拉氏变换及应用
拉氏变换及其在电路应用
拉氏变换与电路设计计算
要用好拉氏变换，先了解S的物理含义和其用途。
信号分析有时域分析、频域分析两种，时域是指时间变化时，信号的幅值和相位随时间变化的关系；频域则是指频率变化时，信号的幅值和相位随时间变化的关系；而S则是连接时域与频域分析的一座桥梁。
在电路中，用到的线性元件为阻性，用R表示；用到的非线性元件，主要指感性特性和容性特性，分别用SL和1/SC表示，然后将其看成一个纯粹的电阻，只不过其阻值为SL（电感）和1/SC（电容）；
其他特性（如开关特性）则均可通过画出等效电路的方式，将一个复杂的特性分解成一系列阻性、感性、容性相结合的方式。
并将其中的感性和容性分别用SL和1/SC表示。
然后，就可以用初中学过的电阻串、并联阻抗计算的方式来进行分压、分流的计算，这当然很简单了。
计算完后，最后一定会成一个如下四种之一的函数：Vo=Vi（s） --------------------（1）
Io=Vi（s） --------------------（2）
Vo=Ii（s） --------------------（3）
Io=Ii（s） --------------------（4）
下一步，如果是做时域分析，则将S=d/dt代入上述1-4其中之一的式子中，随后做微分方程的求解，则可求出其增益对时间的变化式 G（t）；
而如果做的是频域分析，则将S=jw代入上述1-4其中之一的式子中，随后做复变函数方程的求解，则可求出其增益对时间的变化式 G（w）、和相位对时间的变化式θ（w）；
至于求出来时域和频域的特性之后，您再想把数据用于什么用途，那就不是我能关心得了的了。
例子：。
输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换
文章标题：深度解析输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换一、引言在科学与工程领域中，拉氏变换是一种十分重要的数学工具，它能够将一个函数从一个域转换到另一个域，为我们解决各类问题提供了便利。
其中，其中输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换是比较常见且具有重要意义的两种变换方式。
本文将深入探讨这两种变换的原理与应用，以及它们在实际中的意义。
二、输出量的拉氏变换1. 输出量的拉氏变换概述在探讨输出量的拉氏变换之前，我们首先需要了解什么是输出量。
在控制系统中，输出量是指系统对输入信号的响应，它可以是系统的输出变量或者状态变量。
通过对输出量进行拉氏变换，我们可以将系统的时域响应转换到复频域，从而能够更加清晰地观察系统的频域特性和稳定性。
2. 输出量的拉氏变换的数学表达输出量的拉氏变换通常使用拉普拉斯变换来进行，其数学表达可以表示为：\[ \boldsymbol{X}(s) = \int_{0}^{\infty} e^{-st} \boldsymbol{x}(t)dt \]其中，\( \boldsymbol{X}(s) \) 是输出量的拉氏变换，\( \boldsymbol{x}(t) \) 是原始的输出信号，\( s \) 是复频域的变量。
3. 输出量的拉氏变换的应用输出量的拉氏变换在控制系统分析与设计中有着广泛的应用。
通过对系统的输出量进行拉氏变换，我们可以得到系统的传递函数，进而进行频域分析、稳定性分析、控制器设计等工作。
它为我们更好地理解系统的动态特性和频域特性提供了重要的数学工具。
三、输入量的拉氏变换1. 输入量的拉氏变换概述与输出量的拉氏变换相对应，输入量的拉氏变换是指对系统的输入信号进行拉氏变换，以便在复频域进行分析。
输入量是系统的激励信号，它可以是控制系统的输入变量或者外部扰动。
2. 输入量的拉氏变换的数学表达输入量的拉氏变换同样使用拉普拉斯变换来进行，其数学表达为：\[ \boldsymbol{U}(s) = \int_{0}^{\infty} e^{-st} \boldsymbol{u}(t) dt \]其中，\( \boldsymbol{U}(s) \) 是输入量的拉氏变换，\( \boldsymbol{u}(t) \) 是原始的输入信号。
hs与gs的关系拉氏变换
hs与gs的关系拉氏变换
摘要：
1.HS 与GS 的定义与关系
2.拉氏变换的概念与应用
3.HS 与GS 在拉氏变换中的作用
4.总结
正文：
1.HS 与GS 的定义与关系
HS（Herbert-Saxon）变换是一种用于解决线性时变系统的微分方程的数学方法，它是由Herbert 和Saxon 于1948 年提出的。
GS（Gronwall-Samuelsson）定理是微分方程数值解法的一种，它是由Gronwall 和Samuelsson 于1914 年提出的。
HS 与GS 的关系紧密，GS 定理可以作为HS 变换的理论基础。
2.拉氏变换的概念与应用
拉氏变换是一种数学工具，主要用于将一个函数从时域转换到频域。
拉氏变换具有很好的性质，例如线性性质、时不变性、微分性质等。
在工程领域，拉氏变换被广泛应用于控制系统、信号处理、通信系统等方面。
3.HS 与GS 在拉氏变换中的作用
HS 变换在拉氏变换中主要起到时域到频域的转换作用，将微分方程转化为更易于处理的形式。
GS 定理在拉氏变换中的作用则是保证解的收敛性，为HS 变换提供理论支持。
通过HS 与GS 的结合，可以有效地解决线性时变系
统的微分方程。
4.总结
HS 与GS 的关系在拉氏变换中得到完美的体现，两者相辅相成，共同为微分方程的求解提供了强大的工具。
HS 变换将微分方程转化为频域形式，GS 定理则保证了解的收敛性。
拉氏变换在工程中的应用
拉氏变换在工程中的应用
拉氏变换在工程中有很多应用，包括系统分析与设计、信号处理、控制系统、通信系统等等。
1. 系统分析与设计：拉氏变换可以将微分方程转化为代数方程，从而方便对系统的稳定性、频率响应和传递函数等进行分析和设计。
2. 信号处理：拉氏变换可以将时域信号转化为频域信号，从而可以进行频谱分析、滤波、降噪等处理。
3. 控制系统：拉氏变换可以将输入与输出之间的关系转化为传递函数，从而方便对系统的稳定性、响应速度、误差等进行分析和设计。
4. 通信系统：拉氏变换可以对传输信号进行频域分析和设计，从而优化通信系统的频谱利用率和传输性能。
总之，拉氏变换在工程中的应用非常广泛，可以帮助工程师进行系统分析与设计、信号处理、控制系统、通信系统等方面的工作。
拉氏变换及应用
§2-3拉普拉斯变换及其应用时域的函数可以通过线性变换的方法在变换域中表示，变换域的表示有时更为简捷、方便。
例如控制理论中常用的拉普拉斯变换，简称拉氏变换，就是其中的一种。
一、拉氏变换的定义已知时域函数，如果满足相应的收敛条件，可以定义其拉氏变换为(2-45)式中，称为原函数，称为象函数，变量为复变量，表示为(2-46)因为是复自变量的函数，所以是复变函数。
有时，拉氏变换还经常写为(2-47)拉氏变换有其逆运算，称为拉氏反变换，表示为(2-48)上式为复变函数积分，积分围线为由到的闭曲线。
二、常用信号的拉氏变换系统分析中常用的时域信号有脉冲信号、阶跃信号、正弦信号等。
现复习一些基本时域信号拉氏变换的求取。
(1)单位脉冲信号理想单位脉冲信号的数学表达式为(2-49)且(2-50)所以(2-51)说明：单位脉冲函数可以通过极限方法得到。
设单个方波脉冲如图2-13所示，脉冲的宽度为，脉冲的高度为，面积为1。
当保持面积不变，方波脉冲的宽度趋于无穷小时，高度趋于无穷大，单个方波脉冲演变成理想的单位脉冲函数。
在坐标图上经常将单位脉冲函数表示成单位高度的带有箭头的线段。
由单位脉冲函数的定义可知，其面积积分的上下限是从到的。
因此在求它的拉氏变换时，拉氏变换的积分下限也必须是。
由此，特别指明拉氏变换定义式中的积分下限是,是有实际意义的。
所以，关于拉氏变换的积分下限根据应用的实际情况有，，三种情况。
为不丢掉信号中位于处可能存在的脉冲函数，积分下限应该为。
(2)单位阶跃信号单位阶跃信号的数学表示为(2-52)又经常写为(2-53)由拉氏变换的定义式，求得拉氏变换为(2-54)因为阶跃信号的导数在处有脉冲函数存在，所以单位阶跃信号的拉氏变换，其积分下限规定为。
(3)单位斜坡信号单位斜坡信号的数学表示为(2-55)图2-15单位斜坡信号另外，为了表示信号的起始时刻，有时也经常写为(2-56)为了得到单位斜坡信号的拉氏变换，利用分部积分公式得(2-57)(4)指数信号指数信号的数学表示为(2-58)拉氏变换为(2-59)(5)正弦、余弦信号正弦、余弦信号的拉氏变换可以利用指数信号的拉氏变换求得。
电路分析基础 第10章 拉氏变换及其应用
达式直接求出
11
11
s (1 esT / 2 ) s (1 es )
f (t) (t) (t 1) (t 2) (t 3)
(1)k (t k)
k0
F(s) L
f (t)
( 1) k e ks
k0
1 s
1 s
1 1 es
等比（ es）级数
6. 拉氏逆变换 (Inversion of Laplace Transform)
2. 反变换
f (t ) 1
2 j
j
F
(
s
)e
st
ds
j
简写为：f (t)
L1[F (s)]
对应关系：f (t) F(s)
3.常用函数的拉氏变换
L[eat (t )] 1
sa L[ (t)] 1
s
L[ (t)] = 1
sin(t) (t) s2 2
cos(t) (t)
s
s2 2
uLd
为
电
感
中
电流的初 Nhomakorabea值
UL (s)
u( 1 L
)
(
0
)
Ls
Ls
UL (s) iL (0 )
Ls
s
时域平移性质 设：L[ f (t)] F (S)
L[ f (t t0 ) (t t0 )] est0 F ( S ) est0为延迟因子
f(t)(t)
f(t-t0)(t-t0)
f(t)(t-t0)
F1 ( S )
例 设周期函数T=2S，求其象函数F(s)。
f(t)
解 方法一 ：第一个周期可描述为
1 01 方法二
常微分方程拉氏变换法求解常微分方程课件
求解得到的代数方程，得到$F(s)$的表达式。
解出常微分方程的解
要点一
反变换求解
通过反拉氏变换将$F(s)$还原为$f(t)$，从而得到常微分方 程的解。
要点二
验证解的正确性
将得到的解代入原常微分方程进行验证，确保解的正确性。
06
总结与展望
总结
拉氏变换法的优势
拉氏变换法在求解常微分方程时 具有明显的优势，它可以将复杂 的微分方程转化为代数方程，大 大简化了求解过程。
通过逐一求解一阶常微分方程，拉氏变换法可以应用于高阶微分方程的求解。
拉氏变换法的缺点
计算量大
在应用拉氏变换法求解常微分方程时，需要进行复 杂的积分和代数运算，计算量较大。
对初值条件敏感
对于某些常微分方程，初值条件的微小变化可能导 致拉氏变换法的失效。
不易理解
拉氏变换法的概念较为抽象，不易被初学者理解。
与其他方法的结合
可以考虑将拉氏变换法与其他数值方法或解析方法结合，以更有效 地求解各种类型的微分方程。
实际应用价值
随着科学技术的不断发展，常微分方程在各个领域的应用越来越广 泛，因此拉氏变换法在实际应用中也将发挥更大的作用。
感谢观 看
THANKS
信号处理中，拉氏变换法可以用于分析信号的滤波、调制 和解调等过程，优化信号处理效果。
04
拉氏变换法的优缺点
拉氏变换法的优点
求解过程简化
拉氏变换法可以将复杂的常微分方程转化为简 单的代数方程，从而简化了求解过程。
适用于多种初值条件
拉氏变换法可以处理多种初值条件，使得该方 法具有更广泛的适用性。
可应用于高阶微分方程
拉氏变换法求解一阶常微分方程
拉氏逆变换及拉氏变换的应用
sX
Y
0．
例x(50)求 1微，分y(方0)程 1的xx解 y2。y
x 0，
0
， 满足初始条件
x(0)
3
，
解此代数方程组，得
X
(s)
1， s2 1
Y
(s)
s． s2 1
取拉氏逆变换，得所求解 x(t) sin t ，
y(t)
1 s3
e2t 2
L1
2! s3
1 t2e2t 2
例1 求下列象函数的逆变换。
(1)F (s) 1 ;(2)F (s) 1 ;
s3
(s 2)3
(3)F (s) 2s 5 ;(4)F (s) 4s 3 .
s2
s2 4
（3）由性质1，得
f
(t)
L1
2s s2
5
2L1
1 s
二、拉氏变换的应用举例
例4 求微分方程 x(t) 2x(t) 0 满足初始条件 x(0) 3 的 解。
解 第一步，对方程两边取拉氏变换，并设 L[x(t)] X (s) L[x(t) 2x(t)] L[0]， L[x(t)] 2L[x(t)] 0， sX (s) x(0) 2X (s) 0
解
f
(t)
L1[F
(s)]
L1
s2
3s 4 4s
5
L1
3(s 2) (s 2)2
2 1
3L1
(s (s
2) 2)2
1
2L1
(s
1 2)2
1
3e2t
L1
s
2
s
1
2e2t
L1
s
1 2
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§2-3拉普拉斯变换及其应用时域的函数可以通过线性变换的方法在变换域中表示，变换域的表示有时更为简捷、方便。
例如控制理论中常用的拉普拉斯变换，简称拉氏变换，就是其中的一种。
一、拉氏变换的定义已知时域函数，如果满足相应的收敛条件，可以定义其拉氏变换为(2-45)式中，称为原函数，称为象函数，变量为复变量，表示为(2-46)因为是复自变量的函数，所以是复变函数。
有时，拉氏变换还经常写为(2-47)拉氏变换有其逆运算，称为拉氏反变换，表示为(2-48)上式为复变函数积分，积分围线为由到的闭曲线。
二、常用信号的拉氏变换系统分析中常用的时域信号有脉冲信号、阶跃信号、正弦信号等。
现复习一些基本时域信号拉氏变换的求取。
(1)单位脉冲信号理想单位脉冲信号的数学表达式为(2-49)且(2-50)所以(2-51)说明：单位脉冲函数可以通过极限方法得到。
设单个方波脉冲如图2-13所示，脉冲的宽度为，脉冲的高度为，面积为1。
当保持面积不变，方波脉冲的宽度趋于无穷小时，高度趋于无穷大，单个方波脉冲演变成理想的单位脉冲函数。
在坐标图上经常将单位脉冲函数表示成单位高度的带有箭头的线段。
由单位脉冲函数的定义可知，其面积积分的上下限是从到的。
因此在求它的拉氏变换时，拉氏变换的积分下限也必须是。
由此，特别指明拉氏变换定义式中的积分下限是,是有实际意义的。
所以，关于拉氏变换的积分下限根据应用的实际情况有，，三种情况。
为不丢掉信号中位于处可能存在的脉冲函数，积分下限应该为。
(2)单位阶跃信号单位阶跃信号的数学表示为(2-52)又经常写为(2-53)由拉氏变换的定义式，求得拉氏变换为(2-54)因为阶跃信号的导数在处有脉冲函数存在，所以单位阶跃信号的拉氏变换，其积分下限规定为。
(3)单位斜坡信号单位斜坡信号的数学表示为(2-55)图2-15单位斜坡信号另外，为了表示信号的起始时刻，有时也经常写为(2-56)为了得到单位斜坡信号的拉氏变换，利用分部积分公式得(2-57)(4)指数信号指数信号的数学表示为(2-58)拉氏变换为(2-59)(5)正弦、余弦信号正弦、余弦信号的拉氏变换可以利用指数信号的拉氏变换求得。
由指数函数的拉氏变换，可以直接写出复指数函数的拉氏变换为(2-60)因为(2-61)由欧拉公式(2-62)有(2-63)分别取复指数函数的实部变换与虚部变换，则有：正弦信号的拉氏变换为(2-64)同时，余弦信号的拉氏变换为(2-65)常见时间信号的拉氏变换可以参见表2-1。
表2-1常见函数的拉普拉斯变换表三、拉氏变换的一些基本定理(1)线性定理若函数的拉氏变换分别为，则(2-66)(2)延迟定理若函数的拉氏变换为，则(2-67)信号与它在时间轴上的平移信号的关系见图2-18所示。
该定理说明了时间域的平移变换在复数域有相对应的衰减变换。
应用延迟定理，可以简化一些信号的拉氏变换的求取。
例2-9周期锯齿波信号如图2-18所示，试求该信号的拉氏变换。
解：该信号为周期信号。
因此，已知信号第一周期的拉氏变换为时，应用拉氏变换的延迟定理，得到周期信号的拉氏变换为锯齿波信号第一周期的拉氏变换为所以，锯齿波信号的拉氏变换为(3)衰减定理若函数的拉氏变换为，则(2-68)该定理说明了时间信号在时间域的指数衰减，其拉氏变换在变换域就成为坐标平移。
当时间函数带有指数项因子时，利用拉氏变换的衰减定理，可以简化其拉氏变换的求取计算。
例2-10试求时间函数的拉氏变换。
解：因为正弦函数的拉氏变换为所以，应用拉氏变换的衰减定理可以直接写出另外，衰减定理与延迟定理也表明了时间域与变换域的对偶关系。
(4)微分定理若函数的拉氏变换为，且的各阶导数存在，则各阶导数的拉氏变换为(2-69)(2-70)…………(2-71) 当所有的初值(各阶导数的初值)均为零时，即则(2-72)(2-73)…………(2-74)证明：(在此只证明一阶导数的拉氏变换，其余请读者自证) 由拉氏变换的定义式利用分部积分公式令则所以证毕。
(5)积分定理若函数的拉氏变换为，则(2-75)定理的证明同样采用分部积分公式可以证得，请读者自证。
式中为函数的在时刻的积分值。
积分定理与微分定理互为逆定理。
(6)初值定理若函数的拉氏变换为，且在处有初值，则(2-76)即时域函数的初值，可以由变换域求得。
证明由微分定理令即可证得。
注意，拉氏变换的初值定理是满足拉氏变换的定义的，因此由初值定理所求得的时间信号的初值为，而不是或者。
例如阶跃信号，可以利用拉氏变换的初值定理求得其初值为(7)终值定理若函数的拉氏变换为，且存在，则(2-77)即时域函数的终值，也可以由变换域求得。
证明：由微分定理两边对取极限因为，所以方程左边方程右边所以证毕。
(8)卷积定理若时域函数分别有拉氏变换，时域函数的卷积分为(2-78)又常表示为(2-79)则其拉氏变换为(2-80)这表明时域函数卷积分在变换域成为变换域函数的乘积。
证明可参考其他教材。
时域函数在变换域中表示有两个优点。
一个优点是简化了函数，例如指数函数和正、余弦函数都是时域中的超越函数，在变换域中成为有理函数表示；另一个优点是简化了运算，如时域函数的卷积分在变换域中成为变换域函数的乘积。
常用的拉氏变换基本定理可以参见表2-2。
表2-2 拉普拉斯变换的基本性质表四、拉普拉斯反变换拉普拉斯变换将时域函数变换为复变函数，相应地它的逆运算可以将复变函数变换回原时域函数。
拉氏变换的逆运算称为拉普拉斯反变换，简称拉氏反变换。
由复变函数积分理论，拉氏反变换的计算公式为(2-81)上式的拉氏反变换，由于是复变函数的积分，计算复杂，一般很少采用。
所以已知反求时，通常采用的方法是部分分式法。
由于工程中常见的时间信号，它的拉氏变换都是s的有理分式。
因此，可以将分解为一系列的有理分式之和，再利用拉氏变换表确定出所有的有理分式项所对应的时域函数，合成时域函数。
上述过程遵循的是拉氏变换的线性定理。
拉氏变换通常为s的有理分式，可以表为(2-82)式中，是分子多项式，是分母多项式，系数和均为实数，，为正整数，而且。
在复变函数理论中，分母多项式所对应的方程，其所有的解称为的极点。
这样可以表示为(2-83)由复变函数的留数定理，可以确定的各分式，求得拉氏反变换为(2-84)下面分别讨论各种计算情况。
1．全部为单根可以分解为(2-85)其中(2-86)为复变函数对于极点的留数。
则拉氏反变换为(2-87)例2-11 已知：，求拉氏反变换。
解：将分解为部分分式极点为：，则对应极点的留数为则分解式为查拉氏变换表可得2．有重根只考虑一个单根情况，设为单根，为重根，，则可以展开为(2-88)式中，与单根相对应的系数的求法与前述相同。
与重根相对应的各系数，，由留数定理可得计算公式如下：(2-89)…………(2-90)因为所以，拉氏反变换为(2-91)例2-12求的拉氏反变换。
解：可以分解为系数C1，C2，分别对应单根，，由前述单根情况计算为系数分别对应二重根s3=-1于是，的分解式为查表求得拉氏反变换为3．A(s)=0有共轭复数根时域函数有共轭复数根时，可以将其作为单根(互不相同)来看待。
但是在分解时，涉及到复数运算，计算繁琐。
拉氏变换中有如下的变换对：上述变换对的分母都是共轭复数形式的二次三项式，相对应的反变换均为正余弦型。
所以，除了可以按照单根情况计算外，还可以按照下述例题的计算步骤进行计算。
例2-13已知，试求其拉氏反变换。
解：因为分子多项式的次数与分母多项式的次数相等，必然存在常数项，而常数项的拉氏反变换为脉冲函数，所以有：第一步，将分子多项式除以分母多项式，分离常数项为第二步，将余式的二次三项式按照上述拉氏变换表整理为第三步，写出拉氏反变换。
因为所以五、拉氏变换法求解微分方程列出控制系统的微分方程之后，就可以求解该微分方程，利用微分方程的解来分析系统的运动规律。
微分方程的求解方法，可以采用数学分析的方法来求解，也可以采用拉氏变换法来求解。
采用拉氏变换法求解微分方程是带初值进行运算的，许多情况下应用更为方便。
拉氏变换法求解微分方程步骤如下：(1)方程两边作拉氏变换。
(2)将给定的初始条件与输入信号代入方程。
(3)写出输出量的拉氏变换。
(4)作拉氏反变换求出系统输出的时间解。
例2-14 滤波电路如图2-19所示，输入电压信号，电容的初始电压分别为0V和1V时，分别求时域解。
解：RC电路的微分方程为方程两边作拉氏变换由拉氏变换的线性定理得由拉氏变换的微分定理得将系统参数值带入整理得输出的拉氏变换为（1）时，（2）时，§2-4 传递函数前面讲述了线性定常系统的微分方程，它是一种时域描述，是以时间t为自变量对系统进行分析的，根据所得的微分方程，求微分方程的时域解，也就获得了系统的运动规律。
但是，基于时域的微分方程用于控制系统的分析与设计时，在使用上有诸多不便，如系统内部结构不明确、微分方程求解麻烦等。
传递函数是变换域描述系统的一种数学模型。
是以参数来表示系统结构的，因此又称为系统的参数模型。
传递函数是基于拉氏变换而得到的。
拉氏变换将时域函数变换为复频域函数，简化了函数，同时将时域的微分、积分运算，简化为代数运算，方便了工程分析和计算，所以得到普遍的应用。
一、传递函数的定义设描述线性定常系统的微分方程为(2-92)式中，为输出变量的各阶导数，为输入变量的各阶导数，为输出变量各阶导数的常系数，为输入变量的各阶导数的常系数。
令所有的初始条件全部为0，即(2-93)(2-94)将方程两边作拉氏变换，得(2-95) 得到输出信号的拉氏变换为(2-96)则定义输出变量拉氏变换与输入变量拉氏变换的比值为系统的传递函数，用表示，即(2-97)则系统输出函数为(2-98)即对应于时域中的卷积积分。
二、传递函数的性质1．传递函数只适用于线性定常系统由于传递函数是基于拉氏变换，将原来的线性常系数微分方程从时域变换至复频域得到的，故仅用于描述线性定常系统。
2．传递函数是在零初始条件之下定义的，因此，它表示了系统内部没有任何能量储存条件下的系统描述，即。
如果系统内部有能量储存，将会产生系统在非零初始条件下的叠加项，即(2-99)例2-15 RLC网络如图2-21所示：(1)求传递函数。
(2)当时，写出输出响应。
解：(1)系统的微分方程为令所有初值为零，方程两边作拉氏变换，上式各线性叠加项的拉氏变换为,得到系统的传递函数为(2)当时，将微分方程两边带初值作拉氏变换得整理得输出响应的拉氏变换为即式中即为非零初始条件下的叠加项。
3．传递函数是可以有量纲的传递函数的物理单位由输入、输出的物理量的量纲来确定。
如力学系统其传递函数的物理单位可以为[米]／[牛]，也就是作用力产生位移的刚度系数。