勾股定理(第一课时)[
第一课时勾股定理优秀教学案例
1.布置巩固性作业：让学生运用勾股定理解决实际问题，如计算房屋建筑中的长度、设计直角三角形图案等。检查学生对勾股定理的理解和应用能力。
2.布置拓展性作业：让学生探索其他数学定理或公式，如平方根、立方根等。培养学生的探索精神和创新能力。
3.鼓励学生进行自我评价，反思自己在学习过程中的优点和不足。指导学生制定改进措施，提高学习效果。
此外，我还注重课堂评价的多元化，充分关注学生的个体差异，给予他们积极的评价和鼓励，使他们在课堂上充满自信，更好地投入到学习过程中。整个教学过程既注重知识的传授，又重视学生的全面发展，体现了新课程改革的理念和要求。
二、教学目标
（一）知识与技能
1.让学生掌握勾股定理的内容，理解直角三角形三边之间的关系，能够运用勾股定理解决实际问题。
（一）导入新课
1.故事导入：讲述毕达哥拉斯如何通过观察木匠修鞋匠的鞋子长度比例，发现了勾股定理。引导学生关注古代数学家的伟大发现，激发学生学习兴趣。
2.实物模型导入：展示古代的勾股定理证明雕塑，让学生直观地感受数学与艺术的完美结合。引发学生对勾股定理的好奇心，激发他们的探究欲望。
3.现实生活实例导入：分析房屋建筑、自行车轮胎等实例，让学生感受到勾股定理在实际应用中的重要性，引发学生思考。
2.鼓励学生提出问题，培养他们的问题意识和批判性思维。例如，在教学过程中，让学生大胆质疑，挑战古代数学家的证明方法。
3.创设循序渐进的问题序列，引导学生逐步深入探究勾股定理。例如，从简单的情形开始，让学生观察、实验、猜测，逐步引导学生得出勾股定理的结论。
（三）小组合作
1.组织学生进行小组讨论，培养他们的团队协作能力和沟通能力。例如，在探究勾股定理的过程中，让学生分组讨论，相互启发，共同解决问题。
八年级数学下册(人教版)17.1.1勾股定理(第一课时)教学设计
5.总结反思，拓展提高：在教学结束时，引导学生对勾股定理进行总结，明确其应用范围和注意事项。同时，布置一些拓展提高的练习题，让学生在课后进行巩固。
本节课的教学设计以勾股定理为核心，紧密结合教材内容，注重培养学生的知识技能、过程方法和情感态度与价值观，旨在提高学生的数学素养和实际应用能力。
二、学情分析
八年级学生在经过前两年的数学学习后，已经具备了一定的数学基础和逻辑思维能力。在本节课之前，学生已经学习了平面几何、立体几何的基本概念，掌握了直角三角形的性质和判定方法，这些都为学习勾股定理奠定了基础。然而，由于勾股定理涉及斜边与直角边的平方关系，学生在理解上可能会存在一定难度。因此，在教学过程中，教师需关注以下几点：
2.自主探究，发现定理：引导学生观察教材中的直角三角形图形，鼓励他们大胆猜想勾股定理的表达形式。在学生自主探究的基础上，引导他们通过实际测量、计算，验证勾股定理的正确性。
3.精讲精练，突破难点：针对勾股定理的证明过程，教师进行详细讲解，并设计具有梯度的问题，让学生逐步掌握定理的证明方法。同时，通过典型例题的讲解和练习，帮助学生巩固定理的应用。
（四）课堂练习，500字
为了巩固学生对勾股定理的理解，我将设计一些课堂练习题。这些练习题分为基础题和提高题，以满足不同层次学生的学习需求。
1.基础题：主要针对勾股定理的基本应用，如已知直角三角形的两边，求解第三边。
2.提高题：涉及勾股定理在实际问题中的应用，如计算建筑物的高度、距离等。
我会让学生独立完成练习题，并在必要时给予指导。通过课堂练习，学生可以检验自己对勾股定理的掌握程度，并为课后作业打下基础。
冀教版初中八年级数学上册17-3勾股定理第一课时勾股定理课件
11.(2024江苏扬州邗江期末,16,★★☆)如图,在Rt△ABC中,
AC=4,AB=5,∠C=90°,BD平分∠ABC交AC于点D,则DC的长
3
是2.
解析 在Rt△ABC中,AC=4,AB=5,∠C=90°,∴BC=
A=B2 =3A,C如2图,过52 D 作42 DE⊥AB于点E,∵BD平
分∠ABC,DC⊥BC,∴DC=DE,设DC=DE=x,∵S△BCD+S△ABD=S△ABC,
2
2ab+b2-2ab=a2+b2,∵中间小正方形的边长为c,∴小正方形的
面积为c2,∴a2+b2=c2,∴甲能利用面积验证勾股定理.乙中直
角梯形的面积为 (a =b)(aa2+b) b12+ab1,两个直角三角形
2
22
的面积和为2× 1 ab=ab,则中间等腰直角三角形的面积为1 a2+
2
2
1 b2+ab-ab=1 a12+ b2,∵中间等腰直角三角形的两条直角边
7.(2024四川成都龙泉驿期末)如图,△ABC中,AB=AC,BD⊥AC于 点D,∠BDF=∠BAF=∠C,BD=3,CD=1. (1)求证:∠CBD=∠EDA. (2)求AB的长.
解析 (1)证明:∵BD⊥AC, ∴∠C+∠CBD=∠EDA+∠BDF=90°, ∵∠BDF=∠C,∴∠CBD=∠EDA. (2)设AD=x,则AB=AC=AD+CD=x+1, ∵BD=3,AD2+BD2=AB2,∴x2+32=(x+1)2, 解得x=4,∴AB=x+1=5.
∴1 BC·DC+1 AB·DE1=222解33
苏科版初中八年级数学上册3-1勾股定理第一课时勾股定理课件
圆的面积S2= 9 π,以BC为直径的半圆的面积S3=25 π,S△ABC=6,
8
8
∴S阴影=S1+S2+S△ABC-S3=6,故选A.
13.(2023江苏南京中考,5,★☆☆)我国南宋数学家秦九韶的 著作《数书九章》中有一道问题:“问沙田一段,有三斜,其 小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里.里法三百步,欲 知为田几何?”问题大意:在△ABC中,AB=13里,BC=14里,AC =15里,则△ABC的面积是 ( C ) A.80平方里 B.82平方里 C.84平方里 D.86平方里
解析 (1)证明:∵BD⊥AC, ∴∠C+∠CBD=90°=∠EDA+∠BDF, ∵∠BDF=∠C,∴∠CBD=∠EDA. (2)设AD=x,则AB=AC=AD+CD=x+1, ∵BD=3,AD2+BD2=AB2,∴x2+32=(x+1)2, 解得x=4,∴AB=x+1=5.
能力提升全练
11.(情境题·中华优秀传统文化)(2023江苏苏州姑苏期中,5,★ ★☆)勾股定理是人类最伟大的科学发现之一,在我国古算书 《周髀算经》中早有记载.如图1,以直角三角形的各边为边 分别向外作正方形,再把较小的两个正方形按如图2所示的 方式放置在最大正方形内.若知道图中阴影部分的面积,则一 定能求出 ( C )
8.(2022江苏盐城校级期末)若一个直角三角形的两边长分别 为4和5,则第三条边长的平方为 9或41 . 解析 当5为直角边长时,第三条边长的平方为42+52=41;当5 为斜边长时,第三条边长的平方为52-42=9.故答案为9或41.
9.如图,在由边长为1的小正方形组成的网格中,A、B、C均 在格点上,求AB2-CA2的值.
人教版八年级下册17.1《勾股定理》第一课时教学设计
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教师通过展示一组图片，包括古代建筑、现代桥梁等，引导学生观察这些图形中的直角三角形，并提出问题：“这些图形有什么共同特点？它们在数学中有什么特殊性质？”
2.学生观察后，教师总结直角三角形的定义，并引导学生回顾已知的直角三角形相关知识，为新课的学习做好铺垫。
5.针对教学难点，采取以下措施：
a.对勾股定理的证明过程进行详细讲解，通过画图、举例等方式，让学生在直观感知的基础上，理解证明的严密性。
b.专门安排一节课，让学生列举并分析勾股数的特点，总结规律，以便更好地辨识和应用勾股数。
c.结合实际情境，开展数学建模活动，让学生在小组内共同探讨、解决问题，提高他们的数学建模能力。
5.掌握勾股数的特点，能够辨识和列举出一组勾股数。
（二）过程与方法
在教学过程中，学生将通过以下方式来达成目标：
1.通过观察直角三角形的特性，引导学生发现勾股定理，培养观察力和逻辑思维能力。
2.通过小组合作，探究勾股定理的证明方法，提高合作意识和解决问题的能力。
3.通过数学问题的解答，培养学生将理论知识应用于实际情境的能力。
4.利用数形结合的方法，让学生在直观的图形中理解抽象的数学公式，提高形象思维和抽象思维的能力。
5.通过分析勾股数的特点，让学生总结规律，增强数学归纳和总结的能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣，激发他们探究数学问题的热情。
2.使学生体会到数学知识与现实生活的紧密联系，增强学生的数学应用意识。
人教版八年级下册17.1《勾股定理》第一课时教学设计
一、教学目标
181勾股定理(第一课时)
教学任务分析
教学流程安排
设计说明：
1、本节课是公开课，根据学生的知识结构，我采用的教学流程是：提出问题—实验操作—归纳验证—问题解决—课堂小结—布置作业六部分，这一流程体现了知识发生、形成和发展的过程，让学生体会到观察、猜想、归纳、验证的思想和数形结合的思想。
2、探索定理采用了面积法，引导学生利用实验由特殊到一般再到更一般的对直角三角形三边关系的研究，得出结论。
这种方法是认识事物规律的重要方法之一，通过教学让学生初步掌握这种方法，对于学生良好思维品质的形成有重要作用，对学生的终身发展也有一定的作用。
3、关于练习的设计，除两个实际问题和课本习题以外，我准备设计一道开放题，大致思路是在已画出斜边上的高的直角三角形中让学生尽量地找出线段之间的关系。
4、本课小结从内容，应用，数学思想方法，获取知识的途径等几个方面展开，既有知识的总结，又有方法的提炼，这样对于学生学知识，用知识的意识是有很大的促进的。
课题：18.1勾股定理（第一课时）
教学时间：2013年4月18日
教学地点：烟墩中心初级中学阶梯教室
执教人：王贵林
2013年4月日17日。
教育部参赛_勾股定理课件(第一课时)_孟召峰
2
结论：
a b c
2 2
2
勾股定理 (毕达哥拉斯定理)
直角三角形两直角边的平方和 等于斜边的平方.
弦
c
勾a ┏
股
b
a2+b2=c2
勾股定理的由来
这个定理在中国又称为“商高定理”，在外国称为“毕达哥拉 斯定理”。为什么一个定理有这么多名称呢？商高是公元前十一世 纪的中国人。当时中国的朝代是西周。 在中国古代大约是战国时期西汉的数学著作《周髀算经》中记 录着商高同周公的一段对话。商高说：“…故折矩，勾广三，股修 四，经隅五。“什么是”勾、股“呢？在中国古代，人们把弯曲成 直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”。商高那 段话的意思就是说：当直角三角形的两条直角边分别为3（短边） 和4（长边）时，径隅（就是弦）则为5。以后人们就简单地把这个 事实说成“勾三股四弦五”。由于勾股定理的内容最早见于商高 的话中，所以人们就把这个定理叫作"商高定理"。 毕达哥拉斯（Pythagoras）是古希腊数学家，他是公元前五世 纪的人，比商高晚出生五百多年。希腊另一位数学家欧几 里德（Euclid，是公元前三百年左右的人）在编著《几何原本》 时，认为这个定理是毕达哥达斯最早发现的，所以他就把这个 定理称为“毕达哥拉斯定理”，以后就流传开了。（为了庆祝这一定理
C的面 积(单位 长度)
C A B 图2-1 A B
图1
9
9
18 8
图1
4 C
A、B、 C面积 关系 直角三 角形三 边关系
4
SA+SB=SC
两直角边的平方和 等于斜边的平方
图2-2
（图中每个小方格代表一个单位面积）
探究二：
一般的直角三角形 三边为边关系
勾股定理第一课时初中数学原创课件
第1课时 勾股定理
学习目标
1.了解勾股定理的发现过程;
2.掌握勾股定理的内容并会运用;
3.在合作交流中解决问题,培养合作探究能力.
新知探索
数学家毕达哥拉斯的发现：
A
B
C
A、B、C的面积有什么关系？
SA+SB=SC
做一做
1.观察右边两个图并填写下表：
A的面积 B的面积 C的面积
猜想：如果直角三角形两
直角边长分别为a，b，斜
边长为c，那么a2+b2=c2．
C
A
c
a
b
B
图1-2
c
a
A b
C
B
图1-3
验证猜想
下图图案是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会
的会徽．它与勾股定理有着密切联系.
问题1
这个图案由哪些基本图形组成？
由四个全等的直角三角形和一个
小正方形组成了一个大正方形.
勾股定理 (毕达哥拉斯定理)
如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，
c
a
斜边长为c，那么
a2+ b2=c2.
即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
b
美国总统证明勾股定理
美国第17任总统加菲尔德证明勾股定理的方法：两个全
等的直角三角形和一个等腰直角三角形拼成一个直角梯形.
尝试完成这个证明.
（× ）
巩固练习
练习1
求下列直角三角形中未知边的长度．
解：在Rt△ABC中，根据勾股定理
A
5
C
x
12
（1）
x2 =52+ 122=169 ．
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勾股定理（第一课时）
一、教材分析
“勾股定理”这节内容主要讲述了直角三角形三边间的一种关系定理,它是建立在三角形、全等三角形、等腰三角形等有关知识的基础之上。
同时，也是初三几何中解直角三角形及圆中有关计算的必备知识。
更重要的是，纵观初中数学，勾股定理架起了代数和几何间的桥梁。
它在数学理论体系中的地位举足轻重，在日常生活、工农业生产中，应用极为广泛。
从学生的角度来看，对勾股定理学习的好坏直接影响他们的后续数学学习。
二、教学目标
1、知识与技能目标：（1）让学生通过观察、计算、猜想直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方的结论。
（2）了解定理的概念。
2、过程与方法目标：（1）了解利用拼图验证勾股定理的方法，并利用两边求直角三角形的另一边（2）让学生在充分观察、归纳、猜想、探索直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方的过程中，发展合情推理能力，体会数形结合的思想。
（3）在探索上述过程中，发展学生归纳、概括和有条理表达活动的过程和结论的能力。
3、情感态度与价值观：（1）对比介绍我国古代和西方数学家关于勾股定理的研究，激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化的情感，激励学生发奋学习（2）培养学生积极参与、合作交流的意识；（3）在探索勾股定理的过程中，体验获得结论的快乐，锻炼克服困难的勇气。
三、教学的重、难点
重点：探索直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方的结论，从而发现勾股定理。
难点：勾股定理的证明。
四、教学设计过程
(一)创设情景，导入新课
人类一直想弄清楚其他星球上是否存在着“人”，并试图与“他们”取得联系，那么我们怎样才能与“外星人”接触呢？数学家曾建议用“勾股定理”的图来作为与“外星人”联系的信号。
2002年在北京召开了第24届国际数学大会，曾被誉为数学界的“奥运会”，这就是本届大会会徽的图案（展示图案）。
这个图案是我国汉代数学家赵爽在证明勾股定理时用到的，被称为“赵爽弦图”。
你见过这图案吗？你听说过“勾股定理”吗？
勾股定理有着悠久的历史。
古巴比伦人和古代中国人看出了这个关系；古希腊的毕达哥拉斯学派首先证明了这个关系，很多具有古老文化的民族和国家都会说：我们首先认识的数学定理是勾股定理。
（二）实验操作，探求新知
相传2500年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家做客时，发现朋友家的用砖铺成的地面中反映了直角三角形的某种数量关系。
情境：毕达哥拉斯从朋友家的地砖中发现了什么？
问题1：你能发现图中等腰直角三角形ABC三边有什么关系吗？
问题2：等腰直角三角形都有上述性质吗？
观察右图，并回答问题：
(1)观察图1。
正方形A中含有＿＿＿个小方格，即A的面积是＿＿＿个单位面积；
正方形B中含有＿＿＿个小方格，即B的面积是＿＿＿个单位面积；
正方形C中含有＿＿＿个小方格，即C的面积是＿＿＿个单位面积；
(2)在图2、图3中，正方形A、B、C中各含有多少个小方格？它们的面积
各是多少？你是如何得到结果的？与同伴交流。
(3)请将结果填入下表，你能发现正方形A、B、C的面积关系吗？
师生行为：对于问题1和问题2，教师要留给学生充分的思考时间，然后让学生
交流合作，得出结论。
（设计意图：通过让学生观察计算，发现对于等腰直
角三角形而言，满足两直角边的平方和等于斜边
的平方，让学生亲历发现、探究的过程，也有利
于培养学生的语言表达能力，体会数形结合的思
想。
）
小组合作探究：等腰直角三角形有上述性质，一般的直角三角形也有这个性质
吗？如右图，每个小方格的面积均为1，请分别计算出下图中正方形A 、B 、C 的面积，填入表中，看看能得出什么结论。
师生行为：让学生让算正方形A 、B 、C 的面积，但正方形C 的面积不易求出，
可以让学生在预先准备好的方格纸上画出图形，发现求正方形C 的面积的方法。
这个活动中计算以斜边为边长的正方形的面积有一定难度，可以通过折纸法、分割法等以解决。
用折叠法所得的图案正是2002年在北京召开的数学学大会的徽标。
推广结论：在一般直角三角形中，以两直角边为边的正方形的面积等于以斜边为
边的正方形的面积；即在直角三角形中，两直角边的平方等于斜边的平方；与字母相结合，数形结合，得出命题。
（设计意图：进一步让学生体会观察、猜想、归纳这一数学结论发现的过程，也
让学生分析问题和解决问题的能力在无形中得到提高，让学生体会到结论更具有一般性。
）
（三）归纳验证，定理命名
1、猜想：命题1（课本P73）
2、验证命题1
师生行为：教师先要留给学生充分的思考时间，然后多媒体课件演示古人刘爽的证法
3、介绍“定理”的概念，并结合以前学过的具体例子，对定理、公理的概念加以说明。
4、命名“勾股定理”，介绍“勾、股、弦”的含义，进行点题，并指出勾股定理只适用于直角三角形。
5、介绍古今中外对勾股定理的研究。
（设计意图：了解数学常识，激发对数学的兴趣，进行爱国主义的教育。
）
（四）解析、应用与拓展
例1 在Rt △ABC 中，∠C=900，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别是c b a ,,。
（1）5,3a b ==，求c ； （2）8,10,a c ==求b ；
（3）5,7,b c ==求a ； （4）15,4:3:==c b a ，求b 。
分析：（1）开始时要列出基本式子222c b a =+，变形后得22b a c +=，再
计算。
（2）（3）小题目由学生完成；（4）利用方程的思想方法解决。
解：（1）∵222c b a =+∴22b a c +=
∴c （2）（3）略
（4）设x b x a 4,3== ，得 ()()x x x x c 52543222==+=
=15 解得，3=x ，所以12=b
练习1：在Rt △ABC 中， ∠B ＝ 90°，
已知a=5,b=10,则c ＝（ ）。
练习2：在Rt △ABC 中，∠A ＝ 90°，
已知a=20,c ＝10,则b ＝（ ）.
练习3：等边△ABC 的边长为a ，则高AD= ，面积为 。
（五）课堂小结
1、这节课你学到了什么知识？
勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么 a2+ b2= c2。
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
2、本节课我们经历了怎样的过程？
（六）作业设计
1、必做题：课本P77习题18.1第一题，P78第2题。
2、选做题：（1）课本P80 阅读与思考，你能根据这些图形及提示证明勾股定理
吗？。