数学7上：绝对值分类讨论思想，8道培优拓展练习题，考试经典常见
数学7上：绝对值分类讨论思想，8道培优拓展练习题，考试
经典常见
七年级上册数学，有理数里的绝对值，是整个初中数学的重点和基础。但很多同学，都觉得绝对值，特别难理解。
前天和昨天，发了绝对值有关的两个专题。点我的头像，点文章列表，就可以看到。
《数学7上：10道绝对值化简计算，常见经典考试真题》、《绝对值的和有最小值，怎么求x的取值范围？13道练习题》。
今天发第三个专题，《数学7上：绝对值分类讨论思想，8道培优拓展，经典考试常见题型》。
例1、分类讨论a的取值，a≥0是，|a|=a，a＜0时，|a|=-a.
这是绝对值分类讨论思想，基础考试题型。相信大家，应该没有问题。
例2、根据题意，分类讨论a和b的取值。然后，再分类讨论，代入求值。
例3、根据题意，分别讨论a,b,c的取值可能，然后，再分类讨论，代入求值。
例4、这一类题，怎么办？很多同学看到脑壳就晕。请看详细解题步骤。
一个原则，分类讨论，这几个数是为正数，或者为负数的几种情况，然后分类讨论。
例5、这题和第4题类似，也是需要分类讨论a和b，为正数或者为负数的情况。
但是不同点是，式子有一项是bc。所以，请看详细解题步骤，对比归纳。
例6，这题和第4题，第5题类似，请看详细解题步骤，找出相同点和异同点。
这样子，逐步练习，逐步提升。学会总结和归纳。数学的学习，就不会那么难了。
例7，例8。这两个题，和第4，第5，第6属于同一个系列。相同的解题步骤，要根据题意，分类讨论.
方老师选的这些例题，只是想告诉大家，数学的学习，一定要勤于总结，富于思考，多归纳类似的题型，那么随它考试怎么出题，都没有问题。
这是七年级上册数学，绝对值基础知识巩固和培优的第三部分。前天，和昨天发的前两个部分，点我头像，点文章列表，可以看到。
【绝对经典】绝对值拓展练习30题含详细答案
………外………………名：____考号：___………内………………绝对值拓展练习 一、单选题 1．对于任何有理数a ，下列各式中一定为负数的是（ ）． A ．(3)a --+ B ．a - C ．1a -+ D ．1a -- 2．已知三角形的三边长分别为2，a －1，4，则化简|a －3|＋|a －7|的结果为（ ） A ．2a －10 B ．10－2a C ．4 D ．－4 3．实数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，化简：||||+||a b c a b c a -----的结果是（ ） A ．a –2c B ．–a C ．a D ．2b –a 4．已知a 、b 、c 是△ABC 的三条边长，化简|a ＋b －c|－|c －a －b|的结果为( ) A ．2a ＋2b －2c B ．2a ＋2b C ．2c D ．0 5．式子|x ﹣1|-3取最小值时，x 等于（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 6．实数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，则代数式|c ﹣a |﹣|a +b |的值等于（ ） A ．c +b B ．b ﹣c C ．c ﹣2a +b D ．c ﹣2a ﹣b 7．若|abc |＝－abc ，且abc ≠0，则|||| b a c a b c ++＝（ ） A ．1或－3 B ．－1或－3 C ．±1或±3 D ．无法判断 8．数轴上A 、B 、C 三点所代表的数分别是a 、1、c ，且11c a a c ---=-．若下列选项中，有一个表示A 、B 、C 三点在数轴上的位置关系，则此选项为何？（ ） A ． B ． C ． D ． 9．当1 2020-2021学年七年级数学上册尖子生同步培优题典【北师大版】 专题2.3绝对值 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 注意事项： 本试卷满分100分，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2020•霍林郭勒市模拟)﹣2020的绝对值的相反数为() A．﹣2020B．2020C．1 2020D．− 1 2020 【分析】根据绝对值和相反数的概念求解可得． 【解答】解：因为﹣2020的绝对值为2020， 所以﹣2020的绝对值的相反数为﹣2020， 故选：A． 2．(2019春•普陀区期中)如果|3a|＝﹣3a，则a一定是() A．非正数B．负数C．非负数D．正数【分析】直接利用绝对值的性质分别分析得出答案． 【解答】解：∵|3a|＝﹣3a， ∴﹣3a≥0， ∴a≤0， 即a一定是非正数． 故选：A． 3．(2020•安丘市一模)|−2 3|的相反数是() A．−3 2B． 1 2 C．− 2 3D． 2 3 【分析】直接利用相反数的定义以及绝对值的性质分析得出答案． 【解答】解：|−2 3|= 2 3的相反数是：− 2 3． 故选：C． 4．(2018秋•惠民县校级月考)|x﹣3|+|y﹣2|＝0 成立的条件是() A．x＝3B．y＝2 C．x＝3且y＝2D．x、y为任意数 【分析】根据非负数的性质列方程求解即可． 【解答】解：由题意得，x﹣3＝0且y﹣2＝0， 解得x＝3，y＝2． 故选：C． 5．(2020•滨州)下列各式正确的是() A．﹣|﹣5|＝5B．﹣(﹣5)＝﹣5C．|﹣5|＝﹣5D．﹣(﹣5)＝5【分析】根据绝对值的性质和相反数的定义对各选项分析判断即可． 【解答】解：A、∵﹣|﹣5|＝﹣5， ∴选项A不符合题意； B、∵﹣(﹣5)＝5， ∴选项B不符合题意； C、∵|﹣5|＝5， ∴选项C不符合题意； D、∵﹣(﹣5)＝5， ∴选项D符合题意． 故选：D． 6．(2020•岱岳区二模)下列各组数中，相等的是() A．﹣9和−1 9B．﹣|﹣9|和﹣(﹣9)C．9和|﹣9|D．﹣9和|﹣9| 【分析】根据相反数的定义，绝对值的性质对各选项分别进行计算，然后利用排除法求解． 【解答】解：A、﹣9≠−1 9，故本选项不符合题意； B、﹣|﹣9|＝﹣9，﹣(﹣9)＝9，﹣9≠9，故本选项不符合题意； C、|﹣9|＝9，故本选项符合题意； D、|﹣9|＝9，9≠﹣9，故本选项不符合题意． 故选：C． 7．(2019秋•新蔡县期中)如果x为有理数，式子2019﹣|x﹣2|存在最大值，这个最大值是() A．2016B．2017C．2019D．2021 【分析】直接利用绝对值的性质得出|x﹣2|的最小值为0．进而得出答案． 思维特训(四) 绝对值与分类讨论 方法点津 · 1．由于去掉绝对值符号时，要分三种情况：即正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数，所以涉及绝对值的运算往往要分类讨论． 用符号表示这一过程为：||a ＝?????a （a >0），0（a ＝0），－a （a <0）. 2．由于在数轴上到原点的距离相等的点(非原点)有两个，一个点表示的数是正数，另一个点表示的数是负数，因此知道某个数的绝对值求该数时，往往需要分两种情况讨论． 用符号表示这个过程为：若||x ＝a (a >0)，则x ＝±a . 3．分类讨论的原则是不重不漏，一般步骤为：①分类；②讨论；③归纳． 典题精练 · 类型一 以数轴为载体的绝对值的分类讨论 1．已知点A 在数轴上对应的数是a ，点B 在数轴上对应的数是b ，且|a ＋4|＋(b －1)2＝0.现将点A ，B 之间的距离记作|AB |，定义|AB |＝|a －b |. (1)|AB |＝________； (2)设点P 在数轴上对应的数是x ，当|P A |－|PB |＝2时，求x 的值． 2．我们知道：点A ，B 在数轴上分别表示有理数a ，b ，A ，B 两点之间的距离表示为AB ，在数轴上A ，B 两点之间的距离AB ＝|a －b |，所以式子|x －3|的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数x 的点之间的距离． 根据上述材料，回答下列问题： (1)|5－(－2)|的值为________； (2)若|x －3|＝1，则x 的值为________； (3)若|x －3|＝|x ＋1|，求x 的值； (4)若|x －3|＋|x ＋1|＝7，求x 的值． 类型二 与绝对值化简有关的分类讨论问题 3．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答下列问题： 【提出问题】三个有理数a ，b ，c 满足abc ＞0，求|a|a ＋|b|b ＋|c|c 的值． 【解决问题】 解：由题意，得a ，b ，c 三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①当a ，b ，c 都是正数，即a ＞0，b ＞0，c ＞0时，则|a|a ＋|b|b ＋|c|c ＝a a ＋b b ＋c c ＝1＋1＋1 ＝3；②当a ，b ，c 中有一个为正数，另两个为负数时，设a ＞0，b ＜0，c ＜0，则|a|a ＋|b|b ＋|c|c ＝a a ＋－b b ＋－c c ＝1－1－1＝－1. 所以|a|a ＋|b|b ＋|c|c 的值为3或－1. 七年级数学绝对值专项练习题集 绝对值综合练习题一 姓名___________ 1、有理数的绝对值一定是( ) A、正数 B、整数 C、正数或零 D、自然数 2、绝对值等于它本身的数有( ) A、0个 B、1个 C、2个 D、无数个 3、下列说法正确的是( ) A、—|a|一定是负数 B只有两个数相等时它们的绝对值才相等 C、若|a|=|b|，则a与b互为相反数 D、若一个数小于它的绝对值，则这个数为负数 1114、比较、、的大小，结果正确的是( ) 342 111111A、,, B、,, 334422 111111C、,, D、,, 334422 5、若有理数在数轴上的对应点如下图所示，则下列结论中正确的是( ) b a A、a>|b| B、a|b| D、|a|<|b| 6、判断。 (1)若|a|=|b|，则a=b。 (2)若a为任意有理数，则|a|=a。 (3)如果甲数的绝对值大于乙数的绝对值，那么甲数一定大于乙数( ) 11(4)和互为相反数。( ) |_|_33 7、相反数等于-5的数是______,绝对值等于5的数是________。 8、-4的倒数的相反数是______。 9、绝对值小于?的整数有________。 10、若|-x|=2，则x=____;若|x,3|=0，则x=______;若|x,3|=1，则 x=_______。 11、实数a、b在数轴上位置如图所示，则|a|、|b|的大小关系是_______。 a b 12、比较下列各组有理数的大小。 (1)-0.6?-60 (2)-3.8?-3.9 34(3)0?|-2| (4)? ,,45 13、已知|a|+|b|=9，且|a|=2，求b的值。 14、已知|a|=3,|b|=2,|c|=1,且a 七年级数学上册 1.2.4 绝对值(2) 基础闯关全练 1．（2017重庆中考A 卷）在数-3，2，0，-4中，最大的数是( ) A.-3 B.2 C.0 D.-4 2．（2019河北石家庄二中月考）已知点M 、N 、P 、Q 在数轴上的位置如图所示，则其中对应的数的绝对值最大的点是 ( ) A.M B.N C.P D.Q 3.（独家原创试题）下列式子中，成立的是 ( ) A.-|-8|＞7 B.-6＜|-6| C.-|-7| =7 D.|-10.5|＜10.5 4.下列比较两个数的大小错误的是 ( ) A ．3＞-1 B ．-2＞-3 C ． D ． 5.比较下列各组数的大小． (1) ； (2) -（-4）和-|-4|； (3). 6．如图所示，在数轴上有A ，B ，C ，D 四个点． (1)写出数轴上的点A ，B ，C ，D 表示的数； (2)将点A ，B ，C ，D 表示的数按从小到大的顺序用“＜”连接起来。 能力提升全练 1．（2018四川攀枝花中考）如图，实数-3、x 、3、y 在数轴上的对应点分别为M 、N 、P 、Q ，这四个数中绝对值最小的数对应的点是 ( ) A.M B.N C.P D.Q 2．下列比较大小正确的是 ( ) A ． B.-（-21）＜+（-21） C ． D ． 3．（2018江西南昌二中期中）如图，数轴上的A 、B 、C 三点所表示的数分别为a 、b 、c ，其中AB=BC ，如果|a|＞|c|＞|b|，那么该数轴的原点O 的位置应该在( ) A ．点A 的左边 B ．点A 与点B 之间 3121>433 2-< - 绝对值综合提高练习题 一、选择题 1、绝对值等于它本身的数有（） A、0个 B、1个 C、2个 D、无数个 2、下列说法正确的是（） A、—|a|一定是负数 B只有两个数相等时它们的绝对值才相等 C、若|a|=|b|，则a与b互为相反数 D、若一个数小于它的绝对值，则这个数为负数 3、若有理数在数轴上的对应点如下图所示，则下列结论中正确的是（） b a A、a>|b| B、a|b| D、|a|<|b| 4、如果，则 的取值范围是5（） A．＞O B．≥O C ．≤O D ．＜O 5、下列各数中，互为相反数的是（ ） A 、│－ 32│和－32 B 、│－23│和－32 C 、│－32│和23 D 、│－32│和3 2 6、下列说法错误的是（ ） A 、一个正数的绝对值一定是正数 B 、一个负数的绝对值一定是正数 C 、任何数的绝对值都不是负数 D 、任何数的绝对值 一定是正数 7、│a│= －a,a 一定是（ ） A 、正数 B 、负数 C 、非正数 D 、非负数 8、下列说法正确的是（ ） A 、两个有理数不相等，那么这两个数的绝对值也一定不相等 B 、任何一个数的相反数与这个数一定不相等 C 、两个有理数的绝对值相等，那么这两个有理数不相等 D 、两个数的绝对值相等，且符号相反，那么这两个数是互为相反数。 9、－│a│= －3.2，则a 是（ ） A 、3.2 B 、－3.2 C 、±3.2 D 、以上都不对 10、如果 a a 22-=-，则a 的取值范围是 （ ） A ．a ＞O B ．a ≥O C ．a ≤O D ．a ＜O 11、若│a│=8,│b│=5,且a+b>0,那么a-b 的值是( ) A.3或13 B.13或-13 C.3或-3 D.-3或-13 12、a<0时,化简|| 3a a a +结果为( ) A. 2 3 B.0 C.-1 D.-2a 13、如果 a a 22-=-，则a 的取值范围是 （ ） A ．a ＞O B ．a ≥O C ．a ≤O D ．a ＜O 如图，有理数b a 、在数轴上的位置如图所示，则在b a +，a b 2-，a b -，b a -，2+a ， 4--b 中，负数共有（ ） A ． 1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 已知有理数c b a 、、在数轴上的对应位置如图所示： 则b a c a c -+-+-1化简后的结果是 ． 若b a 、为有理数，那么，下列判断中：(1)若b a =，则一定有b a =； (2)若b a >，则一定有b a >； (3)若b a >，则一定有b a >；(4)若b a =，则一定有2 2 )(b a -=．正 确的是 (填序号) ． 已知数轴上的三点A 、B 、C 分别表示有理数a ，1，1-，那么1+a 表示( )． A ．A 、B 两点的距离 B ．A 、C 两点的距离 C ．A 、B 两点到原点的距离之和 D ． A 、C 两点到原点的距离之和 (江苏省竞赛题) -2 3 2 b a 1 -1 2021年人教版七年级数学上册《1.2.4绝对值》培优专项练习一．选择题（共12小题） 1．若a+3＝0，则a的绝对值是（） A．3B．C．﹣D．﹣3 2．若|a|＝|b|，则a，b的关系是（） A．a＝b B．a＝﹣b C．a＝0且b＝0D．a+b＝0或a﹣b＝0 3．如果一个数的绝对值不大于2，则这个数一定不是（） A．0B．﹣1C．﹣2D．﹣3 4．若x为整数，且满足|x﹣2|+|x+4|＝6，则满足条件的x的值有（）A．4个B．5个C．6个D．7个 5．已知|x﹣2|+|x+y﹣5|+|y﹣1|＝y﹣1．则x+y的值为（） A．2B．3C．4D．5 6．已知|a|＝5，则a等于（） A．+5B．﹣5C．0D．+5或﹣5 7．若m为有理数，则m+|m|的结果必为（） A．正数B．负数C．非正数D．非负数 8．把有理数a代入|a+4|﹣10得到a1，称为第一次操作，再将a1作为a的值代入得到a2，称为第二次操作，…，若a＝23，经过第2020次操作后得到的是（） A．﹣7B．﹣1C．5D．11 9．已知a是一个正整数，记G（x）＝a﹣x+|x﹣a|．若G（1）+G（2）+G（3）+…+G（2019）+G（2020）＝90，则a的值为（） A．11B．10C．9D．8 10．已知有理数a，b，c满足a＜0＜b＜c，则代数式的最小值为（） A．c B．C．D． 11．若a＝﹣2018，则式子|a2+2017a+1|+|a2+2019a﹣1|的值为（） A．4034B．4036C．4037D．4038 12．若|abc|＝abc，则＝（）A．1B．﹣1C．1或7D．﹣1或7 二．填空题（共6小题） 13．如果|x﹣3|＝5，那么x＝． 14．化简|π﹣4|+|3﹣π|＝． 15．若abcd＞0，则的值为． 16．已知式子|x+1|+|x﹣2|+|y+3|+|y﹣4|＝10，则x+y的最小值是． 17．如果一个物体某个量的实际值为a，测量值为b，我们把|a﹣b|称为绝对误差，把称为相对误差．例如，某个零件的实际长度为10cm，测量得9.8cm，那么测量的绝对误差为0.2cm，相对误差为0.02．若某个零件测量所产生的绝对误差为0.3，相对误差为0.02，则该零件的测量值b是． 18．若有理数x、y、z均不为0，设代数式的最大值为a，最小值为b，则a+b＝． 三．解答题（共9小题） 19．已知A＝，B＝． （1）当m＞0时，比较A﹣B与0的大小，并说明理由； （2）设y＝+B， ①当y＝3时，求m的值； ②若m为整数，求正整数y的值． 20．a、b、c在数轴上的位置如图，则： （1）用“＞、＜、＝”填空：a0，b0，c0． （2）用“＞、＜、＝”填空：﹣a0，a﹣b0，c﹣a0． （3）化简：|﹣a|﹣|a﹣b|+|c﹣a|． 21．解答下列问题： （1）已知x是5的相反数，y比x小﹣7，求x与﹣y的差； （2）求的绝对值的相反数与的相反数的差． 数学7上：绝对值分类讨论思想，8道培优拓展练习题，考试 经典常见 七年级上册数学，有理数里的绝对值，是整个初中数学的重点和基础。但很多同学，都觉得绝对值，特别难理解。 前天和昨天，发了绝对值有关的两个专题。点我的头像，点文章列表，就可以看到。 《数学7上：10道绝对值化简计算，常见经典考试真题》、《绝对值的和有最小值，怎么求x的取值范围？13道练习题》。 今天发第三个专题，《数学7上：绝对值分类讨论思想，8道培优拓展，经典考试常见题型》。 例1、分类讨论a的取值，a≥0是，|a|=a，a＜0时，|a|=-a. 这是绝对值分类讨论思想，基础考试题型。相信大家，应该没有问题。 例2、根据题意，分类讨论a和b的取值。然后，再分类讨论，代入求值。 例3、根据题意，分别讨论a,b,c的取值可能，然后，再分类讨论，代入求值。 例4、这一类题，怎么办？很多同学看到脑壳就晕。请看详细解题步骤。 一个原则，分类讨论，这几个数是为正数，或者为负数的几种情况，然后分类讨论。 例5、这题和第4题类似，也是需要分类讨论a和b，为正数或者为负数的情况。 但是不同点是，式子有一项是bc。所以，请看详细解题步骤，对比归纳。 例6，这题和第4题，第5题类似，请看详细解题步骤，找出相同点和异同点。 这样子，逐步练习，逐步提升。学会总结和归纳。数学的学习，就不会那么难了。 例7，例8。这两个题，和第4，第5，第6属于同一个系列。相同的解题步骤，要根据题意，分类讨论. 方老师选的这些例题，只是想告诉大家，数学的学习，一定要勤于总结，富于思考，多归纳类似的题型，那么随它考试怎么出题，都没有问题。 这是七年级上册数学，绝对值基础知识巩固和培优的第三部分。前天，和昨天发的前两个部分，点我头像，点文章列表，可以看到。 七年级数学上册绝对值专题培优卷 一、选择题: 1.如图，M，N两点在数轴上表示的数分别是m，n，则下列式子中成立的是（） A．m+n＜0 B．﹣m＜﹣n C．|m|﹣|n|＞0 D．2+m＜2+n 2.﹣2的绝对值是（） A．2 B．﹣2 C．0.5 D．-0.5 3.若│x│=2,│y│=3,则│x+y│的值为( ) A．5 B．-5 C．5或1 D．以上都不对 4.若|x|=7,|y|=5,且x+y>0,那么x-y的值是（） A．2或12 B．－2或12 C．2或－12 D．－2或－12 5.若数轴上的点A．B分别于有理数a、b对应，则下列关系正确的是( ) A．a＜b B．﹣a＜b C．|a|＜|b| D．﹣a＞﹣b 6.已知a,b是有理数,|ab|=-ab(ab≠0),|a+b|=|a|-b,用数轴上的点来表示a,b,可能成立的是( ) A．B． C.D． 7.给出下列判断：①若|m|,则m>0；②若m>n,则|m|>|n|；③若|m|>|n|,则m>n；④任意数m，则|m| 是正数；⑤在数轴上,离原点越远,该点对应的数的绝对值越大,其中正确的结论的个数为（） A．0 B．1 C．2 D．3 8.如图数轴的A．B、C三点所表示的数分别为a、b、c.若|a﹣b|=3，|b﹣c|=5,且 原点O与A．B的距离分别为4、1,则关于O的位置,下列叙述何者正确？（） A．在A的左边B．介于A．B之间 C．介于B、C之间D．在C的右边 9.已知ab≠0,则+的值不可能的是（） A．0 B．1 C．2 D．﹣2 10.非零有理数a、b、c满足a＋b＋c=0，则所有可能的值为（） A．0 B．1或－1 C．2或－2 D．0或－2 11.不相等的有理数a.b.c在数轴上，对应点分别为A、B、C.若∣a－b∣+∣b－c∣=∣a－c∣, 七年级数学上册有理数绝对值专题培优练习 一、阅读与思考 绝对值是初中代数中的一个重要概念，引入绝对值概念之后，对有理数、相反数以及后续要学习的算术根可以有进一步的理解；绝对值又是初中代数中一个基本概念，在求代数式的值、代数式的化简、解方程与解不等式时，常常遇到含有绝对值符号的问题，理解、掌握绝对值概念应注意以下几个方面： 1、灵活运用绝对值的基本性质:0≥a 2、恰当地运用绝对值的几何意义:从数轴上看a 表示数a 的点到原点的距离； 3、脱去绝值符号是解绝对值问题的切入点。 脱去绝对值符号常用到相关法则、分类讨论、数形结合等知识方法。 去绝对值符号法则：()()() 0000 <=>⎪⎩⎪⎨⎧-=a a a a a a 二、知识点反馈 1、灵活运用绝对值的基本性质 例1：(1)｜a+b ｜=｜a ｜+｜b ｜（ ） (2)｜ab ｜=｜a ｜｜b ｜（ ） (3)｜a-b ｜=｜b-a ｜（ ） (4)若｜a ｜=b ，则a=b ；（ ） （5)若｜a ｜＜｜b ｜，则a ＜b ；（ ） (6)若a ＞b ，则｜a ｜＞｜b ｜（ ） 例2： .若y x -+2 )3(-x =0 ，求2x+y 的值是 。 拓广训练： 已知2-ab 与1-b 互为相反数，设法求代数式 .) 1999)(1999(1)2)(2(1)1)(1(11的值++++++++++b a b a b a ab 2、恰当地运用绝对值的几何意义 例：若5,8==b a ，且0>+b a ，那么b a -的值是（ ） A ．3或13 B ．13或-13 C ．3或-3 D ．-3或-13 拓广训练： 1. 已知：x =3，y =2，且x>y ，则x+y 的值为（ ） A 、5 B 、1 C 、5或1 D 、—5或—1 2.已知3,5==b a 且a b b a -=-那么=+b a 。 3、去绝对值符号法则 例：阅读下列材料并解决有关问题： 我们知道()()() 0000 <=>⎪⎩⎪⎨⎧-=x x x x x x ，现在我们可以用这一个结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式21-++x x 时，可令01=+x 和02=-x ，分别求得2,1=-=x x （称2,1-分别为1+x 与2-x 的零点值）。在有理数范围内，零点值1-=x 和2=x 可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况： （1）当1- 初中七年级数学上册绝对值专项练习 一．选择题 1. －3的绝对值是（） （A）3 （B）－3 （C）13 （D）－13 2. 绝对值等于其相反数的数一定是 A．负数B．正数C．负数或零D．正数或零 3. 若│x│+x=0，则x一定是（） A．负数B．0 C．非正数D．非负数 5．绝对值最小的数（） A．不存在B．0 C．1 D．－1 6．当一个负数逐渐变大（但仍然保持是负数）时（） A．它的绝对值逐渐变大B．它的相反数逐渐变大 C．它的绝对值逐渐变小D．它的相反数的绝对值逐渐变大7．下列说法中正确的是（） A．a -一定是负数 B．只有两个数相等时它们的绝对值才相等 C．若b a=则a与b互为相反数 D．若一个数小于它的绝对值，则这个数是负数 8.绝对值不大于11.1的整数有（） A．11个B．12个C．22个D．23个 二、填空题 12．______ 75 .0= -． + -；______ 7.3= -；______ 0=；______ - 3.3= （2）若x x =－1，求x ． 2．正式排球比赛，对所使用的排球的重量是严重规定的，检查5个排球的重量，超过规定重量的克数记为正数，不足规定重量的克数记作负数，检查结果如下表： +15 -10 +30 -20 -40 指出哪个排球的质量好一些（即重量最接近规定重量）？你怎样用学过的绝对值知识来说明这个问题？ 拓展题 1．7=x ，则______=x ； 7=-x ，则______=x ． 2．若2 3. 已知|4-a|+|2-5b|=0, 求a+b 5.b＜c＜0＜a,化简|a+c|+| b+c|-|a-b|+|2a-c| 四、解答题 1．若|x－2|+|y+3|+|z－5|=0，计算： （1）x，y，z的值． （2）求|x|+|y|+|z|的值． 2．若2 1.2.4 绝对值 1.绝对值 1）绝对值的概念：一般地，数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，记作a ． 2）绝对值的几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离． 3）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 即：（1）如果0a >，那么a a =；（2）如果0a =，那么0a =；（3）如果0a <，那么a a =-． 可整理为：(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，或(0)(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩，或(0)(0)a a a a a >⎧=⎨-≤⎩ 4）绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0．即：||0a ≥ 2.有理数的比较大小 1）两个负数，绝对值大的反而小． 2）正数大于零，零大于负数，正数大于负数． 3）利用数轴：在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大． 3.归纳： ①绝对值等于它本身的数是： 非负数 ；②绝对值大于它本身的数是： 负数 ； ③绝对值等于它的相反数的数是： 非正数 ；④绝对值最小的有理数是： 0 ； ⑤绝对值最小的正整数是： 1 ；⑥绝对值最小的负整数是： -1 ． 培优第一阶——基础过关练 1.（2022·辽宁沈阳·七年级期末）2022-的绝对值为（ ） A ．2022 B ．2022或2022- C ．12022- D ．2022- 【答案】A 【分析】数轴上表示数a 的点与原点的距离是数a 的绝对值，根据定义直接求解即可. 【详解】解：-2022的绝对值是2022，故A 正确．故选：A ． 【点睛】本题考查绝对值的含义，掌握“利用绝对值的含义求解一个数的绝对值”是解本题的关键． 课后培优练 级练 知识清单 绝对值经典练习 1、判断题： ⑴、|-a|=|a|. ⑵、-|0|=0. ⑶、|-31 2|=-31 2 . ⑷、-(-5)›-|-5|. ⑸、若是a=4,那么|a|=4. ⑹、若是|a|=4,那么a=4. ⑺、任何一个有理数的绝对值都是正数. ⑻、绝对值小于3的整数有2, 1, 0. ⑼、-a必然小于0. ⑽、若是|a|=|b|,那么a=b. ⑾、绝对值等于本身的数是正数. ⑿、只有1的倒数等于它本身. ⒀、若|-X|=5，则X=-5. ⒁、数轴上原点两旁的点所表示的两个数是互为相反数. ⒂、一个数的绝对值等于它的相反数，那么这个数必然是负数. 2、填空题： ⑴、当a_____0时，-a›0; ⑵、当a_____0时，1 a ‹0; ⑶、当a_____0时，-1 a ›0; ⑷、当a_____0时，|a|›0; ⑸、当a_____0时，-a›a; ⑹、当a_____0时，-a=a; ⑺、当a‹0时，|a|=______; ⑻、绝对值小于4的整数有_____________________________； ⑼、若是m‹n‹0,那么|m|____|n|; ⑽、当k+3=0时，|k|=_____; ⑾、若a、b都是负数，且|a|›|b|,则a____b; ⑿、|m-2|=1,则m=_________; ⒀、若|x|=x,则x=________; ⒁、倒数和绝对值都等于它本身的数是__________; ⒂、有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则|a|=___;|b|=____; 的相反数是_______，倒数是______，绝对值是_______； ⒃、-22 3 ⒄、绝对值小于10的整数有_____个，其中最小的一个是_____； ⒅、一个数的绝对值的相反数是，这个数是_______； ⒆、若a、b互为相反数，则|a|____|b|; ⒇、若|a|=|b|,则a和b的关系为__________. 3、选择题： ⑴、下列说法中，错误的是_____ A．+5的绝对值等于5 B.绝对值等于5 的数是5 C．-5的绝对值是5 D.+五、-5的绝对值相等 ⑵、若是|a|=|1 |,那么a与b之间的关系是 b 与b互为倒数Ｂ．ａ与ｂ互为相反数 七年级数学上册绝对值应用练习题（含答案新人教版） 绝对值应用 例题示范例1 ：已知有理数a ，b ，c 在数轴上的对 应点如图所示，化简：C b c 0 a ab < 0 3. 已知有理数a , b 在数轴 a b al 2 b a . a 0 b 1 4.已知 a v O v c , b b ,且 b C d ,化简：& C b c a b . 5•若 ， ^ ,贝S 的值为. 6•若a 2 , ，且. ，则a+b 的 值是多少？ 7.若 eb 0 ,则 a 8.若血 0 ,贝y m n 的值为. 式- () I ) () () 如图，由题意， C 0 , c ,二原式 (C ) ( C C b a c 巩固练习1. 若 a a, b 0 , a c 0 , b a c b) (a c) (b a) b a c b b ,则 b 2a . 2. 0 B . a 0 , b 0 D. 上的对应点如 图所示，化简： 思路分析①看整体，定正负： 若汕 ab ,则必有（） 根据绝对值法则，去绝对值，留括号： 原 ③去括号，合并. 过程示范 解: A . a 0 , h 0 C. ab > 9.已知x为有理数，则X 3 X 2的最小值为. 4 3 2 101234 思考小结1.去绝对值：①看整体，定：②依法则，留；③去括号，.在判断 的正负时，考虑；在判断的正负时，考虑.（填“法则”或“比大小”）2.若ab z0,贝S b =.a b思路分析①根据目标. 可知，需要去绝对值， 由已知条件可a b得a z0, b z0,但是a , b的正负不能确定，所以需要分类讨论.②先考虑化简a : a当a>0时，a = a ;当a<0 时，a = . a同理可得，b二或.b③通过树状图进行讨论 a a 1-1 b b 1-1 1-1 a b - 0 2 -2 0 a b 综上：3 b _. a b 【参考答案】例题示范-,-,?, - c, c b , a c , 巩固练习 或4 6. 0 或或0或2 9. 5 思考小结1.① 正负；②括号；③合并. 法则；比大小.2 2或0或2思路分析②1；. 1, -1 . 或0或2 绝对值 1．若│x-3│+│y+2│=0，则x=_____，y=_____． 2．在数轴上A 点表示的数为-3，B 点表示的数为+2，则A ，B 两点间的距离为_____． 3．以下几个结论正确的个数为（ ） ①若│a │=│b │，则a=±b ； ②若a=-b ，则│a │=│-b │； ③若│a │=│b │，则a=-b ； ④若│a │=│b │，则a=b ． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4．一个数的绝对值的相反数是-3，这个数一定是（ ） A ．+3或-3 B ．3 C ．-3 D ．非上述答案 5．（1）已知│x │=7，│y │=12，且x>y ，求x+y 的值； （2）已知│a │=7，│b │=3，求│a+b │． 6．若a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，e 的绝对值为2，求|| a b e +3│e │-cd 的值． 7．当a=-9，b=-5，c=-2时，求下列各式的值： （1）│a │+│b │-│c │； （2）│a │-（│b │-│c │）． 8．若a ，b ，c 在数轴上的位置如图2-4-1所示，试化简│a+b │-│a │+│b │． c o a 9．把下列数分别在数轴上表示出来-6，，，，，请回答： （1）这组数中哪个数最小，哪个数最大？ （2）用“>”把它们连接起来； （3）这5个数到原点的距离之和为多少？ 10．某出租车司机一天上午在南北方向的大街上营运，如果规定向南为正，•向北为负，他这天上午行车里程如下（单位：千米）：+10，-3，+8，-5，12，11，-10，-10．若汽车耗油量为0.07升/千米，求上午他一共用掉了多少升油． 11．某出租车司机小张一天下午的营运是在东西走向的人民大道上进行的，出租车从A站出发，第一次向东行驶10km，接着向西走6km，再接着又向东走8km． （1）记向东行驶的路程为正，请用有理数表示该出租车各次行程的路程； （2）求出（1）题中各次行程的绝对值的和，并说出和的实际意义． 参考答案 初一七年级绝对值练习（含例题、基础、培优） 例题部分 一、根据题设条件 例1 设化简的结果是（）。 （A）（B）（C）（D） 思路分析由可知可化去第一层绝对值符号，第二次绝对值符号待合并整理后再用同样方法化去． 解 ∴应选（B）． 归纳点评只要知道绝对值将合内的代数式是正是负或是零，就能根据绝对值意义顺利去掉绝对值符号，这是解答这类问题的常规思路． 二、借助数轴 例2 实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则代数式 的值等于（）． （A）（B）（C）（D） 思路分析由数轴上容易看出，这就为去掉绝对值符号扫清了障碍． 解原式 ∴应选（C）． 归纳点评这类题型是把已知条件标在数轴上，借助数轴提供的信息让人去观察，一定弄清： 1．零点的左边都是负数，右边都是正数． 2．右边点表示的数总大于左边点表示的数． 3．离原点远的点的绝对值较大，牢记这几个要点就能从容自如地解决问题了． 三、采用零点分段讨论法 例3 化简 思路分析本类型的题既没有条件限制，又没有数轴信息，要对各种情况分类讨论，可采用零点分段讨论法，本例的难点在于的正负不能确定，由于x是不断变化的，所以它们为正、为负、为零都有可能，应当对各种情况—一讨论． 解令得零点：； 令得零点：， 把数轴上的数分为三个部分（如图） ①当时, ∴原式 ②当时，， ∴原式 ③当时，， ∴原式 ∴ 归纳点评虽然的正负不能确定，但在某个具体的区段内都是确定的，这正是零点分段讨论法的优点，采用此法的一般步骤是：1．求零点：分别令各绝对值符号内的代数式为零，求出零点（不一定是两个）． 2．分段：根据第一步求出的零点，将数轴上的点划分为若干个区段，使在各区段内每个绝对值符号内的部分的正负能够确定． 3．在各区段内分别考察问题． 初一(七年级)数学上册绝对值同步练习题 基础检测： 1．－8的绝对值是，记做。 2．绝对值等于5的数有。 3．若︱a︱= a , 则 a 。 4．的绝对值是2004，0的绝对值是。 5一个数的绝对值是指在上表示这个数的点 到的距离。 6．如果x ＜y ＜0, 那么︱x ︱︱y︱。 7．︱x － 1 ︱=3 ，则x＝。 8．若︱x+3︱+︱y －4︱= 0，则x + y = 。 9．有理数a ，b在数轴上的位置如图所示，则a b, ︱a︱︱b︱。 10．︱x ︱＜л，则整数x = 。 11．已知︱x︱－︱y︱=2，且y =－4，则x = 。 12．已知︱x︱=2 ，︱y︱=3，则x +y = 。 13．已知︱x +1 ︱与︱y －2︱互为相反数，则︱x ︱+︱y︱= 。 14.式子︱x +1 ︱的最小值是，这时，x值为。 15.下列说法错误的是（） A 一个正数的绝对值一定是正数 B 一个负数的绝对值一定是正数 C 任何数的绝对值一定是正数 D 任何数的绝对值都不是负数 16．下列说法错误的个数是（） （1）绝对值是它本身的数有两个，是0和1 （2）任何有理数的绝对值都不是负数 （3）一个有理数的绝对值必为正数 （4）绝对值等于相反数的数一定是非负数 A 3 B 2 C 1 D 0 17．设a 是最小的正整数，b 是最大的负整数，c 是绝对值最小的有理数，则 a + b + c 等于 （ ） A －1 B 0 C 1 D 2 拓展提高： 18．如果a ， b 互为相反数，c, d 互为倒数，m 的绝对值为2，求式子 a b a b c +++ + m －cd 的值。 19．某司机在东西路上开车接送乘客，他早晨从A 地出发，（去向东的方向正方向），到晚上送走最后一位客人为止，他一天行驶的的里程记录如下（单位：㎞） +10 ，— 5， —15 ，+ 30 ，—20 ，—16 ，+ 14 （1） 若该车每百公里耗油 3 L ，则这车今天共耗油 多少升？ （2） 据记录的情况，你能否知道该车送完最后一个乘客是，他在A 地的什么 方向？距A 地多远？ 20．工厂生产的乒乓球超过标准重量的克数记作正数，低于标准重量的克数记作负数，现对5个 乒乓球称重情况如下表所示，分析下表，根据绝对值的定义判 相反数、倒数与绝对值专题提高 1、【相反数】： 【代数定义】：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，规定：零的相反数是零。相反数是成对出现的，指两个数字之间的关系，一个数与它的相反数时一对数字。 【几何意义】：从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，即这两个数分居在原点两侧，并且到原点距离相等。 【解题技巧】：①表示一个数的相反数，只要在这个数的前面添一个“－”号。如：a的相反数是﹣a，m+n的相反数是﹣（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号。 ②多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正。 【重要结论】：如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=—b，反之亦成立。 【知识应用】： Eg1：【相反数的理解】：相反数反应的是两个数字之间的关系：①运算关系：和为0；②数字特征关系：只有符号不同。而不体现大小关系 1.有理数的相反数是，它们之间的大小关系（）． A．> B．< C．> 或= D．不能确定 2.如果，那么- =______ ；如果－x=－(－12)，那么x= __________ Eg2：【相反数结论】：若a与b互为相反数，则a+b=0 【例】：若a+5与—1互为相反数，则a=________ Eg3：【多重符号的化简】：下列各式中，化简正确的是（）． A． -[+(-7)]=-7 B． +[-(+7)]=7 C． -[-(+7)]=7 D． -[-(-7)]=7 ★ Eg4 ：【相反数的几何意义】： 1.数轴上，若A ．B 表示互为相反数，A 在B 的右侧，并且这两点的距离为8，则这两点所表示的数分别是_______ 【跟踪练习1】：一个数在数轴上所对应的点向右移动5个单位长度后得到它的相反数的对应点，则这个数是（ ）． A ．-2 B ．2 C ． D ． 【跟踪练习2】：有理数a,b 在数轴上的位置如图所示，试比较a,b,-a,-b 的大小，并用“＜”把它们连接起来。 2、【绝对值】：（字面意思：只要值，不要符号） 【代数定义】：①一个正数的绝对值是它本身； ②一个负数的绝对值是它的相反数； ③0的绝对值是0. 也可以写成： ()()() ||0a a a a a a ⎧⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩当为正数当为0当为负数 【拓展】：=b -a 【说明】：遇到|a-b|或|a+b|或|a+b+c|……等形式时，也可以采用整体思想来解决。绝对值里面看成一个整体， 问题即转化为求方程a 的问题，但是注意，为了防止出错，采用整体法去绝对值时要添上括号，然后 再去括号就可以了 b a 0a-b (a>b) 0 (a=b) 专题1.8 绝对值（拓展提高） 一、单选题 1．若2,3x y ==，且y x >，则y x 的值为 （ ） A ．8 B ．－8或8 C ．－8 D ．6或－6 2．检查四个篮球的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，检查的结果如下表： 篮球编号 1号 2号 3号 4号 与标准质量 的差(g) +4 +7 -3 -8 其中最接近标准质量的球是（ ） A ．1号 B ．2号 C ．3号 D ．4号 3．在有理数中，有（ ） A ．最大的数 B ．最小的数 C ．绝对值最小的数 D ．绝对值最大的数 4．临海年糕闻名遐迩．若每包标准质量定为1000g ，实际质量与标准质量相比，超出部分记作正数，不足部分记作负数．则下面4个包装中，实际质量最接近标准质量的是（ ） A ． B ． C ． D ． 5．下列说法：① -a ＜0：② |-a|=|a| ③相反数大于它本身的数一定是负数；④绝对值等于它本身的数一定是正数其中正确的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 6．对于有理数a ，b ，有以下四个判断：①若a b =，则b a ≥；②若a b >，则a ＞b ；③若a b =，则a b =；④若a b <，则a b <．其中错误的判定个数是（ ） A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个 二、填空题 7．数轴上表示3的点到原点的距离是_________ ． 8．若()2 210a b -++=，则3a b +=_________． 9．写出一个负数，使这个数的绝对值小于4______． 10．三个数,,a b c 是均不为0的三个数，且0a b c ++=，则a b c a b c ++=______________． 11．如果一个量的实际值为a ，测量值为b ，我们把a b -称为绝对误差，a b a -称为相对误差．若有一种零件实际长度为5.0cm ，测量得4.8cm ，则测量所产生的绝对误差是_____cm ，相对误差是_____cm ． 12．如果|a ﹣2|的值与|b+3|的值互为相反数，那么2b ﹣a ＝_____． 13．当a =__________时，式子10|2|a -+取得最大值，()2 202321a +-+有最小值为__________． 14．“数形结合”思想在数轴上得到充分体现，如在数轴上表示数5和2-的两点之间的距离，可列式表示为()52--，或25--；表示数x 和3-的两点之间的距离可列式表示为()33x x --=+．已知31239x x y y ++-+++-=，则x y +的最大值为______． 三、解答题 15．已知|x|＝23，|y|＝13 ，且xy ＜0，求x ﹣y 的值． 16．同学们都知道，|4(2)|--表示4与2-的差的绝对值，实际上也可理解为4与2-两数在数轴上所对应的两点之间的距离：问理|3|x -也可理解为x 与3两数在数轴上所对应的两点之问的距离，试探索： （1）|4(2)|--=_______． （2）找出所有符合条件的整数x ，使|4||2|6x x -++=成立，并说明理由 （3）由以上探索猜想，对于任何有理数x ，|3||6|x x -+-是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 17．“分类讨论”是一种重要数学思想方法，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的四个问题． 例：三个有理数a ，b ，c 满足0abc >，求a b c a b c ++的值． 解：由题意得，a ，b ，c 三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①当a ，b ，c 都是正数，即0a >，0b >，0c >时， 则：1113a b c a b c a b c a b c ++=++=++=，专题2.3绝对值-2021年七年级数学上册尖子生同步培优题库(教师版含解析)【北师大版】
七年级数学(上)思维特训(4)：绝对值与分类讨论(含答案)
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