12√2.若第一个单音的频率为 f,则第八个单音的频率为()A. √2fB. √22f C. 12√25fD. 12√27f6.(2017·全国 1·理 T12)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动 .这款软件的激活码为下面数学问题的答案 :已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是 20,接下来的两项是 20,21,再接下来的三项是 20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数 N:N>100 且该数列的前 N 项和为 2 的整数幂.那么该款软件的激活码是()A.440B.330C.220D.1107.(2017·全国 3·理 T9)等差数列{a n }的首项为 1,公差不为 0.若 a 2,a 3,a 6 成等比数列,则{a n }前 6 项的和为()A.-24B.-3C.3D.88.(2016·全国 1·理 T3)已知等差数列{a n }前 9 项的和为 27,a 10=8,则 a 100=()2B.192C.10D.122D.12D.n (n -1)3B.-13C.19D.-1432 2A.100B.99C.98D.979.(2015·浙江·理 T13)已知{a n }是等差数列,公差 d 不为零,前 n 项和是 S n ,若 a 3,a 4,a 8 成等比数列,则()A.a 1d>0,dS 4>0B.a 1d<0,dS 4<0C.a 1d>0,dS 4<0D.a 1d<0,dS 4>010.(2015·全国 2·文 T5)设 S n 是等差数列{a n }的前 n 项和,若 a 1+a 3+a 5=3,则 S 5=( )A.5B.7C.9D.1111.(2015·全国 1·文 T7)已知{a n }是公差为 1 的等差数列,S n 为{a n }的前 n 项和.若 S 8=4S 4,则 a 10= (A.1712.(2015·全国 2·理 T4)已知等比数列{a n }满足 a 1=3,a 1+a 3+a 5=21,则 a 3+a 5+a 7=()A.21B.42C.63D.8413.(2015·全国 2·文 T9)已知等比数列{a n }满足 a 1=1,a 3a 5=4(a 4-1),则 a 2=()A.2B.1C.18 14.(2014·大纲全国·文 T8)设等比数列{a n }的前 n 项和为 S n .若 S 2=3,S 4=15,则 S 6=()A.31B.32C.63D.6415.(2014·全国 2·文 T5)等差数列{a n }的公差为 2,若 a 2,a 4,a 8 成等比数列,则{a n }的前 n 项和 S n =(A.n(n+1)B.n(n-1)C.n (n+1)216.(2013·全国 2·理 T3)等比数列{a n }的前 n 项和为 S n .已知 S 3=a 2+10a 1,a 5=9,则 a 1=()A.1917.(2013·全国 1·文 T6)设首项为 1,公比为2的等比数列{a n }的前 n 项和为 S n ,则()A.S n =2a n -1B.S n =3a n -2C.S n =4-3a nD.S n =3-2a n18.(2013·全国 1·理 T12)设 A △n B n C n 的三边长分别为 a n ,b n ,c △n , A n B n C n 的面积为 S n ,n=1,2,3,….若b 1>c 1,b 1+c 1=2a 1,a n+1=a n ,b n+1=c n +a n ,c n+1=b n +a n ,则()A.{S n }为递减数列B.{S n }为递增数列C.{S 2n-1}为递增数列,{S 2n }为递减数列))2.(2019·全国3·理 T14)记 S n 为等差数列{a n }的前 n 项和.若 a 1≠0,a 2=3a 1,则S 10= .43 41 S4 4D.{S 2n-1}为递减数列,{S 2n }为递增数列19.(2013·全国 1·理 T7)设等差数列{a n }的前 n 项和为 S n ,若 S m-1=-2,S m =0,S m+1=3,则 m= ( )A.3B.4C.5D.620.(2012·全国·理 T5)已知{a n }为等比数列,a 4+a 7=2,a 5a 6=-8,则 a 1+a 10=()A.7B.5C.-5D.-721.(2012·全国·文 T12)数列{a n }满足 a n+1+(-1)n a n =2n-1,则{a n }的前 60 项和为()A.3 690B.3 660C.1 845D.1 830二、填空题1.(2019·全国 3·文 T14)记 S n 为等差数列{a n }的前 n 项和.若 a 3=5,a 7=13,则 S 10=. S 53.(2019·江苏·T8)已知数列{a n }(n∈N *)是等差数列,S n 是其前 n 项和.若 a 2a 5+a 8=0,S 9=27,则 S 8 的值是. 4.(2019·北京·理 T10)设等差数列{a n }的前 n 项和为 S n .若 a 2=-3,S 5=-10,则 a 5= ,S n 的最小值为.5.(2019·全国 1·文 T14)记 S n 为等比数列{a n }的前 n 项和.若 a 1=1,S 3=3,则 S 4=.6.(2019·全国 1·理 T14)记 S n 为等比数列{a n }的前 n 项和.若 a 1=1 , a 2=a 6,则 S 5=________.7.(2018·全国 1·理 T14)记 S n 为数列{a n }的前 n 项和.若 S n =2a n +1,则 S 6=.8.(2018·北京·理 T9)设{a n }是等差数列,且 a 1=3,a 2+a 5=36,则{a n }的通项公式为.9.(2018·上海·T10)设等比数列{a n }的通项公式为 a n =q n-1(n∈N *),前 n 项和为 S n ,若 lim a S n = 2,则 q=.n →∞ n+110.(2018·江苏·T14)已知集合 A={x|x=2n-1,n∈N *},B={x|x=2n ,n∈N *}.将 A∪B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{a n }.记 S n 为数列{a n }的前 n 项和,则使得 S n >12a n+1 成立的 n 的最小值为 .n11.(2017·全国 2·理 T15)等差数列{a n }的前 n 项和为 S n ,a 3=3,S 4=10,则 ∑ 1 =____________.k=1 k 12.(2017·全国 3·理 T14)设等比数列{a n }满足 a 1+a 2=-1,a 1-a 3=-3,则 a 4=.13.(2017·江苏·理 T9 文 T9)等比数列{a n }的各项均为实数,其前 n 项和为 S n .已知 S 3=7,S 6=63,则 a 8=.14.(2016·浙江·理 T13 文 T13)设数列{a n }的前 n 项和为 S n ,若 S 2=4,a n+1=2S n +1,n∈N *,则 a 1=,S 5= .15.(2016·北京·理 T12)已知{a n }为等差数列,S n 为其前 n 项和.若 a 1=6,a 3+a 5=0,则 S 6= . 16.(2016·全国 1·理 T15)设等比数列{a n }满足 a 1+a 3=10,a 2+a 4=5,则 a 1a 2…a n 的最大值为.17.(2015·全国 1·文 T13)在数列{a n }中,a 1=2,a n+1=2a n ,S n 为{a n }的前 n 项和.若 S n =126,则 n=.18.(2015·湖南·理 T14)设 S n 为等比数列{a n }的前 n 项和,若 a 1=1,且 3S 1,2S 2,S 3 成等差数列,则 a n =.19.(2015·福建·文 T16)若 a,b 是函数 f(x)=x 2-px+q(p>0,q>0)的两个不同的零点,且 a,b,-2 这三个数可适a n =n+1(n∈N ).则数列{ }前 10 项的和为____________.*127.(2014·全国2·文 T16)数列{a n }满足 a n+1=,a 8=2,则 a 1=____________.13 3当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则 p+q 的值等于.20.(2015·江苏·理 T11)设数列{a n }满足 a 1=1,且 a n+1-a n21.(2015·全国 2·理 T16)设 S n 是数列{a n }的前 n 项和,且 a 1=-1,a n+1=S n S n+1,则 S n =.22.(2015·广东·理 T10)在等差数列{a n }中,若 a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=25,则 a 2+a 8=.23.(2015·陕西·文 T13)中位数为 1 010 的一组数构成等差数列,其末项为 2 015,则该数列的首项为 .24.(2014·江苏·理 T7)在各项均为正数的等比数列{a n }中,若 a 2=1,a 8=a 6+2a 4,则 a 6 的值是.25.(2014 · 广 东 · 文 T13) 等 比 数 列 {a n } 的 各 项 均 为 正 数 , 且a 1a 5=4, 则log 2a 1+log 2a 2+log 2a 3+log 2a 4+log 2a 5=.26.(2014·安徽·理 T12)数列{a n }是等差数列,若 a 1+1,a 3+3,a 5+5 构成公比为 q 的等比数列,则 q=.1-a n28.(2014·北京·理 T12)若等差数列{a n }满足 a 7+a 8+a 9>0,a 7+a 10<0,则当 n=时,{a n }的前 n 项和最大.29.(2014·天津·理 T11)设{a n }是首项为 a 1,公差为-1 的等差数列,S n 为其前 n 项和.若 S 1,S 2,S 4 成等比数列, 则 a 1 的值为.30.(2013·全国 2·理 T16)等差数列{a n }的前 n 项和为 S n ,已知 S 10=0,S 15=25,则 nS n 的最小值为.31.(2013·辽宁·理 T14)已知等比数列{a n }是递增数列,S n 是{a n }的前 n 项和.若 a 1,a 3 是方程 x 2-5x+4=0 的两 个根,则 S 6=.32.(2013·全国 1·理 T14)若数列{a n }的前 n 项和 S n =2a n +1,则{a n }的通项公式是 a n =.33.(2012·全国·文 T14)等比数列{a n }的前 n 项和为 S n ,若 S 3+3S 2=0,则公比 q=.三、计算题1.(2019·全国 2·文 T18)已知{a n }是各项均为正数的等比数列,a 1=2,a 3=2a 2+16.(1)求{a n }的通项公式;(2)设 b n =log 2a n .求数列{b n }的前 n 项和.2.(2019·全国 2·理 T19)已知数列{a n }和{b n }满足 a 1=1,b 1=0,4a n+1=3a n -b n +4,4b n+1=3b n -a n -4. (1)证明:{a n +b n }是等比数列,{a n -b n }是等差数列; (2)求{a n }和{b n }的通项公式.3.(2019·天津·文 T18)设{a n }是等差数列,{b n }是等比数列,公比大于 0.已知 a 1=b 1=3,b 2=a 3,b 3=4a 2+3. (1)求{a n }和{b n }的通项公式;b k ,n = 2k ,(2)记 c n =√ a n**,n∈N ,证(2)已知数列{bn }(n∈N )满足:b 1=1,* 1 = 2 − 2 ,其中 S n 为数列{b n }的前 n 项和.b n ,n 为偶数,2(2)设数列{c n }满足 c n ={ 1,n 为奇数,求 a 1c 1+a 2c 2+…+a 2n c 2n (n∈N *).24.(2019·天津·理 T19)设{a n }是等差数列,{b n }是等比数列.已知 a 1=4,b 1=6,b 2=2a 2-2,b 3=2a 3+4.(1)求{a n }和{b n }的通项公式;1,2k < n < 2k1 ,(2)设数列{c n }满足 c 1=1,c n ={ 其中 k∈N *.①求数列{a 2n (c 2n -1)}的通项公式; 2n②求∑ a i c i (n∈N *).i=1 5.(2019 · 浙 江 · T 20) 设 等 差 数 列 {a n } 的 前 n 项 和 为 S n ,a 3=4,a 4=S 3. 数 列 {b n } 满 足 : 对 每 个 n ∈N *,S n +b n ,S n+1+b n ,S n+2+b n 成等比数列.(1)求数列{a n },{b n }的通项公式;2b n6.(2019·江苏·T 20)定义首项为 1 且公比为正数的等比数列为“M - 数列”.(1)已知等比数列{a n }(n∈N *)满足:a 2a 4=a 5,a 3-4a 2+4a 1=0,求证:数列{a n }为“M - 数列”;S nb n b n1①求数列{b n }的通项公式;②设 m 为正整数.若存在“M - 数列”{c n }(n∈N *),对任意正整数 k,当 k≤m 时,都有 c k ≤b k ≤c k+1 成立,求 m 的 最大值.7.(2018·北京·文 T15)设{a n }是等差数列,且 a 1=ln 2,a 2+a 3=5ln 2.(1)求{a n }的通项公式; (2)求e a 1e a 2 +…+e a n .8.(2018·上海·T 21)给定无穷数列{a n },若无穷数列{b n }满足:对任意 x∈N *,都有|b n -a n |≤1,则称{b n }与{a n }“接近”.(1)设{a n }是首项为 1,公比为1的等比数列,b n =a n+1+1,n∈N *,判断数列{b n }是否与{a n }接近,并说明理由;(2)设数列{a n }的前四项为 a 1=1,a 2=2,a 3=4,a 4=8,{b n }是一个与{a n }接近的数列,记集合 M={x|x=b i ,i=1,2,3,4},求 M 中元素的个数 m:(3)已知{a n }是公差为 d 的等差数列.若存在数列{b n }满足:{b n }与{a n }接近,且在 b 2-b 1,b 3-b 2,…,b 201-b 200 中至少有 100 个为正数,求 d 的取值范围.9.(2018·江苏·T 20)设{a n }是首项为 a 1,公差为 d 的等差数列,{b n }是首项为 b 1,公比为 q 的等比数列.√ (k+1)(k+2)-2(n∈N *). a(1)设 a 1=0,b 1=1,q=2,若|a n -b n |≤b 1 对 n=1,2,3,4 均成立,求 d 的取值范围;(2)若 a 1=b 1>0,m∈N *,q∈(1, m 2],证明:存在 d∈R,使得|a n -b n |≤b 1 对 n=2,3,…,m+1 均成立,并求 d 的取值 范围(用 b 1,m,q 表示).10.(2018·天津·文 T18)设{a n }是等差数列,其前 n 项和为 S n (n∈N *);{b n }是等比数列,公比大于 0,其前 n 项 和为 T n (n∈N *).已知 b 1=1,b 3=b 2+2,b 4=a 3+a 5,b 5=a 4+2a 6. (1)求 S n 和 T n ;(2)若 S n +(T 1+T 2+…+T n )=a n +4b n ,求正整数 n 的值.11.(2018·天津·理 T18)设{a n }是等比数列,公比大于 0,其前 n 项和为 S n (n∈N *),{b n }是等差数列.已知 a 1=1,a 3=a 2+2,a 4=b 3+b 5,a 5=b 4+2b 6. (1)求{a n }和{b n }的通项公式;(2)设数列{S n }的前 n 项和为 T n (n∈N *), ①求 T n ;nk1②证明 ∑(T k +b k+2)b k 2n+2n+212.(2018·全国 2·理 T17 文 T17)记 S n 为等差数列{a n }的前 n 项和,已知 a 1=-7,S 3=-15.(1)求{a n }的通项公式; (2)求 S n ,并求 S n 的最小值.13.(2018·全国 1·文 T17)已知数列{a n }满足 a 1=1,na n+1=2(n+1)a n .设 b n = n .(1)求 b 1,b 2,b 3;(2)判断数列{b n }是否为等比数列,并说明理由; (3)求{a n }的通项公式.14.(2018·全国 3·理 T17 文 T17)等比数列{a n }中,a 1=1,a 5=4a 3. (1)求{a n }的通项公式;(2)记 S n 为{a n }的前 n 项和,若 S m =63,求 m.15.(2017·全国 1·文 T17)设 S n 为等比数列{a n }的前 n 项和,已知 S 2=2,S 3=-6. (1)求{a n }的通项公式;(2)求 S n ,并判断 S n+1,S n ,S n+2 是否成等差数列.16.(2017 · 全 国 2 · 文 T17) 已 知 等 差 数 列 {a n } 的 前 n 项 和 为 S n , 等 比 数 列 {b n } 的 前 n 项 和 为 T n ,a 1=-1,b 1=1,a 2+b 2=2.(1)若 a +b =5,求{b }的通项公式;(2){bn }为各项非零的等差数列,其前 n 项和为 S n .已知 S 2n+1=b n b n+1,求数列{b n }的前 n 项和 T n .(2)若 T 3=21,求 S 3.17.(2017·全国 3·文 T17)设数列{a n }满足 a 1+3a 2+…+(2n -1)a n =2n. (1)求{a n }的通项公式;(2)求数列{ a n }的前 n 项和.2n+118.(2017·天津·理 T18)已知{a n }为等差数列,前 n 项和为 S n (n∈N *),{b n }是首项为 2 的等比数列,且公比大 于 0,b 2+b 3=12,b 3=a 4-2a 1,S 11=11b 4. (1)求{a n }和{b n }的通项公式;(2)求数列{a 2n b 2n-1}的前 n 项和(n∈N *).19.(2017·山东·理 T19)已知{x n }是各项均为正数的等比数列,且 x 1+x 2=3,x 3-x 2=2. (1)求数列{x n }的通项公式;(2)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,依次连接点 P 1(x 1,1),P 2(x 2,2)…P n+1(x n+1,n+1)得到折线 P 1P 2…P n+1,求由该 折线与直线 y=0,x=x 1,x=x n+1 所围成的区域的面积 T n .20.(2017·山东·文 T19)已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且 a 1+a 2=6,a 1a 2=a 3.1)求数列{a n }的通项公式;a n21.(2017·天津·文 T18)已知{a n }为等差数列,前 n 项和为 S n (n∈N *),{b n }是首项为 2 的等比数列,且公比大于 0,b 2+b 3=12,b 3=a 4-2a 1,S 11=11b 4. (1)求{a n }和{b n }的通项公式;(2)求数列{a 2n b n }的前 n 项和(n∈N *).22.(2016·全国 2·理 T17)S n 为等差数列{a n }的前 n 项和,且 a 1=1,S 7=28.记 b n =[lg a n ],其中[x]表示不超过 x 的最大整数,如[0.9]=0,[lg 99]=1.(1)求 b 1,b 11,b 101;(2)求数列{b n }的前 1 000 项和.(2)令 c n =(a n +1)(b n +2) ,求数列{c n }的前 n 项和 T n .(1)设 c n =b n+1 − b n 2,n∈N *,求证:数列{c n }是等差数列;(2)设 a 1=d,T n = ∑ (-1)k b k 2d 28.(2016·天津·文 T18)已知{a n }是等比数列,前 n 项和为 S n (n∈N *),且 1 − 133223.(2016·全国 2·文 T17)等差数列{a n }中,a 3+a 4=4,a 5+a 7=6.(1)求{a n }的通项公式;(2)设 b n =[a n ],求数列{b n }的前 10 项和,其中[x]表示不超过 x 的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2. 24.(2016·浙江·文 T17)设数列{a n }的前 n 项和为 S n .已知 S 2=4,a n+1=2S n +1,n∈N *. (1)求通项公式 a n ;(2)求数列{|a n -n-2|}的前 n 项和.25.(2016·北京·文 T15)已知{a n }是等差数列,{b n }是等比数列,且 b 2=3,b 3=9,a 1=b 1,a 14=b 4. (1)求{a n }的通项公式;(2)设 c n =a n +b n ,求数列{c n }的前 n 项和.26.(2016·山东·理 T18 文 T19)已知数列{a n }的前 n 项和 S n =3n 2+8n,{b n }是等差数列,且 a n =b n +b n+1. (1)求数列{b n }的通项公式;n+1n27.(2016·天津·理 T18)已知{a n }是各项均为正数的等差数列,公差为 d.对任意的 n∈N *,b n 是 a n 和 a n+1 的等比中项.22n n 2,n∈N *,求证: ∑ 1 k1 k1 Tk< 1 .2a 1 a 22 a 3,S 6=63.(1)求{a n }的通项公式;(2)若对任意的 n∈N *,b n 是 log 2a n 和 log 2a n+1 的等差中项,求数列{(-1)n b 2n }的前 2n 项和.29.(2016·全国 1·文 T17)已知{a n }是公差为 3 的等差数列,数列{b n }满足 b 1=1,b 2=1,a n b n+1+b n+1=nb n .(1)求{a n }的通项公式;(2)求{b n }的前 n 项和.30.(2016·全国 3·文 T17)已知各项都为正数的数列{a n }满足 a 1=1, a 2n -(2a n+1-1)a n -2a n+1=0. (1)求 a 2,a 3;(2)求{a n }的通项公式.31.(2016·全国 3·理 T17)已知数列{a n }的前 n 项和 S n =1+λa n ,其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列,并求其通项公式;(2)若 S 5=31,求λ.(2)设 b n =n+1(2)设S n 为数列{a n }的前 n 项和,b n =,求数列{b n }的前 n 项和 T n .a(2)设 b n = 38.(2015·山东·文 T19)已知数列{a n }是首项为正数的等差数列,数列{ ,求数列{b n }的前 n 项和.,n∈N ,求数列{b n }的前 n 项和.*a n ·a n+1}的前 n 项和为 .n22 2 3132.(2015·北京·文 T16)已知等差数列{a n }满足 a 1+a 2=10,a 4-a 3=2.(1)求{a n }的通项公式;(2)设等比数列{b n }满足 b 2=a 3,b 3=a 7.问:b 6 与数列{a n }的第几项相等?33.(2015·重庆·文 T16)已知等差数列{a n }满足 a 3=2,前 3 项和 S 3=9.(1)求{a n }的通项公式;(2)设等比数列{b n }满足 b 1=a 1,b 4=a 15,求{b n }的前 n 项和 T n . 34.(2015·福建·文 T17)等差数列{a n }中,a 2=4,a 4+a 7=15. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)设 b n =2a n -2+n,求 b 1+b 2+b 3+…+b 10 的值.35.(2015·全国 1·理 T17)S n 为数列{a n }的前 n 项和.已知 a n >0,a n +2a n =4S n +3.(1)求{a n }的通项公式;1a n a n+136.(2015·安徽·文 T18)已知数列{a n }是递增的等比数列,且 a 1+a 4=9,a 2a 3=8.(1)求数列{a n }的通项公式;S n S n+137.(2015·天津·理 T18)已知数列{a n }满足 a n+2=qa n (q 为实数,且 q≠1),n∈N *,a 1=1,a 2=2,且 a 2+a 3,a 3+a 4,a 4+a 5 成等差数列.(1)求 q 的值和{a n }的通项公式;l o g 2a 2na 2n -112n+1 (1)求数列{a n }的通项公式;(2)设 b n =(a n +1)·2a n ,求数列{b n }的前 n 项和 T n .39.(2015·浙江·文 T17)已知数列{a n }和{b n }满足 a 1=2,b 1=1,a n+1=2a n (n∈N *),b 1+1b 2+1b 3+…+n b n =b n+1-1(n∈N *).(1)求 a n 与 b n ;(2)记数列{a n b n }的前 n 项和为 T n ,求 T n .40.(2015 · 天 津 · 文 T18) 已 知 {a n } 是 各 项 均 为 正 数 的 等 比 数 列 ,{b n } 是 等 差 数 列 , 且 a 1=b 1=1,b 2+b 3=2a 3,a 5-3b 2=7. (1)求{a n }和{b n }的通项公式;(2)当d>1 时,记 c n =a n,求数列{c n }的前 n 项和 T n .2(2)证明: a 2a nS n =n +n ,n∈N *.(2)设 b n = a n a n+1项和 T n .,求数列{b n }的前 n(2)令b n =(-1)n-1 4n ,求数列{b n }的前 n 项和 T n .(2)设 c n =a n b n ,n∈N *,求数列{c n }的前 n 项和.41.(2015·湖北·文 T19)设等差数列 {a n }的公差为 d,前 n 项和为 S n ,等比数列 {b n }的公比为 q,已知 b 1=a 1,b 2=2,q=d,S 10=100.(1)求数列{a n },{b n }的通项公式;b n42.(2014·全国 2·理 T17)已知数列{a n }满足 a 1=1,a n+1=3a n +1.(1)证明:{a n + 1}是等比数列,并求{a n }的通项公式;1 a 1+ 1 +…+ 1 < 3.243.(2014·福建·文 T17)在等比数列{a n }中,a 2=3,a 5=81.(1)求 a n ;(2)设 b n =log 3a n ,求数列{b n }的前 n 项和 S n .44.(2014·湖南·文 T16)已知数列{a n }的前 n 项和22(1)求数列{a n }的通项公式;(2)设 b n =2a n +(-1)n a n ,求数列{b n }的前 2n 项和.45.(2014·北京·文 T14)已知{a n }是等差数列,满足 a 1=3,a 4=12,数列{b n }满足 b 1=4,b 4=20,且{b n -a n }为等比数 列.(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式;(2)求数列{b n }的前 n 项和.46.(2014·大纲全国·理 T18)等差数列{a n }的前 n 项和为 S n .已知 a 1=10,a 2 为整数,且 S n ≤S 4. (1)求{a n }的通项公式;1 47.(2014·山东·理 T19)已知等差数列{a n }的公差为 2,前 n 项和为 S n ,且 S 1,S 2,S 4 成等比数列.(1)求数列{a n }的通项公式;a n a n+148.(2014·全国 1·文 T17)已知{a n }是递增的等差数列,a 2,a 4 是方程 x 2-5x+6=0 的根.(1)求{a n }的通项公式;22a 2n -1a 2n+1 }的前 n3 3- 2(2)求数列{a n }的前 n 项和.49.(2014·安徽·文 T18)数列{a n }满足 a 1=1,na n+1=(n+1)a n +n(n+1),n∈N *.(1)证明:数列{a n }是等差数列;n(2)设 b n =3n ·√a n ,求数列{b n }的前 n 项和 S n .50.(2014·山东·文 T19)在等差数列{a n }中,已知公差 d=2,a 2 是 a 1 与 a 4 的等比中项. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)设 b n =a n (n+1),记 T n =-b 1+b 2-b 3+b 4-…+(-1)n b n ,求 T n .51.(2014·大纲全国·文 T17)数列{a n }满足 a 1=1,a 2=2,a n+2=2a n+1-a n +2.(1)设 b n =a n+1-a n ,证明{b n }是等差数列; (2)求{a n }的通项公式.52.(2014·全国 1·理 T17)已知数列{a n }的前 n 项和为 S n ,a 1=1,a n ≠0,a n a n+1=λS n -1,其中λ为常数. (1)证明:a n+2-a n =λ;(2)是否存在λ,使得{a n }为等差数列?并说明理由.53.(2013·全国 2·文 T17)已知等差数列{a n }的公差不为零,a 1=25,且 a 1,a 11,a 13 成等比数列. (1)求{a n }的通项公式; (2)求 a 1+a 4+a 7+…+a 3n-2.54.(2013·全国 1·文 T17)已知等差数列{a n }的前 n 项和 S n 满足 S 3=0,S 5=-5. (1)求{a n }的通项公式;(2)求数列{1项和.55.(2012·湖北·理 T18 文 T20)已知等差数列{a n }前三项的和为-3,前三项的积为 8.(1)求等差数列{a n }的通项公式;(2)若 a 2,a 3,a 1 成等比数列,求数列{|a n |}的前 n 项和.56.(2011·全国·文 T17)已知等比数列{a n }中,a 1=1,公比 q=1.(1)S n 为{a n }的前 n 项和,证明:S n =1 2a n ;(2)设 b n =log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a n ,求数列{b n }的通项公式.57.(2011·全国·理 T17)等比数列{a n }的各项均为正数,且 2a 1+3a 2=1,a 3 =9a 2a 6.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)设 b n =log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a n ,求数列{}的前 n 项和.1 b n58.(2010·全国·理 T17)设数列{a n }满足 a 1=2,a n+1-a n =3·22n-1.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)令 b n =na n ,求数列{b n }的前 n 项和 S n .59.(2010·全国·文 T17)设等差数列{a n }满足 a 3=5,a 10=-9, (1)求数列{a n }的通项公式;(2)求数列{a n }的前 n 项和 S n 及使得 S n 最大的序号 n 的值.2解得{ 1 故 a n =2n-5,S n =n 2-4n,故选 A. 2 2 21 2222222232 16 21616 16 × 1 +…>1+4+7>10,故选 A.a 1+a 2+a 3+a 4=a 1(1-q ),a 1+a 2+a 3=a 1(1-q ).十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学专题 08 数列一、选择题1.(2019·全国 1·理 T9)记 S n 为等差数列{a n }的前 n 项和.已知 S 4=0,a 5=5,则()A.a n =2n-5C.S n =2n 2-8nB.a n =3n-10D.S n =1n 2-2n【答案】A【解析】由题意可知,{ S 4 = 4a 1 + 4×3 ·d = 0,a 5 = a 1 + 4d = 5,a = -3, d = 2.2.(2019·浙江·T10)设 a,b∈R,数列{a n }满足 a 1=a,a n+1=a n +b,n∈N *,则()A.当 b=1时,a 10>10C.当 b=-2 时,a 10>10B.当 b=4时,a 10>10D.当 b=-4 时,a 10>10【答案】A【解析】当b= 1 时 ,a 2= a 1 + 1 ≥ 1 ,a 3= a 2 + 1 ≥ 4 ,a 4= a 3 + 1 ≥ 17 ≥1,当 n≥4 时,a n+1= a n + 1≥ a n ≥1,则lo g 17 a n+1>2lo g 17 a n ⇒lo g 17 a n+1>2n-1, 则 a n+1≥ （ 17 ）1616162n -1(n≥4), 则 a 10≥ （ 17 ） 26 = （ 1+ 16 ） 64=1+ 64 +64×63 2 1623.(2018·全国 1·理 T4)记 S n 为等差数列{a n }的前 n 项和,若 3S 3=S 2+S 4,a 1=2,则 a 5=()A.-12B.-10C.10D.12【答案】B【解析】因为 3S 3=S 2+S 4,所以 3S 3=(S 3-a 3)+(S 3+a 4),即 S 3=a 4-a 3.设公差为 d,则 3a 1+3d=d,又由 a 1=2,得 d=-3,所以 a 5=a 1+4d=-10.4.(2018·浙江·T10)已知 a 1,a 2,a 3,a 4 成等比数列,且 a 1+a 2+a 3+a 4=ln(a 1+a 2+a 3).若 a 1>1,则( )A.a 1<a 3,a 2<a 4B.a 1>a 3,a 2<a 4C.a 1<a 3,a 2>a 4D.a 1>a 3,a 2>a 4【答案】B【解析】设等比数列的公比为 q,则4 3 1-q1-q3 3 a n , 由题意 , an = 12√2(n≥2),所以 {a n } 为等比数列 , 因为 a 1=f,所以为 n,则前 n 组的项数和为n (1n ).第 n 组的和为1-2 =2n -1,前 n 组总共的和为2(1-2 )-n=2n+1-2-n.∵a 1+a 2+a 3+a 4=ln(a 1+a 2+a 3),∴a 1+a 2+a 3=e a 1a2a 3a4,即 a 1(1+q+q 2)=e a 1(1qq2q 3).又 a 1>1,∴q<0.假设 1+q+q 2>1,即 q+q 2>0,解得 q<-1(q>0 舍去).由 a 1>1,可知 a 1(1+q+q 2)>1,∴a 1(1+q+q 2+q 3)>0,即 1+q+q 2+q 3>0,即(1+q)+q 2(1+q)>0,即(1+q)(1+q 2)>0,这与 q<-1 相矛盾.∴1+q+q 2<1,即-1<q<0.∴a 1>a 3,a 2<a 4.5.(2018·北京·理 T4 文 T5)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于 12√2.若第一个单音的频率为 f,则第八个单音的频率为()A. √2fB. √22f C. 12√25fD. 12√27f【答案】D【解析】设第 n 个单音的频率为a n -1a 8=a 1×(12√2)7= 12√27f,故选 D.6.(2017·全国 1·理 T12)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动 .这款软件的激活码为下面数学问题的答案 :已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是 20,接下来的两项是 20,21,再接下来的三项是 20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数 N:N>100 且该数列的前 N 项和为 2 的整数幂.那么该款软件的激活码是()A.440B.330C.220D.110【答案】A【解析】设数列的首项为第 1 组,接下来两项为第 2 组,再接下来三项为第 3 组,以此类推,设第 n 组的项数n n2 1-2 1-2由题意,N>100,令n (1n )>100,得 n≥14 且 n∈N *,即 N 出现在第 13 组之后.若要使最小整数 N 满足:N>100 且2前 N 项和为 2 的整数幂,则 S N -S n (1n )应与-2-n 互为相反数,即 2k -1=2+n(k∈N *,n≥14),所以 k=log 2(n+3),解 2得 n=29,k=5.22-a 3 31 3所以 N=29×(1+29 )+5=440,故选 A. 27.(2017·全国 3·理 T9)等差数列{a n }的首项为 1,公差不为 0.若 a 2,a 3,a 6 成等比数列,则{a n }前 6 项的和为( )A.-24B.-3C.3D.8【答案】A【解析】设等差数列的公差为 d,则 d≠0,a 23 =a 2·a 6,即(1+2d)2=(1+d)(1+5d),解得 d=-2,所以 S 6=6×1+6×5×(-2)=-24,故选 A.8.(2016·全国 1·理 T3)已知等差数列{a n }前 9 项的和为 27,a 10=8,则 a 100=()A.100B.99C.98D.97【答案】C【解析】因为 S 9=(a 1 +a9 )×9=27,a 1+a 9=2a 5,所以 a 5=3.又因为 a 10=8,所以 d=a 10-55=1.故 a 100=a 10+(100-10)×1=98.9.(2015·浙江·理 T13)已知{a n }是等差数列,公差 d 不为零,前 n 项和是 S n ,若 a 3,a 4,a 8 成等比数列,则( A.a 1d>0,dS 4>0 B.a 1d<0,dS 4<0 C.a 1d>0,dS 4<0 D.a 1d<0,dS 4>0【答案】B【解析】设{a n }的首项为 a 1,公差为 d,则 a 3=a 1+2d,a 4=a 1+3d,a 8=a 1+7d.∵a 3,a 4,a 8 成等比数列,∴(a 1+3d)2=(a 1+2d)(a 1+7d),即 3a 1d+5d 2=0.∵d≠0,∴a 1d=-5d 2<0,且 a 1=-5d.∵dS 4=4d(a 2+a 4)=2d(2a 1+3d)=-2d 2<0.10.(2015·全国 2·文 T5)设 S n 是等差数列{a n }的前 n 项和,若 a 1+a 3+a 5=3,则 S 5=()A.5B.7C.9D.11【答案】A【解析】由 a 1+a 3+a 5=3 及等差中项,得 3a 3=3,解得 a 3=1.故)2B.192C.10D.12【解析】由题意知a 1+a 3+a 5=1+q 2+q 4=21=7,解得 q 2=2(负值舍去).∴a 3+a 5+a 7=(a 1+a 3+a 5)q 2=21×2=42.a 1 222 2424 2S 5=5(a 1+a 5)=5a 3=5.11.(2015·全国 1·文 T7)已知{a n }是公差为 1 的等差数列,S n 为{a n }的前 n 项和.若 S 8=4S 4,则 a 10= ()A.17【答案】B【解析】∵公差 d=1,S 8=4S 4,∴8(a 1+a 8) = 4×4(a 1+a 4),22即 2a 1+7d=4a 1+6d,解得 a 1=1.∴a 10=a 1+9d=1+9=19.12.(2015·全国 2·理 T4)已知等比数列{a n }满足 a 1=3,a 1+a 3+a 5=21,则 a 3+a 5+a 7=()A.21B.42C.63D.84【答案】B313.(2015·全国 2·文 T9)已知等比数列{a n }满足 a 1=1,a 3a 5=4(a 4-1),则 a 2=()A.2B.1C. 12D.1 8【答案】C【解析】∵a 3a 5=4(a 4-1),∴a 4 =4(a 4-1),解得 a 4=2.又 a 4=a 1q 3,且 a 1=1,∴q=2.∴a 2=a 1q=1.14.(2014·大纲全国·文 T8)设等比数列{a n }的前 n 项和为 S n .若 S 2=3,S 4=15,则 S 6=()A.31B.32C.63D.64【答案】C【 解 析 】 由 等 比 数 列 前 n 项 和 的 性 质 , 得 S 2,S 4-S 2,S 6-S 4 成 等 比 数 列 , 所 以 (S 4-S 2)2=S 2(S 6-S 4), 即(15-3)2=3(S 6-15),解得 S 6=63,故选 C.15.(2014·全国 2·文 T5)等差数列{a n }的公差为 2,若 a 2,a 4,a 8 成等比数列,则{a n }的前 n 项和 S n =( )A.n(n+1)C.n (n+1)2【答案】AB.n(n-1)D.n (n -1)23B.-13C.19D.-1q 4 = 9 = 1.【解析】由 S 3=a 2+10a 1,得 a 1+a 2+a 3=a 2+10a 1,整理得 a 3=9a 1,所以 q 2= 3=9.由 a 5=9,得 a 1= a123=1-2a n【解析】S n =a 1(1-q )1-q=a 1-a n q3 1-2 2 = 5a ,c =3 2 = 7a ,a 2=a 1,b 2=3 1 6 6 2 = 13a , 同理,a 3=a 1,b 3=6 112 2 23 3 2 2 2a 1 a 16√152a 13 a 1612 2a 15 724【解析】∵a 2,a 4,a 8 成等比数列,∴ =a 2·a 8,即(a 1+6)2=(a 1+2)(a 1+14),解得 a 1=2.∴S n =na 1+n (n -1)d=2n+n 2-n=n 2+n=n(n+1).16.(2013·全国 2·理 T3)等比数列{a n }的前 n 项和为 S n .已知 S 3=a 2+10a 1,a 5=9,则 a 1=()A.19【答案】Ca a 5 92 9 17.(2013·全国 1·文 T6)设首项为 1,公比为2的等比数列{a n }的前 n 项和为 S n ,则( )A.S n =2a n -1B.S n =3a n -2C.S n =4-3a nD.S n =3-2a n【答案】Dn3=3-2a n .18.(2013·全国 1·理 T12)设 A △n B n C n 的三边长分别为 a n ,b n ,c △n ,A nB nC n 的面积为 S n ,n=1,2,3,….若b 1>c 1,b 1+c 1=2a 1,a n+1=a n ,b n+1=c n +a n ,c n+1=b n +a n ,则()A.{S n }为递减数列B.{S n }为递增数列C.{S 2n-1}为递增数列,{S 2n }为递减数列D.{S 2n-1}为递减数列,{S 2n }为递增数列 【答案】B【解析】因为 b 1>c 1,不妨设 b 1=4a 1,c 1=2a 1,p=1(a 1+b 1+c 1)=3a 1,则 S 1=√3a 1 · 2 · 6 · 5a 1= 12 a 21;2a +a 4a +a11 1121S 2=√3a 1 · 2 · 2a 1· 3 = √6 a 21;显然 S 2>S 1.7a +a115a +a c 3=6 12 1 = 11a 1,S 3=√3a 1 · 2 · 12 a 1· 12 a 1 = √105 a 21,显然 S 3>S 2.21 联立{a 4a = -8 可解得{a 4 = -2 或 {a 4 = 4,当{a 4 = -2时,q 3=-1, 2当{a 4 = 4时,q 3=-2,同理,有 a 1+a 10=-7. q 319.(2013·全国 1·理 T7)设等差数列{a n }的前 n 项和为 S n ,若 S m-1=-2,S m =0,S m+1=3,则 m= ()A.3B.4C.5D.6【答案】C【解析】∵S m-1=-2,S m =0,S m+1=3,∴a m =S m -S m-1=2,a m+1=S m+1-S m =3. ∴d=a m+1-a m =3-2=1.∵S m =m (a 1+a m ) = m (a 2+2)=0,∴a 1=-2,a m =-2+(m-1)×1=2.∴m=5.20.(2012·全国·理 T5)已知{a n }为等比数列,a 4+a 7=2,a 5a 6=-8,则 a 1+a 10=( )A.7B.5C.-5D.-7【答案】D【解析】∵{a n }为等比数列,∴a 5a 6=a 4a 7=-8. a + a = 2, a = 4, a = -2, 4 777a = 4, 7故 a 1+a 10=a 4+a 7q 3=-7;a = -2, 721.(2012·全国·文 T12)数列{a n }满足 a n+1+(-1)n a n =2n-1,则{a n }的前 60 项和为()A.3 690B.3 660C.1 845D.1 830【答案】D【解析】∵a n+1+(-1)n a n =2n-1,∴a 2=1+a 1,a 3=2-a 1,a 4=7-a 1,a 5=a 1,a 6=9+a 1,a 7=2-a 1,a 8=15-a 1,a 9=a 1,a 10=17+a 1,a 11=2-a 1,a 12=23-a 1,…,a 57=a 1,a 58=113+a 1,a 59=2-a 1,a 60=119-a 1,∴a 1+a 2+…+a 60=(a 1+a 2+a 3+a 4)+(a 5+a 6+a 7+a 8)+…+(a 57+a 58+a 59+a 60) =10+26+42+…+234=15×(10+234)=1 830.二、填空题1.(2019·全国 3·文 T14)记 S n 为等差数列{a n }的前 n 项和.若 a 3=5,a 7=13,则 S 10=.【答案】100【解析】设等差数列{a n }的公差为 d,则{a 3 = a 1 + 6d = 13,解得{d 1= 2. 2.(2019·全国 3·理 T14)记 S n 为等差数列{a n }的前 n 项和.若 a 1≠0,a 2=3a 1,则S 10=.2 d=10×1+ 2S 5 =10a 1+10×9d5a 1+ 25.(2019·全国 1·文 T14)记 S n 为等比数列{a n }的前 n 项和.若 a 1=1,S 3= ,则 S 4=.4a = a + 2d = 5, a = 1,71故 S 10=10a 1+10×9 10×9×2=100.S 5【答案】4【解析】设等差数列{a n }的公差为 d.∵a 1≠0,a 2=3a 1, ∴a 1+d=3a 1,即 d=2a 1.∴S 102 5×4d = 100a 1=4. 25a 13.(2019·江苏·T 8)已知数列 {a n }(n ∈N *)是等差数列 ,S n 是其前 n 项和 .若 a 2a 5+a 8=0,S 9=27,则 S 8 的值是.【答案】16【解析】∵{a n }为等差数列,设公差为 d,a 2a 5+a 8=0,S 9=27,∴(a 1 + d )(a 1 + 4d ) + a 1 + 7d = 0,①{9×89a 1 + 2 d = 27,②整理②得 a 1+4d=3,即 a 1=3-4d,③把③代入①解得 d=2,∴a 1=-5. ∴S 8=8a 1+28d=16.4.(2019·北京·理 T10)设等差数列{a n }的前 n 项和为 S n .若 a 2=-3,S 5=-10,则 a 5= ,S n 的最小值为.【答案】0-10【解析】等差数列{a n }中,由 S 5=5a 3=-10,得 a 3=-2,又 a 2=-3,公差 d=a 3-a 2=1,a 5=a 3+2d=0,由等差数列{a n }的性质得当 n≤5 时,a n ≤0,当 n≥6 时,a n 大于 0,所以 S n 的最小值为 S 4 或 S 5,即为-10.3 4【答案】58【解析】设等比数列{a n }的公比为 q.S 3=a 1+a 1q+a 1q 2=1+q+q 2=3,即 q 2+q+1=0.解得 q=-1.42=1--1)1+1 323 32 93 ∴S 5=a 1(1-q )1-q=3(1-3 ) 3 S 6=-1(1-2 )=-63.9.(2018·上海·T10)设等比数列{a n } 的通项公式为a n =q n-1(n ∈N *), 前 n 项和为 S n , 若 lim S n = 1 , 则n →∞ a n+1【解析】由 a n =q n-1,得 a n+1=q n .当 q=1 时,不满足题意;当 q≠1 时,S n =a 1(1-q ) = 1-q .若 0<|q|<1,则 lim 不存在;若|q|>1,则 lim S n = lim = lim1-q = 1,解得 q=3.故 S 4=a 1 (1-q 4) 22 4 = 5. 86.(2019·全国 1·理 T14)记 S n 为等比数列{a n }的前 n 项和.若 a 1=1 , a 4 =a 6,则 S 5=________.【答案】1213【解析】设等比数列{a n }的公比为 q,则 a 4=a 1q 3=1q 3,a 6=a 1q 5=1q 5.∵a 4 =a 6,∴1q 6=1q 5.∵q≠0,∴q=3.5 1 51-3 = 121.7.(2018·全国 1·理 T14)记 S n 为数列{a n }的前 n 项和.若 S n =2a n +1,则 S 6=.【答案】-63【解析】∵S n =2a n +1,①∴S n-1=2a n-1+1(n≥2).②①-②,得 a n =2a n -2a n-1,即 a n =2a n-1(n≥2).又 S 1=2a 1+1,∴a 1=-1.∴{a n }是以-1 为首项,2 为公比的等比数列,则6 1-28.(2018·北京·理 T9)设{a n }是等差数列,且 a 1=3,a 2+a 5=36,则{a n }的通项公式为.【答案】a n =6n-3【解析】∵{a n }为等差数列,设公差为 d, ∴a 2+a 5=2a 1+5d=36.∵a 1=3,∴d=6.∴a n =3+(n-1)×6=6n -3.2q=.【答案】3nn 1-q1-q1-q nn →∞ (1-q )q n1-q n 1 n →∞ a n+1n →∞ (1-q )q nn →∞ (1-q ) · 1 -1)=- 1q n 211.(2017·全国 2·理 T15)等差数列{a n }的前 n 项和为 S n ,a 3=3,S 4=10,则 ∑ 1=____________.a 1,10, d 1.n (n+1)=2(1 - 1 ). 2 22所以 ∑ 1 =2[(1- 1) + (1 - 1)+…+(1 - 1 )]=2(1- 1 ) n2nk1 S k得{ 1 解得{q 1 -2,故 a 4=a 1q 3=-8.744 710.(2018·江苏·T 14)已知集合 A={x|x=2n-1,n∈N *},B={x|x=2n ,n∈N *}.将 A∪B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{a n }.记 S n 为数列{a n }的前 n 项和,则使得 S n >12a n+1 成立的 n 的最小值为.【答案】27【解析】①若 a n+1=2k (k∈N *),则 S n =21+22+…+2k-1+1+3+…+2k -1=2k -2+(2k-1)2⇒(2k-1)2+2k -2>12·2k .令 2k =t ⇒1t 2+t-2>12t ⇒t(t-44)>8.4∴t≥64⇒k≥6.此时,n=k-1+2k-1=37.②若 a n+1=2k+1(k∈N *),则 S n =21+22+…+2t +1+3+…+2k -1(2t <2k+1,t∈N *), ∴S n =2t+1-2+k 2>12(2k+1)⇒2t+1>-k 2+24k+14. ∴-k 2+24k+14<2t+1<4k+2⇒k(k-20)>12.取 k=21,此时77<2t <43(舍),取 k=22,29<2t <45,t=5,n=5+22=27.2由①②,得 n min =27.n k1 S k【答案】 2nn+1【解析】设等差数列的首项为 a 1,公差为 d,由题意可知{所以 S n =na 1+n (n -1)d=n (1+n ).所以 12 S n n n+1 a 1 + 2d 3,4a 1 + 4×3 d解得{ 1.22 3 n n+1 n+1 n+112.(2017·全国 3·理 T14)设等比数列{a n }满足 a 1+a 2=-1,a 1-a 3=-3,则 a 4=.【答案】-8【解析】设{a n }的公比为 q,则由题意, a (1 + q )-1, a1,a 1(1-q 2) -3,13.(2017·江苏·理 T9 文 T9)等比数列{a n }的各项均为实数,其前 n 项和为 S n .已知 S 3=4,S 6=63,则 a 8=.【答案】32【解析】设该等比数列的公比为 q,则 S 6-S 3=63 − 4=14,即 a 4+a 5+a 6=14.①。
【必刷十年真题】专题07 数列-高考数学(理)(2010-2019)(新课标Ⅰ卷)(原卷版+解析版)
为（
）
A．1 B．2 C．4 D．8
3 读万卷书 行万里路
旗开得胜
4．【2017 年新课标 1 理科 12】几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习
数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：
已知数列 1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是 20，接下来的两项是
16．已知数列{an} 满足
2(n
+ 1)an
−
nan+1
=
0,
a1
=
4
，则数列
(n
+ 1)
an (
+
2)
的前
n
项和为___________.
17．定义：从数列{an}中抽取 m(m ∈ N, m ≥ 3) 项按其在{an}中的次序排列形成一个新数列{bn} ，则称{bn} 为{an}的子数列；若{bn} 成等差（或等比），则称{bn} 为{an}的等差（或等比）子数列.
20，21，再接下来的三项是 20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数 N：N＞100 且该数列的
前 N 项和为 2 的整数幂．那么该款软件的激活码是（
）
A．440 B．330 C．220 D．110 5．【2016 年新课标 1 理科 03】已知等差数列{an}前 9 项的和为 27，a10＝8，则 a100＝（ ）
5 读万卷书 行万里路
（Ⅱ）是否存在 λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．
旗开得胜
16．【2011 年新课标 1 理科 17】等比数列{an}的各项均为正数，且 2a1+3a2＝1，a32＝9a2a6， （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设 bn＝log3a1+log3a2+…+log3an，求数列{ }的前 n 项和．
(北京卷)十年真题(2010_2019)高考数学真题分类汇编专题07数列文(含解析)
专题07数列历年考题细目表历年高考真题汇编1．【2018年北京文科04】设a，b，c，d是非零实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若a，b，c，d成等比数列，则ad＝bc，反之数列﹣1，﹣1，1，1．满足﹣1×1＝﹣1×1，但数列﹣1，﹣1，1，1不是等比数列，即“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要不充分条件．故选：B．2．【2012年北京文科06】已知{a n}为等比数列，下面结论中正确的是（）A．a1+a3≥2a2B．a12+a32≥2a22C．若a1＝a3，则a1＝a2D．若a3＞a1，则a4＞a2【解答】解：设等比数列的公比为q，则a1+a3，当且仅当a2，q同为正时，a1+a3≥2a2成立，故A 不正确；，∴，故B正确；若a1＝a3，则a1＝a1q2，∴q2＝1，∴q＝±1，∴a1＝a2或a1＝﹣a2，故C不正确；若a3＞a1，则a1q2＞a1，∴a4﹣a2＝a1q（q2﹣1），其正负由q的符号确定，故D不正确故选：B．3．【2013年北京文科11】若等比数列{a n}满足a2+a4＝20，a3+a5＝40，则公比q＝；前n项和S n ＝．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a2+a4＝a2（1+q2）＝20①a3+a5＝a3（1+q2）＝40②∴①②两个式子相除，可得到 2即等比数列的公比q＝2，将q＝2带入①中可求出a2＝4则a1 2∴数列{a n}时首项为2，公比为2的等比数列．∴数列{a n}的前n项和为：S n2n+1﹣2．故答案为：2，2n+1﹣2．4．【2012年北京文科10】已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和，若a1，S2＝a3，则a2＝，S n ＝．【解答】解：根据{a n}为等差数列，S2＝a1+a2＝a3a2；∴d＝a3﹣a2∴a2 1S n故答案为：1，5．【2011年北京文科12】在等比数列{a n}中，a1，a4＝﹣4，则公比q＝；a1+a2+…+a n＝．【解答】解：q38∴q＝﹣2；由a1，q＝﹣2，得到：等比数列的前n项和S n＝a1+a2+…+a n．故答案为：﹣2；6．【2019年北京文科16】设{a n}是等差数列，a1＝﹣10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）记{a n}的前n项和为S n，求S n的最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵{a n}是等差数列，a1＝﹣10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列．∴（a3+8）2＝（a2+10）（a4+6），∴（﹣2+2d）2＝d（﹣4+3d），解得d＝2，∴a n＝a1+（n﹣1）d＝﹣10+2n﹣2＝2n﹣12．（Ⅱ）由a1＝﹣10，d＝2，得：S n＝﹣10n n2﹣11n＝（n）2，∴n＝5或n＝6时，S n取最小值﹣30．7．【2018年北京文科15】设{a n}是等差数列，且a1＝ln2，a2+a3＝5ln2．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求．【解答】解：（Ⅰ）{a n}是等差数列，且a1＝ln2，a2+a3＝5ln2．可得：2a1+3d＝5ln2，可得d＝ln2，{a n}的通项公式；a n＝a1+（n﹣1）d＝nln2，（Ⅱ）2n，∴21+22+23+…+2n2n+1﹣2．8．【2017年北京文科15】已知等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1＝b1＝1，a2+a4＝10，b2b4＝a5．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求和：b1+b3+b5+…+b2n﹣1．【解答】解：（Ⅰ）等差数列{a n}，a1＝1，a2+a4＝10，可得：1+d+1+3d＝10，解得d＝2，所以{a n}的通项公式：a n＝1+（n﹣1）×2＝2n﹣1．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得a5＝a1+4d＝9，等比数列{b n}满足b1＝1，b2b4＝9．可得b3＝3，或﹣3（舍去）（等比数列奇数项符号相同）．∴q2＝3，{b2n﹣1}是等比数列，公比为3，首项为1．b1+b3+b5+…+b2n﹣1．9．【2016年北京文科15】已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4．（1）求{a n}的通项公式；（2）设c n＝a n+b n，求数列{c n}的前n项和．【解答】解：（1）设{a n}是公差为d的等差数列，{b n}是公比为q的等比数列，由b2＝3，b3＝9，可得q3，b n＝b2q n﹣2＝3•3n﹣2＝3n﹣1；即有a1＝b1＝1，a14＝b4＝27，则d2，则a n＝a1+（n﹣1）d＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1；（2）c n＝a n+b n＝2n﹣1+3n﹣1，则数列{c n}的前n项和为（1+3+…+（2n﹣1））+（1+3+9+…+3n﹣1）n•2n＝n2．10．【2015年北京文科16】已知等差数列{a n}满足a1+a2＝10，a4﹣a3＝2（1）求{a n}的通项公式；（2）设等比数列{b n}满足b2＝a3，b3＝a7，问：b6与数列{a n}的第几项相等？【解答】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d．∵a4﹣a3＝2，所以d＝2∵a1+a2＝10，所以2a1+d＝10∴a1＝4，∴a n＝4+2（n﹣1）＝2n+2（n＝1，2，…）（II）设等比数列{b n}的公比为q，∵b2＝a3＝8，b3＝a7＝16，∴∴q＝2，b1＝4∴128，而128＝2n+2∴n＝63∴b6与数列{a n}中的第63项相等11．【2014年北京文科15】已知{a n}是等差数列，满足a1＝3，a4＝12，数列{b n}满足b1＝4，b4＝20，且{b n ﹣a n}为等比数列．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和．【解答】解：（1）∵{a n}是等差数列，满足a1＝3，a4＝12，∴3+3d＝12，解得d＝3，∴a n＝3+（n﹣1）×3＝3n．设等比数列{b n﹣a n}的公比为q，则q38，∴q＝2，∴b n﹣a n＝（b1﹣a1）q n﹣1＝2n﹣1，∴b n＝3n+2n﹣1（n＝1，2，…）．（2）由（1）知b n＝3n+2n﹣1（n＝1，2，…）．∵数列{a n}的前n项和为n（n+1），数列{2n﹣1}的前n项和为12n﹣1，∴数列{b n}的前n项和为n（n+1）+2n﹣1．12．【2013年北京文科20】给定数列a1，a2，…，a n．对i＝1，2，…，n﹣1，该数列前i项的最大值记为A i，后n﹣i项a i+1，a i+2，…，a n的最小值记为B i，d i＝A i﹣B i．（Ⅰ）设数列{a n}为3，4，7，1，写出d1，d2，d3的值；（Ⅱ）设a1，a2，…，a n﹣1（n≥4）是公比大于1的等比数列，且a1＞0．证明：d1，d2，…，d n﹣1是等比数列；（Ⅲ）设d1，d2，…，d n﹣1是公差大于0的等差数列，且d1＞0．证明：a1，a2，…，a n﹣1是等差数列．【解答】解：（Ⅰ）当i＝1时，A1＝3，B1＝1，故d1＝A1﹣B1＝2，同理可求d2＝3，d3＝6；（Ⅱ）由a1，a2，…，a n﹣1（n≥4）是公比q大于1的等比数列，且a1＞0，则{a n}的通项为：a n＝a1q n﹣1，且为单调递增的数列．于是当k＝1，2，…n﹣1时，d k＝A k﹣B k＝a k﹣a k+1，进而当k＝2，3，…n﹣1时， q为定值．∴d1，d2，…，d n﹣1是等比数列；（Ⅲ）设d为d1，d2，…，d n﹣1的公差，对1≤i≤n﹣2，因为B i≤B i+1，d＞0，所以A i+1＝B i+1+d i+1≥B i+d i+d＞B i+d i＝A i，又因为A i+1＝max{A i，a i+1}，所以a i+1＝A i+1＞A i≥a i．从而a1，a2，…，a n﹣1为递增数列．因为A i＝a i（i＝1，2，…n﹣1），又因为B1＝A1﹣d1＝a1﹣d1＜a1，所以B1＜a1＜a2＜…＜a n﹣1，因此a n＝B1．所以B1＝B2＝…＝B n﹣1＝a n．所以a i＝A i＝B i+d i＝a n+d i，因此对i＝1，2，…，n﹣2都有a i+1﹣a i＝d i+1﹣d i＝d，即a1，a2，…，a n﹣1是等差数列．13．【2011年北京文科20】若数列A n：a1，a2，…，a n（n≥2）满足|a k+1﹣a k|＝1（k＝1，2，…，n﹣1），则称A n为E数列，记S（A n）＝a1+a2+…+a n．（Ⅰ）写出一个E数列A5满足a1＝a3＝0；（Ⅱ）若a1＝12，n＝2000，证明：E数列A n是递增数列的充要条件是a n＝2011；（Ⅲ）在a1＝4的E数列A n中，求使得S（A n）＝0成立得n的最小值．【解答】解：（Ⅰ）0，1，0，1，0是一个满足条件的E数列A5（答案不唯一，0，﹣1，0，﹣1，0或0，±1，0，1，2或0，±1，0，﹣1，﹣2或0，±1，0，﹣1，0都满足条件的E数列A5）（Ⅱ）必要性：因为E数列A n是递增数列所以a k+1﹣a k＝1（k＝1，2， (1999)所以A n是首项为12，公差为1的等差数列．所以a2000＝12+（2000﹣1）×1＝2011充分性：由于a2000﹣a1999≤1a1999﹣a1998≤1…a2﹣a1≤1，所以a2000﹣a1≤1999，即a2000≤a1+1999又因为a1＝12，a2000＝2011所以a2000≤a1+1999故a k+1﹣a k＝1＞0（k＝1，2，…，1999），即A n是递增数列．综上所述，结论成立．（Ⅲ）对首项为4的E数列A n，由于a2≥a1﹣1＝3a3≥a2﹣1≥2…a8≥a7﹣1≥﹣3…所以a 1+a 2+…+a k ＞0（k ＝2，3，…，8），所以对任意的首项为4的E 数列A n ，若S （A n ）＝0，则必有n ≥9，又a 1＝4的E 数列A 9：4，3，2，1，0，﹣1，﹣2，﹣3，﹣4满足S （A 9）＝0， 所以n 的最小值是9．14．【2010年北京文科16】已知{a n }为等差数列，且a 3＝﹣6，a 6＝0． （Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）若等比数列{b n }满足b 1＝﹣8，b 2＝a 1+a 2+a 3，求数列{b n }的前n 项和公式． 【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n }的公差d ． 因为a 3＝﹣6，a 6＝0所以解得a 1＝﹣10，d ＝2所以a n ＝﹣10+（n ﹣1）•2＝2n ﹣12 （Ⅱ）设等比数列{b n }的公比为q 因为b 2＝a 1+a 2+a 3＝﹣24，b 1＝﹣8， 所以﹣8q ＝﹣24，即q ＝3，所以{b n }的前n 项和公式为考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：数列的概念与简单表示法，等差数列及其前n 项和，等比数列及其前n 项和，数列求和，数列求通项等.历年考题主要以选择填空或解答题题型出现.重点考查的知识点为：等差数列及其前n 项和，等比数列及其前n 项和，数列求和，数列求通项等.预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以知识点等差数列及其前n 项和，等比数列及其前n 项和，数列求和，数列求通项为重点较佳.最新高考模拟试题1．等差数列{}n a ，等比数列{}n b ，满足111a b ==，53a b =，则9a 能取到的最小整数是（ ） A ．1-B ．0C ．2D ．3【答案】B 【解析】等差数列{}n a 的公差设为d ，等比数列{}n b 的公比设为q ，0q ≠，由111a b ==，53a b =，可得214d q +=，则，可得9a 能取到的最小整数是0． 故选：B ．2．中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问題:今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰:“我羊食半马、“马主曰:“我马食半牛，”今欲衰偿之，问各出几何?此问题的译文是:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟、羊主人说:“我羊所吃的禾苗只有马的一半，”马主人说:“我马所吃的禾苗只有牛的一半，“打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？该问题中，1斗为10升，则马主人应偿还( )升粟？ A ．253B ．503C ．507D ．1007【答案】D 【解析】因为5斗=50升，设羊、马、牛的主人应偿还的量分别为123,,a a a ， 由题意可知其构成了公比为2的等比数列，且350S =则，解得1507a =， 所以马主人要偿还的量为：，故选D.3．我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：如图，将1，2，…，9填入33⨯的方格内，使三行，三列和两条对角线上的三个数字之和都等于15.一般地，将连续的正整数21,2,3,,n 填入n n ⨯个方格中，使得每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个正方形叫做n 阶幻方.记n 阶幻方的对角线上的数字之和为n N ，如图三阶幻方的315N =，那么 9N 的值为（ ）A ．41B ．45C ．369D ．321【答案】C 【解析】根据题意可知，幻方对角线上的数成等差数列，，，，…．故.故选：C4．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，则数列13n S n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前10项的和是（ ） A ．290 B ．920C ．511D ．1011【答案】C 【解析】由得，当2n ≥时，，整理得，所以{}n a 是公差为4的等差数列，又11a =，所以，从而，所以，数列13n S n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前10项的和.故选C .5．意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：，即，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等都有着广泛的应用．若此数列被2整除后的余数构成一个新数列{}n a ，则数列{}n a 的前2019项的和为（ ） A ．672 B ．673C ．1346D ．2019【答案】C 【解析】 由数列各项除以2的余数， 可得{}n a 为，所以{}n a 是周期为3的周期数列， 一个周期中三项和为1102++=， 因为，所以数列{}n a 的前2019项的和为，故选C.6．已知数列{}n a 是等比数列，数列{}n b 是等差数列，若，，则的值是（ ）A ．1B ．2C ．2-D ．【答案】D 【解析】{}n a 是等比数列6a ∴={}n b 是等差数列673b π∴=本题正确选项：D 7．已知数列{}n a 满足，设数列{}n b 满足：121n n n n b a a ++=，数列{}n b 的前n 项和为nT，若恒成立，则实数λ的取值范围为（ ）A ．1[,)4+∞B ．1(,)4+∞C ．3[,)8+∞D ．3(,)8+∞【答案】D 【解析】 解：数列{}n a 满足，①当2n ≥时，，②①﹣②得：12n a n n=， 故：22n a n =，数列{}n b满足：，则：，由于恒成立，故：，整理得：244n n λ+>+，因为在*n N ∈上单调递减，故当1n =时，所以38λ>． 故选：D ．8．已知函数()y f x =的定义域为R ，当0x <时()1f x >，且对任意的实数,x y R ∈，等式成立，若数列{}n a 满足，且()10a f =，则下列结论成立的是（ ） A ． B ． C ．D ．【答案】A 【解析】由，令0x =，1y =-，则0x <时，()1f x > ()11f ∴-> ()01f ∴= 11a ∴=当0x >时，令y x =-，则，即又()1f x -> ∴当0x >时，令21x x >，则21>0-x x，即()f x ∴在R 上单调递减又令1n =，212a =-；令2n =，32a =-；令3n =，41a = ∴数列{}n a 是以3为周期的周期数列，，，，()f x 在R 上单调递减，，，本题正确选项：A 9．在数列{}n a 中，，则2019a 的值为______．【答案】1 【解析】 因为所以，...,,各式相加，可得，，所以，20191a =，故答案为1. 10．已知正项等比数列{}n a 满足，若存在两项m a ，n a ，使得，则91m n+的最小值为__________． 【答案】2 【解析】正项等比数列{}n a 满足，，整理，得210+2q q -=，又0q >，解得，12q =，存在两项m a ，n a 使得1a ，，整理，得8m n +=，∴，则91m n+的最小值为2． 当且仅当9m n n m=取等号，但此时m ，*n N ∉．又8m n +=， 所以只有当6m =，2n =时，取得最小值是2． 故答案为：211．已知数列{}n a 满足对，都有成立，72a π=，函数()f x =，记()n n y f a =，则数列{}n y 的前13项和为______． 【答案】26 【解析】 解：对，都有成立，可令1m =即有，为常数，可得数列{}n a 为等差数列，函数，由，可得()f x 的图象关于点,22π⎛⎫⎪⎝⎭对称，，∴，∴可得数列{}n y 的前13项和为．故答案为：26．12．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足，则n a =_____．【答案】122n +- 【解析】由题意，数列{}n a 满足，则，两式相减可得，即整理得，即，即，当1n =时，1122S a =+，即1122a a =+，解得12a =-， 所以数列{}2n a -表示首项为124a -=-，公比为2的等比数列， 所以，所以122n n a +=-.13．等差数列{}n a 中，410a =且3a ，6a ，10a 成等比数列，数列{}n a 前20项的和20S =____ 【答案】200或330 【解析】设数列{}n a 的公差为d ，则，，由3610,,a a a 成等比数列，得23106a a a =，即，整理得，解得0d =或1d =，当0d =时，；当1d =时，，于是，故答案为200或330.14．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若，则631S S +取得最小值时，9S 的值为_______．【解析】由，得：q≠1，所以，化简得：，即，即，得32q =，化简得631S S +＝＝，当11311a q q a -=-，即1a =时，631S S +取得最小值，所以＝3故答案为：315．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足，则5S =____．【答案】3116【解析】 解：，可得1n =时，11a = ，2n ≥时，，又，两式相减可得121n n a -=，即112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，上式对1n =也成立，可得数列{}n a 是首项为1，公比为12的等比数列， 可得．故答案为：3116．16．已知数列{}n a 满足，则数列的前n 项和为___________.【答案】2222n n +-+【解析】由，得，所以数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1141a a ==为首项，2为公比的等比数列，于是，所以12n n a n +=⋅，因为，所以的前n 项和2222n n +=-+. 17．定义：从数列{}n a 中抽取项按其在{}n a 中的次序排列形成一个新数列{}n b ，则称{}n b 为{}n a 的子数列；若{}n b 成等差（或等比），则称{}n b 为{}n a 的等差（或等比）子数列. （1）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知21n n S =-. ①求数列{}n a 的通项公式；②数列{}n a 是否存在等差子数列，若存在，求出等差子数列；若不存在，请说明理由. （2）已知数列{}n a 的通项公式为，证明：{}n a 存在等比子数列.【答案】（1）①12n n a -=；②见解析；（2）见证明【解析】解：（1）①因为21n n S =-，所以当1n =时，，当2n ≥时，，所以.综上可知：12n n a -=.②假设从数列{}n a 中抽3项成等差，则，即，化简得：.因为k l m <<，所以0l k ->，0m k ->，且l k -，m k -都是整数， 所以22l k -⨯为偶数，12m k -+为奇数，所以不成立.因此，数列{}n a 不存在三项等差子数列.若从数列{}n a 中抽项，其前三项必成等差数列，不成立.综上可知，数列{}n a 不存在等差子数列.（2）假设数列{}n a 中存在3项0n a +，0n a k ++，成等比.设0n a b +=，则b Q +∈，故可设qb p=（p 与q 是互质的正整数）. 则需满足，即需满足，则需满足.取k q =，则2l k pq =+.此时，.故此时成立.因此数列{}n a 中存在3项0n a +，0n a k ++，成等比，所以数列{}n a 存在等比子数列.18．在等差数列{}n a 中，已知公差2d =，2a 是1a 与4a 的等比中项 （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足，求数列{}n b 的通项公式；（3）令，数列{}n c 的前n 项和为n T .【答案】（1）2n a n =；（2）；（3）.【解析】（1）因为2a 是1a 与4a 的等比中项，所以，∴数列{}n a 的通项公式为2n a n =. （2）∵①∴②②－①得：，，故。
2010-2019十年高考数学真题分类汇编专题08 数列 学生版+解析版
十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学专题08 数列一、选择题1.(2019·全国1·理T9)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.已知S 4=0,a 5=5,则( ) A.a n =2n-5 B.a n =3n-10C.S n =2n 2-8nD.S n =12n 2-2n2.(2019·浙江·T10)设a,b ∈R,数列{a n }满足a 1=a,a n+1=a n 2+b,n ∈N *,则( )A.当b=12时,a 10>10 B.当b=14时,a 10>10 C.当b=-2时,a 10>10D.当b=-4时,a 10>103.(2018·全国1·理T4)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若3S 3=S 2+S 4,a 1=2,则a 5=( ) A.-12 B.-10 C.10D.124.(2018·浙江·T10)已知a 1,a 2,a 3,a 4成等比数列,且a 1+a 2+a 3+a 4=ln(a 1+a 2+a 3).若a 1>1,则( ) A.a 1<a 3,a 2<a 4 B.a 1>a 3,a 2<a 4 C.a 1<a 3,a 2>a 4 D.a 1>a 3,a 2>a 45.(2018·北京·理T4文T5)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于√212.若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为( ) A.√23fB.√223fC.√2512fD.√2712f6.(2017·全国1·理T12)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数N:N>100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是( )A.440B.330C.220D.1107.(2017·全国3·理T9)等差数列{a n }的首项为1,公差不为0.若a 2,a 3,a 6成等比数列,则{a n }前6项的和为( ) A.-24 B.-3C.3D.88.(2016·全国1·理T3)已知等差数列{a n }前9项的和为27,a 10=8,则a 100=( )A.100B.99C.98D.979.(2015·浙江·理T13)已知{a n}是等差数列,公差d不为零,前n项和是S n,若a3,a4,a8成等比数列,则( )A.a1d>0,dS4>0B.a1d<0,dS4<0C.a1d>0,dS4<0D.a1d<0,dS4>010.(2015·全国2·文T5)设S n是等差数列{a n}的前n项和,若a1+a3+a5=3,则S5=( )A.5B.7C.9D.1111.(2015·全国1·文T7)已知{a n}是公差为1的等差数列,S n为{a n}的前n项和.若S8=4S4,则a10= ( )A.172B.192C.10D.1212.(2015·全国2·理T4)已知等比数列{a n}满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7=( )A.21B.42C.63D.8413.(2015·全国2·文T9)已知等比数列{a n}满足a1=14,a3a5=4(a4-1),则a2=()A.2B.1C.1D.114.(2014·大纲全国·文T8)设等比数列{a n}的前n项和为S n.若S2=3,S4=15,则S6=( )A.31B.32C.63D.6415.(2014·全国2·文T5)等差数列{a n}的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则{a n}的前n项和S n=( )A.n(n+1)B.n(n-1)C.n(n+1)2D.n(n-1)216.(2013·全国2·理T3)等比数列{a n}的前n项和为S n.已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1=( )A.13B.-13C.19D.-1917.(2013·全国1·文T6)设首项为1,公比为23的等比数列{a n}的前n项和为S n,则( )A.S n=2a n-1B.S n=3a n-2C.S n=4-3a nD.S n=3-2a n18.(2013·全国1·理T12)设△A n B n C n的三边长分别为a n,b n,c n,△A n B n C n的面积为S n,n=1,2,3,….若b1>c1,b1+c1=2a1,a n+1=a n,b n+1=c n+a n2,c n+1=b n+a n2,则()A.{S n}为递减数列B.{S n}为递增数列C.{S2n-1}为递增数列,{S2n}为递减数列D.{S 2n-1}为递减数列,{S 2n }为递增数列19.(2013·全国1·理T7)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S m-1=-2,S m =0,S m+1=3,则m= ( ) A.3 B.4 C.5 D.620.(2012·全国·理T5)已知{a n }为等比数列,a 4+a 7=2,a 5a 6=-8,则a 1+a 10=( ) A.7 B.5 C.-5D.-721.(2012·全国·文T12)数列{a n }满足a n+1+(-1)na n =2n-1,则{a n }的前60项和为( ) A.3 690 B.3 660 C.1 845 D.1 830二、填空题1.(2019·全国3·文T14)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 3=5,a 7=13,则S 10= .2.(2019·全国3·理T14)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 1≠0,a 2=3a 1,则S10S 5= .3.(2019·江苏·T8)已知数列{a n }(n ∈N *)是等差数列,S n 是其前n 项和.若a 2a 5+a 8=0,S 9=27,则S 8的值是 . 4.(2019·北京·理T10)设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 2=-3,S 5=-10,则a 5= ,S n 的最小值为 . 5.(2019·全国1·文T14)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若a 1=1,S 3=34,则S 4= .6.(2019·全国1·理T14)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若a 1=13,a 42=a 6,则S 5=________.7.(2018·全国1·理T14)记S n 为数列{a n }的前n 项和.若S n =2a n +1,则S 6= . 8.(2018·北京·理T9)设{a n }是等差数列,且a 1=3,a 2+a 5=36,则{a n }的通项公式为 .9.(2018·上海·T10)设等比数列{a n }的通项公式为a n =q n-1(n ∈N *),前n 项和为S n ,若lim n →∞S n a n+1=12,则q=.10.(2018·江苏·T14)已知集合A={x|x=2n-1,n ∈N *},B={x|x=2n ,n ∈N *}.将A ∪B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{a n }.记S n 为数列{a n }的前n 项和,则使得S n >12a n+1成立的n 的最小值为 .11.(2017·全国2·理T15)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 3=3,S 4=10,则∑k=1n1S k =____________.12.(2017·全国3·理T14)设等比数列{a n }满足a 1+a 2=-1,a 1-a 3=-3,则a 4= .13.(2017·江苏·理T9文T9)等比数列{a n }的各项均为实数,其前n 项和为S n .已知S 3=74,S 6=634,则a 8=. 14.(2016·浙江·理T13文T13)设数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 2=4,a n+1=2S n +1,n ∈N *,则a 1= ,S 5= . 15.(2016·北京·理T12)已知{a n }为等差数列,S n 为其前n 项和.若a 1=6,a 3+a 5=0,则S 6= . 16.(2016·全国1·理T15)设等比数列{a n }满足a 1+a 3=10,a 2+a 4=5,则a 1a 2…a n 的最大值为 . 17.(2015·全国1·文T13)在数列{a n }中,a 1=2,a n+1=2a n ,S n 为{a n }的前n 项和.若S n =126,则n= . 18.(2015·湖南·理T14)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和,若a 1=1,且3S 1,2S 2,S 3成等差数列,则a n = . 19.(2015·福建·文T16)若a,b 是函数f(x)=x 2-px+q(p>0,q>0)的两个不同的零点,且a,b,-2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p+q 的值等于 . 20.(2015·江苏·理T11)设数列{a n }满足a 1=1,且a n+1- a n =n+1(n ∈N *).则数列{1a n}前10项的和为____________.21.(2015·全国2·理T16)设S n 是数列{a n }的前n 项和,且a 1=-1,a n+1=S n S n+1,则S n = . 22.(2015·广东·理T10)在等差数列{a n }中,若a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=25,则a 2+a 8= .23.(2015·陕西·文T13)中位数为1 010的一组数构成等差数列,其末项为2 015,则该数列的首项为 . 24.(2014·江苏·理T7)在各项均为正数的等比数列{a n }中,若a 2=1,a 8=a 6+2a 4,则a 6的值是 . 25.(2014·广东·文T13)等比数列{a n }的各项均为正数,且a 1a 5=4,则log 2a 1+log 2a 2+log 2a 3+log 2a 4+log 2a 5= .26.(2014·安徽·理T12)数列{a n }是等差数列,若a 1+1,a 3+3,a 5+5构成公比为q 的等比数列,则q= . 27.(2014·全国2·文T16)数列{a n }满足a n+1=11-a n,a 8=2,则a 1=____________.28.(2014·北京·理T12)若等差数列{a n }满足a 7+a 8+a 9>0,a 7+a 10<0,则当n= 时,{a n }的前n 项和最大. 29.(2014·天津·理T11)设{a n }是首项为a 1,公差为-1的等差数列,S n 为其前n 项和.若S 1,S 2,S 4成等比数列,则a 1的值为 .30.(2013·全国2·理T16)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知S 10=0,S 15=25,则nS n 的最小值为 . 31.(2013·辽宁·理T14)已知等比数列{a n }是递增数列,S n 是{a n }的前n 项和.若a 1,a 3是方程x 2-5x+4=0的两个根,则S 6= .32.(2013·全国1·理T14)若数列{a n }的前n 项和S n =23a n +13,则{a n }的通项公式是a n = . 33.(2012·全国·文T14)等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 3+3S 2=0,则公比q= . 三、计算题1.(2019·全国2·文T18)已知{a n }是各项均为正数的等比数列,a 1=2,a 3=2a 2+16. (1)求{a n }的通项公式;(2)设b n =log 2a n .求数列{b n }的前n 项和.2.(2019·全国2·理T19)已知数列{a n }和{b n }满足a 1=1,b 1=0,4a n+1=3a n -b n +4,4b n+1=3b n -a n -4. (1)证明:{a n +b n }是等比数列,{a n -b n }是等差数列; (2)求{a n }和{b n }的通项公式.3.(2019·天津·文T18)设{a n }是等差数列,{b n }是等比数列,公比大于0.已知a 1=b 1=3,b 2=a 3,b 3=4a 2+3. (1)求{a n }和{b n }的通项公式;(2)设数列{c n }满足c n ={1,n 为奇数,b n 2,n 为偶数,求a 1c 1+a 2c 2+…+a 2n c 2n (n ∈N *).4.(2019·天津·理T19)设{a n }是等差数列,{b n }是等比数列.已知a 1=4,b 1=6,b 2=2a 2-2,b 3=2a 3+4. (1)求{a n }和{b n }的通项公式;(2)设数列{c n }满足c 1=1,c n ={1,2k <n <2k+1,b k ,n =2k ,其中k ∈N *.①求数列{a 2n (c 2n -1)}的通项公式;②求∑i=12na i c i (n ∈N *).5.(2019·浙江·T 20)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 3=4,a 4=S 3.数列{b n }满足:对每个n ∈N *,S n +b n ,S n+1+b n ,S n+2+b n 成等比数列. (1)求数列{a n },{b n }的通项公式; (2)记c n =√a n n,n ∈N *,证明:c 1+c 2+…+c n <2√n ,n ∈N *. 6.(2019·江苏·T 20)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M- 数列”. (1)已知等比数列{a n }(n ∈N *)满足:a 2a 4=a 5,a 3-4a 2+4a 1=0,求证:数列{a n }为“M- 数列”; (2)已知数列{b n }(n ∈N *)满足:b 1=1,1S n=2b n−2b n+1,其中S n 为数列{b n }的前n 项和.①求数列{b n }的通项公式;②设m 为正整数.若存在“M- 数列”{c n }(n ∈N *),对任意正整数k,当k ≤m 时,都有c k ≤b k ≤c k+1成立,求m 的最大值.7.(2018·北京·文T15)设{a n }是等差数列,且a 1=ln 2,a 2+a 3=5ln 2. (1)求{a n }的通项公式; (2)求e a 1+e a 2+…+e a n .8.(2018·上海·T 21)给定无穷数列{a n },若无穷数列{b n }满足:对任意x ∈N *,都有|b n -a n |≤1,则称{b n }与{a n }“接近”.(1)设{a n }是首项为1,公比为12的等比数列,b n =a n+1+1,n ∈N *,判断数列{b n }是否与{a n }接近,并说明理由; (2)设数列{a n }的前四项为a 1=1,a 2=2,a 3=4,a 4=8,{b n }是一个与{a n }接近的数列,记集合M={x|x=b i ,i=1,2,3,4},求M 中元素的个数m:(3)已知{a n }是公差为d 的等差数列.若存在数列{b n }满足:{b n }与{a n }接近,且在b 2-b 1,b 3-b 2,…,b 201-b 200中至少有100个为正数,求d 的取值范围.9.(2018·江苏·T 20)设{a n }是首项为a 1,公差为d 的等差数列,{b n }是首项为b 1,公比为q 的等比数列.(1)设a 1=0,b 1=1,q=2,若|a n -b n |≤b 1对n=1,2,3,4均成立,求d 的取值范围;(2)若a 1=b 1>0,m ∈N *,q ∈(1, √2m],证明:存在d ∈R,使得|a n -b n |≤b 1对n=2,3,…,m+1均成立,并求d 的取值范围(用b 1,m,q 表示).10.(2018·天津·文T18)设{a n }是等差数列,其前n 项和为S n (n ∈N *);{b n }是等比数列,公比大于0,其前n 项和为T n (n ∈N *).已知b 1=1,b 3=b 2+2,b 4=a 3+a 5,b 5=a 4+2a 6. (1)求S n 和T n ;(2)若S n +(T 1+T 2+…+T n )=a n +4b n ,求正整数n 的值.11.(2018·天津·理T18)设{a n }是等比数列,公比大于0,其前n 项和为S n (n ∈N *),{b n }是等差数列.已知a 1=1,a 3=a 2+2,a 4=b 3+b 5,a 5=b 4+2b 6. (1)求{a n }和{b n }的通项公式;(2)设数列{S n }的前n 项和为T n (n ∈N *), ①求T n ;②证明∑k=1n(T k +b k+2)b k(k+1)(k+2)=2n+2n+2-2(n ∈N *). 12.(2018·全国2·理T17文T17)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和,已知a 1=-7,S 3=-15. (1)求{a n }的通项公式; (2)求S n ,并求S n 的最小值.13.(2018·全国1·文T17)已知数列{a n }满足a 1=1,na n+1=2(n+1)a n .设b n =an n. (1)求b 1,b 2,b 3;(2)判断数列{b n }是否为等比数列,并说明理由; (3)求{a n }的通项公式.14.(2018·全国3·理T17文T17)等比数列{a n }中,a 1=1,a 5=4a 3. (1)求{a n }的通项公式;(2)记S n 为{a n }的前n 项和,若S m =63,求m.15.(2017·全国1·文T17)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和,已知S 2=2,S 3=-6. (1)求{a n }的通项公式;(2)求S n ,并判断S n+1,S n ,S n+2是否成等差数列.16.(2017·全国2·文T17)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,等比数列{b n }的前n 项和为T n ,a 1=-1,b 1=1,a 2+b 2=2.(1)若a 3+b 3=5,求{b n }的通项公式;(2)若T3=21,求S3.17.(2017·全国3·文T17)设数列{a n}满足a1+3a2+…+(2n-1)a n=2n.(1)求{a n}的通项公式;}的前n项和.(2)求数列{a n2n+118.(2017·天津·理T18)已知{a n}为等差数列,前n项和为S n(n∈N*),{b n}是首项为2的等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4.(1)求{a n}和{b n}的通项公式;(2)求数列{a2n b2n-1}的前n项和(n∈N*).19.(2017·山东·理T19)已知{x n}是各项均为正数的等比数列,且x1+x2=3,x3-x2=2.(1)求数列{x n}的通项公式;(2)如图,在平面直角坐标系xOy中,依次连接点P1(x1,1),P2(x2,2)…P n+1(x n+1,n+1)得到折线P1P2…P n+1,求由该折线与直线y=0,x=x1,x=x n+1所围成的区域的面积T n.20.(2017·山东·文T19)已知{a n}是各项均为正数的等比数列,且a1+a2=6,a1a2=a3.1)求数列{a n}的通项公式;}的前n项和T n.(2){b n}为各项非零的等差数列,其前n项和为S n.已知S2n+1=b n b n+1,求数列{b na n21.(2017·天津·文T18)已知{a n}为等差数列,前n项和为S n(n∈N*),{b n}是首项为2的等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4.(1)求{a n}和{b n}的通项公式;(2)求数列{a2n b n}的前n项和(n∈N*).22.(2016·全国2·理T17)S n为等差数列{a n}的前n项和,且a1=1,S7=28.记b n=[lg a n],其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[lg 99]=1.(1)求b1,b11,b101;(2)求数列{b n}的前1 000项和.23.(2016·全国2·文T17)等差数列{a n }中,a 3+a 4=4,a 5+a 7=6. (1)求{a n }的通项公式;(2)设b n =[a n ],求数列{b n }的前10项和,其中[x]表示不超过x 的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2. 24.(2016·浙江·文T17)设数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 2=4,a n+1=2S n +1,n ∈N *. (1)求通项公式a n ;(2)求数列{|a n -n-2|}的前n 项和.25.(2016·北京·文T15)已知{a n }是等差数列,{b n }是等比数列,且b 2=3,b 3=9,a 1=b 1,a 14=b 4. (1)求{a n }的通项公式;(2)设c n =a n +b n ,求数列{c n }的前n 项和.26.(2016·山东·理T18文T19)已知数列{a n }的前n 项和S n =3n 2+8n,{b n }是等差数列,且a n =b n +b n+1. (1)求数列{b n }的通项公式; (2)令c n =(a n +1)n+1(b n +2)n,求数列{c n }的前n 项和T n .27.(2016·天津·理T18)已知{a n }是各项均为正数的等差数列,公差为d.对任意的n ∈N *,b n 是a n 和a n+1的等比中项.(1)设c n =b n+12−b n 2,n ∈N *,求证:数列{c n }是等差数列;(2)设a 1=d,T n =∑k=12n(-1)kb k 2,n ∈N *,求证:∑k=1n1T k<12d 2.28.(2016·天津·文T18)已知{a n }是等比数列,前n 项和为S n (n ∈N *),且1a 1−1a 2=2a 3,S 6=63.(1)求{a n }的通项公式;(2)若对任意的n ∈N *,b n 是log 2a n 和log 2a n+1的等差中项,求数列{(-1)nb n 2}的前2n 项和.29.(2016·全国1·文T17)已知{a n }是公差为3的等差数列,数列{b n }满足b 1=1,b 2=13,a n b n+1+b n+1=nb n . (1)求{a n }的通项公式; (2)求{b n }的前n 项和.30.(2016·全国3·文T17)已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1=1, a n 2-(2a n+1-1)a n -2a n+1=0. (1)求a 2,a 3;(2)求{a n }的通项公式.31.(2016·全国3·理T17)已知数列{a n }的前n 项和S n =1+λa n ,其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列,并求其通项公式; (2)若S 5=3132,求λ.32.(2015·北京·文T16)已知等差数列{a n }满足a 1+a 2=10,a 4-a 3=2. (1)求{a n }的通项公式;(2)设等比数列{b n }满足b 2=a 3,b 3=a 7.问:b 6与数列{a n }的第几项相等? 33.(2015·重庆·文T16)已知等差数列{a n }满足a 3=2,前3项和S 3=92. (1)求{a n }的通项公式;(2)设等比数列{b n }满足b 1=a 1,b 4=a 15,求{b n }的前n 项和T n . 34.(2015·福建·文T17)等差数列{a n }中,a 2=4,a 4+a 7=15. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)设b n =2a n -2+n,求b 1+b 2+b 3+…+b 10的值.35.(2015·全国1·理T17)S n 为数列{a n }的前n 项和.已知a n >0,a n 2+2a n =4S n +3.(1)求{a n }的通项公式;(2)设b n =1a n a n+1,求数列{b n }的前n 项和.36.(2015·安徽·文T18)已知数列{a n }是递增的等比数列,且a 1+a 4=9,a 2a 3=8. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)设S n 为数列{a n }的前n 项和,b n =an+1S n S n+1,求数列{b n }的前n 项和T n .37.(2015·天津·理T18)已知数列{a n }满足a n+2=qa n (q 为实数,且q ≠1),n ∈N *,a 1=1,a 2=2,且a 2+a 3,a 3+a 4,a 4+a 5成等差数列.(1)求q 的值和{a n }的通项公式;(2)设b n =log 2a2n a 2n -1,n ∈N *,求数列{b n }的前n 项和.38.(2015·山东·文T19)已知数列{a n }是首项为正数的等差数列,数列{1a n ·a n+1}的前n 项和为n2n+1.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)设b n =(a n +1)·2a n ,求数列{b n }的前n 项和T n .39.(2015·浙江·文T17)已知数列{a n }和{b n }满足a 1=2,b 1=1,a n+1=2a n (n ∈N *),b 1+12b 2+13b 3+…+1n b n =b n+1-1(n ∈N *). (1)求a n 与b n ;(2)记数列{a n b n }的前n 项和为T n ,求T n .40.(2015·天津·文T18)已知{a n }是各项均为正数的等比数列,{b n }是等差数列,且a 1=b 1=1,b 2+b 3=2a 3,a 5-3b 2=7. (1)求{a n }和{b n }的通项公式;(2)设c n=a n b n,n∈N*,求数列{c n}的前n项和.41.(2015·湖北·文T19)设等差数列{a n}的公差为d,前n项和为S n,等比数列{b n}的公比为q,已知b1=a1,b2=2,q=d,S10=100.(1)求数列{a n},{b n}的通项公式;(2)当d>1时,记c n=a nb n,求数列{c n}的前n项和T n.42.(2014·全国2·理T17)已知数列{a n}满足a1=1,a n+1=3a n+1.(1)证明:{a n+12}是等比数列,并求{a n}的通项公式;(2)证明:1a1+1a2+…+1a n<32.43.(2014·福建·文T17)在等比数列{a n}中,a2=3,a5=81.(1)求a n;(2)设b n=log3a n,求数列{b n}的前n项和S n.44.(2014·湖南·文T16)已知数列{a n}的前n项和S n=n 2+n,n∈N*.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=2a n+(-1)n a n,求数列{b n}的前2n项和.45.(2014·北京·文T14)已知{a n}是等差数列,满足a1=3,a4=12,数列{b n}满足b1=4,b4=20,且{b n-a n}为等比数列.(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式;(2)求数列{b n}的前n项和.46.(2014·大纲全国·理T18)等差数列{a n}的前n项和为S n.已知a1=10,a2为整数,且S n≤S4.(1)求{a n}的通项公式;(2)设b n=1a n a n+1,求数列{b n}的前n项和T n.47.(2014·山东·理T19)已知等差数列{a n}的公差为2,前n项和为S n,且S1,S2,S4成等比数列.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)令b n=(-1)n-14na n a n+1,求数列{b n}的前n项和T n.48.(2014·全国1·文T17)已知{a n}是递增的等差数列,a2,a4是方程x2-5x+6=0的根.(1)求{a n}的通项公式;(2)求数列{ann }的前n 项和.49.(2014·安徽·文T18)数列{a n }满足a 1=1,na n+1=(n+1)a n +n(n+1),n ∈N *.(1)证明:数列{an}是等差数列;(2)设b n =3n·√a n ,求数列{b n }的前n 项和S n .50.(2014·山东·文T19)在等差数列{a n }中,已知公差d=2,a 2是a 1与a 4的等比中项. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)设b n =a n (n+1)2,记T n =-b 1+b 2-b 3+b 4-…+(-1)nb n ,求T n .51.(2014·大纲全国·文T17)数列{a n }满足a 1=1,a 2=2,a n+2=2a n+1-a n +2. (1)设b n =a n+1-a n ,证明{b n }是等差数列; (2)求{a n }的通项公式.52.(2014·全国1·理T17)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1,a n ≠0,a n a n+1=λS n -1,其中λ为常数. (1)证明:a n+2-a n =λ;(2)是否存在λ,使得{a n }为等差数列?并说明理由.53.(2013·全国2·文T17)已知等差数列{a n }的公差不为零,a 1=25,且a 1,a 11,a 13成等比数列. (1)求{a n }的通项公式; (2)求a 1+a 4+a 7+…+a 3n-2.54.(2013·全国1·文T17)已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3=0,S 5=-5. (1)求{a n }的通项公式; (2)求数列{1a2n -1a 2n+1}的前n项和.55.(2012·湖北·理T18文T20)已知等差数列{a n }前三项的和为-3,前三项的积为8. (1)求等差数列{a n }的通项公式;(2)若a 2,a 3,a 1成等比数列,求数列{|a n |}的前n 项和. 56.(2011·全国·文T17)已知等比数列{a n }中,a 1=13,公比q=13. (1)S n 为{a n }的前n 项和,证明:S n =1-a n2; (2)设b n =log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a n ,求数列{b n }的通项公式.57.(2011·全国·理T17)等比数列{a n }的各项均为正数,且2a 1+3a 2=1,a 32=9a 2a 6.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)设b n=log3a1+log3a2+…+log3a n,求数列{1b n}的前n项和. 58.(2010·全国·理T17)设数列{a n}满足a1=2,a n+1-a n=3·22n-1.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)令b n=na n,求数列{b n}的前n项和S n.59.(2010·全国·文T17)设等差数列{a n}满足a3=5,a10=-9,(1)求数列{a n}的通项公式;(2)求数列{a n}的前n项和S n及使得S n最大的序号n的值.十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学专题08 数列一、选择题1.(2019·全国1·理T9)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.已知S 4=0,a 5=5,则( ) A.a n =2n-5 B.a n =3n-10C.S n =2n 2-8n D.S n =12n 2-2n【答案】A【解析】由题意可知,{S 4=4a 1+4×32·d =0,a 5=a 1+4d =5,解得{a 1=-3,d =2.故a n =2n-5,S n =n 2-4n,故选A.2.(2019·浙江·T10)设a,b ∈R,数列{a n }满足a 1=a,a n+1=a n 2+b,n ∈N *,则( )A.当b=12时,a 10>10 B.当b=14时,a 10>10 C.当b=-2时,a 10>10 D.当b=-4时,a 10>10【答案】A【解析】当b=12时,a 2=a 12+12≥12,a 3=a 22+12≥34,a 4=a 32+12≥1716≥1,当n≥4时,a n+1=a n 2+12≥a n 2≥1,则lo g 1716a n+1>2lo g 1716a n ⇒lo g 1716a n+1>2n-1,则a n+1≥（1716 ）2n -1(n≥4),则a 10≥（1716） 26=（1+116）64=1+6416+64×632×1162+…>1+4+7>10,故选A. 3.(2018·全国1·理T4)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若3S 3=S 2+S 4,a 1=2,则a 5=( ) A.-12 B.-10 C.10 D.12【答案】B【解析】因为3S 3=S 2+S 4,所以3S 3=(S 3-a 3)+(S 3+a 4),即S 3=a 4-a 3.设公差为d,则3a 1+3d=d,又由a 1=2,得d=-3,所以a 5=a 1+4d=-10.4.(2018·浙江·T10)已知a 1,a 2,a 3,a 4成等比数列,且a 1+a 2+a 3+a 4=ln(a 1+a 2+a 3).若a 1>1,则( ) A.a 1<a 3,a 2<a 4 B.a 1>a 3,a 2<a 4 C.a 1<a 3,a 2>a 4 D.a 1>a 3,a 2>a 4 【答案】B【解析】设等比数列的公比为q,则 a 1+a 2+a 3+a 4=a 1(1-q 4)1-q ,a 1+a 2+a 3=a 1(1-q 3)1-q.∵a 1+a 2+a 3+a 4=ln(a 1+a 2+a 3),∴a 1+a 2+a 3=e a 1+a 2+a 3+a 4,即a 1(1+q+q 2)=e a 1(1+q+q2+q 3).又a 1>1,∴q<0.假设1+q+q 2>1,即q+q 2>0,解得q<-1(q>0舍去). 由a 1>1,可知a 1(1+q+q 2)>1, ∴a 1(1+q+q 2+q 3)>0,即1+q+q 2+q 3>0,即(1+q)+q 2(1+q)>0,即(1+q)(1+q 2)>0,这与q<-1相矛盾. ∴1+q+q 2<1,即-1<q<0.∴a 1>a 3,a 2<a 4.5.(2018·北京·理T4文T 5)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于√212.若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为( ) A.√23f B.√223fC.√2512fD.√2712f【答案】D【解析】设第n 个单音的频率为a n ,由题意,a na n -1=√212(n≥2),所以{a n }为等比数列,因为a 1=f,所以a 8=a 1×(√212)7=√2712f,故选D.6.(2017·全国1·理T12)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数N:N>100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是( )A.440B.330C.220D.110 【答案】A【解析】设数列的首项为第1组,接下来两项为第2组,再接下来三项为第3组,以此类推,设第n 组的项数为n,则前n组的项数和为n (1+n )2.第n 组的和为1-2n 1-2=2n -1,前n 组总共的和为2(1-2n )1-2-n=2n+1-2-n.由题意,N>100,令n (1+n )2>100,得n≥14且n ∈N *,即N 出现在第13组之后.若要使最小整数N 满足:N>100且前N 项和为2的整数幂,则S N -S n (1+n )2应与-2-n 互为相反数,即2k-1=2+n(k ∈N *,n≥14),所以k=log 2(n+3),解得n=29,k=5.所以N=29×(1+29)2+5=440,故选A. 7.(2017·全国3·理T9)等差数列{a n }的首项为1,公差不为0.若a 2,a 3,a 6成等比数列,则{a n }前6项的和为( ) A.-24 B.-3 C.3 D.8【答案】A【解析】设等差数列的公差为d,则d≠0,a 32=a 2·a 6, 即(1+2d)2=(1+d)(1+5d), 解得d=-2,所以S 6=6×1+6×52×(-2)=-24,故选A.8.(2016·全国1·理T3)已知等差数列{a n }前9项的和为27,a 10=8,则a 100=( ) A.100 B.99 C.98 D.97【答案】C 【解析】因为S 9=(a 1+a 9)×9=27,a 1+a 9=2a 5, 所以a 5=3.又因为a 10=8,所以d=a 10-a 510-5=1. 故a 100=a 10+(100-10)×1=98.9.(2015·浙江·理T13)已知{a n }是等差数列,公差d 不为零,前n 项和是S n ,若a 3,a 4,a 8成等比数列,则( ) A.a 1d>0,dS 4>0 B.a 1d<0,dS 4<0 C.a 1d>0,dS 4<0 D.a 1d<0,dS 4>0【答案】B【解析】设{a n }的首项为a 1,公差为d,则a 3=a 1+2d,a 4=a 1+3d,a 8=a 1+7d. ∵a 3,a 4,a 8成等比数列,∴(a 1+3d)2=(a 1+2d)(a 1+7d),即3a 1d+5d 2=0. ∵d≠0,∴a 1d=-53d 2<0,且a 1=-53d. ∵dS 4=4d (a 1+a 4)2=2d(2a 1+3d)=-23d 2<0. 10.(2015·全国2·文T5)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若a 1+a 3+a 5=3,则S 5=( ) A.5 B.7 C.9 D.11 【答案】A【解析】由a 1+a 3+a 5=3及等差中项,得3a 3=3,解得a 3=1.故S 5=5(a 1+a 5)2=5a 3=5. 11.(2015·全国1·文T7)已知{a n }是公差为1的等差数列,S n 为{a n }的前n 项和.若S 8=4S 4,则a 10= ( ) A.172B.192C.10D.12【答案】B【解析】∵公差d=1,S 8=4S 4, ∴8(a 1+a 8)2=4×4(a 1+a 4)2, 即2a 1+7d=4a 1+6d,解得a 1=12. ∴a 10=a 1+9d=1+9=19.12.(2015·全国2·理T4)已知等比数列{a n }满足a 1=3,a 1+a 3+a 5=21,则a 3+a 5+a 7=( ) A.21B.42C.63D.84【答案】B 【解析】由题意知a 1+a 3+a 5a 1=1+q 2+q 4=213=7,解得q 2=2(负值舍去).∴a 3+a 5+a 7=(a 1+a 3+a 5)q 2=21×2=42.13.(2015·全国2·文T9)已知等比数列{a n }满足a 1=14,a 3a 5=4(a 4-1),则a 2=( ) A.2 B.1C.12D.18【答案】C【解析】∵a 3a 5=4(a 4-1),∴a 42=4(a 4-1),解得a 4=2.又a 4=a 1q 3,且a 1=14,∴q=2.∴a 2=a 1q=12.14.(2014·大纲全国·文T8)设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=3,S 4=15,则S 6=( ) A.31 B.32 C.63 D.64【答案】C【解析】由等比数列前n 项和的性质,得S 2,S 4-S 2,S 6-S 4成等比数列,所以(S 4-S 2)2=S 2(S 6-S 4),即(15-3)2=3(S 6-15),解得S 6=63,故选C.15.(2014·全国2·文T5)等差数列{a n }的公差为2,若a 2,a 4,a 8成等比数列,则{a n }的前n 项和S n =( ) A.n(n+1) B.n(n-1)C.n (n+1)2D.n (n -1)2【答案】A【解析】∵a 2,a 4,a 8成等比数列, ∴ =a 2·a 8,即(a 1+6)2=(a 1+2)(a 1+14), 解得a 1=2. ∴S n =na 1+n (n -1)2d=2n+n 2-n=n 2+n=n(n+1). 16.(2013·全国2·理T3)等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3=a 2+10a 1,a 5=9,则a 1=( ) A.13 B.-13C.19D.-19【答案】C【解析】由S 3=a 2+10a 1,得a 1+a 2+a 3=a 2+10a 1,整理得a 3=9a 1,所以q 2=a 3a 1=9.由a 5=9,得a 1=a 5q 4=992=19.17.(2013·全国1·文T6)设首项为1,公比为2的等比数列{a n }的前n 项和为S n ,则( ) A.S n =2a n -1 B.S n =3a n -2 C.S n =4-3a n D.S n =3-2a n 【答案】D【解析】S n =a 1(1-q n )1-q=a 1-a n q 1-q=1-23a n 1-23=3-2a n .18.(2013·全国1·理T12)设△A n B n C n 的三边长分别为a n ,b n ,c n ,△A n B n C n 的面积为S n ,n=1,2,3,….若 b 1>c 1,b 1+c 1=2a 1,a n+1=a n ,b n+1=c n +a n ,c n+1=b n +an ,则( ) A.{S n }为递减数列 B.{S n }为递增数列C.{S 2n-1}为递增数列,{S 2n }为递减数列D.{S 2n-1}为递减数列,{S 2n }为递增数列 【答案】B【解析】因为b 1>c 1,不妨设b 1=4a 13,c 1=2a 13,p=12(a 1+b 1+c 1)=32a 1,则S 1=√3a 12·a 12·a 16·5a16=√1512a 12; a 2=a 1,b 2=23a 1+a 12=56a 1,c 2=43a 1+a 12=76a 1,S 2=√3a12·a12·2a13·a13=√66a 12;显然S 2>S 1.同理,a 3=a 1,b 3=76a 1+a 12=1312a 1,c 3=56a 1+a 12=1112a 1,S 3=√3a12·a12·512a 1·712a 1=√10524a 12,显然S 3>S 2.19.(2013·全国1·理T7)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S m-1=-2,S m =0,S m+1=3,则m= ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】C【解析】∵S m-1=-2,S m =0,S m+1=3, ∴a m =S m -S m-1=2,a m+1=S m+1-S m =3. ∴d=a m+1-a m =3-2=1. ∵S m =m (a 1+a m )2=m (a 1+2)2=0, ∴a 1=-2,a m =-2+(m-1)×1=2.∴m=5.20.(2012·全国·理T5)已知{a n }为等比数列,a 4+a 7=2,a 5a 6=-8,则a 1+a 10=( ) A.7 B.5 C.-5 D.-7【答案】D【解析】∵{a n }为等比数列,∴a 5a 6=a 4a 7=-8. 联立{a 4+a 7=2,a 4a 7=-8可解得{a 4=4,a 7=-2或{a 4=-2,a 7=4,当{a 4=4,a 7=-2时,q 3=-12, 故a 1+a 10=a4q 3+a 7q 3=-7;当{a 4=-2,a 7=4时,q 3=-2,同理,有a 1+a 10=-7. 21.(2012·全国·文T12)数列{a n }满足a n+1+(-1)na n =2n-1,则{a n }的前60项和为( ) A.3 690 B.3 660 C.1 845 D.1 830【答案】D【解析】∵a n+1+(-1)na n =2n-1, ∴a 2=1+a 1,a 3=2-a 1,a 4=7-a 1,a 5=a 1,a 6=9+a 1,a 7=2-a 1,a 8=15-a 1,a 9=a 1,a 10=17+a 1,a 11=2-a 1,a 12=23-a 1,…,a 57=a 1,a 58=113+a 1,a 59=2-a 1,a 60=119-a 1,∴a 1+a 2+…+a 60=(a 1+a 2+a 3+a 4)+(a 5+a 6+a 7+a 8)+…+(a 57+a 58+a 59+a 60) =10+26+42+…+234=15×(10+234)2=1 830. 二、填空题1.(2019·全国3·文T14)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 3=5,a 7=13,则S 10= . 【答案】100【解析】设等差数列{a n }的公差为d,则{a 3=a 1+2d =5,a 7=a 1+6d =13,解得{a 1=1,d =2. 故S 10=10a 1+10×92d=10×1+10×92×2=100. 2.(2019·全国3·理T14)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 1≠0,a 2=3a 1,则S10S 5= .【答案】4【解析】设等差数列{a n }的公差为d. ∵a 1≠0,a 2=3a 1, ∴a 1+d=3a 1,即d=2a 1.∴S10S 5=10a 1+10×92d5a 1+5×42d=100a 125a 1=4. 3.(2019·江苏·T 8)已知数列{a n }(n ∈N *)是等差数列,S n 是其前n 项和.若a 2a 5+a 8=0,S 9=27,则S 8的值是 . 【答案】16【解析】∵{a n }为等差数列,设公差为d,a 2a 5+a 8=0,S 9=27,∴{(a 1+d )(a 1+4d )+a 1+7d =0,①9a 1+9×82d =27,②整理②得a 1+4d=3,即a 1=3-4d,③ 把③代入①解得d=2,∴a 1=-5. ∴S 8=8a 1+28d=16.4.(2019·北京·理T10)设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 2=-3,S 5=-10,则a 5= ,S n 的最小值为 . 【答案】0 -10【解析】等差数列{a n }中,由S 5=5a 3=-10,得a 3=-2,又a 2=-3,公差d=a 3-a 2=1,a 5=a 3+2d=0,由等差数列{a n }的性质得当n ≤5时,a n ≤0,当n ≥6时,a n 大于0,所以S n 的最小值为S 4或S 5,即为-10.5.(2019·全国1·文T14)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若a 1=1,S 3=34,则S 4= . 【答案】58【解析】设等比数列{a n }的公比为q. S 3=a 1+a 1q+a 1q 2=1+q+q 2=34, 即q 2+q+14=0.解得q=-12.故S 4=a 1(1-q 4)=1-(-12)41+12=5.6.(2019·全国1·理T14)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若a 1=13,a 42=a 6,则S 5=________.【答案】1213【解析】设等比数列{a n }的公比为q, 则a 4=a 1q 3=13q 3,a 6=a 1q 5=13q 5.∵a 42=a 6,∴19q 6=13q 5.∵q≠0,∴q=3.∴S 5=a 1(1-q 5)1-q=13(1-35)1-3=1213. 7.(2018·全国1·理T14)记S n 为数列{a n }的前n 项和.若S n =2a n +1,则S 6= . 【答案】-63【解析】∵S n =2a n +1,① ∴S n-1=2a n-1+1(n ≥2).②①-②,得a n =2a n -2a n-1,即a n =2a n-1(n ≥2).又S 1=2a 1+1,∴a 1=-1.∴{a n }是以-1为首项,2为公比的等比数列,则S 6=-1(1-26)1-2=-63.8.(2018·北京·理T9)设{a n }是等差数列,且a 1=3,a 2+a 5=36,则{a n }的通项公式为 . 【答案】a n =6n-3【解析】∵{a n }为等差数列,设公差为d, ∴a 2+a 5=2a 1+5d=36.∵a 1=3,∴d=6.∴a n =3+(n-1)×6=6n-3.9.(2018·上海·T 10)设等比数列{a n }的通项公式为a n =q n-1(n ∈N *),前n 项和为S n ,若lim n →∞S na n+1=12,则q= . 【答案】3【解析】由a n =q n-1,得a n+1=q n.当q=1时,不满足题意;当q≠1时,S n =a 1(1-q n )1-q=1-q n1-q. 若0<|q|<1,则lim n →∞1-q n(1-q )q n 不存在;若|q|>1,则lim n →∞Sn a n+1=lim n →∞1-q n(1-q )q n =lim n →∞1(1-q )·(1q n -1)=-11-q =12,解得q=3.10.(2018·江苏·T 14)已知集合A={x|x=2n-1,n ∈N *},B={x|x=2n ,n ∈N *}.将A ∪B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{a n }.记S n 为数列{a n }的前n 项和,则使得S n >12a n+1成立的n 的最小值为 . 【答案】27【解析】①若a n+1=2k(k ∈N *),则S n =21+22+…+2k-1+1+3+ (2)-1=2k-2+(2k-1)2⇒(2k-1)2+2k-2>12·2k. 令2k=t ⇒14t 2+t-2>12t ⇒t(t-44)>8.∴t ≥64⇒k ≥6.此时,n=k-1+2k-1=37. ②若a n+1=2k+1(k ∈N *),则S n =21+22+ (2)+1+3+…+2k-1(2t<2k+1,t ∈N *), ∴S n =2t+1-2+k 2>12(2k+1)⇒2t+1>-k 2+24k+14. ∴-k 2+24k+14<2t+1<4k+2⇒k(k-20)>12.取k=21,此时772<2t <43(舍),取k=22,29<2t<45,t=5,n=5+22=27. 由①②,得n min =27.11.(2017·全国2·理T15)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 3=3,S 4=10,则∑k=1n1S k=____________.【答案】2nn+1【解析】设等差数列的首项为a 1,公差为d,由题意可知{a 1+2d =3,4a 1+4×32d=10,解得{a 1=1,d =1.所以S n =na 1+n (n -1)2d=n (1+n )2. 所以1S n =2n (n+1)=2(1n -1n+1).所以∑k=1n1S k=2[(1-12)+(12-13)+…+(1n -1n+1)]=2(1-1n+1)=2nn+1. 12.(2017·全国3·理T14)设等比数列{a n }满足a 1+a 2=-1,a 1-a 3=-3,则a 4= . 【答案】-8【解析】设{a n }的公比为q,则由题意, 得{a 1(1+q )=-1,a 1(1-q 2)=-3,解得{a 1=1,q =-2,故a 4=a 1q 3=-8. 13.(2017·江苏·理T9文T9)等比数列{a n }的各项均为实数,其前n 项和为S n .已知S 3=74,S 6=634,则a 8= . 【答案】32【解析】设该等比数列的公比为q,则S 6-S 3=634−74=14,即a 4+a 5+a 6=14.①∵S 3=74,∴a 1+a 2+a 3=74. 由①得(a 1+a 2+a 3)q 3=14,∴q 3=1474=8,即q=2.∴a 1+2a 1+4a 1=7,a 1=1. ∴a 8=a 1·q 7=14×27=32.14.(2016·浙江·理T13文T13)设数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 2=4,a n+1=2S n +1,n ∈N *,则a 1= ,S 5= . 【答案】1 121【解析】由题意,可得a 1+a 2=4,a 2=2a 1+1, 所以a 1=1,a 2=3.再由a n+1=2S n +1,a n =2S n-1+1(n ≥2), 两式相减得a n+1-a n =2a n ,即a n+1=3a n (n ≥2).又因为a 2=3a 1,所以数列{a n }是以1为首项,3为公比的等比数列.所以S 5=1-351-3=121. 15.(2016·北京·理T12)已知{a n }为等差数列,S n 为其前n 项和.若a 1=6,a 3+a 5=0,则S 6= . 【答案】6【解析】∵{a n }是等差数列,∴a 3+a 5=2a 4=0.∴a 4=0. ∴a 4-a 1=3d=-6.∴d=-2. ∴S 6=6a 1+15d=6×6+15×(-2)=6.16.(2016·全国1·理T15)设等比数列{a n }满足a 1+a 3=10,a 2+a 4=5,则a 1a 2…a n 的最大值为 . 【答案】64【解析】由已知a 1+a 3=10,a 2+a 4=a 1q+a 3q=5,两式相除得a 1+a 3q (a 1+a 3)=105=2,解得q=12,a 1=8, 所以a 1a 2…a n =8n·(1)1+2+…+(n -1)=2-12n 2+7n2,函数f(n)=-1n 2+7n的对称轴为n=-722×(-12)=3.5,又n ∈N *,所以当n=3或4时,a 1a 2…a n 取最大值为2-12×32+7×32=26=64.17.(2015·全国1·文T13)在数列{a n }中,a 1=2,a n+1=2a n ,S n 为{a n }的前n 项和.若S n =126,则n= . 【答案】6【解析】∵a n+1=2a n ,即an+1a n=2,∴{a n }是以2为公比的等比数列.。
十年高考数学试卷汇编(10~19年 解答题部分)
全国卷•十年高考（解答题部分）2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） (2)2018年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） (6)2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） (10)2016年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） (15)2015年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） (20)2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） (25)2013年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） (31)2012年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标） (36)2011年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标） (41)2010年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标） (46)2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）三、解答题：共60分。
17．（2019•新课标Ⅰ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．设（sinB﹣sinC）2＝sin2A﹣sinBsin C．（1）求A；（2）若a+b＝2c，求sinC．18．（2019•新课标Ⅰ）如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．（1）证明：MN∥平面C1DE；（2）求二面角A﹣MA1﹣N的正弦值．19．（2019•新课标Ⅰ）已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．（1）若|AF|+|BF|＝4，求l的方程；（2）若＝3，求|AB|．20．（2019•新课标Ⅰ）已知函数f（x）＝sinx﹣ln（1+x），f′（x）为f（x）的导数．证明：（1）f′（x）在区间（﹣1，）存在唯一极大值点；（2）f（x）有且仅有2个零点．21．（2019•新课标Ⅰ）为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得﹣1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得﹣1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．（1）求X的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，p i（i＝0，1，…，8）表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0＝0，p8＝1，p i＝ap i﹣1+bp i+cp i+1（i＝1，2，…，7），其中a＝P（X＝﹣1），b＝P（X＝0），c＝P（X＝1）．假设α＝0.5，β＝0.8．（i）证明：{p i+1﹣p i}（i＝0，1，2，…，7）为等比数列；（ii）求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性．（二）选考题：共10分。
十年真题(2010_2019)高考数学真题分类汇编专题01集合理(含解析)
专题01集合历年考题细目表历年高考真题汇编1．【2019年新课标1理科01】已知集合M＝{x|﹣4＜x＜2}，N＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则M∩N＝（）A．{x|﹣4＜x＜3} B．{x|﹣4＜x＜﹣2} C．{x|﹣2＜x＜2} D．{x|2＜x＜3}【解答】解：∵M＝{x|﹣4＜x＜2}，N＝{x|x2﹣x﹣6＜0}＝{x|﹣2＜x＜3}，∴M∩N＝{x|﹣2＜x＜2}．故选：C．2．【2018年新课标1理科02】已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＞0}，则∁R A＝（）A．{x|﹣1＜x＜2} B．{x|﹣1≤x≤2} C．{x|x＜﹣1}∪{x|x＞2} D．{x|x≤﹣1}∪{x|x≥2} 【解答】解：集合A＝{x|x2﹣x﹣2＞0}，可得A＝{x|x＜﹣1或x＞2}，则：∁R A＝{x|﹣1≤x≤2}．故选：B．3．【2017年新课标1理科01】已知集合A＝{x|x＜1}，B＝{x|3x＜1}，则（）A．A∩B＝{x|x＜0} B．A∪B＝R C．A∪B＝{x|x＞1} D．A∩B＝∅【解答】解：∵集合A＝{x|x＜1}，B＝{x|3x＜1}＝{x|x＜0}，∴A∩B＝{x|x＜0}，故A正确，D错误；A∪B＝{x|x＜1}，故B和C都错误．故选：A．4．【2016年新课标1理科01】设集合A＝{x|x2﹣4x+3＜0}，B＝{x|2x﹣3＞0}，则A∩B＝（）A．（﹣3，）B．（﹣3，）C．（1，）D．（，3）【解答】解：∵集合A＝{x|x2﹣4x+3＜0}＝（1，3），B＝{x|2x﹣3＞0}＝（，+∞），∴A∩B＝（，3），故选：D．5．【2014年新课标1理科01】已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≥0}，B＝{x|﹣2≤x＜2}，则A∩B＝（）A．[1，2）B．[﹣1，1] C．[﹣1，2）D．[﹣2，﹣1]【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣3）（x+1）≥0，解得：x≥3或x≤﹣1，即A＝（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞），∵B＝[﹣2，2），∴A∩B＝[﹣2，﹣1]．故选：D．6．【2013年新课标1理科01】已知集合A＝{x|x2﹣2x＞0}，B＝{x|x}，则（）A．A∩B＝∅B．A∪B＝R C．B⊆A D．A⊆B【解答】解：∵集合A＝{x|x2﹣2x＞0}＝{x|x＞2或x＜0}，∴A∩B＝{x|2＜x或x＜0}，A∪B＝R，故选：B．7．【2012年新课标1理科01】已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，x﹣y∈A}，则B中所含元素的个数为（）A．3 B．6 C．8 D．10【解答】解：由题意，x＝5时，y＝1，2，3，4，x＝4时，y＝1，2，3，x ＝3时，y ＝1，2，x ＝2时，y ＝1综上知，B 中的元素个数为10个故选：D ．8．【2010年新课标1理科01】已知集合A ＝{x ∈R ||x |≤2}}，，则A ∩B ＝（ ） A ．（0，2） B ．[0，2] C ．{0，2} D ．{0，1，2}【解答】解：A ＝{x ∈R ||x |≤2，}＝{x ∈R |﹣2≤x ≤2}，故A ∩B ＝{0，1，2}．应选D ．考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：集合关系及其运算，历年考题主要以选择填空题型出现，重点考查的知识点为：交并补运算，预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以知识点交并补运算为重点较佳.最新高考模拟试题1．若集合{}5|2A x x =-<<，{}|||3B x x =<，则AB =（ ） A ．{}|32x x -<<B ．{}|52x x -<<C ．{}|33x x -<<D ．{}|53x x -<< 【答案】A【解析】 解：{}{}333||B x x x x =<=-<<，则{}|32A B x x ⋂=-<<，。
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4.(2018·浙江·T10)已知 a1,a2,a3,a4 成等比数列,且 a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3).若 a1>1,则( )
A.a1<a3,a2<a4
B.a1>a3,a2<a4
C.a1<a3,a2>a4 D.a1>a3,a2>a4
5.(2018·北京·理 T4 文 T5)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比
1
A.当 b=2时,a10>10
1
B.当 b=4时,a10>10
C.当 b=-2 时,a10>10
D.当 b=-4 时,a10>10
3.(2018·全国 1·理 T4)记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,若 3S3=S2+S4,a1=2,则 a5=( )
A.-12 B.-10 C.10 D.12
A.3 B.4 C.5 D.6
20.(2012·全国·理 T5)已知{an}为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则 a1+a10=( )
A.7 B.5 C.-5 D.-7
n
21.(2012·全国·文 T12)数列{an}满足 an+1+(-1) an=2n-1,则{an}的前 60 项和为( )
趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列
0
01
012
1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是 2 ,接下来的两项是 2 ,2 ,再接下来的三项是 2 ,2 ,2 ,
依此类推.求满足如下条件的最小整数 N:N>100 且该数列的前 N 项和为 2 的整数幂.那么该款软件的激活码
A.21
B.42 C.63
D.84
1
13.(2015·全国 2·文 T9)已知等比数列{an}满足 a1=4,a3a5=4(a4-1),则 a2=( )
1
1
A.2
B.1
C.2
D.8
14.(2014·大纲全国·文 T8)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 S2=3,S4=15,则 S6=( )
A.3 690
B.3 660
C.1 845 D.1 830
二、填空题
1.(2019·全国 3·文 T14)记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和.若 a3=5,a7=13,则 S10= .
S10
2.(2019·全国 3·理 T14)记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和.若 a1≠0,a2=3a1,则 S5 = .
A.5 B.7 C.9 D.11
11.(2015·全国 1·文 T7)已知{an}是公差为 1 的等差数列,Sn 为{an}的前 n 项和.若 S8=4S4,则 a10= ( )
17
A. 2
19
B. 2
C.10
D.12
12.(2015·全国 2·理 T4)已知等比数列{an}满足 a1=3,a1+a3+a5=21,则 a3+a5+a7=( )
cn+an
bn+an
Hale Waihona Puke b1>c1,b1+c1=2a1,an+1=an,bn+1= 2 ,cn+1= 2 ,则( )
A.{Sn}为递减数列
B.{Sn}为递增数列
C.{S2n-1}为递增数列,{S2n}为递减数列
2
D.{S2n-1}为递减数列,{S2n}为递增数列
19.(2013·全国 1·理 T7)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则 m= ( )
1
1
1
1
A.3
B.-3
C.9
D.-9
2
17.(2013·全国 1·文 T6)设首项为 1,公比为3的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,则( )
A.Sn=2an-1 B.Sn=3an-2
C.Sn=4-3an D.Sn=3-2an
18.(2013·全国 1·理 T12)设△AnBnCn 的三边长分别为 an,bn,cn,△AnBnCn 的面积为 Sn,n=1,2,3,….若
*
3.(2019·江苏·T8)已知数列{an}(n∈N )是等差数列,Sn 是其前 n 项和.若 a2a5+a8=0,S9=27,则 S8 的值
例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从 第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于 √2.若第一个单音的频率为 f,则第
八个单音的频率为( )
A. √2f
B. √2 f
C. √2 f D. √2 f
6.(2017·全国 1·理 T12)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴
是( )
A.440 B.330
C.220 D.110
7.(2017·全国 3·理 T9)等差数列{an}的首项为 1,公差不为 0.若 a2,a3,a6 成等比数列,则{an}前 6 项的和为 ()
A.-24 B.-3 C.3 D.8
8.(2016·全国 1·理 T3)已知等差数列{an}前 9 项的和为 27,a10=8,则 a100=( )
十年（2010—2019）数学高考真题分类汇编
数列
一、选择题
1.(2019·全国 1·理 T9)记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和.已知 S4=0,a5=5,则( )
A.an=2n-5
B.an=3n-10
2
C.Sn=2n -8n
12
D.Sn=2n -2n
*
2.(2019·浙江·T10)设 a,b∈R,数列{an}满足 a1=a,an+1= +b,n∈N ,则( )
A.31
B.32
C.63 D.64
15.(2014·全国 2·文 T5)等差数列{an}的公差为 2,若 a2,a4,a8 成等比数列,则{an}的前 n 项和 Sn=( )
A.n(n+1)
B.n(n-1)
( +1)
C. 2
( -1)
D. 2
16.(2013·全国 2·理 T3)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 S3=a2+10a1,a5=9,则 a1=( )
1
A.100 B.99 C.98
D.97
9.(2015·浙江·理 T13)已知{an}是等差数列,公差 d 不为零,前 n 项和是 Sn,若 a3,a4,a8成等比数列,则( )
A.a1d>0,dS4>0
B.a1d<0,dS4<0
C.a1d>0,dS4<0
D.a1d<0,dS4>0
10.(2015·全国 2·文 T5)设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 a1+a3+a5=3,则 S5=( )