浙江大学20102011秋冬学期微积分I期末考试2
百度文库 - 让每个人平等地提升自我 1 微积分习题一 一、填空题（每题3分，总计15分）。 1、]1sin2)1cos([lim)(lim200320021xxxxxcxcxxxx，则c . 2、设)(xf在0xx处连续，且) ()(lim00为常数AAxxxfxx，则)(0xf . 3、已知baxxxf23)(在1x处有极值-2，则)(xf的极大值为 . 4、已知)(,0)0(,ln1)(lnxffxxxf则且 . 5、若向量x垂直于向量1,3,2a与向量3,2,1b，且与向量 1,1,2c
的数量积等于-6，则向量x .
二、单向选择填空题（每题3分，总计15分） 1、 1、 设函数0)0(0)(]10[)(fxfxf且上，在，下列关系正确的是（ ）. A.)0()1()0()1(ffff B. )0()0()1()1(ffff C. )0()1()0()1(ffff D. )0()1()0()1(ffff 2、 2、 下列广义积分收敛的是（ ）.
A. 121dxxx B. 1021sin1dxxx C. 10lnxdx D. aaxdx的常数）0(32 3、 3、 已知0,1)(,)(xxdxdyxxfefy则= （ ）. A. 1 B. e C. 2 D. 0
4、曲线 )40(2cos0xdttyx的弧长为（ ）. 百度文库 - 让每个人平等地提升自我 2 A. 1 B. 2 C. 21 D. 12 5、函数 1,cos1,2)(xxaxxxf 处处连续，则 a( ). A. 2 C. 1 D. –1
三、计算题（每题6分，总计48分）。
1.设()fx连续，且(0)0,(0)1.ff 求 22000()lim.()xxxxfudufudu 2.设函数()fx可导，求 2()(tan)1xxyfxx 的导数。 3.已知()yyx是由方程 1yxye所确定的隐函数，求(0)y.
4.已知)sin(cos)cos(sintttaytttax，求 22dxyd 在 2t 处的值. 5. 求 2.(1)xdxe 6. 求 lncos1cos2xdxx 7.求通过直线 0,10xyzxyz和点(1,1,1)的平面方程.
8.已知 0()2,[()()]sin5,ffxfxxdx 求(0).f 四、应用题（15分）。
1、设直线)10(:1aaxyL与抛物线 22:Lyx 所围成的图形的面积为1,S又设12,LL与直线 1x所围成的图形的面积为2,S （1） （1） 试确定a的值及使 12SS 达到最小，并求出最小值. （2） （2） 求由该最小值所对应的平面图形绕 x轴旋转一周所得的旋转体的体积. 2.设有一半径为4米的半球形水池，里面充满了水.问将池中的水全部抽出需作多少功？ 五、证明题（共7分）
1. 1. 证明不等式 1(1)ln(1)xexx 在 0x 时成立. 2. 设()fx在[,]ab上连续，(,)ab内可导，且()()1.fafb 试证明存在 ,(,)ab，使得 [()()]1.eff 百度文库 - 让每个人平等地提升自我 3 答案： 一、填空题（每题3分，总计15分）。
1、c2ln21 2、 )(0xfA. 3、极大值为23. 4、1)1()(xexxxf. 5、x}3,3,3{. 二、单向选择填空题（每题3分，总计15分）
5. B
三、计算题（每题6分，总计48分）。
1.设()fx连续，且(0)0,(0)1.ff 求 22000()lim.()xxxxfudufudu
1)()(41)0()(43lim)(4)()()(2lim)(2)()(2lim)()(lim202020000202xfxfxfxfxfxxfxxfxf
xfxxfduufduufduufx
xxxxxxx
2.设函数()fx可导，求 2()(tan)1xxyfxx 的导数。 xxxfxxxxxyx22sectan2)(tan111ln1
3.已知()yyx是由方程 1yxye所确定的隐函数，求(0)y.
0)0()(20)0(2yyeyeyxyyexyyyeyxy
yyy
y
4.已知)sin(cos)cos(sintttaytttax，求 22dxyd 在 2t 处的值. 百度文库 - 让每个人平等地提升自我
4 adxydttatattdxydtttttattttadxdyt2csc1sin
csccot)sincos(cos)cossinsin(2223222
5. 求 2.(1)xdxe ceeeIxxx1ln1
1
6. 求 lncos1cos2xdxx cxxxxI)tancosln(tan2
1
7.求通过直线 0,10xyzxyz和点(1,1,1)的平面方程. 035zyx
8.已知 0()2,[()()]sin5,ffxfxxdx 求(0).f 3)0(f
四、应用题（15分） 1.设有一半径为4米的半球形水池，里面充满了水.问将池中的水全部抽出需作多少功？
402(2.62764)16(千焦）gxdxxgW
2、设直线)10(:1aaxyL与抛物线 22:Lyx 所围成的图形的面积为1,S又设12,LL与直线 1x所围成的图形的面积为2,S （3） （1） 试确定a的值及使 12SS 达到最小，并求出最小值. aaaadxaxxdxxaxSSS01322213123)()(
622)22(02)22(,22,0minSSaS所以
（4） （2） 求由该最小值所对应的平面图形绕 x轴旋转一周所得的旋转体的体积. 百度文库 - 让每个人平等地提升自我 5 12224220423012)2()2(dxxxdxxxVx
2.设有一半径为4米的半球形水池，里面充满了水.问将池中的水全部抽出需作多少功？
402(2.62764)16(千焦）gxdxxgW 五、证明题（共7分） 2. 1. 证明不等式 1(1)ln(1)xexx 在 0x 时成立. 令)(xf0)0()1ln()1(1fxxex
则不等式成立0)0()(0)0()()0(011)(0)0(1)1ln()(fxffxfxxexffxexf
xx
2. 设()fx在[,]ab上连续，(,)ab内可导，且()()1.fafb 试证明存在 ,(,)ab，使得 [()()]1.eff
微积分习题二 一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1. 极限)11()311)(211(lim222nn＝_______. 2. 曲线123xxy的凸(向上凸)区间是______________.
3. 3. 设)(xf在),(内处处可导，则极限hhxfhxfh)2()(lim0 ＝____________________. 百度文库 - 让每个人平等地提升自我 6 4. 4. 曲线,0,42zxy绕y轴旋转而成的曲面方程是_______________. 5. 5. 微分 dxxfedx)(tan＝_________________. 二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
1. 设cba,,均为非零向量，则与b向量不垂直的向量为（ ）.
A.bbab)( B.ba C.cbabca)()( D.bbbbaa 2. 若函数dcxbxaxy23满足032acb，则此函数必( ). A.有极值 B.无极值 C.不单调 D.不可导 3. 下列广义积分发散的是( ).
A.10xdx B.dxxex0 C.112xdx D.21xdx 4. 星形线)0(,sin,cos33ataytax的全长是( ) A.a8 B.a4 C.a5 D.a6 5. 一物体按规律2tx作直线运动，媒质的阻力与速度的平方成正比，比例常数为k，则此物体从0x移至ax时克服媒质阻力所作的功为( ).
A.22ak B.32ak C.32ka D.22ka
三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1. 求极限02sin00cosarcsinlimxxxdtttdttt. 2. 求由参数方程,arctan),1ln(2ttytx所确定的函数的二阶导数22dxyd
3. 设函数)(xyy由方程yxdttyxx02sec)tan(2所确定，求 22dxyd. 4. 计算积分dxxarctan
5. 计算积分dxxx423.
微积分试卷
三、计算题(每小题 8 分,共 48 分) 1. 求
1 1 2
x ln(1 x) dx . x2
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浙江工商大学《微积分(下)》课程考试试卷，适用专业：财经管理类(A 层)
2. 求
3
1 ( x 1)
4
x2 2x
dx .
z 2 z y 3. 设 z x 3 f ( xy , ) , f 具有二阶连续偏导数,求 , . x y y 2
浙江工商大学《微积分(下)》课程考试试卷，适用专业：财经管理类(A 层)
浙江工商大学 2012/2013 学年第二学期期末考试试卷
课程名称： 微积分(下)(A 层) 考试方式： 闭卷 完成时限： 120 分钟 班级名称：
题号 分值 得分 阅卷人 一 15
学号：
二 15 三 42 四 18
姓名：
z z n x y
2. 设正项级数
an 收敛,证明级数
n 1
a
n 1
2 n
也收敛.
第 11 页 共 24页
浙江工商大学《微积分(下)》课程考试试卷，适用专业：财经管理类(A 层)
浙江工商大学 2010/2011 学年第二学期期末考试试卷
课程名称： 微积分(下)(A 层) 考试方式： 闭卷 完成时限： 120 分钟 班级名称：
3. 设 z z ( x , y ) 是由方程 z 5 xz 4 yz 3 1 确定的隐函数,求
2z . xy ( 0, 0 )
4. 计算二重积分
ydxdy
D
,其中 D 是由直线 x 2 , y 0 , y 2 及曲线
x 2 y y 2 所围成的平面区域.
浙江大学2011-2012数学分析(2)-试卷及答案(baidu-word版)(K12教育文档)
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浙江大学20 11 —20 12 学年 春夏 学期《 数学分析(Ⅱ）》课程期末考试试卷（A)课程号： 061Z0010 ，开课学院：___理学部___ 考试形式：闭卷,允许带___笔____入场考试日期： 2012 年 6 月 18 日，考试时间: 120 分钟诚信考试，沉着应考，杜绝违纪。
考生姓名： 学号： 所属院系： _一、 计算下列各题: ( 每题5分，共35分 )1. 22()(02)()(02)2222()(02)()(02)ln(1)lim lim 4.sin ln(1)ln(1)lim =lim 4.sin sin x y x y x y x y xy xy xx xy xy x y x xy x→→→→+==++⋅⋅=，，，，，，，，【方法一】：【方法二】： 2. 22222221(1)()()12.(1)1(1)11zxy x y y z x xxy x x x x y xy ∂--+-∂=⋅==-∂-+∂+⎛⎫++ ⎪-⎝⎭， 3. 1:(){r t t t =，平行，并求该点处的切线方程.22(1){1}{121}=120 1.{111}1111(2)(1)1.2323s t t n s n t t t s P x y z ==-⋅-+=⇒==-=-=-曲线的切向量，，，平面的法向量，，，由于切线与平面平行，则：切向量，，切点，，，因此，切线方程为：4.121433411fl i j l i j l ∂=+=-=∂有连续偏导数，，；且在点，23.fl ∂=-∂求：12124334(1){}{}55554334+11+() 3.555579.(2)(12)79.ll f f f f f f x y x y l l f fx yf fP dz dx dy dx dy x y-∂∂∂∂∂∂=⋅⋅==⋅⋅-=-∂∂∂∂∂∂∂∂==∂∂∂∂=+=+∂∂与、同方向的单位向量分别为，、，，则：，因此，，在点，处的全微分为：5.11132132010()()().y y I dy f x y dx dy f x y dx dy f x y dx --=+=⎰⎰⎰⎰，，，6. 112222222211222211111111111(1)1()1()().28284111lim [(1)].4nn nn n n n u eo o on n nn nn n n n n u e n n+∞+∞→+∞==⎛⎫⎛⎫=-+=+++-+-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-+∑∑则，，而收敛，因此，原级数收敛7. 2224.3C x y z xds C x y z ⎧++=⎨++=⎩⎰计算：，其中：(1) 1.1(2)()22.3CC C O d C r I x y z ds ds r ππ====++===⎰⎰曲线为圆，原点到平面的距离的半径根据对称性，二、计算题：（每题8分，共48分)8.()()()()1111112011112111(11).111()..(1)()()ln 1.(11)(1)1122()12122n n n n x nn n n n n n n n n n n n n f x x x n n f x nx nx nx dx x x x xf x f x x x x xn n f n n ∞∞++==∞∞∞∞--====∞∞+===-++''⎛⎫⎛⎫'==== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭'=⇒=+--<<--==++∑∑∑∑∑∑⎰∑∑令：，则：级数的收敛区间为，则：而因此，故，22ln 2.=-9. ()()12211122221222221112222(1)2.(2)222.42()(1).xy xy xy xy xy xy xy xy xy zxf ye f x z x yf xe f e f xye f ye yf xe f x y xyf x y e f xye f xy e f ∂=+∂∂=-++++-+∂∂=-+-+++ 10. 2244().1.Dx y dxdy D x y ++=⎰⎰计算：其中是由曲线所围区域14442(cos sin )223002tan 22444440000cos (1)()sin 114sin cos sin cos 11((2)00 1.2Du x r x y dxdy d r dr y r d d u du u u u x x r y πθθπθπθθθθθθθθθπθ-+=+∞+∞=⎧+=⎨=⎩+===+++⎫=-=⎪⎭⎧=∂⎪≤≤≤≤⇒⎨=⎪⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰令：，则：令：，1112222202224000)()()4()4(cos sin 1112211DD uy r D x y dxdy x y dxdy d r u du uu u πππθθθθθθ+∞=∂+=+=++==+⎫=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，，设由曲线所围区域中第一象限部分为，根据区域的对称性，0+∞=⎪⎭11.()2222221(0)211cos 0cos 201112.241(sin )4sin cos 2422.2zzx y z z z u xxu z x y z xoy e z I e dV I d rdr dz r dr r x x xedx ue du I e dzdxdy ππθππππππ++≤≥=+≤-===-==⋅---===⎰⎰⎰⎰⎰⎰=⎰⎰⎰⎰⎰由于积分区域关于平面对称，被积函数关于为偶函数，因此，【方法一】：令：【方法二】：()12011200211cos 2cos 222011cos 202(1)2(1)2()22(1)2(2)2.2sin 4sin 44(1)2.z z z e z dze z e ze dz e e I d d ed de d ed e d πππρϕρϕπρϕρππππππθϕρϕρπρρϕϕπρρπρρπ-⎡⎤=---=---=⎢⎥⎣⎦===-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰【方法三】：12.22(xdydz ydzdx x y ∑+=++⎰⎰(){x y z x =，，()()133322222222222222222252222222213222222(1)()()()33330.()(2):(01).z P Q R x y z x y z x y z x y z x y z P Q R x y zx y z x y z xdydz ydzdx zdxdyxdydz ydzdx zdxdyI xy zxy εε-∑+∑===++++++++---∂∂∂++==∂∂∂++∑++=<<++++=-+++⎰⎰设，，，则：添加曲面，取外侧则：()()111222213223222233331111140334.3(.)xy z zP Q R xdydz ydzdx zdxdy dxdydz x y z x y zxdydz ydzdx zdxdy dV επεπεεε-∑Ω∑∑++≤+⎛⎫∂∂∂++=+++ ⎪∂∂∂⎝⎭++=+++==⋅⋅=Ω∑∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中：为、之间的空间区域13. 222()()().1Ly z dx z x dy x y dz L x y z -+-+-++=⎰求曲线积分：其中是球面 222(1)(1)(1)4x y z z -+-+-=与的交线，从轴正向看为逆时针方向.2221:00..DDx y z L x y z L D x y z Storkes I dS dS x y z y zz xx y⎧++=++=⎨++=⎩∂∂∂===-∂∂∂---⎰⎰曲线，记平面上由曲线所围成的区域为，方向向上根据公式，三、证明题:(9分、8分，共17分）14.(1)()(2)()(00)(00)(3)().x y f x y f x y f f f x y ，在原点连续；，在原点处的偏导数，和，存在；，在原点不可微12222233()(00)22222223()(00)22200()1()(1)()lim0.4()()()lim 0.().()()(00)(2)(00)lim lim 1(00) 1.(3)lim x y x y x y x x x xy xy x y x y x y xy x y f x y x y f x f x f f x x →→∆→∆→∆→≤+=++⎛⎫ ⎪-+= ⎪ ⎪+⎝⎭∆-∆====-∆∆，，，，由于，因此，则：故，，在原点处连续，0，，；同样，，22220022222220()(00)(00)(00)()lim[()()]()lim .[()()](1)().x y y y k x x f x y f f x f y x y x y x y k x y k k f x y ∆→∆→∆→∆=∆∆→∆∆--∆-∆∆⋅∆=∆+∆∆⋅∆=∆+∆+，，，，而极限与有关，故，上式极限不存在；因此，，在原点处不可微15. (1){()}().n f x D f x 叙述函数列在区间上一致收敛于的定义(1)00()(){()}().(2)[]()()[]()[]00[]()().10[]0[n n N n N x D f x f x f x D f x a b S x S x x y x y S x S y N n N x εεαβαβαβεδαβδεεαδ∀>∃>>∀∈-<'⊂'∀>∃>∀∈''-<-<∀>∃=>>∀∈对，，当时，对均有，，则称函数列在上一致收敛于对任意，，，由于在，上连续，则：在，上一致连续，因此，对，，对、，，当时，有因此，对，，当时，对1()()]1()()()().0 1.[]()()().n n n n nS x S x S n S x S x S x n S x S S x n n x x n βθθεθαβ⎡⎤'+--⎢⎥⎣⎦''''=+⋅-'-=+<<<，都有，其中：在上因此，，一致收敛于。
2010-2011年度微积分I试题A答案(经管院外招生用)
暨南大学考试试卷答案与评分1. 函数()f x =ln(2)x +- 的定义域是(2,3)2. 设31()21x x f x x x -≥⎧=⎨+<⎩，则 1lim ()x f x -→=3； 1lim ()x f x +→=2-3. 函数1sinxy e =是由简单函数1,sin ,u y e u v v x===复合而成的.4. 01lim sin2x x x→=0 5. 1lim(1)x x x→∞-=1e -6. 已知323y x x =+，则y 的凸区间（下凹区间）是(,1)-∞-；拐点是(1,2)-7. 曲线 sin y x =上点(,0)π处的切线方程是x y π+=8. 设 y =，则 dy =dx9. 曲线2x y e -=的水平渐近线是0y =（A ） 22x x + ( B ) sin x ( C ) sin x x + ( D ) 3x 2. limx →∞sin xx=（ D ） （A ） 1 ( B ) 不存在 ( C ) ∞ ( D ) 0 3. 0sin 3limx xx→ =（ D ）（A ） 13( B ) 1 ( C ) 0 ( D ) 3 4. 曲线 31y x =+ 的铅垂渐近线为（ C ） （A ） 0y = ( B ) 1y = ( C ) 1x =- ( D ) 0x = 5. 设2()x f x e -=，若()0f ξ'=，则ξ=（ A ）（A ）0 ( B ) 2- ( C ) 1 ( D ) 26. 设11()11x x f x x +≠⎧=⎨=⎩，则函数()f x 在点1x =处（ C ）（A ）极限不存在 ( B ) 连续 ( C ) 间断 ( D ) 可导7. 函数32101y x x =++的3阶导数y '''=（ A ）（A ） 6 ( B ) 6x ( C ) 3x ( D ) 23x 8. 若0()0f x '=，0()0f x ''<，则0()f x 是函数()f x 的（ B ）（A ）极小值 ( B ) 极大值 ( C ) 最小值 ( D ) 最大值9. 已知某商品生产Q 个单位产品的成本函数是2()34Q C Q =+，则生产10个单位产品时的边际成本是（ A ）（A ） 5 ( B ) 28 ( C ) 2.8 ( D ) 3三、计算题（共7小题，每小题6分，共42分）1.求极限 4216lim 2x x x →--解：4216lim 2x x x →--42(16)lim (2)x x x →'-='-324lim 1x x →=……………………… 4分 34232=⨯= ……………………… 6分2.求极限 111lim()ln 1x x x →-- 解：111lim()ln 1x x x →--11ln lim(1)ln x x x x x →--=- ……………………… 1分 111lim1ln 1x xx x →-=+-……………………… 3分2121lim 11x x x x →=+ ……………………… 5分 12= ……………………… 6分3.求极限 21lim(1)n n n→∞-解：21lim(1)n n n →∞-11lim(1)(1)n n n n n→∞=-+ ……………………… 2分 11lim(1)lim(1)n n n n n n →∞→∞=-⋅+ ……………………… 4分 11e e -=⨯= ……………………… 6分4. 已知3ln 2tan x y x x arc x =+-+, 求导数dy dx. 解：3()(ln )(2)(tan )x y x x arc x '''''=+-+……………………… ２分221132ln 21x x x x =+-++ ……………………… 6分注：每个函数的导数求错扣1分，全错给0分．5. 已知2(sin 3cos3)y x x x =+, 求一阶导数y '和二阶导数y ''.解：22()(sin 3cos3)(sin 3cos3)y x x x x x x '''=+++ ……………………… ２分22(sin 3cos3)3(cos3sin 3)x x x x x x =++- ………………… 3分22(2)(sin3cos3)2(sin3cos3)(3)(cos3sin3)3(cos3sin3)y x x x x x x x x x x x x ''''=+++''+-+- ………………… 4分2(sin 3cos3)(29)12(cos3sin 3)x x x x x x =+-+- ………………… 6分6.已知y =求导数dy dx.解：y ''= ……………………… 1分= ……………………… 3分=3221(1)x =+ ……………………… 6分7．已知由 ln ln 0x x y y -+-= 确定y 是x 的可导函数，求导数dydx和微分dy . 解：方程 ln ln 0x x y y -+-= 两边对x 求导数，得1110y y x y''-+-= ………………………………… 2分由上式得 (1)(1)y x y x y -'=- …………………………………………… 4分于是 (1)(1)y x dy dx x y -=- ………………………………………… 6分四、解答题（8分）求函数()f x x x=+ 的单调区间和极值.解：函数的定义域为(,0)(0,)-∞⋃+∞．2222999(3)(3)()()1x x x f x x x x x x -+-''=+=-==由()0f x '=，解得 3x =-，3x =． …………………………… 3分 列表判别如下：所以区间(,3)-∞-、(3,)+∞是()f x 的单调增区间，区间(3,0)-、(0,3)是()f x 的单调减区间．在3x =处有极小值(3)6f =；在3x =-处有极大值(3)6f -=-。
微积分II期末模拟试卷3套含答案.docx
17、求曲线x3-xy+y3=l(x>0,y>0)±的点到坐标原点的最长距离和最短距离。
微积分II期末模拟试卷3(满分：100分；测试时间：100分钟) 三、填空题(3X5=15)
『1-/_“2
1、曲线<X=Joe du在(0, 0)处的切线方程为
y = t2ln(2-r2)
”=i2”=]n
(A)绝对收敛(B)条件收敛(C)发散(D)收敛性与入有关
7、曲线y=y(x)经过点(0,-1),且满足微分方程y'+2y = 4兀，则当兀=1时，y=()
(A)0；(B)l；(C)2；(D)4
8、设q,是圆域D = {(x,y)|/+y2 si}的第£象限的部分，记Ik=^{y-x)dxdy.则
(A)/, >/2>1.(B) l>/j >/2.(C)I2>/j >1.(D)l>/2>/,.
五、计算题(5X10=50)
12、计算下列定积分
1
(1)j2|ycsi：兀力.(2)求y=cos x - sin x, y = 0(0 < x < —) ^ x轴旋转的旋转体体积
12、计算下列多元微积分
(1)设z=f[x2-y.(p{xy)],其中f(〃，0具有二阶连续偏导数，(p(u)二阶可导，求
y = Jo ln(l + u)du
dx cf
2te= 0< dt
x —o = °
16、设非负函数y = y(x)(xnO)满足微分方程尢y"-y+2 = 0,当曲线y = y(x)过原点
时，其与直线x = \&y =0围成平面区域Q的面积为2,求D绕y轴旋转所得旋转体体积。
北科大2010-2011学年度第二学期高等数学期末考试试题A答案
北京科技大学本科生2010级第二学期高等数学（A Ⅱ）期末考试试卷（A ）答案一、 （1）852=++z y x ；（2）a 12;（3）2bba t ⋅-=;（4）1398; （5）5-，（6）0=''-'''y y ；二、（7）B ;(8)B ;(9)D ; (10)C ; (11)B ; (12)A ;三、（13）由题设1)1(,0)1(=='g g ， -------2分，又21)(zf xg y f y x''+'=∂∂， -------4分， 222121112)()()()]()([f x g x yg f x g x g x x g f y f xy f yx z'''+''+'+''+''+'=∂∂∂ -------8分，)1,1()1,1(),1,1(12111112f f f yx z y x ''+''+'=∂∂∂== -------10分，(14) 因为223236,6xy y x Q y xy P -=-=在整个xoy 面这个单连通域内具有一阶连续偏导数，且yPy xy x Q ∂∂=-=∂∂2312， 所以曲线积分在xoy 面内与路径无关. -------5分，如图选取积分路经原式⎰⎰-+-=31422)954()824(dy y y dx x23615680=+= -------10分，（15）令⎰⎰=Ddudv v u f A ),(，则A y x y x f π81),(22---=， -------2分，在D 上对上式两边积分，有⎰⎰⎰⎰⎰⎰---=DDDdxdy Adxdy y x dxdy y x f π81),(22 -------4分，⎰⎰--=2sin 02881πθππθArdr r dA A d --=---=⎰926)1(cos 3123πθθπ即A A --=926π，所以9112-=πA ， -------10分， 从而 π98321),(22+---=y x y x f -------11分， （16）原式)(1322dxdy z dzdx yz bxdydz b ++=⎰⎰∑-------2分， ⎰⎰⎰Ω++=dxdydz z z b b )3(1222-------5分，⎰⎰⎰+=zzD bd dzz bb σπ0222834 -------9分，32151634b b ππ+=------11分，四、(17) 由原方程知0)0(=f ，且有⎰⎰+-=x x dt t tf dt t f xx x f 0)()(sin )(两边对x 求导，得⎰-='x dt t f x x f 0)(cos )(（知1)0(='f ）两边再对x 求导，得x x f x f sin )()(-=+'' （＊） -------3分，这是二阶线性微分方程，由其特征方程012=+r 得i r ±=，又i i =+ωλ为方程的单根，故设特解 )sin cos (*x B x A x f += 代入（＊）式，得0,21==B A ，于是x x f cos 21*=，从而通解x x x C x C x f cos 21sin cos )(21++= 再由0)0(=f ，1)0(='f ，得21,021==C C ，故所求函数为 x x x x f c o s 21s i n 21)(+=． -------5分，(18). 设()f x 在[,]a b 上连续，利用二重积分，证明：()22()d ()()d ,bbaaf x x b a f x x ≤-⎰⎰ 其中:,.D a x b a y b ≤≤≤≤证明 2[()()]0,f x f y -≥2220[()()][()2()()()]bbbbaaaadx f x f y dy dx f x f x f y f y dy ∴≤-=-+⎰⎰⎰⎰ -------（3分）222()()2[()]bbaab a f x dx f x dx =--⎰⎰.所以()22()d ()()d .bbaaf x xb a f x x ≤-⎰⎰ -------5分。
【VIP专享】浙江大学微积分一习题解答 第十三章(秋冬)
第十三章 无穷级数
【1】
∑+∞
用部分和判断敛散性 arctan
1
n =1
n2 + n +1
『证』 考虑将通项拆分成“加一项、减一项”的方式。利用 arctanx-arctany = x − y ，于是 1 + xy
arctan 1
= arctan
1
= arctan
1− 1 n n +1
πe−t cos tdt
0
0
00
0
∫ ∫ ∫ ∫ πe−t cos tdt ＝ πe−tdsin t ＝ e−t sin t π + πe−t sin tdt ＝ πe−t sin tdt
0
0
00
0
∫ 因此
πe−t
0
sin
tdt
＝
1 2
(1 +
e−π)
+∞
+∞
又
∑ ∑ n=0
e−2nπ ＝
n=0
(e−2π )n
+∞
∑ 故由上知 n → ∞ 时， S2n 和 S2n−1 具有相同的极限，于是 Sn 收敛，即 un 收敛。# n =1
题 6(2) (p272)
【4】
+∞
+∞
∑ ∑ 若 (u2k−1 + u2k ) 收敛，,则 un 未必收敛
k =1
n =1
『解』 如 (1-1)+(1-1)+(1-1)+… 收敛,
＝
1−
1 e−2π
故
∫ ∑ A＝
(1 + e−π)
π
浙江大学2013-2014学年秋冬学期-微积分I期末试卷
《微积分Ⅰ》期末试卷（2013-2014学年秋冬学期）第 1 页 共 2 页浙江大学2013 — 2014学年 秋冬 学期《微积分I 》课程期末考试试卷课程号： 061B0170 ，开课院系： 理学院 数学系 考试形式：闭卷，允许带 笔 入场考试日期： 年 月 日，考试时间： 120 分钟.第1~9，14题，每题均为6分；第10~13题，每题均为10分。
解题时写出必要的解答过程。
1. 设()y y x =是由方程2tan()x y x y +=-所确定，且(0)0y =，求(0)(0).y y '''：和2. 设函数()y y x =是由参数方程20202d cos d t s tx e sy s s-⎧=⎪⎨⎪=⎩⎰⎰所确定，求：22d .d t y x3. 求极限：20cos 2lim .x xx→ 4. 求极限：101lim .xxx e x →⎛⎫-⎪⎝⎭5. 求极限：22011lim .sin x x x →⎛⎫-⎪⎝⎭ 6. 求积分：21ln(1)d .x x x +∞+⎰ 7. 求积分：312221(2)(1)d .x x x -+-⎰8. 证明：当0x ≤<+∞时，arctan3ln(14)x x ≤+，当且仅当0x =时等号成立。
9．求幂级数220(1)4(21)(22)n nn n x n n +∞+=-++∑的收敛半径、收敛域，并计算其和函数。
10．设常数0a >，31()3f x ax x =-，试求()f x 在1[0]a，的最大值和最小值。
《微积分Ⅰ》期末试卷（2013-2014学年秋冬学期）第 2 页 共 2 页11．求曲线22y x =+与直线y x =所围区域绕直线2x =旋转一周的体积。
12．证明如下“”型的洛必达（L ‘Hosptial ）法则： 设（1）0lim ()lim ()0x x x x f x g x →→==；（2）()()f x g x 、在去心邻域0()U x 內可导，且()0.g x '≠（3）0()lim ()x x f x A g x →'='（或∞）。
微积分期末试卷附详细标准答案2
一、填空题(每小题3分，共15分)1、已知 f(x)=e x , f N(x)] =1—x ,且中(x)之0,则9(x) = v'ln(1—x)…2c解 f(u)=e =1-x ,u =ln(1-x) ,u = .J 〕n(1 - x).2、已知 a 为常数，lim (--2— ax +1) =1，则 a =1.i ： x一-ax 1) = lim (1 4 - a —) = 1 - a .x'二 x x3、已知 f ⑴=2,则 limf(1 3x)-f(1 x)=4.x )Dx解：lim[f(1 3x)-f(1)]-[f(1 x)-f(1)]=4x—0x4、函数 f(x)=(x —1)(x —2)(x —3)(x —4)地拐点数为 2.解：f (x)有 3 个零点 £,焦二：1 <彳 <2<^<3<^3<4, f "(x)有 2 个零点 ％尸2：1<。
<2 <之2 <”2 <4,f "(x) =12(x —1)(x —”2),显然 f*(x)符号是：+「，+，故有 2 个拐点. dx-5、 -2 ------ - = tan x -cot x C .sin xcos x,2. 2 , ,dx cos x sin x , dx dx 斛： -- —2 --------------- 2- = 2 2-dx = ------- 2- ------------- -2- = tan x - cot x C .sin xcos x sin xcos x cos x sin x二、选择题(每小题3分，共15分)1、设f(x)为偶函数，甲(x)为奇函数，且f /(x)]有意义，则f [邛(x)]是A(A)偶函数； (B)奇函数；(C)非奇非偶函数；(D)可能奇函数也可能偶函数.1 - cosx C2—, x : 0,,,2、x=0 是函数 f (x) = { x 地 D0, x = 0.2「 1 1 x 1 斛：0 = lim — = lim ( ----(A)跳跃间断点; (B)连续点;(C)振荡间断点；(D)可去间断点.3、若函数f(x)在X0处不可导，则下列说法正确地是 B(A)f(x)在％处一定不连续；(B) f (x)在X o处一定不可微；(C)f(x)在X o处地左极限与右极限必有一个不存在；(D) f (x)在x0处地左导数与右导数必有一个不存在^4、仅考虑收益与成本地情况下，获得最大利润地必'要条件是： D(A) R"(Q)>C"(Q) ; (B) R"(Q) <C"(Q);(C) R"(Q) =C“(Q) ;(D) R'(Q) =C'(Q).5、若函数f '(x)存在原函数，下列错误地等式是： Bd(A) 一ff(x)dx=f (x) ；(B)』f (x)dx=f(x)；dx(C) d f f (x)dx =f (x)dx；(D) f df (x) =f (x) +C .三、计算题(每小题6分，共60分)1、设f (x —2) =2x2"x— x,求f(x +2).答案：f(x + 2) =2x244x—x—4解：令t =x - 2，则f ⑴=2(t均24t物_(t+2) =2「*七54 T+2=2t2/_t_2,(3 分)于是f(x+2) =2(x阳2u — (x+2) -2 =2x2 七、七“ 一x —4 = 2x2 七x— x —4. (6 分)2、计算1吧m05( J n十1 一J n).答案：1n mc 0sin有-«户n m8s舄十二(3 分)解:1=lim cos —^n— n1二 11-1 nsin 11nx解：y' = (e x )'(2 分)6、求曲线xln y + y —2x=1在点(1,1)处地法线方程.答案：x+y —2 = 0解：方程两边对x 求导得：ln y + xy + y '- 2 = 0 , y_ Cos 「0 一 -1 .(6分) cos,1 0 - 13、求极限lim ( 2 n——n 2n +… 2 n 2).答案: 解：由于— nn n 21n n 22 +…2n八-7, (3分)而 lim 一=lim—=1 1 lim 一=limn —i彳二1，2 n所以lim(+…+)=1. (6 分)4、求极限lim 2ln(1 x )x —0 secx - cos x,〃2、解：lim1n(1 x)x—0secx - cosx x 02ln(1 x ) 二 lim cosxlim ——2-- x 0sin x=lim 2x1+ x 2(4 分)x 0 2sinxcosx =limx —02、 (1 x )cosx.. x lim --- x 「° sin x =1. (6 分) sin 15、求函数y = x x 地导数.答案:.1 sin —x y = xcos'nx 1sin 1)x.1 , sin - ln x 11 1 1 =e x [cos-( --2) ln x sin ] .1 ， ， ， ，sin — 1 1 1 1 =x x ( 2cos — ln x sin ) .(6 分)1将(x, y) = (1,1)代入得法线斜率k = 一—― = _1, (3分) y⑴从而法线方程为：y_1=_1，（x—1），即：* + 丫—2 = 0.（6分），一八 1 4 3 r 一、7、求曲线y= x —x +1地凹凸区间和拐点.24答案：曲线在区间（―吗0］和［1,+“）是凹地，在区间［Q1］是凸地拐点为（0,1）, （1；）.31 x _ 1 x _ 1 x _ 1x_ 1x_ e cos2x e d sin 2x e cos2x e sin 2x - e sin 2xdx ,2 4 2 4 4 x 一 . 4 x.1 .一 一 、一 … , J e cos2xdx =^e (asin 2x-cos2x)+C .(6 分)10、设某商品地需求函数为 Q =100 -5P 淇中P,Q 分别表示需求量和价格，试求当总收益达到最大时，此时地需求弹性，并解释其经济意义.b5E2RGbCAP解：⑴ f (x) C(-：：, ：：),(2)3 2 _ .. 2f (x) =2x -3x , f (x) =6x -6x =6x(x -1),4f "(x)=0，得 x 1 =0, x 2 =1. f(0) = 1, f (1) =43 (3分)(4).... ... 4 曲线地拐点为（0,1）、（1,-）.(6) 曲线在区间（―g,0］和［1,+比）是凹地，在区间［0,1］是凸地. (6分)8、计算dx.答案：66G - 6 arctan 6x + Cdx dx解 (1 3 x) x -(6x)3[1 (6x)2]56t 5dt八----- 了(3分)2A (1 t )-1 6 2dtdt =6 ! dt - = 6 । 1 t=6t -6arctant +C =66/x -6arctan6/x +C .(6分)9、计算 [exsin 2xdx 答案• —e x(-sin 2x -cos2x) +C1021 V斛： e sin 2xdx e d cos2x =一 21e xcos2x 1 2 2fe xcos2xdx (3 分)列表如答案：。
浙江大学08-09秋冬《线性代数I》期末考试试卷及答案
V = { f :[0,1] → \ | f 连续}
（a） 给出 V 的向量加法和数乘法使 V 成为线性空间。 （b） 证明 ( f , g ) = ∫ f ( x) g ( x)dx 是 V 的内积。
0 1
（a） 解：对 ∀f , g ∈ V , ∀λ ∈ \ ，定义
f + g : [0,1] → 6 x λ f : [0,1] → x 6
0 " −1 t 0 " 0 −1 t " t 0 # 0 0 0 # 0 0 0 #
0 0 0 #
a1 a2 a3 #
an −1 0 " t 0 " −1 t + an 0 0 0 # t n + an t n −1 + " + a2t + a1 t n −1 + an t n − 2 + " + a3t + a2 t n − 2 + an t n −3 + " + a4t + a3 # t 2 + an t + an −1 t + an
解：略。 2．线性变换 T : \ 2 → \ 2 的定义是
T ( x, y ) = (3x − y, x + 3 y ) .
设 B = {(1,1), (1, −1)}, B′ = {(2, 4), (3,1)} 。 （a） 证明 B, B′ 是 \ 2 的两组基。 （b） 给出 T 关于基 B 的矩阵表示 A 和 T 关于基 B′ 的矩阵表示 A′ 。 （c） 求矩阵 Q 使 A′ = Q −1 AQ 。 （a） 证明： 先证明 B 线性无关 （略） 。 因为 B 所含的向量个数 = 2 = dim \ 2 ， 所以 B 是 \ 2 的一组基。 B′ 类似可证。 （b） 解：由定义即可（略） 。 （c） 解：矩阵 Q 是基 B 到基 B′ 的过渡矩阵，由定义求之即可。
2010浙江省大学生高等数学(微积分)竞赛试题评析
2010浙江省大学生高等数学（微积分）竞赛试题评析（数学类）一、计算题：1．解：原极限=120.5lim 1n e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭-→+∞⎡-=⎢⎣2．解：令,x t s y t s =+=-,原积分()()()2222112exp 1R t s dtds ρρρ⎡⎤-++⎢⎥=--⎢⎥⎣⎦⎰⎰222exp R x y dxdy ⎡⎤=--⎣⎦=3．解：222x y y +≤ 落在椭圆 22221x y a b += 内的充分必要条件即为()0,1到22221x y a b+=的距离1d ≥。
而 ()()2222min min cos sin 1d f t a t b t ⎡⎤==+-⎣⎦()()2222sin 2sin 1 f t a b a t b t =+--+要求最小值, 只需 讨论[]0,/2t π∈, 可得()()222222222 /b b a b b a a a b a ≥-≤--- 时 b-1 时充分必要条件为 22222222 b b a b b b a a b b a≥-≥≤-≥+ 时 时 此时椭圆面积 1S ab d π==取得最小值时必有22 2 b b a b a S ≥-=≥≥ 时222224b b a a b b a ≤-=+ 时 记()11cos cos sin a x b x x --==即[]()()2sin cos 0,/4/sin cos x x x s x x ππ≤∈= 时 的最小值易得为min S =22 2x y y ∴+≤包围圆的椭圆的最小面积为min S =。
4．解：原积分=－222sadydz bdzdx cdxdy ++⎰⎰()()0.5222222sa b c ab c ds -=-++++⎰⎰()0.5222A a b c=-++5．解：()()()() 22 0124exp xf x f x xx t f t dt '=---⎰()()1221f x x f x =-+-+()24221f x f x f '''=-++- ()4214f f x f ''''''=+-- ()()()()()()()()1111212121n n n n n f x f nf f nf +-+-=-+⇒=而()()()()()2111 1 12 10 10 1n f f e f f n +-''''''==-=∴=≥()()()()()211 1221 3 1221!! 2n n n f n f n e n --''=-=--≥二、解：{}111110max ,,n n n n a a x dx a dx a ---=≥=⎰⎰即{}n a 单调增且111,2a =≤ 设01,n a ≤≤则{}11100max ,1,n n a a x dx dx +≤=≤=⎰⎰即{}n a 有界。