2016年江苏省南京市联合体中考一模数学试卷含答案
2016年江苏省南京市建邺区中考数学一模试卷
2016年江苏省南京市建邺区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（2分）下列计算结果为负数的是（）A．﹣1+2 B．|﹣1|C． D．﹣2﹣12．（2分）计算a5•（﹣）2的结果是（）A．﹣a3B．a3C．a7D．a103．（2分）若a＜2＜b，其中a、b为两个连续的整数，则ab的值为（）A．2 B．5 C．6 D．124．（2分）如图是一几何体的三视图，这个几何体可能是（）A．三棱柱B．三棱锥C．圆柱D．圆锥5．（2分）如图，已知a∥b，∠1=115°，则∠2的度数是（）A．45°B．55°C．65°D．85°6．（2分）在学习“一次函数与二元一次方程”时，我们知道了两个一次函数图象的交点坐标与其相应的二元一次方程组的解之间的关系，请通过此经验推断：在同一平面直角坐标系中，函数y=5x2﹣3x+4与y=4x2﹣x+3的图象交点个数有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共计20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7．（2分）要使在实数范围内有意义，x应满足的条件是．8．（2分）若a﹣b=3，a+b=﹣2，则a2﹣b2=．9．（2分）据统计，2016年春节“黄金周”（2月7日至13日）期间，南京共接待游客4 880000人．将4880000用科学记数法表示为．10．（2分）若△ABC∽△A′B′C′，相似比为1：3，则△ABC与△A′B′C′的面积之比为．11．（2分）已知圆锥的底面半径是1cm，母线长为3cm，则该圆锥的侧面积为cm2．12．（2分）已知方程x2+mx﹣3=0的一个根是1，则它的另一个根是．13．（2分）某校射击队从甲、乙、丙、丁四人中选拔一人参加市运会射击比赛．在选拔赛中，每人射击10次，他们10次成绩的平均数及方差如下表所示．请你根据表中数据选一人参加比赛，最合适的人选是．14．（2分）在同一平面直角坐标系中，正比例函数y=k1x的图象与反比例函数y=的图象一个交点的坐标是（﹣2，3），则它们另一个交点的坐标是．15．（2分）如图，在正十边形A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10中，连接A1A4、A1A7，则∠A4A1A7=°．16．（2分）如图①，在等边△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，⊙O的圆心与点D 重合，⊙O与线段CD交于点E，且CE=4cm．将⊙O沿DC方向向上平移1cm后，如图②，⊙O恰与△ABC的边AC、BC相切，则等边△ABC的边长为cm．三、解答题（本大题共有11小题，共计88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中a=+1，b=﹣1．18．（6分）解不等式组并写出不等式组的整数解．19．（7分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E、F在对角线AC上，且∠ABF=∠CDE，AE=CF．（1）求证：△ABF≌△CDE；（2）当四边形ABCD满足什么条件时，四边形BFDE是菱形？为什么？20．（8分）“低碳环保，你我同行”．近两年，南京市区的公共自行车给市民出行带来了极大的方便．图①是公共自行车的实物图，图②是公共自行车的车架示意图，点A、D、C、E在同一条直线上，CD=30cm，DF=20cm，AF=25cm，FD⊥AE 于点D，座杆CE=15cm，且∠EAB=75°．（1）求AD的长；（2）求点E到AB的距离．（参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）21．（7分）甲、乙两名同学从《奔跑吧兄弟》、《极限挑战》、《最强大脑》三个综艺节目中随机选择一个观看．（1）甲同学观看《最强大脑》的概率是；（2）求甲、乙两名同学观看同一节目的概率．22．（8分）“世界那么大，我想去看看”一句话红遍网络，随着国际货币基金组织正式宣布人民币2016年10月1日加入SDR（特别提款权），以后出国看世界更加方便．为了解某区6000名初中生对“人民币加入SDR”知晓的情况，某校数学兴趣小组随机抽取区内部分初中生进行问卷调查，将问卷调查的结果划分为“非常了解”、“比较了解”、“基本了解”、“不了解”四个等级，并将调查结果整理分析，得到下列图表：某区抽取学生对“人民币加入SDR”知晓情况频数分布表（1）本次问卷调查抽取的学生共有人，其中“不了解”的学生有人；（2）在扇形统计图中，学生对“人民币加入SDR”基本了解的区域的圆心角为°；（3）根据抽样的结果，估计该区6000名初中生对“人民币加入SDR”了解的有多少人（了解是指“非常了解”、“比较了解”和“基本了解”）？23．（8分）某商场将进货价为每只30元的台灯以每只40元售出，平均每月能售出600只．调查表明，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量将减少10只．当这种台灯的售价定为多少元时，每个月的利润恰为10 000元？24．（9分）货车和轿车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一公路相向而行．轿车出发2.4h后休息，直至与货车相遇后，以原速度继续行驶．设货车出发xh后，货车、轿车分别到达离甲地y1km和y2km的地方，图中的线段OA、折线BCDE 分别表示y1、y2与x之间的函数关系．（1）求点D的坐标，并解释点D的实际意义；（2）求线段DE所在直线的函数表达式；（3）当货车出发h时，两车相距200km．25．（8分）数学活动课上，小君在平面直角坐标系中对二次函数图象的平移进行了研究．图①是二次函数y=（x﹣a）2+（a为常数）当a=﹣1、0、1、2时的图象．当a 取不同值时，其图象构成一个“抛物线簇”．小君发现这些二次函数图象的顶点竟然在同一条直线上！（1）小君在图①中发现的“抛物线簇”的顶点所在直线的函数表达式为；（2）如图②，当a=0时，二次函数图象上有一点P（2，4）．将此二次函数图象沿着（1）中发现的直线平移，记二次函数图象的顶点O与点P的对应点分别为O1、P1．若点P1到x轴的距离为5，求平移后二次函数图象所对应的函数表达式．26．（10分）如图，直线AB交⊙O于C、D两点，CE是⊙O的直径，CF平分∠ACE交⊙O于点F，连接EF，过点F作FG∥ED交AB于点G．（1）求证：直线FG是⊙O的切线；（2）若FG=4，⊙O的半径为5，求四边形FGDE的面积．27．（11分）问题提出平面上，若点P与A、B、C三点中的任意两点均构成等腰三角形，则称点P是A、B、C三点的巧妙点．若A、B、C三点构成三角形，也称点P是△ABC的巧妙点．初步思考（1）如图①，在等边△ABC的内部和外部各作一个△ABC的巧妙点．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）如图②，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，点D、E是△ABC的两个巧妙点，其中AD=AB，AE=AC，BD=BC=CE，连接DE，分别交AB、AC于点M、N．求证：DA2=DB•DE．深入研究（3）在△ABC中，AB=AC，若存在一点P，使PB=BA，PA=PC．点P可能为△ABC 的巧妙点吗？若可能，请画出示意图，并直接写出∠BAC的度数；若不可能，请说明理由．2016年江苏省南京市建邺区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（2分）下列计算结果为负数的是（）A．﹣1+2 B．|﹣1|C． D．﹣2﹣1【分析】先化简各项，再根据负数的定义，即可解答．【解答】解：A、﹣1+2=1，故错误；B、|﹣1|=1，故错误；C、=2，故错误；D、﹣2﹣1=﹣，正确；故选：D．【点评】本题考查了算术平方根，解决本题的关键是熟记算术平方根的定义．2．（2分）计算a5•（﹣）2的结果是（）A．﹣a3B．a3C．a7D．a10【分析】首先计算分式的乘方，然后再相乘即可．【解答】解：原式=a5•=a3，故选：B．【点评】此题主要考查了分式的乘法，关键是掌握分式的乘、除、乘方混合运算．运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算，即“先乘方，再乘除”．3．（2分）若a＜2＜b，其中a、b为两个连续的整数，则ab的值为（）A．2 B．5 C．6 D．12【分析】依据平方数越大对应的算术平方根越大可求得a、b的值，最后依据有理数的乘法法则求解即可．【解答】解：∵4＜8＜9，∴2＜＜3，即2＜2＜3．∴a=2，b=3．∴ab=6．故选：C．【点评】本题主要考查的是估算无理数的大小，掌握夹逼法估算无理数的大小是解题的关键．4．（2分）如图是一几何体的三视图，这个几何体可能是（）A．三棱柱B．三棱锥C．圆柱D．圆锥【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．【解答】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是三角形可判断出这个几何体应该是三棱柱．故选：A．【点评】考查了由三视图判断几何体的知识，主视图和左视图的大致轮廓为长方形的几何体为柱体，俯视图为几边形就是几棱柱．5．（2分）如图，已知a∥b，∠1=115°，则∠2的度数是（）A．45°B．55°C．65°D．85°【分析】根据两直线平行，同旁内角互补求出∠3，再根据对顶角相等解答．【解答】解：如图，∵a∥b，∠1=115°，∴∠3=180°﹣∠1=180°﹣115°=65°，∴∠3=∠2=65°．故选：C．【点评】本题考查了平行线的性质，对顶角相等的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．6．（2分）在学习“一次函数与二元一次方程”时，我们知道了两个一次函数图象的交点坐标与其相应的二元一次方程组的解之间的关系，请通过此经验推断：在同一平面直角坐标系中，函数y=5x2﹣3x+4与y=4x2﹣x+3的图象交点个数有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个【分析】由题意知函数y=5x2﹣3x+4与y=4x2﹣x+3的图象交点个数即方程组的解的个数，即可判断．【解答】解：根据题意，函数y=5x2﹣3x+4与y=4x2﹣x+3的图象交点个数即方程组的解的个数，解方程组得：，所以函数y=5x2﹣3x+4与y=4x2﹣x+3的图象交点只有一个交点（1，6），故选：B．【点评】本题主要考查二次函数的性质，根据题意得出二次函数图象交点个数即为联立的方程组的解得个数是关键．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共计20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7．（2分）要使在实数范围内有意义，x应满足的条件是x≥2．【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，列不等式求解．【解答】解：要使在实数范围内有意义，x应满足的条件x﹣2≥0，即x≥2．【点评】主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．8．（2分）若a﹣b=3，a+b=﹣2，则a2﹣b2=﹣6．【分析】直接利用平方差公式分解因式，进而将已知代入求出答案．【解答】解：∵a2﹣b2=（a+b）（a﹣b），∴把a﹣b=3，a+b=﹣2代入得：原式=3×（﹣2）=﹣6．故答案为：﹣6．【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．9．（2分）据统计，2016年春节“黄金周”（2月7日至13日）期间，南京共接待游客4 880000人．将4880000用科学记数法表示为 4.88×106．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．【解答】解：4880000=4.88×106，故答案为：4.88×106【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．10．（2分）若△ABC∽△A′B′C′，相似比为1：3，则△ABC与△A′B′C′的面积之比为1：9．【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答．【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，相似比为1：3，∴△ABC与△A′B′C′的面积之比为1：9．故答案为：1：9．【点评】本题考查了相似三角形的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．11．（2分）已知圆锥的底面半径是1cm，母线长为3cm，则该圆锥的侧面积为3πcm2．【分析】圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．【解答】解：圆锥的侧面积=2π×3×1÷2=3π．故答案为：3π．【点评】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长．12．（2分）已知方程x2+mx﹣3=0的一个根是1，则它的另一个根是﹣3．【分析】由于该方程的一次项系数是未知数，所以求方程的另一解可以根据根与系数的关系进行计算．【解答】解：设方程的另一根为x1，根据根与系数的关系可得：x1•1=﹣3，解得x1=﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两根为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．13．（2分）某校射击队从甲、乙、丙、丁四人中选拔一人参加市运会射击比赛．在选拔赛中，每人射击10次，他们10次成绩的平均数及方差如下表所示．请你根据表中数据选一人参加比赛，最合适的人选是丁．【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．【解答】解：∵S甲2=5.1，S乙2=4.7，S丙2=4.5，S丁2=4.5，∴S甲2＞S乙2＞S2丁=S2丙，∵丁的平均数大，∴最合适的人选是丁．故答案为：丁【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．14．（2分）在同一平面直角坐标系中，正比例函数y=k1x的图象与反比例函数y=的图象一个交点的坐标是（﹣2，3），则它们另一个交点的坐标是（2，﹣3）．【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．【解答】解：根据题意，直线y=k1x经过原点与双曲线y=相交于两点，又由于双曲线y=与直线y=k1x均关于原点对称．则两点关于原点对称，一个交点的坐标为（﹣2，3），则另一个交点的坐标为（2，﹣3）．故答案为：（2，﹣3）．【点评】本题考查反比例函数图象的中心对称性，即两点关于原点对称．15．（2分）如图，在正十边形A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10中，连接A1A4、A1A7，则∠A4A1A7=54°．【分析】找出正十边形的圆心O，连接A7O，A4O，再由圆周角定理即可得出结论．【解答】解：如图，连接A7O，A4O，∵正十边形的各边都相等，∴∠A7OA4=×360°=108°，∴∠A4A1A7=×108°=54°．故答案为：54．【点评】本题考查的是正多边形和圆，根据题意作出辅助线，构造出圆周角是解答此题的关键．16．（2分）如图①，在等边△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，⊙O的圆心与点D 重合，⊙O与线段CD交于点E，且CE=4cm．将⊙O沿DC方向向上平移1cm后，如图②，⊙O恰与△ABC的边AC、BC相切，则等边△ABC的边长为cm．【分析】如图，设圆O与BC的切点为M，连接OM，根据切线的性质可以得到∠OMC=90°，而根据已知条件可以得到∠DCB=30°，设AB为2xcm，根据等边三角形得到CD=xcm，而CE=2cm，又将量角器沿DC方向平移1cm，由此得到半圆的半径为（x﹣4）cm，OC=（x﹣1）cm，然后在Rt△OCM中利用三角函数可以列出关于x的方程，解方程即可求解．【解答】解：如图，设图②中圆O与BC的切点为M，连接OM，则OM⊥MC，∴∠OMC=90°，依题意知道∠DCB=30°，设AB为2xcm，∵△ABC是等边三角形，∴CD=xcm，而CE=4cm，又将量角器沿DC方向平移1cm，∴半圆的半径为（x﹣4）cm，OC=（x﹣1）cm，∴sin∠DCB==，∴=，∴x=，∴等边△ABC的边长为=2x=2×=（cm）．故答案为：．【点评】本题考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．三、解答题（本大题共有11小题，共计88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中a=+1，b=﹣1．【分析】先算括号里面的，再算除法，分式化为最简后把a、b的值代入进行计算即可．【解答】解：原式=（）•=﹣．当a=+1，b=﹣1时，原式=﹣=﹣=﹣．【点评】本题考查的是分式的化简求值，化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤．18．（6分）解不等式组并写出不等式组的整数解．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式，得x≥﹣1．解不等式2x﹣3＜0，得x＜．所以不等式组的解集是﹣1≤x＜．故不等式组的整数解为﹣1、0、1．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．19．（7分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E、F在对角线AC上，且∠ABF=∠CDE，AE=CF．（1）求证：△ABF≌△CDE；（2）当四边形ABCD满足什么条件时，四边形BFDE是菱形？为什么？【分析】（1）由平行线的性质得出∠BAC=∠DCA．证出AF=CE．由AAS证明△ABF ≌△CDE即可；（2）先证明四边形ABCD是菱形，得出BD⊥AC，再证明四边形BFDE是平行四边形，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵AB∥CD，∴∠BAC=∠DCA．∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE．在△ABF和△CDE中，，又∵∠ABF=∠CDE，∴△ABF≌△CDE（AAS）；（2）解：当四边形ABCD满足AB=AD时，四边形BEDF是菱形．理由如下：连接BD交AC于点O，如图所示：由（1）得：△ABF≌△CDE，∴AB=CD，BF=DE，∠AFB=∠CED，∴BF∥DE．∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形．又∵AB=AD，∴平行四边形ABCD是菱形．∴BD⊥AC．∵BF=DE，BF∥DE，∴四边形BEDF是平行四边形，∴四边形BEDF是菱形．【点评】本题考查了平行线的性质、平行四边形的判定、菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握菱形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．20．（8分）“低碳环保，你我同行”．近两年，南京市区的公共自行车给市民出行带来了极大的方便．图①是公共自行车的实物图，图②是公共自行车的车架示意图，点A、D、C、E在同一条直线上，CD=30cm，DF=20cm，AF=25cm，FD⊥AE 于点D，座杆CE=15cm，且∠EAB=75°．（1）求AD的长；（2）求点E到AB的距离．（参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）【分析】（1）根据勾股定理求出AD的长；（2）作EH⊥AB于H，求出AE的长，根据正弦的概念求出点E到车架AB的距离．【解答】解：（1）在Rt△ADF中，由勾股定理得，AD===15（cm；（2）AE=AD+CD+EC=15+30+15=60（cm），如图②，过点E作EH⊥AB于H，在Rt△AEH中，sin∠EAH=，则EH=AE•sin∠EAH=AB•sin75°≈60×0.97=58.2（cm）．答：点E到AB的距离为58.2 cm．【点评】本题考查的是解直角三角形的知识，正确找出辅助线、掌握锐角三角函数的概念是解题的关键．21．（7分）甲、乙两名同学从《奔跑吧兄弟》、《极限挑战》、《最强大脑》三个综艺节目中随机选择一个观看．（1）甲同学观看《最强大脑》的概率是；（2）求甲、乙两名同学观看同一节目的概率．【分析】（1）由甲、乙两名同学从《奔跑吧兄弟》、《极限挑战》、《最强大脑》三个综艺节目中随机选择一个观看，直接利用概率公式求解即可求得答案；（2）首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与甲、乙两名同学观看同一节目的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：（1）∵甲、乙两名同学从《奔跑吧兄弟》、《极限挑战》、《最强大脑》三个综艺节目中随机选择一个观看，∴甲同学观看《最强大脑》的概率是：．故答案为：；（2）分别用A，B，C表示《奔跑吧兄弟》、《极限挑战》、《最强大脑》三个综艺节目，用表格列出所有可能出现的结果：∵一共有9种可能的结果，它们是等可能的，其中符合要求的有3种．∴P （甲、乙两名同学观看同一节目）==．答：甲、乙两名同学观看同一节目的概率为：．【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．22．（8分）“世界那么大，我想去看看”一句话红遍网络，随着国际货币基金组织正式宣布人民币2016年10月1日加入SDR（特别提款权），以后出国看世界更加方便．为了解某区6000名初中生对“人民币加入SDR”知晓的情况，某校数学兴趣小组随机抽取区内部分初中生进行问卷调查，将问卷调查的结果划分为“非常了解”、“比较了解”、“基本了解”、“不了解”四个等级，并将调查结果整理分析，得到下列图表：某区抽取学生对“人民币加入SDR”知晓情况频数分布表（1）本次问卷调查抽取的学生共有100人，其中“不了解”的学生有20人；（2）在扇形统计图中，学生对“人民币加入SDR”基本了解的区域的圆心角为72°；（3）根据抽样的结果，估计该区6000名初中生对“人民币加入SDR”了解的有多少人（了解是指“非常了解”、“比较了解”和“基本了解”）？【分析】（1）根据非常了解的有26人，所占的比例是26%，据此即可求得抽取的总人数，然后利用总人数减去其它组的人数即可求得“不了解”的学生数；（2）利用360°乘以对应的百分比即可求得；（3）利用总人数乘以对应的比例即可求得．【解答】解：（1）调查抽取的总人数是26÷26%=100（人），不了解的人数是100﹣26﹣34﹣20=20（人）．故答案是：100，20；（2）基本了解的区域的圆心角是360°×=72°，故答案是：72；（3）该区6000名初中生对“人民币加入SDR”了解的有：6 000×80%=4 800（人）．答：估计该校6 000名初中生中对“人民币加入SDR”了解的有4 800人．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．23．（8分）某商场将进货价为每只30元的台灯以每只40元售出，平均每月能售出600只．调查表明，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量将减少10只．当这种台灯的售价定为多少元时，每个月的利润恰为10 000元？【分析】设这种台灯的售价为x元，根据一台的利润×总的台数=总的利润和这种台灯的售价每上涨1元，其销售量将减少10只，列出方程，再求解即可．【解答】解：设这种台灯的售价为x元，根据题意得：[600﹣10（x﹣40）]（x﹣30）=10000，解得x1=50，x2=80，答：当这种台灯的售价定为50或80元时，每个月的利润恰为10000元．【点评】此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程；难度一般，是常考题．24．（9分）货车和轿车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一公路相向而行．轿车出发2.4h后休息，直至与货车相遇后，以原速度继续行驶．设货车出发xh后，货车、轿车分别到达离甲地y1km和y2km的地方，图中的线段OA、折线BCDE 分别表示y1、y2与x之间的函数关系．（1）求点D的坐标，并解释点D的实际意义；（2）求线段DE所在直线的函数表达式；（3）当货车出发2或5h时，两车相距200km．【分析】（1）待定系数求出OA解析式，继而根据点D的纵坐标为300求得其横坐标，即可得答案；（2）根据休息前2.4小时行驶300km可得行驶后行驶300km也需要2.4h，即可得点E坐标，待定系数法即可求得DE所在直线解析式；（3）先求出BC所在直线解析式，再根据①轿车休息前与货车相距200km，②轿车休息后与货车相距200km，分别列出方程求解可得．【解答】解：（1）设OA所在直线解析式为y=mx，将x=8、y=600代入，求得m=75，∴OA所在直线解析式为y=75x，令y=300得：75x=300，解得：x=4，∴点D 坐标为（4，300 ），其实际意义为：点D是指货车出发4h后，与轿车在距离甲地300 km处相遇．（2）由图象知，轿车在休息前2.4小时行驶300km，∴根据题意，行驶后300km需2.4h，故点E 坐标（ 6.4，0 ）．设DE所在直线的函数表达式为y=kx+b，将点D （4，300 ），E （ 6.4，0）代入y=kx+b得：，解得，∴DE所在直线的函数表达式为y=﹣125x+800．（3）设BC段函数解析式为：y=px+q，将点B（0，600）、C（2.4，300）代入，得：，解得：y=﹣125x+600，①当轿车休息前与货车相距200km时，有：﹣125x+600﹣75x=200，解得：x=2；②当轿车休息后与货车相距200km时，有：75x﹣（﹣125x+800）=200，解得：x=5；故答案为：2或5．【点评】本题考查了一次函数的应用，待定系数法是求函数解析式的关键，注意分类讨论思想的渗透．25．（8分）数学活动课上，小君在平面直角坐标系中对二次函数图象的平移进行了研究．图①是二次函数y=（x﹣a）2+（a为常数）当a=﹣1、0、1、2时的图象．当a 取不同值时，其图象构成一个“抛物线簇”．小君发现这些二次函数图象的顶点竟然在同一条直线上！（1）小君在图①中发现的“抛物线簇”的顶点所在直线的函数表达式为y=x；（2）如图②，当a=0时，二次函数图象上有一点P（2，4）．将此二次函数图象沿着（1）中发现的直线平移，记二次函数图象的顶点O与点P的对应点分别为O1、P1．若点P1到x轴的距离为5，求平移后二次函数图象所对应的函数表达式．【分析】（1）根据题意得出抛物线的顶点坐标，根据待定系数法即可求得；（2）根据平移的规律得出点O1的坐标为（3，1）或（﹣27，﹣9），从而求得解析式．【解答】解：（1）∵当a=﹣1时，抛物线的顶点为（﹣1，﹣），当a=0时，抛物线的顶点为（0，0），∴设直线为y=kx，代入（﹣1，﹣）得，﹣=﹣k，解得k=，∴“抛物线簇”的顶点所在直线的函数表达式为y=x，故答案为y=x．（2）由题意得：点P1的纵坐标为5或﹣5，∴抛物线沿着直线向上平移了1个单位或向下平移了9个单位，∴此时点O1的纵坐标为1或﹣9，代入直线y=x求得横坐标为3或﹣27，∴点O1的坐标为（3，1）或（﹣27，﹣9），∴平移后的二次函数的表达式为y=（x﹣3）2+1或y=（x+27）2﹣9．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，二次函数的图象与几何变换，求得平移后O1的顶点坐标是解题的关键．26．（10分）如图，直线AB交⊙O于C、D两点，CE是⊙O的直径，CF平分∠ACE交⊙O于点F，连接EF，过点F作FG∥ED交AB于点G．（1）求证：直线FG是⊙O的切线；（2）若FG=4，⊙O的半径为5，求四边形FGDE的面积．【分析】（1）利用角平分线的性质以及等腰三角形的性质得出∠OFC=∠FCG，进而得出∠GFC+∠OFC=90°，即可得出答案；（2）首先得出四边形FGDH是矩形，进而利用勾股定理得出HO的长，进而得出答案．【解答】（1）证明：连接FO，∵OF=OC，∴∠OFC=∠OCF．∵CF平分∠ACE，∴∠FCG=∠FCE．∴∠OFC=∠FCG．∵CE是⊙O的直径，∴∠EDG=90°，又∵FG∥ED，∴∠FGC=180°﹣∠EDG=90°，∴∠GFC+∠FCG=90°∴∠GFC+∠OFC=90°，即∠GFO=90°，∴OF⊥GF，又∵OF是⊙O半径，∴FG与⊙O相切．。
2016年江苏省南京市玄武区中考数学一模试卷及参考答案
2016年江苏省南京市玄武区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（2分）下列运算正确的是（）A．a3+a3=a6 B．2（a+1）=2a+1 C．（ab）2=a2b2D．a6÷a3=a22．（2分）下列各数中，是无理数的是（）A．cos30°B．（﹣π）0 C．﹣ D．3．（2分）计算2﹣1×8﹣|﹣5|的结果是（）A．﹣21 B．﹣1 C．9 D．114．（2分）体积为80的正方体的棱长在（）A．3到4之间B．4到5之间C．5到6之间D．6到7之间5．（2分）如图，将等边△ABC的边AC逐渐变成以B为圆心、BA为半径的，长度不变，AB、BC的长度也不变，则∠ABC的度数大小由60°变为（）A．（）°B．（）°C．（）°D．（）°6．（2分）如图，正方形OABC的边长为6，A，C分别位于x轴、y轴上，点P在AB上，CP交OB于点Q，函数y=的图象经过点Q，若S△BPQ =S△OQC，则k的值为（）A．﹣12 B．12 C．16 D．18二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7．（2分）使式子1+有意义的x的取值范围是．8．（2分）计算：﹣=．9．（2分）有一组数据：1，3，3，4，4，这组数据的方差为．10．（2分）设x1，x2是方程x2+4x+3=0的两根，则x1+x2=．11．（2分）今年清明假期全国铁路发送旅客约41000000人次，将41000000用科学记数法表示为．12．（2分）如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是．13．（2分）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，OH=8，则菱形ABCD的周长等于．14．（2分）如图，正五边形ABCDE绕点A顺时针旋转后得到正五边形AB′C′D′E′，旋转角为α（0°≤α≤90°），若DE⊥B′C′，则∠α=°．15．（2分）如图，三个全等的小矩形沿“横﹣竖﹣横”排列在一个边长分别为5.7，4.5的大矩形中，图中一个小矩形的周长等于．16．（2分）若﹣2≤a＜2，则满足a（a+b）=b（a+1）+a的b的整数值有个．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）（1）解方程：3（x﹣1）=x（1﹣x）；（2）化简：﹣；（3）解不等式组：，并将解集在数轴上表示．18．（7分）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE=CF．（1）求证：△BOE≌△DOF；（2）若BD=EF，连接DE、BF，判断四边形EBFD的形状，无需说明理由．19．（7分）从甲、乙、丙3名同学中随机抽取环保志愿者，求下列事件的概率；（1）抽取1名，恰好是甲；（2）抽取2名，甲在其中．20．（7分）元宵节那天，李老师给他的微信好友群发了一个小调查：“元宵节，你选择吃大汤圆，还是小元宵呢？”12小时内好友回复的相关数据如图：（1）回复时间为5小时～12小时的人数为；（2）既选择大汤圆，又选择小元宵的人数为；（3）12小时后，又有40个好友回复了，如果重新制作“好友回复时间扇形统计图”，加入“12小时后”这一项，求该项所在扇形的圆心角度数．21．（7分）如图，点P、M、Q在半径为1的⊙O上，根据已学知识和图中数据（0.97、0.26为近似数），解答下列问题：（1）sin60°=；cos75°=；（2）若MH⊥x轴，垂足为H，MH交OP于点N，求MN的长．（结果精确到0.01，参考数据：≈1.414，≈1.732）22．（8分）二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（0，3），（3，6），（﹣2，11）．（1）求该二次函数的关系式；（2）证明：无论x取何值，函数值y总不等于1；（3）如何平移该函数图象使得函数值y能等于1？23．（7分）如图，已知△ABC，△DCE是两个全等的等腰三角形，底边BC、CE 在同一直线上，且AB=，BC=1，BD与AC交于点P．（1）求证：△BED∽△DEC；（2）求△DPC的周长．24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点D、E在⊙O上，连接AE、ED、DA，连接BD并延长至点C，使得∠DAC=∠AED．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若点E是的中点，AE与BC交于点F，①求证：CA=CF；②当BD=5，CD=4时，DF=．25．（7分）随着“互联网+”时代的到来，一种新型打车方式受到大众欢迎．该打车方式的计价规则如图①所示，若车辆以平均速度vkm/h行驶了skm，则打车费用为（ps+60q•）元（不足9元按9元计价）．小明某天用该打车方式出行，按上述计价规则，其打车费用y（元）与行驶里程x（km）的函数关系也可由如图②表示．（1）当x≥6时，求y与x的函数关系式．（2）若p=1，q=0.5，求该车行驶的平均速度．26．（8分）某日王老师佩戴运动手环进行快走锻炼，两次锻炼后数据如表．与第一次锻炼相比，王老师第二次锻炼步数增长的百分率是其平均步长减少的百分率的3倍．设王老师第二次锻炼时平均步长减少的百分率为x（0＜x＜0.5）．项目第一次锻炼第二次锻炼步数（步）10000①平均步长（米/步）0.6②距离（米）60007020注：步数×平均步长=距离．（1）根据题意完成表格填空；（2）求x；（3）王老师发现好友中步数排名第一为24000步，因此在两次锻炼结束后又走了500米，使得总步数恰好为24000步，求王老师这500米的平均步长．27．（10分）如图①，现有长度分别为a、b、1的三条线段．【加、减】图②所示为长为a+b的线段，请用尺规作出长为a﹣b的线段．【乘】在图③中，OA=a，OC=b，点B在OA上，OB=1，AD∥BC，交射线OC于点D．求证：线段OD的长为ab．【除】请用尺规作出长度为的线段．【开方】任意两个有理数的和、差、积、商（除数不为0）仍然是有理数，而开方运算则打开了通向无理数的一扇门．请用两种不同的方法，画出长度为的线段．注：本题作（画）图不写作（画）法，需标明相应线段长度．2016年江苏省南京市玄武区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（2分）下列运算正确的是（）A．a3+a3=a6 B．2（a+1）=2a+1 C．（ab）2=a2b2D．a6÷a3=a2【解答】解：A、a3+a3=2a3，故A选项错误；B、2（a+1）=2a+2≠2a+1，故B选项错误；C、（ab）2=a2b2，故C选项正确；D、a6÷a3=a3≠a2，故D选项错误．故选：C．2．（2分）下列各数中，是无理数的是（）A．cos30°B．（﹣π）0 C．﹣ D．【解答】解：A、cos30=是无理数，B、（﹣π）0=1是有理数，C、﹣是有理数，故C错误；D、=8是有理数，故D错误；故选：A．3．（2分）计算2﹣1×8﹣|﹣5|的结果是（）A．﹣21 B．﹣1 C．9 D．11【解答】解：原式=×8﹣5=4﹣5=﹣1．故选：B．4．（2分）体积为80的正方体的棱长在（）A．3到4之间B．4到5之间C．5到6之间D．6到7之间【解答】解：∵，∴4＜＜5，故选：B．5．（2分）如图，将等边△ABC的边AC逐渐变成以B为圆心、BA为半径的，长度不变，AB、BC的长度也不变，则∠ABC的度数大小由60°变为（）A．（）°B．（）°C．（）°D．（）°【解答】设∠ABC的度数大小由60变为n，则AC=，由AC=AB，解得n=，故选D．6．（2分）如图，正方形OABC的边长为6，A，C分别位于x轴、y轴上，点P在AB上，CP交OB于点Q，函数y=的图象经过点Q，若S△BPQ =S△OQC，则k的值为（）A．﹣12 B．12 C．16 D．18【解答】解：∵PB∥OC（四边形OABC为正方形），∴△PBQ∽△COQ，∴==，∴PB=PA=OC=3．∵正方形OABC的边长为6，∴点C（0，6），点P（6，3），直线OB的解析式为y=x①，∴设直线CP的解析式为y=ax+6，∵点P（6，3）在直线CP上，∴3=6a+6，解得：a=﹣，故直线CP的解析式为y=﹣x+6②．联立①②得：，解得：，∴点Q的坐标为（4，4）．将点Q（4，4）代入y=中，得：4=，解得：k=16．故选C．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7．（2分）使式子1+有意义的x的取值范围是x≠1．【解答】解：由题意知，分母x﹣1≠0，即x≠1时，式子1+有意义．故答案为：x≠1．8．（2分）计算：﹣=．【解答】解：原式=﹣=．故答案为：．9．（2分）有一组数据：1，3，3，4，4，这组数据的方差为 1.2．【解答】解：这组数据的平均数是：（1+3+3+4+4）÷5=3，则这组数据的方差为：[（1﹣3）2+（3﹣3）2+（3﹣3）2+2（4﹣3）2]=1.2．故答案为：1.2．10．（2分）设x1，x2是方程x2+4x+3=0的两根，则x1+x2=﹣4．【解答】解：根据题意得x1+x2=﹣4．故答案为﹣4．11．（2分）今年清明假期全国铁路发送旅客约41000000人次，将41000000用科学记数法表示为 4.1×107．【解答】解：41 000 000=4.1×107，故答案为：4.1×107．12．（2分）如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是5．【解答】解：过O作OC⊥AB于C，∴AC=BC=AB=12，在Rt△AOC中，由勾股定理得：OC==5，故答案为：5．13．（2分）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，OH=8，则菱形ABCD的周长等于64．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，∴AC⊥BD，AB=AD=CD=BC．∵H为AD边中点，OH=8，∴AD=16，∴菱形ABCD的周长=4AD=64．故答案为：64．14．（2分）如图，正五边形ABCDE绕点A顺时针旋转后得到正五边形AB′C′D′E′，旋转角为α（0°≤α≤90°），若DE⊥B′C′，则∠α=54°．【解答】解：DE与B′C′相交于O点，如图，∵五边形ABCDE为正五边形，∴∠B=∠BAE=∠E==108°，∵正五边形ABCDE绕点A顺时针旋转后得到正五边形AB′C′D′E′，旋转角为α（0°≤α≤90°），∴∠BAB′=α，∠B′=∠B=108°，∵DE⊥B′C′，∴∠B′OE=90°，∴∠B′AE=360°﹣∠B′﹣∠E﹣∠B′OE=360°﹣108°﹣108°﹣90°=54°，∴∠BAB′=∠BAE﹣∠B′AE=108°﹣54°=54°，即∠α=54°．故答案为54．15．（2分）如图，三个全等的小矩形沿“横﹣竖﹣横”排列在一个边长分别为5.7，4.5的大矩形中，图中一个小矩形的周长等于 6.8．【解答】解：设小矩形的长为xm，宽为ym，由题意得：，解得：x+y=3.4．一个小矩形的周长为：3.4×2=6.8，故答案为：6.8．16．（2分）若﹣2≤a＜2，则满足a（a+b）=b（a+1）+a的b的整数值有7个．【解答】解：由a（a+b）=b（a+1）+a可得b=a2﹣a=（a﹣）2﹣，∵﹣2≤a＜2，∴﹣≤b≤6，则满足条件的b的整数值有0、1、2、3、4、5、6这7个，故答案为：7．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）（1）解方程：3（x﹣1）=x（1﹣x）；（2）化简：﹣；（3）解不等式组：，并将解集在数轴上表示．【解答】解：（1）3（x﹣1）=﹣x（x﹣1）3（x﹣1）+x（x﹣1）=0（x﹣1）（x+3）=0x1=1，x2=﹣3．（2）﹣=﹣===．（3）解不等式3x+1≤2，得x≤解不等式，得x＜﹣1，将解集表示在数轴上如下：故不等式组的解集为x＜﹣1．18．（7分）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE=CF．（1）求证：△BOE≌△DOF；（2）若BD=EF，连接DE、BF，判断四边形EBFD的形状，无需说明理由．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∵AE=CF，∴OE=OF，在△BOE和△DOF中，，∴△BOE≌△DOF（SAS）；（2）解：四边形EBFD是矩形；理由如下：∵OB=OD，OE=OF，∴四边形EBFD是平行四边形，∵BD=EF，∴四边形EBFD是矩形．19．（7分）从甲、乙、丙3名同学中随机抽取环保志愿者，求下列事件的概率；（1）抽取1名，恰好是甲；（2）抽取2名，甲在其中．【解答】解：（1）∵从甲、乙、丙3名同学中随机抽取环保志愿者，∴抽取1名，恰好是甲的概率为：；（2）∵抽取2名，可得：甲乙，甲丙，乙丙，共3种等可能的结果，甲在其中的有2种情况，∴抽取2名，甲在其中的概率为：．20．（7分）元宵节那天，李老师给他的微信好友群发了一个小调查：“元宵节，你选择吃大汤圆，还是小元宵呢？”12小时内好友回复的相关数据如图：（1）回复时间为5小时～12小时的人数为10；（2）既选择大汤圆，又选择小元宵的人数为30；（3）12小时后，又有40个好友回复了，如果重新制作“好友回复时间扇形统计图”，加入“12小时后”这一项，求该项所在扇形的圆心角度数．【解答】解：（1）回复时间为5小时～12小时的人数为：200×（1﹣50%﹣30%﹣15%）=10（人）；故答案为：10；（2）既选择大汤圆，又选择小元宵的人数为：（150+80）﹣200=30（人）故答案为：30；（3）根据题意得：×360°=60°．答：“12小时后”这一项所在扇形的圆心角度数为60°．21．（7分）如图，点P、M、Q在半径为1的⊙O上，根据已学知识和图中数据（0.97、0.26为近似数），解答下列问题：（1）sin60°=；cos75°=0.26；（2）若MH⊥x轴，垂足为H，MH交OP于点N，求MN的长．（结果精确到0.01，参考数据：≈1.414，≈1.732）【解答】解：（1）由图可知，sin60°=，cos75°==0.26，故答案为：；0.26；（2）在Rt△MHO中，sin∠MOH=，即MH=MO•sin∠MOH=1×=．∴OH=，设PA⊥x轴，垂足为A，如右图所示，∵∠NHO=∠PAO=90°，∴NH∥PA，∴△ONH∽△OPA，∴=，即=，∴NH≈0.134．∴MN=MH﹣MN=≈0.73．22．（8分）二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（0，3），（3，6），（﹣2，11）．（1）求该二次函数的关系式；（2）证明：无论x取何值，函数值y总不等于1；（3）如何平移该函数图象使得函数值y能等于1？【解答】（1）解：由题意得：，解得：，∴该函数的函数关系式为：y=x2﹣2x+3．（2）证明：∵y=x2﹣2x+3=（x﹣1）2+2，∴当x=1时，y取最小值2，∴无论x取何值，函数值y总不等于1．（3）将该函数图象向下平移的距离大于等于1个单位长度．23．（7分）如图，已知△ABC，△DCE是两个全等的等腰三角形，底边BC、CE 在同一直线上，且AB=，BC=1，BD与AC交于点P．（1）求证：△BED∽△DEC；（2）求△DPC的周长．【解答】（1）证明：∵△ABC，△DCE是两个全等的等腰三角形，且底边BC、CE 在同一直线上，∴AB=AC=DC=DE=，BC=CE=1，∴BE=2BC=2，∵=，=，∴=．又∵∠BED=∠DEC，∴△BED∽△DEC；（2）解：∵△ABC，△DCE是两个全等的等腰三角形，且底边BC、CE在同一直线上，∴∠ACB=∠DEC，∴AC∥DE．∴==，∴PC=，PD=BD，过D作DM⊥CE于M，∵DC=DE，∴CM=ME=，在Rt△DMC中，由勾股定理得：DM==，在Rt△DMB中，由勾股定理得：BD==2，∴PD=BD=1，∴△DPC的周长=PC+PD+DC=+1+=+1．24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点D、E在⊙O上，连接AE、ED、DA，连接BD并延长至点C，使得∠DAC=∠AED．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若点E是的中点，AE与BC交于点F，①求证：CA=CF；②当BD=5，CD=4时，DF=2．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°．∴∠ABC+∠DAB=90°．∵∠DAC=∠AED，∠AED=∠ABC，∴∠DAC+∠DAB=90°，∴AC是⊙O的切线．（3分）（2）①证明：∵点E是的中点，∴=，∴∠BAE=∠DAE．∵∠DAC+∠DAB=90°，∠ABC+∠DAB=90°，∴∠DAC=∠ABC．∵∠CFA=∠ABC+∠BAE，∠CAF=∠DAC+∠DAE，∴∠CFA=∠CAF．∴CA=CF．②解：∵∠BAC=∠ADB=90°，∴∠ACD=∠BCA，∴△ADC∽△BAC．∴=．即AC2=BC×CD=（5+4）×4=36．解得AC=6．∴CA=CF=6，∴DF=CA﹣CD=2．故答案为2．25．（7分）随着“互联网+”时代的到来，一种新型打车方式受到大众欢迎．该打车方式的计价规则如图①所示，若车辆以平均速度vkm/h行驶了skm，则打车费用为（ps+60q•）元（不足9元按9元计价）．小明某天用该打车方式出行，按上述计价规则，其打车费用y（元）与行驶里程x（km）的函数关系也可由如图②表示．（1）当x≥6时，求y与x的函数关系式．（2）若p=1，q=0.5，求该车行驶的平均速度．【解答】解：（1）当x≥6时，设y与x之间的函数关系式为y=kx+b．根据题意，当x=6时，y=9；当x=8时，y=12．所以，解得，所以，y与x之间的函数关系式为y=1.5x．（2）根据图象可得，当x=8时，y=12，又因为p=1，q=0.5，可得12=1×8+60×0.5×，解得：v=60．经检验，v=60是原方程的根．所以该车行驶的平均速度为60km/h．26．（8分）某日王老师佩戴运动手环进行快走锻炼，两次锻炼后数据如表．与第一次锻炼相比，王老师第二次锻炼步数增长的百分率是其平均步长减少的百分率的3倍．设王老师第二次锻炼时平均步长减少的百分率为x（0＜x＜0.5）．项目第一次锻炼第二次锻炼步数（步）10000①10000（1+3x）平均步长（米/步）0.6②0.6（1﹣x）距离（米）60007020注：步数×平均步长=距离．（1）根据题意完成表格填空；（2）求x；（3）王老师发现好友中步数排名第一为24000步，因此在两次锻炼结束后又走了500米，使得总步数恰好为24000步，求王老师这500米的平均步长．【解答】解：（1）①根据题意可得：10000（1+3x）；②第二次锻炼的平均步长（米/步）为：0.6（1﹣x）；故答案为：10000（1+3x）；0.6（1﹣x）；（2）由题意：10000（1+3x）×0.6（1﹣x）=7020解得：x1=＞0.5（舍去），x2=0.1．则x=0.1，答：x的值为0.1；（3）根据题意可得：10000+10000（1+0.1×3）=23000，500÷（24000﹣23000）=0.5（m）．答：王老师这500米的平均步幅为0.5米．27．（10分）如图①，现有长度分别为a、b、1的三条线段．【加、减】图②所示为长为a+b的线段，请用尺规作出长为a﹣b的线段．【乘】在图③中，OA=a，OC=b，点B在OA上，OB=1，AD∥BC，交射线OC于点D．求证：线段OD的长为ab．【除】请用尺规作出长度为的线段．【开方】任意两个有理数的和、差、积、商（除数不为0）仍然是有理数，而开方运算则打开了通向无理数的一扇门．请用两种不同的方法，画出长度为的线段．注：本题作（画）图不写作（画）法，需标明相应线段长度．【解答】解：【加、减】如图①，线段AB长为a﹣b．【乘】证明：∵AD∥BC，∴=，即=．∴OD=ab．【除】如图②，OA=a，OC=b，点B在OC上，OB=1，BD∥AC，交OA于点D．则OD=．证明：∵BD∥AC，∴=，∴=，∴OD=．【开方】图③和图④中的MN均为．理由：如图3中，BM是直径，BM=a+b，AM=1，AN⊥BM，∵∠M=∠M，∠MAN=∠MNB=90°，∴△MAN∽△MNB，∴=，∴MN2=a+b，∴MN=．如图4中，AB是直径，AB=a+b+1，BM=1，MN⊥AB，由△AMN∽△NMB，∴=，∴MN2=a+b，∴MN=．析，能在头脑里形成生动而清晰的物理情景，找到解决问题的简捷办法，才能顺利地、准确地完成解题的全过程。
江苏省南京市六合区2016年中考模拟数学试题(一)(含答案)
六合区2016年中考模拟测试（一）数 学注意事项：1．本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上．3．答选择题必须用2B 铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效．4．作图必须用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置．．．．．．．上） 1．－23的相反数是( ▲ )2．计算a 2b ·a 的结果是( ▲ )3．用4个小立方体搭成如图摆放的几何体，下面视图是几何体主视图的是 ( ▲ )4．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD AB ＝13，则下列结论中正确的是( ▲ )A ．－32B ．23C ．32D ．－23A ．a 3bB ．2a 2bC ．a 2b 2D ．a 2bAB CDA ．AE EC ＝13B ．DE BC ＝12C ．△ADE 的周长△ABC 的周长＝13D ．△ADE 的面积△ABC 的面积＝13ECBA（第4题）D（第3题）5．在正方形网格中，∠BAC 如图所示放置，则cos ∠BAC 等于( ▲ )6．圆心为P （m ，n ），半径为1则m ＋n 的值可能是( ▲ )二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置．．．．．．．上） 7．9的平方根是 ▲ ，9的算术平方根是 ▲ ． 8．在函数y ＝1x ＋3中，自变量x 的取值范围是 ▲ ．9．2016年4月份某天小明在百度搜索“云课堂”一词进行了解时，出现提示：“百度为您找到相关结果约81 300 000个”，则数据81 300 000用科学记数法表示为： ▲ ． 10．如图，在正六边形ABCDEF 中，连接AE ，DF ，则∠1= ▲ °．11．(12＋8 )× 2 ＝ ▲ ． 12．若△ABC 的一边为4，另两边分别满足x 2－5x ＋6＝0的两根，则△ABC 的周长为 ▲ ． 13．用半径为6cm ，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆半径为 ▲ cm ． 14．如图，在⊙O 中，CD 是直径，弦AB ⊥CD ，垂足为E ，若∠C=15°，AB =6 cm ，则⊙O 半径为 ▲ cm ．15．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中，函数值y 与自变量x 的部分对应值如下表：则关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝－2的根是 ▲ ．16．已知x 、y 都是正实数，且满足x 2＋2xy ＋y 2＋x ＋y －12＝0，则x (1－y )的最小值为 ▲ ．A ．3B ．13C ．31010D ．1010A ．－2B ．2C ．－12D ．3（第10题）CA BEFD1（第14题）三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）解不等式x －23＋x 2≥1，并把它的解集在数轴上表示出来．18.（6分）解方程：x －1x －2＝xx ＋1．19．（6分）化简：(b a ＋b ＋b a －b ) ÷ aa 2－b2．20．（8分）如图，在□ABCD 中，E 是AD 边上的中点，连接BE ，并延长BE 交CD 的延长线于点F ．（1）求证：△ABE ≌ △DFE ；（2）连接BD 、AF ，当BE 平分∠ABD 时，求证：四边形ABDF是菱形．21．（10分）国家规定体质健康状况分为优秀、良好、合格和不合格四种等级．为了了解某地区10000名初中学生的体质健康状况，某校数学兴趣小组从该地区七、八、九年级随机抽取了共500名学生数据进行整理分析，他们对其中体质健康为优秀．．的人数做了以下分析：某地区七、八、九年级随机抽取学生体质健康优秀率的折线统计图年级体质健康优秀率七年级 八年级九年级 某地区七、八、九年级随机抽取学生 体质健康优秀的人数的条形统计图年级 体质健康优秀的人数 20 40 6080 0七年级 八年级 九年级 0123－3 －2 －1ABEFDC(第20题)（1）写出本次随机抽取的七年级人数m＝▲ ；（2）补全条形统计图；（3）在分析样本时，发现七年级学生的体质健康状况中不合格人数有10人，若要制作样本中七年级学生体质健康状况等级人数的扇形统计图，求“不合格”人数对应扇形统计图的圆心角度数；（4）根据抽样调查的结果，估计该地区10000名初中学生体质健康状况为优秀的人数．22．（8分）四张卡片，分别标有1，2，3，4四个数字．（1）从中随机取出一张卡片，请直接写出卡片上数字是奇数的概率▲ ；（2）从中随机取出两张卡片，求两张卡片上数字之和大于4的概率．23．（8分）某数学兴趣小组用高为1.2米的测角仪测量小树AB的高度，如图，在距AB一定距离的F处测得小树顶部A的仰角为50°，沿BF方向行走3.5米到G处时，又测得小树顶部A的仰角为27°，求小树AB的高度．（参考数据：sin27°＝0.45，cos27°＝0.89，tan27°＝0.5，sin50°＝0.77，cos50°＝0.64，tan50°＝1.2）AC DF G50°27°（第23题）24．（8分）小明和小刚同时从公园门口出发，散步到公园“雨花亭”．他们离公园门口的距离y （m ）与小刚行走的时间x （min ）之间的关系如图．请根据图象回答： （1）小明到达“雨花亭”休息了 ▲ 分钟； （2）求出图中BC 段对应的函数表达式；（3）若小刚行走18分钟时两人相遇，求相遇点到公园门口的距离，并直接写出小刚从“雨花亭”回到公园门口所用的时间．25．（8分）请用尺规．．作出符合下列要求的点（不写作法，保留作图痕迹）． （1）在图①中作出一点D ，使得∠ADB ＝2∠C ； （2）在图②中作出一点E ，使得∠AEB ＝12∠C ．CACAB②①26．（10分）已知二次函数y＝ax2＋bx－3的图象与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C．（1）写出点C的坐标；（2）若点A坐标为（4，0），且△ABC为等腰三角形，求点B坐标；（3）求出一条．．过（2）中三点且开口向上的抛物线的函数表达式．27．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC，BC∥OA，一边OA在x轴上，另一边OC在y轴上，且OA＝AB＝5cm，BC＝2cm，以OC为直径作⊙P．（1）求⊙P的直径；（2）⊙P沿x轴向右滚动过程中，当⊙P与x轴相切于点A时，求⊙P被直线AB截得的线段AD长；（3）⊙P沿x轴向右滚动过程中，当⊙P与直线AB相切时，求圆心P移动的距离．六合区2016年中考模拟测试（一）数学试题参考答案及评分标准说明：本评分标准每题给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标准的精神给分．一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）7．±3；38．x ≠－39．8.13×10710．120°11．512．913．214．6 15．－4，0 16．－1三、解答题（本大题共11小题，共88分） 17．（本题6分）解：2(x －2)＋3x ≥63x ＋2x －4≥6 5x ≥10x ≥2 ································································································· 4分 解集表示在数轴上如下．································································································· 6分18．（本题6分）解：方程两边乘(x －2)(x ＋1)，得(x －1)(x ＋1)＝x (x －2) x 2－1＝x 2－2x－1＝－2xx ＝ 12 ································································································· 5分检验：当x ＝12时 (x －2)(x ＋1)＝－32×32＝－94∴x ＝ 12是原方程的根············································································ 6分19．（本题6分）（法一） 解：原式＝⎝⎛⎭⎫b a ＋b ＋ b a －b ·(a ＋b )(a －b )a＝b a ＋b ·(a ＋b )(a －b )a ＋ b a －b ·(a ＋b )(a －b )a＝b (a －b )a ＋b (a ＋b )a＝ab －b 2＋ab ＋b 2a＝2b ··································································· 6分（法二） 解：原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤b (a －b ) (a ＋b )(a －b ) ＋ b (a ＋b ) (a ＋b )(a －b ) ·(a ＋b )(a －b )a ＝ab －b 2＋ab ＋b 2 (a ＋b )(a －b )·(a ＋b )(a －b )a＝2b ···························································································· 6分 20.（本题8分）（1）证明：∵ 四边形ABCD 为平行四边形，∴AB ∥CD .∵ 点F 在CD 的延长线上，∴FD ∥AB . ∴ ∠ABE ＝∠DFE . ∵ E 是AD 中点，∴AE ＝DE .在△ABE 和△DFE 中，∵ ⎩⎪⎨⎪⎧∠ABE ＝∠DFE ∠BEA ＝∠DEF AE ＝DE∴ △ABE ≌ △DFE . ·································································· 4分（2）∵ △ABE ≌△DFE ，∴ AB ＝DF .∵ AB ∥DF ，AB ＝DF ，∴ 四边形ABDF 是平行四边形. ································································ 6分∵ BF 平分∠ABD ， ∴ ∠ABF ＝∠DBF . ∵ AB ∥DF ， ∴ ∠ABF ＝∠DFB ， ∴ ∠DBF ＝∠DFB . ∵ DB ＝DF .∴ 四边形ABDF 是菱形. ········································································· 8分21．（本题10分）解：（1）m ＝200.………………………………………………………………… 2分（2）统计图正确. ………………………………………………………………… 4分 （3）“不合格”人数占七年级总人数的百分比＝10200＝5%.“不合格”人数对应扇形统计图的圆心角度数＝360°×5%＝18°.答：“不合格”人数对应扇形统计图的圆心角度数为18°. ………………… 7分 （4）38＋26＋56500×10000＝2400人.答：估计该地区10000名初中学生体质健康状况优秀人数是2400人． …… 10分22．（本题8分）解：（1）12. ………………………………………………………………… 3分（2）……………………………………………………………………………………… 6分 一共有12种等可能的结果． …………………………………………………… 7分 P （两张卡片之和大于4）＝812＝23. …………………………………………… 8分 23．（本题8分）解：设AC ＝x 米，在Rt △ACD 中，tan50°＝ACCD， ∴ CD ＝AC tan50°＝x 1.2＝56x . ………………………………………………… 3分在Rt △ACE 中，tan27°＝CEAC， ∴ CE ＝AC tan27°＝x0.5＝2x . ………………………………………………… 6分∵ CE －CD ＝DE ， ∴ 2x －56x ＝3.5.解得x ＝3.∴ AB ＝AC ＋CB ＝3＋1.2＝4.2（米）.答：小树AB 的高为4.2（米）. …………………………………………… 8分24．（本题10分）解：（1）5 …………………………………………………………………………… 2分（2）设BC 段对应的函数表达式为y=kx ＋b ，由题意得 ⎩⎨⎧600＝15k ＋b ， 0＝30k ＋b ．解得⎩⎨⎧k ＝－40，b ＝1200.y ＝ －40x ＋1200(15≤x ≤30). ………………………………………… 6分 （3）当x ＝18时，y ＝－40×18＋1200＝480(米).答：相遇点P 到公园门口的距离480米.………………………………… 8分 7.5分钟.………………………………………………………………… 10分25．（本题6分）（1）画图正确 ···························································································· 3分 （2）画图正确 ···························································································· 6分 26．（本题10分）解：（1）当x ＝0时，y ＝－3∴ 点C （0，－3） ········································································· 2分 （2）连接AC ，在Rt △AOC 中，AC ＝DC 2＋OA 2＝32＋42＝5①以A 为顶点时，B 1（9，0）,B 2（－1，0） ②以C 为顶点时，由题意知CB 3＝CA ∵ OC ⊥AB 3 ∴ OB 3＝OA ＝4 ∴ B 3（－4，0）③以B 为顶点时，则B 在AC 垂直平分线上，则B 4C ＝B 4A设OB 4＝x ，则B 4C ＝B 4A ＝4－x 在Rt △OB 4C 中，由OB 42＋OC 2＝B 4C 2 得x 2＋32＝（4－x ）2 解得：x ＝78∴ B 4（78，0）综上所述，B 点坐标为（9，0），（－1，0），（－4，0）或者（78，0）················································································································ 7分（3）若选择B 点坐标为（－4，0）（第26题）由题意得⎩⎨⎧16a －4b －3＝016a ＋4b －3＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝316b ＝0∴ y ＝316x 2－3若选择B 点坐标为（－1，0）由题意得⎩⎨⎧16a ＋4b －3＝0a －b －3＝0解得⎩⎨⎧a ＝34b ＝－94∴ y ＝34x 2－94x －3以上两种只要写对一种. ··························27．（本题10分）解：（1）如图，过B 作BD ⊥OA .由题意知：∠BCO ＝∠DOC ＝∠BDO ＝90°.∴ 四边形ODBC 为矩形. ∴ OC ＝BD ，OD ＝BC .∵ BC ＝2，∴ DA ＝OA －OD ＝5－2.在Rt △ABD 中，根据勾股定理，得 BD 2＝AB 2－DA 2∴ BD ＝4. ···················································································· 3分 （2）如图，当⊙P 与x 轴相切于A 时，设其与CB 所在直线相切于E . 易知P 在EA 上，且CE ＝AO ＝5 ∴ BE ＝3. 连接ED . ∵ EA 为直径， ∴ ∠EDA ＝90°. 设AD ＝x ，则BD ＝5－x由勾股定理知32－（5－x ）2＝42－x 2解得x ＝165 ∴ AD ＝165cm. ······························································· 6分（3）如图，当⊙P 与AB 相切时，分两种情况.①当⊙P滚动到P1时，设PP1＝x，由题意易知：PP1＝CE＝OQ＝x，则BE＝BC－CE＝2－x，∵⊙P1与AB、AO相切于点F、G，∴AF＝AG＝5－x.∵⊙P1与BC、AB相切于点E、F，∴BF＝BE＝2－x.∵AB＝5，AF＋BF＝AB，∴5－x＋2－x＝5.7－2x＝5－2x＝－2x＝1，即PP1＝1cm. ········································································8分②当⊙P滚动到P2时，设PP2＝x，易知：OJ＝CH＝PP1＝x，则AJ＝x－5，BH＝x－2.∵⊙P2与AB、CH相切，∴BI＝BH＝x－2.同理，AI＝AJ＝x－5.∵AB＝BI＋AI，∴x－2＋x－5＝5.x＝6，即PP2＝6cm.∴当⊙P与直线AB相切时，点P移动的距离为1cm或6cm. ··················· 10分。
江苏省南京市鼓楼区2016年中考数学一模试卷(含解析)
江苏省南京市鼓楼区2016年中考数学一模试卷、选择题（本大题共6小题，每小题2分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填在答题卡相应位置上）1 .比-1大的无理数是（）A. 3.14 B . C 7 D- ~~24, 5, 3, 4, 4的中位数、众数和方差分别是（2 .一组数据A. 3, 4, 0.4B. 4, 0.4 , 4C. 4, 4, 0.4D. 4, 3, 0.43 .计算x2?x3十x的结果是（）A. x4B. x5C. x6D. x74.如图，菱形ABCD中, AB=5, BD=6,则菱形的高为（）A. =B. =C. 12D. 245 .用一张半径为20的扇形纸片制成一个圆锥（接缝忽略不计），如果圆锥底面的半径为10,那么扇形的圆心角为（）A. 60°B. 90°C. 135°D. 180° 6.等腰直角△ ABC中，/ BAC=90 , BC=8 O O过点B, C,点O在厶ABC的外部，且OA=1,则O O的半径为（）A. 4B. 5C. D . 「二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7. 16的平方根是_____________ , 9的立方根是____________ .& 2016年3月，鼓楼区的二手房均价约为25000元/平方米，若以均价购买一套100平方米的二手房，该套房屋的总价用科学记数法表示为_________________ 元.9 .因式分解：3a3- 12a= _____________ .10.为了估计鱼塘青鱼的数量(鱼塘只有青鱼)，将200条鲤鱼放进鱼塘，随机捕捞出一条鱼，记下品种后放回，稍后再随机捕捞出一条鱼记下品种，多次重复后发现鲤鱼出现的频率为0.2，那么可以估计鱼塘里青鱼的数量为________________ 条.11•计算4鸠/ g " (a> 0)的结果是 _______________________ .212 .点A (x i, y i), B (X2, y2)是反比例函数y=-―图象上的两点，若x i >X2> 0,则y i_y (填“〉”“v” “ =”).13•如图，将一张矩形纸片沿EF折叠后，点D C分别落在点D', C'的位置，若/ 1=40°贝廿/ D EF= __________ .A EDC f14. 若△ ABC的三边长分别为6、& 10,则厶ABC的内切圆半径为________________15. 已知y是x的二次函数，函数y与自变量x的部分对应值如下表：x-2-1012y0464k观察表中数据，则k的值为 ______________ .16. 如图，在平面直角坐标系中，点A, B的坐标分别为(0, 1 )和"',若在第四象限存在点。
2016年江苏省南京市鼓楼区中考数学一模试卷
2016年江苏省南京市鼓楼区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填在答题卡相应位置上）1．（2分）比﹣1大的无理数是（）A．3.14 B．C．D．2．（2分）一组数据4，5，3，4，4的中位数、众数和方差分别是（）A．3，4，0.4 B．4，0.4，4 C．4，4，0.4 D．4，3，0.43．（2分）计算x2•x3÷x的结果是（）A．x4B．x5C．x6D．x74．（2分）如图，菱形ABCD中，AB=5，BD=6，则菱形的高为（）A．B．C．12 D．245．（2分）用一张半径为20的扇形纸片制成一个圆锥（接缝忽略不计），如果圆锥底面的半径为10，那么扇形的圆心角为（）A．60°B．90°C．135° D．180°6．（2分）等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，BC=8，⊙O过点B，C，点O在△ABC 的外部，且OA=1，则⊙O的半径为（）A．4 B．5 C． D．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7．（2分）16的平方根是，9的立方根是．8．（2分）2016年3月，鼓楼区的二手房均价约为25000元/平方米，若以均价购买一套100平方米的二手房，该套房屋的总价用科学记数法表示为元．9．（2分）因式分解：3a3﹣12a=．10．（2分）为了估计鱼塘青鱼的数量（鱼塘只有青鱼），将200条鲤鱼放进鱼塘，随机捕捞出一条鱼，记下品种后放回，稍后再随机捕捞出一条鱼记下品种，多次重复后发现鲤鱼出现的频率为0.2，那么可以估计鱼塘里青鱼的数量为条．11．（2分）计算（a≥0）的结果是．12．（2分）点A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y=﹣图象上的两点，若x1＞x2＞0，则y1y2（填“＞”“＜”“=”）．13．（2分）如图，将一张矩形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在点D′，C′的位置，若∠1=40°，则∠D′EF=．14．（2分）若△ABC的三边长分别为6、8、10，则△ABC的内切圆半径为．15．（2分）已知y是x的二次函数，函数y与自变量x的部分对应值如下表：观察表中数据，则k的值为．16．（2分）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（0，1）和，若在第四象限存在点C，使△OBC和△OAB相似，则点C的坐标是．三、解答题（本大题共11题，共88分，请在答题卡指定区域作答，解答题时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（5分）计算：（x﹣3）（3+x）﹣（x2+x﹣1）18．（7分）（1）解不等式3（2x+5）＞2（4x+3）并将其解集在数轴上表示出来．（2）写出一个一元一次不等式，使它和（1）中的不等式组的解集为x≤2，这个不等式可以是．19．（7分）（1）解方程：（2）方程的解为．20．（7分）为了了解学生关注热点新闻的情况，“两会”期间，小明对班级同学一周内收看“两会”新闻的次数情况作了调查，调查结果统计如图所示（其中男生收看3次的人数没有标出）．根据上述信息，解答下列各题：（1）该班级女生人数是；女生收看“两会”新闻次数的众数是；中位数是．（2）求女生收看次数的平均数．（3）为进一步分析该班级男、女生收看“两会”新闻次数的特点，小明计算出女生收看“两会”新闻次数的方差为，男生收看“两会”新闻次数的方差为2，请比较该班级男、女生收看“两会”新闻次数的波动大小．（4）对于某个群体，我们把一周内收看某热点新闻次数不低于3次的人数占其所在群体总人数的百分比叫做该群体对某热点新闻的“关注指数”，如果该班级男生对“两会”新闻的“关注指数”比女生低5%，试求该班级男生人数．21．（9分）如图，在平行四边形ABCD中，E、F为AD上两点，AE=EF=FD，连接BE、CF并延长，交于点G，GB=GC．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若△GEF的面积为2．①求四边形BCFE的面积；②四边形ABCD的面积为．22．（8分）一只不透明的袋子中装有6个小球，分别标有1，2，3，4，5，6这6个号码，这些球除号码外都相同．（1）直接写出事件“从袋中任意摸出一个球，号码为3的整数倍”的概率P1；（2）用画树状图或列表格等方法，求事件“从袋中同时摸出两个球，号码之和为6”的概率P2．23．（8分）为了测量校园内旗杆AB的高度，小明和小丽同学分别采用了如下方案：（1）小明的方案：如图1，小明在地面上点C处观测旗杆顶部，测得仰角，∠ACB=45°然后他向旗杆反方向前进20米，此时在点D处观测旗杆顶部，测得仰角∠ADB=26.6°．根据小明的方案求旗杆AB的高度．（2）小丽的方案：如图2，小丽在地面上点C处观测旗杆顶部，测得仰角∠ACB=45°，然后从点C爬到10米高的楼上的点E处（CE⊥BC），观测旗杆顶部，测得仰角∠AEF=α．根据小丽的方案所求旗杆AB的高度为米．（用含α的式子表示）（参考数据：sin26.6°≈0.45，tan26.6°≈0.50）24．（8分）大客车和小轿车同时从甲地出发，沿笔直的公路以各自的速度匀速驶往异地，轿车到达乙地后，立即以相同的速度沿原路返回甲地，已知甲、乙两地相距180千米，大客车的速度为60千米/小时，轿车的速度为90千米/小时．设大客车和轿车出发x小时后，两车离乙地的距离分别为y1和y2千米．（1）分别求出y1和y2与x之间的函数关系式．（2）在同一平面直角坐标系中画出y1和y2的函数图象，并标上必要的数据．25．（8分）某公司批发一种服装，进价120元/件，批发价200元/件，公司对大量购买有优惠政策，凡是一次性购买20件以上的，每多买一件，批发价降低1元．设顾客购买x（件）时公司的利润为y（元）．（1）当一次性购买x件（x＞20）时，①批发价为元/件；②求y（元）与x（件）之间的函数表达式．（2）设批发价为a元/件，求a在什么范围内才能保证公司每次卖的越多，利润也越多．26．（11分）如图，已知⊙O的半径是4cm，弦AB=4cm，AC是⊙O的切线，切AC=4cm，连接BC．（1）证明：BC是⊙O的切线；（2）把△ABC沿射线CO方向平移d cm（d＞0），使△ABC的边所在的直线与⊙O相切，求d（5）的值．27．（10分）如图，正方形ABCD、BGFE边长分别为2、1，正方形BGFE绕点B 旋转，直线AE、GC相交于点H．（1）在正方形BGFE绕点B旋转过程中，∠AHC的大小是否始终为90°，请说明理由；（2）连接DH、BH，在正方形BGFE绕点B旋转过程中，①求DH的最大值；②直接写出DH的最小值．2016年江苏省南京市鼓楼区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题2分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填在答题卡相应位置上）1．（2分）比﹣1大的无理数是（）A．3.14 B．C．D．【分析】根据这个数既要比﹣1大又是无理数，解答出即可【解答】解：A、3.14是有理数，故本选项错误；B、﹣＜﹣1，故本选项错误；C、是有理数，故本选项错误；D、﹣是比﹣1大的无理数，故本选项正确；故选：D．【点评】本题考查了实数大小的比较及无理数的定义，任意两个实数都可以比较大小，正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．2．（2分）一组数据4，5，3，4，4的中位数、众数和方差分别是（）A．3，4，0.4 B．4，0.4，4 C．4，4，0.4 D．4，3，0.4【分析】根据中位数、众数和方差的概念求解．排序后的第3个数是中位数；出现次数最多的数据是众数；方差公式为：S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n ﹣）2]．【解答】解：把这组数据从小到大排列：3，4，4，4，5，最中间的数是4，则这组数据的中位数是4；4出现了2次，出现的次数最多，则众数是4；平均数是（4+5+3+4+4）÷5=4，所以方差为S2=[[（4﹣4）2+（5﹣4）2+（3﹣4）2+（4﹣4）2+（4﹣4）2]=0.4．【点评】此题考查了中位数、众数和方差，将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数；方差公式为：S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]．3．（2分）计算x2•x3÷x的结果是（）A．x4B．x5C．x6D．x7【分析】首先依据同底数幂的乘法法则进行计算，然后再依据同底数幂的除法法则计算即可．【解答】解：原式=x5÷x=x4．故选：A．【点评】本题主要考查的是同底数幂的除法和同底数幂的乘法，掌握运算顺序是解题的关键．4．（2分）如图，菱形ABCD中，AB=5，BD=6，则菱形的高为（）A．B．C．12 D．24【分析】直接利用菱形的性质得出AC的长，进而利用菱形的面积求出答案．【解答】解：∵菱形ABCD中，BD=6，∴BO=3，∠AOB=90°，∴AO=CO===4，∴AC=8，∴设菱形的高为x，则5x=×6×8，解得：x=．【点评】此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理，正确得出AC的长是解题关键．5．（2分）用一张半径为20的扇形纸片制成一个圆锥（接缝忽略不计），如果圆锥底面的半径为10，那么扇形的圆心角为（）A．60°B．90°C．135° D．180°【分析】先求出圆锥底面圆的周长，即为扇形的弧长，再根据弧长公式即可求出扇形的圆心角．【解答】解：∵圆锥底面的半径为10，∴圆锥底面圆的周长为20π，即扇形的弧长=20π，设扇形的圆心角为n°，则=20π，解得n=180，故选：D．【点评】本题考查了圆锥的计算及弧长的计算，用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长．6．（2分）等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，BC=8，⊙O过点B，C，点O在△ABC 的外部，且OA=1，则⊙O的半径为（）A．4 B．5 C． D．【分析】根据题意首先作图并连接OC、OB，延长OA交BC于点D，交⊙O于点E，然后证明△OBD为直角三角形，利用已知条件及勾股定理即可求解【解答】解：如下图所示：连接OC、OB，延长OA交BC于点D，交⊙O于点E∵在△OAB与△OAC中，∴△OAB≌△OAC，∴∠OAB=∠OAC，∴∠BAD=∠CAD又∵AB=AC，∴∠ADB=∠ADC=90°，BD=DC=AD=4∴在Rt△ODB中，OB2=OD2+BD2，∴OB2=52+42=41，∴OB=即：⊙O的半径是【点评】本题考查了圆与等腰直角三角形综合的有关问题，解题的关键是正确作图，并构建含半径及已知条件的直角三角形．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7．（2分）16的平方根是±4，9的立方根是．【分析】依据平方根、立方根的定义和性质求解即可．【解答】解∵（±4）2=16，∴16的平方根是±4．9的立方根是．故答案为：±4；．【点评】本题主要考查的是平方根、立方根的性质和定义，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键．8．（2分）2016年3月，鼓楼区的二手房均价约为25000元/平方米，若以均价购买一套100平方米的二手房，该套房屋的总价用科学记数法表示为 2.5×106元．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【解答】解：该套房屋的总价用科学记数法表示为2.5×106元，故答案为：2.5×106．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．9．（2分）因式分解：3a3﹣12a=3a（a+2）（a﹣2）．【分析】先提取公因式3a，再根据平方差公式进行二次分解．【解答】解：3a3﹣12a=3a（a2﹣4）（提取公因式）=3a（a+2）（a﹣2）．故答案为：3a（a+2）（a﹣2）．【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底．10．（2分）为了估计鱼塘青鱼的数量（鱼塘只有青鱼），将200条鲤鱼放进鱼塘，随机捕捞出一条鱼，记下品种后放回，稍后再随机捕捞出一条鱼记下品种，多次重复后发现鲤鱼出现的频率为0.2，那么可以估计鱼塘里青鱼的数量为800条．【分析】根据放入鲤鱼后鲤鱼出现的频率可以估计出放入鲤鱼后鱼塘中鱼的总数量，从而可以得到原来鱼塘中青鱼的数量．【解答】解：由题意可得，鱼塘里的青鱼的数量为：200÷0.2﹣200=1000﹣200=800（条），故答案为：800．【点评】本题考查用样本估计总体，解题的关键是明确题意，由鲤鱼的数量和出现的频率可以计算出青鱼的数量．11．（2分）计算（a≥0）的结果是2a．【分析】先把各二次根式化为最简二次根式，再合并同类项即可．【解答】解：原式=3a﹣a=2a．故答案为：2a．【点评】本题考查的是二次根式的加减法，熟知二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变是解答此题的关键．12．（2分）点A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y=﹣图象上的两点，若x1＞x2＞0，则y1＞y2（填“＞”“＜”“=”）．【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据x1＞x2＞0即可得出结论．【解答】解：∵反比例函数y=﹣中，k=﹣2＜0，∴函数图象的两个分支分别位于二四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大，∵x1＞x2＞0，∴y1＞y2．故答案为：＞．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解答此题的关键．13．（2分）如图，将一张矩形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在点D′，C′的位置，若∠1=40°，则∠D′EF=70°．【分析】由折叠的性质得∠DEF=∠D′EF，然后根据平角的定义即可得到结论．【解答】解：由折叠的性质得∠DEF=∠D′EF，∵∠1=40°，∴∠D′EF=（180°﹣40°）=70°，故答案为：70°．【点评】本题考查了折叠的性质，平角的定义，熟记折叠的性质是解题的关键．14．（2分）若△ABC的三边长分别为6、8、10，则△ABC的内切圆半径为2．【分析】先根据勾股定理的逆定理求出△ABC是直角三角形，然后利用直角边为a、b，斜边为c的三角形的内切圆半径为进行计算即可．【解答】解：∵△ABC的三边长分别为6、8、10，∴62+82=102，∴△ABC是直角三角形，∴△ABC的内切圆半径r==2．故答案是：2．【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．记住直角边为a、b，斜边为c的三角形的内切圆半径为．15．（2分）已知y是x的二次函数，函数y与自变量x的部分对应值如下表：观察表中数据，则k的值为0．【分析】根据题目提供的满足二次函数解析式的x、y的值，确定二次函数的对称轴，利用对称轴找到一个点的对称点的纵坐标即可．【解答】解：由上表可知函数图象经过点（﹣1，4）和点（1，4），∴对称轴为x==0，即y轴∴当x=2时的函数值等于当x=﹣2时的函数值，∵当x=﹣2时，y=0，∴当x=2时，k=0．故答案为：0．【点评】本题考查了二次函数的图象的性质，利用表格找到二次函数的对称点是解决此题的关键，另外本题还可以先求出函数的解析式，然后代入求值．16．（2分）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（0，1）和，若在第四象限存在点C，使△OBC和△OAB相似，则点C的坐标是（，﹣1），或（，3）或（，﹣）或（，﹣）．【分析】先根据题意得出OA，OB的长，再分△BOC∽△OBA，△BCO∽△OAB，△CBO∽△OBA，△CBO∽△OAB四种情况进行分类讨论，由直角三角形的性质即可得出结果．【解答】解：∵A（0，1）、B（，0），∴OA=1，OB=，∴AB==2，∠ABO=30°．当∠OBC=90°时，如图1，①若△BOC∽△OBA，则∠BCO=∠OAB=30°，∠COB=∠ABO，，∴BC=OA=1，∵OB=，∴C（，﹣1）；②若△BOC∽△OAB，则∠BCO=∠ABO=30°，BC=OB=3，OB=，∴C（，﹣3）当∠OCB=90°时，如图2，过点C作CP⊥OB于点P，①当△CBO∽△OBA时，∠OBC=∠ABO=30°，∴OC=OB=，同理：OP=OC=，∴PC=OP=，∴C（，﹣）；②当△CBO∽△OAB时，∠BOC=∠ABO=30°，∴BC=OB=，同理：BP=BC=，∴PC=BP=，OP=OB﹣BP=，∴C（，﹣）；综上所述：点C的坐标为（，﹣1），或（，﹣3）或（，﹣）或（，﹣）；故答案为：（，﹣1），或（，﹣3）或（，﹣）或（，﹣）．【点评】本题考查的是相似三角形的判定定理、坐标与图形性质、勾股定理、直角三角形的性质；在解答此题时要进行分类讨论，不要漏解．三、解答题（本大题共11题，共88分，请在答题卡指定区域作答，解答题时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（5分）计算：（x﹣3）（3+x）﹣（x2+x﹣1）【分析】先用平方差公式和去括号法则展开，再合并同类项即可．【解答】解：原式=x2﹣9﹣x2﹣x+1=﹣x﹣8．【点评】本题主要考查整式的混合运算和平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．18．（7分）（1）解不等式3（2x+5）＞2（4x+3）并将其解集在数轴上表示出来．（2）写出一个一元一次不等式，使它和（1）中的不等式组的解集为x≤2，这个不等式可以是x﹣1≤1（答案不唯一）．【分析】（1）先去括号，再移项，合并同类项，把x的系数化为1即可；（2）根据（1）中不等式的解集可直接得出结论．【解答】解：（1）去括号得，6x+15＞8x+6，移项得，6x﹣8x＞6﹣15，合并同类项得，﹣2x＞﹣9，把x的系数化为1得，x＜4.5；（2）x﹣1≤1．故答案为：x﹣1≤1（答案不唯一）．【点评】本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键．19．（7分）（1）解方程：（2）方程的解为x1=x2=．【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）方程去分母整理后，利用配方法求出解即可．【解答】解：（1）去分母得：4x+2=4，解得：x=，经检验x=是增根，分式方程无解；（2）去分母得：4x﹣2=4x2﹣1，即4x2﹣4x+1=0，分解因式得：（2x﹣1）2=0，解得：x1=x2=，故答案为：x1=x2=【点评】此题考查了解分式方程，以及解一元二次方程﹣配方法，解分式方程利用了转化的思想，求出解后别忘了验根．20．（7分）为了了解学生关注热点新闻的情况，“两会”期间，小明对班级同学一周内收看“两会”新闻的次数情况作了调查，调查结果统计如图所示（其中男生收看3次的人数没有标出）．根据上述信息，解答下列各题：（1）该班级女生人数是20；女生收看“两会”新闻次数的众数是3；中位数是3．（2）求女生收看次数的平均数．（3）为进一步分析该班级男、女生收看“两会”新闻次数的特点，小明计算出女生收看“两会”新闻次数的方差为，男生收看“两会”新闻次数的方差为2，请比较该班级男、女生收看“两会”新闻次数的波动大小．（4）对于某个群体，我们把一周内收看某热点新闻次数不低于3次的人数占其所在群体总人数的百分比叫做该群体对某热点新闻的“关注指数”，如果该班级男生对“两会”新闻的“关注指数”比女生低5%，试求该班级男生人数．【分析】（1）将各观看次数的人数相加得到女生总数，观看次数最多的为众数，从小到大排列后，最中间或中间两数的平均为中位数；（2）根据加权平均数的算法，列式计算即可；（3）由方差可判断，方差小说明波动小；（4）根据题意，求出女生的关注指数，进而得到男生的关注指数，设男生人数为x，列出方程，解之可得．【解答】解：（1）该班级女生人数为：2+5+6+5+2=20（人），其中收看3次的人数最多，达6次，故众数为3；该班级女生收看次数的中位数是从小到大排列的第10、11个数的平均数，均为3，故中位数是3；（2）女生收看次数的平均数是：×（1×2+2×5+3×6+4×5+5×2）=×60=3；（3）∵2＞，∴所以男生比女生的波动幅度大；（4）由题意：该班女生对“两会”新闻的“关注指数”为×100%=65%，所以，男生对“两会”新闻的“关注指数”为60%设该班的男生有x人则，解得：x=25，答：该班级男生有25人．【点评】本题主考考查从统计表中获取有用数据的能力，并用获取的数据进行计算、解决问题的能力，获取有用数据时解题关键．21．（9分）如图，在平行四边形ABCD中，E、F为AD上两点，AE=EF=FD，连接BE、CF并延长，交于点G，GB=GC．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若△GEF的面积为2．①求四边形BCFE的面积；②四边形ABCD的面积为24．【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AD∥BC，AB=DC，AB∥CD于是得到BE=CF，根据全等三角形的性质得到∠A=∠D，根据平行线的性质得到∠A+∠D=180°，由矩形的判定定理即可得到结论；（2）①根据相似三角形的性质得到=（）2=，求得△GBC的面积为18，于是得到四边形BCFE的面积为16；②根据四边形BCFE的面积为16，列方程得到BC•AB=24，即可得到结论．【解答】（1）证明：∵GB=GC，∴∠GBC=∠GCB，在平行四边形ABCD中，∵AD∥BC，AB=DC，AB∥CD，∴GB﹣GE=GC﹣GF，∴BE=CF，在△ABE与△DCF中，，∴△ABE≌△DCF，∴∠A=∠D，∵AB∥CD，∴∠A+∠D=180°，∴∠A=∠D=90°，∴四边形ABCD是矩形；（2）①∵EF∥BC，∴△GFE∽△GBC，∵EF=AD，∴EF=BC，∴=（）2=，∵△GEF的面积为2，∴△GBC的面积为18，∴四边形BCFE的面积为16，；②∵四边形BCFE的面积为16，∴（EF+BC）•AB=×BC•AB=16，∴BC•AB=24，∴四边形ABCD的面积为24，故答案为：24．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，图形面积的计算，全等三角形的判定和性质，证得△GFE∽△GBC是解题的关键．22．（8分）一只不透明的袋子中装有6个小球，分别标有1，2，3，4，5，6这6个号码，这些球除号码外都相同．（1）直接写出事件“从袋中任意摸出一个球，号码为3的整数倍”的概率P1；（2）用画树状图或列表格等方法，求事件“从袋中同时摸出两个球，号码之和为6”的概率P2．【分析】列举出符合题意的各种情况的个数，再根据概率公式解答即可．【解答】解：（1）∵3和6都是3的整数倍，∴P1==；（3分）（2）列表得：从袋中同时摸出两个球的可能性有（1，2）、（1，3）、（1，4）、（1，5）、（1，6）、（2，3）、（2，4）、（2，5）、（2，6）、（3，4）、（3，5）、（3，6）、（4，5）、（4，6）、（5，6），共十五种，号码之和为6的有（1，5）、（2，4），所以P2=．（8分）【点评】如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．23．（8分）为了测量校园内旗杆AB的高度，小明和小丽同学分别采用了如下方案：（1）小明的方案：如图1，小明在地面上点C处观测旗杆顶部，测得仰角，∠ACB=45°然后他向旗杆反方向前进20米，此时在点D处观测旗杆顶部，测得仰角∠ADB=26.6°．根据小明的方案求旗杆AB的高度．（2）小丽的方案：如图2，小丽在地面上点C处观测旗杆顶部，测得仰角∠ACB=45°，然后从点C爬到10米高的楼上的点E处（CE⊥BC），观测旗杆顶部，测得仰角∠AEF=α．根据小丽的方案所求旗杆AB的高度为米．（用含α的式子表示）（参考数据：sin26.6°≈0.45，tan26.6°≈0.50）（1）在Rt△ABC中，∠ACB=45°，得到AB=BC，在Rt△ABD中，∠ADB=26.6°，【分析】得到tan26.6°=，即可得到结论；（2）延长EF交AB于D，根据矩形的性质得到BD=CE=10，DE=BC，然后根据三角函数的定义列方程即可得到结论．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB=45°，∴AB=BC，在Rt△ABD中，∠ADB=26.6°，∴tan26.6°=，∴AB=≈20m，答：旗杆AB的高度为20m；（2）延长EF交AB于D，∴BD=CE=10，DE=BC，∵∠ACB=45°，∴AB=BC，∴DE=AB，∵∠AEF=α，∴tanα==，∴AB=，答：旗杆AB的高度为米．【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，本题要求学生借助俯角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．24．（8分）大客车和小轿车同时从甲地出发，沿笔直的公路以各自的速度匀速驶往异地，轿车到达乙地后，立即以相同的速度沿原路返回甲地，已知甲、乙两地相距180千米，大客车的速度为60千米/小时，轿车的速度为90千米/小时．设大客车和轿车出发x小时后，两车离乙地的距离分别为y1和y2千米．（1）分别求出y1和y2与x之间的函数关系式．（2）在同一平面直角坐标系中画出y1和y2的函数图象，并标上必要的数据．【分析】（1）根据大客车离乙地的路程=180﹣速度×时间，小轿车离乙地的路程分①0≤x≤2，②2≤x≤4分别计算即可．（2）利用描点法画出图象即可．【解答】解：（1）y1=180﹣60x，当0≤x≤2时，y2=180﹣90x，当2≤x≤4时，y2=90x﹣180．（2）y1和y2的函数图象，如图所示．【点评】本题考查一次函数的应用，路程、速度、时间之间的关系，等知识，解题的关键是理解题意，利用路程=速度×时间解决问题，属于中考常考题型．25．（8分）某公司批发一种服装，进价120元/件，批发价200元/件，公司对大量购买有优惠政策，凡是一次性购买20件以上的，每多买一件，批发价降低1元．设顾客购买x（件）时公司的利润为y（元）．（1）当一次性购买x件（x＞20）时，①批发价为220﹣x元/件；②求y（元）与x（件）之间的函数表达式．（2）设批发价为a元/件，求a在什么范围内才能保证公司每次卖的越多，利润也越多．【分析】（1）①根据题意列出代数式即可；②根据题意即可的结论；（3）根据y=﹣x2+100x=﹣（x﹣50）2+2500，于是得到抛物线的开口向下，x=50时，y有最大值，在对称轴x=50的左侧，y随x的增大而增大，于是得到结论．【解答】解：（1）①根据题意得：批发价为[200﹣（x﹣20）]=（220﹣x）元/件；故答案为：220﹣x；②y=（220﹣x﹣120）x=﹣x2+100x，（3）∵y=﹣x2+100x=﹣（x﹣50）2+2500，∵抛物线的开口向下，∴x=50时，y有最大值，在对称轴x=50的左侧，y随x的增大而增大，∴200﹣（50﹣20）]=170，∴170≤a≤200时，每次卖的越多，利润也越多．【点评】本题考查了二次函数的应用，销售问题的数量关系的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键．26．（11分）如图，已知⊙O的半径是4cm，弦AB=4cm，AC是⊙O的切线，切AC=4cm，连接BC．（1）证明：BC是⊙O的切线；（2）把△ABC沿射线CO方向平移d cm（d＞0），使△ABC的边所在的直线与⊙O相切，求d（5）的值．【分析】（1）连接OA、OB．作OD⊥AB于点D，由切线的性质得出∠OAC=90°，由垂径定理得出AD=AB=2，在Rt△OAD中，求出∠AOD=45°，同理∠BOD=45°，证出AC∥OB，得出四边形OABC为平行四边形，证出四边形OABC是矩形，得出OB⊥BC，即可得出结论；（2）①延长DO交⊙O于E，把△ABC沿射线CO方向平移，使AB边与⊙O相切，则平移的距离为DE的长，由等腰直角三角形的性质得出OD=AD=2，求出DE 的长即可；②同①即可得出结果．【解答】（1）证明：连接OA、OB．作OD⊥AB于点D，如图1所示：∵AC是⊙O的切线，∴OA⊥AC，即∠OAC=90°，∵OD⊥AB，AD=AB=×4=2，在Rt△OAD中，==，∴∠AOD=45°，同理∠BOD=45°，∴∠BOA=90°，∴∠OAC+∠BOA=180°，∴AC∥OB，∵AC=OB=4，∴四边形OABC为平行四边形，∵∠OAC=90°，∴四边形OABC是矩形，∴∠OBC=90°，即OB⊥BC，∴BC是⊙O的切线；（2）解：①延长DO交⊙O于E，如图2所示：∵OD⊥AB，把△ABC沿射线CO方向平移，使AB边与⊙O相切，则平移的距离为DE的长，∵在Rt△OAD中，∠AOD=45°，∴OD=AD=2，∵OE=4，∴DE=OD+OE=2+4；②如图3所示：OC'=OC==4，CC'=8cm；综上所述，d的值为（4+2）cm或8cm．【点评】本题考查了切线的判定与性质、平移的性质、垂径定理、平行四边形的判定与性质、矩形的判定、等腰直角三角形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明四边形是矩形是解决问题（1）的关键．27．（10分）如图，正方形ABCD、BGFE边长分别为2、1，正方形BGFE绕点B 旋转，直线AE、GC相交于点H．（1）在正方形BGFE绕点B旋转过程中，∠AHC的大小是否始终为90°，请说明理由；（2）连接DH、BH，在正方形BGFE绕点B旋转过程中，①求DH的最大值；②直接写出DH的最小值．【分析】（1）先判断出△ABE≌△CBG，得到∠BAE=∠BCG，再进行简单的代换即可；（2）①先判断出点A，B，H，C，D在以AC为直径的同一个圆上，得到DH最大就是大正方形的对角线，即可；。
江苏省南京市联合体中考数学一模试卷(含解析)
江苏省南京市联合体2016年中考数学一模试卷一、选择题：本大题共6小题，每小题2分，共12分，在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填在答题卡上1．2的算术平方根是（）A．4 B．±4 C．D．2．计算（﹣ab2）3的结果是（）A．a3b5B．﹣a3b5C．﹣a3b6D．a3b63．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．正五边形B．正方形C．平行四边形D．正三角形4．已知反比例函数的图象经过点P（a，a），则这个函数的图象位于（）A．第一、三象限 B．第二、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限5．如图，给出下列四个条件，AB=DE，BC=EF，∠B=∠E，∠C=∠F，从中任选三个条件能使△ABC≌△DEF的共有（）A．1组B．2组C．3组D．4组6．已知A（x1，y1）是一次函数y=﹣x+b+1图象上一点，若x1＜0，y1＜0，则b的取值范围是（）A．b＜0 B．b＞0 C．b＞﹣1 D．b＜﹣1二、填空题：本大题共10小题，每小题2分，共计20分．不需写出解答过程，请把正确答案直接填在答题卡相应的位置上7．﹣3的相反数是；﹣3的倒数是．8．计算﹣的结果是．9．在函数中，自变量x的取值范围是．10．2016年春节放假期间，夫子庙游客总数达到1800000人，将1800000用科学记数法表示为．11．某公司全体员工年薪的具体情况如表：则该公司全体员工年薪制的中位数比众数多万元．12．已知关于x的方程x2﹣3x+1=0的两个根为x1、x2，则x1+x2﹣x1x2= ．13．如图，在△ABC中，DE∥BC，AB=2BD，则= ．14．如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠B+∠E=222°，则∠CAD= °．15．如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，BD平分∠ABC交AC于点D，则点D到AB 的距离为．16．如图，抛物线y=﹣x2﹣2x+3与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1关于点B的中心对称得C2，C2与x轴交于另一点C，将C2关于点C的中心对称得C3，连接C1与C3的顶点，则图中阴影部分的面积为．三、解答题：本大题共11小题，共计88分17．（6分）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．18．（6分）化简：÷．19．（8分）写出下列命题的已知、求证，并完成证明过程．命题：如果一个三角形的两条边相等，那么两条边所对的角也相等（简称：“等边对等角”．）已知：．求证：．证明：20．（8分）小明和小红、小兵玩捉迷藏游戏，小红、小兵可以在A、B、C三个地点中任意一处藏身，小明去寻找他们．（1）求小明在B处找到小红的概率；（2）求小明在同一地点找到小红和小兵的概率．21．（8分）某校课外活动小组采用简单随机抽样的方法，对本校九年级学生的睡眠时间（单位：h）进行了调查，并将所得数据整理后绘制出频数分布直方图的一部分（如图）．设图中从左至右前5个小组的频率分别是0.04，0.08，0.24，0.28，0.24，第2小组的频数为4．如图，在四边形ABCD中，AD=CD=8，AB=CB=6，点E、F、G、H分别是DA、AB、BC、CD的中点．（1）求证：四边形EFGH是矩形；（2）若DA⊥AB，求四边形EFGH的面积．23．（9分）甲、乙两公司为“见义勇为基金会”各捐款60000元，已知乙公司比甲公司人均多捐40元，甲公司的人数比乙公司的人数多20%．请你根据以上信息，提出一个用分式方程解决的问题，并写出解答过程．24．（8分）一艘船在小岛A的南偏西37°方向的B处，AB=20海里，船自西向东航行1.5小时后到达C处，测得小岛A在点C的北偏西50°方向，求该船航行的速度（精确到0.1海里/小时？）（参考数据：sin37°=cos53°≈0.60，sin53°=cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，tan53°≈1.33，tan40°≈0.84，tan50°≈1.19）25．（9分）已知二次函数y=﹣x2+mx+n．（1）若该二次函数的图象与x轴只有一个交点，请用含m的代数式表示n；（2）若该二次函数的图象与x轴交于A、B两点，其中点A的坐标为（﹣1，0），AB=4，请求出该二次函数的表达式及顶点坐标．26．（9分）如图①，C地位于A，B两地之间，甲步行直接从C地前往B地，乙骑自行车由C地先回A地，再从A地前往B地（在A地停留时间忽略不计）．已知两人同时出发且速度不变，乙的速度是甲的2.5倍，设出发xmin后甲、乙两人离C地的距离分别为y1m，y2m，图②中线段OM表示y1与x的函数图象．（1）甲的速度为m/min，乙的速度为m/min；（2）在图②中画出y2与x的函数图象；（3）求甲乙两人相遇的时间；（4）在上述过程中，甲乙两人相距的最远距离为m．27．（9分）已知⊙O的半径为5，且点O在直线l上，小明用一个三角板学具（∠ABC=90°，AB=BC=8）做数学实验：（1）如图①，若A、B两点在⊙O上滑动，直线BC分别与⊙O、l相交于点D、E．①求BD的长；②当OE=6时，求BE的长；（2）如图②，当点B在直线l上，点A在⊙O上，BC与⊙O相切于点P时，则切线长PB= ．2016年江苏省南京市联合体中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共6小题，每小题2分，共12分，在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填在答题卡上1．2的算术平方根是（）A．4 B．±4 C．D．【考点】算术平方根．【分析】直接根据算术平方根的定义求解．【解答】解：2的算术平方根为．故选C．【点评】本题考查了算术平方根：若一个正数的平方等于a，那么这个数叫a的算术平方根，记作（a≥0）．2．计算（﹣ab2）3的结果是（）A．a3b5B．﹣a3b5C．﹣a3b6D．a3b6【考点】幂的乘方与积的乘方．【分析】直接利用积的乘方运算法则求出答案．【解答】解：（﹣ab2）3=﹣a3b6．故选：C．【点评】此题主要考查了积的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键．3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．正五边形B．正方形C．平行四边形D．正三角形【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；B、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确；C、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误．故选B．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．4．已知反比例函数的图象经过点P（a，a），则这个函数的图象位于（）A．第一、三象限 B．第二、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限【考点】反比例函数的性质．【分析】设反比例函数解析式为y=（k≠0），由反比例函数图象上点的坐标特征可得出k=a2，分情况讨论即可得出结论．【解答】解：设反比例函数解析式为y=（k≠0），∵点P（a，a）在反比例函数图象上，∴k=a2．当a≠0时，k=a2＞0，反比例函数图象在第一、三象限；当a=0时，点P为原点，不可能在反比例函数图象上，故无此种情况．故选A．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例函数的性质，解题的关键是用a的值表示k的值．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，由点在函数图象上得出反比例函数系数k的取值范围是关键．5．如图，给出下列四个条件，AB=DE，BC=EF，∠B=∠E，∠C=∠F，从中任选三个条件能使△ABC≌△DEF的共有（）A．1组B．2组C．3组D．4组【考点】全等三角形的判定．【分析】要使△ABC≌△DEF的条件必须满足SSS、SAS、ASA、AAS，可据此进行判断．【解答】解：第①组AB=DE，∠B=∠E，∠C=∠F，满足AAS，能证明△ABC≌△DEF．第②组AB=DE，∠B=∠E，BC=EF满足SAS，能证明△ABC≌△DEF．第③组∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F满足ASA，能证明△ABC≌△DEF．所以有3组能证明△ABC≌△DEF．故选C．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．6．已知A（x1，y1）是一次函数y=﹣x+b+1图象上一点，若x1＜0，y1＜0，则b的取值范围是（）A．b＜0 B．b＞0 C．b＞﹣1 D．b＜﹣1【考点】一次函数图象上点的坐标特征；一次函数的性质．【分析】先根据题意判断出函数图象经过的象限，进而可得出结论．【解答】解：∵一次函数y=﹣x+b+1中，k=﹣1＜0，∴函数图象经过二、四象限．∵x1＜0，y1＜0，∴函数图象经过第三象限，∴b+1＜0，即b＜﹣1．故选D．【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键．二、填空题：本大题共10小题，每小题2分，共计20分．不需写出解答过程，请把正确答案直接填在答题卡相应的位置上7．﹣3的相反数是 3 ；﹣3的倒数是﹣．【考点】倒数；相反数．【分析】根据倒数以及相反数的定义即可求解．【解答】解：﹣3的相反数是3；﹣3的倒数是﹣．故答案是：3，﹣．【点评】主要考查倒数的概念及性质．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．8．计算﹣的结果是．【考点】二次根式的加减法．【分析】先把各二次根式化为最简二次根式，再合并同类项即可．【解答】解：原式=2﹣=．故答案为：．【点评】本题考查的是二次根式的加减法，熟知二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变是解答此题的关键．9．在函数中，自变量x的取值范围是x≠1 ．【考点】函数自变量的取值范围．【分析】根据分式的意义，分母不等于0，就可以求解．【解答】解：根据题意得：1﹣x≠0，解得x≠1．故答案为：x≠1．【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；10．2016年春节放假期间，夫子庙游客总数达到1800000人，将1800000用科学记数法表示为 1.8×106．【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】根据科学记数法的表示方法：a×10n，可得答案．【解答】解：将1800000用科学记数法表示为 1.8×106，故答案为：1.8×106．【点评】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示方法：a×10n，确定n的值是解题关键，n是整数数位减1．11．某公司全体员工年薪的具体情况如表：则该公司全体员工年薪制的中位数比众数多0.5 万元．【考点】众数；中位数．【分析】先根据中位数和众数的定义分别求出该公司全体员工年薪制的中位数与众数，再相减即可．【解答】解：一共有25个数据，将这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的那个数是4万元，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是4万元；众数是一组数据中出现次数最多的数，在这一组数据中3.5万元是出现次数最多的，故众数是3.5万元；所以中位数比众数多4﹣3.5=0.5万元．故答案为0.5．【点评】本题为统计题，考查众数与中位数的意义．众数是一组数据中出现次数最多的数．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．12．已知关于x的方程x2﹣3x+1=0的两个根为x1、x2，则x1+x2﹣x1x2= 2 ．【考点】根与系数的关系．【分析】根据根与系数的关系可得出“x1+x2=﹣=3，x1•x2==1”，将其代入x1+x2﹣x1x2中即可得出结论．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣3x+1=0的两个根为x1、x2，∴x1+x2=﹣=3，x1•x2==1，∴x1+x2﹣x1x2=3﹣1=2．故答案为：2．【点评】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是找出“x1+x2=3，x1•x2=1”．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系找出两根之和与两根之积是关键．13．如图，在△ABC中，DE∥BC，AB=2BD，则= ．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】由条件可以求出AD：AB=2；3，再由条件可以得出△ADE∽△ABC，最后由相似三角形的性质就可以得出结论．【解答】解：∵AB=2BD，AD+BD=AB，∴AD+AB=AB，∴AD=AB，∵在△ABC中，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴=（）2=，故答案为：．【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形面积的比等于相似三角形面积的平方是解题的关键．14．如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠B+∠E=222°，则∠CAD= 42 °．【考点】圆周角定理．【分析】连接CE，根据圆内接四边形对角互补可得∠B+∠AEC=180°，进而求出∠CED的度数，再根据同弧所对的圆周角相等可得∠CED=∠CAD即可．【解答】解：如图，连接CE，∵五边形ABCDE是圆内接五边形，∴四边形ABCE是圆内接四边形，∴∠B+∠AEC=180°，∵∠B+∠AED=222°，∴∠CED=42°，∴∠CAD=∠CED=42°，故答案为：42．【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，同弧所对的圆周角相等的性质，熟记性质并作辅助线构造出圆内接四边形是解题的关键．15．如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，BD平分∠ABC交AC于点D，则点D到AB的距离为．【考点】角平分线的性质．【分析】根据勾股定理求出AB的长，根据角平分线的性质得到DE=DC，根据三角形的面积公式计算即可．【解答】解：∵∠C=90°，BC=3，AC=4，∴AB==5，作DE⊥AB于E，∵BD平分∠ABC交AC于点D，∠C=90°，DE⊥AB，∴DE=DC，△ABC的面积=△ABD的面积+△DBC的面积，即×AC×BC=×AB×DE+×BC×CD，解得，DE=，故答案为：．【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．16．如图，抛物线y=﹣x2﹣2x+3与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1关于点B的中心对称得C2，C2与x轴交于另一点C，将C2关于点C的中心对称得C3，连接C1与C3的顶点，则图中阴影部分的面积为32 ．【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】将x轴下方的阴影部分沿对称轴分成两部分补到x轴上方，即可将不规则图形转换为规则的长方形，则可求出．【解答】解：∵抛物线y=﹣x2﹣2x+3与x轴交于点A、B，∴当y=0时，则﹣x2﹣2x+3=0，解得x=﹣3或x=1，则A，B的坐标分别为（﹣3，0），（1，0），AB的长度为4，从C1，C3两个部分顶点分别向下作垂线交x轴于E、F两点．根据中心对称的性质，x轴下方部分可以沿对称轴平均分成两部分补到C1与C2．如图所示，阴影部分转化为矩形．根据对称性，可得BE=CF=4÷2=2，则EF=8利用配方法可得y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4则顶点坐标为（﹣1，4），即阴影部分的高为4，S阴=8×4=32．【点评】本题考查了中心对称的性质、配方法求抛物线的顶点坐标及求抛物线与x轴交点坐标，解题关键是将不规则图形通过对称转换为规则图形，求阴影面积经常要使用转化的数学思想．三、解答题：本大题共11小题，共计88分17．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．【分析】对不等式2﹣x＞0，移项得x＜2，对不等式两边乘以6，然后再移项、合并同类项解出不等式的解，再根据不等式组解集的口诀：大小小大中间找，来求出不等式组的解．【解答】解：由题意，解不等式①，得x＜2，解不等式②，得x≥﹣1，∴不等式组的解集是﹣1≤x＜2．不等式组的解集在数轴上表示如下：【点评】主要考查了一元一次不等式组解集的求法，利用不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解），来求解．18．化简：÷．【考点】分式的混合运算．【分析】利用分式的混合运算顺序求解即可．【解答】解：÷=×，=•×，=﹣．【点评】本题主要考查了分式的混合运算，解题的关键是通分及约分．19．写出下列命题的已知、求证，并完成证明过程．命题：如果一个三角形的两条边相等，那么两条边所对的角也相等（简称：“等边对等角”．）已知：在△ABC中，AB=AC ．求证：∠B=∠C ．证明：【考点】等腰三角形的性质．【分析】根据图示，分析原命题，找出其条件与结论，然后根据AB=AC，结合全等三角形的性质，从而得出结论．【解答】解：已知：在△ABC中，AB=AC，求证：∠B=∠C，证明：过点A作AD⊥BC于D，∴∠ADB=∠ADC=90°，在Rt△ABD和Rt△ACD中，∵∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL），∴∠B=∠C．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确得出Rt△ABD≌Rt△ACD是解题关键．20．小明和小红、小兵玩捉迷藏游戏，小红、小兵可以在A、B、C三个地点中任意一处藏身，小明去寻找他们．（1）求小明在B处找到小红的概率；（2）求小明在同一地点找到小红和小兵的概率．【考点】列表法与树状图法．【分析】（1）由题意可知有三处可以藏身，所以小明在B处找到小红的概率为其中的三分之一；（2）根据题意画树状图，然后根据树状图求得所有等可能的结果与小明在同一地点找到小红和小兵的情况，然后根据概率公式求解即可．【解答】解：（1）∵小红、小兵可以在A、B、C三个地点中任意一处藏身，∴小明在B处找到小红的概率=；（2）画树形图得：由树形图可知小明在同一地点找到小红和小兵的概率==．【点评】此题考查了树状图法与列表法求概率．树状图法与列表法可以不重不漏的表示出所有等可能的情况．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．21．某校课外活动小组采用简单随机抽样的方法，对本校九年级学生的睡眠时间（单位：h）进行了调查，并将所得数据整理后绘制出频数分布直方图的一部分（如图）．设图中从左至右前5个小组的频率分别是0.04，0.08，0.24，0.28，0.24，第2小组的频数为4．（2016•南京校级一模）如图，在四边形ABCD中，AD=CD=8，AB=CB=6，点E、F、G、H分别是DA、AB、BC、CD的中点．（1）求证：四边形EFGH是矩形；（2）若DA⊥AB，求四边形EFGH的面积．【考点】中点四边形；矩形的判定．【分析】（1）连接AC、BD，交于点O，运用三角形中位线定理可证到四边形EFGH是平行四边形，要证四边形EFGH是矩形，只需证EF⊥FG，由于EF∥BD，FG∥AC，只需证DB⊥AC，只需运用线段垂直平分线性质定理的逆定理就可解决问题；（2）要求矩形EFGH的面积，只需求出EF、FG的值，只需求出BD、AC，运用勾股定理就可求出BD，运用面积法就可求出AO，从而求出AC，问题得以解决．【解答】解：（1）连接AC、BD，交于点O，如图．∵点E、F、G、H分别是DA、AB、BC、CD的中点，∴EF∥BD∥GH，EH∥AC∥FG，EF=GH=BD，EH=FG=AC，∴四边形EFGH是矩形．∵AD=CD，AB=CB，∴点D、B都在线段AC的垂直平分线上，∴DB垂直平分AC，∴DB⊥AC，OA=OC．∵EF∥DB，∴EF⊥AC．∵FG∥AC，∴EF⊥FG，∴▱EFGH是矩形；（2）∵DA⊥AB，AD=8，AB=6，∴DB=10．∴EF=BD=5．∵S△BAD=AB•AD=BD•AO，∴AO===，∴OC=，AC=，∴FG=AC=，∴S矩形EFGH=FG•EF=×5=24．【点评】本题主要考查了三角形中位线定理、矩形的判定与性质、线段垂直平分线性质定理的逆定理、勾股定理等知识，运用线段垂直平分线性质定理的逆定理证到DB垂直平分AC是解决第（1）小题的关键．23．甲、乙两公司为“见义勇为基金会”各捐款60000元，已知乙公司比甲公司人均多捐40元，甲公司的人数比乙公司的人数多20%．请你根据以上信息，提出一个用分式方程解决的问题，并写出解答过程．【考点】分式方程的应用．【分析】首先提出问题，例如，求甲、乙两公司的人数分别是多少？则本题的等量关系是：乙公司的人均捐款﹣甲公司的人均捐款=40，根据这个等量关系可得出方程求解．【解答】问题：求甲、乙两公司的人数分别是多少？解：设乙公司人数为x，则甲公司的人数为（1+20%）x，根据题意得：﹣=40解得：x=250经检验x=250是原方程的根，故（1+20%）×250=300（人），答：甲公司为300人，乙公司250人．【点评】本题考查了分式方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．24．一艘船在小岛A的南偏西37°方向的B处，AB=20海里，船自西向东航行1.5小时后到达C处，测得小岛A在点C的北偏西50°方向，求该船航行的速度（精确到0.1海里/小时？）（参考数据：sin37°=cos53°≈0.60，sin53°=cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，tan53°≈1.33，tan40°≈0.84，tan50°≈1.19）【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．【分析】根据题意，可以得到∠ABD和∠ACD的度数，由于AB=20，从而可以求得BD、AD、CD的长，从而可以求得该船航行的速度．【解答】解：作AD⊥BC于点D，如右图所示，由已知可得，∠ADB=90°，∠ABD=90°﹣37°=53°，AB=20，∴BD=AB•cos53°=20×0.6=12，AD=AB•sin53°=20×0.8=16，又∵∠ADC=90°，∠ACD=90°﹣50°=40°，AD=16，∴CD=≈19.05∴该船航行的速度是：（12+19.05）÷1.5=20.7海里/小时，即该船航行的速度是20.7海里/小时．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣方向角问题，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用锐角三角函数解答问题．25．已知二次函数y=﹣x2+mx+n．（1）若该二次函数的图象与x轴只有一个交点，请用含m的代数式表示n；（2）若该二次函数的图象与x轴交于A、B两点，其中点A的坐标为（﹣1，0），AB=4，请求出该二次函数的表达式及顶点坐标．【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；待定系数法求二次函数解析式．【分析】（1）由二次函数的图象与x轴只有一个交点，所以△=0，由此即可解决问题．（2）求出点B坐标有两种情形，分别利用方程组解决问题即可．【解答】解：（1）∵二次函数的图象与x轴只有一个交点，∴△=m2+4n=0，∴n=﹣m2．（2）∵A（﹣1，0），AB=4，∴B（3，0）或（﹣5，0）．将A（﹣1，0），B（3，0）代入y=﹣x2+mx+n得，解得，∴二次函数为y=﹣x2+2x+3，顶点为（1，4），将A（﹣1，0），B（﹣5，0）代入y=﹣x2+mx+n得，解得，∴二次函数为y=﹣x2﹣6x﹣5，顶点为（﹣3，4）．【点评】本题考查二次函数与x轴交点问题、待定系数法确定函数解析式等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的有关性质，学会分类讨论的思想，不能漏解，属于中考常考题型．26．如图①，C地位于A，B两地之间，甲步行直接从C地前往B地，乙骑自行车由C地先回A地，再从A地前往B地（在A地停留时间忽略不计）．已知两人同时出发且速度不变，乙的速度是甲的2.5倍，设出发xmin后甲、乙两人离C地的距离分别为y1m，y2m，图②中线段OM表示y1与x的函数图象．（1）甲的速度为80 m/min，乙的速度为200 m/min；（2）在图②中画出y2与x的函数图象；（3）求甲乙两人相遇的时间；（4）在上述过程中，甲乙两人相距的最远距离为960 m．【考点】一次函数的应用．【分析】（1）根据函数图象中点（30，2400），利用“速度=路程÷时间”可算出甲的速度，再根据甲乙速度间的关系可得出乙的速度；（2）根据乙的速度，以及A、C两地及B、C两地间的距离，利用“时间=路程÷速度”可找出函数图象经过点（0，0）、（3，600）、（6，0）、（18，2400），按照顺序连接两点即可得出结论；（3）设甲乙两人相遇的时间为xmin，结合（2）y2与x的函数图象可知，乙相当于比甲晚出发6分钟，依照“路程=速度×时间”可列出关于x的一元一次方程，解方程即可得出结论；（4）结合函数图象可知：最值只有可能出现在两种情况下，乙刚到A地时或乙到B地时，分别求出两种情形下两人间的距离，再作比较即可得出结论．【解答】解：（1）甲的速度为：2400÷30=80（m/min）；乙的速度为：80×2.5=200（m/min）．故答案为：80；200．（2）600÷200=3（min），600×2÷200=6（min）．2400÷200+6=18（min）．∴y2与x的函数图象过点（0，0）、（3，600）、（6，0）、（18，2400）．画出图形如图所示．（3）设甲乙两人相遇的时间为xmin，依题意得：80x=200（x﹣6），解得：x=10．答：甲乙两人相遇的时间为10min．（4）∵乙的速度＞甲的速度，∴当x=3时，乙达到A地，此时甲乙两人间距可能最远，3×（80+200）=840（m）；当x=18时，甲乙两人间距为：2400﹣80×18=960（m）．∵960＞840，∴甲乙两人相距的最远距离为960m．故答案为：960．【点评】本题考查了一次函数的应用以及解一元一次方程，解题的关键是：（1）根据数量关系直接计算；（2）找出拐点坐标；（3）依照数量关系列出关于x的方程；（4）找出极值，再比较极值的大小，确定最值．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出方程（或方程组）是关键．27．已知⊙O的半径为5，且点O在直线l上，小明用一个三角板学具（∠ABC=90°，AB=BC=8）做数学实验：（1）如图①，若A、B两点在⊙O上滑动，直线BC分别与⊙O、l相交于点D、E．①求BD的长；②当OE=6时，求BE的长；（2）如图②，当点B在直线l上，点A在⊙O上，BC与⊙O相切于点P时，则切线长PB= 4 ．【考点】切线的性质．【分析】（1）①连接AD，根据90°圆周角所对的弦是直角可知AD是圆O的直径，在△ABD中，依据勾股定理可求得BD的长；②连接OD，过点O作OF⊥BD，垂足为F．由垂径定理可求得FD、BF的长，然后在△FOE中，依据勾股定理可求得EF的长，从而可求得BE的长．（2）如图②中，连接PO，并延长交⊙O于点Q，连接AQ，AP，利用△PAQ∽△ABP，得=，求出PA2=80，在RT△PAB中利用勾股定理求出PB即可．【解答】解：（1）①如图1所示：连接AD．∵∠ABD=90°，∴AD是圆O的直径．∴AD=10．在Rt△ABD中，BD==6．②如图1所示：过点O作OF⊥BD，垂足为F．∵OF⊥BD，BD=6，∴BF=FD=3．在Rt△ODF中，OF==4．在Rt△OFE中，EF==2．∴BE=FB+EF=3+2．（2）如图②中，连接PO，并延长交⊙O于点Q，连接AQ，AP，∵BC是⊙O的切线，PQ是直径∴∠CPO=∠CBA=∠PAQ=90°，∴PQ∥AB，∴∠PAB=∠APQ，∵∠PAQ=∠PBA=90°，∴△PAQ∽△ABP，∴=，∴PA2=80，在RT△PAB中，PB===4．故答案为4．【点评】本题主要考查的是垂径定理、圆周角定理、勾股定理的应用，掌握此类问题的辅助线的作法是解题的关键，学会利用相似三角形的性质解决问题，属于中考常考题型．。
2016年江苏省南京市中考数学试卷及答案解析
2016年江苏省南京市中考数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（2分）为了方便市民出行，提倡低碳交通，近几年南京市大力发展公共自行车系统，根据规划，全市公共自行车总量明年将达70000辆，用科学记数法表示70000是（）A．0.7×105B．7×104C．7×105D．70×1032．（2分）数轴上点A、B表示的数分别是5、﹣3，它们之间的距离可以表示为（）A．﹣3+5B．﹣3﹣5C．|﹣3+5|D．|﹣3﹣5|3．（2分）下列计算中，结果是a6的是（）A．a2+a4B．a2•a3C．a12÷a2D．（a2）34．（2分）下列长度的三条线段能组成钝角三角形的是（）A．3，4，4B．3，4，5C．3，4，6D．3，4，75．（2分）已知正六边形的边长为2，则它的内切圆的半径为（）A．1B．√3C．2D．2√36．（2分）若一组数据2，3，4，5，x的方差与另一组数据5，6，7，8，9的方差相等，则x的值为（）A．1B．6C．1或6D．5或6二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7．（2分）化简：√8=；√83=．8．（2分）若二次根式√x−1在实数范围内有意义，则x的取值范围是．9．（2分）分解因式：2a（b+c）﹣3（b+c）＝．10．（2分）比较大小：√5−3√5−2 2．11．（2分）分式方程1x−2=3x的解是．12．（2分）设x1、x2是方程x2﹣4x+m＝0的两个根，且x1+x2﹣x1x2＝1，则x1+x2＝，m＝．13．（2分）如图，扇形OAB的圆心角为122°，C是AB̂上一点，则∠ACB＝°．14．（2分）如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，△ABO ≌△ADO ．下列结论：①AC ⊥BD ；②CB ＝CD ；③△ABC ≌△ADC ；④DA ＝DC ． 其中所有正确结论的序号是 ．15．（2分）如图，AB 、CD 相交于点O ，OC ＝2，OD ＝3，AC ∥BD ，EF 是△ODB 的中位线，且EF ＝2，则AC 的长为 ．16．（2分）如图，菱形ABCD 的面积为120cm 2，正方形AECF 的面积为50cm 2，则菱形的边长为 cm ．三、解答题（本大题共11小题，共88分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（7分）解不等式组{3x +1≤2(x +1)−x ＜5x +12，并写出它的整数解．18．（7分）计算aa−1−3a−1 a2−1．19．（7分）某校九年级有24个班，共1000名学生，他们参加了一次数学测试，学校统计了所有学生的成绩，得到下列统计图．（1）求该校九年级学生本次数学测试成绩的平均数；（2）下列关于本次数学测试说法正确的是A．九年级学生成绩的众数与平均数相等B．九年级学生成绩的中位数与平均数相等C．随机抽取一个班，该班学生成绩的平均数等于九年级学生成绩的平均数D．随机抽取300名学生，可以用他们成绩的平均数估计九年级学生成绩的平均数20．（8分）我们在学完“平移、轴对称、旋转”三种图形的变化后，可以进行进一步研究，请根据示例图形，完成下表．图形的变化示例图形与对应线段有关的结论与对应点有关的结论平移（1）AA′＝BB′AA′∥BB′轴对称（2）（3）旋转AB＝A′B′；对应线段AB和A′B′所在的直线相交所成的角与旋转角相等或互（4）补．21．（8分）用两种方法证明“三角形的外角和等于360°”．如图，∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三个外角．求证∠BAE+∠CBF+∠ACD＝360°．证法1：∵，∴∠BAE+∠1+∠CBF+∠2+∠ACD+∠3＝180°×3＝540°∴∠BAE+∠CBF+∠ACD＝540°﹣（∠1+∠2+∠3）．∵，∴∠BAE+∠CBF+∠ACD＝540°﹣180°＝360°．请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2．22．（8分）某景区7月1日﹣7月7日一周天气预报如下，小丽打算选择这期间的一天或两天去该景区旅游，求下列事件的概率：某景区一周天气预报日期天气7月1日晴7月2日晴7月3日雨7月4日阴7月5日晴7月6日晴7月7日阴（1）随机选择一天，恰好天气预报是晴；（2）随机选择连续的两天，恰好天气预报都是晴．23．（8分）如图中的折线ABC表示某汽车的耗油量y（单位：L/km）与速度x（单位：km/h）之间的函数关系（30≤x≤120），已知线段BC表示的函数关系中，该汽车的速度每增加1km/h，耗油量增加0.002L/km．（1）当速度为50km/h、100km/h时，该汽车的耗油量分别为L/km、L/km．（2）求线段AB所表示的y与x之间的函数表达式．（3）速度是多少时，该汽车的耗油量最低？最低是多少？24．（7分）如图，在▱ABCD中，E是AD上一点，延长CE到点F，使∠FBC＝∠DCE．（1）求证：∠D＝∠F；（2）用直尺和圆规在AD上作出一点P，使△BPC∽△CDP（保留作图的痕迹，不写作法）．25．（9分）图中是抛物线拱桥，P处有一照明灯，水面OA宽4m，从O、A两处观测P处，仰角分别为α、β，且tanα=12，tanβ=32，以O为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系．（1）求点P的坐标；（2）水面上升1m，水面宽多少（√2取1.41，结果精确到0.1m）？26．（8分）如图，O 是△ABC 内一点，⊙O 与BC 相交于F 、G 两点，且与AB 、AC 分别相切于点D 、E ，DE ∥BC ，连接DF 、EG ． （1）求证：AB ＝AC ．（2）已知AB ＝10，BC ＝12，求四边形DFGE 是矩形时⊙O 的半径．27．（11分）如图，把函数y ＝x 的图象上各点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变，得到函数y ＝2x 的图象；也可以把函数y ＝x 的图象上各点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝2x 的图象． 类似地，我们可以认识其他函数．（1）把函数y =1x的图象上各点的纵坐标变为原来的 倍，横坐标不变，得到函数y =6x 的图象；也可以把函数y =1x 的图象上各点的横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变，得到函数y =6x的图象．（2）已知下列变化：①向下平移2个单位长度；②向右平移1个单位长度；③向右平移12个单位长度；④纵坐标变为原来的4倍，横坐标不变；⑤横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变；⑥横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变．（Ⅰ）函数y ＝x 2的图象上所有的点经过④→②→①，得到函数 的图象； （Ⅱ）为了得到函数y =−14（x ﹣1）2﹣2的图象，可以把函数y ＝﹣x 2的图象上所有的点 ．A ．①→⑤→③B ．①→⑥→③C ．①→②→⑥D ．①→③→⑥（3）函数y =1x 的图象可以经过怎样的变化得到函数y =−2x+12x+4的图象？（写出一种即可）2016年江苏省南京市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（2分）为了方便市民出行，提倡低碳交通，近几年南京市大力发展公共自行车系统，根据规划，全市公共自行车总量明年将达70000辆，用科学记数法表示70000是（）A．0.7×105B．7×104C．7×105D．70×103【解答】解：70000＝7×104，故选：B．2．（2分）数轴上点A、B表示的数分别是5、﹣3，它们之间的距离可以表示为（）A．﹣3+5B．﹣3﹣5C．|﹣3+5|D．|﹣3﹣5|【解答】解：∵点A、B表示的数分别是5、﹣3，∴它们之间的距离＝|﹣3﹣5|＝8，故选：D．3．（2分）下列计算中，结果是a6的是（）A．a2+a4B．a2•a3C．a12÷a2D．（a2）3【解答】解：∵a2+a4≠a6，∴选项A的结果不是a6；∵a2•a3＝a5，∴选项B的结果不是a6；∵a12÷a2＝a10，∴选项C的结果不是a6；∵（a2）3＝a6，∴选项D的结果是a6．故选：D．4．（2分）下列长度的三条线段能组成钝角三角形的是（）A．3，4，4B．3，4，5C．3，4，6D．3，4，7【解答】解：A、因为32+42＞42，所以三条线段能组锐角三角形，不符合题意；B、因为32+42＝52，所以三条线段能组成直角三角形，不符合题意；C、因为3+4＞6，且32+42＜62，所以三条线段能组成钝角三角形，符合题意；D、因为3+4＝7，所以三条线段不能组成三角形，不符合题意．故选：C．5．（2分）已知正六边形的边长为2，则它的内切圆的半径为（）A．1B．√3C．2D．2√3【解答】解：如图，连接OA、OB，OG；∵六边形ABCDEF是边长为2的正六边形，∴△OAB是等边三角形，∴OA＝AB＝2，∴OG＝OA•sin60°＝2×√32=√3，∴边长为2的正六边形的内切圆的半径为√3．故选：B．6．（2分）若一组数据2，3，4，5，x的方差与另一组数据5，6，7，8，9的方差相等，则x的值为（）A．1B．6C．1或6D．5或6【解答】解：∵一组数据2，3，4，5，x的方差与另一组数据5，6，7，8，9的方差相等，∴这组数据可能是2，3，4，5，6或1，2，3，4，5，∴x＝1或6，故选：C．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7．（2分）化简：√8=2√2；√83=2．【解答】解：√8=√2×4=2√2；√83=2．故答案为：2√2；2．8．（2分）若二次根式√x−1在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≥1．【解答】解：∵式子√x−1在实数范围内有意义，∴x﹣1≥0，解得x≥1．故答案为：x≥1．9．（2分）分解因式：2a（b+c）﹣3（b+c）＝（b+c）（2a﹣3）．【解答】解：原式＝（b+c）（2a﹣3），故答案为：（b+c）（2a﹣3）．10．（2分）比较大小：√5−3＜√5−2 2．【解答】解：∵4＜5＜9，∴2＜√5＜3，∴√5−3＜0，√5−2＞0，∴√5−3＜√5−2 2．故答案为：＜．11．（2分）分式方程1x−2=3x的解是x＝3．【解答】解：去分母得：x＝3（x﹣2），去括号得：x＝3x﹣6，解得：x＝3，经检验x＝3是分式方程的解．故答案为：x＝3．12．（2分）设x1、x2是方程x2﹣4x+m＝0的两个根，且x1+x2﹣x1x2＝1，则x1+x2＝4，m＝3．【解答】解：∵x1、x2是方程x2﹣4x+m＝0的两个根，∴x1+x2=−ba=4，x1x2=c a=m．∵x1+x2﹣x1x2＝4﹣m＝1，∴m＝3．故答案为：4；3．13．（2分）如图，扇形OAB的圆心角为122°，C是AB̂上一点，则∠ACB＝119°．【解答】解：如图所示，在⊙O上取点D，连接AD，BD，∵∠AOB＝122°，∴∠ADB=12∠AOB=12×122°＝61°．∵四边形ADBC是圆内接四边形，∴∠ACB＝180°﹣61°＝119°．故答案为：119．14．（2分）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△ABO≌△ADO．下列结论：①AC⊥BD；②CB＝CD；③△ABC≌△ADC；④DA＝DC．其中所有正确结论的序号是①②③．【解答】解：∵△ABO≌△ADO，∴AB＝AD，∠BAO＝∠DAO，∠AOB＝∠AOD＝90°，OB＝OD，∴AC⊥BD，故①正确；∵四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ， ∴∠COB ＝∠COD ＝90°， 在△ABC 和△ADC 中， {AB =AD∠BAO =∠DAO AC =AC， ∴△ABC ≌△ADC （SAS ），故③正确； ∴BC ＝DC ，故②正确． 故答案为：①②③．15．（2分）如图，AB 、CD 相交于点O ，OC ＝2，OD ＝3，AC ∥BD ，EF 是△ODB 的中位线，且EF ＝2，则AC 的长为83．【解答】解：∵EF 是△ODB 的中位线， ∴DB ＝2EF ＝2×2＝4， ∵AC ∥BD ， ∴△AOC ∽△BOD ， ∴AC DB =OC OD ，即AC 4=23，解得AC =83． 故答案为：83．16．（2分）如图，菱形ABCD 的面积为120cm 2，正方形AECF 的面积为50cm 2，则菱形的边长为 13 cm ．【解答】解：因为正方形AECF 的面积为50cm 2， 所以AC =√2×50=10cm ， 因为菱形ABCD 的面积为120cm 2， 所以BD =2×12010=24cm ， 所以菱形的边长=√(102)2+(242)2=13cm ． 故答案为：13．三、解答题（本大题共11小题，共88分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（7分）解不等式组{3x +1≤2(x +1)−x ＜5x +12，并写出它的整数解．【解答】解：解不等式3x +1≤2（x +1），得：x ≤1， 解不等式﹣x ＜5x +12，得：x ＞﹣2， 则不等式组的解集为：﹣2＜x ≤1， 则不等式组的整数解为﹣1、0、1． 18．（7分）计算a a−1−3a−1a 2−1． 【解答】解：a a−1−3a−1a 2−1=a(a+1)(a+1)(a−1)−3a−1(a+1)(a−1)=(a−1)2(a+1)(a−1)=a−1a+1． 19．（7分）某校九年级有24个班，共1000名学生，他们参加了一次数学测试，学校统计了所有学生的成绩，得到下列统计图．（1）求该校九年级学生本次数学测试成绩的平均数； （2）下列关于本次数学测试说法正确的是 D A ．九年级学生成绩的众数与平均数相等 B ．九年级学生成绩的中位数与平均数相等C ．随机抽取一个班，该班学生成绩的平均数等于九年级学生成绩的平均数D ．随机抽取300名学生，可以用他们成绩的平均数估计九年级学生成绩的平均数【解答】解：（1）根据题意得：（80×1000×60%+82.5×1000×40%）÷1000＝81（分），答：该校九年级学生本次数学测试成绩的平均数是81分；（2）A、根据统计图不能求出九年级学生成绩的众数，故本选项错误；B．根据统计图不能求出九年级学生成绩的中位数，故本选项错误；C．随机抽取一个班，该班学生成绩的平均数不一定等于九年级学生成绩的平均数，故本选项错误；D．随机抽取300名学生，可以用他们成绩的平均数估计九年级学生成绩的平均数，故本选项正确；故选D．20．（8分）我们在学完“平移、轴对称、旋转”三种图形的变化后，可以进行进一步研究，请根据示例图形，完成下表．图形的变化示例图形与对应线段有关的结论与对应点有关的结论平移（1）AB＝A′B′，AB∥A′B′AA′＝BB′AA′∥BB′轴对称（2）AB＝A′B′；对应线段AB和A′B′所在的直线如果相交，交点在对称轴l上．（3）l垂直平分AA′旋转AB ＝A ′B ′；对应线段AB 和A ′B ′所在的直线相交所成的角与旋转角相等或互补．（4） OA ＝OA ′，∠AOA ′＝∠BOB ′【解答】解：（1）平移的性质：平移前后的对应线段相等且平行．所以与对应线段有关的结论为：AB ＝A ′B ′，AB ∥A ′B ′；（2）轴对称的性质：AB ＝A ′B ′；对应线段AB 和A ′B ′所在的直线如果相交，交点在对称轴l 上．（3）轴对称的性质：轴对称图形对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．所以与对应点有关的结论为：l 垂直平分AA ′． （4）OA ＝OA ′，∠AOA ′＝∠BOB ′．故答案为：（1）AB ＝A ′B ′，AB ∥A ′B ′；（2）AB ＝A ′B ′；对应线段AB 和A ′B ′所在的直线如果相交，交点在对称轴l 上．；（3）l 垂直平分AA ′；（4）OA ＝OA ′，∠AOA ′＝∠BOB ′．21．（8分）用两种方法证明“三角形的外角和等于360°”． 如图，∠BAE 、∠CBF 、∠ACD 是△ABC 的三个外角． 求证∠BAE +∠CBF +∠ACD ＝360°． 证法1：∵ 平角等于180° ，∴∠BAE +∠1+∠CBF +∠2+∠ACD +∠3＝180°×3＝540° ∴∠BAE +∠CBF +∠ACD ＝540°﹣（∠1+∠2+∠3）． ∵ ∠1+∠2+∠3＝180° ，∴∠BAE +∠CBF +∠ACD ＝540°﹣180°＝360°． 请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2．【解答】证明：证法1：∵平角等于180°，∴∠BAE +∠1+∠CBF +∠2+∠ACD +∠3＝180°×3＝540°， ∴∠BAE +∠CBF +∠ACD ＝540°﹣（∠1+∠2+∠3）． ∵∠1+∠2+∠3＝180°，∴∠BAE +∠CBF +∠ACD ＝540°﹣180°＝360°．证法2：∵∠BAE ＝∠2+∠3，∠CBF ＝∠1+∠3，∠ACD ＝∠1+∠2， ∴∠BAE +∠CBF +∠ACD ＝2（∠1+∠2+∠3）， ∵∠1+∠2+∠3＝180°，∴∠BAE +∠CBF +∠ACD ＝360°．故答案为：平角等于180°，∠1+∠2+∠3＝180°．22．（8分）某景区7月1日﹣7月7日一周天气预报如下，小丽打算选择这期间的一天或两天去该景区旅游，求下列事件的概率：某景区一周天气预报日期 天气 7月1日 晴 7月2日 晴 7月3日 雨 7月4日 阴 7月5日 晴 7月6日 晴 7月7日阴（1）随机选择一天，恰好天气预报是晴； （2）随机选择连续的两天，恰好天气预报都是晴． 【解答】解：（1）∵天气预报是晴的有4天， ∴随机选择一天，恰好天气预报是晴的概率为：47；（2）∵随机选择连续的两天等可能的结果有：晴晴，晴雨，雨阴，阴晴，晴晴，晴阴， ∴随机选择连续的两天，恰好天气预报都是晴的概率为：26=13．23．（8分）如图中的折线ABC 表示某汽车的耗油量y （单位：L /km ）与速度x （单位：km /h ）之间的函数关系（30≤x ≤120），已知线段BC 表示的函数关系中，该汽车的速度每增加1km /h ，耗油量增加0.002L /km ．（1）当速度为50km /h 、100km /h 时，该汽车的耗油量分别为 0.13 L /km 、 0.14 L /km ． （2）求线段AB 所表示的y 与x 之间的函数表达式． （3）速度是多少时，该汽车的耗油量最低？最低是多少？【解答】解：（1）设AB 的解析式为：y ＝kx +b ， 把（30，0.15）和（60，0.12）代入y ＝kx +b 中得：{30k +b =0.1560k +b =0.12 解得{k =−11000b =0.18∴AB ：y ＝﹣0.001x +0.18，当x ＝50时，y ＝﹣0.001×50+0.18＝0.13，由线段BC 上一点坐标（90，0.12）得：0.12+（100﹣90）×0.002＝0.14， ∴当x ＝100时，y ＝0.14， 故答案为：0.13，0.14；（2）由（1）得：线段AB 的解析式为：y ＝﹣0.001x +0.18；（3）设BC 的解析式为：y ＝kx +b ，把（90，0.12）和（100，0.14）代入y ＝kx +b 中得： {90k +b =0.12100k +b =0.14 解得{k =0.002b =−0.06， ∴BC ：y ＝0.002x ﹣0.06，根据题意得{y =−0.001x +0.18y =0.002x −0.06解得{x =80y =0.1，答：速度是80km /h 时，该汽车的耗油量最低，最低是0.1L /km ．24．（7分）如图，在▱ABCD中，E是AD上一点，延长CE到点F，使∠FBC＝∠DCE．（1）求证：∠D＝∠F；（2）用直尺和圆规在AD上作出一点P，使△BPC∽△CDP（保留作图的痕迹，不写作法）．【解答】（1）证明：BF交AD于G，如图，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴∠FBC＝∠FGE，而∠FBC＝∠DCE，∴∠FGE＝∠DCE，∵∠GEF＝∠DEC，∴∠D＝∠F；（2）解：如图，点P为所作．25．（9分）图中是抛物线拱桥，P处有一照明灯，水面OA宽4m，从O、A两处观测P处，仰角分别为α、β，且tanα=12，tanβ=32，以O为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系．（1）求点P的坐标；（2）水面上升1m，水面宽多少（√2取1.41，结果精确到0.1m）？【解答】解：（1）过点P 作PH ⊥OA 于H ，如图． 设PH ＝3x ， 在Rt △OHP 中， ∵tan α=PHOH =12， ∴OH ＝6x ． 在Rt △AHP 中， ∵tan β=PH AH =32， ∴AH ＝2x ，∴OA ＝OH +AH ＝8x ＝4， ∴x =12，∴OH ＝3，PH =32， ∴点P 的坐标为（3，32）；（2）若水面上升1m 后到达BC 位置，如图，过点O （0，0），A （4，0）的抛物线的解析式可设为y ＝ax （x ﹣4）， ∵P （3，32）在抛物线y ＝ax （x ﹣4）上，∴3a （3﹣4）=32， 解得a =−12，∴抛物线的解析式为y =−12x （x ﹣4）． 当y ＝1时，−12x （x ﹣4）＝1， 解得x 1＝2+√2，x 2＝2−√2，∴BC ＝（2+√2）﹣（2−√2）＝2√2=2×1.41＝2.82≈2.8．答：水面上升1m，水面宽约为2.8米．26．（8分）如图，O是△ABC内一点，⊙O与BC相交于F、G两点，且与AB、AC分别相切于点D、E，DE∥BC，连接DF、EG．（1）求证：AB＝AC．（2）已知AB＝10，BC＝12，求四边形DFGE是矩形时⊙O的半径．【解答】（1）证明：∵AD、AE是⊙O的切线，∴AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC；（2）解：如图，连接AO，交DE于点M，延长AO交BC于点N，连接OE、DG，设⊙O 半径为r，∵四边形DFGE 是矩形，∴∠DFG ＝90°，∴DG 是⊙O 直径，∵⊙O 与AB 、AC 分别相切于点D 、E ，∴OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，∵OD ＝OE ．∴AN 平分∠BAC ，∵AB ＝AC ，∴AN ⊥BC ，BN =12BC ＝6，在Rt △ABN 中，AN =√AB 2−BN 2=√102−62=8，∵OD ⊥AB ，AN ⊥BC ，∴∠ADO ＝∠ANB ＝90°，∵∠OAD ＝∠BAN ，∴△AOD ∽△ABN ，∴OD BN =AD AN ，即r 6=AD 8， ∴AD =43r ，∴BD ＝AB ﹣AD ＝10−43r ，∵OD ⊥AB ，∴∠GDB ＝∠ANB ＝90°，∵∠B ＝∠B ，∴△GBD ∽△ABN ，∴BD BN =GD AN ，即10−43r 6=2r 8， ∴r =6017，∴四边形DFGE 是矩形时⊙O 的半径为6017．27．（11分）如图，把函数y ＝x 的图象上各点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变，得到函数y ＝2x 的图象；也可以把函数y ＝x 的图象上各点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝2x 的图象．类似地，我们可以认识其他函数．（1）把函数y =1x 的图象上各点的纵坐标变为原来的 6 倍，横坐标不变，得到函数y =6x 的图象；也可以把函数y =1x 的图象上各点的横坐标变为原来的 6 倍，纵坐标不变，得到函数y =6x 的图象．（2）已知下列变化：①向下平移2个单位长度；②向右平移1个单位长度；③向右平移12个单位长度；④纵坐标变为原来的4倍，横坐标不变；⑤横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变；⑥横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变．（Ⅰ）函数y ＝x 2的图象上所有的点经过④→②→①，得到函数 y ＝4（x ﹣1）2﹣2 的图象；（Ⅱ）为了得到函数y =−14（x ﹣1）2﹣2的图象，可以把函数y ＝﹣x 2的图象上所有的点 D ．A ．①→⑤→③B ．①→⑥→③C ．①→②→⑥D ．①→③→⑥（3）函数y =1x 的图象可以经过怎样的变化得到函数y =−2x+12x+4的图象？（写出一种即可）【解答】解：（1）把函数y =1x 的图象上各点的纵坐标变为原来的6倍，横坐标不变， 设y ′＝6y ，x ′＝x ，将y =y′6，x ＝x ′代入xy ＝1可得y ′=6x′，得到函数y =6x 的图象； 也可以把函数y =1x 的图象上各点的横坐标变为原来的6倍，纵坐标不变，设y ′＝y ，x ′＝6x ，将y ＝y ′，x =x′6代入xy ＝1可得y ′=6x′，得到函数y =6x 的图象； （2）（Ⅰ）函数y ＝x 2的图象上所有的点经过“纵坐标变为原来的4倍，横坐标不变”的变化后，得到y ＝4x 2的图象；y ＝4x 2的图象经过“向右平移1个单位长度”的变化后，得到y ＝4（x ﹣1）2的图象；y ＝4（x ﹣1）2的图象经过“向下平移2个单位长度”的变化后，得到y ＝4（x ﹣1）2﹣2的图象．（Ⅱ）为了得到函数y =−14（x ﹣1）2﹣2的图象，可以把函数y ＝﹣x 2的图象上所有的点先向下平移2个单位长度，得到y ＝﹣x 2﹣2的图象，再把y ＝﹣x 2﹣2的图象向右平移12个单位长度，得到y ＝﹣（x −12）2﹣2的图象；最后把y ＝﹣（x −12）2﹣2的图象的横坐标变为原来的2倍，得到y ＝﹣（12x −12）2﹣2的图象，即y =−14（x ﹣1）2﹣2的图象．（3）∵y =−2x+12x+4=−2x−4+32x+4=32(x+2)−1， ∴函数y =1x 的图象先将纵坐标变为原来的32倍，横坐标不变，得到y =32x ；再向左平移2个单位，向下平移1个单位即可得到函数y =−2x+12x+4的图象． 故答案为：（1）6，6；（2）（Ⅰ）y ＝4（x ﹣1）2﹣2；（Ⅱ）D ．。
2016年南京市六合区数学一模试题及答案
A
B
A
B
①
②
26．（10 分）已知二次函数 y＝ax2＋bx－3 的图象与 x 轴相交于 A、B 两点，与 y 轴相交于点 C． （1）写出点 C 的坐标； （2）若点 A 坐标为（4，0），且△ABC 为等腰三角形，求点 B 坐标； （3）求出一．条．过（2）中三点且开口向上的抛物线的函数表达式．
B
D
（第 10 题）
（第 14 题）
11．( 1＋ 8 )× 2 ＝ ▲ ． 2
12．若△ABC 的一边为 4，另两边分别满足 x2－5x＋6＝0 的两根，则△ABC 的周长为 ▲ ．
13．用半径为 6cm，圆心角为 120°的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆半径为 ▲ cm．
14．如图，在⊙O 中，CD 是直径，弦 AB⊥CD，垂足为 E，若∠C=15°，AB=6 cm，则⊙O 半径为
（2）统计图正确. ………………………………………………………………… 4 分
tan27°＝0.5，sin50°＝0.77，
cos50°＝0.64，tan50°＝1.2）
C
50° D
27°
E
B
F
G
（第 23 题）
24．（8 分）小明和小刚同时从公园门口出发，散步到公园“雨花亭”．他们离公园门口的距离 y（m）
与小刚行走的时间 x（min）之间的关系如图．请根据图象回答：
（1）小明到达“雨花亭”休息了 ▲ 分钟；
A．3 C．3 10
10
B．1 3
D． 10 10
B
A
C
6．圆心为 P（m，n），半径为 1 的圆与平面直角坐标系的两坐标轴都相交， （第 5 题） 则 m＋n 的值可能是( ▲ )
2016南京六合中考数学一模试题及答案
六合区2016年中考模拟测试(一）数 学注意事项：1．本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上．3．答选择题必须用2B 铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效．4．作图必须用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．一、选择题(本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的,请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置．．．．．．．上) 1．－错误!的相反数是（ ▲ ）2．计算a 2b ·a 的结果是（ ▲ ）3．用4个小立方体搭成如图摆放的几何体,下面视图是几何体主视图的是 （ ▲ )4．如图,在△ABC 中,DE ∥BC ,ADAB＝错误!，则下列结论中正确的是（ ▲ ）5．在正方形网格中，∠BAC 如图所示放置，则cos ∠BAC 等于（ ▲ ）A ．－错误!B ．错误!C ．错误!D ．－23A ．a 3bB ．2a 2bC ．a 2b 2D ．a 2bAB CDA ．错误!＝错误!B ．错误!＝错误!C ．错误!＝错误!D ．错误!＝错误!ECBA（第4题）D（第3题）A CB6．圆心为P （m ，n ），半径为1的圆与平面直角坐标系的两坐标轴都相交, 则m ＋n 的值可能是( ▲ ）二、填空题（本大题共10小题,每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答．题卡相应位置．．．．．．上) 7．9的平方根是 ▲ ,9的算术平方根是 ▲ ． 8．在函数y ＝错误!中，自变量x 的取值范围是 ▲ ．9．2016年4月份某天小明在百度搜索“云课堂"一词进行了解时，出现提示：“百度为您找到相关结果约81 300 000个”，则数据81 300 000用科学记数法表示为： ▲ ． 10．如图，在正六边形ABCDEF 中，连接AE ，DF ，则∠1= ▲ °．11．(错误!＋错误!)×错误!＝ ▲ ．12．若△ABC 的一边为4，另两边分别满足x 2－5x ＋6＝0的两根，则△ABC 的周长为 ▲ ． 13．用半径为6cm ，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆半径为 ▲ cm ． 14．如图，在⊙O 中，CD 是直径，弦AB ⊥CD ，垂足为E ，若∠C=15°，AB =6 cm ，则⊙O 半径为 ▲ cm ．15．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0）中，函数值y 与自变量x 的部分对应值如下表：则关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝－2的根是 ▲ ．16．已知x 、y 都是正实数，且满足x 2＋2xy ＋y 2＋x ＋y －12＝0，则x （1－y ）的最小值为 ▲．三、解答题(本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．（6分）解不等式错误!＋错误!≥1，并把它的解集在数轴上表示出来．A ．3B ．错误!C ．错误!D ．错误!A ．－2B ．2C ．－错误!D ．3（第10题）CA BEFD1（第14题）18。
江苏省南京市 2016年中考数学真题试卷附解析
南京市2016年初中毕业生学业考试数学一．选择题1．(2016·江苏南京)为了方便市民出行．提倡低碳交通，近几年南京市大力发展公共自行车系统．根据规划，全市公共自行车总量明年将达70 000辆．用科学计数法表示70 000是A ．0.7⨯105 B. 7⨯104 C. 7⨯105 D. 70⨯103答案：B考点：本题考查科学记数法。
解析：科学记数的表示形式为10n a ⨯形式，其中1||10a ≤<，n 为整数，70000＝7×104。
故选B 。
2．(2016·江苏南京)数轴上点A 、B 表示的数分别是5、-3，它们之间的距离可以表示为A ．－3＋5 B. －3－5 C. ｜－3＋5｜ D. ｜－3－5｜ 答案：D考点：数轴，数形结合思想。
解析：AB 之间的距离为：｜－3－5｜或｜5－（－3）｜，所以，选D 。
3．(2016·江苏南京)下列计算中，结果是6a 的是A ． B.23a a C . 122a a ÷D.答案：D考点：单项式的运算。
解析：A 中，不是同类项不能相加减；B 中，23a a ＝5a ，故错误，C 中122a a ÷＝12210a a -=，错误。
D 是正确的。
4、(2016·江苏南京)下列长度的三条线段能组成钝角三角形的是A ．3，4，4 B. 3，4，5 C. 3，4，6D. 3，4，7答案：C考点：构成三角形的条件，勾股定理的应用，钝角三角形的判断。
解析：由两边之和大于第三边，可排除D ；由勾股定理：222a b c +=，当最长边比斜边c 更长时，最大角为钝角，即满足222a b c+<，所以，选C。
5．(2016·江苏南京)己知正六边形的边长为2，则它的内切圆的半径为A． B. 3 C. 2 D. 23答案：B考点：正六边形、正三角形的性质，勾股定理。
解析：如下图，由正六边形的性质知，三角形AOB为等边形三角形，所以，OA＝OB＝AB＝2，AC＝1，由勾股定理，得内切圆半径：OC＝36、(2016·江苏南京)若一组数据2,3,4,5,x的方差与另一组数据5,6,7,8,9的方差相等，则x的值为A． B. C. 或6 D. 或答案：C考点：数据的方差，一元二次方程。
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E A F B
H C G
（第 22 题）
23．(9 分) 甲、乙两公司为“见义勇为基金会”各捐款 60000 元，已知乙公司比甲公司人均多捐 40 元，甲公司 的人数比乙公司的人数多 20%． 请你根据以上信息，提出一个用分式方程 解决的问题，并写出解答过程． ．．．．
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
（第 17 题）
18.（6 分） 化简（ x＋2 x－1 x－4 － ）÷ ． x x 2－2x x2－4x＋4
数学试卷
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19． （8 分） 写出下列命题的已知、求证，并完成证明过程． 命题：如果一个三角形的两条边相等，那么这两条边所对的角也相等（简称： “等边对等角” ） ． 已知： ▲ ． A 求证： ▲ ． 证明：
B
C
C D
O A
（第 14 题）
D E
A
（第 15 题）
B
三、解答题（本大题共 11 小题，共 88 分．请在答题卡指定区域 内作答，解答时应写出文字说明、证明过 ．．．．．．． 程或演算步骤） 17． （6 分）
2－x＞0， 2x－1 并把解集在数轴上表示出来． 解不等式组 5x＋1 ＋1≥ ， 2 3
（1）该课外活动小组抽取的样本容量是多少？请补全图中的频数分布直方图． （2）样本中，睡眠时间在哪个范围内的人数最多？这个范围的人数是多少？ （3）设该校有九年级学生 900 名，若合理的睡眠时间范围为 7≤h＜9，你对该校九年级学生的睡眠时间做 怎样的分析、推断？
数学试卷
第 3 页（共 5 页）
22. （8 分） 如图，在四边形 ABCD 中，AD=CD=8，AB=CB=6，点 E、F、G、H 分别是 DA、AB、BC、CD 的中点. （1）求证：四边形 EFGH 是矩形； D （2）若 DA⊥AB，求四边形 EFGH 的面积.．
则该公司全体员工年薪的中位数比众数多 ▲ 万元． 12.已知关于 x 的方程 x2－3x+1＝0 的两个根为 x1、 x2， 则 x1+ x2－x1x2＝ S△ADE 1 3 . 如图，在△ABC 中，DE∥BC，AD＝2BD，则 ＝ S△ABC
▲
．
（第 13 题）
1 5 .如图，在△ABC 中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，BD 平分∠ABC 交 AC 于点 D，则点 D 到 AB 的距 离为 ▲ . 16．如图，抛物线 y＝﹣x2﹣2x＋3 与 x 轴交于点 A、B，把抛物线在 x 轴及其上方的部分记作 C1，将 C1 关于点 B 的中心对称得 C2，C2 与 x 轴交于另一点 C，将 C2 关于点 C 的中心对称得 C3，连接 C1 与 C3 的顶点，则图中阴影部分的面积为 ▲ .
B （第 21 题）
C
20． （8 分） 小明和小红、小兵玩捉迷藏游戏.小红、小兵可以在 A、B、C 三个地点中任意一处藏身，小明去寻找 他们. （1）求小明在 B 处找到小红的概率； （2）求小明在同一地点找到小红和小兵的概率．
21． （8 分） 某校课外活动小组采用简单随机抽样的方法，对本校九年级学生的睡眠时间（单位：h）进行了调查， 并将所得数据整理后绘制出频数分布直方图的一部分（如图）.设图中从左到右前 5 个小组的频率分 别为 0.04，0.08，0.24，0.28，0.24，第 2 小组的频数为 4（每组只含最小值，不含最大值）.
x 9．函数 y＝ 中，自变量 x 的取值范围是 ▲ ． 1－x 10.2016 年春节放假期间，夫子庙游客总数达到 1800000 人，将 1800000 用科学记数法表示为 ▲ ．
数学试卷
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11. 某公司全体员工年薪的具体情况如下表： 年薪/万元 员工数/人 30 1 14 2 9 3 6 4 4 5 3.5 6 3 4 A ▲ ． D B 14． 如图， 在⊙O 的内接五边形 ABCDE 中， ∠B＋∠E = 222° ， 则∠CAD = ▲ ° ． E C
2016 年中考模拟试卷（一） 数 学
注意事项： 1．本试卷共 6 页。全卷满分 120 分。考试时间为 120 分钟。考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上 无效。 2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、 考试证号用 0.5 毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上。 3．答选择题必须用 2B 铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他 答案。 答非选择题必须用 0.5 毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置， 在其他位置答题一律无效。 4．作图必须用 2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。 一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 2 分，共 12 分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合 题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡 相应位置 上） ．．． ．．．． 1．2 的算术平方根是 A．4 2．计算(﹣ab ) 的结果是 A．a3b5 B．﹣a3b5 C．﹣a3b6 D．a3b6 3．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 A．正五边形 B．正方形 C．平行四边形 D．等边三角形
2 3
B． 2
C．－ 2
D．± 2
4．已知反比例函数的图像经过点 P（a，a） ，则这个函数的图像位于 A．第一、三象限 使△ABC≌△DEF 的共有 A．1 组 C．3 组 B．2 组 D．4 组
B C E （第 5 题） F
B．第二、三象限
C．第二、四象限出下列四个条件，AB＝DE，BC＝EF，∠B＝∠E，∠C＝∠F，从中任选三个条件能
A D
6．已知 A(x1，y1)是一次函数 y＝﹣x＋b＋1 图像上一点，若 x1＜0，y1＜0，则 b 的取值范围是 A．b＜0 B．b＞0 C．b＞―1 D．b＜―1
二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡 ．．． 相应位置 上） ．．．． 7．﹣3 的相反数为 ▲ ；﹣3 的倒数为 ▲ ． 8．计算 12－ 1 的结果是 ▲ ． 3