浙江大学 浙大 卢兴江版微积分答案
浙江大学浙大卢兴江版微积分答案
6 定积分及其应用习题6.11. （1）e 1- （2）13 （3）122. （1）24R p （2）72（3）03. （1）1201d 1x x +ò （2）10ò （3）（i ）10d ()x a b a x +-ò 或 11d b ax b a x-ò （ii ）[]1ln ()d e a b a x x +-ò 或 1ln d e ba x xb a -ò 习题6.21. （1）112300d d x x x x >蝌 （2）553233(ln )d (ln )d x x x x >蝌 （3）222200sinsin d d xx x x x pp >蝌 2. （1[]222,0,1x x ?（2）提示：分析函数2()1xf x x=+在[]0,2上的最大（小）值. 3. 提示：取()()g x f x = 4. 提示：利用积分中值定理或定积分的定义证明.5. 提示：令()()F x xf x =对()F x 在10,2轾犏犏臌上用罗尔定理。
6. 提示：证明在[]0,p 内至少存在两点12,x x 使12()()0f f x x ==.习题6.31. （1）(2)sin 2x x - （2）6233e cos()x x x -（3）[][]sin ln 1sincos cos 1sinsin x x x x -+-+ （4）2221()d 2()x f t t x f x +ò（5）1()d xf t t ò2. （1）23（2）1 （3）1 （4）24p （5）13. 提示：利用夹逼定理.4. 4()sin 21f x x p =--. 5. 提示：2()y f x ⅱ= 6. 提示：利用2[()()]d 0baf x tg x x -?ò，其中t 为任意常数.7.（1）741)1)33p -++ （2）2 （3）143p - （4）26p （5）14 （6）12（7）24e --8. 提示：利用泰勒公式()()22a b a b f x f f x x 骣骣++¢琪琪=+-琪琪桫桫，x 位于x 与2a b+之间. 习题6.41. （1）15 （2）2 （3）16 （4）p （53p（6）121e骣琪-琪桫 （7）24p （8）34 （9）352e 2727- （10）1ln 32- （11）3p -（12）8p（13）43p - （14）(ln 2-+ （15）()3e 15p - （16）13（提示：222101110111xx x x x x x e dx dx dx e e e ----=++++⎰⎰⎰） （17）1 （18）4π（提示：作变换2x t π=-） （19）2 （20）13（21）34p （22）当n 为偶数时：131222n n n n p ---g g L g g ；当n 为奇数时：131123n n n n ---g g L g g （23）ln 28p2. 713e-3. 提示：22()d ()d ()d a bbb a b aaf x x f x x f x x ++=+蝌?，对2()d ba b f x x +ò作变换()x a b t =+-.4. 若f 是连续偶函数，()()d xaF x f t t =ò不一定为奇函数. 例如：2311()d 13x F x x x x ==-ò5.1n （提示：对10()d x n n n t f x t t --ò作变换n nx t u -=，用洛必达法则或导数的定义.） 6. ()1cos113-（提示：用分部积分法） 7. 提示：用分部积分法 8. (0)2f =. 9.（1）2101, 1321d , 103231, 023p p p p x x p x p p p ì骣ï琪-+<-琪ï桫ïï+=-++-?íïïï+?ïïîò （2）411,01()221, 12x x x F x x x ì-+-?ï=íï-＃î10. 提示：利用()tan f x x =在0,4p 轾犏犏臌的单调性. 习题6.51.（1）2565 （2）1 （3）2p（4）163 （5）12442,633S S p p =+=- （6）92 （7）238a p （8）1ln 22 （9）1122.（1）a （2）43p3.（1）2R p （2）1ln(224+ （3）6a （4）22p 4. 1ln 32-5. 4 7. 3163a 8. （1）22x V p =，22y V p = （2）56p （3）24p （4）,33p p（5）23332325,6,7x y y a V a V a V a p p p ==== 9.2p10. 44815p11. （1）21)p （2）33211113ln 93222π⎡⎛+⎛⎫⎢ ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦12. 22arcsin a a 骣+ 13. 2560g r （焦） 14. 0.5625 kg/m 2. 15. 3.675（焦） 16. 1674.667 g （焦） 17.22503h pr （焦） 18. ()343R H R H p w w +- 19. 212Mgh mgh +（焦）20.21.222k ph R k p ++ 22.()kmM a a l +，其中k 为万有引力常数 23. 22ln 12kM al a l骣琪+琪+桫，其中k 为万有引力常数 习题6.61.211=-ò用矩形公式，梯形公式和抛物线公式计算(8)n = 2. 3.141592 （可利用抛物线公式计算120d 1xx +ò）3. 周长204l p q =ò，用抛物线公式计算(16)n =深其近似值为22.1035.习题6.71. （1）收敛，13 （2）发散 （3）收敛，1ln 242p +（4（5 （6312p -（7）收敛，12（8）收敛，238- （9）收敛，2（10）收敛，83 （11）收敛，p （12）发散（13）收敛，79 （14）收敛，p （15）收敛，(ln 22p+（16）当1k £时发散，当1k >时，收敛于1(ln 2)1kk--2. 提示：作积分变换1xt = 3. 2a b ==- 4*.（1）收敛 （2）收敛 （3）发散 （4）发散 （5）收敛 （6）收敛 （7）收敛 （8）发散 （9）收敛 （10）当1p <且1q <时收敛，其他发散. （11）收敛 （12）收敛 （13）当1n m >+时收敛，当1n m ?时发散 （14）当12p <<时收敛，其他发散 （15）当3m <时收敛，当3m ³时发散 （16）当12n <<时收敛，其他发散. 5.（1）11(1)n n p +G + （2）(1)p G +6.（1）1!2m （2）12122m +⎛⎫Γ=⎪⎝⎭ （3）(1)!3m m m -g 7. （1）130（2）111,22B n 骣琪+琪桫 = 12!(21)!!n n n +⋅+。
浙江大学《微积分(1)》历年期末考试试题
13、 求 lim(sin 2 x + cos x) x ．
2
x→0
2 + cos x x2 14、 求 lim( ) . x→0 3
1
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1 − 1 − x2 1 15、 若 lim = ， 求： a 的值. x→0 xa 2 1 2 n n 16、 设 un = （ 1 + （ ) 1 + ) L （ 1 + ) ，求： lim un . n →∞ n n n
】
1 ( f (a ) + f (b)) ． 2
三、
1、 求 2、 求
不定积分
∫x
2
2x + 1 dx . + 2x + 2 1
2
∫ ( x + 1)( x
1
2
+ 1)
dx
3、 求
∫ x ( x + 1) dx . ∫
3
4、 求
1 dx ． x+5x
5、 求
arcsin e x ∫ e x dx . arctan e x ∫ e2 x dx .
x 24、 设 x > 0, 证明 f ( x) = ( x − 4) e 2 − ( x − 2)e + 2 < 0 ． 2 2 25、 证明：若 e < a < b < e 2， 则 ln b − ln a > x
4 (b − a ). e2
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e x sin x 26、 已知 F ( x ) = x a
5、 设 y = x ln(1 + x ) ，求： y 对 x 的 10 阶导数 y (10) ( x) .
卢兴江版微积分(上册)参考答案(4)
4 微分中值定理及导数应用习题4.11.（1）4373，()f 为最小值。
（2）,()2f 为最大值。
（3）1，()f 为最大值。
2.（1）(1)1f ，(2)4f ，3(2)(1)()()3221f f f f ；（2）(0)30,(0)0,()0363ff ff ff；（3）()14f ，()14f，()()444()(arccos)2()44f f f f ；（4）(1)(1)(1)1,(1)1,()(0)01(1)f f f f f f .3.2. 4. 提示：利用Lagrange 定理. 5. 提示：用反证法.6. 提示：利用Rolle 定理.7. 提示：对()()1f x F x x在0,1上用罗尔定理 8. 提示：利用Lagrange 定理. 9. 提示：f 在,a b 上有界. 10. 提示：证明()0f x .11.（1）不能，理由见（2）; （2）112，233，323. 12. 4.13. （1）提示：利用“()0f x 则()f x C （常数）”的结论。
（2）提示：令22()1tan sec f x x x ，证明()0f x .14（1）提示：和差化积或直接用拉格朗日定理; （2）提示：利用Lagrange 定理.习题4.21. 提示：利用函数单调性定义和拉格朗日定理。
2.（1）单调减少. （2）单调增加. （3）单调增加. （4）单调增加.3.（1）在1(,)2内单调增加，在1(,)2内单调减少；（2）在,1或1,内单调减少， 在1,1内单调增加；（3）当0时，f 单调减少；当0α>时，f 在(0,)单调增加，在(,)单调减少；（4）在,1或0,1内单调减少，在1,0或1,内单调增加.4. 提示：设()()F x xf x ，证明F 在12(,)x x 内必取到F 在12,x x 上的最小值或者最大值.5.（3）提示：令()n f x x ，在,b a 上用拉格朗日定理。
浙江大学微积分一习题解答 第零,一,二章(秋冬)
u n +1 un
＝ (1 + ＝ (1 +
n n 1 1 n +1 1 n +1 ) (1 + ) − n ＝ (1 + ) ( ) n +1 n n +1 n +1
1 −1 1 −1 n +1 1 n +1 1 n 1 ) (1 − ) ＝ (1 − > (1 − ) ) ) n +1 (1 − ) (1 − n +1 n +1 n +1 n +1 ( n + 1) 2 ( n + 1) 2
f ( x1 + x 2 ) f ( x1 + x 2 ) f (x 2 ) f ( x1 ) ≤ ， ≤ x1 x1 + x 2 x1 + x 2 x2
x 1 f ( x 1 + x 2 ) ≤ ( x 1 + x 2 ) f ( x 1 ) ， x 2 f ( x 1 + x 2 ) ≤ ( x 1 + x 2 )f ( x 2 )
# 题 4(4) (p69) 【7】 『证』 用夹逼准则证明
1 + n 2 + ... + n n ＝1 n → +∞ n lim
1=
n 1 + n 2 + ... + n n n n n n < < = n n n n
故由夹逼准则，极限为 1。# 题 6(3) (p69) 【8】 『解』 可以。可用数列极限的定义来证。 若 a=0,则反之也成立。否则不成立。如数列 {( −1) n } #
=1 且
1 x
>G。故可取 x=
06-07微积分BII期末(答案)zucc 浙江大学城市学院_
诚信应考 考出水平 考出风格浙江大学城市学院2006—2007学年第二学期考试试卷《 微积分（B ）II 》开课单位：计算分院 ；考试形式：闭卷；考试日期：07年7月10日；时间：120分钟一． 微分方程问题(本大题共 3 题，每题 5分，共15 分)1． 求解微分方程 20(4)2,1x y x xy y ='-==.解：222(4)2, (4)dy dy x x xy dx dx y x -==-； ()()122222121, 4(4)(4)ln ln 4, 4, c dy x dy dxd x y x y x y x C ye x ==---=-+=±-⎰⎰⎰⎰记1cC e =±，得通解：()24y C x =-， 由01x y==，得14C =-，所以微分方程特解为()2144y x =-- 点评：此题考可分离变量微分方程掌握情况。
可分离变量微分方程的关键是将方程通过因式分解，使,x y “分家”，变成：()()f y dy g x dx =形式，然后积分。
本题还要注意1cC e =±的变化。
2.求解微分方程 22x y xy xe -'-=.解: 2()2,()x p x x q x xe -=-=,()222222222222(2)(2)22221241144x dx x dxx x x x x x x x x x x xy e xe e dx C e xe e dx C e xe dx C e e d x C e e C e Ce ----------⎡⎤⎰⎰⎡⎤=+=+⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤=+=--+⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰点评： 本题为典型的一阶线性微分方程()()y p x y q x '+=，这类方程只要记住公式：()()()p x dx p x dxy e q x e dx C -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰注意公式中三个不定积分计算后不需要另再加积分常数，因为本公式中已经有C 了。
近十份大学微积分下期末试题汇总 含答案
浙江大学2007-2008学年春季学期 《微积分Ⅱ》课程期末考试试卷一 、填空题（每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上） 1.点M （1,－1, 2）到平面2210x y z -+-=的距离d = .2.已知2a =r ,3b =r ,3a b ⋅=r r ,则a b +=r r.3.设(,)f u v 可微，(,)y x z f x y =,则dz = .4.设()f x 在[0，1]上连续，且()f x ＞0, a 与b 为常数.()}{,01,01D x y x y =≤≤≤≤,则()()()()Daf x bf y d f x f y σ++⎰⎰= .5.设(,)f x y 为连续函数，交换二次积分次序2220(,)x x dx f x y dy -=⎰⎰.二 、选择题（每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，把所选字母填入题后的括号内）6.直线l 1:155121x y z --+==-与直线l 2:623x y y z -=⎧⎨+=⎩的夹角为 （A ）2π . （B ）3π . （C ）4π . （D ）6π . [ ]7.设(,)f x y 为连续函数，极坐标系中的二次积分cos 2d (cos ,sin )d f r r r r πθθθθ⎰⎰可以写成直角坐标中的二次积分为（A）1(,)dy f x y dx ⎰⎰（B）1(,)dy f x y dx ⎰⎰（C）10(,)dx f x y dy ⎰⎰（D）10(,)dx f x y dy ⎰⎰[ ]8.设1, 02()122, 12x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤⎪⎩ ()S x 为()f x 的以2为周期的余弦级数，则5()2S -=（A ）12. （B ）12-. （C ）34. （D ）34-. [ ]9.设,)(0,0),(,)0, (,)(0,0),x y f x y x y ≠==⎩则(,)f x y 在点O (0,0)处（A ）偏导数存在，函数不连续 （B ）偏导数不存在，函数连续（C ）偏导数存在，函数连续 （D ）偏导数不存在，函数不连续 [ ]三、解答题10.（本题满分10分）求曲线L ：2222222393x y z z x y⎧++=⎪⎨=+⎪⎩在其上点M （1，－1，2）处的切线方程与法平面方程.11.（本题满分10分）设F 可微，z 是由F (x y -,,)0y z z x --=确定的可微函数，并设23F F ''≠，求z zx y∂∂+∂∂. 12.（本题满分10分）设D 是由曲线3y x =与直线y x =围成的两块有界闭区域的并集，求2[e sin()]d x Dx y σ++⎰⎰.13.（本题满分10分）求空间曲线L ：222920335x y z x y z ⎧+-=⎨++=⎩上的点到xOy 平面的距离最大值与最小值.14.（本题满分10分）设平面区域D ={}(,)01,01x y x y ≤≤≤≤，计算二重积分221 d Dx y σ+-⎰⎰. ＜15.（本题满分5分）设当y ＞0时(,)u x y 可微，且已知222222(,)()(2)y x du x y xy dx x y y dy x y x y=++-++++. 求(,)u x y . 浙江大学2007－2008学年春季学期《微积分II 》课程期末考试试卷答案一、填空题（每小题5分，共25分） 1．231421=-++=d .2．a b +====v v 3．()()dy xy f x x f dx y y f yx f dz x y x y 121211ln ln --'+⋅'+'+⋅'= 4．()()()()()()()()⎰⎰⎰⎰++=++=DDd x f y f x bf y af d y f x f y bf x af I σσ，()()⎰⎰+=+=+=∴Db a I b a d b a I 21,2σ.5．()()2220111,,x x dx f x y dy dy f x y dx --=⎰⎰⎰⎰或 ()0111,dy f x y dx -⎰⎰或 ()1101,dy f x y dx -⎰⎰.二、选择题（每小题5分，共20分）6．选（B ）. l 1的方向向量{}1,2,1-，l 2的方向向量{}2,1,1--，{}{}3,2163662,1,11,2,1cos πθθ===--⋅-=.7．选（D ）. 积分区域(){}0,,22≥≤+=y x y x y x D ，化成直角坐标后故知选（D ）.8．选（C ）. 511111113()()()((0)(0))(1)222222224S S S f f -=-==-++=+=.9．选（A ）. ()()0000,0lim0,0,00x y x f f x→-''===，偏导数存在. 取kx y =，()4411lim,lim kk kk kx x f x x +=+=→→随k 而异，所以不连续．三、解答题（10～14每题10分，15题5分，共55分） 10．由L ，视x 为自变量，有 以()()2,1,1,,-=z y x 代入并解出dxdzdx dy ,，得 87,45==dx dz dx dy ， 所以切线方程为87245111-=+=-z y x ， 法平面方程为()()()57112048x y z -+++-=，即0127108=-++z y x .11．133212232332,,1y x z z F F F F F F F F z z z z x F F F y F F F x y F F ''''''''--+∂∂∂∂=-=-=-=-+==''''''''∂-+∂-+∂∂-.12．D 在第一象限中的一块记为D 1，D 在第三象限中的一块记为D 2，()()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+++++=++2122122sin sin sin D D DD x D x x d y x d y x d e d e d y x eσσσσσ.所以，原式2-=e .13．L 上的点到平面xoy 的距离为z ，它的最大值点，最小值点与2z 的一致，用拉格朗日乘数法，设()()()53329,,,,2222-+++-++=z y x z y x z z y x F μλμλ，求偏导数，并令其为零有：20F x x λμ∂=+=∂，1830F y x λμ∂=+=∂， 2430F z z z λμ∂=-+=∂，22920Fx y z x∂=+-=∂ ， 3350Fx y z μ∂=++-=∂ ． 解之得两组解()()1215,,(1,,1);,,(5,,5)33x y z x y z ==--. 所以当31,1==y x 时，1=z最小；当35,5-=-=y x 时，5=z 最大.14．将分成如图的两块，41的圆记为D 1，另一块记为D 2()⎰⎰⎰⎰--=-+DD d y x d y x1222211σσ+()⎰⎰-+2122D d y x σ15．由()222222,()(2)y x du x y xy dx x y y dy x y x y=++-++++，有222xy y x y x u ++=∂∂，从而知()()y y x y x y x u ϕ++=2221arctan,，又由y y x yx x y u 2222+++-=∂∂，推知 ()22222221()xx y x y y x y y x x y y ϕ-'++=-++++， 所以，()2221,arctan 2x u x y x y y C y =+++. 注：若用凑的办法亦可： 所以，()C y y x y x y x u +++=22221arctan,． ()()u f u F ='．浙江大学2006–2007学年春季学期 《 微积分Ⅱ 》课程期末考试试卷开课学院： 理学院 考试形式：闭卷 考试时间： 年 月 日 所需时间：120 分钟 考生姓名： _____学号： 专业： ________一、 填空题（每小题5分，满分30分） 1． 直线63321-==+z y x 在平面0522=--+z y x 上的投影直线方程为.2． 数量场2),,(zye z y x g x +=在)0,3,1(P 点的梯度为 .=u ρ函数)ln(),,(22z y x z y x f ++=在P 点沿u ρ的方向导数为 .3． 设ϕϕ,),2,3(),,(f y x x u u x f z +== 具有二阶连续偏导数，则=∂∂∂yx z 2.4． 设}1,11|),{(3≤≤≤≤-=y x x y x D ，则=+⎰⎰+Dy xy x e y x x d d )(222.5． 已知曲面1=z y x 与椭球面193222=++z y x 在第一卦限内相切，则切点坐标为 ，公共切平面方程为.6． 设函数⎪⎩⎪⎨⎧<≤<≤=121,210,)(2x x x x x f ，∑∞=+=10cos 2)(n n x n a a x S π，其中Λ,2,1,0,d cos )(210==⎰n x x n x f a n π，则.)27(=S二、 （满分10分）求直线 ⎩⎨⎧=-++=-+-022012z y x z y x 绕x 轴旋转一周所得的旋转曲面方程.三、 （满分10分）计算⎰⎰-10222d d xy e x y .四、 (满分15分)已知),(y x z z =由方程013=++zxe z y 确定，试求1022==∂∂y x x z.五、 （满分15分）设平面),,(,1:z y x d y x =+π为曲线⎪⎩⎪⎨⎧=++=++014222z y x z y x 上的点),,(z y x 到平面π的距离，求),,(z y x d 的最大，最小值 .六、 (满分15分)如图是一块密度为ρ（常数）的薄板的平面图形（在一个半径为R 的半圆直 径上拼上一个矩形，矩形的另一边为h ）,已知平面图形的形心位于原点(0, 0). 试求：1. 长度 h ；2.薄板绕x 轴旋转的转动惯量.(满分5分) 求证:当0,1≥≥s t时，成立不等式 s e t t t ts +-≤ln .参考解答：一．1．⎩⎨⎧=--+=+-0522043z y x z y x ； 2. 21},0,,3{e e ；3. )3(2))(3(2222122222122212ϕϕϕϕϕϕ''+''⋅'+'+'⋅'⋅''+'''f f f ； 4.;32 5. ;03313,3,1,31=-++⎪⎭⎫⎝⎛z y x 6. 83.二．直线：t z t y t x -=-==1,1,曲面上点→),,(z y x P 直线上点00000001,1),,,(x z x y z y x -=-=则旋转曲面方程：222)1(2x z y -=+三．⎰⎰1222d d xy ex y -⎰⎰⎰-==--212212220142)d 41(d d y y ex ey 2y yy四．,1)1,0(-=z ,032=∂∂++∂∂⋅x z xe e x z z y z z ex z y x 3110-=∂∂∴== 五．|1|21),,(-+=y x z y x d 最小距离：2236),,(323131-=-d ，最大距离：2236),,(323131+=--d六．形心：01,0=⇒==⎰⎰⎰⎰DDxdxdy xdxdyx y σ即0d cos d d d 220=⋅+⎰⎰⎰⎰---ππθθRhRRr r r y x x七．设0)0,1(,ln ),(=-+-=F ts e t t t s t F s且对固定的1>t ， 当,0),(,ln 0<'<<s t F t s s 当,0),(,ln >'>s t F t ss所以，t s ln =取得最小值且为0，则 0),(≤s t F ，即1、已知22(,)yf x y x y x +=-,则=),(y x f _____________.2、已知,则=⎰∞+--dx e x x21___________.3、函数22(,)1f x y x xy y y =++-+在__________点取得极值. 4、已知y y x x y x f arctan )arctan (),(++=,则=')0,1(x f ________.5、以x e x C C y 321)(+=(21,C C 为任意常数)为通解的微分方程是____________________. 6 知dxexp ⎰∞+- 0)1(与⎰-ep x x dx11ln 均收敛,则常数p 的取值范围是( c ).(A) 1p > (B) 1p < (C) 12p << (D) 2p >7 数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 ,0 0,4),(222222y x y x y x x y x f 在原点间断,是因为该函数( b ).(A) 在原点无定义 (B) 在原点二重极限不存在 (C) 在原点有二重极限,但无定义(D) 在原点二重极限存在,但不等于函数值8、若2211x y I +≤=⎰⎰,22212x y I ≤+≤=⎰⎰,22324x y I ≤+≤=⎰⎰,则下列关系式成立的是( a). (A)123I I I >> (B) 213I I I >> (C)123I I I << (D)213I I I <<9、方程xe x y y y 3)1(596+=+'-''具有特解( d ). (A) b ax y += (B) xe b ax y 3)(+= (C) x e bx ax y 32)(+= (D) x e bx ax y 323)(+=10、设∑∞=12n na收敛，则∑∞=-1)1(n nna ( d ).(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 不定 一、填空题(每小题3分,共15分)1、2(1)1x y y -+. 2、)32,31(-. 4、1. 5、"6'0y y y -+=. 11、求由23x y =,4=x ,0=y 所围图形绕y 轴旋转的旋转体的体积.解：32y x =的函数为23,0x y y =>。
浙江大学微积分复习资料
I = lim (x2 + 2x + sin x) - (x + 2)2 = lim
-2x + sin x + 4
x®+¥ x2 + 2x + sin x + (x + 2) x®+¥ x2 + 2x + sin x + (x + 2)
= lim
-2 + x-1 sin x + 4x-1
= -1.
x®+¥ 1 + 2x-1 + x-2 sin x + (1 + 2x-1)
x
= 1.
x®0
x®0
x2
x®0 2x(ex - x) x®0 2x(ex - x) 2
1
1
因此，lim (ex - x) x2 = e2 .
x®0
6、 求：lim sin x - tan x . x®0 tan x(ex - 1) ln(1 - x)
I
=
lim
x®0
tan
x(cos -x3
x
- 1)
若为高阶无穷小量，可考虑用 Taylor 展开，不过在应用Taylor 展开时，要求 对有关展开式比较熟悉；否则还是“慎用”.
常见的等价无穷小量：
· 当x ® 0 时，常见的等价无穷小量： (1)sin x ~ x ； (2) tan x ~ x ； (3)ln(1+ x) ~ x ； (4) ex -1 ~ x ； (5) arctan x ~ x ；(6) arcsin x ~ x ； (7) 1 - cos x ~ x2 ；(8) (1 + x)a -1 ~ a x.
浙大微分几何习题
(1.6)
2 2 2 2 上式两边取模长, 得到 ( ds ds ) = ± √ 两边再对 s 求导, 即得 N∗ ∥ N.
1 µ2 + λ2
(µT + τB).
(1.7)
9. 求满足条件 τ = ck (c 为非零常数, k > 0) 的曲线 x( s). 解：当 c = 0 时, τ = 0, 此时曲线为平面曲线. c 0 时, 由 Frenet 公式可知 ′ T = kN ′ N = −k T +ckB B′ = −ckN ∫s 引入参数 t( s) = 0 k(σ)dσ 后, 上述方程组化为 dT = N ddt N +cB dt = −T dB = −c N dt 3
证明： ds1 = k( s)N, ds ds2 T2 = −k( s)T + τ( s)B, ds ds3 T3 = −τ( s)N. ds T1 两边分别求模长即可得证. 12. 证明: 曲线 C 的切线的球面标线为(部分)大圆的充要条件是 C 为平面曲 线; 曲线的主法线的球面标线永远不为常值曲线. 证明： 设 C : x( s) 是弧长参数曲线, T 是其切线. 如果 C 是平面曲线, 则 (x( s) − x(0)) · n0 = 0. 两边对 s 求导得到 T · n0 = 0, 也就是说 T 是平面曲线. 反之, 如果 C ∗ : T( s) 为大圆, 则对应的曲率和挠率分别为 k∗ = 1, τ∗ = 0. 运用第 2 题结论计算 k∗ , 得到 τ( s) = 0. N = 0, 则 −kT + τB = 0, k = τ = 0, 矛盾. 如果 dds
˙, g = x × x ˙. 证明： 令 e = x, f = x 5. 设 x( s) = ( x1 ( s), x2 ( s)) 是平面上以弧长为参数的曲线, {T( s), N( s)} 是它 的 Frenet 标架, 证明: N( s) = (− x ˙2 ( s), x ˙1 ( s)), ¨ ( s) = kr ( s)(− x x ˙2 ( s), x ˙1 ( s)).
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6 定积分及其应用
习题6.1
1. （1）e 1 （2）
13 （3）12
2. （1）24R （2）7
2
（3）0
3. （1）
1
2
1
d 1x x （2）10
2
d 3x x
（3）（i ）1
0d ()x a b a x 或
1
1
d b a
x b a
x
（ii ）1
0ln ()d e a b a x x
或 1
ln d e b
a
x x
b
a
习题6.2
1. （1）
11
2
3
d d x x
x x （2）5
5
3
2
33(ln )d (ln )d x x x x （3）2222
00
sin sin d d x x x x
x 2. （12
22,0,1
1x x x x
（2）提示：分析函数2
()1x
f x x
在0,2上的最大（小）值. 3. 提示：取()()g x f x 4. 提示：利用积分中值定理或定积分的定义证明. 5. 提示：令()()F x xf x 对()F x 在1
0,
2
上用罗尔定理。
6. 提示：证明在0,
内至少存在两点12
,使12()()0f f .
习题6.3
1. （1）(2)sin 2x x （2）6
233e cos()x x x （3）sin ln 1sincos cos 1sinsin x x x x （4）
2221
()d 2()x f t t x f x
（5）
1
()d x f t t
2. （1）2
3
（2）1 （3）1 （4）2
4 （5）1
3. 提示：利用夹逼定理.
4. 4()sin 2
1
f x x
. 5. 提示：2()y f x
6. 提示：利用
2
[()()]d 0b
a
f x t
g x x ，其中t 为任意常数.
7.（1）7
4
(221)6(21)33 （2）2 （3）
14
3
（4）
326
（5）14 （6）1
2
（7）24e
8. 提示：利用泰勒公式()
2
2a b a b f x f f
x
，位于x 与
2
a b
之间. 习题6.4
1. （1）
66315 （2）2 （3）1
6
（4）
（53
（6）121e （7）2
4 （8）3 （9）3
52
e
27
27
（10
）13ln 3
26
（11）
3
（12）
8
（13）
4
33
（14）3
ln 232
（15）3e
15
（16）1
3
（提示：222101110111x
x x x x x x e dx dx dx e e e ----=++++⎰⎰⎰） （17）1 （18）
4
π
（提示：作变换2
x t π=-） （19）2 （20）13
（21）
34 （22）当n 为偶数时：13
1222n n n n ；当n 为奇数时：13
1
123
n n n n （23）
ln 28
2. 713e
3. 提示：
22
()d ()d ()d a b b b a b a
a
f x x
f x x
f x x ，对
2
()d b a b f x x 作变换()x a b t .
4. 若f 是连续偶函数，()()d x a
F x f t t 不一定为奇函数. 例如：23
1
1()d 13
x F x x x
x 5.
1n （提示：对10()d x n n n t f x t t 作变换n n
x t
u ，用洛必达法则或导数的定义.） 6. 1
cos113
（提示：用分部积分法） 7. 提示：用分部积分法 8. (0)2f . 9.（1）2
101, 132
1
d , 10323
1
, 023
p
p p p x x p x p p p （2）411,01()22
1, 12
x x x F x x x
10. 提示：利用()tan f x x 在0,
4
的单调性.
习题6.5
1.（1）
2565 （2）1 （3）2 （4）16
3 （5）12442,6
3
3
S S （6）92 （7）238a （8）1ln 22 （9）112
2.（1）a （2）4
3
3.（1）2R （2）1ln(25)24
（3）6a （4）2
2
4. 1ln 3
2 5. 4 7. 3163
a 8. （1）2
2
x
V ，2
2
y
V （2）
5
6
（3）2
4 （4）
,33
（5）23332325,6,7x y y
a
V a V a V a
9.
2
10.
448
15
11. （1）2
2ln(21) （2）33
211113ln 93222π⎡⎛+⎛⎫
⎢ ⎪
⎢⎥⎝⎭
⎝⎭⎣⎦
12.
222
22
2
arcsin
a b b a b a
a 13. 2560g （焦）
14. 0.5625 kg/m 2. 15. 3.675（焦） 16. 1674.667 g （焦） 17.
22503
h （焦） 18.
343
R H R H 19. 21
2
Mgh
mgh （焦）
20.
21.
2
22
k ph R k 22.
()kmM a a l ，其中k 为万有引力常数 23. 22ln 12kM a
l a l
，其中k 为万有引力常数 习题6.6
1.
21
d 21
2(21ln
)2
1
x x
用矩形公式，梯形公式和抛物线公式计算(8)n
2. 3.141592 （可利用抛物线公式计算
1
20
d 1x
x
）
3. 周长220
4
97sin d l ，用抛物线公式计算(16)n 深其近似值为22.1035.
习题6.7
1. （1）收敛，
13 （2）发散 （3）收敛，1ln 242
（43)
（5 （6312
（7）收敛，
1
2
（8）收敛，23338 （9）收敛，2
（10）收敛，
8
3 （11）收敛， （12）发散
（13）收敛，7
9
（14）收敛， （15）收敛，ln 2
3
2
（16）当1k 时发散，当1k 时，收敛于1(ln 2)1k
k
2. 提示：作积分变换1x
t
3. 2
2
e
a b
4*.（1）收敛 （2）收敛 （3）发散 （4）发散 （5）收敛 （6）收敛 （7）收敛 （8）发散 （9）收敛 （10）当1p 且1q 时收敛，其他发散. （11）收敛 （12）收敛 （13）当1n m 时收敛，当1n m 时发散
（14）当1
2p 时收敛，其他发散 （15）当3m 时收敛，当3m 时发散
（16）当12n 时收敛，其他发散.
5.（1）
1
1
(1)n n p （2）(1)p
6.（1）1
!2m （2）12122m +⎛⎫Γ=
⎪⎝⎭ （3）(1)!3m m m 7. （1）1
30
（2）111,22B n = 12!(21)!!n n n +⋅+。