矩阵论定义定理总结

矩阵论1．行列式的相关知识：1.1定义：由2n 个数ij a (,1,2,...,)i j n =组成的一个n 阶行列式为1212121112121222(...)12 (12)(1)...n j j jnnn n j j j n j j j n n nna a a a a a D a a a a a a τ==-∑即所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积1212...j j j n n a a a 的代数和，其中每一项的符合由排列12...n j j j 的奇偶性决定。

n 阶行列式的展开原理：定义1.1.2在n 阶行列式D 中，任选k 行和 k 列（k n ≤），将其交叉点上的2k 个元素按原来位置排成一个k 阶行列式M ，称为D 的一个k 阶子式。

在D 中划去M 所在之k 行k 列后余下的2()n k -个元素按照原来位置排成的n-k 阶行列式M '，称为M 的余子式。

定义1.1.3设D 的k 阶子式M 在D 中所在行列指标分别是12,,...,k i i i和12,,...,k j j j ，则称1212()()(1)k k i i i j j j A M ++++++'=-•为M 的代数余子式，其中M '为M 的余子式。

定理1.1.1（拉普拉斯定理）设在行列式D 中任意取定k 行(11)k n ≤≤-，则由这k 行元素所组成的一切k 阶子式与其对应的代数余子式的乘积之和等于和列式D 。

定理1.1.4（克莱姆法则）：若线性方程组11112211211222221122n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ （1.1.7）的系数行列式1112121222120n n n n nna a a a a a D a a a =≠则方程组（1.1.7）有唯一解，且/(1,2,)i i x D D i n ==，其中i D 是将D 中第i 列换成（1.1.7）式右端的常数项12,,,n b b b 所得的行列式，即1,11,111112,12,22122,1,1i i n i i n i n i n i nn nnna a ab a a a a b a D a a a b a -+-+-+=(1,2,,)i n =该定理通常称为克莱姆法则。

特别地，当0(1,2,,)i b i n ==时，方程组（1.1.7）又称为齐次线性方程组。

若其系数行列式不为零，则由克莱姆法则知它必有唯一零解行列式的降阶定理定理1.6.1设A 和D 分别为n 阶及m 阶的方阵，则有11,,A D CA B A A BCD D A BD C D --⎧-⎪=⎨-⎪⎩当可逆时;当可逆时. 定理1.6.2设A ，B ，C ，D 皆为n 阶方阵，且满足AC=CA ，则A B AD CB C D=-定义1.2.4向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩。

引理1.3.1若齐次线性方程组111122121122221122000n n n n s s sn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩的系数矩阵111212122212n n s s sn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭的秩r<n,则方程组必有非有非零解。

定理1.3.2 n 阶方阵A 的行列式0A =的充要条件rank(A)<n 定理1.1.3 矩阵A 的秩为r 的充要条件是A 中至少有一个r 阶子式不为零，且其所有的r+1阶子式全为零。

定理1.3.4 设A ，B 是数域P 上的两个n 阶方阵，则AB A B =即矩阵乘积的行列式等于它的因子行列式的乘积。

定义1.3.4 数域P 上的n 阶方阵A 称为非奇异的（可逆矩阵，满秩矩阵），若0A ≠；否则称为奇异的（不可逆矩阵，不满秩矩阵）。

定理1.3.5设A 是数域P 上的n m ⨯矩阵，B 是数域P 上的m s ⨯矩阵，则{}()min (),()rank AB rank A rank B ≤即乘积的秩不超过各因子的秩。

定理1.3.6 设A 是一个s n ⨯矩阵，如果P 是s 阶可逆方阵，Q 是n阶可逆方阵，那么()()()()rank A rank PA rank AQ rank PAQ ===定义1.3.5设()ij n n A a ⨯=是一个n 阶方阵，A 的主对角元素 的和称为A 的迹，并记之为()tr A ,即1122()nn a tr A a a +++=解的判别定理 定理1.4.1线性方程组11112211211222221122n n n n s s sn n sa x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩有解的充要条件为()()rank A rank B =。

其中111212122212n n sn s s A a a a a a a a a a ⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭= 12111212122212s n n sn s s B a a a b a a a b a a a b ⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭= 系数矩阵A 与增广矩阵B 的秩之间只有两种可能，即()()rank A rank B = 或 ()1()rank A rank B +=定义1.4.1齐次线性方程组111122121122221122000n n n n s s sn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ （1.4.5）的一组解12,,,r ηηη称为方程组（1.4.5）的一个基础解系，若 1）12,,,r ηηη线性无关；2）方程组（1.4.5）的任何一个解都能用12,,,r ηηη线性表示。

定理1.4.2若齐次线性方程组有非零解，则它的基础解系必存在，且基础解系所含解的个数为n r -，其中r 为系数矩阵的秩。

矩阵的初等变换与初等矩阵定义1.5.1数域P 上的矩阵的下列三种变换称为初等行变换：1）以P 中非零的数乘矩阵的某一行； 2）把矩阵中某一行的倍数加到另一行； 3）互换矩阵中两行的位置。

同理定义初等列变换，统称为初等变换。

定义1.5.2单位矩阵E 经过一次初等变换后所得到的矩阵称为初等矩阵。

定理1.5.1对一个n m ⨯矩阵A 作一次初等行变换，相当于对A 左乘一个相应的n n ⨯初等矩阵。

对A 作一次初等列变换，则相当于对A 右乘一个相应的m m ⨯初等矩阵。

定义1.5.3矩阵A 与B 称为等价的，若B 可由A 经过一系列初等变换得到。

定理1.5.2初等变换不改变矩阵的秩。

推论1.5.1 n 阶方阵可逆的充要件是它与单位矩阵等价。

定理1.5.3 矩阵A 与B 等价的充要条件是有初等矩阵11,,,,,s t P P Q Q 使1112s s t A P P PBQ Q Q -=推论1.5.3两个n m ⨯矩阵A 与B 等价的充要条件为存在n n ⨯可逆阵P 与m m ⨯可逆阵Q ，使得A PBQ =定义1.5.4数域P 上n 阶方阵A 与B 称为合同的，若数域P 上存在可逆的n 阶方阵C ，使T B C AC = 合同必等价，等价不一定合同。

分块矩阵的秩定理1.6.4设n 阶方阵{}12,,,m A diag A A A =其中k A 为k n 阶方阵，且12m n n n n +++=。

则1()()mi i rank A rank A ==∑定理1.6.5设A 和D 分别为n 阶和m 阶的方阵，则11()(),()(),A B rank A rank D CA B A rank C D rank D rank A BD C D --⎧+-⎛⎫=⎨ ⎪+-⎝⎭⎩可逆时可逆时定理1.6.8设A 与B 分别为s n ⨯和n m ⨯矩阵，则()()()rank A rank B n rank AB +-≤线性空间与线性变换集合 映射 变换 线性空间 基 维数 坐标 （略）定义2.2.2 设12,,,n εεε与12,,,nεεε'''是n 维线性空间V 的两个基，且111212122212121212(,,,)(,,,)(,,,)n n nn n n n nn a a a a a a A a a a εεεεεεεεε⎛⎫ ⎪ ⎪'''== ⎪⎪⎝⎭则矩阵A 称为由基12,,,n εεε到12,,,n εεε'''的过渡矩阵还有坐标变换公式1111211221222212n n n n n nn nx a a a x x a a a x x a a a x '⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪' ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11111211*********n n nn n nn n x a a a x x a a a x x a a a x -'⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪' ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭定义2.2.2数域P 上的两个线性空间V 与V '称为同构的，如果由V 到V '有一个双射σ，且1）()()()σαβσασβ+=+ 2）()()k k σασα=其中,αβ是V 中任意向量，k 是P 中任意数。

此时σ就称为V 与V '的一个同构映射。

定理2.2.1数域P 上两个有限维线性空间同构的充要条件是它们有相同的维数。

子空间（略）定理2.3.2两个向量组生成相同子空间的充要条件是它们等价。

定理2.3.31212dim (,,,)(,,,)r r L rank αααααα=（其中12(,,,)r L ααα是由12,,,r ααα生成的空间）定理2.3.4设W 是数域P 上的n 维线性空间V 的一个m 维子空间，12,,,m ααα是W 的一个基，则这组基向量必定可扩充为线性空间V 的基，即在V 中必定可找到n m -个向量12,,,m m n ααα++，使得12,,,n ααα是V 的一个基。

此定理通称为基的扩充定理。

定义2.3.2设1V ，2V 是线性空间V 的两个子空间，称{}12121122|,,V V V V αααααα+==+∈∈为1V 与2V 的和。

易见子空间的“和”与集合的“并”两个概念是不同的。

定理2.3.5设1V 与2V 是线性空间V 的两个子空间，则它们的交与和也是V 的两个子空间。