授课题目5行列式按行列展开拉普拉斯定理
Laplace展开定理.
由此可知，D1 和D的展开式中出现的项是一样的，只不过每一
项都相差符号为 1 i1 ik j1 jk
…，第n列加到第n+1列，用 b12,b22, bn2 乘第1列，第2列，
第二章
行列式
…，第n列加到第n+2列，…，用 b1n ,b2n ,
…，第n列加到第2n列，则 D2n 化为
a11 a12
a1n a11b11 a12b21 a1nbn1
a21 a22
a2n a21b11 a22b21 a2nbn1
§2.8 Laplace展开定理
利用行列式的依行（列）展开可以把n阶行列式化为n-1 阶行列式来处理，这在简化计算以及证明中都有很好的应用。 但有时我们希望根据行列式的构造把n阶行列式一下降为n-k 阶行列式来处理，这是必须利用Laplace展开定理。为了说明 这个方法，先把余子式和代数余子式的概念加以推广。
k 1 k n 1 行，由这k行元素所组成的一切k阶子式与它们
的代数余子式的乘积的和等于行列式D。
证明：设D中取定k行后所得的子式为M1, M 2 , , Mt , 它的
代数余子式分别为 A1, A2, , At , 下证 D M1A1 M 2 A2 M t At
—（1）
2、M是N的余子式，N便是M的余子式，M、N互为余子式。
abcd
例2.8.1 写出行列式 D g h p q 中取定第一行和
stuv
wx y z
第三行所得的所有二阶子式及它们的余子式和代数余式。 二阶子式共有 C42 6 个。
★关于行列式两个展开定理的应用
关于行列式两个展开定理的应用蒋银山摘要：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和及任意k 行（列）中一切k 阶子式与其代数余子式的乘积之和；本文主要是利用行列式两个展开定理对行列式降阶的计算及行列式两个展开定理的特殊情况的利用。
关键词： 行列式按行（列）展开定理；拉普拉斯展开定理（一）、行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其代数余子式乘积之和。
推论：行列式中某行（列）的各元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于零。
111212122212n n n n nna a a a a a D a a a =的值定义为11221ni i i i in in ij ijj D a A a A a A a A ==+++=∑ （按第i 行展开，1,2,,i n = ）11221nj j j j nj nj ij iji D a A a A a A a A ==+++=∑ （按第j 行展开，1,2,,j n = ）其中，123,,,i i i in a a a a 为D 的第i 行各元素，123,,,i i i in A A A A 为它们对应的代数余子式，即()1i jij ij A M +=-㈡、拉普拉斯展开定理：行列式等于其任意k 行（列）中一切k 子式与其对应的代数余子式乘积的和。
设行列式D 中任意k 行（列）中一切k 阶子式分别为12,,,,t N N N 它们对应的代数余子式分别为12,,,,t A A A 则 1122t t D N A N A N A =+++ 两种特殊情况的拉普拉斯（Laplace ）展开式：0**A A AB BB==()0*1*0m nA A AB BB ⋅==- （ m,n 分别为A B 的阶数） 例1.计算行列式0000000a b c d D e f gh=解法一：()()1114010100cd c d D aef b e f hg++=⋅-+⋅-1按r 展开()()deg a cfh deh b cfg =---()()ah cf de bg cf de =--- ()()cf de ah bg =--解法二：()()11410010100cd b Da e f g c d hef++=⨯-+⨯-1按c 展开()()()33513111c d c da h gb e f e f++=⨯⨯-+⨯-⨯⨯-3两个行列式都按c 展开()c dah bg ef=-()()ah bg cf de =-- 解法三：利用拉普拉斯定理，按二阶子式把行列式展开，先选定第一，四行。
拉普拉斯Laplace定理PPT课件
b11 L br1
L L L
b1r L brr
br1 L brr
为行列式 D 取定前 k 行运用Laplace 定理结果．
§2.8 Laplace定理
.
7
1 2 14
例1：计算行列式
D
0 1
1 2 1 0 13
0 1 31
解：
M1
1 1
2 0
2,
M2
1 1
1 1
0,
M3
1 1
4 3
1,
M4
2 0
§2.8 Laplace定理
.
13
例2：证明齐次性方程组
ax1 bx2 cx3 dx4 0
bcdxxx111
ax2 dx2 cx2
dx3 ax3 bx3
cx4 bx4 ax4
0 0 0
只有零解．其中 a,b,c,d 不全为0．
§2.8 Laplace定理
.
14
证：系数行列式
定义 在一个 n 级行列式 D 中任意选定 k 行 k 列
(k n)，位于这些行和列的交叉点上的 k 2个元素 按照原来次序组成一个 k 级行列式 M，称为行列 式 D 的一个 k 级子式；在 D 中划去这 k 行 k 列后 余下的元素按照原来的次序组成的 nk 级 行列 式 M ，称为 k 级子式 M 的余子式；
an1 an2 Lann
bn1 bn2 Lbnn
c11 c12 L c1n
则
D1D2
c21 M
c22 M
L c2n MM
cn1 cn2 L cnn
n
其中 c i j a i 1 b 1 j a i 2 b 2 j L a i n b n j a ik b k j ,
授课题目5行列式按行列展开拉普拉斯定理
授课题目1.5 行列式按行（列）展开 拉普拉斯定理授课时数： 4 课时教学目标：掌握余子式与代数余子式的概念、熟练掌握行列式依行依列展开，拉普拉斯定理，行列式乘法定理教学重点：行列式依行依列展开，行列式的计算方法：降阶法，拉普拉斯定理， 行列式乘法定理教学难点： 应用降阶法，拉普拉斯定理， 行列式乘法定理来计算行列式教学过程我们知道，利用行列式的性质可以简化行列式的计算。
按我们这样的思路，容易提出下面问题： 阶数较高的行列式能否化成阶数较低的行列式进行计算？为了回答这个问题， 先看三阶的情形，不难验证：a 11 a 12 a 13 a 22 a 23 a 21 a 23 a 21 a 22 a 21 a 22 a 23 a 11 a 32 a 33 a 12 a 31 a 33 a 13 a 31 a 32 a 31a 32a33三阶行列式的确可以化成二阶行列式来计算。
下面我们来研究 n 阶行列式如何化成 n 1 阶行列式来计算。
一．余子式及代数余子式1．余子式定义 1 在一个 n(n 2)阶行列式中 ,划去元素 a ij 所在的第 i 行和第 j 列 ，剩下的元素按照原来的相对位置构成的n 1阶行列式 ,称为元素 a ij 的余子式记为 M ij 。
例 1.在 4阶行列式 Da ij 中，写出 a a的余子式。
a a a a42,a a a a ,13 2413 24 3113 24 32 412．代数余子式定义 2 n 阶行列式 D 的元素 a ij 余子式附以附号 ( 1) i j 后 ，称为元素 a ij 的代数余子式，记为 A ij ，即A ij( 1)i j M ij有了如上定义， （ 1）可写成Da 11A11a12A 12a 13A13问题：能否把上式推广到n 阶行列式的情形？如能，我们可把n 阶行列式，化为n 1阶行列式来计算。
二．行列式按行（列）展开公式定理 1.5.1 [行列式按行（列）展开定理]n 阶行列式a11a12a1na21a22a2nDan1an2ann等于它的任意一行（列）的所有元素与它们对应的代数余子式的乘积之和，即a11a12a1nD a i1 A i1a i 2 A i 2a in A in Da21a22a2nan1an 2ann(i 1,2,, n).或A a1 j A1 ja2 jA2 janjAnj( j 1,2, ,n) 10先证特殊情形a11a 1nDan 1,1an 1,n0a nn 定理立2再证（利用 1 ）特殊情形a11a1, j 1a1 ja1, j 1a1nD00a ij00a n1a n , j 1a nj a n, j 1a nn定理成立；3利用性质 5 及2证一般情形三．零值定理1．实例举 2、 3 阶行列式多一个，把某行每个元素与另一行对应元素的代数余子式相乘，再加起来，看有什么结果。
行列式的Laplace展开定理
解
按
1，2
行展开。这两行共组成
C
2 5
= 10
个二阶子式，但其中不为零的只
有 3 个，即
1 M1 = 2
2 1
=
−3 ， M 2
=
1 2
0 2
=
2，M3
=
2 1
0 =4 2
对应的代数余子式为
120
220
020
A1 = (−1)1+2+1+2 2 1 2 = −7 ，A2 = (−1)1+2+1+3 0 1 2 = −6，A3 = (−1)1+2+2+3 0 1 2 = 0。
a11
a21 M M ij = ai−1,1 a i +1,1 M an1
L a1, j−1 L a2, j−1
M L ai−1, j−1 L ai+1, j−1
M L an, j−1
a1, j+1 a2, j+1
M ai−1, j+1 ai+1 , j+1
M an, j+1
L a1n L a2n
M L ai−1,n ； L ai+1,n
行列式的 Laplace 展开定理
一、行列式按一行或一列的展开 我们知道， 若D为n阶行列式，Aij为行列式元素aij的代数余子式，那么对任
意的 i ≠ j ，如下四个等式都成立。
ai1 Ai1 + ai2 Ai2 + L + ain Ain = D ；
ai1 A j1 + ai2 A j2 + L + ain A jn = 0 ；
Laplace定理
k)!
k !(n
k)!
n!
7
项，故D=M1 A1 M2 A2 Mt At .
例
21 3 0
3 2 3 D
3 1 2
0 5
, 前两行共有
C2 6
43 2!
6个子式,
1 1 1 1
21
23
20
M1 3
2 1, M2 3
3 15, M3 3
0, 0
A2
( 1)( 1 2 ) ( 1 3 )
1 1
5 4,
1
A4
( 1)1 2 2 3
3 1
5 8.
1
D 1 (3) (15) 4 (9) (8) 9.
9
例
a11
a1k
0
ak1
akk
a11
a1k b11
b1l ,
c11
c1k b11
拉普拉斯(Pierre-Simon Laplace,1749－1827)是法国 分析学家、概率论学家和物理学家，法国科学院院士。 1749年3月23日生于法国西北部卡尔瓦多斯的博蒙昂 诺日，1827年3月5日卒于巴黎。1816年被选为法兰西 学院院士，1817年任该院院长。1812年发表了重要的 《概率分析理论》一书，在该书中总结了当时整个概 率论的研究，论述了概率在选举审判调查、气象等方 面的应用，导入「拉普拉斯变换」等。他是决定论的 支持者，提出了拉普拉斯妖。他致力于挽救世袭制的 没落：他当了六个星期的拿破仑的内政部长，后来成 为元老院的掌玺大臣，并在拿破仑皇帝时期和路易十 八时期两度获颁爵位，后被选为法兰西学院院长。拉 普拉斯曾任拿破仑的老师，所以和拿破仑结下不解之 缘。
行列式计算的拉普拉斯定理
行列式计算的拉普拉斯定理拉普拉斯定理（Laplace's theorem）是线性代数中一个重要的定理，它是通过行列式的性质来计算矩阵的逆和行列式的值。
在本文中，我们将详细介绍拉普拉斯定理的含义、应用和推导过程。
拉普拉斯定理的核心思想是利用代数余子式（cofactor）来计算行列式的值。
代数余子式是行列式中每个元素所对应的子矩阵的行列式乘以适当的符号，具体计算方法如下：对于n阶方阵A的第i行第j列的元素aij，其代数余子式Aij=(-1)^(i+j)Mij，其中Mij是A中删除第i行和第j列后的(n-1)阶矩阵的行列式。
根据拉普拉斯定理，行列式的值可以通过n个元素的代数余子式之和来计算：det(A) = a1jA1j + a2jA2j + ... + anjAnj其中A1j、A2j、...、Anj分别是代数余子式Aij的行列式值。
拉普拉斯定理的应用非常广泛，特别是在求解线性方程组、计算矩阵的逆以及计算行列式的值方面具有重要意义。
下面我们将分别介绍这些应用。
1. 求解线性方程组：对于线性方程组Ax=b，其中A是一个n阶方阵，x和b分别是n 维列向量，拉普拉斯定理可以用来求解x的值。
具体方法是，我们可以将方程组转化为行列式的形式，即：det(Ax) = det(b)根据拉普拉斯定理，这个行列式可以展开为：det(A) * det(x) = det(b)因为det(A)不为0，所以可以得到：det(x) = det(A)^(-1) * det(b)从而得到x的值。
2. 计算矩阵的逆：利用拉普拉斯定理，可以通过行列式的性质来计算矩阵的逆。
对于一个n阶方阵A，如果det(A)不为0，则A的逆矩阵A^(-1)可以表示为：A^(-1) = (1/det(A)) * adj(A)其中adj(A)是A的伴随矩阵，它的每个元素是A的代数余子式。
3. 计算行列式的值：拉普拉斯定理可以直接用来计算行列式的值。
通过将行列式展开为代数余子式的形式，然后计算每个代数余子式的值，再将它们相加，即可得到行列式的值。
Laplace 展开定理
Dn
a 0 0பைடு நூலகம் 0 0 a 0 0 a 0 0 a 0 (1) n 1 0 0 0 a
0 a 0 0 0 0 a 0 0 0 0 a 1 0 0 0
a n (1) n 1 (1) n a n 2
a n a n2
laplace展开定理二laplace定理行列式按某几行或几列展开定义个元素按原来的顺序余下的元素按原来的顺序余子式
Laplace 展开定理
二、 Laplace定理
行列式按某几行或几列展开 定义 中,
(1 k n )
个元素， 按原来的顺序, 余下的元素按原来的顺序, 余子式. 其中 i1 , i 2 , , i k
矩阵
a11 a21 A a s1
a12 a22 as2
a1n a2n asn
称为方程组（1）的系数矩阵 ; a11 a12 a1n b1 a21 a22 a2 n b2 而矩阵 A a a a b s sn s1 s 2 称为方程组（1）的增广矩阵．
ak 1 ... akk b11 ... b1k br 1 ... brk
(k r) (k r)
1．利用行列式定义直接计算 2．利用行列式的性质计算 3．化为三角形行列式 4．降阶法 5．逆推公式法 6．利用已知行列式（范德蒙行列式） 7．加边法（升阶法） 8．数学归纳法 9. 分拆法
例
a1 b1 c1 a2 b2 c2
1
a1 a2 1 2 1 2 c3 c4 ( 1) b1 b2 d3 d4
a1 b1 0 b3
( 1)
1 2 1 3
第三节行列式按行展开
其中(1) N ( j2 j3 jn ) a2 j2 anjn 恰是M 11的一般项. 所以，D = a11M 11 = a11 (1)1+1 M 11 = a11 A11
山东财政学院统计与数理学院
（2）其次讨论行列式D的第i行的元素除aij ≠ 0外，其余都为0的情形； aij 0 0 a11 a1 j a1n i 1 2 1 i ai 1, j ai 1, j 1 0 = D ' 0 aij 0 j 1 2 j 1 anj an , j 1 ann a a a
定理1.3.1 (行列式按行（列）展开) n 阶行列式D = aij 等于它的 任意一行（列）中各元素与其对应的代数余子式乘积的和，即
D = ai1 Ai1 + ai 2 Ai 2 + + ain Ain (i = 1, 2, , n) 或 D = a1 j A1 j + a2 j A2 j + + anj Anj ( j = 1, 2, , n)
中的代数余子式，记为Aij , 即 Aij = (1)i + j M ij
山东财政学院统计与数理学院
a11 a21 例如：D = a31
a32的余子式
a12 a22 a32 a42
a13 a23 a33 a43
a14 a24 a34 a44
a32 的代数余子式
a41
a13 a23 a14 a24
a11 M 32 = a21 a41
a11 A32 = (1)3+ 2 a21 a41
a13 a23 a43
a14 a24 a44
a43
a44
注 行列式的每个元素分别对应着一个余子式和一个代数余子式
《行列式按行展开》课件
对于任意n阶方阵A，其第i 行第j列的代数余子式Aij可 以表示为去掉第i行第j列后 的(n-1)阶子矩阵的行列式值 乘以(-1)^(i+j)。
行列式的性质还包括拉普拉 斯展开定理和克拉默法则等 。
拉普拉斯展开定理指出，一 个n阶行列式等于它的任意 一行的所有元素与其对应的 代数余子式的乘积之和；克 拉默法则则指出，如果线性 方程组的系数行列式不为0 ，则方程组有唯一解，且解 可以通过系数行列式和常数 项的代数余子式计算得出。
应的代数余子式相乘，得到最终结果。
行列式按行展开的
04
运算技巧
代数余子式的计算
代数余子式定义
在行列式中，去掉某行和某列后所得到的$n-1$阶行列式，乘以$(-1)^{i+j}$，其中$i$和$j$分别是去 掉的行号和列号，得到的项称为代数余子式。
代数余子式的计算方法
根据代数余子式的定义，可以通过递归的方式计算代数余子式。具体来说，可以将$n$阶行列式拆分 成若干个$n-1$阶子行列式，然后分别计算这些子行列式的代数余子式，最后将它们相加得到原$n$ 阶行列式的代数余子式。
03
总结词
行列式的值可以通过对角线元素计算得出。
05
02
详细描述
行列式是n阶方阵A的行列式，记作det(A)或 |A|，是一个标量，由n!项组成，每一项都是 n个不同行元素的代数余子式。
04
详细描述
行列式的值是由其对应的n阶方阵唯 一确定的，与矩阵的表示方式无关。
06
详细描述
对于一个n阶方阵A，其行列式的值可以通过 对角线元素计算得出，即 det(A)=a11*a22*...*ann。
《行列式按行展开》 ppt课件
目录
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
授课题目 1.5行列式按行（列）展开 拉普拉斯定理 授课时数：4课时教学目标：掌握余子式与代数余子式的概念、熟练掌握行列式依行依列展开，拉普拉斯定理，行列式乘法定理教学重点：行列式依行依列展开，行列式的计算方法：降阶法，拉普拉斯定理， 行列式乘法定理教学难点：应用降阶法，拉普拉斯定理，行列式乘法定理来计算行列式教学过程我们知道，利用行列式的性质可以简化行列式的计算。
按我们这样的思路，容易提出下面问题：阶数较高的行列式能否化成阶数较低的行列式进行计算？为了回答这个问题，先看三阶的情形，不难验证：323122211333312321123332232211333231232221131211a a a a a a a a a a a a a aa a a a a a a a a a +-=三阶行列式的确可以化成二阶行列式来计算。
下面我们来研究1-n n 阶行列式如何化成阶行列式来计算。
一．余子式及代数余子式1．余子式定义 1 在一个列行和第所在的第划去元素阶行列式中j i a n n ij ,)2(≥，剩下的元素按照原来的相对位置构成的ij ij M a n 的余子式记为称为元素阶行列式,1-。
例1. 在4阶行列式ij a D =中，写出1324a a 的余子式。
1324314213243241a a a a ,a a a a ,2．代数余子式定义 2 后余子式附以附号的元素阶行列式ji ij a D n +-)1(，称为元素ij a 的代数余子式，记为ij A ，即 ij ji ij M A +-=)1(有了如上定义，（1）可写成131312121111A a A a A a D ++=问题：能否把上式推广到n 阶行列式的情形？如能，我们可把n 阶行列式，化为1-n 阶行列式来计算。
二．行列式按行（列）展开公式定理1.5.1 [行列式按行（列）展开定理] n 阶行列式nnn n n n a a a a a a a a a D212222111211=等于它的任意一行（列）的所有元素与它们对应的代数余子式的乘积之和，即in in i i i i A a A a A a D +++= 2211nnn n n n a a a a a a a a a D212222111211=).,,2,1(n i =或 nj nj j j j j A a A a A a A +++= 2211),,2,1(n j =10先证特殊情形nnnn n na a a a a D,11,1111--=定理立︒2 再证（利用︒1）特殊情形nnj n njj n n ij n j j j a a a a a a a a a a a D1,1,111,111,1110000+-+-= 定理成立；︒3利用性质5及︒2证一般情形 三．零值定理1．实例举2、3阶行列式多一个，把某行每个元素与另一行对应元素的代数余子式相乘，再加起来，看有什么结果。
2．猜想∑∑==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≠≠==nk nk kt ks ik ik t s j i A a A a 1100和3．一个事实,,列元素无关第行代数余子式与第j i a ij 只要其余行、列元素及相对位置不变，ija 的代数余子式只和这个元素的位置有关。
4．零值定理定理1.5.2（零值定理）行列式的某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式的乘积之和等于零。
即)(02211j i A a A a A a jn in j i j i ≠=+++ )(02211t s A a A a A a nt ns t s t s ≠=+++（把行列式D 的行元素的的第与构造行列式行行换成第i D D D j i i j 00,,,≠代数余子式相同，按第i 行展开，即证得零值定理）。
证 令111121211212(),()n i i in i i in n n nna a a a a a i D j a a a a a a =1D 的第I 行与第j 行完全相同,所以1D =0.另一方面, 1D 与D 公有第j 行不同,由引理, 1D 的第j 行的元素的代数佘子式与D 的第j 行的对应元素 的数佘子式相同 的把1D 依第j 行展开,得111220i j i j in jn D a A a A a A =+++= ().i j ≠ 列也有相应的结果：11220s j i t ns ns a A a A a A +++= ().i j ≠合写成与2.1.Th Th ：∑∑==⎩⎨⎧⎩⎨⎧≠==≠==nk n k kt ks ik ik t s ts D A a j i j i D A a 1100或 四．拉普拉斯定理1． 子式、子式的余子式、子式的代数余子式定义 3 在,)1(,)1(列行任意取定中阶行列式k h k k D n n ≤≤>位于这些行列相交处的元素按在D 中的相对位置排成的k 阶行列式，称为D 的一个k 阶子式。
定义4 设)1(n k k D n M <≤的一个阶行列式是阶子式，在D 中划去M 所在的行与列后，余下的元素按原来的相对位置组成的的称为阶子式M M k n ,'-余子式。
称M M A jk j j ik i i 为)21()21()1(+++++++-= 的代数余子式2．Lap lace 定理定理1.5.3 [拉普拉斯（Lap lace ）定理]在k n k k D n n 由这列行任意取定中阶行列式),()11(,)2(-≤≤≥行（列）元素构成的一切k 阶子式与它的对应的代数余子式乘积之和等于行列式D 。
换句话说：设在D 中，取定k 行（列）后的一切k 阶子式为t M M M ,,,21 ，它们对应的代数余子式分别为t A A A ,,,21 ，则t t A M A M A M D +++= 2211， 其中.)!(!!k n k n C t kn -==应用：︒1理论上的应用；︒2计算如下一些特殊行列式较方便（1）缺角行列式（如下）2121*0D D D D ⋅=（2）的特殊情形阶子式不为只有一个列行某0)(k k***00***阶k （行、列相邻的情形）行、列不相邻的情形五．定理1.5.4 （行列式乘法定理）两个n 阶行列式11121n 21222n 1n1n2nn a a a a a a D a a a =与11121n 21222n2n1n2nnb b b b b b D b b b =的乘积等于一个n 阶行列式11121n 21222nn1n 2nnc c c c c c D c c c =， 其中ij c 是1D 的第 i 行元素分别与2D 的第 j 列的对应元素乘积之和，即ij i1ij i22j in nj c a b a b a b =+++证 先作一个2n 阶行列式11121n 21222nn1n2nn 2n 11121n 21222n n1n2nna a a 000a a a 000a a a 000D 100b b b 010b b b 01b b b =---根据拉普拉斯定理，2n D 按前n 行展开的2n 12D D D =。
下面证2n D =D在2n D 中把第n+1行的11a 倍，第n+2行的12a 倍， ，第2n 行的1n a 倍加到第一行，得11121n 21222nn1n2nn 2n 11121n 21222n n1n2nn000c c c a a a 000a a a 000D 100b b b 010b b b 01b b b =---再依次把第n+1行的k1a （k=2,3, ,n ）倍，第n+2行的k 2a 倍， ，第2n 行的kn a 倍加到第k 行，得11121n 21222n n1n 2nn 2n 11121n 21222n n1n 2nn000c c c 000c c c 000c c c D 100b b b 010b b b 01b b b =---由拉普拉斯定理，按前n 行展开，得123n n 1n 22n2n100010D (1)D001++++++++++--=-- 即2n 12D D D =。
用乘法公式计算，当行列式的元素是数字时，不能减少计算量，但在计算一字符为元素的行列式时，乘法公式有着它独特的作用。
例题 设2a b c d b a d cD ,D c d a b d c b a--=----求解 2TD DD =a b c d a b c d b a d c b a d cc d a b c d a b d c b a d c b a ------=------ 222222222222a b c d 0000a b c d 00000a b c d ++++++=+++2222a b c d =+++六．行列式计算的另一基本方法——“降阶法”降阶法的基本步骤 ①“选0”； ②“降阶” “ 选0”：选择0较多或含±1的行、列来选0，这样可使计算量较小； “降阶”可反复进行，直到容易算出为止。
例2 计算行列式31155134D 20111531---=--- ●选第3行或第2列，因含0和1。
●解21413115r r 8021Dr 5r 2011160826--+--82121116826=---1232423c 2c 010c c 0818--+-●4372018=-=-例3 计算行列式xa a a a a xx x D n n n+---=--1221100000100001分析：方向是把第1行或第1列除一个元素外均化为0。
比较后，发现将第1列除最后一个元外全化为0，较为容易n n 1n n 2n 1n 2n 2n 1n n 2n 323n 1nn 22n 1123n 1n n n 1n 2n 3123n 1nD xD a x(xD a )a x D xa a x D x a xa a x (x xa a )x a xa a x x a x a x a xa a ---------------=+=++=++==++++=++++++=++++++解注意：︒1方法有启发性；（巧在何处？）︒2多项式可写成行列式，多项式的许多问题可由行列式的讨论加以解决。
要记住个行列式行列式常用的计算方法有：定义法，化三角形法，递推法，数学归纳法及公式法 加边法------适用于各行（列）有公共元素时作业：提示第3题。