高三数学第一轮基础知识总复习值域的求法

高三数学第一轮基础知识总复习

求函数值域的方法

复习内容：高中数学第二章-（5）求函数值域的方法

I. 基础知识要点

1．在函数y=f(x)中，与自变量x 的值对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。

2．确定函数的值域的原则

①当函数y=f(x)用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y 的集合；

②当函数y=f(x)用图象给出时，函数的值域是指图象在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合；

③当函数y=f(x)用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定； ④当函数y=f(x)由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。 3．求函数值域的方法 II.点例剖析

（1）直接法：从自变量x 的范围出发，推出y=f(x)的取值范围；

一次函数y=ax+b(a ≠0)的定义域为R ，值域为R ； 反比例函数)0(≠=

k x

k

y 的定义域为{x|x ≠0}，值域为{y|y ≠0}； 二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域为R ，当a>0时，值域为{a

b a

c y y 4)4(|2

-≥}；

当a<0时，值域为{a

b a

c y y 4)4(|2

-≤

} （2）配方法：如果y=f(x)是二次函数或是可以化为二次函数的函数，则可以用配方法求值域.

【例1】求下列函数的值域：

（1）y=x 2

-4x+5； （2）y=x 2

-4x+5，x ∈[1,4]； (3) y=x 2

+2x+4, x ∈[0,+∞)

（4）y=-x 4

+2x 2

+3； （5）y=2

21224x x x x

+

---； (6) y=4x +2x+1

（7）y=2

229(log )log 4x x -+； （8）y=sin 2

x-sinx+94

（3）基本不等式法：利用平均不等式求值域转化成型如：)0(>+=k x

k

x y ，用公式来求值域；

【例2】求下列函数的值域： （1）y=1x x +,（x>0）； （2）y=41x x +,（x ≠0）； （3）y=9x x

+,（0＜x ≤2)；

（4）y=x(6-x)； （5）y=2

12(4)4

x

x x ≥+,

（4）不等式性质法

【例3】求下列函数的值域：

（1）y=262x +； （2）y=22241022x x x x ++++； （3）y=6

2sin 1

x -

（4）y=10-； （2）y=1

3()4(1)2

x x -+≤-； （3）

y=2

211log ()()42

x x +>

（5）逆求法（反求法）：通过反解，用y 来表示x ，再由x 的取值范围，通过解不等式，得出y 的取值范围；常用来解，型如：),(,n m x d

cx b

ax y ∈++=或将求函数的值域转化为求它

的反函数的值域.

【例4】求下列函数的值域：

（1）y=11x x e e -+； （2）y=2sin 3sin x

x

+； （3）y=222x x +；

（法一）反函数法：

（法二）分离变量法：

（6）函数单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域. 【例5】求下列函数的值域：

（1）y=x 3

+arcsinx ； （2）y=1

x

x a a

-(正常数a ≠1,x ≥1)；

（3）y=412

log (1)x +； （4）y=241()

3

x x

-

（7）换元法（代数换元法）：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想； 【例6】（1

）y x =+（2

）y x =【解】（1

）设0t =≥，则21x t =-，

∴原函数可化为22

14(2)5(0)y t t t t =-+=--+≥，∴5y ≤， ∴原函数值域为(,5]-∞．

说明：总

结y a x d =+型值域，变形

：2y ax b =+

或

2y ax b =+（2）三角换元法：∵2

1011x x -≥?-≤≤，∴设cos ,[0,]x ααπ=∈，

则cos sin )4y πααα=+=+∵[0,]απ∈，∴5[,]444

πππ

α+∈，

∴sin()[4

2π

α+

∈-

)[4

π

α+∈-

，∴原函数的值域为[-． （8）几何法：由数形结合，转化斜率、距离等求值域；

图像法：当一个函数图象可作时，通过图象可求其值域 【例7】（1）已知2

2

4x y +=，求函数u=3x+4y 的值域； （2

（3）对于圆x +(y-1)=1上任一点P （x ，y ），不等式x+y+m ≥0恒成立，求实数m 的取值范围；

（4）求函数|1||4|y x x =-++的值域. 解：（2）设

，则y

x

k y kx ==.问题转化为直线y=kx 与圆(x-2)2+y 2=1有公共点时，斜率的取值范围问题。现在只要求出

k

的最大和最小值即可。 k k 大

小，==-3333∴∈-????

?

?k 3333， （3）[]x y P x y 2

2

11102+-===+??

?∈()cos sin 上任一点可写成，θ

θ

θπ

y

1

O 2 x

代入得x y m ++≥010+++≥s i n c o s θθm ，

m m ≥---≥-+

-sin cos sin()θθθπ

1

24

1

-?+--24

121sin ()θπ

的最大值为。

∴≥-++≥m x y m 210时，不等式恒成立。

（4）数形结合法：23(4)|1||4|5

(41)23(1)x x y x x x x x --≤-??

=-++=-<

，∴5y ≥，∴函数值域为[5,)+∞．

（9）最值法：

【例7】求下列函数的值域： 拓展

【例1】求函数f(x)=2

,(0,1]1

ax

x ax ∈+的值域：

【例2】求函数f(x)=

21

ax b

x ++的值域是[-1，9]，求实数a 、b 值.

Ⅲ. 小结

1．熟练掌握求函数值域的几种方法，并能灵活选用； 2．求值域时要务必注意定义域的制约；

3．含字母参数或参数区间的一类值域问题要进行合理分类讨论； 4．用不等式求值域时要注意“=”的成立条件。

5．对于二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f ,⑴若定义域为R 时，

①当a>0时，则当a b

x 2-

=时，其最小值a

b a

c y 4)4(2

min -=； ②当a<0时，则当a b x 2-=时，其最大值b ac y )4(2max -= ⑵若定义域为x ∈ [a,b],则应首先判定其顶点横坐标x 0是否属于区间[a,b]①若0x ∈[a,b],

则)(0x f 是函数的最小值（a>0）时或最大值（a<0）时，再比较)(),(b f a f 的大小决定函数的最大（小）值②若0x ?[a,b],则[a,b]是在)(x f 的单调区间内，只需比较)(),(b f a f 的大小

即可决定函数的最大（小）值

(3)若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；

(4)当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论

Ⅳ. 巩固练习夯实基础 【题组一】

1．函数y=

23

1

x x ++的值域是 ； []21

12.求函数，在，上的最大及最小值。y x x =+

3．函数y=6

3cos 1

x +的值域是 ；

4．函数

+1的值域是 ；

5．函数y=2

2

221(log )log 3([,4])2

x x x -+∈的值域是 ； 6．函数y=221()

3

x x

+的值域是

7．已知：点P （x ，y ）是圆x 2+y 2=9上的动点。求x+y 的最大值。 8

．函数y =的值域是 [0,2]

9．函数221

x

x y =+的值域为(0,1)．

10若函数()log a f x x =在[2,4]上的最大值与最小值之差为2，则a

=2

11．求函数y=|x+1|+|x-2|的值域

（11. 解法1：将函数化为分段函数形式：??

?

??≥-<≤--<+-=)2(12)21(3)1(12x x x x x y ，

画出它的图象，由图象可知，函数的值域是{y|y ≥3}

解法2：（几何法或图象法）∵函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x 到两定点-1，2的距离之和，∴易见y 的最小值是3，∴函数的值域是[3，+∞] 如图

）

12．求函数x x y -+=142的值域

解：(换元法)设 x t -=1 则 t ≥0 x=1-2

t

代入得 t t t f y 4)1(2)(2+-?==4)1(22422

2+--=++-=t t t ∵t ≥0 ∴y ≤4

13．某宾馆有相同标准的床位100张根据经验，当该宾馆每张床的床价不超过10元时，床位可以全部租出；当床价高于10元时，每提高一元，将有3张床位空闲为了获得较好的效益，该宾馆要给床位定一个合适的价格，条件是①为方便结算，床位应为1元的整数倍；②该宾馆每日的费用支出为575元，床位出租收入必须高于支出，而且高出得越多越好，若用x 表示床价，用y 表示该宾馆一天出租床位的净收入（即除去每日的支出费用后的收入）， (1)把y 表示为x 的函数，并求出定义域；

(2)试确定该宾馆床价定为多少时，既符合上述条件，又能使净收入最多？

2．(1)100575(10)

[100(10)3]57510x x y x x x -≤?=?--?->?=2100575(610,)3130575(1038,x x x N x x x x N

-≤≤∈??-+-<≤∈?

(2)当x ≤10时，y ≤425;当x>10,则当x=22时，y 有最大值约833元

【题组二】

1．若函数y=x 2

-3x -4的定义域为[0,m],值域为[-25/4,-4],则m 的取值范围是 [3/2,3]

3．求下列函数的值域(1)y=(1-x 2)/(1+x 2

); (2)y=(1-2sinx)/(1+sinx) (1) (0,1); (2) [-1/2,+∞]

4．已知1/2≤t ≤1,则2/t –t 的最大值是 7/2(单调性求最值)

5．函数y= –x 2–2ax(0≤x ≤1)的最大值是a 2,那么实数a 的取值范围是 –1≤a ≤0(配方法求二次函数的最值)

6．在区间[1/2,2]上函数f(x)=x 2+px+q 与g(x)=2x+1/x 2在同一点取得相同的最小值，那么f(x)在区间[1/2,2]上的最大值是 4 ，平均值不等式求最值 7．函数x

y a =在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则a = 2

8．已知函数()21x

f x =-，2

()1g x x =-，构造函数()F x ，定义如下：当|()|()f x g x ≥时，

()|()|F x f x =，当|()|()f x g x <时，()()F x f x =-，那么()F x （ B ）

()A 有最小值0，无最大值 ()B 有最小值1-，无最大值 ()C 有最大值1，无最小值 ()D 无最小值，也无最大值

9. 函数的值域是1

31

-=

x y ( D ) (A) (-)1,-∞ (B) (,0)(0,)-∞+∞U

(C) (-1,+)∞ (D) (-,1)(0,)∞-+∞U 10. 函数)2(log log 2x x y x +=的值域是

（ D ）

A ．]1,(--∞ (B)),3[+∞ (C)]3,1[- (D)),3[]1,(+∞?--∞ 11. 函数2

y =

的值域为 。5,2??+∞????

12.223x x y +-=

的值域是______________.)

+∞

13．函数)

1(11

)(x x x f --=的最大值是

（ D ）

A ．

54 B ．45 C ．43 D ．34 14．函数1222--=x x

y 的值域为 （ B ）

A ．（,2][1,)

-∞--+∞U B ．(,2)(1,)-∞--+∞U C ．}{R y y y ∈-≠,1 D ．}{R y y y ∈-≠,2

15．函数x x y 1-

=在]2,1[上的值域是_______________[0,3

]2

16. 下列函数中，值域是（0，+∞）的函数是 （ D ）

A ．1

51+=

-x y B ．x

y 2

1-= C ．1)21(-=x y D ．x y -=1)31( 17. 已知函数322

+-=x x y 在区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是（ D ）

A 、[ 1，+∞]

B 、[0，2]

C 、（-∞，2）

D 、[1，2]

18. （04津）若函数)10(log )(<<=a x x f a 在区间]2,[a a 上的最大值是最小值的3倍，则a=（A ）

A.

4

2

B.

22 C. 41 D. 21

19.（04湖北）函数()log (1)[0,1]x

a f x a x =++在上的最大值与最小值之和为a,则a 的值

为（ B ）

（A ）

41 （B ）2

1

（C ）2 （D ）4 20. 已知函数),1[,2)(2+∞∈++=

x x a x x x f .(1)当2

1

=a 时，求函数)(x f 的最小值 ；(2)若对任意),1[+∞∈x ，)(x f 0>恒成立，试求实数a 的取值范围。 (1)7

2

(2)3a >-