福建省宁德市2019届高三质量检查数学(理)试题答案

2019届宁德市普通高中毕业班第二次质量检查试卷数学（理科）试题参考答案及评分标准 说明： 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准指定相应的评分细则． 二、对计算题，当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分． 1．C 2．D 3．A 4．C 5．B 6．B 7．A 8．B 9．C 10．B 11．D 12．A 二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分20分．

13．35 14．32 15．939 16．[e,) 三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17．本小题主要考查数列及数列求和等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想等，满分12分． 解：（Ⅰ）由已知得2222(),nSnknnkk 因为*kN，当nk时，2min()9nSk，…………………………1分 故3k；………………………… 2分 所以26nSnn.…………………………3分 因为21(1)6(1)nSnn，(2)n 所以221(6)[(1)6(1)]nnnaSSnnnn， 得27nan(2)n.…………………………5分 当1n时，114Sa, 综上，27nan.…………………………6分 （Ⅱ）依题意，11(27)nnnnban,…………………………7分 所以2212+15311351(47)1[2(21)7]nnnTnn…………………………8分 5(222)n…………………………10分 52n．…………………………12分 18．本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及平面与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分12分．

解法一：（1）证明：因为四边形ABCD为直角梯形，且AB//DC, 2ABAD,2ADC, 所以22BD，……1分， 又因为4,4CDBDC, 根据余弦定理得22,BC …………………………2分， 所以222CDBDBC，故BCBD. …………………………3分 又因为BCPD, PDBDD,且BD,PD平面PBD，所以BC平面PBD， ………………4分 又因为BC平面PBC，所以PBCPBD平面平面………………5分 （2）由（1）得平面ABCD平面PBD, 设为BD的中点，连结PE，因为6PBPD, 所以PEBD,2PE,又平面ABCD平面PBD， 平面ABCD平面PBDBD， PE平面ABCD.…………………………7分 如图，以为原点分别以AD，AB和垂直平面ABCD的方向为,,xyz轴正方向，建立空间直角坐标系Axyz， 则(0,0,0)A，(0,2,0)B，(2,4,0)C，(2,0,0)D，(1,1,2)P， …………8分

假设存在M(a,b,c)满足要求，设(01)CMCP，即CMCP， 所以(2-,4-3,2)M, 易得平面PBD的一个法向量为(2,2,0)BC.…………………………9分 设(,,)xyz为平面ABM的一个法向量，(0,2,0)AB， =(2-,4-3,2)AM

由00ABAMnn得20(2)(43)20yxyz，不妨取(2,0,2)n. …………………………10分 因为平面PBD与平面ABM所成的锐二面角为3，所以22|4|12224(2)

，

解得23，2（不合题意舍去）.

xyzED

BA

C

PM

xy

zFED

BA

C

PM 故存在点满足条件，且23CMCP. …………………………12分 解法二：（1）证明：取线段CD的中点，连结AF交BD于点，连结BF， 因为//ABCD, 122ABADCD,2ADC, 所以四边形ADFB为正方形，故BDAF,…………………………1分， 且为BD中点,又为线段CD的中点， 所以//EFBC且BCBD…………………………3分， 又因为BCPD, PDBDD,且BD,PD平面PBD 所以BC平面PBD， …………………………4分 又因为BC平面PBC， 所以平面PBC平面PBD …………………………5分 （2）连结EP，因为6PBPD，为中点,所以PEBD,2PE, 又因为BC平面PBD，所以PE,DE,EF三线两两互相垂直，…………………………7分 分别以,,EDEFEP为,,xyz轴正方向，建立空间直角坐标系Exyz 则(0,0,0)E,(0,2,0)A,(2,0,0)B,(2,22,0)C,(2,0,0)D,(0,0,2)P …………………………8分

假设存在满足要求，设(01)CMCP,即CMCP, 易得平面PBD的一个法向量为(0,22,0)BC. …………………………9分 设(,,)xyzn为平面ABM的一个法向量，(2,2,0)AB， (22,3222,2)AMACCMACCP.

由00ABAMnn得220(22)(3222)20xyxyz 不妨取(2,2,2)n. …………………………10分 因为平面PBD与平面ABM所成的锐二面角为3，所以

22|4|12224(2)

，解得23，2（不合题意舍去）.

故存在点满足条件，且23CMCP. …………………………12分 19. 本小题主要考查频率分布直方图、平均数、独立性检验及数学期望等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力、应用意识，考查分类与整合思想、必然与或然思想、化归与转化思想．满分12分． 解：（1）(100.005300.0075500.010700.0125900.0101100.005)20x 62． 估计今年7月份游客人均购买水果的金额为62元．…………………………3分 （2）列联表如下：

…………………………5分 又22100(10302040)4.7613.84150503070, 因此有95%的把握认为“水果达人”与性别有关系．………………7分 （3）若选方案一：则需付款101210110元；…………………………8分 若选方案二：设付款元，则可能取值为84，96，108，120．…………………………9分 33311(84)28PXC， 223

113(96)228PXC



，

213113(108)228PXC， 303

11(120)28PXC



，

所以1331()84961081201028888EX．…………………………11分 因为102110， 所以选择方案二更划算．…………………………12分 20．本题主要考查直线、椭圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，考查考生分析问题和解决问题的能力，满分12分．

解法一：（1）当点的坐标为141,2时，732122OA， 所以32AB．.………………………………1分 由对称性，2AFBFa，………………………………2分 所以2723242a，得22a．.………………………………3分 将点141,2代入椭圆方程22218xyb中， 解得24b， 所以椭圆方程为22184xy．.………………………………5分 （2）当直线AB的斜率不存在时，22CD，

水果达人 非水果达人 合计 男 10 40 50 女 20 30 50 合计 30 70 100 此时1222222ACDS．…………………………6分 当直线AB的斜率存在时，设直线CD的方程为(2)(0)ykxk． 由22(2),28,ykxxy消去整理得：2222(12)8880kxkxk．…………………………7分 显然0>， 设1122(,),(,)CxyDxy，

则212221228,1288,12kxxkkxxk ………………………………8分 故2121CDkxx 222

2

22

888141212kkkkk



22

22

32+32112kkk



2

242112kk

．………………………………9分

因为CDAB()R，所以//CDAB， 所以点到直线CD的距离即为点到直线CD的距离221kdk，…………………………9分

所以12ACDSCDd 2

22

2212121kkkk

2242112kkk

…………………………10分

22

22

14212kkk



42424422441kkkk





2

2

122112k

，