“зx∈R,ax 2-2ax+3≤0”是命题吗？

３４　福建中学数学　２０１２年第４期　
标与方程系数之间的关系．所以无需解方程，直接　利用根与系数的关系就可以求出．ｊ｝的值，即　上’．　，＇　’，，　１　半＝　＝２，解得ｋ＝一１或ｋ＝　１，经检验知　三　Ｋ　ｋ＝一１满足题目要求，解答完毕，学生们脸上露出了　满意的笑容．是呀，“忍一时风平浪静，退一步海阔　天空”，没想到妇孺皆知的道理也可以用到数学学习　中．所以说，有时候教师的几句话却能带给学生不　一样的情感和人格教育，让我想起了赞科夫的一句　话，“教学法一旦触及学生的情绪和意志领域、触及　精神需求，这种教学法就会发挥高度有效地作用”，　所以教师要重视在教学过程中开发学生的积极情感　因素．　案例２在学习了“系统抽样”后，笔者设计这　样的作业：估计一下我们年段经常做家务、偶尔做　家务、从不做家务，家长要求才做家务的同学分布　情况．做完这个作业，学生就会认识到应该尊重和　孝敬父母，主动承担家务的责任．在学习了　用样　
本估计总体　后，笔者设计这样的家庭作业：“如果　
在刷牙时不关水龙头会浪费５杯水，那么一个班级　
一
天会浪费多少水，进而估算整个学校浪费多少水”，　
在估算中不仅培养了数感，而且用数字教育了同学　
要节约用水的意识．这些都是数学老师对德育举手　
之劳的贡献，无需更多语言，只需将其无声无息、　
隐而不露地渗透在教学中，便可收到不错的效果．　
总之，在数学教学中，教师应该结合生活实际，　
抓住典型事例，教给学生思考方法，结合学生思想　
实际和知识的接受能力，点点滴滴，有机渗透，潜　
移默化，让学生真正体会到数学学习的趣味性和实　
用性，只要教师做到“渗透有心，渗透得法”，就可以　
达到德育、智育的双重教育目的，达到“随风潜入夜，　
润物细无声”的境界．　

“３ｘ∈Ｒ，ａｘ　一２ａｘ＋３　ｏ’’是命题吗？　
袁守义　江苏省常州市第一中学（２１３００３）　
前不久，笔者所在的年级备课组统一布置的作　
业上有这样一道填空题：若命题“３ｘ　Ｒ，　ａｘ　一２ａｘ＋３　０”是假命题，则实数ａ的取值范围　是——．　大多数学生和教师都认同以下的解法（不妨叫方　法１）和结果．　解问题“若命题‘３ｘ∈Ｒ，ａｘ　一２ａｘ＋３　０’是假　命题，求实数ａ的取值范围”，等价于“已知不等式　ａｘ　一２ａｘ＋３＞０对任意Ｘ∈Ｒ恒成立，求实数ａ的取　值范围”．　于是有　＝０或｛　２　）　一１２口＜０，　从而得到结果为：０≤ａ＜３．　但是每个班级中也有一部分学生给出的结果为　ａ∈Ｒ，问其理由，几乎得到同样的解释（方法２）：　取Ｘ＝２，此时得到３　０，而“３≤０”显然是一假命题，　也就是说，不管ａ取什么实数，总存在实数ｘ＝２，　使命题ａｘ　一２ａｘ＋３　０为假命题，所以ａ∈Ｒ．　碰到这样的问题，有些教师感到无法解释，最　后认为此题本身有问题，理由是不等式“ａｘ　一２ａｘ＋３　０”中有两个变量，从而不能判断“３ｘ∈Ｒ，ａｘ　一２ａｘ　＋３　０”的真假，所以“３ｘ∈Ｒ，ａｘ　一２ａｘ＋３　０”不是　
命题，既然不是命题，又何来“假命题”之说，所以题　
目有问题．题目有问题，结果多样化也就不足为奇　
了．　
这样的解释显然不能让大多数学生满意．我们　
知道，能够判断真假的语句叫命题．在数学中，含　
有变量的语句一般不是命题，如“Ｘ＞３”、“Ｘ　一２ｘ一　
３＜０”、“Ｘ＋２ｙ＝０”等都不是命题，因为无法判断它　
们的真假，这些语句习惯上被称为开语句．虽然开　
语句不是命题，但在开语句前面加上约束变量的量　
词，那么就成为一个命题了，如“３ｘ∈Ｒ，Ｘ　一２ｘ一３　
＜０”是真命题，而“Ｖｘ∈Ｒ，　一２ｘ一３≥０”是假命题．　
在本题中，由于不等式“ａｘ　一２ａｘ＋３≤０”中有两　
个变量，从而只约束一个变量依然不能判断“３ｘ∈Ｒ，　
ａｘ　一２ａｘ＋３　０”的真假，所以若问“３ｘ∈Ｒ，　
ａｘ　一２ａｘ＋３≤０”是否为命题时，答案应是唯一的一　
它不是命题．　
但笔者认为，在本题中，　和ａ两个量不都是变　
量，其中ａ是常数．我们可以这样理解，比如当ａ＝１　
２０１２年第４期　福建中学数学　３５　
时，“３ｘ∈Ｒ，ａｘ　一２ａｘ＋３　０”就成为“３ｘ∈Ｒ，　一　
２　＋３　０”，它显然是一个命题，而且是一个假命题；　再比如当口＝３时，“３ｘ∈Ｒ，　一２ａｘ＋３　０”就成为　“３ｘ∈Ｒ，　３ｘ　一６ｘ＋３　０”，即“３ｘ∈Ｒ，Ｘ　一２ｘ＋１　０”，它显然也是一个命题，而且是真命题．所以　本题的本意就是要求常数ａ的取值范围，使“３ｘ∈Ｒ，　ａｘ　一２ａｘ＋３≤０”成为命题，而且是假命题，或者说，　当“３ｘ∈Ｒ，似　一２ａｘ＋３　０”是命题而且是假命题　时，求实数ａ的取值范围．而“３ｘ∈Ｒ，ａｘ　一２ａｘ＋３　≤０”为假命题与它的否定“Ｖｘ∈Ｒ，似　一２ａｘ＋３＞０”　是真命题等价，所以方法ｌ的解法和结果是正确的．　那么，方法２又错在哪里呢？首先我们可以用上　面的例子来说明方法２的结果是错的，若结果是　ａ∈Ｒ，则说明当　取任何实数时，“３ｘ∈Ｒ，ａｘ　一２ａｘ　＋３≤０”恒为假命题．但当日＝３时，“３ｘ∈Ｒ，似　一　２ａｘ＋３　０”却为真命题．事实上，方法２中取Ｘ＝２时　得到３　０，虽然“３　０”是一个假命题，但这只能说　明不论ａ为何实数，“３ｘ∈Ｒ，ａｘ　一２ａｘ＋３＞０”恒为　真命题，而不能说明“３ｘ∈Ｒ，ａｘ　一２ａｘ＋３　０”恒为　假命题，因为这两个命题之间不是互为否定的关系．　说到这里，笔者又联想到“利用真值表求参变量　
范围”的一类题，比如以下两例：　
例１已知命题Ｐ：方程Ｘ　＋ｍｘ＋１：０有两个不等　
的负实根，命题ｑ：方程４　＋４（ｍ一２）ｘ＋１＝０无实根．　
若ｐ或ｑ为真，Ｐ且口为假，求实数ｍ的取值范　
围．　
例２已知Ｐ：Ｘ　一２ｘ一３＞０，ｑ：Ｘ　一４＜０．若Ｐ或　
ｇ为真，Ｐ且ｇ为假，求实数Ｘ的取值范围．　
两个例题的形式也值得关注，由于不知ｍ的取　
值情况而无法判断“方程ｘ　＋ｍｘ＋１＝０有两个不等的　
负实根”的真假，所以它显然不是命题，而“Ｘ。一２ｘ一３　
＞０”是典型的开语句，所以它也不是命题．但我们　
同样可以将例１中的ｍ和例２中的Ｘ视着常数，这样　
随着常数ｍ和Ｘ给定的值的变化，“方程Ｘ　＋　＋１＝０　
有两个不等的负实根”和“Ｘ　一２ｘ一３＞０”就可以判断　
真假，因而它们就是命题了．　

长方体与四面体包含关系的妙用　
李志红　徐彩刚　
江西省樟树中学（３３　１２００）　

长方体是立体几何中的基本几何体，其结构对　
称，各元素之间存在着相等、平行、垂直等关系，　
是研究线面关系、特殊几何体的一个重要载体．某　
些四面体可以看成是“寄居”在长方体内．如三组对棱　
分别相等的四面体、直角四面体（即一个顶点处的　
三条棱两两垂直）都可以看成是长方体的寄居体；　
正四面体也可以看成是正方体的寄居体．　
构造长方体解有关四面体问题，能把复杂的位　
置、度量关系简化成典型的位置、度量关系，从整　
体上把握局部问题，思路更清晰，手段更灵活，使　
问题轻松获解．本文拟例说之．　
例１（２０１１年高考江西卷・理２１）　
（１）如图，对于任意给定的　
四面体４　，找出依次排列的　
四个相互平行的　－，　ｚ，　，５４，叠　
使得４∈５ｉ（ｉ＝１，２，３，４），且其中　
每相邻两个平面间的距离都相等；　

（２）给定依次排列的四个相互平行的平面　
，　，　，ａ４，其中每相邻两个平面间的距离为１，　
若一个正四面体４　的四个顶点满足：　
４∈　（ｉ＝１，２，３，４），求该正四面体４　的体积．　
该题是考卷最后一题，满分ｌ４分，平均得分０．１４　
分，只有很少的同学得了不高的分，多数考生无从　
下手．　
分析如果第－－ｄ，题将此正四面体置于一个正　
方体中，问题就会更好处理：　
（１）将直线４　三等分，其中另两个分点依次　
为Ａ　，　，连结　，　，作平行于　，　
的平面，分别过　，　，即为　，　．同理，　
过点４，　作平面　，　即可的出结论．　
（２）现将此正四面体４　置于一个正方体　
ＡＢＣＤ—ＡＩＢＩＱＤｌ中，巨，　分别是ＡｌＢ１，ｃｌ　的中　
点，　ＤＩＤ和阳　Ｆ是两个平行平面，若其距离为