李永乐.线性代数
线性代数李永乐辅导笔记
【例题1】B ＝????
??????50030021a ，A 2
－2AB ＝ E ，r(AB －2BA ＋3A ) ＝（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）与a 有关 【解】 ∵ A (A －2B ) ＝ E ∴ A 可逆，且A －1
＝ A －2B
? A (A －2B ) ＝ (A －2B ) A (A A
－1
＝ A －1
A )
? AB ＝ BA
那么，AB －2BA ＋3A ＝ 3A －AB ＝ A (3E －B )
又，A 可逆，知
r(AB －2BA ＋3A ) ＝ r(A (3E －B )) ＝ r(3E －B )
?a 有|3E －B |＝0，又3E －B 有二阶子式不得零，从而r(3E －B ) ＝ 2.
【例题2】A m ×n ，ε1，ε2，…，εt 是Ax ＝ 0的基础解系，α是Ax ＝ b 的一个解. (I)证明α，α＋ε1，α＋ε2，…，α＋εt 线性无关.
(II)证明Ax ＝ b 的任意一个解都可以由α，α＋ε1，α＋ε2，…，α＋εt 线性表出.
【分析】ε1，ε2，…，εt 是Ax ＝0的基础解系，那么ε1，ε2，…，εt 必定线性无关，从而证明α，α＋ε1，α＋ε2，…，α＋εt 线性无关可以用定义法。 【证】(I)（用定义，重组，同乘）
设 k 0α＋k 1 (α＋ε1)＋k 2(α＋ε2)＋…＋ k T (α＋εt )＝0 (1) 即 （k 0＋k 1＋k 2＋…＋k T ）α＋k 1ε1＋k 2ε2＋…＋k T εt ＝0
(2)
由A α＝b ， A εi ＝0（i ＝1，…，t ），用A 左乘（2），有
(k 0＋k 1＋k 2＋…＋k t )A α＋k 1A ε1＋k 2A ε2＋…＋k t A εt ＝0
即 (k 0 ＋k 1＋k 2 ＋…＋k t )b ＝0 又b ≠0，有k 0＋k 1＋k 2＋…＋k T ＝0
(3)
带入(2)有 k 1ε1＋k 2ε2＋…＋k t εt ＝0，
而ε1，ε2，…，εt 是Ax ＝0的基础解系，那么ε1，ε2，…，εt 必定线性无关， 从而k 1 ＝k 2 ＝…＝k t ＝0，带入(3)有k 0＝0.
所以 k 0＝k 1＝k 2＝…＝k t ＝0?α，α＋ε1，α＋ε2，…，α＋εt 线性无关. （或用秩）
∵ε1，ε2，…，εt 线性无关，α是Ax ＝b 的解?α不能由ε1，ε2，…，εt 线性表出.
?x 1
ε
1
＋x 2ε2＋…＋x t εt ＝α无解?r(ε1，ε2，…，εt )≠r(ε1，ε2，…，εt ，α)
∵r(ε1，ε2，…，εt ) ＝t ?r(ε1，ε2，…，εT ，α)＝t ＋1
?r(α，α＋ε
1
，α＋ε2，…，α＋εt )＝t ＋1?α，α＋ε1，α＋ε2，…，α＋εt 线性无关.
(II)设β是Ax ＝b 的任意一个解，则β－α是Ax ＝0的解. 从而 β－α＝l 1ε1＋l 2ε2＋…＋l t εt .
?β＝α＋l 1
ε
1
＋l 2ε2＋…＋l t ε
t
?β＝(1－l
1
－l 2 －…－l t )α＋l 1ε1＋l 2ε2＋…＋l t ε
t
即β可由α，α＋ε1，α＋ε2，…，α＋εt 表出.
【评注】
本题考查矩阵逆的概念以及矩阵的乘法.
设矩阵A －n 阶，B －n 阶，若AB ＝ BA ＝E ，则称矩阵A 可逆，且B 为A 的逆
矩阵.由此有A A －1＝ A －1
A .
【例题3】A m ×n ，r(A )＝n ，α1，α2，…，αs 是n 维列向量.
证明：α1，α2，…，αs 线性无关的充分必要条件是A α1，A α2，…，A αs 线性无关.
【证】必要性（用定义）
设k 1A α1＋k 2A α2＋…＋k s A αs ＝0，即A (k 1α1＋k 2α2＋… ＋k s αs )＝0. 由A m ×n ，r(A )＝n ?Ax ＝0只有零解.
故k 1α1＋k 2α2＋…＋k s αs ＝0，又α1，α2，…，αs 线性无关?k 0＝k 1＝k 2＝…＝k s ＝0. 从而A α1，A α2，…，A αs 线性无关. 充分性（用秩）
因为A α1，A α2，…，A αs ＝A (α1，α2，…，αs )，所以
r(A α1，A α2，…，A αs )＝r(A (α1，α2，…，αs ))≤r(α1，α2，…，αs )
由A α1，A α2，…，A αs 线性无关知r(A α1，A α2，…，A αs )＝s.
而r(α1，α2，…，αs )≤s ，从而r(α1，α2，…，αs )＝s ?α1，α2，…，αs 线性无关.
【例题4】设A ＝[α1，α2，α3，α4]，Ax ＝β的通解是[1，－2，1，－1] T
＋k[1，3，2，0]T
，B ＝[α3，α2，α1，β＋α4]，γ＝α1
－3α2＋5α3，
(I) α1能否由α2，α3线性表出？ (II) α4能否由α1，α2，α3线性表出？ (III) Bx ＝γ求的通解.
【分析】由非齐次方程组解的结构知道对应的齐次方程组的解的结构.并且由于系数矩阵没有明确给出，所以要从解的结构抽象地求解方程组.用观察法得到基础解系，注意基础解系是线性无关的. 【证】(I) Ax ＝β解的结构知r(A )＝3.
由A ????
?
???????0231＝0 ?α
1
＋3α2＋2α3＝0?α1能由α2，α3线性表出.
(II) 设x 1α1＋x 2α2＋x 3α 3 ＝α
4
由(I)知r(α1，α2，α3)＜3，而r(α1，α2，α3，α4)＝4，知方程组无解，故α4不能由α1，α2，α3线性表出.
(III)由A ????
?
???????--1121＝β?α 1
－2α 2 ＋α3－α4＝β，
那么B ＝[α3，α2，α1，β＋α4]＝[α3，α2，α1，α1－2α2＋α3－α4]? r(B )＝4.
从而n －r(B )＝2.
【评注】
本题考查向量小组的线性相关的证明和线性表出的证明.考查了方程组基础解系的概念：
设有向量小组η1，η2，…，ηt 满足： (1) A ηi ＝ 0（i =1，…，t ），即ηi 是Ax ＝ 0的解. (2) Ax ＝ 0的任意一个解都可以由η1，η2，…，ηt 表出. (3) η1，η2，…，ηt 线性无关.
那么称η1，η2，…，ηt 为Ax ＝ 0的基础解系.
也就是说若η1，η2，…，ηt 是Ax ＝ 0的基础解系，那么η1，η2，…，ηt 必满足上述3条。
因为[α3，α2，α1，α 1 －2α2＋α3－α
4
]????
?
???????-0135＝α1
－3α2＋5α
3
所以[5，－3，1，0] T
是Bx ＝γ的一个解.
由(I)知α1＋3α2＋2α3＝0，从而[α3，α2，α1，α1－2α 2 ＋α3－α
4
]????
?
???????0132＝0，用观察法，取另一个向量使得它与[2，3，1，0] T
线性无关，即
[α3，α2，α1，α1－2α2＋α3－α
4
]????
?
???????---1121＝0，所以Bx ＝γ的通解是
[5，－3，1，0] T ＋k 1[2，3，1，0] T
＋k 2[－1，－2，1，－1] T
，其中k 1，k 2为任意常数.
【例题5】A ＝ [α1，α2，α3]，α
1
≠0满足AB ＝0.其中B ＝????
??????k 63642321，求α1
，α2，α3的一个极大线性无关组,并用它表出其
他向量.
【分析】从AB ＝0要得想到两方面的信息：(I) r(A )＋r(B )≤n (II) B 的列向量均是Ax ＝0的解. 【解】由AB ＝0?r(A )＋r(B )≤3. 因为A ≠0，B ≠0知1≤r(A )≤2，1≤r(A )≤2
当k ≠9时，r(B )＝2，从而r(A )＝1，此时极大无关组为α1.由AB ＝0得
???
???=++=++=++0
6406420
32321
321321αααααααααk (k －9)α3
＝0
又k ≠9，故α3＝0，α3＝0α1.
当k ＝9时，r(B )＝1，从而r(A )＝1或2. 若r(A )＝1，则极大无关组为α1， 由α1＋2α2＋3α3－α4＝0()1312
t 213
1
αααα+-
==?，t 若r(A )＝2，则极大无关组为α1，α2（α1，α2必定线性无关，否则r(A )＝1）
2133
1
31ααα--=?
【评注】
本题考查了方程组解的结构以及在方程组矩阵未具体给出的时候如何求解方程组的通解.根据题目信息求出系数矩阵的秩后，会用方程组解的理论拼出解得基本形式，要会用观察法得到特解，和线性无关的解向量.
例如本题在选取齐次方程组基础解系时，先由已知条件得到一个解向量[2，3，1，0] T ，然后只要另一个解向量的形式为[□，□，1，－1] T ，那么这两个向量必定线性无关，从而可以作为基础解系.
【例题6】设A ＝????
??????--a a 4121032
1，r(A )＝2，则A
*
x ＝0的通解是______.
【分析】若A 为n 阶方阵，则??
???--===1101*
n A r n A r n A r n A r ）＜（）（）
（，，，）
（，从而由r(A )＝2知r(A *
)＝1，又|A |＝0，得A *
A ＝A A *
＝|A |E ＝0? A 的列向量是A *
x ＝0解.由解的结构知应填k 1[□，□，□] T
＋k 2[□，□，□] T
的形式.
【解】而由r(A )＝2知r(A *
)＝1，所以通解由n －r(B )＝3－1＝2个解向量构成. 又|A |＝0，得A *
A ＝A A *
＝|A |E ＝0?A 的列向量是A *
x ＝0解.
即 [1，0，－1] T ，[2，1，a] T ，[3，2，4－a] T
.
又[2，1，a] T
＋[3，2，4－a] T
＝[5，4，3] T
，显然[1，0，－1] T
与[5，4，3] T
线性无关，故k 1[1，0，－1] T
＋k 2[5，4，3] T
是A *
x ＝0的通解，其中k 1，k 2为任意常数.
【例题7】设α1，α2，α3是Ax ＝b 的解，r(A )＝3，若α1＋α2＝[1，2，3，4] T
，α2＋2α3＝[2，3，4，5] T
，则Ax ＝b 的通解是______. 【解】由r(A )＝3知Ax ＝0的通解由n －r(B )＝4－3＝1个解向量构成.从而 3(α1＋α2)－2(α2＋2α3)是Ax ＝0的解，即[－1，0， 1，2] T
(α2＋2α3)－(α1＋α2)是Ax ＝b 的解，即[1，1， 1，1] T
从而，[1，1，1，1] T
＋k[－1，0， 1，2] T
是Ax ＝b 的通解，其中k 为任意常数.
【例题8】设A ＝????
?
?????---31311111a 只有2个线性无关的特征向量.求A 的特征值与特征向量.
【解】3阶矩阵只有2个线性无关的特征向量，则特征值必有重根.
|λE －A |＝
31
3
1
1111
------λλλa
＝
3
1
1
111
-----λλλλa
＝λ(λ－a)(λ－4)＝0.
(1)若a ＝0，则λ1＝λ2＝0. 对[0E －A ] x ＝0，有
??
??
??????-→??????????-----000010101313101111，从而α
1
＝[1，0，1] T
，k 1α1，其中k 1为任意常数.
对[4E －A ] x ＝0，有
????
?
?????--→??????????---0004110141113141113，从而α2
＝[－5，4，－11] T
，k 2α2，其中k 2为任意常数.
(2)若a ＝4，则λ1＝λ2＝4. 对[0E －A ] x ＝0，有
????
??????-→??????????-----000010101313101111，从而α3
＝[1，0，1] T
，k 3α3，其中k 3为任意常数.
对[4E －A ] x ＝0，有
????
??????--→??????????---0004110141113141113，从而α4
＝[1，4，1] T
，k 4α4，其中k 4为任意常数.
【例题9】设A 是3阶矩阵，且αT
β＝2
1
，A ＝αβT ＋βαT
.
(I)证明 0是A 的特征值.
(II)证明α＋β，α－β是A 的特征向量. (III)求二次型x T
Ax 的正负惯性指数. 【证】(I)∵ αT
β＝βT
α＝
2
1.
∴ βαT
，βαT 是秩为1的矩阵.
从而r(A )＝r(αβT
＋βαT
)≤r(αβT
)＋r(βαT
)＝2＜3.即|A |＝0?0是A 的特征值.
(II) A (α＋β)＝(αβT ＋βαT )(α＋β)＝αβT α＋βαT α＋αβT β＋βαT
β ＝
2
1α＋β＋α＋
2
1β＝
2
3(α＋β)，
又(α＋β)≠0，否则α＋β＝0?α＝－β?α
T
β＝βT
α＝－1≠
2
1（α，β是3维单位列向量）.
从而α＋β是A 的属于特征值2
3的特征向量.
同样有A (α－β)＝－
2
1(α－β)，且(α－β)≠0，从而α－β是A 的属于特征值－
2
1的特征向量.
(III)由(I)、 (II)知A 的特征值是：0，2
3，－
2
1，又A T
＝A （否则A 不是二次型的矩阵）?p ＝1，q ＝1
【例题10】设A 是3阶矩阵，α1，α2，α3是3维线性无关的列向量，α1是Ax ＝0的解，A α2＝α1＋2α2，A α3＝α1－3α2＋2α3. (I)求A 的特征值，特征向量. (II)判断A 是否和Λ相似？
【分析】由A α2＝α1＋2α2，A α3＝α1－3α2＋2α3，α1是Ax ＝0的解，得到A [α1，α2，α3] [0，α1＋2α2，α1－3α2＋2α3]
＝[α1，α2，α3]???????
?
??-20
32
0110.记B ＝????
??????-20
32
0110
，若[α1，α2，α3]可逆，则必有A ＝[α1，α2，α3]B [α1，α2，
α3]
－1
，现在问题是[α1，α2，α3]可不可逆呢？题目中又给出了α1，α2，α3线性无关，故三阶矩阵[α1，α2，α3]必可逆，所以A
和B 相似.所以求A 的特征值和特征向量就转为求B 的特征值与特征向量.记A 的特征向量为δ，则B 的特征向量为P －1
δ ，所以知道了P －1
δ，就可以求出δ.
而问A 是否和Λ相似，由于已经求出了A 的特征值，特征向量，则可以从相似对角化的充分必要条件给予推断.也可以根据相似的传递性，由于上一步中已经得到了A 和B 相似，故若有B 和Λ相似，则有A 是否和Λ相似.
【解】(I) A [α1，α2，α3]＝[0，α1＋2α2，α1－3α2＋2α3]＝[α1，α2，α3]????
???
?
??-20
32
0110
. 因为α1，α2，α3线性无关，故[α1，α2，α3]可逆，从而
[α1，α2，α3]－1
A [α1，α2，α3]＝
B ＝????
???
???-20
32
0110
，即A 和B 相似. 由B 的特征值为0，2，2（B 为上三角矩阵，或者用定义，由|λE －B |＝λ(λ－2)2
＝0?λ＝0，2，2.）知A 的特征值为0，2，2.
由已知，k 1α1是A 的属于特征值0的特征向量，其中k 1为不等于零的任意常数.
对于B 的属于特征值2的特征向量，有δ
1＝[1，2，0]T
=[α1，α2，α3]????
?
?????021＝[α1＋2α2]，?k 2[α1＋2α2]是A 的属于特
征值2的特征向量，其中k 2为不等于零的任意常数.
(II) 由(I)知A 只有2个线性无关的特征向量，故A 不和Λ相似.
【评注】
这是特征值与特征向量的另一种考法，由A α2＝α1＋2α2，A α3＝α1－3α2＋2α3要想到
相似的信息.这里缺少A α1，如果有A α1的话，就可以构成分块矩阵的乘法，从而可以得到相似的信息，而这里题目中又给出了α1是Ax ＝0的解，所以可以做分块矩阵的乘法，
有A [α1，α2，α3] [0，α1＋2α2，α1－3α2＋2α3]＝[α1，α2，α3]????
????
??-20
320
110. 记B ＝????
?
?????-20
32
110
，若[α1，α2，α3]可逆，则必有A ＝[α1，α2，α3]B [α1，α2，α3]－1，现在问题是[α1，α2，α3]可不可逆呢？题目中又给出了α1，α2，α3线性无关，故
三阶矩阵[α1，α2，α3]必可逆，所以A 和B 相似.所以求A 的特征值和特征向量就转为
求B 的特征值与特征向量.记A 的特征向量为ζ，则B 的特征向量为P －1
ζ ，所以知道了P －1
ζ，就可以求出ζ.
【例题11】设A 2
＋2A ＝0，r(A )＝r. (I)证明 A 和Λ相似. (II)求|A ＋3E |.
【分析】由λ2
＋2λ＝0?λ＝0，－2.即A 的特征值是，但是各有几个是不知道的，还需要具体分析.
【证】(I)（用秩）r(A )＝r ?A ＝[α1，α2，…，αn ]中有r 个向量线性无关.
由A 2
＝－2A ?A [α1，α2，…，αn ]＝－2[α1，α2，…，αn ]?α1，α2，…，αn 是A 的属于特征值－2的特征向量?－2有r 个线性无关的特征向量. 由r(A )＝r 知β1，β2，…，βn －r 是
Ax ＝0的基础解系?A βi ＝0（i ＝1，2，…n －r ）?特征值0有n －r 个线性无关的特征向
量.
故A 和Λ
相似. Λ＝??
????????
??????
?
????
??-?
--00
2
2
2 (II)由(I)知|A ＋3E |＝
3 n －r
.
【例题12】已知A 是3阶矩阵，各行元素之和为2，且AB ＝0，其中B ＝????
?
??
?
??---52
1
31
1210，若β＝[2，3，4]T
，求A n
β.
【解】因为A 各行元素之和为2，所以
A ??????????111＝2??????????111?2是A 的特征值，???
??
?????111是对应的特征向量，记α1
＝????
?
?????111. 由AB ＝0，有A ??????????-110＝0??????????-111，A ??????????-211＝0???
?
?
?????-211，记α
2
＝????
?
?????-110，α3
＝????
?
?????-211. 即A 的特征值是2，0，0，且0有2个线性无关的特征向量. 5，x 2＝－5，x 3＝－3， β＝5α1－5α 2 －3α3A β＝5A α1－5A α 2 －3A α3＝10α1
?A n β＝A n －1A ＝10 A n －1α1＝10λ1n －1α1＝5·2n
α1＝????
?????????n n n 252525.
【评注】
若矩阵A 满足f (A )，f (A )为A 的多项式，那么A 的特征值由f (λ)给出，但是各有
几个是不知道的.还需要其他信息加以判断.
r 个
n －r 个 处理β，4个3维向量必相关.
【例题13】已知A ＝???????
?
??00
00
0321，B ＝????
?
?????--00
11422
a 相似，
求可逆矩阵P 使P
－1
AP ＝B .
【解】因为A 和B 相似，所以r(A )＝r(B )?a ＝2.
又|λ
E －A |＝λ
λλ3
21---＝λ
2
(λ－1)＝0?λ＝0，0，1.
对λ＝0，有[0E －A ] x ＝0，
→????
??????---00321α1＝[－2，1，0]T ，α2
＝[－3，0，1]T .
对λ＝1有[E －A ] x ＝0，
→????
??????--11320α3
＝[1，0，0]T .
令P 1＝[α1，α2，α3]，有P －1
1AP 1＝
????
?
????
?10
. 由|λE －B |＝
λλλ00
211
4
2
2
-+---＝λλλλ002142-+-＝λ
λλ002104
2--＝λ
2
(λ－1)＝0
?λ
＝0，0，1.
对λ＝0，有[0E －A ] x ＝0，
→????
?
?????-→??????????----000000211000211422β1＝[1，1，0]
T
，β2＝[－2，0，1]T
.
对λ＝1，有[E －A ] x ＝0，
→????
??????--→??????????----100200421100221421β3＝[2，1，0]
T
.
令P 2＝[β1，β2，β3]，有P －1
2BP 2＝
????
?
?????100. 由P －11AP 1＝P －12BP 2? P 2P －11AP 1 P －12＝B ，记P ＝P 1 P －1
2，
则P ＝P 1 P
－1
2
＝1
01
101221
01
001132-????
?
?????-??????????--＝????
?
?????---10
221333
为所求.
【例题14】已知α＝[1，k ，－2]T
是二次型x T Ax ＝ax 12＋ax 22＋kx 32
－2 x 1x 3－2 x 2x 3矩阵A 的特征向量.用坐标变换化二次行为标准型，并写出所用的坐标变换. 【解】二次型的矩阵为
A ＝????
?
?????----k a a
1
1
1010. 设A α＝λα，有
??
???-=--=+=+→??
????????-=??????????-??????????----）（）（）（3212312221211
1
1010111
1λλλλk k ak a k k k a
a
k(1)－(2)?2k －2＝0?k ＝1，带入(3)有λ1＝2，带入(1)有a ＝0.
由|λE －A |＝
1
11101
0-λλλ
＝λ
(λ－2)(λ＋1)＝0?λ＝0，2，－1.
对λ＝0，有[0E －A ] x ＝0，
→????
??????-→??????????-000100111111100100α2＝[1，－1，0]T
. 对λ＝－1有[－E －A ] x ＝0，
→????
??????--→??????????---→??????????---00011021111011021121111010
1α3＝[1，1，1]T
. 因为正定矩阵不同特征值的特征向量已正交，故只需单位化，得
γ1＝
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?????-21161，γ2＝
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?????11131. 那么，令?????????????????
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62
31216
13121
6
1
y y y x x x ，有x T Ax ＝y T Λy ＝2y 12－y 32
. 【例题15】已知n 阶矩阵A ，B 均正定.
证明：AB 正定的充分必要条件是AB 可交换，即AB ＝BA .
【分析】设n 阶矩阵A 为正定矩阵，隐含着潜台词：A 是对称的，所以必要性由此推得。
正定矩阵是由二次型引出的，即若二次型x T
Ax ，则二次型正定也就是A 正定，二次型负定也就是A 负定，二次型不定也就是A 不定.
矩阵正定的充要条件是： (I) A 的特征值全大于零. (II) A 的顺序主子式全大于零.
(III)? x T ≠0，有x T
Ax ＞0.
从而证明矩阵正定就可以从这些方面入手.
【证】（必要性）A ，B ，AB 正定?A ＝A T ，B ＝B T ，AB ＝(AB )T
?AB ＝(AB )T ＝B T A T
＝BA .
（充分性）
【方法一】A ，B 正定?A ＝A T ，B ＝B T
?AB ＝A T B T ＝(BA )T
，又AB ＝BA ?AB ＝(BA )T ＝(AB )T ，即AB 对称.
A ，
B 正定??
可逆矩阵P ，Q ，使得A ＝P T P ，B ＝Q T Q
?QABQ －1＝QP T PQ T QQ －1＝QP T
PQ T
＝(PQ T )T PQ T .
易验证PQ T
可逆，实对称，故(PQ T )T
PQ T
正定，即AB 与正定矩阵(PQ T )T
PQ T
相似，而AB 与(PQ T )T
PQ T
均是实对称矩阵，故AB 也与(PQ T )T
PQ T
合同，从而AB 正定. 【方法二】（用特征值） 验证对称性见方法一.
设λ是AB 的任特征值，α是对应的特征向量，则A α＝λα，α≠0.
由A 正定，知A 可逆且A
－1正定，故B α＝λA
－1
α
?αT B α＝λαT A －1α.
因A －1，B 正定?αT B α＞0，αT A －1
α＞0?λ＞0 ?AB 正定.
最后，简要再提一下合同，设有n 阶矩阵A ，B ，则若存在可逆矩阵C ，使得A ＝C T
BC ，则称A 和B 合同.矩阵A 和B 合同的充分必要条件是：A 和B 的正负惯性指数相同，即惯性定理：矩阵A 和B 合同?p A ＝p B 和q A ＝q B ，而p A ，p B ，q A ，q B 各等于几是不知道的，λA ，λB 相不相等更是不知道的.即合同只是给出了A 和B 的特征值正的有几个，负的有几个，等于零的有几个，而没有定量的给出具体相等的是哪几个.
【评注】
设n 阶矩阵A 为正定矩阵，隐含着潜台词：A 是对称的，所以要证A 正定，必先验证A 的对称性.
正定矩阵是由二次型引出的，即若二次型x T Ax ，则二次型正定也就是A 正定，二次型负定也就是A 负定，二次型不定也就是A 不定.
矩阵正定的充要条件是： (I) A 的特征值全大于零.
(II) A 的顺序主子式全大于零. (III)? x T ≠0，有x T Ax ＞0.
所以要证，第二步就是要根据这些条件出发去证明.而验证顺序主子式全大于零，计算较繁琐，所以可能在选择题或填空题中进行考察，这样就可以只计算低阶的几个主子式就可以了，例如1，2，3，4阶的.而证明题中考查的时候则一般是以(I)、(III)为主，比如该题方法二中就结合使用了(I)、(III)的证明方法.
题中使用了一个简单结论：A 正定?知A 可逆且A －1
正定.显然A 正定，则|A |≠0，
即A 可逆，而(A －1) T ＝(A T )－1＝A －1即A －1
对称.又A 的特征值全大于零，故|A |≠0，从
而A －1的特征值亦全大于零，即A －1
正定.
看我是怎么整理考研数学笔记的
得数学者得天下，数学的重要性不言自明，一定要好好准备，我高中，大学数学底子还不错，自己也努力了，感觉数学里面最容易的还是线性代数和概率论和数理统计，因为题型有限，变化不大，对比历年真题就会发现。真正难的是高数，因为花样太多了，虽然考点有限，但是怎么个综合法，你就不知道了，所以高数题目要多见识，今年考研高数证明题我就看过很类似的，所以很快就做出来了，没见过的同学都不知道怎么下手。我今年数学考得不太好的 原因是我线性代数和概率论各算错一道题目，后悔死了，所以大家在准备考研时，别忘记提 醒自己时刻细心做题。数学的辅导书我很反感陈文登的，比较支持李永乐的，蔡遂林的也不错。 我数学资料做了一大批。要不我把做过的辅导书点评下，仅供参考！ 2008数学大纲解析：由于2009没出版，只能用2008的，这是本好书，都是真题，分析透彻，建议买。 轻轻松松考高分线代概率历年真题分类解析——李永乐，这本书对历年真题对比分析， 让你知道考研真正考什么？该准备什么。强烈推荐。 2006考研数学历年真题解析与指导--高教，图书馆借的，现在不出版了，也是分析真题, 像大纲解析，如果图书馆有的话，可以看看。 2009数学考试分析--高教，近3年的试题分析，数一到数四都包括，花2天时间琢磨出题的变化，觉得不错，你会发现一些规律。 武钟祥的历年真题分析，这是我认为真题分析最全面最好的书，里面涵盖了所以年份的试题，数一到数四的都有，大家要知道，数学题目经常是今年数学一考了，明年后年可能数学三考，只是变换出题的方式，大家不要只看数学一的题目。强烈推荐。其实上面这么多 书我觉得最好的还是这本，有一本就够了。 线性代数辅导讲义--李永乐，这本书要多看几遍，越看越好，越看越懂，然后做真题。强烈推荐。 概率论与数理统计辅导讲义--龚兆仁，还可以，有些地方有些繁琐，有些根本不会考的也作了详细介绍。 数学基础过关660题--李永乐。不是很必要买，做了没什么感觉。 陈文登的复习指南，我不推荐买，原因就不说了，你们在网上搜搜看评价，本人用过，的确不怎么样。 李永乐的全书，贴合实际，但是稍显繁琐，很多同学到了11月底才看完，根本没时间去想，思 考。感觉知识点是全，是细，但是你记起来就不容易了。数学的记不像政治，数学 要练习，多思考才能有体会，才能记得深刻，最后才能灵活用。如果买全书的话，要注意时
经验｜数一138分!高分学姐教你拿下数学!
经验｜数一138分！高分学姐教你拿下数学！ 学姐在2020年的研究生考试中，数学一得到了138分。其实能得到这个分数，学姐也是喜出望外的，毕竟走出考场的时候都不想考下午的专业课了。下面学姐把复习时听过的视频课、用过的习题、做过的模拟卷和时间安排整理一下，给学弟学妹们参考。 先来说一下学姐的数学基础——高考135分，不高不低。大学期间高数、线代、概率都在90~95之间，基础不差，但是到复习考研数学的时候也都忘光光了。 一、时间安排及资料推荐 2019年5月初，学姐就开始复习数学啦。毕竟中学时代数学的阴影太恐怖，余威震于殊俗啊！学姐花了46天的时间看完了李永乐老师的线性代数强化课、张宇老师的高数和概率论强化课（如果没出就看前一年的），并跟着老师的节奏记了N多的笔记（然而记完了并没有再看过）。 高数是保证每天都要听课+做题的，线代和概率可以今天听线代的课、做概率的题， 明天听概率的课、做线代的题。这样可以把精力分散开来，不至于太松懈，也不至于太紧张。 1线性代数 线性代数用李永乐老师讲课配套的讲义来复习事半功倍，有一些补充的、讲义上没有的题，可以用便利贴粘在书上。这本辅导讲义非常精
彩！刚开始做可能有点蒙，因为线代的题目比较综合，经常要用到还没有学过的后面的知识，所以听李永乐老师的课程就尤为重要！ 李永乐老师不仅讲得好，师德也很棒，他经常在微信公众号和微博答疑，还挑选高质量的题目给同学们练手。给李永乐老师点赞！ 2概率论 概率论没有用辅导讲义，跟着张宇老师记笔记就可以了（概率论的笔记后期经常翻看）。张宇老师的概率论课程足够用了，但这里再推荐另一位数学老师——方浩。方浩老师概率论课程的卷积公式部分讲得很好，个人觉得强过张宇老师（张宇老师比较推崇用定义法来解）。 个人认为两种方法都要会做，一方面防止考场上一种算法算不出来；另一方面，用定义法算出来的题可以用卷积公式重新做一遍对照对照，如果得数一致，那么心里自然更加有底啦。 3高等数学 高等数学部分，学姐没有看视频课，但是刷了很多题。全书类用的是李正元范培华全书的高数部分，这本书的高数部分非常精彩经典，配套的练习册也非常棒。不仅很有考研的风格，难度也把握得好。 刷过这本书的高数部分再刷李王全书的高数部分，就能游刃有余啦，这对心态的稳定是个莫大的支撑。第二遍可以把二重积分、三重积分、两种曲线曲面积分放在一起刷，泰勒公式和级数放在一起刷，这样既有利于后期做综合题，也不至于复习一章忘记了另一章。
李永乐考研数学冲刺笔记(网友整理版)
线性代数辅导资料 第三章:线性方程组 主要知识点 一 N 维向量 1 运算 2 线性表示: a. 概念 b. 判定: 充要条件 充分条件 3 线性相关 a. 概念b. 判定 : 1 概念2 求法 向量组的秩 二 方程组: 0()()0()r A r Ax b Ax r A n ì?????=??=ü?????-yí=t????? ?
根据李永乐辅导班整理 线性代数辅导资料 第四章:向量空间 主要知识点 1V ,C n n n x a b g a a g a a b b b b b b g c b b b ++L L L L L L L b L L T 1112n 12n 1,2n 1,2n 12n 1,2n 12n 概念 对于 ka 封闭坐标 若 x 称在基 的坐标是 x ,x ,,x 过渡矩阵 若 =(a a , a )c,称是由基a a ,a 向量空间基 到基 的过渡矩阵坐标变换 若 a a ,a =( )c ì?ì?????í? í???? ?????y,则=cy.T T T 1122n n b b b a b a b b a b a a a a a b ì? ??+++?? í???ì?í??? L 内积: 欧氏空间正交 0Schmidt 正交化标准正交基 正交矩阵 向量空间中只有两个运算,加法与数乘,规定了内积的向量空间通常称为欧氏空间.
第五章:特征值与特征向量 主要知识点 一 特征值定义:A ,0x x x l 1 二 求法: 1 特征值: a. 定义法 b. 特征多项式E A l -法 2 特征向量 a. 定义法 b. ()0i E A x l -=基础解系法 三 性质: 1 不同特征值的特征向量线性无关 2 K 重特征值至多有K 个线性无关的特征向量 3 ,i ii i A a l l ==??? 四 相似: 1 定义 1P AP B -= 2 可对角化 E A ,A i i A n n A n g l l ìí ?ìí ?i i 有个线性无关的特征向量 n-n 是重特征值有个不同的特征值是实对称矩阵 3 应用 1 n n A PA P -= 五 实对称矩阵隐含的信息: 1 必可相似对角化,且可选用正交变换 2 不同特征值的特征向量互相正交 3 特征值全是实数 4 K 重特征值必有K 个线性无关的特征向量 5 与对角矩阵合同
150分考研学长精心整体总结的数学笔记(看了至少能提高80分)
150分考研学长自己进行总结整理的数学笔记——呕心沥血之作，对大家绝对有很大帮助！！！题记：得数学者得天下，数学的重要性不言自明，一定要好好准备，我高中， 大学数学底子还不错，自己也努力了，感觉数学里面最容易的还是线性代数和概率论和数理统计，因为题型有限，变化不大，对比历年真题就会发现。真正难的是高数，因为花样太多了，虽然考点有限，但是怎么个综合法，你就不知道了，所以高数题目要多见识，今年考研高数证明题我就看过很类似的，所以很快就做出来了，没见过的同学都不知道怎么下手。我今年数学考得不够好的原因是我线性代数和概率论各算错一道题目，后悔死了，所以大家在准备考研时，别忘记提醒自己时刻细心做题。数学的辅导书我个人比较反感陈文登的，蛮支持李永乐的，蔡遂林的也不错。我数学资料做了一大批。要不我把做过的辅导书点评下，仅供参考！ 一、辅导书点评 2008数学大纲解析：由于2009没出版，只能用2008的，这是本好书，都是真题，分析透彻，建议买。 轻轻松松考高分线代概率历年真题分类解析——李永乐，这本书对历年真题对比分析，让你知道考研真正考什么？该准备什么。强烈推荐。 2006考研数学历年真题解析与指导--高教，图书馆借的，现在不出版了，也是分析真题，很像大纲解析，如果图书馆有的话，可以看看。 2009数学考试分析--高教，近3年的试题分析，数一到数四都包括，花2天时间琢磨出题的变化，觉得不错，你会发现一些规律。 黄庆怀考研高数辅导书--北航出版社出版，这是我见过最好的高数辅导书，有条理有深度，值得买。
武钟祥的历年真题分析，这是我认为真题分析最全面最好的书，里面涵盖了所以年份的试题，数一到数四的都有，大家要知道，数学题目经常是今年数学一考了，明年后年可能数学三考，只是变换出题的方式，大家不要只看数学一的题目。强烈推荐。其实上面这么多书我觉得最好的还是这本，有一本就够了。 线性代数辅导讲义--李永乐，这本书要多看几遍，越看越好，越看越懂，然后做真题。强烈推荐。 概率论与数理统计辅导讲义--龚兆仁，还可以，有些地方有些繁琐，有些根本不会考的也作了详细介绍。 数学基础过关660题--李永乐。不是很必要买，做了没什么感觉。 陈文登的复习指南,不推荐，原因就不说了，你们在网上搜搜看评价，本人用过感觉一般，也许不适合我吧。 李永乐的全书，贴合实际，但是稍显繁琐，很多同学到了11月底才看完，根本没时间去想，思考。感觉知识点是全，是细，但是你记起来就不容易了。数学的记不像政治，数学要练习，多思考才能有体会，才能记得深刻，最后才能灵活用。如果买全书的话，要注意时间安排好，多花点时间去思考，不要只顾看题目了。 蔡遂林，胡金德，王式安的考试虫考研数学基础教程，我用过高数部分，还不错，线代部分用李永乐的足以，概率是王式安编的，还过得去吧，毕竟他们都是老一辈命题专家，讲的深入浅出。 经典400题---李永乐，这算是很不错的模拟题了，虽然难度不小，但是综合性大，对你整合知识查缺补漏很有好处，而且每年有新题目出现，虽然10套题有8套左右和往年会一样的，但是至少有2套是新的啊。最后冲刺135分---前提是你时间充足，这本书比较系统的对题型分类了，都是选了些偏难的题目。 考研模拟考场15套--陈文登，说是15套，去除一些没必要的陈旧题目和凑数的真题，完全可以搞个8套嘛，我们几个哥们一起用，大家反映都极其很一般。 合肥工业大学最后5套--比较好的题目，规范，建议大家考虑。 陈文登的客观题题型总结--提供和介绍了一些独到的解题方法，推荐有时间可以买一本。
李永乐线性代数知识结构图
1.代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=?=?副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2(1) n n ?× ?；拉普拉斯展开式：O C A A A B O C B B ==、(1)m n A A C O A B B B O C ==?i 范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；
2. A 是n 阶可逆矩阵：?0A ≠（是非奇异矩阵）；?()r A n =（是满秩矩阵）?A 的行（列）向量组线性无关；?齐次方程组0Ax =有非零解；?n b R ?∈，Ax b =总有唯一解；?A 与E 等价；?A 可表示成若干个初等矩阵的乘积；?A 的特征值全 不为0；?T A A 是正定矩阵；?A 的行（列）向量组是n R 的一组基；?A 是n R 中某两组基的过渡矩阵； 2.②、111O A A O O B O B ???????=????????；（主对角分块）③、111O A O B B O A O ???????=????????；（副对角分块）④、11111A C A A CB O B O B ??????????=????????；⑤、11111A O A O C B B CA B ?????????=????????? ；（拉普拉斯）3.①、0()min(,)m n r A m n ×≤≤；②、()()T r A r A =；③、若A B ～，则()()r A r B =；④、若P 、Q 可逆，则()()()()r A r PA r AQ r PAQ ===；（可逆矩阵不影响矩阵的秩）⑤、max((),())(,)()()r A r B r A B r A r B ≤≤+；（※）⑥、()()()r A B r A r B +≤+；（※）⑦、()min((),())r AB r A r B ≤；（※）⑧、如果A 是m n ×矩阵，B 是n s ×矩阵，且0AB =，则：（※）Ⅰ、B 的列向量全部是齐次方程组0AX =解（转置运算后的结论）； Ⅱ、()()r A r B n +≤⑨、若A 、B 均 为n 阶方阵，则()()()r AB r A r B n ≥+?；4.*()()1 ()10()1 n r A n r A r A n r A n = ??==???
李永乐线代笔记精编WORD版
李永乐线代笔记精编 W O R D版 IBM system office room 【A0816H-A0912AAAHH-GX8Q8-GNTHHJ8】
1、线代5~7道题行列式矩阵向量方程组特征值二次型 2、微积分数一考的难 3、数一线代多一个向量空间考点【行列式、矩阵、向量、方程组、特征值、二次型】 4、说曲面名称，数一；三个平面 5、方程组，有解、无解、唯一解、无穷解【相关、无关、帙、线性表述、研究方程组解 的理论】===【研究解的过程提炼出矩阵、行列式】 6、二次型是特征值的几何应用，为什么有各种不同的曲面，由特征值的正负等， 7、二次型和特征值的关系 8、方程组和特征值是重点，考解答题 9、概念多，定理，运算法则多，符号多 10、内容纵横交错，知识前后联系紧密代数的一题多解，用不同的定理公式做同一道题 11、逻辑推理要求高，可能考证明题，要在证明题花点时间 1.方程组，解的情况，有没有解，相关无关，帙 2.怎么求解，什么叫方程组的解：x1.。。xn带进每个方程，则是解 3.同解变形(1)将两个方程位置互换（2）将某个方程乘以一个非零常数（3）将某个方程 的K倍加到某个方程上---------------矩阵的初等变换【解方程组只能做行变换，不能列
变换】 4.先正向消元---由上往下；然后反响求解-----由下往上 5.系数变成a，b，求a，b取什么值有解、无解；面对参数怎么消元，讨论 1.求其次方程解(1)初等行变换（2）阶梯型（3）行最简化t、u 2.加减消元2分，求解过程没分，答案写出来给满分，看着行最简直接写答案 3.A---mxn，有几个线性无关解，n-A的帙 4.帙就是最简行矩阵的行数 5.找到单位矩阵，其他的是变量，用100法则；找到1对应的数，写其相反数 6.对矩阵A进行初等行变换；则方程组的一个基础解系为----------行最简 1、矩阵基础知识，矩阵：mxn表格数叫矩阵【行列式一定是一个数，行列相等】 2、矩阵描述一些事情、做运算 3、矩阵乘法：A-MxN列,B-N行xS.AB-MxS，i行乘j列 4、遇到AB=0，秩；解 5、对角矩阵得对角矩阵，左右可以交换；对角矩阵的次方=对应元素的次方 6、列前行后，的N阶矩阵，行前列后，的一个数
李永乐.线性代数
线性代数李永乐辅导笔记 【例题1】B ＝???? ??????50030021a ，A 2 －2AB ＝ E ，r(AB －2BA ＋3A ) ＝（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）与a 有关 【解】 ∵ A (A －2B ) ＝ E ∴ A 可逆，且A －1 ＝ A －2B ? A (A －2B ) ＝ (A －2B ) A (A A －1 ＝ A －1 A ) ? AB ＝ BA 那么，AB －2BA ＋3A ＝ 3A －AB ＝ A (3E －B ) 又，A 可逆，知 r(AB －2BA ＋3A ) ＝ r(A (3E －B )) ＝ r(3E －B ) ?a 有|3E －B |＝0，又3E －B 有二阶子式不得零，从而r(3E －B ) ＝ 2. 【例题2】A m ×n ，ε1，ε2，…，εt 是Ax ＝ 0的基础解系，α是Ax ＝ b 的一个解. (I)证明α，α＋ε1，α＋ε2，…，α＋εt 线性无关. (II)证明Ax ＝ b 的任意一个解都可以由α，α＋ε1，α＋ε2，…，α＋εt 线性表出. 【分析】ε1，ε2，…，εt 是Ax ＝0的基础解系，那么ε1，ε2，…，εt 必定线性无关，从而证明α，α＋ε1，α＋ε2，…，α＋εt 线性无关可以用定义法。 【证】(I)（用定义，重组，同乘） 设 k 0α＋k 1 (α＋ε1)＋k 2(α＋ε2)＋…＋ k T (α＋εt )＝0 (1) 即 （k 0＋k 1＋k 2＋…＋k T ）α＋k 1ε1＋k 2ε2＋…＋k T εt ＝0 (2) 由A α＝b ， A εi ＝0（i ＝1，…，t ），用A 左乘（2），有 (k 0＋k 1＋k 2＋…＋k t )A α＋k 1A ε1＋k 2A ε2＋…＋k t A εt ＝0 即 (k 0 ＋k 1＋k 2 ＋…＋k t )b ＝0 又b ≠0，有k 0＋k 1＋k 2＋…＋k T ＝0 (3) 带入(2)有 k 1ε1＋k 2ε2＋…＋k t εt ＝0， 而ε1，ε2，…，εt 是Ax ＝0的基础解系，那么ε1，ε2，…，εt 必定线性无关， 从而k 1 ＝k 2 ＝…＝k t ＝0，带入(3)有k 0＝0. 所以 k 0＝k 1＝k 2＝…＝k t ＝0?α，α＋ε1，α＋ε2，…，α＋εt 线性无关. （或用秩） ∵ε1，ε2，…，εt 线性无关，α是Ax ＝b 的解?α不能由ε1，ε2，…，εt 线性表出. ?x 1 ε 1 ＋x 2ε2＋…＋x t εt ＝α无解?r(ε1，ε2，…，εt )≠r(ε1，ε2，…，εt ，α) ∵r(ε1，ε2，…，εt ) ＝t ?r(ε1，ε2，…，εT ，α)＝t ＋1 ?r(α，α＋ε 1 ，α＋ε2，…，α＋εt )＝t ＋1?α，α＋ε1，α＋ε2，…，α＋εt 线性无关. (II)设β是Ax ＝b 的任意一个解，则β－α是Ax ＝0的解. 从而 β－α＝l 1ε1＋l 2ε2＋…＋l t εt . ?β＝α＋l 1 ε 1 ＋l 2ε2＋…＋l t ε t ?β＝(1－l 1 －l 2 －…－l t )α＋l 1ε1＋l 2ε2＋…＋l t ε t 即β可由α，α＋ε1，α＋ε2，…，α＋εt 表出. 【评注】 本题考查矩阵逆的概念以及矩阵的乘法. 设矩阵A －n 阶，B －n 阶，若AB ＝ BA ＝E ，则称矩阵A 可逆，且B 为A 的逆 矩阵.由此有A A －1＝ A －1 A .
李永乐线代笔记
李永乐线代笔记 集团公司文件内部编码：（TTT-UUTT-MMYB-URTTY-ITTLTY-
1、线代5~7道题行列式矩阵向量方程组特征值二次型 2、微积分数一考的难 3、数一线代多一个向量空间考点【行列式、矩阵、向量、方程组、特征值、二次型】 4、说曲面名称，数一；三个平面 5、方程组，有解、无解、唯一解、无穷解【相关、无关、帙、线性表述、研究方程组 解的理论】===【研究解的过程提炼出矩阵、行列式】 6、二次型是特征值的几何应用，为什么有各种不同的曲面，由特征值的正负等， 7、二次型和特征值的关系 8、方程组和特征值是重点，考解答题 9、概念多，定理，运算法则多，符号多 10、内容纵横交错，知识前后联系紧密代数的一题多解，用不同的定理公式做同一道题 11、逻辑推理要求高，可能考证明题，要在证明题花点时间 1.方程组，解的情况，有没有解，相关无关，帙 2.怎么求解，什么叫方程组的解：x1.。。xn带进每个方程，则是解 3.同解变形(1)将两个方程位置互换（2）将某个方程乘以一个非零常数（3）将某个方程 的K倍加到某个方程上---------------矩阵的初等变换【解方程组只能做行变换，不能列变换】 4.先正向消元---由上往下；然后反响求解-----由下往上 5.系数变成a，b，求a，b取什么值有解、无解；面对参数怎么消元，讨论 1.求其次方程解(1)初等行变换（2）阶梯型（3）行最简化t、u 2.加减消元2分，求解过程没分，答案写出来给满分，看着行最简直接写答案 3.A---mxn，有几个线性无关解，n-A的帙
4.帙就是最简行矩阵的行数 5.找到单位矩阵，其他的是变量，用100法则；找到1对应的数，写其相反数 6.对矩阵A进行初等行变换；则方程组的一个基础解系为----------行最简 1、矩阵基础知识，矩阵：mxn表格数叫矩阵【行列式一定是一个数，行列相等】 2、矩阵描述一些事情、做运算 3、矩阵乘法：A-MxN列,B-N行xS.AB-MxS，i行乘j列 4、遇到AB=0，秩；解 5、对角矩阵得对角矩阵，左右可以交换；对角矩阵的次方=对应元素的次方 6、列前行后，的N阶矩阵，行前列后，的一个数 7、Ab转置与ba转置互为转置矩阵 8、主对角线元素的和叫做矩阵的“迹” 9、Ab转置的主对角线等于b转置a 10、方程组可以写成矩阵乘法 11、A-n，A各行元素之和都为0，【1，1，1，1，1，。。。】是其次方程组的一个 解，配合其他条件 12、A-n，A各行元素之和都为3，3为特征值，【1，1，1，1，。。。】是特征向量 13、二次型的矩阵表示，x转置Ax 14、可逆矩阵：A、B均是n阶矩阵，且AB=BA=E，则称A是可逆矩阵，B是A的逆矩阵 15、A是可逆的，则A的逆矩阵唯一，证明：假设B1，B2都是A的逆矩阵，则 16、A可逆，充要条件，A的行列式不等于0 17、如果A、B是N阶矩阵，且AB=E,则BA=E：【A乘B的行列式=A的行列式乘以B的 行列式】 18、求逆矩阵：（1）定义法（2）行变换（3）伴随矩阵（4）
李永乐线代笔记
第一章节 行列式 基础知识： ①算逆序的方法：从左到右一个一个看，前面有比此数大的就算一个逆序，最后加起来。 ②代数余子式千万别忘记(?1)i+j ③行列式两行（列）对换，行列式要变号！ ④克拉默法则：x n =D n D 基本行列式的计算： ①副对角行列式=(?1)n(n?1)2a 1n a 2,n?1···a n1 ②副对角拉普拉斯：|O A B ? |=(?1)nm |A||B| ③范德蒙行列式（首行为1，每列从上往下是等比数列）=∏(x i ?x j )1≤j 1、线代5~7道题行列式矩阵向量方程组特征值二次型 2、微积分数一考的难 3、数一线代多一个向量空间考点【行列式、矩阵、向量、方程组、特征值、二次型】 4、说曲面名称，数一；三个平面 5、方程组，有解、无解、唯一解、无穷解【相关、无关、帙、线性表述、研究方程组解的 理论】===【研究解的过程提炼出矩阵、行列式】 6、二次型是特征值的几何应用，为什么有各种不同的曲面，由特征值的正负等， 7、二次型和特征值的关系 8、方程组和特征值是重点，考解答题 9、概念多，定理，运算法则多，符号多 10、内容纵横交错，知识前后联系紧密代数的一题多解，用不同的定理公式做同一道题 1.方程组，解的情况，有没有解，相关无关，帙 2.怎么求解，什么叫方程组的解：x1.。。xn带进每个方程，则是解 3.同解变形(1)将两个方程位置互换（2）将某个方程乘以一个非零常数（3）将某个方程的 K倍加到某个方程上---------------矩阵的初等变换【解方程组只能做行变换，不能列变换】4.先正向消元---由上往下；然后反响求解-----由下往上 1.求其次方程解(1)初等行变换（2）阶梯型（3）行最简化t、u 2.加减消元2分，求解过程没分，答案写出来给满分，看着行最简直接写答案 3.A---mxn，有几个线性无关解，n-A的帙 4.帙就是最简行矩阵的行数 5.找到单位矩阵，其他的是变量，用100法则；找到1对应的数，写其相反数 6.对矩阵A进行初等行变换；则方程组的一个基础解系为----------行最简 1、矩阵基础知识，矩阵：mxn表格数叫矩阵【行列式一定是一个数，行列相等】 2、矩阵描述一些事情、做运算 3、矩阵乘法：A-MxN列,B-N行xS.AB-MxS，i行乘j列 4、遇到AB=0，秩；解 5、对角矩阵得对角矩阵，左右可以交换；对角矩阵的次方=对应元素的次方 6、列前行后，的N阶矩阵，行前列后，的一个数 7、Ab转置与ba转置互为转置矩阵 8、主对角线元素的和叫做矩阵的“迹” 9、Ab转置的主对角线等于b转置a 10、方程组可以写成矩阵乘法 11、A-n，A各行元素之和都为0，【1，1，1，1，1，。。。】是其次方程组的一个解，配 合其他条件 12、A-n，A各行元素之和都为3，3为特征值，【1，1，1，1，。。。】是特征向量 13、二次型的矩阵表示，x转置Ax 14、可逆矩阵：A、B均是n阶矩阵，且AB=BA=E，则称A是可逆矩阵，B是A的逆矩 阵 15、A是可逆的，则A的逆矩阵唯一，证明：假设B1，B2都是A的逆矩阵，则 16、A可逆，充要条件，A的行列式不等于0 17、如果A、B是N阶矩阵，且AB=E,则BA=E：【A乘B的行列式=A的行列式乘以B的 行列式】 研友们：线性代数视频——李永乐等主讲，可以下载，亲情奉献，希望可以帮到大家 提示：下载方式：（不需要注册,但仅可同时下载一个文件） 1.点击链接，在弹出的页面内中部输入提示验证码（如果弹出广告页面及时关 闭就是），然后点击“进入下载列表”，进入第二个页面（如果弹出广告页面 及时关闭就是），再选择第三行的免费下载方式（上方显示免费用户下载通道 - 仅可同时下载一个文件，不要选择上方的VIP会员专用下载通道 - 多文件同 时高速下载方式）（如果弹出广告页面及时关闭就是） 第1讲：矩阵运算.rm https://www.360docs.net/doc/b06418814.html,/file/28085702 第2讲：线性相关性.rm https://www.360docs.net/doc/b06418814.html,/file/28093965 第3讲：线性方程组下.rm https://www.360docs.net/doc/b06418814.html,/file/28094822 第4讲：线性空间与欧氏空间.rm https://www.360docs.net/doc/b06418814.html,/file/28095250 第5讲：线性变换_.rm https://www.360docs.net/doc/b06418814.html,/file/28095506 第6讲：矩阵的特征值和特征向.rm https://www.360docs.net/doc/b06418814.html,/file/28095685 第7讲：二次型_.rm https://www.360docs.net/doc/b06418814.html,/file/28095861 第8讲：综合题上.rm https://www.360docs.net/doc/b06418814.html,/file/28096214 第9讲：综合题下.rm https://www.360docs.net/doc/b06418814.html,/file/28096278 第10讲：矩阵运算.rm https://www.360docs.net/doc/b06418814.html,/file/28096371 第11讲：线性相关性.rm https://www.360docs.net/doc/b06418814.html,/file/28132804 第12讲：线性方程组下.rm https://www.360docs.net/doc/b06418814.html,/file/28139991 第13讲：线性空间与欧氏空间.rm https://www.360docs.net/doc/b06418814.html,/file/28140616 第14讲：线性变换_.rm https://www.360docs.net/doc/b06418814.html,/file/28141589 第15讲：矩阵的特征值和特征向.rm https://www.360docs.net/doc/b06418814.html,/file/28142486 第16讲：二次型_.rm https://www.360docs.net/doc/b06418814.html,/file/28144216 第17讲：综合题上.rm https://www.360docs.net/doc/b06418814.html,/file/28144686 第18讲：综合题下.rm https://www.360docs.net/doc/b06418814.html,/file/28144804 提示：下载方式：（不需要注册,但仅可同时下载一个文件） 1.点击链接，在弹出的页面内中部输入提示验证码（如果弹出广告页面及时关闭就是），然后点击“进入下载列表”，进入第二个页面（如果弹出广告页面及时关闭就是），再选择第三行的免费下载方式（上方显示免费用户下载通道 线性代数冲刺笔记 【例题1】B ＝???? ??????50030021a ，A 2 －2AB ＝ E ，r(AB －2BA ＋3A ) ＝（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）与a 有关 【解】 ∵ A (A －2B ) ＝ E ∴ A 可逆，且A －1 ＝ A －2B ? A (A －2B ) ＝ (A －2B ) A (A A －1 ＝ A －1 A ) ? AB ＝ BA 那么，AB －2BA ＋3A ＝ 3A －AB ＝ A (3E －B ) 又，A 可逆，知 r(AB －2BA ＋3A ) ＝ r(A (3E －B )) ＝ r(3E －B ) ?a 有|3E －B |＝0，又3E －B 有二阶子式不得零，从而r(3E －B ) ＝ 2. 【例题2】A m ×n ，η1，η2，…，ηt 是Ax ＝ 0的基础解系，α是Ax ＝ b 的一个解. (I)证明α，α＋η1，α＋η2，…，α＋ηt 线性无关. (II)证明Ax ＝ b 的任意一个解都可以由α，α＋η1，α＋η2，…，α＋ηt 线性表出. 【分析】η1，η2，…，ηt 是Ax ＝0的基础解系，那么η1，η2，…，ηt 必定线性无关，从而证明α，α＋η1，α＋η2，…，α＋ηt 线性无关可以用定义法。 【证】(I)（用定义，重组，同乘） 设 k 0α＋k 1 (α＋η1)＋k 2(α＋η2)＋…＋ k T (α＋ηt )＝0 (1) 即 （k 0＋k 1＋k 2＋…＋k T ）α＋k 1η1＋k 2η2＋…＋k T ηt ＝0 (2) 由A α＝b ， A ηi ＝0（i ＝1，…，t ），用A 左乘（2），有 (k 0＋k 1＋k 2＋…＋k t )A α＋k 1A η1＋k 2A η2＋…＋k t A ηt ＝0 即 (k 0 ＋k 1＋k 2 ＋…＋k t )b ＝0 又b ≠0，有k 0＋k 1＋k 2＋…＋k T ＝0 (3) 带入(2)有 k 1η1＋k 2η2＋…＋k t ηt ＝0， 而η1，η2，…，ηt 是Ax ＝0的基础解系，那么η1，η2，…，ηt 必定线性无关， 从而k 1 ＝k 2 ＝…＝k t ＝0，带入(3)有k 0＝0. 所以 k 0＝k 1＝k 2＝…＝k t ＝0?α，α＋η1，α＋η2，…，α＋ηt 线性无关. （或用秩） ∵η1，η2，…，ηt 线性无关，α是Ax ＝b 的解?α不能由η1，η2，…，ηt 线性表出. ?x 1 η 1 ＋x 2η2＋…＋x t ηt ＝α无解?r(η1，η2，…，ηt )≠r(η1，η2，…，ηt ，α) ∵r(η1，η2，…，ηt ) ＝t ?r(η1，η2，…，ηT ，α)＝t ＋1 ?r(α，α＋η 1 ，α＋η2，…，α＋ηt )＝t ＋1?α，α＋η1，α＋η2，…，α＋ηt 线性无关. (II)设β是Ax ＝b 的任意一个解，则β－α是Ax ＝0的解. 从而 β－α＝l 1η1＋l 2η2＋…＋l t ηt . ?β＝α＋l 1 η 1 ＋l 2η2＋…＋l t η t ?β＝(1－l 1 －l 2 －…－l t )α＋l 1η1＋l 2η2＋…＋l t η t 即β可由α，α＋η1，α＋η2，…，α＋ηt 表出. 【评注】 本题考查矩阵逆的概念以及矩阵的乘法. 设矩阵A －n 阶，B －n 阶，若AB ＝ BA ＝E ，则称矩阵A 可逆，且B 为A 的逆矩阵.由此有A A －1 ＝ A －1 A . I . 课本用书篇 首先我想给大家说：课本不是每一个知识点都看的，一定要参照考试大纲，当然今年的大纲还没出，用去年的就行，内容不会发生很大的变化，等新大纲出来后再查缺补漏一下。大纲上的知识点一定要一个不漏的学习，比如概率论里有个泊松定理，估计很多不看大纲的人都没听过吧，而且很多考完研的人都不知道有这么个知识点，但我想告诉大家：这个知识点虽然考得少，但在大纲里它的要求是“掌握”，不信你可以翻翻看，这是考试的最高要求，这种地方是最容易出大题的地方!如果考试真出了，你会不会犯傻呢。 考试大纲里有四种要求，分别是：掌握，理解，会，了解。以我的感觉，这四个要求程度是不同的，是这么一种关系：掌握>会>理解>了解，所以对于掌握和会的知识点，你一定要无比的透彻，往年大题的出题点一般都超不出这两个要求的范围。我的建议是：拿着大纲先将标有“掌握”和“会”的知识点标出来，然后尽最大努力全面掌握，比如今年考研的拉格朗日定理知识点我记得就属于“会”的范畴，一定全面掌握，不但会用，更要会证明它，所以今年当我看到这个题时，是比较兴奋的，因为它在我的预料之中，而且08年数一数二的定理证明也给了我很大的启发。 关于高数的课本，这似乎没有一点争议，就是同济大学的高等数学，第五版第六版都行，内容没什么差别，我用的第六版，因为我觉得看着舒服!至于你要怎么学习，我在上一篇文章中应该说的比较清楚了，你可以再看看。 关于线代的课本，似乎有两种说法，一个是同济版的工程数学线性代数，另一个是清华大学居余马的线性代数，这两本书我都认真的学过，我自己认为后者比较通俗易懂，更适合去学习，虽然表面上看去有点厚，但实际上好些章节都不用看，前者有点晦涩，呵呵!不过也有可能是因为我先学习的同济版，有了一定的基础再去看的清华版吧，反正等我看完清华版之后有融会贯通的感觉。线性代数似乎分了好多章，实则前后关联极大，等你学通了之后会发现好些都是同一个东西，只是从不同角度去研究的，后来当你在做当初让你觉得头疼的概念性的线代选择题时，会非常轻松，如果愿意你立马就能举一个经典的反例证明选项是错误的! 关于线性代数的学习，我想你第一遍学习甚至第二遍的时候一定会非常晕，很正常，我当初也是这种感觉。我是怎样实现跨越的呢线代最大的特点就是有好多的结论，让人非常头疼，你要做的就是像高数一样把课本上的性质，例题和课后题中得到的结论统统总结到本子上，然后对于简单的常用的结论你一定要搞清楚是他们是怎样来的，当然开始你也许是做不到的，这就是为什么要把他们总结出来的原因!等你后期做题的时候慢慢就可以做到了，最重要的是你要有这个意识：多多思考这些结论的来历，做题中见到有用的结论就记下来，经常看看，证一证。后面我还会给大家推荐一李永乐的《线性代数辅导讲义》，这是很经典的一本，考过研的都知道，这已经成为考研人心目中不争的事实!也许我上面说的几点你不用做，线代也能得到一个不错的分数，因为往年线代出题模式比较固定，题型就那么几种，而且也不是很难，但是我想说一旦题目风格发生变化(而且我觉得现在有这种趋势)，比如多出上几道线代证明题，那你就会死的很惨，我们和必要拿自己的命运开玩笑呢，等到考研结束李永乐线代笔记
视频—清华大学线性代数视频—李永乐等
李永乐.线性代数冲刺笔记(打印版)
考研数学145分得主经验谈：复习用书篇