第5章：双变量回归：区间估计与假设检验

* 而在显著性检验中，则是根据原假设H 0下的假设的 2 构造区间，看估计 ˆ 的 是否在这个区间范围内，若在区间内，则不能拒绝。若在区间外， 2
则拒绝原假设。
* ˆ ˆ ˆ 例：根据 Pr[ 2 t / 2 se( 2 ) 2 *2 t / 2 se( 2 )] 1 ˆ 得出： Pr[0.2177 0.3823] 0.95 2
关于 的显著性检验:
2
ˆ 2 (n 2) 2 ~ (n 2)
2 2
用这一统计量进行显著性检验,其决策机制列入表5.2.
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ˆ 例子：前述消费与收入模型，所计算的 2 42.1591, d . f . 8 如设定原和备假设为：H 0： 2 85 H1： 2 ˆ 2 2 这显然是双尾检验, ( n 2) 2 ~ 2 ( n 2)，给出了检验这 ˆ 一假设的统计量，将 2 42.1591, d . f . 8代入(在原假设之下)， 有计算的值为 ˆ 2 2 (8) * 2 3.97 选定显著性水平0.05，可查得 2的两个临界值分别为
假设检验：置信区间的方法
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ˆ ˆ ˆ ˆ P[ 2 t / 2 se( 2 ) 2 2 t / 2 se( 2 )] 1
在假设H 0下，落入此区间的 2值有 100(1 )%可信性，因而，若 2果真 落入此区域，就不能拒绝H 0
2
1
2
ˆ ˆ 2 t /2 se( 2 )
ˆ ˆ 2 t /2 se( 2 )
x
决策规则：构造一个 2的100(1 )%置信区间。 若 2在假设H 0下落入此区间，就不要拒绝H 0。 若落在此区间之外，则不拒绝H 0。
假设检验：显著性检验法
1. 检验回归系数的显著性：t检验 显著性检验最基本的问题是构造一个合适的统计量 （作为估计量），以及在原假设之下的抽样分布（本课 程基于经典的统计量，其分布已知），通过计算这一统 计量的样本值，进而与临界值比较，如落入接受域，则 不拒绝原假设，而不落入接受域即落入拒绝域，则拒绝 原假设。几乎所有假设检验，均按这一原理而实现。这 一思想的核心是，设定原假设和备选假设，构造统计量 以及推导它在原假设下的分布，利用这一分布检验假设， 所以这种思想实质上是先行假定原假设为真，从而有统 计量在原假设下的分布，基于此检验假设。
/2 t
4.13
red area = rejection region for 2-sided test
One-tailed t-test decision rule
Decision Rule Step 5: If t > tc If t < tc ==> reject H0 ==> not reject H0
left-tail
4.25
Right-tail
Right-tail
0
tc < t
t < -tc 0
(If t < - tc ==> reject H0 ) (If t > - tc ==> not reject H0 )
Left-tail
ˆ (2 2 ) t t (n 2) ˆ ) se( 2 ˆ (2 2 ) 置信区间： t / 2 Pr[ t / 2 ] 1 ˆ ) se( 2 ˆ ˆ ˆ Pr[ * t se( ) * t se( )] 1 2
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t检验法：
第一步：建立原假设和备择假设 H 0： 2 0.3 H1： 2 0.3 ˆ ˆ 第二步：根据回归估计得出 2 0.5091，se( 2 ) 0.0357
根据样本信息和H 0假设下的 2 0.3计算t值 ˆ ( 2 2 ) 0.5091 0.3 t 5.86 ˆ) 0.0357 se (2 , )
2
ˆ 以 2为例进行分析，标准化变量： ˆ ˆ 2 2 (2 2 ) Z ˆ se( 2 ) xi2
若总体方差 2已知，则我们利用正态分布来进行分析。
ˆ 若总体方差 2未知，则只能用估计的方差 2来进行代替。 这时回归系数的分布将会发生变化，服从t分布。 ˆ 2 2 估计量 参数 t ˆ se( 2 ) 估计量的标准误的估计值 ˆ (2 2 ) ˆ
ˆ 2 0.5091，不在这个区间内，因此拒绝原假设H 0。
显著性检验——说明
显著性检验的实质为，建立真值或总体的某 一特定值的原假设和备选假设，在原假设下 构造统计量和它的分布， 并在原假设建立 有关估计量的置信区间，最后考察估计的值 是否落入置信区间之内还是之外，若落入之 内，不能拒绝原假设，否则拒绝原假设。这 一问题可转化为，如计算的t值较大，即可 成为拒绝原假设的证据。
2 2
3 在重复抽样中，平均来看，有100%（1-）次包含着总 体参数的真值。 ˆ 4 只要 不知道，则这个置信区间为随机区间。
2
ˆ 一旦样本确定，估计出一个 2的值，这时就是一个固定区 间了，这是真实 2或在区间内，或在区间外，从而概念只能 是1或0。
5.3
回归系数1和 2的置信区间
2的置信区间为：
ˆ ˆ 2 t / 2 se( 2 )
5.4 的置信区间
2
在ui的正态性假定下，变量：
(n 2)
2 2
ˆ2

2
2
~ ( n 2)
2 2
利用 分布建立 的置信区间： Pr(
2 1 /2
/2 ) 1
第三步：确定显著性水平为5%，则查t分布表得出临界值 自由度为n 2，临界值t 2 2.306,t t 2，则拒绝H 0。
t Distribution
Region of acceptance
f(t)
Reject region
Reject region
/2 -tc
() 0 tc
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2
置信区间
由于标准差是度量估计量的精度，所以可利用标准差 来构造置信区间，这样，形成区间估计可以表述为： 确定决定区间的数 (基于标准差)和显著性水平， 使总体参数 2落入这一区间的概率（置信水平）为1 ： ˆ ˆ Pr( ) 1
2
xi2
t (n 2)
用t分布来建立置信区间： Pr( t t t 2 ) 1 ˆ (2 2 ) Pr(t / 2 t t / 2 ) Pr t / 2 t / 2 ˆ se( 2 ) ˆ ˆ ˆ ˆ Pr[ 2 t / 2 se( 2 ) 2 2 t / 2 se( 2 )] 1
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备选假设：通常是对研究者预期取值的表述。 备选假设的表示是在预期取值范围的表述前加 上符号“ H A： ”。继续我们的例子，如果你预期系 数是正值，那么备选假设是： 备选假设 H A : 0 （这是你所预期的取值范围） 注：上述假设是针对单侧(或单尾)检验而言的，因为 备选假设的取值位于虚拟假设的一侧。另一种方 法是使用双侧检验： H0 : 0 HA : 0
2
Pr[(n 2)
ˆ2
/2
2
( n 2)
2
ˆ2

2 1 /2
] 1
5.5 假设检验
虚拟假设：通常是研究者(对某一回归参数的) 非预期取值的一种表述。虚拟假设的表示是在 非预期的取值范围前加上符号“ H 0：。例如， ” 如果你预期系数是正值，那么0或负的系数就是 非预期的取值范围，于是虚拟假设为： 虚拟假设H 0 : 0 这是你的非预期的取值范围）
对于显著性检验（如检验），当计算的统计 量值落入接受域中，因此我们接受原假设， 其含意为，根据样本证据，我们没有理由拒 绝原假设；而并非是指，原假设一定为真。 为什么？ 对于已决定接受的原假设，若与 之类似的另一原假设（我们只是没有设定）， 通过相同的步骤，有可能结果为接受这一新 的原假设，若如此，哪一个原假设为真？通 过假设检验还无法决定。
2 2 (10.05/2) (8) 2.1797和 (0.05/2) (8) 17.5346, 接表5.2中的
第三行的双尾决策规则，由计算的2.18< 2 3.97 17.54 即落入这两个临界值所界定的区域之内, 故数据支持原假 设, 或者不拒绝原假设，或接受原假设。
接受与拒绝的含义
2 2 2
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注释
ˆ 置信区间： 2 置信系数： 1 显著性水平： ˆ 置信下限： 2 ˆ 直线上限：
2
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进一步解释
ˆ 置信区间是根据点估计量 2构造出来的一个区间， 要使得它把总体参数的真值包括在区间内的概率 为1 ，从而区间估计量给出了一个真实 2 会落 入其中的数值范围。若 5%，则置信水平为95%， 那么置信区间包含真实 2的概率就为95%。
ˆ ˆ 在扰动项服从正态分布的假定下，估计的系数1和 2 都服从正态分布。 ˆ 均值： E ( 1 ) 1
2 方差： 1 )： 1 var( ˆ
X n x
2
ˆ E (2 ) 2
2 i 2 i
2
ˆ var( 2 )： 2
2 2 ˆ 1 N ( 1 , )
/2
2
2
2
/2
2
ˆ 这一式子的意义为：在假定 2 2 时， 2以概率1－ 落入其中的区间 ˆ ˆ [ * t se( )]。若估计的 落在这个区间外，则拒绝原假设H ，若落 2