基本不等式： (第一课时)教学设计
《基本不等式(第1课时)》教学设计新
教师学科教案[20-20学年度第一学期]任教学科：______________任教年级：______________任教老师：______________XX市实验学校课题：基本不等式（第1课时）学校：北京市顺义牛栏山第一中学学科：数学姓名：***一、指导思想与理论依据布鲁姆将教育目标划分为认知领域、情感领域和操作领域三个领域，共同构成教育目标体系•认知目标又分类为：记忆、理解、应用、分析、评价、创造，每个层次的要求各不相同，因此教学目标的确定应结合课程内容和学生的实际情况,符合学生的认知规律.学生是课堂中的主体，教学设计一定要从学生的认知水平出发，充分考虑学生的已有经验、学习基础、思维特点，立足于学生的"最近发展区”；用学生的眼光看数学，学生在理解的基础上，由浅入深，由感性到理性地设计问题，才能真正引导和帮助学生思考问题、分析问题和解决问题.同时《高中数学学科德育指导纲要》指出，在高中数学教学中加强德育，对于全面推进素质教育，培养社会主义的建设者和接班人具有重要意义.因此在教学中要关注学生的情感、态度和价值观，渗透德育内容.教学活动是师生积极参与、交流互动、共同发展的过程.有效的数学教学活动是学生学与教师教的统一.《普通高中数学课程标准（实验）》指出：“学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应倡导自主探究、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式……"、“还应注重提高学生的数学思维能力”.本节课从学生的最近发展区出发，通过典型具体例子的分析和学生自主地观察、探索活动，亲身经历、体验发现规律的过程，学会如何去研究问题的方法，体会蕴含在其中的数学思想方法，把数学的学术形态通过适当的方式转化为学生易于接受的教育形态，培养学生交流合作的意识.二、教学背景分析（一）教学内容分析本节课的内容是人教A版《数学（必修5）》第三章3.4基本不等式：J^≤土^的第1课时.“基本不等式”在教学中安排3课时，第1课时的内容是基本不等式的形成、证明及其几何解释，正确把握基本不等式的结构和等号成立的条件；第2课时的内容是能用基本不等式求简单的最值问题，并理解其应用条件“正、定、等”；第3课时的内容是从实际问题中抽象出具体的基本不等式问题，并应用基本不等式处理最值问题，也就是将基本不等式作为处理优化问题的一种模型.基本不等式反映了实数的两种基本运算(即加法和乘法)所引出的大小变化.这一简单朴实、平易近人的本质，恰是这一不等式变化多端、妙用无穷的源头，体现了运算带给数的巨大力量.这一本质不仅可以从不等式的代数结构上得到表现，而且也有几何意义，由此而生发出的问题在训练学生的代数推理能力和几何直观能力上都发挥了良好的作用。
“基本不等式”(第一课时)教案
基本不等式教学设计（第一课时）阮 晓 锋一、教学目标1.知识与技能目标： 学会推证基本不等式，了解基本不等式的应用。
2.过程与方法目标：通过代数、几何背景探究抽象出基本不等式；3．情感与价值目标：通过学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣。
二、教学重点和难点重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索其证明过程； 难点：在几何背景下抽象出基本不等式，并理解基本不等式．三、教学过程：1．设置情景，引入新课如图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标，会标是根据我国古代数学家赵爽的“弦图”设计的，该图给出了迄今为止对勾股定理最早、最简洁的证明。
探究一：在这张“弦图”中借助面积能找出一些相等关系和不等关系吗？问题1：它们有相等的情况吗？何时相等？结论：一般地，对于正实数a 、b ，我们有ab b a 222≥+当且仅当a=b 时等号成立.2．代数证明，推出结论问题2：你能给出它的代数证明吗？（请同学们用代数方法给出这个不等式的证明．）证明（作差法）：∵，当时取等号． （在该过程中，可发现a,b 取值可以是全体实数）问题3：当 a,b 为任意实数时，上式还成立吗？重要不等式：对任意实数a 、b ，我们有ab b a 222≥+（当且仅当a=b 时等号成立）特别地，若a>0且b>0可得ab b a ≥+，即ab b a ≥+2（当且仅当a=b 时等号成立） 基本不等式:若a>0且b>0，则ab b a ≥+2（当且仅当a=b 时等号成立） 深化认识：(1)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.(2)若称2b a +为a 、b 的算术平均数,称ab 为它们的几何平均数，则基本不等式又可叙述为：两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数3．动手操作、几何证明，相见益彰探究二：先将两张正方形纸片沿它们的对角线折成两个等腰直角三角形，再用这两个三角形拼接构造出一个矩形（两边分别等于两个直角三角形的直角边，多余部分折叠）．假设两个正方形的面积分别为a 和b （b a >），考察两个直角三角形的面积与矩形的面积，你能发现一个不等式吗？（通过学生动手操作，探索发现）探究三：如图，AB 是圆O 的直径，点C 是AB 上一点，AC=a ，BC=b ．过点C 作垂直于AB 的弦DE ，连接AD 、BD ．根据射影定理可得：ab BC AC CD =⨯=由于RtCOD 中斜边OD 大于直角边CD ，于是有ab b a ≥+2当且仅当点C 与圆心O 重合时，即a=b 时等号成立. （进一步加强数形结合的意识，提升思维的灵活性）4．应用举例，巩固新知例1.（1）用篱笆围一个面积为100平方米的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？（2）一段长为36米的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？（通过例1的讲析，总结归纳利用基本不等式求最值问题的特征,实现积与和的转化） 方法：一般地，对于R y x +∈,我们有：（1）若xy=p （p 为定值），则当且仅当a=b 时，x+y 有最小值xy 2； （2）若x+y=s （s 为定值），则当且仅当a=b 时，xy 有最大值2s 41． 上述应用基本不等式求最值的方法可简记为：在“一证、二定、三相等”的前提下有“积定和最小，和定积最大”。
人教版基本不等式第一课时教案
人教版基本不等式第一课时教案教案标题：人教版基本不等式第一课时教案教学目标：1. 理解基本不等式的概念和性质；2. 掌握基本不等式的求解方法；3. 能够应用基本不等式解决实际问题。
教学准备：1. 教材：人教版数学教材（适用于相应年级）；2. 教具：黑板、白板、彩色粉笔/白板笔、教学PPT等；3. 学具：学生练习册、作业本。
教学过程：Step 1：导入新知1. 引入话题：通过提问和展示相关图片，激发学生对不等式的认识和兴趣。
例如：“你们知道什么是不等式吗？有哪些常见的不等式符号？不等式在我们日常生活中有什么应用呢？”2. 引导学生回顾和总结不等式的定义和符号。
Step 2：概念讲解1. 通过教材或PPT，向学生介绍基本不等式的概念和性质。
解释基本不等式的含义，以及不等式中的变量、系数和常数的含义。
2. 通过示例和图示，说明不等式中的“大于”、“小于”、“大于等于”、“小于等于”等符号的意义及其在数轴上的表示。
Step 3：解题方法讲解1. 以教材中的例题为基础，讲解基本不等式的求解方法。
包括移项、合并同类项、乘除法的运用等。
2. 强调解不等式时需要注意符号方向的改变和取值范围的确定。
Step 4：练习与巩固1. 在黑板/白板上出示一些简单的基本不等式题目，引导学生积极参与讨论，解答问题。
2. 分发学生练习册或作业本，让学生进行个人或小组练习，巩固所学的基本不等式求解方法。
3. 随堂检测：布置一些简单的应用题，要求学生运用所学的基本不等式解决实际问题。
Step 5：拓展与应用1. 引导学生思考和讨论基本不等式在实际问题中的应用。
例如，通过一些生活场景，让学生发现并解决不等式问题，如购物打折、体重控制等。
2. 鼓励学生根据自己的兴趣和实际情况，设计一些有趣的不等式问题，并与同学分享。
Step 6：课堂总结1. 对本节课的重点内容进行总结，强调基本不等式的概念、性质和求解方法。
2. 鼓励学生提问和解答疑惑，确保学生对基本不等式的理解和掌握。
基本不等式教案第一课时
课题: §3.42a b+≤第1课时授课类型：新授课【学习目标】1．知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等； 2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；3．情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣【能力培养】培养学生严谨、规范的学习能力，辩证地分析问题的能力，学以致用的能力，分析问题、解决问题的能力。
【教学重点】2a b+≤的证明过程； 【教学难点】2a b+≤等号成立条件 【板书设计】【教学过程】1.课题导入2a b+≤的几何背景： 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。
你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。
2.讲授新课1．问题探究——探究图形中的不等关系。
将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD 中右个全等的直角三角形。
设直角三角形的两条直角边长为a,b 4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形的面积为22a b +。
由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：222a b ab +≥。
当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有222a b ab +=。
2．总结结论：一般的，如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a3．思考证明：你能给出它的证明吗？证明：因为 222)(2b a ab b a -=-+当22,()0,,()0,a b a b a b a b ≠->=-=时当时所以，0)(2≥-b a ，即.2)(22ab b a ≥+4．1）从几何图形的面积关系认识基本不等式2a b+≤特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a 、b ，可得a b +≥，(a>0,b>0)2a b+≤2）2a b+ 用分析法证明：要证2a b+≥只要证 a+b ≥ (2) 要证（2），只要证 a+b- ≥0 （3） 要证（3），只要证 （ - ）2（4） 显然，（4）是成立的。
【教学设计】基本不等式
《基本不等式（第一课时）》教学设计一、教学目标1．通过两个探究实例，引导学生从几何图形中获得两个基本不等式，了解基本不等式的几何背景，体会数形结合的思想；2．进一步提炼、完善基本不等式，并从代数角度给出不等式的证明，组织学生分析证明方法，加深对基本不等式的认识，提高逻辑推理论证能力；3．结合课本的探究图形，引导学生进一步探究基本不等式的几何解释，强化数形结合的思想；4．借助例1尝试用基本不等式解决简单的最值问题，通过例2及其变式引导学生领会运用基本不等式的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值中的作用，提升解决问题的能力，体会方法与策略．以上教学目标结合了教学实际，将知识与能力、过程与方法、情感态度价值观的三维目标融入各个教学环节．二、教学重点和难点重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索不等式的证明过程；难点：在几何背景下抽象出基本不等式，并理解基本不等式．三、教学过程：1．动手操作，几何引入如图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标，会标是根据我国古代数学家赵爽的“弦图”设计的，该图给出了迄今为止对勾股定理最早、最简洁的证明，体现了以形证数、形数统一、代数和几何是紧密结合、互不可分的．在这张“弦图”中能找出一些相等关系和不等关系吗？在正方形中有4个全等的直角三角形．设直角三角形两条直角边长为，那么正方形的边长为．于是，4个直角三角形的面积之和，正方形的面积．由图可知，即．2．代数证明，得出结论根据上述两个几何背景，初步形成不等式结论：若，则．学生探讨等号取到情况，使学生直观感受不等关系中的相等条件，从而进一步完善不等式结论：（1）若，则；请同学们用代数方法给出这两个不等式的证明．证法一（作差法）：，当时取等号．（在该过程中，可发现的取值可以是全体实数）证法二：分析法。
略。
为基本不等式分析法证明做好铺垫。
引领学生通过代换得到基本不等式:若，则（当且仅当时，等号成立）证法一（作差法）略。
基本不等式(第1课时)教学设计
第二章一元二次函数、方程和不等式2.2 基本不等式(第1课时）教学设计一、教材分析《基本不等式》在数学第一册第二章第2节，本节课的内容是基本不等式的形式以及推导和证明过程。
本章一直在研究不等式的相关问题，对于本节课的知识点有了很好的铺垫作用。
同时本节课的内容也是之后基本不等式应用的必要基础。
二、教学目标与核心素养课程目标1.掌握基本不等式的形式以及推导过程，会用基本不等式解决简单问题。
2.经历基本不等式的推导与证明过程，提升逻辑推理能力。
3.在猜想论证的过程中，体会数学的严谨性。
数学学科素养1.数学抽象：基本不等式的形式以及推导过程；2.逻辑推理：基本不等式的证明；3.数学运算：利用基本不等式求最值4.数据分析：利用基本不等式解决实际问题;5.数学建模：利用函数的思想和基本不等式解决实际问题，提升学生的逻辑推理能力。
重点：基本不等式的形成以及推导过程和利用基本不等式求最值；难点：基本不等式的推导以及证明过程.三、教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
四、教学工具：多媒体，交互式电子白板。
五、教学过程（一）引言师：前面我们类比等式的性质研究了不等式的性质及其证明和应用，今天我们来学习一个具体的不等式—基本不等式。
（插入中小学智慧平台）师：我门知道，乘法公式在代数式的运算中有着重要的作用，是否也存在一些不等式，在解军决不等问题时，有着与乘法公式类似的重要作用呢？下面我们就来共同研究这个问题。
其实在不等式里，数学家们也总结了一大堆常用的公式。
今天，我们就来学习最简单，也最常出现的一个不等式，叫作基本不等式。
（展示中小学智慧平台学习任务单）（二）新课探究1、引出基本不等式师：什么是基本不等式呢？大家先来看一个在小学时就学过的一条几何性质：在一组周长相等的矩形形中，正方形的面积最大。
比如，一个长方形的边长为分别为5和3，正方形的边长为4，它们的周长都是16，此时它们的面积呢？S长=15，S正=16。
基本不等式教学设计
基本不等式(第一课时)一. 教学目标知识目标:掌握两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数的定理，初步学会运用定理解题.能力目标:培养学生观察、试验、归纳、判断、猜想等思维能力.情感目标:培养学生严谨求实的科学态度，体会数与形的和谐统一，领略数学的应用价值，激发学生的学习兴趣.二.重点难点重点:几何平均数不大于它们的算术平均数的定理;难点:基本不等式的内涵及几何意义的挖掘.三.教学过程（一）创设意境，引出课题实验室中，某同学想用两臂不一样长的天平称量物体的质量，他寻思着，放在左右两边称一个称重了，一个称轻了.于是，他把物体放在左右两盘中各称一次，再把所得的结果平均一下，以其结果作为物体的质量.问：你认为这种称量方法是否正确？问：在两臂不一样长的情况下，你能不能将物体的质量表示出来？如果已知天平的两臂长分别为1l ，2l ，两次称量的结果分别为a ，b .物体的实际重量应该是多少？ 师：那么，要说明该同学的方法是不对的，就是要比较ab 与2b a +的大小关系这样一个数学问题！这就是我们本节课要研究的重点.【设计意图】：创设生活中真实有意义的情景，让学生感受到数学源于生活，体现了数学生活化，激发学生的数学学习兴趣.（二）分析解剖，特例探路师：我们先来分析一下这个式子.若0<a ，0<b ，显然2b a ab +>. 若0<ab ，ab 无意义.若a ，b 至少有一个为零，也容易判断.因此，只需要探讨当0>a ，0>b ，ab 与2b a +的大小关系. 问：同学们能不能猜一猜，ab 与2b a +谁大谁小？你是怎么猜的？ 师：他是通过取了几个特殊值发现ab b a ≥+2的，老师觉得非常好，我们可以通过取特殊值对我们的结论进行探路.那么，他这个结论到底正不正确呢？我们还需要进行严格的证明.【设计意图】：让学生体会到特殊值可以帮助猜想结论，但是不能用于证明.培养学生探究数学结论的意识，掌握探究的方法.（三）推证猜想，形成结论问：如何证明上述结论呢？比较两个数的大小有哪些方法？证明：0>a ，0>b 22)()(222ab b a ab b a -+=-+ 2)(2b a -= 0≥当且仅当b a =时，ab b a =+2成立. 基本不等式：若0>a ，0>b ，那么ab b a ≥+2，当且仅当b a =时，ab b a =+2成立.（称ab 为a ，b 的几何平均数；称2b a +为a ，b 的算术平均数.它联通了算术平均数与几何平均数的关系，因此把这个不等式称为基本不等式.）拓展：若用2a ，2b 分别代替a ，b ，又有ab b a 222≥+，当且仅当b a =时，ab b a 222=+成立.重要不等式：若R a ∈，R b ∈，，那么ab b a 222≥+，当且仅当b a =时，ab b a 222=+成立.【设计意图】：通过严谨的证明，让学生掌握基本不等式的内容，进一步巩固比较两个数大小的方法.对基本不等式内涵的揭示，让学生掌握数学学习的本质.（四）数形结合，相见益彰探究：如图的圆O 中：AB 为圆的直径，点C 是AB 上一点，a AC =，b BC =，过点C 作垂直于AB 的弦'DD ，连接AD 、BD .利用图形，给出基本不等式的几何解释.【设计意图】：渗透数形结合思想，引导学生善于捕捉的暗示信息，从多方位、多角度去理解并掌握所学知识，提升思维的灵活性.（五）例题示范，学会应用例1:已知1=xy 且0>x ，0>y ，求y x +的最小值.变式1：求函数x x y 1+=(0>x )的最小值.变式2：求函数x x y 1+=(0<x )的最大值.变式3：已知2>x ，求函数21-+=x x y 的最小值. 变式4：已知2>x ，不等式a x x ≥-+21恒成立，则实数a 的范围_______.师：题后小结.例2.已知0>x ，0>y ，且2=+y x ，求xy 的最大值.变式1：已知20<<x ，求函数)2(x x y -=的最大值.变式2：已知320<<x ，求函数)32(x x y -=的最大值.师：题后小结.【设计意图】：让学生初步学会运用基本不等式并注意基本不等式适用范围及等号成立的条件.（六）归纳小结，反思提高问：①通过本节课的学习，你学到了什么知识？②在解决问题的基础上，你掌握了哪些探求问题的方法和数学思想方法？【设计意图】：先由学生小结，再在不当之处由教师点评，有利于学生构建自 己的知识体系，形成知识的正向迁移.（七）布置作业，分层对待.书面作业：P114 习题3.4：A 组1弹性作业：是否还有其他证明不等式ab b a ≥+2（0>a ，0>b ）和ab b a 222≥+方法和几何解释？【设计意图】：作业分必做的书面作业和选做的弹性作业，弹性作业供学有余力的学生思考，使他们有提高发展的空间.。
高中数学_基本不等式(第一课时)教学设计学情分析教材分析课后反思
《基本不等式》教学设计一、教学目标1.知识与技能：了解基本不等式的几何背景，探索基本不等式的证明过程，会用基本不等式解决简单最大（小）值问题。
2.过程与方法：进一步让学生探究不等式的代数证明，加深对基本不等式的理解和认识，提高学生逻辑推理的能力和严谨的思维方式。
3.情感态度与价值观：培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力，培养学生形成数形结合的思想意识。
二、教学重难点1.教学重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明过程，基本不等式在实际问题中的应用。
2.教学难点：用基本不等式求最大值和最小值。
三、教材分析最新版教材之所以把“基本不等式”前置是经过了学习的重要性与可能性两方面的综合考量。
相比旧教材，“基本不等式”的教材地位与教学要求都发生的变化，由于“基本不等式”本身内涵非常丰富，其学习过程不可能一蹴而就，“反复认知，螺旋上升”才是课堂教学的有效策略。
四、学情分析本节课针对的是高一年级学生，知识上，刚系统学完了不等式性质，一元二次不等式，在初中阶段，也了解了数学家赵爽“弦图”推出勾股定理，圆的垂径定理，算数平均数、几何平均数。
方法上，能够运用数形结合和化归的思想提炼基本不等式，阐述基本不等式的几何意义。
能力上，运用作差法，综合法能从数量关系上进行逻辑推理验证基本不等式。
五、教学方法1、借助“折纸游戏”，从特殊到一般的猜想，发现基本不等式（数学抽象、直观想象）。
2、探索基本不等式的证明过程，会用作差比较法、综合法，分析法，证明基本不等式（逻辑推理、数学运算、直观想象）。
3、从不同角度理解基本不等式（直观想象）。
4、感知与基本不等式相近一些不等式的证明（逻辑推理、数学运算）。
学生：消去了教师：得到定值学生：2教师：当且仅当学生：x x 1=时等号成立 教师：这时我们得到的是学生：最小值2教师：好的，我们类比这道例题完成三个变式，这里请三位同学上来板书变式1：已知0>x ，求x x 12+的最小值. 变式2：已知0<x ，求x x 1+的最大值. 变式3：已知1>x ，求11-+x x 的最小值. 教师：我们看变式3，如果4>x 时，最值还是这个答案吗 学生：不是教师：原因是什么学生：当且仅当的相等教师：所以我们运用基本不等式求最值的条件可以总结为 学生：一正、二定、三相等教师：观察我们例1和变式，我们发现在利用基本不等式后两正数之积为定值，这时我们能求出两正数之和的最小值，那么我们是否可以得到结论：能力，灵活运用已学知识，体会证明的答题过程《基本不等式》学情分析本节课针对的是高一年级学生，知识上，刚系统学完了不等式性质，一元二次不等式，在初中阶段，也了解了数学家赵爽“弦图”推出勾股定理，圆的垂径定理，算数平均数、几何平均数。
基本不等式第一课时教案
基本不等式第一课时教案开课教师：章建明 2009-4-3一．教学目标： 知识与技能：使学生了解基本不等式的代数、几何背景，掌握基本不等式的证明，并能应用基本不等式解决简单的数学问题。
过程与方法：通过探索基本不等式的过程，让学生体会研究数学问题的基本思想方法，学会学习，学会探究。
情感态度与价值观：在探索过程中，鼓励学生大胆尝试，大胆猜想，并能对猜想进行证明，增强学生的信心，获得探索问题的成功情感体验。
逐步养成学生严谨的科学态度及良好的思维习惯。
二．教学重点：应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式2a b+≤的证明过程；三．教学难点:2a b+≤等号成立条件。
四．教学过程：（一）、问题情境把一个物体放在天平的盘子上，在另一个盘子上放砝码使天平平衡，称得物体的质量为a ，如果天平制造得不精确，天平的两臂长略有不同（其他因素不计），那么a 并非物体的重量。
不过，我们可作第二次测量：把物体调换到天平的另一个盘子上，此时称得物体的质量为b 。
问题1、你能猜测出物体的质量吗？（二）、数学活动问题2、把两次称得的物体的质量“平均”一下作为物体的质量，是否合理？问题3、能否根据力学原理推得物体的真实质量？问题4、2a b+1.学生活动（举例）2.多媒体演示课件。
猜想：ab ba ≥+2问题5：如何证明上面的猜想？你有什么方法？问题6：上式中等号何时成立？回顾情境，两种测量方式哪种较好？（三）、数学建构1、算术平均数与几何平均数：对于正数b a ,，称2ba +为a 、b 的算术平均数，称ab 为a 、b 的几何平均数，2、基本不等式：对于任意正数a 、b ，有ab ba ≥+2，当且仅当a b =时等号成立.3、说明：（1）基本不等式文字语言描述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
（2）基本不等式成立的条件是： a ≥0，b ≥0.（3）当且仅当a b =时，取“=”的含义：当a b =时，有ab ba =+2；当ab b a =+2时，有a b =。
第1课时 基本不等式教学设计-2022-2023学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
2.2 第1课时 基本不等式[教学目标] 1.理解基本不等式的内容及证明；2.能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小；3.能初步运用基本不等式证明简单的不等式． [教学重点] 基本不等式的内容及证明． [教学难点] 运用基本不等式证明简单的不等式．【要点整合】知识点 两个不等式1．重要不等式：∀a ，b ∈R ，有a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．2．基本不等式：如果a ，b ∈R ＋，那么ab ≤a ＋b 2，当且仅当a ＝b 时，等号成立．其中a ＋b2叫做正数a ，b 的算术平均数，ab 叫做正数a ，b 的几何平均数．所以两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． [答一答]1．下面是基本不等式ab ≤a ＋b2的一种几何解释，请你补充完整． 如图所示，AB 为⊙O 的直径，AC ＝a ，CB ＝b ，过点C 作CD ⊥AB 交⊙O 上半圆于D ，连接OD ，AD ，BD .(1)由射影定理可知，CD ＝ab ，而OD ＝a ＋b2；(2)因为OD ≥CD ，所以a ＋b2≥ab C 与O 重合，即a ＝b 时，等号成立；(3)基本不等式ab ≤a ＋b2的几何意义是半径不小于半弦．2．不等式a 2＋b 2≥2ab 和基本不等式ab ≤a ＋b2成立的条件有什么不同？提示：不等式a 2＋b 2≥2ab 对任意实数a ，b 都成立；ab ≤a ＋b2中要求a ，b 都是正实数．3．(1)基本不等式中的a ，b 可以是代数式吗？ (2)a ＋b 2≥ab 与⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≥ab 是等价的吗？提示：(1)可以．但代数式的值必须是正数，否则不成立． (2)不等价，前者条件是a >0，b >0，后者是a ，b ∈R .【典例讲练】类型一 用基本不等式比较大小[例1] 若0<a <1,0<b <1，且a ≠b ，试找出a ＋b ，a 2＋b 2,2ab ，2ab 中的最大者． [解] ∵0<a <1,0<b <1，且a ≠b ，∴a ＋b >2ab ，a 2＋b 2>2ab ，∴四个数中最大的应从a ＋b ，a 2＋b 2中选择． 而a 2＋b 2－(a ＋b )＝a (a －1)＋b (b －1)， ∵0<a <1,0<b <1，∴a (a －1)<0，b (b －1)<0，∴a 2＋b 2－(a ＋b )<0，即a 2＋b 2<a ＋b ，∴a ＋b 最大． [通法提炼]利用基本不等式比较实数大小的注意事项(1)利用基本不等式比较大小，常常要注意观察其形式(和与积)，同时要注意结合函数的性质. (2)利用基本不等式时，一定要注意条件是否满足a >0，b >0.[变式训练1] (1)已知a ，b ∈R ，且ab >0，则下列结论恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2abD.b a ＋a b≥2 【解析】对于A ，当a ＝b 时，a 2＋b 2＝2ab ，所以A 错误；对于B ，C ，ab >0只能说明a ，b 同号，当a ，b 都小于0时，B ，C 错误；对于D ，因为ab >0，所以b a >0，a b >0，所以b a ＋ab ≥2b a ·ab，即b a ＋ab ≥2成立． 【答案】D(2)已知a ，b 是不相等的正数，x ＝a ＋b2，y ＝a ＋b ，试比较x ，y 的大小． 解：a ，b 是不相等的正数，由x ＝a ＋b 2得x 2＝a ＋b ＋2ab 2<a ＋b ＋a ＋b2＝a ＋b ，又∵y ＝a ＋b ，即y 2＝a ＋b ，∴x 2<y 2，即x <y . 类型二 用基本不等式证明不等式[例2] (1)已知a ，b ，c 为不全相等的正实数，求证：a ＋b ＋c >ab ＋bc ＋ca . (2)已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1≥8. [证明] (1)∵a >0，b >0，c >0，∴a ＋b ≥2ab >0，b ＋c ≥2bc >0，c ＋a ≥2ca >0.∴2(a ＋b ＋c )≥2(ab ＋bc ＋ca )， 即a ＋b ＋c ≥ab ＋bc ＋ca .由于a ，b ，c 为不全相等的正实数，故等号不成立． ∴a ＋b ＋c >ab ＋bc ＋ca .(2)∵a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，∴1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ≥2bc a ，同理1b －1≥2ac b ，1c －1≥2abc. 由上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1≥2bc a ·2ac b ·2ab c ＝8. 当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立．[通法提炼]利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项1．利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式中必须有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，从而达到放缩的效果． 2．注意多次运用基本不等式时等号能否取到．3．解题时要注意技巧，当不能直接利用基本不等式时，可将原不等式进行组合、构造，以满足能使用基本不等式的形式．[变式训练2] 已知a ，b ，c 为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明：1a ＋1b ＋1c ≥9.证明：1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c＝3＋(b a ＋a b )＋(c a ＋a c )＋(c b ＋bc )≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立．【课堂达标】1．给出下列条件：①ab >0；②ab <0；③a >0，b >0；④a <0，b <0，其中能使b a ＋ab ≥2成立的条件有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】当b a ，a b 均为正数时，b a ＋ab ≥2，故只须a 、b 同号即可．所以①③④均可以．【答案】C2．已知x >0，y >0，且2x ＋1y ＝1，若x ＋2y >m 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．{m |m <6}B ．{m |m ≤6}C ．{m |m ≤8}D ．{m |m <8}【解析】本题考查基本不等式的应用．x ＋2y ＝(x ＋2y )·⎝⎛⎭⎫2x ＋1y ＝4＋4y x ＋xy ≥4＋24＝8(当且仅当4y x ＝xy ，即x ＝4，y ＝2时等号成立)，所以x ＋2y >m 恒成立，只需(x ＋2y )min >m .所以m <8.故选D.【答案】D3．设b >a >0，且a ＋b ＝1，则四个数12，2ab ，a 2＋b 2，b 中最大的是( )A ．bB ．a 2＋b 2C ．2abD.12【解析】因为b >a >0，所以a 2＋b 2>2ab .又因为a ＋b ＝1，所以b >12.又b ＝b (b ＋a )＝b 2＋ab >b 2＋a 2，所以b 最大，故选A. 【答案】A4．若a >0，b >0，a ＋b ＝2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是 (写出所有正确命题的序号)．①ab ≤1；②a ＋b ≤2；③a 2＋b 2≥2；④a 3＋b 3≥3；⑤1a ＋1b ≥2.【解析】因为a >0，b >0，a ＋b ＝2，所以ab ≤(a ＋b 2)2＝1，所以①恒成立；a ＋b ≤2(a )2＋(b )22＝2，所以②不恒成立； a 2＋b 2≥(a ＋b )22＝2，所以③恒成立； 当a ＝b ＝1时，a 3＋b 3＝2<3，所以④不恒成立； 1a ＋1b ＝12(a ＋b )(1a ＋1b )＝12(2＋a b ＋ba )≥2，所以⑤恒成立． 【答案】①③⑤ 5．已知x ，y 都是正数． 求证：(1)y x ＋xy≥2；(2)(x ＋y )(x 2＋y 2)(x 3＋y 3)≥8x 3y 3.证明：(1)∵x ，y 都是正数，∴x y >0，yx >0，∴y x ＋xy≥2y x ·x y ＝2，即y x ＋xy≥2， 当且仅当x ＝y 时，等号成立． (2)∵x ，y 都是正数，∴x ＋y ≥2xy >0， x 2＋y 2≥2x 2y 2>0，x 3＋y 3≥2x 3y 3>0.∴(x ＋y )(x 2＋y 2)(x 3＋y 3)≥2xy ·2x 2y 2·2x 3y 3＝8x 3y 3，即(x ＋y )(x 2＋y 2)(x 3＋y 3)≥8x 3y 3，当且仅当x ＝y 时，等号成立．【课堂小结】本课须掌握的两大问题1．两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 都是带有等号的不等式，对于“当且仅当…时，取‘＝’”这句话的含义要有正确的理解．一方面：当a ＝b 时，a ＋b 2＝ab ；另一方面：当a ＋b2＝ab 时，也有a ＝b .2．在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理的拆成两项或多项或把恒等式变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式．。
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教材：人教版必修5 课题：2
a b +≤
(第一课时)
单位：宁德市东侨实验学校 作者：黄辉
二00八年二月十九日
教学设计
宁德市东侨实验学校
黄辉
2
a b
+(第一课时) 教学目标：1、使学生了解基本不等式及其证明
2、让学生感知与基本不等式相近的一些不等式的证明与几何背景。
3、让学生初步了解用分析法证明不等式，培养学生分析问题能力与逻辑思维能力
4、培养学生的探究能力及灌输问题教学法
重、难点：重点：理解掌握基本不等式，并能说明基本不等式的意义 难点：利用基本不等式推导一些与其相似的不等式 教材分析：本节课是必修5第3章第4节的内容，内容安排在实数的性质与不等式性质之后，所以对于不等式的证明不存在太大难度。
本节课内容的应用又十分广泛，因此引导学生学习好本节内容显得十分重要。
学生情况分析：授课的班级学生程度较高，基础较好，学习的知识结构较为合理。
因此设计时也注重对探究能力的培养，同时也注意对基本不等式的应用教学。
总体设计说明：1、本节课的教学设计是以学生的探究学习为主，通过问题教学法不断提高学生的探究能力。
同时，教师只作适当的引导，充分体现学生的主体地位。
2、本节课的问题设计由浅入深，由基础到重点，使学生既感到顺理成章，又了解知识的来龙去脉。
对不等式的几何解释，又为后续的教学做好准备。