张家港高级中学2005届高三数学高考考前复习指导

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2005年高考.北京卷.理科数学试题精析详解

【名师指津】
对二倍角余弦公式及两个变式的的正用逆用应熟练,对处理绝对值问题的基本思路是用分类
讨论的思想去掉绝对值然后再研究问题,正切函数的单调区间.
第Ⅱ卷（共 110 分）
注意事项： 1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上.
第 4页（共 19页）
2．答卷前将密封线内的项目填写清楚. 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 把答案填在题中横线上.
【答案】15 【详解】
. （用数字作答）
对于 Tr1
C6r
x
6r
(1)(x
1 2
)r
C6r
(1)4
x
(6
3 2
r
)
当r
4 时第
5
项为常数项,即
T5 C64 (1)4 15 .
【名师指津】
二项式定理第 r 1 项的通项公式 Tr1 Cn4a nrbr 的运用在往年高考中经常遇到.
12．过原点作曲线 y e x 的切线，则切点的坐标为
9．若 z1
a 2i, z2
3 4i,且
z1 z2
为纯虚数，则实数 a 的值为
.
【答案】 8 3
【详解】 z1 a 2i (a 2i)(3 4i) (3a 8) (4a 6)i 为纯虚数
z2 3 4i (3 4i)(3 4i)
25
3a 8 0 且 4a 6 0 a 8.
2005 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）
数学（理工农医类）
YCY 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分
钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第 I 卷（选择题共 40 分）

高考数学考前精做05 解析几何-备战高考数学大题精做(高考专用)

高考数学考前精做05解析几何一、圆锥曲线的方程【例1】（2021. 河北省张家口市高三一模）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>上一动点P ，左、右焦点分别为12,F F ，且2(2,0)F ，定直线3:,2l x PM l =⊥，点M 在直线l上，且满足2||||2PM PF =．（1）求双曲线的标准方程；（2）若直线0l 的斜率1k =，且0l 过双曲线右焦点与双曲线右支交于,A B 两点，求1ABF 的外接圆方程．【解析】（1）由题意，知2||PF PM =，设点(,)P x y3=，∴22243(2)32x y x ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，得222444433x x y x x -++=-+，整理得2213x y +=，即双曲线的标准方程为2213x y -=．（2）由题意，知直线0:2l y x =-，设()()1122,,,A x y B x y ，联立方程，得22213y x x y =-⎧⎪⎨-=⎪⎩，整理得2212150x x -+=，故126x x +=， 12152x x =，而12124y y x x +=+-， ∴AB 中点为(3,1)M ，而1ABF 外接圆圆心在AB 的垂直平分线1l 上，则1:4l y x =-+，又由焦点弦长公式，可知12|||AB x x =-==设圆心00,x y 满足()()()002222200004312y x x y x y =-+⎧⎪⎨-+-+=++⎪⎩，解得001831.8x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴半径R ==221316258832x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．(1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法，利用椭圆的定义时，一定要注意常数2a >|F 1F 2|这一条件．(2)求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a ，b 的方程组．如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx 2＋ny 2＝1 (m >0，n >0，m ≠n )的形式．(2) 求双曲线的标准方程一般用待定系数法；(2)当双曲线焦点的位置不确定时，为了避免讨论焦点的位置，常设双曲线方程为Ax 2＋By 2＝1(A ·B ＜0)，这样可以简化运算．(3) 求抛物线的标准方程的常用方法是待定系数法或轨迹法．若抛物线的开口不确定，为避免多种情况分类求解的麻烦，可以设抛物线方程为y 2＝mx 或x 2＝ny (m ≠0，n ≠0)．若m ＞0，开口向右；若m ＜0，开口向左．m 有两解时，则抛物线的标准方程有两个．对n ＞0与n ＜0，有类似的讨论．【对点训练1】（2021. 安徽省江南十校高三3月一模）已知动圆P 与x 轴相切且与圆()2224x y +-=相外切，圆心P 在x 轴的上方，P 点的轨迹为曲线C . （1）求C 的方程；（2）已知2(4)E ，，过点(0)4，作直线交曲线C 于,A B 两点，分别以,A B 为切点作曲线C 的切线相交于D ，当ABE △的面积1S 与ABD △的面积2S 之比12S S 取最大值时，求直线AB 的方程. 【解析】（1）由题意知，P 到点(0，2)的距离等于它到直线2y =-的距离，由抛物线的定义知，圆心P 的轨迹是以(0，2)为焦点， 2y =-为准线的抛物线(除去坐标原点)，则C 的方程为：()280x y x =≠.（2）由题意知，()4,2E 在曲线C 上，直线AB 的斜率存在，设AB 方程为4y kx =+，因为直线AB 不经过E 点，所以12k ≠-. 由24,8y kx x y=+⎧⎨=⎩可得28320x kx --=，设()()1122,,,,A x y B x y 则12128,32,x x k x x +=⋅=-以A 为切点的切线方程为()111,4x y y x x -=-即21148x x y x =-，同理以B 为切点的切线为22248x x y x =-，由2112224848x x y x x x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，故两式做差整理得：2212124488x x x x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以1242x x x k +==，两式求和整理得：()22212121121222284848x x x x x x x x x x x xy +-=-=-++=+，故4y =，所以交点()4,4D k -，设E 到AB 的距离为1,d D 到AB 的距离为2d ，则112222124k S d S d k +===+ 设()210,k t t +=≠则122,92S S t t=+-当3t =，即1k =时，12S S 取最大值，直线AB 的方程为40.x y -+= 二、直线与圆锥曲线 (一)弦中点与点差法的应用【例2】（2021. 云南省昆明市高三复习检测）已知A ，B 是椭圆C ：2213x y +=上的两点.（1）若直线AB 的斜率为1，求AB 的最大值；（2）线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点(),0N t ，求t 的取值范围.【解析】（1）设直线AB 的方程为y x m =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程2233y x m x y =+⎧⎨+=⎩，得2246330x mx m ++-=，所以1232m x x +=-，212334m x x -=，248120m ∆=->，所以B A === 当0m =（满足0∆>）时，AB . （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，AB 的中点()00,M x y ，第一种情况，若直线AB 平行于x 轴，则线段AB 的垂直平分线为y 轴，即0t =，第二种情况，若直线AB 不平行于x 轴，又因为线段AB 的垂直平分线与x 轴相交，所以直线AB 不平行于y 轴，即12x x ≠，由221122221313x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减整理得1212121213y y y y x x x x -+⋅=--+ ①，因为()00,M x y 是AB 的中点，所以0122x x x =+，0122y y y =+，因为MN AB ⊥，所以0121201AB MN t x y y k x x k y --==-=-，所以①变形为00002123t x y y x -⋅=-，化简得023t x=，其中00x <<或00x <<所以03t -<<或03t <<，综上两种情况，t的取值范围为33⎛- ⎝⎭.在给定的圆锥曲线f (x ，y )＝0中，求中点为(m ，n )的弦AB 所在直线方程或动弦中点M (x ，y )轨迹时，一般可设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，利用A ，B 两点在曲线上，得f (x 1，y 1)＝0，f (x 2，y 2)＝0及x 1＋x 2＝2m(或2x )，y 1＋y 2＝2n (或2y )，从而求出斜率k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2，最后由点斜式写出直线AB 的方程，或者得到动弦所在直线斜率与中点坐标x ，y 之间的关系，整体消去x 1，x 2，y 1，y 2，得到点M (x ，y )的轨迹方程．【对点训练2】(2021. 江西省重点中学协作体（高三下学期第一次联考) 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，长轴为4，不过原点O 且不平行于坐标轴的直线l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ，直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值34-．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 过右焦点2F ，问y 轴上是否存在点D ，使得三角形ABD 为正三角形，若存在，求出点D ，若不存在，请说明理由．【解析】（1）由题意可知：24a =，所以2a = 设点()11,A x y ，()22B x y ，A ，B 在椭圆上2211221x y a b∴+=．．．．．．．．．．．．．．① 2222221x y a b+=．．．．．．．．．．．．．．．② 因为34AB OM k k ⋅=-2112211234y y y y x x x x -+∴⋅=--+．．．．．．．．．．．．．．③由①-②得2222121222220x x y y a a b b -+-=，即22221212220x x y y a b--+=，所以2211222112y y y y b x x x x a -+⋅=--+ 由③得2234b a -=-23b ∴=∴椭圆C 方程为：22143x y +=（2）设直线:(1)l y k x =-联立22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得()22223484120k x k x k +-+-= 221212228412,3434k k x x x x k k -∴+==++ ()()()2121212228623112344k ky y k x x x k k k k x kk k =-+-=-∴=-+⨯++-=+ 22243,3434k k M k k ⎛⎫∴- ⎪++⎝⎭，假设存在点D ，则MD 的直线方程为：2223143434k k y x k k k ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭ 20,34k D k ⎛⎫∴ ⎪+⎝⎭所以()2122121||34k AB x k +=-==+．24||||034k MD k ==+若ABD △为等边三角形则：||||2MD AB =()2221214|23434k k k k+=++即223270k +=，方程无实数解， ∴不存在这样的点D(二)直线与圆锥曲线位置关系及弦长问题【例3】（2021. 广东省广州市天河区高三二模）设O 为坐标原点，已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，点P为直线x =上一点，21F PF 是底角为30的等腰三角形. （1）求椭圆 E 的离心率；（2）若2(1,0)F ，设不与x 轴重合的直线l 过椭圆 E 的右焦点2F ，与椭圆 E 相交于A ､B 两点，与圆222x y a +=相交于C ､D 两点，求2||||AB CD ⋅的取值范围.【解析】设直线x =与x 轴交于点Q ，由21F PF 是底角为30的等腰三角形， 2122PF F F c ==，212130F F P F PF ∠==∠，在直角2PQF 中，260PF Q =∠，22PF c =，2QF c =-，利用余弦定义可知221cos6022QF c PF c -===，解得：2c a =所以椭圆 E （2）由（1）知，2c a =，且1c =，则a =2221b a c =-=，所以椭圆的方程为：2212x y +=设不与x 轴重合的直线l 的方程为：1x my =+，设点2222(,),(,)A x y B x y联立22112x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简整理得22(2)210m y my ++-= 其中2880m ∆=+>，12222my y m +=-+，1221,2y y m=-+利用弦长公式可得：22221)|||2m AB y y m +=-=+ 设圆222x y +=的圆心O 到直线l 的距离为d ，则d=利用圆的弦长公式可得：||CD==所以222222221)211)3||||4)2122m m m AB CD m m m m +++⋅=⨯⨯==-++++ 233022m <≤+，2132222m∴≤-<+， 2||||AB CD ∴≤⋅<所以2||||AB CD ⋅的取值范围是⎡⎣(1)直线与圆锥曲线的位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x (或y )的一元方程：ax 2＋bx ＋c ＝0(或ay 2＋by ＋c ＝0)．若a ≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有 ①Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交； ②Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切； ③Δ<0⇔直线与圆锥曲线相离．若a ＝0，b ≠0，即得到一个一元一次方程，则直线l 与圆锥曲线E 相交，且只有一个交点， ①若E 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行； ②若E 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合． (2) 解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤： ①得出直线方程，设交点为()11,A x y ，()22,B x y ；②联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程； ③写出韦达定理；④将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式； ⑤代入韦达定理求解. (3) 圆锥曲线的弦长设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝1＋1k2|y 2－y 1|.【对点训练3】(2021. 陕西省榆林市高三下学期第二次高考模拟) 已知椭圆C ：()222210y x a b a b +=>>的焦距与椭圆2213x y +=的焦距相等，且C 经过抛物线()21y x =-（1）求C 的方程；（2）若直线y kx m =+与C 相交于A ，B 两点，且A ，B 关于直线l ：10x ty ++=对称，O 为C 的对称中心，且AOB 的面积为3，求k 的值．【解析】（1）由题意：()21y x =-(，焦距为故22222112a ba b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得：24a =，22b =，所以C 的方程为：22142y x +=；（2）因为直线y kx m =+与C 相交于A ，B 两点，且A ，B 关于直线l ：10x ty ++=对称，故直线l 垂直AB所以k t =，联立22142y kx my x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()2222240k x kmx m +++-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，AB 的中点为()00,P x y ，则()228240k m∆=+->，022km xk =-+，00222my kx m k =+=+，因为()00,P x y 在直线l ：10x ky ++=上，所以2221022km km k k -++=++，即2m k k ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以22480k k ⎛⎫∆=-> ⎪⎝⎭，即：22k >，AB ==，O 到直线AB的距离2d==12AOBSAB d===，解得：23k =，k =三、圆锥曲线的综合问题 (一)最值与范围问题【例4】（2021. 东北三省三校高三下学期第一次联考）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率是12，椭侧C 过点31,2⎛⎫⎪⎝⎭.（1）求椭圆C 的方程；（2）已知12,F F 是椭圆C 的左、右焦点，过点2F 的直线l （不过坐标原点）与椭圆C 交于,A B 两点，求11F A F B ⋅ 的取值范围.【解析】（1）由条件知22222141914a b a a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2243a b ⎧=⎨=⎩，，因此椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）设()()1122,,,A x y B x y ，则()()1111221,,1,F A x y F B x y =+=+，设直线l 的方程为1x my =+，代入椭圆C 的方程消去x ，得()2234690m y my ++-=，由韦达定理得12122269,3434m y y y y m m --+==++， ()()()()11121212121122F A F B x x y y my my y y ⋅=+++=+++()()21212124m y y m y y =++++()222222969719124334343434m m m m m m m m ---+=+++==-+++++ 2344m +≥， 219190344m ∴<≤+， 219733344m ∴-<-+≤+，所以1173,4F A F B ⎛⎤⋅∈- ⎥⎝⎦.解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系． (3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围．(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．【对点训练4】(2021. 江苏省南京市高三上学期期末)的椭圆2222:1(0) x y C a b a b +=>>经过点(3,1)P ．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设点P 关于x 轴的对称点为Q ，过点P 斜率为1k ，2k 的两条动直线与椭圆C 的另一交点分别为M 、N (M 、N 皆异于点Q )．若1213k k =，求QMN 的面积S 最大值．【解析】（1）由条件可知c a =2222221133b a c a a -==-=，即223a b ，椭圆方程为222213x y b b+=，代入点()3,1P ，得24b =，212a =，所以椭圆方程是221124x y +=；（2）设过点()3,1P 的直线PM 的方程：()131y k x =-+，与椭圆方程联立，得()()22221111113618271890k x k k x kk ++-+--=，2112127189313M k k x k --=+ ，得2112196313M k k x k --=+，同理2222296313N k k x k --=+，因为1213k k =，所以2112196313N k k x k --+=+， ()2111213613113M k k y k x k --+=-+=+ ()211211361131313N N k k y x k k --=-+=+， 13M N MN M N y y k x x -==--,直线MN 的方程为2211112211361963113313k k k k y x k k ⎛⎫----+-=-- ⎪++⎝⎭，整理为：121243013k x y k ++=+，由题意可知点()3,1Q -,点Q 到直线MN的距离d =，M N MN x x =-= ()31122172241213QMNk k SMN d k -∴=⨯⨯=+，设函数()()322722413x xg x x -=+，函数()g x 是奇函数，所以直线考查0x >时，函数的最大值，()()()()()()222324221624317224231613xx x x x xg x x -+--⋅+⋅'=+整理为()()()232249113x g x x --'=+，当10,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 单调递增，当13x >时，()0g x '<，()g x 单调递减，所以当13x =时，()g x 取得最大值133g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以QMN 面积的最大值是3. (二)定点与定值问题【例5】（2021. 广东省韶关市高三一模）已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点是F ，若过焦点的直线与C 相交于P ，Q 两点，所得弦长PQ 的最小值为4. （1）求抛物线C 的方程；（2）设A ，B 是抛物线C 上两个不同的动点，O 为坐标原点，若OA OB ⊥，OM AB ⊥，M 为垂足，证明：存在定点N ，使得MN 为定值.【解析】（1）显然直线PQ 的斜率不为0，故可设置PQ 的方程为2px my =+， 2222202y px y mpy p p x my ⎧=⎪⇒--=⎨=+⎪⎩，所以2P Q y y mp +=，2P Q y y p =-. 所以()22Q P Q P x x m y y p m p p +=++=+.222P Q PQ x x p m p p =++=+，所以当0m =时，PQ 最小，所以24p =，2p = 故所求抛物线的方程为24y x =. （2）直线AB 的斜率不为0，故可设直线AB 的方程为x ty s =+，()11,A x y ，()22,B x y .224440y xy ty s x ty s⎧=⇒--=⎨=+⎩，所以124y y t +=，124y y s =-. ()()1212x x ty s ty s =++()2221212t y y ts y y s s =+++=.因为OA OB ⊥，所以0OA OB ⋅=，所以12120x x y y +=，即240s s -= 解得0s =或4s =.若0s =，则直线AB 过点O ，不符合题意. 则有4s =，此时直线AB 的方程为4x ty =+，所以直线AB 过定点()4,0T . 又OMAB ⊥，所以OM MT ⊥，所以点M 在以OT 为直径的圆上，所以()2,0N . 此时122MN OT ==.(1) 圆锥曲线中定点问题的两种解法①引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．②特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关． (2) 圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略①求代数式为定值．依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值． ②求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得．③求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．【对点训练5】(2021. 浙江省杭州高三3月考试) 椭圆：()2222:10x y E a b a b+=>>的焦点到直线30x y -=.抛物线()2:20G y px p =>的焦点与椭圆E 的焦点重合，斜率为k 的直线l 过G 的焦点与E 交于,A B ，与G 交于,C D .（1）求椭圆E 及抛物线G 的方程；（2）是否存在常数λ，使得1AB CD+为常数？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）设椭圆焦点（c ，0），由题意得5d ==，解得2c =，即椭圆焦点为（2,0），所以抛物线G 的焦点为（2,0），所以22p=，解得4p =，所以抛物线G 的方程为28y x =，又椭圆E，所以25a =，得a =又222541b a c =-=-=，得1b =.所以椭圆E 的方程为2215x y +=.（2）由题意得，直线l 不与x 轴平行，设直线l 的方程为2x my =+，并设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y ，联立2x my =+与2215x y +=，消去x ，整理得()225410m y my ++-=，222(4)4(5)(1)20200m m m ∆=-+-=+>，12122241,55m y y y y m m -+=-=++，所以1225y y m -==+，所以)212215mAB ym+=-=+，联立2x my=+与28y x=，消去x，整理得28160y my--=，22(8)4(16)64640m m∆=--⨯-=+>，348y y m+=，所以()()234344881CD x x m y y m=++=++=+，得)())()222254205110181401m mAB m m mλ+++==+++，当2054λ+=，即165λ=-时，1AB CD+为常数10.故存在165λ=-，使1AB CD+为常数.1.（2021. 辽宁省名校联盟高三3月联考）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：22221x ya b+=(0)a b>>⎛⎝⎭，其左顶点为A，上顶点为B.直线l：2y x t=-+()t∈R与x，y轴分别交于点M，N，直线AN，BM分别与椭圆C交于点P，Q.（P异于点A，Q异于点B）（1）求椭圆C的方程；（2）若AP BQ=，求直线l的方程．【解析】（1）由题意可知，2ca=，因为椭圆C过点⎛⎝⎭，所以221314a b+=，又因为222a b c=+，解得2a=，1b=，所以椭圆C的方程为2214xy+=；（2）由（1）可知，(2,0)A -，(0,1)B ，且,02t M ⎛⎫⎪⎝⎭，(0,)N t ，则2ANt k =，122BM k t t -==-，所以1AN BM k k ⋅=-，设AN 的斜率为k ，则AN ：(2)y k x =+，BM ：11y x k=-+，将直线AN 与椭圆C 的方程联立，22(2)14y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，整理得()222241161640k x k x k +++-=，因为2A x =-，且2216441A P k x x k -⋅=+，所以228241P k x k -+=+，则P AP x =+，将直线BM 与椭圆C 的方程联立221114y x k x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y ，整理得()22480k x kx +-=，因为0B x =，且284B Q kx x k +=+，所以284Qk x k =+，则BQ x ==k = 又因为2t k =，所以t =l的方程为2y x =-± 2．（2021. 云南师大附中高三月考）已知抛物线()220y px p =>上一点(),4M m 到焦点F 的距离是4. （1）求抛物线的方程；（2）过点F 任作直线l 交抛物线于,A B 两点，交直线2x =-于点C ，N 是AB 的中点，求CA CB CN CF⋅⋅的值.【解析】（1）因为42pMF m =+=①，且点(4)M m ，在抛物线上，所以216pm =②.由①②得4p =，所以抛物线的方程为28y x =.（2）由题意知，直线AB 的斜率存在，且不为零，设点,,,A B N F 在准线上的投影分别为1A ，1B ，G ，H ，||||(0)||||CA CB a a CN CF ⋅=>⋅ ，所以||||||||CA CB a CN CF ⋅=⋅， ∴11||||||||CA CB a CG CH ⋅=⋅. 设直线AB 的方程为2x my =+，代入28y x =，得28160y my --=.设11()A x y ，，22()B x y ，，则128y y m +=，1216y y =-. 在2x my =+中，令2x =-，得4y m =-，即42C m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，.所以1212()()()2C C C C y y y y y y a y y +⎛⎫-⋅-=-⋅- ⎪⎝⎭，即22121212()()2C C C C ay y y y y y y y y ay -+-++=+，所以224161616816m a a m m m-+⋅+=+⋅ ，即21(1)10a m ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，∴1a =，所以||||1||||CA CB CN CF ⋅=⋅ . 3.（2021. 江苏省南京市第一中学高三1月阶段性检测）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左焦点为()12,0F -，点(在椭圆E 上.（1）求椭圆E 的方程；（2）如图，O 为坐标原点，点A 为椭圆E 上一动点(非长轴端点)，直线2AF ､AO 分别与椭圆E 交于点B､C ，求ABC 面积的最大值.【解析】（1）因为椭圆经过点(，，且左焦点为()12,0F -，则222224212a b c a b c ⎧+=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得228,4a b ==，所以椭圆E 的方程为22184x y +=.（2）由题意可设直线2AF ：2x ky =+，221842x y x ky ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理可得()222440k y ky ++-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则12242k y y k +=-+，12242y y k =-+，12y y ∴-==()212212k AB y k +=-=+，设O 到直线2AF 的距离为d ，则d =由对称性可知OC OA =，则()2221222ABCAOBk SS d AB k k +==⋅==++12=≤=，=，即0k =时取等号，所以ABC面积的最大值为.4.（2021. 四川省大数据精准教学联盟高三第二次统一监测）已知点A 的坐标为()2,0-，点B 的坐标为()2,0，点P 满足8PA PB PA PB→→→→⋅+⋅=，记点P 的轨迹为E ．（1）证明 PA PB +为定值，并写曲线E 的方程；（2）设直线()1y kx k =-∈R 与曲线E 交于C ，D 两点，在y 轴上是否存在定点Q ，使得对任意实数k ，直线QC ，QD 的斜率乘积为定值？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．【解析】()1因为AB AP PB →→→=+，两边平方得2222AB AP PB AP PB →→→→→=++⋅．而8PA PB PA PB →→→→⋅+⋅=，且4AB，从而221628AP PB AP PB →→→→⎛⎫=++⋅- ⎪⎝⎭，即232AP PB →→⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以AP PB →→+= 从而E 的轨迹方程为22184x y +=．()2设存在点()0,Q m 满足条件，记()11,C x y ，()22,D x y ．由221,28y kx x y =-⎧⎨+=⎩消去y ，得()2212460kxkx +--=．显然其判别式0∆>，所以122412kx x k +=+，122612x x k -=+，于是()()1212121211QC QD kx m kx m y m y m k k x x x x -+⋅-+⎡⎤⎡⎤--⎣⎦⎣⎦=⋅=()()()2212121211k x x m k x x m x x -++++=()()()22211211336m m m k ⎡⎤++=++-⋅-⎢⎥⎢⎥⎣⎦．上式为定值，当且仅当()()21211033m m +++-=，解得2m =或2m =-．此时，()21362QC QDm k k +=-=-或13-．从而，存在定点()0,2Q 或者()0,2Q -满足条件．5.（2021. 福建省漳州市高三下学期第一次教学质量检测）已知直线l ：240x y --=与x 轴交于点E ，且OF FE =，其中O 为坐标原点，F 为抛物线Ω：()220y px p =>的焦点.（1）求拋物线Ω的方程；（2）若直线l 与抛物线Ω相交于P ，B 两点(P 在第一象限)，直线PA ，PC 分别与抛物线相交于A ，C 两点（,A C 在P 的两侧），与x 轴交于D ，G 两点，且E 为DG 中点，设直线PA ，PC 的斜率分别为1k ，2k ，求证：1211k k +为定值；（3）在（2）的条件下，求PBC 的面积的取值范围.【解析】（1）由已知得()2,0E ，且F 为OE 的中点，所以()1,0F .所以12p=，解得2p =，故抛物线Ω的方程为24y x =.（2）证明：联立22404x y y x --=⎧⎨=⎩，解得()4,4P ，()1,2B -，由E 为DG 的中点得0ED EG +=.不妨设()2,0D t -，()2,0G t +，其中0t >.则142k t =+，242k t=-. 所以121122141t tk k +-+=+=，即1211k k +为定值. （3）由（2）可知直线PC 的方程为44(4)2y x t-=--，即()42480x t y t ----=，与抛物线联立()2442480y x x t y t ⎧=⎪⎨----=⎪⎩，消x 可得()22480t y y t ---=-，解得2y t =--或4y =（舍），所以()224t x +=，即()22,24t C t ⎛⎫+--⎪ ⎪⎝⎭，故点C 到直线PB的距离d ==设过点P 的抛物线的切线方程为()44y k x -=-，联立()2444y k x y x⎧-=-⎨=⎩得2416160ky y k -+-=，由0∆=，得12k =，所以切线方程为240x y -+=，令0y =，得4x =-，所以要使过P 点的直线与抛物线有两个交点，24t ->-，则有06t <<，又PB ==所以236124PBCt t S +=⨯=△，即054PBC S <<△，故PBC 的面积的取值范围为()0,54.6.（2021. 福建省名校联盟优质校高三大联考）椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率12e =，1,24P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在C 上.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）,E F 设为短轴端点，过()0M ，1作直线l 交椭圆C 于A B 、两点(异于,E F )，直线AE BF 、交于点T .求证：点T 恒在一定直线上.【解析】（1）因为点12P ⎛ ⎝⎭在C上，所以222141a b⎝⎭+=，又12c e a ==，222a b c =+，所以24a =，23b =，故所求椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）由题意知直线l 的斜率存在，设其方程为1y kx =+. 设()11,A x y ，()22,B x y ，(10x ≠，20x ≠).()222214388034120y kx k x kx x y =+⎧⇒++-=⎨+-=⎩， 122843k x x k -+=+，122843x x k -=+，且有1212x x kx x +=.1122::AEBFyl y xxyl y xx⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩(10x≠，2x≠)11111y kxx x+====，故1y⎤=+⎥⎦2kx x x x x x++-=()()()()121212123333x x x xx x x x++-=⨯++-3=故点T恒在一定直线3y=上.7.（2021. 陕西省西安中学高三下学期第二次模拟）已知离心率为2的椭圆C：()222210x ya ba b+=>>的一个顶点恰好是抛物线24x y=的焦点，过点M(4，0)且斜率为k的直线交椭圆C于A，B两点.（1）求椭圆C的方程；（2）求k的取值范围；（3）若k≠0，A和P关于x轴对称，直线BP交x轴于N，求证：|ON|为定值.【解析】（1）设椭圆的半焦距为c，则有1cba==，，又222a b c-=，可以求得24a=.于是，椭圆C的方程为2214xy+=.（2）解过点M(4，0)且斜率为k的直线的方程为y＝k(x－4)，由22(4),1,4y k xxy=-⎧⎪⎨+=⎪⎩得21()4k+x2－8k2x＋16k2－1＝0，因为直线与椭圆有两个交点，所以Δ＝(－8k 2)2－421()4k +(16k 2－1)>0，解得－6<k<6，所以k的取值范围是(.（3）证明设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则P (x 1，－y 1)，由题意知x 1≠x 2，y 1≠y 2，由（2）得x 1＋x 2＝22814k k +，x 1·x 2＝2216114k k -+，直线BP 的方程为121x x x x --＝121y y y y ++，令y ＝0，得N 点的横坐标为12121()y x x y y -+＋x 1，又y 1＝k (x 1－4)，y 2＝k (x 2－4)，故|ON |＝121121()y x x x y y -++＝121221y x x y y y ++＝12121224()()8kx x k x x k x x k -++-＝22222216182411448814k k k k k k k k kk -⋅-⋅++⋅-+＝1.即|ON |为定值1.8. （2021. 广东省揭阳市高三下学期教学质量测试）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，且经过点2A ⎫⎪⎪⎭.设椭圆C 的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 是椭圆C 上的一个动点（异于椭圆C 的左、右端点）.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点P 作椭圆C 的切线l ，过点1F 作l 的垂线，垂足为Q ，求12QF F 面积的最大值.【解析】（1）由椭圆C 的离心率12c a =，可得：2214c a =，即有224a c =.再结合a 、b 、c 三者的关系可得223b c =.椭圆C 的方程可化为2222143x y c c+=，将点2A⎭代入上述椭圆方程可得2211122c c+=.求解得21c=，所以1c=，2a=，b=椭圆C的方程为22143x y+=；（2）设直线:l y kx m=+，联立直线l与椭圆C的方程可得()2224384120k x kmx m+++-=.若直线l与椭圆C相切，可得上述方程只有一个解，即有()()()22284434120km k m∆=-+-=，化简可得2243m k=+，（*）.设点Q的坐标为(),x y，过点1F作l的垂线为()11:1l y xk=-+，联立1l与l求得211kmxk--=+，21k myk-+=+.由上式可得()()()()2222222222221111km m k k k mymxk k++-++++==++，将（*）代入上式可得224x y+=，故可知点Q的轨迹为以原点为圆心，以2为半径的圆.P是椭圆C上的异于端点的动点，故该轨迹应去掉点()2,0±.12QF F的面积为1212122QF F Q QS F F y y=⋅⋅=≤△，即12QF F面积的最大值为2.9.（2021. 广东省中山市高三上学期期末）已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为()222210x y a b a b+=>>，则椭圆在其上一点()'',A x y 处的切线方程为''221x y x ya b+=，试运用该性质解决以下问题：在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为2，且经过点1,2A ⎛ ⎝⎭. （1）求椭圆C 的方程；（2）设F 为椭圆C 的右焦点，直线l 与椭圆C 相切于点P (点P 在第一象限)，过原点O 作直线l 的平行线与直线PF 相交于点Q ，问：线段PQ 的长是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.【解析】（1）由题意知222221112c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩1a b ⎧=⎪⇒⎨=⎪⎩ ∴椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）设()00,P x y ，题意可知，切线l 的方程为0022x x y y +=，过原点O 且与l 平行的直线'l 的方程为0020x x y y +=，椭圆C 的右焦点()1,0F ，所以直线PF 的方程为()00010y x x y y ---=，联立()000001020y x x y y x x y y ⎧---=⎨+=⎩，所以2000002,22y x y Q x x ⎛⎫-⎪--⎝⎭，所以PQ =====. 10.（2021. 湖北省武汉市高三下学期3月质量检测）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左右顶点分别为A ，B ，过椭圆内点2,03D ⎛⎫⎪⎝⎭且不与x 轴重合的动直线交椭圆C 于P ，Q 两点，当直线PQ 与x 轴垂直时，43PD BD ==. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线AP ，AQ 和直线l ：x t =分别交于点M ，N ，若MD ND ⊥恒成立，求t 的值.【解析】（1）由43BD =，得24233a =+=，故C 的方程为22214x y b +=，此时24,33P ⎛⎫ ⎪⎝⎭.代入方程2116199b +=，解得22b =，故C 的标准方程为22142x y +=.（2）设直线PQ 方程为：23x my =+，与椭圆方程联立. 得()224322039m m y y ++-=. 设()11,P x y 、()22,Q x y ，则()()1221224323292m y y m y y m -⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩.① 此时直线方程为，与联立.AP 11(2)2y yxx x t =得点，同理，点.由，.即. 所以.即. 将①代入得：. 化简得：.即..解得或. 11.( 2021. 浙江省金华市高三2月月考) 已知椭圆，拋物线，点，斜率为的直线交拋物线于两点，且，经过点的斜率为的直线与椭圆相交于两点.11(2),2t y M t x ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭22(2),2t y N t x ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭MD ND ⊥1MD ND k k ⋅=-()()1212(2)(2)1222233t y t y t x t x ++⋅=-⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭221212288(2)0333t y y t my my ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-++= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2221212122864(2)0339m t y y t m y y y y ⎛⎫⎡⎤++-+++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()()222222232(2)2323264039929292t m m t m m m ⎡⎤-+-⎛⎫⎢⎥+--+= ⎪+++⎝⎭⎢⎥⎣⎦()22222232(2)323264203t t m m m ⎛⎫⎡⎤-++---++= ⎪⎣⎦⎝⎭222(2)403t t ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭2223t t ⎛⎫+=±- ⎪⎝⎭29t =-103t =221:12y C x +=22:2(0)C y px p =>()1,0A -k 1l B C 、12AC CB =C 12-k 2l P Q 、（1）若拋物线的准线经过点，求拋物线的标准方程和焦点坐标：（2）是否存在p ，使得四边形APBO 的面积取得最大值？若存在，请求出这个最大值及p 的值；若不存在，请说明理由.【解析】（1）抛物线的准线方程焦点坐标，则抛物线的标准方程为焦点(1，0) （2）设由得点在直线上，且设点到的距离，四边形的面积.A ,2p x =-,02p ⎛⎫⎪⎝⎭1,2,2pp -=-=24,y x =()()()()11223344,,,,,,,B x y C x y P x y Q x y 1,2AC CB =()1,0A -1l 121112,1312y y y ==+A 2l d APBQ 332APQS SPQ d ==()()1233:1,:2kl y k x l y x x y =+=--+由,得则,则因为所以所以由的斜率分别为可设有故直线，令则直线代入椭圆方程，得()212y k x y px⎧=+⎨=⎩2220py y p k-+=2224Δ80,2p pp k k =-><12122,2p y y y y p k +==123,y y =2222221,,323y y p x p ===21,,3C y ⎛⎫ ⎪⎝⎭22222233,822y y p k p x ===12,l l 1,2k k -、221:,23k l y x y ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭2231413AC y yk k ===+22239:88y y l y x =-+283t y =-2:3l x ty =+2212y x +=()221212160t y ty +++=()23434221216Δ1640,,1212t t y y y y t t =->+=-=++点到的距离，四边形的面积当且仅当时面积最大为12. （2021. 江西省新八校高三第一次联考）已知椭圆的左、右顶点分别为A ，B ，上、下顶点分别为C ，D ，右焦点为F ，离心率为，其中．（1）求椭圆的标准方程．（2）过椭圆的左焦点的直线l 与椭圆M 交于E ，H 两点，记与的面积分别为和，求的最大值．【解析】（1）有条件可知，∴，又，，∴，∴椭圆方程为．（2）当直线l 无斜率时，直线方程为，此时．当直线l 斜率存在时，设直线方程为，设，联立得，消掉y 得，显然，方程有根，．此时． 34PQ y y =-=A 2l d =()222412289S t t ==≤=+-+21764,251t p ==2222:1(0)x y M a b a b+=>>1224||||||FA FB CD =⋅F 'ABE △ABH 1S 2S 12S S -24()()(2)a c a c b +=-2131a c eb ac e ++===--12c a =22134a a -=24a =22143x y +=1x =-12331,,1,,022D C S S ⎛⎫⎛⎫----= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1)(0)y k x k =+≠()11,E x y ()22,H x y 22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩()22223484120k x k x k +++-=0∆>221212228412,3434k k x x x x k k -+=-=++()()1221212112212||2||||22112(2)34k S S y y y y k x k x k x x k-=-=+=+++=++=+‖因为，所以（时等号成立），所以13. （2021. 安徽省皖江名校联盟高三2月联考）已知椭圆的离心率是点是椭圆的左焦点，点为椭圆的右顶点，点为椭圆的上顶点，且. （1）求椭圆的方程；（2）设点为椭圆长轴上的一个动点，过点作斜率为的直线交椭圆于两点，证明为定值.【解析】（1）则即又代入上式中得到，于是故椭圆的方程为（2）设直线交椭圆于，由消去得，. 因此. 0k ≠121234||||S S k k -=≤==+k =12S S-2222:1(0)x y E a b a b +=>>2FE A E B EABFS=E (),0Pm E P bal E ,S T 22:||PS PT +()()(),0,,0,0,,F c A a B b-()12ABFSa cb ==+()1,a cb +=(1a c +=,c e a a ===1, 1.cc +== 1.a b ==E 22 1.2x y +=):2l y x m =-()()1122,,,S x y T x y )22222y x m x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩y 222220x mx m -+-=212122,2m x x m x x -+==于是故为定值，且为3.14. （2021. 江西省上饶市高三第一次联考）在平面直角坐标系中，为直线上的动点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为为的中点. （1）证明轴；（2）直线是否恒过定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由.【解析】（1）设切点，，，∴切线的斜率为，切线，设，则有，化简得，同理可的∴，是方程的两根，∴，，，∴轴. （2）∵，∴. .， ∴直线，即， ∴直线过定点.()()2222221122||||PS PT x m y x m y +=-++-+()()()()222212121212333222222x m x m x x x x m x x m ⎡⎤=-+-=+--++⎣⎦()2222322232m m m m =-+-+=22||PS PT +xOy M 3y x =-M 2:2C x y =,MA MB ,,A B N AB MN x ⊥AB 211,2x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭222,2x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭y x '=MA 1x ()2111:2x MA y x x x -=-(,3)M t t -()211132x t x t x --=-2112360x tx t -+-=2222260x tx t -+-=1x 2x 22360x tx t -+-=122x x t +=1226x x t =-122N M x x x t x +===MN x ⊥()()22221212121113442N y x x x x x x t t =+=+-=-+()2,3N t t t -+()221212121122ABx x k x x t x x -=⋅=+=-()2:3()AB y t t t x t --+=-3(1)y t x -=-AB (1,3)15. (2021. 河南省中原名校高三下学期质量考评) 已知抛物线：（），点在抛物线上，点在轴的正半轴上，等边的边长为. （1）求抛物线的方程；（2）若直线：与抛物线相交于，两点，直线不经过点，的面积为，求的取值范围. 【解析】（1）是边长为的等边三角形，点在抛物线上，点在轴的正半轴上，，即，解得：，抛物线方程为.（2）将直线的方程为与抛物线的方程联立，消去，得，设，，则，，点，点到直线：的距离为，的面积，，C 22y px =0p >A C B x OAB 83l 2x ty =+[]()1,3t ∈C D E DE (0,1)M DEM △S22S t +OAB83A CB x 4,3A ⎛∴ ⎝⎭16833p =2p =∴24y x =l2x ty =+C 24y x =x 2480y ty --=()11,D x y ()22,E x y 124y y t +=128y y =-12DE y y ∴=-==()0,1M ∴M l 20x ty --=d ==DEM ∴122S DE d t =⋅==+[]1,3t ∈，设，则，在上单调递增，即，. 故的取值范围为. 16. （2021. 湖北省新高考九师联盟高三2月联考）已知椭圆的离心率为，左､右焦点分别为短轴的上端点为，且（1）求椭圆的方程；（2）若过点且不与轴垂直的直线与椭圆交于两点，是否存在点，使得直线与的斜率之积为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【解析】（1），设，则，由，得结合，得；由得代人，解得，所以故椭圆的方程为()()()223242242242S t t t t t t ∴=++=++++()32224f t t t t =+++()23420f t t t '=++>()f t ∴[]1,3()[]9,55f t ∈[]236,2202S t ∴∈+22S t +[]36,2202222:1(0)x y C a b a b +=>>312,,F F P 127.PF PF ⋅=-C ()1.0Q y C ,M N (),0T t TM TN t ()0,P b ()()12,0,,0F c F c -()()12,,,PF c b PF c b =--=-127PF PF ⋅=-227b c -=-222a b c =+2227a c -=-3c e a ==228,9a c =2227a c -=-229,8a c ==21b =C 22 1.9x y +=（2）由已知直线过点，设的方程为，则联立方程组消去得，所以设则又直线与斜率分别为则要使为定值，则有即，当时，；当时，所以存在点，使得直线与的斜率之积为定值．1.（2020年新高考山东卷）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，且过点A （2，1）．（1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值．l ()1,0Q l 1x my =+22119x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩x ()229280m y my ++-=()22Δ43290;m m =++>()()1122,,,,M x y N x y 1221222989m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩TM TN 11221122,11TM TN y y y y k k x t my t x t my t====-+--+-()()()122221281199(1)TM TN y y k k my t my t t m t -⋅==+-+--+-TM TN k k ⋅290,t -=3t =±3t =282,9(1)9TM TN m k k t -∀∈⋅==--R 3t =-281,9(1)18TM TN m k k t -∀∈⋅==--R ()3,0T ±TMTN。

2005试验卷高考数学应用题真题解析

2005试验卷高考数学应用题真题解析【2005试验卷高考数学应用题真题解析】本文将对2005年高考试验卷的数学应用题进行真题解析，帮助考生更好地理解解题思路和方法。

题目一：某厂生产若干种产品，其中，产品A的产量是产品B的3倍，产品C的产量是产品A和B的和的5倍，若产品C的产量是产品A和B的和的3倍，试求产品A、B、C的产量。

解析：设产品A的产量为x，产品B的产量为y，根据题意可知产品C的产量为(5x + 5y)。

由题意可知，产品A的产量是产品B的3倍，即x = 3y。

又根据题意可得，产品C的产量是产品A和B的和的3倍，即5x + 5y = 3(x + y)。

将x = 3y代入上式得到15y + 5y = 9y，即20y = 9y。

解得y = 0，代入x = 3y可得x = 0.所以，产品A、B、C的产量均为0。

题目二：已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a > 0，且对于所有的x 都有f(x + 3) = f(x - 3)。

试求函数f(x)的解析式。

解析：由题意可得f(x + 3) = f(x - 3)。

将函数f(x)代入上式：a(x+3)^2 + b(x+3) + c = a(x-3)^2 + b(x-3) + c展开并化简得：ax^2 + 6ax + 9a + bx + 3b + c = ax^2 - 6ax + 9a + bx -3b + c整理可得12ax + 6b = -12ax + -6b化简得24ax + 12b = 0得到ax + b = 0由于a > 0，所以a ≠ 0，因此可得x = -b/a。

所以函数f(x)的解析式为f(x) = ax^2 - bx + c。

通过解析题目一和题目二的解题过程，我们可以发现在数学应用题中，运用代数方程式进行求解是一个重要的方法。

掌握代数方程的转化、化简和解方，对于解决复杂的数学问题非常有帮助。

在备考高考数学应用题中，可以多进行相关的练习，提高自己的解题能力和技巧。

2005年高考数学-全国卷（3）（理）

2005年⾼考数学-全国卷（3）（理）2005年普通⾼等学校招⽣全国统⼀考试（全国卷Ⅲ）理科数学（必修+选修II ）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（⾮选择题）两部分. 共150分. 考试时间120分钟.第I 卷参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ）如果事件A 、B 相互独⽴，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）如果事件A 在⼀次试验中发⽣的概率是P ，那么 n 次独⽴重复试验中恰好发⽣k 次的概率P n (k)=C k n P k (1－P)n －k⼀、选择题：（1）已知α为第三象限⾓，则2α所在的象限是（A ）第⼀或第⼆象限（B ）第⼆或第三象限（C ）第⼀或第三象限（D ）第⼆或第四象限（2）已知过点A(-2，m)和B(m ，4)的直线与直线2x+y-1=0平⾏，则m 的值为（A ）0 （B ）-8 （C ）2 （D ）10 （3）在8(1)(1)x x -+的展开式中5x的系数是（A ）-14 （B ）14 （C ）-28 （D ）28(4)设三棱柱ABC-A 1B 1C 1的体积为V ，P 、Q 分别是侧棱AA 1、CC 1上的点，且PA=QC 1，则四棱锥B-APQC 的体积为（A ）16V （B ）14V （C ）13V （D ）12V（5）___________)3411- (D) 61(6)若ln 2ln 3ln 5,,235a b c ===,则 (A)a(7)设02x π≤≤,sin cos x x =-,则球的表⾯积公式S=42R π其中R 表⽰球的半径，球的体积公式V=334R π，其中R 表⽰球的半径(A) 0x π≤≤ (B)744x ππ≤≤(C) 544x ππ≤≤ (D) 322x ππ≤≤(8)22sin 21cos 2cos 2cos αααα=+ (A) tan α (B) tan 2α (C) 1 (D)12（9）已知双曲线2212y x-=的焦点为F 1、F 2，点M 在双曲线上且120,MF MF ?=则点M到x 轴的距离为43 （B ）53 （C（D（10）设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直⾓三⾓形，则椭圆的离⼼率是（A）2 （B）12（C）2- （D1 （11）不共⾯的四个定点到平⾯α的距离都相等，这样的平⾯α共有（A ）3个（B ）4个（C ）6个（D ）7个（12）计算机中常⽤⼗六进制是逢16进1的计数制，采⽤数字0～9和字母A ～F 共16个例如，⽤⼗六进制表⽰：E+D=1B ，则A ×B=（A ）6E （B ）72 （C ）5F （D ）B0第Ⅱ卷⼆．填空题（16分）（13）已知复数i Z 230+=,复数Z 满⾜Z=3Z+0Z ,则复数Z=_________________（14）已知向量(,12),(4,5),(,10)OA k OB OC k ===-，且A 、B 、C 三点共线，则k=（15）⾼l 为平⾯上过(0,1)的直线, l 的斜率等可能地取22,3,25,0,25,3,22---,⽤ξ表⽰坐标原点到l 的距离,由随机变量ξ的数学期望E ξ=___________（16）已知在△ABC 中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，P 是AB 上的点，则点P 到AC 、BC 的距离乘积的最⼤值是三.解答题：(17) (本⼩题满分12分)设甲、⼄、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响。

2005年高考.全国卷Ⅰ.理科数学试题精析详解(河北、河南、安徽、山西)

（D） 2 2 i
【点拨】对于复数运算应先观察其特点再计算，会简化运算．
（2）设 I 为全集， S1、S2、S3 是 I 的三个非空子集，且 S1 S2 S3 I ，则下面论断正确的是
（）
（A） CI S1 （S2 S3）
（B） S1 （CI S2 CI S3）
（C） CI S1 CI S2 CI S3
（3）一个与球心距离为 1 的平面截球所得的圆面面积为 π ，则球的表面积为
（）
（A） 8 2π （B） 8π （C） 4 2π （D） 4π 【解析】∵截面圆面积为 π ，∴截面圆半径 r 1 ，
O1
∴球的半径为 R OO12 r 2 2 ，
∴球的表面积为 8π ，故选Ｂ．
O
【点拨】找相关的直角三角形．
1 3
S
BNC
NF
2 24
，
VE AMD
VF BNC
2 24
V ， AMDBNC
SBNC MN
2 4
，∴ V ABCDEF
2
，故选 A．
3
【点拨】将不规则的多面体分割或补全为规则的几何体进行计算．
（6）已知双曲线
x2 a2
y2
1
(a
0) 的一条准线与抛物线 y 2
6x 的准线重合，则该双曲线的
sin 2x
2sin x cos x sin x cos x
（D） 4 3
2 cos x 4 sin x 4 ，当且仅当 cos x 4 sin x ，即 tan x 1 时，取“ ”，
sin x cos x
sin x cos x
2
∵0
x
π 2
，∴存在 x 使 tan x

2005年全国统一高考数学试卷及解析(理)

2005年全国统一高考数学试卷ⅰ（理）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）复数=（）A．﹣i B．i C．2﹣i D．﹣2+i2．（5分）设I为全集，S1、S2、S3是I的三个非空子集，且S1∪S2∪S3=I，则下面论断正确的是（）A．∁I S1∩（S2∪S3）=∅B．S1⊆（∁I S2∩∁I S3）C．∁I S1∩∁I S2∩∁I S3=∅ D．S1⊆（∁I S2∪∁I S3）3．（5分）用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为（）A．B． C．D．4．（5分）已知直线l过点（﹣2，0），当直线l与圆x2+y2=2x有两个交点时，其斜率k的取值范围是（）A．B．C．D．5．（5分）如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE、△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF=2，则该多面体的体积为（）A． B． C．D．6．（5分）已知双曲线﹣y2=1（a＞0）的一条准线与抛物线y2=﹣6x的准线重合，则该双曲线的离心率为（）A． B．C． D．7．（5分）当0＜x＜时，函数的最小值为（）A．2 B．C．4 D．8．（5分）设b＞0，二次函数y=ax2+bx+a2﹣1的图象为下列之一，则a的值为（）A．1 B．﹣1 C．D．9．（5分）设0＜a＜1，函数f（x）=log a（a2x﹣2a x﹣2），则使f（x）＜0的x的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞，log a3）D．（log a3，+∞）10．（5分）在直角坐标平面上，不等式组所表示的平面区域面积为（）A． B．C．D．311．（5分）在△ABC中，已知tan=sinC，给出以下四个论断：①tanA•cotB=1，②1＜sinA+sinB≤，③sin2A+cos2B=1，④cos2A+cos2B=sin2C，其中正确的是（）A．①③B．②④C．①④D．②③12．（5分）过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有（）A．18对B．24对C．30对D．36对二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）若正整数m满足10m﹣1＜2512＜10m，则m=．（lg2≈0.3010）14．（4分）的展开式中，常数项为．（用数字作答）15．（4分）如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，且∠ABC=50°，∠ACB=80°，则∠BOC=度．16．（4分）在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，过对角线BD′的一个平面交AA′于E，交CC′于F，则：①四边形BFD′E一定是平行四边形；②四边形BFD′E有可能是正方形；③四边形BFD′E在底面ABCD内的投影一定是正方形；④平面BFD′E有可能垂直于平面BB′D．以上结论正确的为．（写出所有正确结论的编号）三、解答题（共6小题，17~20、22题每题12分，21题14分，满分74分）17．（12分）设函数f（x）=sin（2x+φ）（﹣π＜φ＜0），y=f（x）图象的一条对称轴是直线．（Ⅰ）求φ，并指出y=f（x）由y=sin2x作怎样变换所得．（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调增区间；（Ⅲ）画出函数y=f（x）在区间[0，π]上的图象．18．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=1，AB=2，M是PB的中点．（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；（Ⅱ）求AC与PB所成的角；（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小．19．（12分）设等比数列{a n}的公比为q，前n项和S n＞0（n=1，2，…）．（Ⅰ）求q的取值范围；（Ⅱ）设，记{b n}的前n项和为T n，试比较S n与T n 的大小．20．（12分）9粒种子分种在3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种．假定每个坑至多补种一次，每补种1个坑需10元，用ξ表示补种费用，写出ξ的分布列并求ξ的数学期望．（精确到0.01）21．（14分）已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，与=（3，﹣1）共线．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设M为椭圆上任意一点，且=λ+μ（λ，μ∈R），证明λ2+μ2为定值．22．（12分）为了了解某校2000名学生参加环保知识竞赛的成绩，从中抽取了部分学生的竞赛成绩（均为整数），整理后绘制成如下的频数分布直方图（如图），请结合图形解答下列问题．（1）指出这个问题中的总体；（2）求竞赛成绩在79.5～89.5这一小组的频率；（3）如果竞赛成绩在90分以上（含90分）的同学可获得奖励，请估计全校约有多少人获得奖励．2005年河北省高考数学试卷Ⅰ（理）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2005•安徽）复数=（）A．﹣i B．i C．2﹣i D．﹣2+i【分析】两个复数相除，分子、分母同时乘以分母的共轭复数，复数的乘法按多项式乘以多项式的方法进行．【解答】解：复数====i，故选B．2．（5分）（2005•安徽）设I为全集，S1、S2、S3是I的三个非空子集，且S1∪S2∪S3=I，则下面论断正确的是（）A．∁I S1∩（S2∪S3）=∅B．S1⊆（∁I S2∩∁I S3）C．∁I S1∩∁I S2∩∁I S3=∅ D．S1⊆（∁I S2∪∁I S3）【分析】根据公式C U（A∩B）=（C U A）∪（C U B），C U（A∪B）=（C U A）∩（C U B），容易判断．【解答】解：∵S1∪S2∪S3=I，∴C I S1∩C I S2∩C I S3）=C I（S1∪S2∪S3）=C I I=∅．故答案选C．3．（5分）（2008•湖北）用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为（）A．B． C．D．【分析】做该题需要将球转换成圆，再利用圆的性质，获得球的半径，解出该题即可．【解答】解：截面面积为π⇒截面圆半径为1，又与球心距离为1⇒球的半径是，所以根据球的体积公式知，故选B．4．（5分）（2005•安徽）已知直线l过点（﹣2，0），当直线l与圆x2+y2=2x 有两个交点时，其斜率k的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】圆心到直线的距离小于半径即可求出k的范围．【解答】解：直线l为kx﹣y+2k=0，又直线l与圆x2+y2=2x有两个交点故∴故选C．5．（5分）（2005•安徽）如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE、△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF=2，则该多面体的体积为（）A． B． C．D．【分析】该几何体是一个三棱柱截取两个四棱锥，体积相减即为该多面体的体积．【解答】解：一个完整的三棱柱的图象为：棱柱的高为2；底面三角形的底为1，高为：，其体积为：；割去的四棱锥体积为：，所以，几何体的体积为：，故选A．6．（5分）（2005•安徽）已知双曲线﹣y2=1（a＞0）的一条准线与抛物线y2=﹣6x的准线重合，则该双曲线的离心率为（）A． B．C． D．【分析】先根据抛物线和双曲线方程求出各自的准线方程，然后让二者相等即可求得a，进而根据c=求得c，双曲线的离心率可得．【解答】解：双曲线的准线为抛物线y2=﹣6x的准线为因为两准线重合，故=，a2=3，∴c==2∴该双曲线的离心率为=故选D7．（5分）（2005•安徽）当0＜x＜时，函数的最小值为（）A．2 B．C．4 D．【分析】利用二倍角公式化简整理后，分子分母同时除以cosx，转化成关于tanx的函数解析式，进而利用x的范围确定tanx＞0，最后利用均值不等式求得函数的最小值．【解答】解：=．∵0＜x＜，∴tanx＞0．∴．当时，f（x）min=4．故选C．8．（5分）（2005•安徽）设b＞0，二次函数y=ax2+bx+a2﹣1的图象为下列之一，则a的值为（）A．1 B．﹣1 C．D．【分析】根据题中条件可先排除前两个图形，然后根据后两个图象都经过原点可求出a的两个值，再根据抛物线的开口方向就可确定a的值【解答】解：∵b＞0∴抛物线对称轴不能为y轴，∴可排除掉前两个图象．∵剩下两个图象都经过原点，∴a2﹣1=0，∴a=±1．∵当a=1时，抛物线开口向上，对称轴在y轴左方，∴第四个图象也不对，∴a=﹣1，故选B．9．（5分）（2005•安徽）设0＜a＜1，函数f（x）=log a（a2x﹣2a x﹣2），则使f（x）＜0的x的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞，log a3）D．（log a3，+∞）【分析】结合对数函数、指数函数的性质和复合函数的单调性可知：当0＜a＜1，log a（a2x﹣2a x﹣2）＜0时，有a2x﹣2a x﹣2＞1，解可得答案．【解答】解：设0＜a＜1，函数f（x）=log a（a2x﹣2a x﹣2），若f（x）＜0则log a（a2x﹣2a x﹣2）＜0，∴a2x﹣2a x﹣2＞1∴（a x﹣3）（a x+1）＞0∴a x﹣3＞0，∴x＜log a3，故选C．10．（5分）（2005•安徽）在直角坐标平面上，不等式组所表示的平面区域面积为（）A． B．C．D．3【分析】先依据不等式组，结合二元一次不等式（组）与平面区域的关系画出其表示的平面区域，再利用三角形的面积公式计算即可．【解答】解：原不等式组可化为：或画出它们表示的可行域，如图所示．可解得A（，﹣），C（﹣1，﹣2），B（0，1）原不等式组表示的平面区域是一个三角形，其面积S△ABC=×（2×1+2×）=，故选C．11．（5分）（2005•安徽）在△ABC中，已知tan=sinC，给出以下四个论断：①tanA•cotB=1，②1＜sinA+sinB≤，③sin2A+cos2B=1，④cos2A+cos2B=sin2C，其中正确的是（）A．①③B．②④C．①④D．②③【分析】先利用同角三角函数的基本关系和二倍角公式化简整理题设等式求得cos=进而求得A+B=90°进而求得①tanA•cotB=tanA•tanA等式不一定成立，排除；②利用两角和公式化简，利用正弦函数的性质求得其范围符合，②正确；③sin2A+cos2B=2sin2A不一定等于1，排除③；④利用同角三角函数的基本关系可知cos2A+cos2B=cos2A+sin2A=1，进而根据C=90°可知sinC=1，进而可知二者相等．④正确．【解答】解：∵tan=sinC∴=2sin cos整理求得cos（A+B）=0∴A+B=90°．∴tanA•cotB=tanA•tanA不一定等于1，①不正确．∴sinA+sinB=sinA+cosA=sin（A+45°）45°＜A+45°＜135°，＜sin（A+45°）≤1，∴1＜sinA+sinB≤，所以②正确cos2A+cos2B=cos2A+sin2A=1，sin2C=sin290°=1，所以cos2A+cos2B=sin2C．所以④正确．sin2A+cos2B=sin2A+sin2A=2sin2A=1不一定成立，故③不正确．综上知②④正确故选B．12．（5分）（2005•安徽）过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有（）A．18对B．24对C．30对D．36对【分析】直接解答，看下底面上的一条边的异面直线的条数，类推到上底面的边；再求侧面上的异面直线的对数；即可．【解答】解：三棱柱的底面三角形的一条边与侧面之间的线段有3条异面直线，这样3条底边一共有9对，上下底面共有18对．上下两个底边三角形就有6对；侧面之间的一条侧棱有6对，侧面面对角线之间有6对．加在一起就是36对．（其中棱对应的两条是体对角线和对面的面与其不平行的另一条对角线）．故选D．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）（2005•安徽）若正整数m满足10m﹣1＜2512＜10m，则m= 155．（lg2≈0.3010）【分析】利用题中提示lg2≈0.3010，把不等式同时取以10为底的对数，再利用对数的运算性质，转化为关于m的不等式求解即可．【解答】解：∵10m﹣1＜2512＜10m，取以10为底的对数得lg10m﹣1＜lg2512＜lg10m，即m﹣1＜512×lg2＜m又∵lg2≈0.3010∴m﹣1＜154.112＜m，因为m是正整数，所以m=155故答案为155．14．（4分）（2005•安徽）的展开式中，常数项为672．（用数字作答）=C n r a n﹣r b r求出通项，进行指【分析】利用二项式定理的通项公式T r+1数幂运算后令x的指数幂为0解出r=6，由组合数运算即可求出答案．=C9r（2x）9﹣r=（﹣1）r29﹣r C9r x9【解答】解：由通项公式得T r+1﹣r=（﹣1）r29﹣r C9r，令9﹣=0得r=6，所以常数项为（﹣1）623C96=8C93=8×=672故答案为67215．（4分）（2005•山西）如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，且∠ABC=50°，∠ACB=80°，则∠BOC=115度．【分析】由三角形内切定义可知：OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分线；再利用角平分线的定义可知∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB），代入数值即可求答案．【解答】解：∵OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分线，∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=（50°+80°）=65°，∴∠BOC=180°﹣65°=115°．故答案为：115°．16．（4分）（2005•安徽）在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，过对角线BD′的一个平面交AA′于E，交CC′于F，则：①四边形BFD′E一定是平行四边形；②四边形BFD′E有可能是正方形；③四边形B FD′E在底面ABCD内的投影一定是正方形；④平面BFD′E有可能垂直于平面BB′D．以上结论正确的为①③④．（写出所有正确结论的编号）【分析】由平行平面的性质可得①是正确的，当E、F为棱中点时，四边形为菱形，但不可能为正方形，故③④正确，②错误．【解答】解：①：∵平面AB′∥平面DC′，平面BFD′E∩平面AB′=EB，平面BFD′E∩平面DC′=D′F，∴EB∥D′F，同理可证：D′E∥FB，故四边形BFD′E一定是平行四边形，即①正确；②：当E、F为棱中点时，四边形为菱形，但不可能为正方形，故②错误；③：四边形BFD′E在底面ABCD内的投影为四边形ABCD，所以一定是正方形，即③正确；④：当E、F为棱中点时，EF⊥平面BB′D，又∵EF⊂平面BFD′E，∴此时：平面BFD′E⊥平面BB′D，即④正确．故答案为：①③④三、解答题（共6小题，17~20、22题每题12分，21题14分，满分74分）17．（12分）（2005•山西）设函数f（x）=sin（2x+φ）（﹣π＜φ＜0），y=f（x）图象的一条对称轴是直线．（Ⅰ）求φ，并指出y=f（x）由y=sin2x作怎样变换所得．（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调增区间；（Ⅲ）画出函数y=f（x）在区间[0，π]上的图象．【分析】（I）由图象的一条对称轴是直线，从而可得，解的∅，根据平移法则判断平移量及平移方向（II）令，解x的范围即为所要找的单调增区间（III）利用“五点作图法”做出函数的图象【解答】解：（Ⅰ）∵x=是函数y=f（x）的图象的对称轴，∴，∴，k∈Z．∵．由y=sin2x向右平移得到．（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知ϕ=﹣，因此y=．由题意得，k∈Z．所以函数的单调增区间为，k∈Z．（3分）（Ⅲ）由知x 0 πy ﹣﹣1 0 1 0 ﹣故函数y=f（x）在区间[0，π]上图象是（4分）18．（12分）（2005•安徽）已知四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=1，AB=2，M 是PB的中点．（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；（Ⅱ）求AC与PB所成的角；（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小．【分析】法一：（Ⅰ）证明面PAD⊥面PCD，只需证明面PCD内的直线CD，垂直平面PAD内的两条相交直线AD、PD即可；（Ⅱ）过点B作BE∥CA，且BE=CA，∠PBE是AC与PB所成的角，解直角三角形PEB求AC与PB所成的角；（Ⅲ）作AN⊥CM，垂足为N，连接BN，说明∠ANB为所求二面角的平面角，在三角形AMC中，用余弦定理求面AMC与面BMC所成二面角的大小．法二：以A为坐标原点AD长为单位长度，建立空间直角坐标系，（Ⅰ）求出，计算，推出AP⊥DC．，然后证明CD垂直平面PAD，即可证明面PAD⊥面PCD；（Ⅱ），计算．即可求得结果．（Ⅲ）在MC上取一点N（x，y，z），则存在使，说明∠ANB 为所求二面角的平面角．求出，计算即可取得结果．【解答】法一：（Ⅰ）证明：∵PA⊥面ABCD，CD⊥AD，∴由三垂线定理得：CD⊥PD．因而，CD与面PAD内两条相交直线AD，PD都垂直，∴CD⊥面PAD．又CD⊂面PCD，∴面PAD⊥面PCD．（Ⅱ）解：过点B作BE∥CA，且BE=CA，则∠PBE是AC与PB所成的角．连接AE，可知AC=CB=BE=AE=，又AB=2，所以四边形ACBE为正方形．由PA⊥面ABCD得∠PEB=90°在Rt△PEB中BE=a2=3b2，PB=，∴．∴AC与PB所成的角为．（Ⅲ）解：作AN⊥CM，垂足为N，连接BN．在Rt△PAB中，AM=MB，又AC=CB，∴△AMC≌△BMC，∴BN⊥CM，故∠ANB为所求二面角的平面角∵CB⊥AC，由三垂线定理，得CB⊥PC，在Rt△PCB中，CM=MB，所以CM=AM．在等腰三角形AMC中，AN•MC=，∴．∴AB=2，∴故所求的二面角为．法二：因为PA⊥PD，PA⊥AB，AD⊥AB，以A为坐标原点AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为A（0，0，0）B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），P（0，0，1），M（Ⅰ）证明：因为，故，所以AP⊥DC．又由题设知AD⊥DC，且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线，由此得DC⊥面PAD．又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD（Ⅱ）解：因，故=，所以由此得AC与PB所成的角为．（Ⅲ）解：在MC上取一点N（x，y，z），则存在使，，∴x=1﹣λ，y=1，z=λ．要使AN⊥MC，只需即，解得．可知当时，N点坐标为，能使．，有由得AN⊥MC，BN⊥MC．所以∠ANB为所求二面角的平面角．∵，∴．故所求的二面角为arccos．19．（12分）（2005•安徽）设等比数列{a n}的公比为q，前n项和S n ＞0（n=1，2，…）．（Ⅰ）求q的取值范围；（Ⅱ）设，记{b n}的前n项和为T n，试比较S n与T n 的大小．【分析】（Ⅰ）设等比数列通式a n=a1q（n﹣1），根据S1＞0可知a1大于零，当q不等于1时，根据等比数列前n项和公式，进而可推知1﹣q n＞0且1﹣q＞0，或1﹣q n＜0且1﹣q＜0，进而求得q的范围，当q=1时仍满足条件，进而得到答案．（Ⅱ）把a n的通项公式代入，可得a n和b n的关系，进而可知T n和S n的关系，再根据（1）中q的范围来判断S n与T n的大小．【解答】解：（Ⅰ）设等比数列通式a n=a1q（n﹣1）根据S n＞0，显然a1＞0，当q不等于1时，前n项和s n=所以＞0 所以﹣1＜q＜0或0＜q＜1或q＞1当q=1时仍满足条件综上q＞0或﹣1＜q＜0（Ⅱ）∵∴b n==a n q2﹣a n q=a n（2q2﹣3q）∴T n=（2q2﹣3q）S n∴T n﹣S n=S n（2q2﹣3q﹣2）=S n（q﹣2）（2q+1）又因为S n＞0，且﹣1＜q＜0或q＞0，所以，当﹣1＜q＜﹣或q＞2时，T n﹣S n＞0，即T n＞S n；当﹣＜q＜2且q≠0时，T n﹣S n＜0，即T n＜S n；当q=﹣，或q=2时，T n﹣S n=0，即T n=S n．20．（12分）（2005•安徽）9粒种子分种在3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种．假定每个坑至多补种一次，每补种1个坑需10元，用ξ表示补种费用，写出ξ的分布列并求ξ的数学期望．（精确到0.01）【分析】首先根据独立重复试验的概率公式计算出一个坑不需要补种的概率，由题意知一共种了3个坑，每个坑至多补种一次，每补种1个坑需10元，得到变量ξ的可能取值是0，10，20，30，根据独立重复试验得到概率的分布列．【解答】解：首先根据独立重复试验的概率公式计算出一个坑不需要补种的概率p=1﹣C330.53=0.875由题意知一共种了3个坑，每个坑至多补种一次，每补种1个坑需10元得到变量ξ的可能取值是0，10，20，30，ξ=0，表示没有坑需要补种，根据独立重复试验得到概率P（ξ=0）=C330.8753=0.670P（ξ=10）=C320.8752×0.125=0.287P（ξ=20）=C31×0.875×0.1252=0.041P（ξ=30）=0.1253=0.002∴变量的分布列是ξ0 10 20 30P0.670 0.287 0.041 0.002∴ξ的数学期望为：Eξ=0×0.670+10×0.287+20×0.041+30×0.002=3.7521．（14分）（2005•安徽）已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，与=（3，﹣1）共线．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设M为椭圆上任意一点，且=λ+μ（λ，μ∈R），证明λ2+μ2为定值．【分析】（Ⅰ）直线与椭圆方程联立用未达定理的A、B两点坐标的关系，据向量共线的条件得椭圆中a，b，c的关系，从而求得椭圆的离心率（Ⅱ）用向量运算将λμ用坐标表示，再用坐标的关系求出λ2+μ2的值．【解答】解：（1）设椭圆方程为则直线AB的方程为y=x﹣c，代入，化简得（a2+b2）x2﹣2a2cx+a2c2﹣a2b2=0．令A（x1，y1），B（x2，y2），则．∵与共线，∴3（y1+y2）+（x1+x2）=0，又y1=x1﹣c，y2=x2﹣c，∴3（x1+x2﹣2c）+（x1+x2）=0，∴．即，所以a2=3b2．∴，故离心率．（II）证明：由（1）知a2=3b2，所以椭圆可化为x2+3y2=3b2．设M（x，y），由已知得（x，y）=λ（x1，y1）+μ（x2，y2），∴∵M（x，y）在椭圆上，∴（λx1+μx2）2+3（λy1+μy2）2=3b2．即λ2（x12+3y12）+μ2（x22+3y22）+2λμ（x1x2+3y1y2）=3b2．①由（1）知．∴，∴x1x2+3y1y2=x1x2+3（x1﹣c）（x2﹣c）=4x1x2﹣3（x1+x2）c+3c2==0．又x12+3y12=3b2，x22+3y22=3b2，代入①得λ2+μ2=1．故λ2+μ2为定值，定值为1．22．（12分）（2005•安徽）为了了解某校2000名学生参加环保知识竞赛的成绩，从中抽取了部分学生的竞赛成绩（均为整数），整理后绘制成如下的频数分布直方图（如图），请结合图形解答下列问题．（1）指出这个问题中的总体；（2）求竞赛成绩在79.5～89.5这一小组的频率；（3）如果竞赛成绩在90分以上（含90分）的同学可获得奖励，请估计全校约有多少人获得奖励．【分析】（1）根据总体的概念：所要考查的对象的全体即总体进行回答；（2）根据频率=频数÷总数进行计算；（3）首先计算样本中的频率，再进一步估计总体．【解答】解：（1）总体是某校2000名学生参加环保知识竞赛的成绩．（2），答：竞赛成绩在79.5～89.5这一小组的频率为0.25．（3），答：估计全校约有300人获得奖励．。

习题2005年普通高等学校招生全国统一考试数学试题精析详解全国2 文

2005年普通高等学校招生全国统一考试数学（全国2文科卷）试题精析详解一、选择题（5分⨯12=60分）（1）函数f(x)=|sin x+cos x|的最小正周期是(A)4π (B) 2π(C) π (D)2π 见理1(2)正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，P 、Q 、R 分别是AB 、AD 、B 1C 1的中点.那么，正方体的过P 、Q 、R 截面图形是(A)三角形 (B)四边形 (C)五边形 (D)六边形见理2（3）函数y=x 2-1(x ≤0)的反函数是(A)y=1+x (x ≥-1) (B) y=-1+x (x ≥-1) (C) y=1+x (x ≥0) (D) y=-1+x (x ≥0)【思路点拨】本题考查反函数的求法.【正确解答】解法1：21y x x =-⇒=0x ≤得x =1y ≥-）所以反函数为1)y x =≥- 解法2：分析定义域和值域，用排除法.【解后反思】遇到反函数的选择题考查时，可根据互为反函数的性质，验证定义域和值域即可.（4）已知函数y=tan ωx 在(-2π,2π)内是减函数，则（A ）0<ω≤1 (B)-1≤ω<0 (C) ω≥1 (D) ω≤-1 见理4(5)抛物线x 2=4y 上一点A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 【思路点拨】本题关键在于能由方程确定焦点坐标.【正确解答】抛物线的焦点为（0，1），A 点的横坐标为4±，所以点A 与抛物线焦点的距离为5.【解后反思】对于抛物线22(0)y px p =>要理解它的一些重要几何性质：①p 的几何意义是焦点到准线的距离②焦点坐标是一次顶系数的14，只要概念清楚，本题易解. (6)双曲线19422=-y x 的渐近线方程是（A ）y=±32x (B)y=±x 94 (C)y=±23x (D)y=±49x 【思路点拨】本题直接考查双曲线渐近线方程的定义. 【正确解答】y=±23x. 【解后反思】不要与椭圆基本方程混淆，双曲线a,b 大小关系不确定，一般地22221x y a b -=的渐近线方程是22220x y a b -=即b y x a =±. (7)如果数列{}n a 是等差数列，则（A ）a 1+a 8<a 4+a 5 (B) a 1+a 8=a 4+a 5 （C ）a 1+a 8>a 4+a 5 (D) a 1a 8=a 4a 5 见理11(8)(x-2y)10的展开式中x 6y 4项的系数是（A ）840 （B ）-840 （C ）210 （D ）-210 【思路点拨】本题考查二项式定理和二项展开式的性质，正确记住其通项公式是解好本题的关键.【正确解答】由二项式公式可知，10()x 的展开式的一般项为1010()t tt C x -，当6t =时，x 6y 4项的系数为6410(210C =.【解后反思】求二项式展开式的某一项系数是指除字母以外的数，一般采用通项公式确定r.（9）己知点A （3，1），B （0，0），C （3，0）.设∠BAC 的平分线AE 与BC 相交于E ，那么有→BC =λ→CE ，其中λ等于（A ）2 （B ）21 （C ）-3 （D ）-31见理8（10）己知集合M={x|-4≤x ≤7},N={x|x 2-x-6>0},则M ∩N 为（A ）{x|-4≤x<-2或3<x ≤7} (B) {x|-4<x ≤-2或3≤x<7} (C) {x| x ≤-2或x>3} (D) {x| x<-2或x ≥3}【思路点拨】本题考查求不等式的解法和集合的运算，可利用数轴或文氏图进行集合的运算..【正确解答】{|47}M x x =-≤≤，{|23}N x x x =<->或，{|4237}MN x x x ∴=-≤<-<≤或.【解后反思】子集、补集、并集是集合的核心，是数学语言的充分体现，在解有关集合问题时，简化集合是上策，数形结合是良策.（11）点P 在平面上作匀速直线运动，速度向量v=（4，-3）（即点P 的运动方向与v 相同，且每秒移动的距离为|v|个单位）.设开始时点P 的坐标为（-10,10）,则5秒后点P 的坐标为（A ）（-2，4）（B ）（-30，25）（C ）（10，-5）（D ）（5，-10）见理10（12）△ABC 的顶点B 的平面α内，A 、C 在α的同一侧，AB 、BC 与α所成的角分别是30°和45°.若AB=3，BC=42，AC=5，则AC 与α所成的角为（A ）60° （B ）45° （C ）30° （D ）15°【思路点拨】本题考查直线与平面所成角的概念和求法，考查空间想象能力，找出AC 在平面α内的射影是解决本题的关键.【正确解答】分别过点A 与点C 作平面α的射影，交点分别为D 、E ，过A 作AF CE ⊥于F ，则CAF ∠是所要求的夹角. 由题意知，3sin 302AD AB =⋅︒=，sin 454CE BC =⋅︒=，52CF CE AD =-=，因此1sin 2CF CAF AC ∠==，即30CAF ∠=︒. 【解后反思】思考2个问题：1.求△ABC 所在平面与平面α所成的二面角的大小； 2. A 、C 在α的两侧，如何求AC 与α所成的角. 二、填空题（4分⨯4= 16分）（13）在22738和之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为_________________.【思路点拨】本题考查等比数列的基本概念和基础知识. 【正确解答】设插入三个数为2,,a aq aq ，则aq 是22738和的等比中项，且0aq >，即3827366()21832aq aq ==⇒=∴=2（aq ），所以，插入的三个数的乘积为218. 【解后反思】要熟悉等差（等比）中项的性质，恰当地设项便于问题的解决.一般地，等差数列的连续三项可设为,2,3a d a d a d +++或,,a d a a d -+，等比数列的连续三项可设为2,,a aq aq 或,,aa aq q. （14）圆心为（1，2）且与直线5x-12y-7=0相切的圆的方程为_________________. 见理13(15)在数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有_________________ 个. 见理15（16）下面是关于三棱锥的四个命题：①底面是等边的三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥.②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥. ③底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥.④侧棱与底面所成的角都相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥.其中，真命题的编号是_____________________.（写出所有真命题的编号）见理15三．解答题(6小题，共74分)（17）（本小题满分12分）己知α为第二象限的角，sin α=53，β为第一象限的角，cos β=135，求tan （2α-β）的值. 【思路点拨】本题主要考查有关角的和、差、倍的三角函数的基本知识，以及分析能力和计算能力，考查条件和结论的差异，消除差异，达到转化. 【正确解答】解法1：tan 2tan tan(2)1tan 2tan αβαβαβ--=+，α为第二象限的角，3sin 5α=，所以4cos 5α=-，sin 3tan cos 4ααα==-.所以22tan 24tan 21tan 7ααα==--， β为第一象限的角，5cos 13β=，所以12sin 13β==，12tan 5β=.所以241220475tan(2)24122531(1)75αβ---==+-⨯. 解法2：α为第二象限的角，3sin 5α=，所以4cos 5α==-，β为第一象限的角，5cos 13β=，所以12sin 13β==故 24sin 22sin cos 25ααα==-，27cos 21sin 25αα=-=，204sin(2)sin 2cos cos 2sin 325αβαβαβ-=-=-，253cos(2)cos 2cos sin 2sin 325αβαβαβ-=+=-.所以 sin(2)204tan(2)cos(2)253αβαβαβ--==-.【解后反思】①熟练掌握同角三角函数的基本关系，②在求同角三角函数值时三角函数的符号必须由已知角的范围来确定. （18）（本小题满分12分）甲、乙两队进行一场排球比赛，根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6.本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束，设各局比赛相互间没有影响，求（Ⅰ）前三局比赛甲队领先的概率；（Ⅱ）本场比赛乙队以3：2取胜的概率. （精确到0.001）【思路点拨】见理19【正确解答】单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6，乙队胜甲队的概率为1-0.6=0.4. （1）记“甲队胜三局”为事件A ，“甲队胜二局”为事件B ，则3()0.60.216P A ==，223()0.60.40.432P B C =⨯⨯=，所以，前三局比赛甲队领先的概率为()()0.648P A P B +=.（2）若本场比赛甲队3：2取胜，则前四局双方应以2：2战平，且第五局乙队胜所以，所求事件的概率为22230.40.60.40.138C ⨯⨯⨯=.【解后反思】见理19（19）（本小题满分12分）已经知{a n }是各项为不同的正数的等差数列lg a 1、lg a 2、lg a 4成等差数列.又b n =na 21,n=1,2,3,……. 证明{b n }为等比数列；（Ⅱ）如果数列{b n }前3项的和等于247，求数列{a n }的首项a 1和公差d.. 【思路点拨】本题主要考查等差数列、等比数列的基础知识以及运用这些知识的能力，第（Ⅰ）问中要利用等差、等比的转化关系，并将数列问题转化为首项、公差处理是常规方法. 【正确解答】（1）证明：124lg ,lg ,lg a a a 成等差数列，2142lg lg lg a a a ∴=+，即2214a a a =⋅，又设等差数列{}n a 的公差为d ，则2111()(3)a d a a d +=+，这样 21d a d =，从而1()0d d a -=0d ≠，10d a ∴-=，12(21)2n n n a a d d =+-=，21112n n n b a d ==⋅. 这时，{}n b 是首项112b d =，公比为12的等比数列. （2）1221117(1)22424b b b d ++=++=，3d ∴=，所以13a d == 【解后反思】在证明一个数列是等比数列时往往漏掉证明每一项为零，而导致出错；当项数较少求和时，可写这些所求的项，而不必用求和公式.（20）（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PD ⊥底面ABCD ，AD=PD ，E 、F 分别为CD 、PB 的中点.（Ⅰ）求证：EF ⊥平面PAB ；（Ⅱ）设AB=2BC ，求AC 与平面AEF 所成的角的大小. 见理20（21）（本小题满分12分）设α为实数，函数f(x)=x 3-x 2-x+a.（Ⅰ）求f(x)的极值；（Ⅱ）当a 在什么范围内取值时，曲线y=f(x)与x 轴仅有一个交点.【思路点拨】本题注意考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力.【正确解答】（1）2()321f x x x '=--，若()0f x '=，则1,13x =- 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：所以()f x 的极大值是()327f a -=+，极小值是(1)1f a =-. （2）函数322()(1)(1)1f x x x x a x x a =--+=-++-.由此可知x 取足够大的正数时，有()0f x >，x 取足够小的负数时，有()0f x <，所以曲线()y f x =与x 轴至少有一个交点.结合()f x 的单调性可知：当()f x 的极大值5027a +<，即5(,)27a ∈-∞-时，它的极小值也小于0，因此曲线()y f x =与x 轴仅有一个交点，它在(1,)+∞上；当()f x 的极小值10a ->时，即(1,)a ∈+∞上时，它的极大值也小于0，()y f x =与x 轴仅有一个交点，它在1(,)3-∞-上. 所以，当5(,)(1,)27a ∈-∞-+∞时，曲线()y f x =与x 轴仅有一个交点. 【解后反思】1、求可导函数f(x)的极值的步骤:①求导函数()f x '，②求方程()0f x '=的根，③检验方程()0f x '=的根的左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数在这一根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，右侧附近为正，那么函数在这一根处取得极小值.2、理解极值概念时要注意以下几点：①按定义极值的0x 是区间[],a b 内部的点，不会是端点；②若f(x)在(),a b 内有极值，那么f(x)在(),a b 绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值；③极值是一个函数在局部区域上的性质，极大值与极小值之间没有必然的大小关系，也就是说极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小④函数f(x) 在区间[],a b 上有极值的话，它的极值分布有规律，相邻两个极大值之间，必有一个极小值点，同样相邻两个极小值之间，必有一个极大值点，即f(x) 在区间[],a b 上的极小值点、极大值点是交替出现；⑤导数为零的点是该点成为极值点的必要不充分条件；⑥极值只能在函数不可导的点和导数为零的点取得.（22）（本小题满分14分）P 、Q 、M 、N 四点都在椭圆x 2+22y =1上，F 为椭圆在y 轴正半轴上的焦点.己知→PF 与→FQ 共线，→MF 与→FN 共线，且→PF ²→MF =0.求四边形PMQN 的面积的最小值和最大值. 见理22。

江苏省张家港高级中学高三数学考前热身卷(1) 含答案

第4题张家港高级中学2014-2015高三数学考前热身卷（1)练习日期：2015.6.1 命题：唐海燕姓名1．若集合2{|20}A x x x =-<，{|lg 0}B x x =>2．向量(12,4),(2,3),//c x d x c d =+=-且3．函数21ln 2y xx =-45．已知抛物线22(0)ypx p =>的准线与圆22670x y x +--=相切,则p 的值为6。

设)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≤x 时，x x x f -=22)(，则=)1(f7。

动点(),A x y 在圆221xy +=上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周。

已知时间0t =时,点A 的坐标是1(22，则当012t ≤≤时，动点A 的纵坐标y 关于t （单位：秒）的函数的单调递增区间是 8．若对,[1,2]x y ∈，2xy =,总有不等式24a x y-≥-成立，则实数a 的取值范围是。

9．设函数12,0()(1),0x x f x f x x -⎧≤=⎨->⎩,方程f （x ）＝x +a 有且只有两不相等实数根，则实数a 的取值范围为 .10．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0，2），直线:40l x y +-=．点B (,)x y 是圆22:210C xy x +--=的动点，,AD l BE l ⊥⊥，垂足分别为D 、E ，则线段DE 的最大值是．二、解答题:11．已知向量)sin ,(sin B A m =，)cos ,(cos A B n =，C n m 2sin =⋅,其中A 、B 、C 为△ABC 的内角。

（1）求角C 的大小；（2)若A sin ，C sin ，B sin 成等差数列,且18)(=-⋅AC AB CA ,求AB 的长.12.已知函数)(3)(3R a ax xx f ∈-=（1）当1=a 时，求)(x f 的极小值；(2）若直线0=++m y x 对任意的R m ∈都不是曲线)(x f y =的切线，求a 的取值范围（3）设]1,1[|,)(|)(-∈=x x f x g ，求)(x g 的最大值)(a F 的解析式。

江苏省张家港高级中学高三数学考前热身卷(2) 含答案

张家港高级中学2014-2015高三数学考前热身卷（2）练习日期：2015。

6.2 命题：张惠姓名_________1.在圆22x +y =4所围成的区域内随机取一个点P(x,y)，则 x +y 2≤的概率为 __.2.右图是一个算法的流程图，则输出S3.若将函数)0)(4tan(>+=ωπωx y 的图像向右平移6π,与函数)6tan(πω+=x y 的图像重合，则ω4.已知OA 为球O 的半径,过OA 的中点M圆M ,若圆M 的面积为3π，则球O 的表面积等于____________.5.点O 是三角形ABC 所在平面内的一点,满足OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅，则点O 是ABC ∆的（）（A ）三个内角的角平分线的交点 (B ）三条边的垂直平分线的交点 (C ）三条中线的交点 (D ）三条高的交点6。

已知椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，右准线l ,点A l ∈，线段AF 交C于点B 。

若3FA FB =，则AF =__________。

7。

在平面直角坐标系xoy 中,点P 在曲线3:103C y x x =-+上，且在第二象限内,已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为 .8.设函数3()31()f x axx x R =-+∈，若对于任意的[]1,1-∈x 都有0)(≥x f 成立，则实数a 的值为 __________ 。

9。

满足条件BC AC AB 2,2==的三角形ABC 的面积的最大值 ________ 。

10.数列{}n a 中，16a =,且111n n n a a a n n ---=++(*n ∈N ，2n ≥），则这个数列的通项公式． 11.已知函数21()2cos ,2f x x x x R=--∈．(1)求函数()f x 的最小值和最小正周期；(2）设ABC ∆的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c且c =()0f C =,若sin 2sin B A =，求a,b 的值．12.设{}n a 是公差不为零的等差数列，nS 为其前n 项和,满足2222234577a a a a ,S +=+=（1)求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；(2)试求所有的正整数m ,使得12m m m a a a ++为数列{}n a 中的项.高三数学考前热身卷（2）答案1.2π 2。

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k 次的概率
Pn (k)
C
k n
pk
(1
p)n k .
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 . 在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的 .
1. tan15° +cot15 °的值是
A ．2
B． 2&, B { x || x 1 | 3}, 则A B
四、从数学思想的指导作用和能力结构的角度总结做习题的经验，从中找到自己的不足。
在制定进一步训练的计划前，需要再次回顾考试要求中提出的数学内容和公式等。
看
看哪些内容自己平时掌握时尚有一些困难，或某些公式有时会记错，应该整理一下，及时
补缺。在临近考试的一周就不要在去做新题和难题了，而是整理近期做过的习题、模拟试
张家港高级中学 2005 届高三数学高考考前复习指导
临近高考，考生们都在进行紧张的复习。据了解，很多考生越临近考试越迷茫，对自己信心不足，却又不知道怎样复习自己十分熟悉的教材。笔者就最后阶段的数学复习给考生几点建议。
一、回顾并系统地整理高中数学的基础知识和基本方法。
在自己的头脑中应形成明晰的知识体系。俄国教育家乌申斯基有句名言 " 智慧不是别的，而是组织得好的知识体系 " 。高考的要求是： " 系统地掌握知识的内在联系，对所列的知识内容有较深刻的理性认识 "( 摘自高考《考试说明》 ) 。需要注意的是，建立知识体系并不只是罗列 1、2、3、4,, 而是在系统的内部结构中，认识它们的内在联系并提炼理性的认识。
在考试的时候，审题答题顺序、技巧，书写表述、检验等各个环节的成与败会直接影响到高考最终的成绩。所谓 " 养兵千日用兵一时 " 就是指这个道理。很多以往由于考场失利而于自己心目中理想的大学失之交臂正是由于没有重视到这一点。因此总结临考前与考场上心理调节的做法与经验是十分必要的。考生们应力争找到适合自身特点的心理调节方式与临场审题、答题的具体方法。例如遇到一道数学题，常常会出现无从下手的情况。这种时候，首先不要慌，然后仔细弄清题目涉及的概念和给出的条件，具体的方法，如换元法、待定系数法等，都是熟能生巧的。
. 共 150 分，考试时间 120
第Ⅰ卷（选择题）
参考公式如果事件 A ， B 互斥，那么 P（A+B ） =P(A)+P(B) 如果事件 A ， B 相互独立，那么 P（ A· B） =P（ A ）· P（B ）；如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p，那么 n 次独立重复试验中恰好发生
题中自己做错的习题，看看现在再做时，能否顺利解决、纠正错误。
五、要注意到当前试题变化的主要特征 --- 能力立意。
重点梳理数学学科相关的主要能力、方法及其注意的问题。例如：有关学习能力的考
查题中对一些给出的新的定义、法则的理解必须对题意要正确理解。应用能力考查题中要
注意如何把实际问题转化成数学问题应加以整理总结。空间想象能力的考查题中对在怎样
（）
43
D．
3
（）
A ．[2， 4]
B． ( , 2]
C． [－ 2， 4]
D． [ 2, )
3．若 |a| 2sin 15 ， |b| 4 cos15 ， a 与 b 的夹角为 30°，则 a· b 的值为（）
3
A．
2
B． 3
C． 2 3
1
D．
2
4．已知 F1、 F2 是椭圆的两个焦点，过 F1 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 A 、B 两点，
总之，在这半个月中，考生若能积极主动地促进量变到质变的进程，就会提高效率，适应高考的要求，取得好成绩。反之，若在忙乱中度过这半个月，则这个转变的过程就会不完整，达不到高考要求。考前复习要“外松内紧” ，到了真正考试的时候，可以立刻进入状态，使多年的辛苦取得应有的成绩。
高三数学考前指导卷
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分分钟 .
三、检查自己应对 " 中等解答题 " 的能力是否达到了高考要求。
高考试卷的解答题由 6 个题目组成，其中中等难度的题目至少有 3 道，真正的难题一般是两个，另外 1 个题目介于中等难题与难题之间，这个题目对水平较好的考生来说问题不大，一般考生会感到有难度。另外，一些解答题设有几个小问题，前面的几问是中等难度水平，最后一问属于难题。我们讲的 " 中等解答题 " 是指难度为中等水平的大题或一个题目中的某几个小问题，对于这类题目，考生应在 40 分钟内完成，成功率要达到 85%至 90%。在最后阶段，考生应该认真总结自己在解答中等题上是否达到了高考要求，对哪些题有把握，在哪个知识点上有困难，要做到 " 心中有数 " 。总结之后，就要对自己感到薄弱的知识点及相关题目进行有选择的、有针对性的训练，力争达到或超越高考要求。
当运用数形结合的思想，特殊值法的回顾和总结。解析几何中，如何减少运算量的一些方
法的回顾，再根据考生各自不同的水平、目标加强个体化的重点整理。例如：对一些平时
基础扎实，有较强理解能力，目标想要在数学考试中夺高分者，还必须对综合能力上要有
所整理和加强，可对一些综合问题看看自己能否有较好的解题思路。
六、总结临场考试时的考试技巧。
的情况下可能运用特例估算的方法处理十分简捷。以证明某些线面关系时，对反证法的运
用。还可以对一些重要的数学思想方法的重点整理。例如：如何对问题的具体情况的各种
条件的分类讨论。特别是常见的绝对值的讨论；直线斜率
K 存在与否的讨论；直线倾斜角
所在范围的讨论；等比数列中公比 q＝ 1 及 q≠１对求和 Sn 的影响等。在怎样的情况下，适
二、检查自己解答 " 选择题与填空题 " 的能力是否达到了高考的要求。
高考时，解答选择题与填空题应当在 45 分钟内完成， " 能分析条件，寻求与设计合理、简捷的运算路径 "( 摘自高考《考试说明》 ) ，成功率应达到 85%(以本科线为标准 ) 。选择题和填空题是得分的基础，如果你还达不到高考要求，现在就要进行有针对性的训练。
若△ ABF 2 是正三角形，则这个椭圆的离心率是
（）
3
A．
3
2
B．
3
2
C．
2
3
D．
2
5．已知 m、 n 是不重合的直线， α、 β 是不重合的平面，有下列命题： ①若 m α ，n∥ α ，则 m∥ n；