高数 第十一章 无穷级数第四讲 幂级数

第四讲 幂级数

授课题目（章节）： §11.3 幂级数 教学目的与要求：

了解函数项级数的收敛域及和函数的概念；

掌握幂级数的收敛半径、收敛域的求法；

了解幂级数在收敛区间内的基本性质，会求幂级数的和函数。 教学重点与难点：

幂级数的收敛半径、收敛域的求法

讲授内容：

一、函数项级数的概念

定义1.12(),(),,()

n u x u x u x 是定义在区间I 上的函数列，称和式 12()()()n u x u x u x ++++

为定义在区间I 上的（函数项）级数，记为

1

()n n u x ∞

=∑

定义2.若0x I ∈，常数项级数0()n u x 收敛，则称0x 为函数项级数1()n n u x ∞

=∑的收敛点；

若0x I ∈，常数项级数0()n u x 发散，则称0x 为函数项级数

1

()n n u x ∞

=∑的发散点；

1

()n

n u x ∞

=∑的收敛点（发散点）的全体称为1

()n

n u x ∞

=∑的收敛域（发散域）

。 定义3.在收敛域上，函数项级数

1

()n n u x ∞

=∑的和是关于x 的函数，称之为和函数()s x 。

即在收敛域上，

1

()n n u x ∞

=∑()s x =

例求函数项级数21n x x x +++++

的收敛域及和函数。

二、幂级数及其收敛域

定义 4.函数项级数2012n n a a x a x a x +++++

称为关于x 的幂级数，记为

n

n n a x

∞

=∑；（0

0n n n x a x ∞

==∑

时，收敛）

函数项级数2010200()()()n n a a x x a x x a x x +-+-++-+称为关于0()x x -的幂

级数，记为

()

n

n

n a x x ∞

=-∑。

定理 1.(Abell 定理)如果幂级数

n

n n a x

∞

=∑当00(0)x x x =≠时收敛，则0||||x x <时，

n

n n a x

∞

=∑绝对收敛；如果

n

n n a x

∞

=∑当0x x =时发散，则0||||x x >时，

n

n n a x

∞

=∑发散。

推论 如果幂级数

n

n n a x

∞

=∑不是仅在0x =一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则

必有一个正数R ，使得 当||x R <时，幂级数

0n

n n a x

∞

=∑绝对收敛；

当||x R >时，幂级数

0n

n n a x

∞

=∑发散；

当x R =±时，幂级数

n

n n a x

∞

=∑可能收敛可能发散。

定义5.正数R 称为幂级数0

n

n n a x

∞

=∑的收敛半径；区间(,)R R -+称为幂级数

n

n n a x

∞

=∑的

收敛区间。 注：（1）若

n

n n a x

∞

=∑仅在0x =一点收敛，则规定收敛半径0R =，这时收敛域为点0x =

（2）若

n

n n a x

∞

=∑在整个数轴上都收敛，则规定收敛半径R =+∞，这时收敛域为

区间(,)-∞+∞；

（3）若收敛半径0R >，则收敛域为(][)[](,)R R -+或-R,+R 或-R,+R 或-R,+R 。 收敛半径的求法：公式法、比值法

定理2. 如果

n n n a x ∞

=∑满足0(0,1,2,)n a n ≠=，1

lim n n n

a a ρ+→∞

= 则收敛半径1

000R ρρ

ρρ⎧≠⎪⎪⎪

=+∞

=⎨⎪=+∞⎪⎪⎩

例1、补例1、例5 求下列级数的收敛域 （1）

1

1

(1)

n

n n x n

∞

-=-∑ （2）∑

∞

=--1

222

12n n n

x n

（3）1

(1)2n

n

n x n ∞

=-∑ 解：① 因ρ=||lim 1n n n a a +∞→=1lim

+∞→n n

n =1，则R=1。当x =-1时级数∑∞=-11n n

发散；当x =1时级数∑∞

=--1

1

)1(n n n 收敛，故收敛区间为(-1, 1]。 ②|)12(22)12(|

lim 2

212-+∞

→-⋅+n n

n n

n x n x n =22

x ，当|x |<2时级数收敛，当|x |>2时级数发散，

则R=2。x =±2时级数∑

∞

=-121

2n n 均发散，故收敛区间为(-2,2)。 ③ 设t=x -1，级数可改写为∑∞

=⋅12n n n

n

t ，因ρ=||lim 1n n n a a +∞→=)1(22lim 1

+⋅+∞→n n

n n n =21，则R=2。当t=-2时级数∑∞

=-1)1(n n n 收敛，当t=2时级数∑∞

=11

n n

发散，故收敛区间为[-1,3]。

例2求幂级数

2

1112!

!

n

x x x n ++

++

+

的收敛区间。 三、幂级数的运算