浙江大学20102011秋冬学期微积分I期末考试2

微积分习题一

一、填空题（每题3分，总计15分）。

1、]

1sin 2)1cos([lim )(lim 200320021x x x x x c

x c x x x x ++=+-∞→+∞→，则=c . 2、设)(x f 在0x x =处连续，且) ()(lim 00为常数A A x x x f x x =-→，则=')(0x f .

3、已知b ax x x f ++=2

3)(在1+x 处有极值-2，则)(x f 的极大值为 .

4、已知==+=')(,0)0(,ln 1)(ln x f f x x x f 则且 .

5、若向量x 垂直于向量{}1,3,2-=a 与向量{}3,2,1-=b ，且与向量

{}1,1,2-=c 的数量积等于-6，则向量=x .

二、单向选择填空题（每题3分，总计15分）

1、 1、 设函数0)0(0)(]10[)(=''>'''f x f x f 且上，

在，下列关系正确的是（ ）. A.)0()1()0()1(f f f f ->'>' B. )0()0()1()1(f f f f '>->'

C. )0()1()0()1(f f f f '>'>-

D. )0()1()0()1(f f f f '>->' 2、 2、 下列广义积分收敛的是（ ）. A.

⎰∞

++1

21dx x x B. ⎰1021

sin 1dx x x

C. ⎰1

0ln xdx

D. ⎰

∞

+>a

a x dx

的常数）

0(3

2

3、 3、 已知0

,1)(,)(=-='=x x dx dy

x x f e f y 则= （ ）.

A. 1

B. e

C. 2

D. 0

4、曲线

)

40(2cos 0

π

≤

≤=⎰

x dt t y x

的弧长为（ ）.

A. 1

B. 2

C. 21

D. 12-

5、函数

⎪⎩⎪⎨⎧<≥=1,cos 1,2)(x x a x x

x f π 处处连续，则 =a ( ). A. 2 C. 1 D. –1

三、计算题（每题6分，总计48分）。

1.设()f x '连续，且(0)0,(0) 1.f f '== 求 2

20

()lim

.

()x

x

x x f u du

f u du

→⎰⎰

2.设函数()f x 可导，求

2(

)(tan )1x

x y f x x =++ 的导数。

3.已知()y y x =是由方程 1y

xy e =-所确定的隐函数，求(0)y ''. 4.已知⎩⎨⎧+=-=)sin (cos )cos (sin t t t a y t t t a x ，求 2

2dx y d 在

2t π= 处的值. 5. 求 2.(1)x dx

e -+⎰

6. 求 lncos 1cos 2x

dx x +⎰

7.求通过直线 0,10x y z x y z +-=-+-=和点(1,1,1)-的平面方程.

8.已知

0()2,[()()]sin 5,

f f x f x xdx π

π''=+=⎰ 求

(0).f

四、应用题（15分）。

1、设直线)10(:1<<=a ax

y L 与抛物线 22:

L y x = 所围成的图形的面

积为1,S 又设12,L L 与直线 1x =所围成的图形的面积为2,S

（1） （1） 试确定a 的值及使

12S S + 达到最小，并求出最小值.

（2） （2） 求由该最小值所对应的平面图形绕 x 轴旋转一周所得的旋转体的体积.

2.设有一半径为4米的半球形水池，里面充满了水.问将池中的水全部抽出需作多少功？

五、证明题（共7分）

1. 1. 证明不等式

1(1)ln(1)x e x x ->++ 在 0x > 时成立. 2. 设()f x 在[,]a b 上连续，(,)a b 内可导，且()() 1.f a f b ==

试证明存在 ,(,)a b ξη∈，使得

[()()] 1.e f f ξηηη-'+=

答案：

一、填空题（每题3分，总计15分）。

1、=c 2

ln 21

- 2、 =')(0x f A. 3、极大值为23-.

4、1)1()(+-+=x e x x x f .

5、=x }3,3,3{-.

二、单向选择填空题（每题3分，总计15分）

5. B

三、计算题（每题6分，总计48分）。

1.设()f x '连续，且(0)0,(0) 1.f f '== 求

2

2

()lim

.

()x

x x x

f u du

f u du

→⎰

⎰

1)()(41)0()(43lim )

(4)()()(2lim )

(2)

()(2lim

)()(lim 2020200

0202=⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛''+-=''++=+=→→→→⎰⎰⎰

x f x f x f x f x f x x f x x f x f x f x xf du u f du

u f du

u f x x x x

x x

x

x

2.设函数()f x 可导，求 2()(tan )

1x

x y f x x =++ 的导数。

x x x f x x x x x y x

2

2sec tan 2)(tan 111ln 1'+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪

⎭

⎫

⎝⎛+='

3.已知()y y x =是由方程 1y

xy e =-所确定的隐函数，求(0)y ''. 0)0()(20)0(2=''⇒'-''-='+'='⇒+-

='⇒'-='+y y e y e y x y y e

x y

y y e y x y y y y

y

4.已知⎩⎨⎧+=-=)sin (cos )cos (sin t t t a y t t t a x ，求 2

2dx y d 在 2t π= 处的值.