第八章概括平差函数模型

第八章 概括平差函数模型

§8.1概述

在已经介绍过的条件平差，间接平差，附有参数的条件平差以及附有限制条件的间接平差等四种基本平差方法，其差别就在于函数模型不同。若将误差方程也视为参数形式的条件方程，以未知参数为纽带，可以对4种平差方法概括如下：

（1）、条件平差：0)?(=L F ，不选择未知参数，方程数等于多余观测数：c=t n r -= （2）、间接平差：)?(?X F L

=，选函数独立未知数t u =，方程数n t r u r c =+=+= （3）、附有参数的条件平差：0)?,?(=X L

F ，选择t u <个函数独立参数，除应列出r 个条件方程外，还要附加u 个对未知参数的约束条件方程，所以必须列出u r c +=个条件方程。

（4）、附有限制条件的间接平差：)?(?X F L =，0)?(=ΦX 。选择t u >个参数，参数间存在t u s -=个函数关系。所以除列出n 个误差方程)?(?X F L

=（也可视为特殊形式的条件方程－参数方程形式的条件方程），还要列出s 个限制条件方程0)?(=ΦX

。方程数c=n ＋s 。

由此可见，是否选择参数及如何选择参数决定着平差方法，即参数是联系各种平差

方法的纽带。另外可以看到，前三种函数模型中都含有观测量，或者同时包含观测量和未知参数，而后一种只含有未知参数而无观测量。为了便于区别，将前三种统称为一般条件方程，而后者称为限制条件方程，并统称为条件方程。

在任何几何模型中，函数独立参数个数总是介于下列范围之内： t u ≤≤0。也就是说，在任一平差问题中，最多只能列出t u =个函数独立的参数。在不选择参数时，一般条件方程数c 等于多余观测数t n r -=，若又选用了u 个函数独立参数，则总共应当列出u r c +=个一般条件方程。由于t u ≤，因此一般条件方程的个数总是介于n c r ≤≤范围，即一般条件方程总数不超过n 个。

注意：并非选u ＝t 或u ＞t 个参数，u 个参数间就一定彼此函数独立，选u ﹥t 个参数，也不一定包含t 个函数独立参数。

对于任意一个平差问题，若选用了u 个参数，不论t u <、t u =还是t u >，也不论参数是否函数独立，每增加1个参数则相应地增加1个方程，故方程总数为c=u r +。如果在u 个参数中存在有s 个函数不独立的参数，或者说，在这u 个参数（包括t u <、t u =以及t u >，但是其中没有t 个独立参数的情况）之间存在s 个函数关系式，则方程总数c 中除s u r -+个一般条件方程外，还包含s 个限制条件方程。若将一般条件方程与限制条件方程统称为条件方程（包括参数形式的条件方程－误差方程），方程数就是u r c +=，也就是条件方程数c 等于多余观测数r 与所选参数u 之和。

平差时必须正确列出足数并且函数独立的条件方程。少列不能消除所有不符值；足数但是函数不独立，则相当于不足数；多列并且函数独立条件方程足数，则能得出正确解，但增加了计算工作量。

§8.2 基础方程和它的解

将平差函数模型：0)?(=L

F ，)?(?X F L =视为0)?,?(=X L F 的特殊形式，则各种平差函数模型可统一表示为：

??

?

??=Φ=??????? 0)?(0)?,?( 1111111s u s c u n c X X L

F

线性化后表示为

??

?

??=+=++??????????1111111

00s s x u u s c c u u c n n c W x C W x B V A δδ(8-2-3)

而平差的随机模型是

1

2020-==P Q D σσ

在这一函数模型中，待求量是n 个观测值的改正数v 和u 个参数，而方程的个数是

u n s c +<+，所以有无穷多组解。为此，应当在无穷多组解中求出满足min =PV V T 的

特解。按照求条件极值的方法组成函数，设：

)()(X T

S T T W x C K W x B AV K PV V +-++-=Φδδ22

令:

022=-=?Φ?A K P V V

T T 022=--=?Φ?C K B K x T

S T δ，转置后得：

K QA V T =，0=+S T T K C K B

于是统一平差模型的基础方程为

?

?

??

?

??

??=+=-=+=++???????????1111

111111

111040 (3) 020 (1),,,,,,,,,)()(u s s s u T c c u T n c c n T

n n n s s X u u s c c u u c n n c K C K B K A V P W x C W x B V A δδ 其中方程数u n s c +++，未知数是n 个V 、u 个 未知参数、c 个对应于一般条件式的联系数K 、s 个对应于限制条件式的联系数s K ，方程数与未知数相等，方程取的唯一解。

解基础方程，由（3）得K QA V T

=带入（1）式得：0=++W x B K AQA T δ 则得统一模型的法方程

??

?

??

=+=+=++000X S T T T W x C K C K B W x B K AQA δδ （8－2－10）

或者

00

000

011

1111

=??????

?

??+??????? ???????? ?????????????????s X u c s S u c s s u

s c

s s u T u u c u T s c u c c c aa

W W K x K C

C B B N δ，其中T

c

c aa AQA N =? 由此可以得到：X cc T bb aa T bb cc T bb bb

W N C N W N B CN N C N N x 1

111111----------=)(δ 以上述统一函数模型进行平差的方法称为附有限制条件的条件平差法，第4－7章所介绍的4中平差方法均可看作这一平差方法的特例。例如：

（1）、若没有选未知数，即1

?u x δ=0，则函数模型变为AV ＋W=0,基础方程中（2）、（4）

不存在，平差方法为普通条件平差。

（2）、若所选未知数u ＝t 且函数独立，则条件方程取得特殊形式1

1

1

????+=c u u c n l x B V δ，基

础方程（2）、（3）不存在，（4）取得特殊形式0=PV B T ，这是间接平差法。

（3）、若选u

1

1

1

1

0??????=++c c u u c n n c W x B V A δ。这时基础方程（2）不存在，0=S k ，基础方程（4）变为1

1

,,,u c c u T K B =这是附有参数的条件平差法。

（4）、如果选t u >，且包含t 个函数独立的未知参数，则同样L ?可表示所有x δ的函数，)?(?X F L

=成立，条件方程取得特殊形式l x B V +=δ。同时由于t u >，存在s t u =-个多余参数，产生限制条件方程s 个，线性形式0W x =+x c δ。基础方程中（1）变为l x B V +=δ，（3）不存在，（4）取得特殊形式0=PV B T ，这是附有限制条件的间接平差法。

由此可见，四种平差的函数模型都可看作统一函数模型（8-2-3）的特殊形式，只有当选取未知数中存在函数关系，并且函数独立的数目不足t 时,平差方法取得（8－2－10）的形式，称为附有限制条件的条件平差法。显然，这种方法作为一种概括模型，可以帮助我们理解各种平差方法的差异及其内在联系，其本身无实际应用的价值。

§8.3 精度评定

一、单位权方差的估计值公式

s

u c PV V s u c PV V r PV V T T T +-=--==)(?2

σ

其中，c 是一般条件方程数，为多余观测数加独立参数个数。

S

T X T aa T aa T S T X aa T aa T S

T

X T S

T T T T T T T T T T T K W x W N B W N W K W x B N W W N W K W K W K C x K W K B x K W K x B W K

AV K

PQA V PV V -+=-+=--=+-=--=--===----δδδδδ)()()(1111

二、协因素阵

统一将各基本向量W, x δ,K, S K ,V, L

?表示为L 的线性函数。已知1

-=P Q LL ,应用协因数传播律求各向量的自协因数阵和两两向量间互协因数阵，结果列于表8-1（P140）。

三、平差值函数的协因素

设有未知数向量函数并且线性化后得：x F f X X X f T u δ?+==0

21)?,,?,?( ＋…。则： F Q F p X X T ??1

=?

，?

?σσ

p 1??0= 四、概括平差的公式汇编

函数模型：1

1

1

1

0??????=++c c u u c n n c W x B V A δ ，),(0

X L F W =

1

1

1

0????=+s s x u u s W x C δ，)(0X W X Φ=

平差的随机模型是：1

2020-==P Q D σσ

法方程：??????

? ??=??????? ???????? ?????????????????1

1

1111

000

0s X u c s S u c s s u s c

s s u T u u c u T

s c u c c

c aa W W K x K C

C B B N δ 其中T

c

c aa AQA N =?，B N B N aa T

u

u bb 1

-?=，T

bb s

s cc C CN N 1

-?=

单位权方差：)

(?2

s u c PV V r PV V T T --==σ

[]

AQ N B BQ N N QA Q aa T X X aa aa T VV 1

??11----=

VV L L Q Q Q -=??

)(1111??-----=bb cc T bb bb X X CN N C N N Q 平差值函数的权倒数和中误差：X F T ?=?

F Q F p X X T ??1

=?

，?

?σσ

p 1??0= §8.4各种平差方法的共性和特性

迄今为止，已经介绍了5种不同的平差方法，不同的平差方法源于采用了不同的函数模型，但是对同一个平差问题而言，无论采用什么平差方法，平差后的结果是一致的 。

目前较多的使用的是间接平差法或附有限制条件的间接平差法。原因是 （1）、误差方程形式统一，规律性强，便于编程电算。

（2）、所选参数通常为平面控制网待定点坐标或高程控制网待定点高程，即控制测量工作所要得到的最终结果，另外法方程系数阵的逆阵本身或者其中的一部分，就是所选未知数的协因数阵，即X X Q N ??1=-，因此评定精度较简单。

条件平差法及附有参数的条件平差法，由于条件方程式不规范，不便于计算机编程，加之精度评定困难的缺点，目前应用较少，至于附有限制条件的条件平差法，在此仅仅是作为能概括上述4种平差方法的平差模型介绍，目的是帮助理解各种平差方法差异及内在联系，本身更没有什么实用价值。

§8.5 平差结果的统计性质

参数估计最优性质具有三个判别标准：无偏性，一致性和有效性：

1、θθ

=)?(E 2、1)?(lim =+-∞

→εθθ

εθ P n 3、min )?(=θ

D 本节证明:按最小二乘原理进行平差计算所求得结果具有上述最优性质。由于各种平差方法都是概括平差模型的特殊情况，所以仅就概括函数模型进行证明。

一、估计量L

?和X ?具有无偏估计 证：L L E ~)?(=，.~)(~)?(x x E X X

E =?=δ

根据概括平差的函数模型：

1

1

1

1

0??????=++c c u u c n n c W x B V A δ ，),(0X L F W =。对应1

1

1

1

0??????=++?c c u u c n n c W x B A ~（8-2-1）a

1

1

1

0????=+s s X u u s W x C δ， )(0X W X Φ= 。对应 1

1

1

0????=+s s x u u s W x C ~ (8-2-1）b

分别对（8-2-1）a ，（8-2-1）b 取期望，并顾及0)(=?E ，得：)(~W E x B =-，－

X X W W E x C ==-)(~， 其中)(0X W X Φ=，不是随机变量。

对X cc T bb aa T bb cc T bb bb

W N C N W N B CN N C N N x 1

111111----------=)(δ取期望，顾及到B N B N aa T bb =，得到：

x

x C N C N x C N C N x I x C N C N x B N B CN N C N N W E N C N W E N B CN N C N N x E cc

T bb

cc

T bb

cc T bb aa T bb cc T bb bb X cc T bb aa T bb cc T bb bb ~~~~~~)()

()()()(=+-=+-=-+-=------------------111111111111

111111δ 即x δ是x ~得无偏估计值。X x X x E X X

E ~~)()?(=+=+=00δ 对)(x B W N QA V aa

T δ+=-1

（8-2-19）取期望，得： []01

1=+-=+=--)~~()()()(x B x B N QA x BE W E N QA V E aa T aa T δ

故L V E L E L

E ~)()()?(=+=，由于?+=L L ~，而0)(=?E ，所以L L E ~

)?(=， 即证得L ?是L ~的无偏估计值。

二、估计量X

?具有最小方差（有效性） 证明一个向量具有最小方差性，即证明该向量的协因数阵迹为最小。参数估计量方差

阵X X X X Q D ??2

???σ=，要证最小方差性即要证明：min )()(????=≡X X X X

Q tr D tr ，由（8-2-18） X cc T bb aa T bb cc T bb bb W N C N W N B CN N C N N x 1

111111--------+-=)(δ知x δ是W ，x W 的线性函数，

即x δ是条件方程与限制条件方程中常数项l , x W 的线性函数。

（证明思路：设1H ，2H 是满足估值x

?无偏且方差最小的系数阵，由此产生一个无偏

条件，根据最小方差极值问题，又产生两个相关条件。根据三个条件求得1H ，2H ，回

代X W H W H x 21+=?，若能得到x x δ=?，即由此得证得x δ是无偏最小方差估值。）

设有W ，x W 的另一个参数估值向量X W H W H x 21+=?，现在问题是，其表达式中1H ，

2H 应等于什么，才能使x

?既无偏又方差最小？。首先令它满足无偏性：x x C H B H W E H W E H x E X ~~)()()()?(=+-=+=2121，则有：I

C H B H -=+21。因而问

题变为求满足条件：?

??=++=''021I C H B H Q tr X X min

)(??的系数阵1H ，2H 的问题。为此组成函数：

{}

T

X X K I C H B H tr Q tr )()(??+++=Φ''212，对X W H W H x 21+=?应用协因数传播律，并顾及到X W 是非随机量，得到：T

WW X X H Q H Q 11=??。

关于迹对矩阵的导数的补充材料：

已知矩阵A 和方阵F ，而F 是包括A 在内的几个矩阵的乘积，则F 的迹关于矩阵A 的偏导是个矩阵，这个矩阵的各个元素是F 的迹关于A 的对应元素的偏导。并有：

a 、T

ABA F =

)()

(T T B B A A

ABA tr +=?? b 、BA A F T

=

A B B A

BA A tr T T )()

(+=?? c 、AB F =

T B A

BA tr A AB tr =??=??)

()( d 、)()()(B tr A tr B A tr +=+ e 、)()(A ktr kA tr =，k 是常量。）

根据a ：WW T

WW WW T WW Q H Q Q H H H Q H tr 111

112)()(=+=??

根据d ，e ：)()()(])([T T T T IK t CK H tr BK H tr K I C H B H tr 22222121++=++

根据c ： T

T T T KB BK H BK H tr ==??)()(11，T T T T KC CK H CK H tr ==??)()(2

2

（ 8－5－11）

由表8－1知aa WW N Q =，所以由极值条件

01

=?Φ

?H 得： 02211

=+=?Φ?T aa KB N H H ?1

1--=aa T N KB H （8－5－12） 代入无偏条件式：I C H B H -=+21得：

I C H B N KB aa T -=+--)(21?1

2-+=bb N C H I K )(

根据极值条件

02

=?Φ?H 得；0=T KC ?012=+-T bb

C N C H I )(?1

12---=cc T bb N C N H （8－5－16）

回代1

2-+=bb N C H I K )(得：

1

11112-----+-=+=bb bb cc T bb bb N CN N C N N C H I K )( （8－5－17）

此时K 表达式中已经没有未知数，将其再代入（8－5－12）式：

1

111111------+-=-=aa T bb cc T bb bb aa T N B CN N C N N N KB H )( （8－5－18）

将（16）（18）两式代入X W H W H x

21+=?，得参数估值向量x ?的表达式是 X cc T bb aa T bb cc T bb bb W N C N W N B CN N C N N x 1111111--------+-=)(? （8－5－19）

与（8－2－18）式对比，知x x

δ=?。于是知最小二乘估值x δ具有无偏和最小方差性， 三、估计量L

?具有最小方差 ])[()(???X cc T bb aa T X

X aa T aa T W N C BN W N B BQ I N QA L x B W N QA L V L L 11111------+-=+-=+=δ（8－5－22）。即L ?是L ,W ,X W 的线性函数。设有另一个参数估值向量L '?是L ~

的无偏和最小方差估计量，令其表达式是：X

W G W G L L 21?++=' （8－5－23）

1G ，2G 是待定系数阵，对其取数学期望得：

x C G B G L x C G x B G L W G W E G L E L E X ~)(~~~~)()()?(212

121++=++=++=' 若L '?为无偏估计，必有02

1=+C G B G （8－5－24） 对X W G W G L L 21?++='应用协因数传播律，顾及到X

W 是非随机量，得L '?的方差阵是：

T

aa T T T WW WL T LW L L G GN AQ G G QA Q G Q G Q G G Q Q Q 1111111+--=+++=''??， 其中：LW Q ＝－T

QA ，aa WW N Q =

它满足最小方差性，即要求：min )(2)(2

1??=++=''T

L L K C G B G tr Q tr ?。求条件极值，得：

0222011

=++-?=??T aa T KB N G QA G ??1

1--=aa

T T N KB QA G )( 0202

=?=??T KC G ?

(8-5-28) 把最小方差性的第一个条件所得1G 表达式1

1--=aa T T N KB QA G )(代入到无偏性条件

式021=+C G B G 中得：

021

=+--C G B N KB QA aa T T )(?121)(--+=bb aa T N C G B N QA K （8－5－29）

再代入最小方差性的第二个条件02=T KC ，得到：

0)(121=+=--T bb aa T T C N C G B N QA KC ?1

112----=cc T bb aa T N C BN N QA G (8－5－30)

至此，已经求得第一个未知数向量2G 。再回代K 表达式，就得

X X aa T bb cc T bb bb aa T bb

cc T bb aa T bb aa T bb aa T BQ N QA CN N C N N B N QA CN N C BN N QA BN N QA N C G B N QA K ?

?)()(1

11111111111121--------------=-=-=+= （8－5－31） 再代入28式得：

)

()(????1

111111-------=-=-=aa T X X aa T aa T X X aa T aa T aa T T N B BQ I N QA N B BQ N QA N QA N KB QA G

这就又求得了第二个未知数向量1G ，将1G ，2G 表达式代入X

W G W G L L 21?++=' 就得到：

X cc T bb aa T aa T X

X aa T X W N C BN N QA W N B BQ I N QA L W G W G L L 1111121-------+=++=')(??? （8－5－33），对比（8－5－22）两式完全相同，由于L '?满足无偏和最小方差特性，由此证得L

?是最优估值。 四、单位权方差估值2

0?σ

是2

0σ的无偏估计量 单位权方差估计公式20

?σ＝r

PV V T ，现要证明2

020)?(σσ=E

定理：若有服从任意分布的q 维随机向量Y ，其数学期望是η=)(Y E ，方差阵是q

q ,∑，

则n 维随机向量Y 的任一二次型的数学期望是

ηηB B tr BY Y E T T +∑=)()( η－艾塔 ∑－西格马

说明：含n 个未知量的二次齐次式：

2

2211222

22212211121122

11121n

nn n n n n n n n

n n x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x a x x x f ++++++++++=.........),...,,(

称为二次型，

设??????????=n x x x .1，???

??

??

??????

?=nn n n n a a a a a a a a a B ..................2112222111211 二次型可写为矩阵式：Bx x x x x f T n =),...,,(21，其中B 是任一q 维对称可逆方阵，为非随机量。

证明：)()()(])()(([(T

T

T

Y E Y E YY E Y E Y Y E Y E -=--=∑

η

ηB B tr Y BE Y E B tr Y BE Y E tr B tr B Y E Y E tr B tr B Y E Y E tr B YY E tr B YY tr E BY Y tr E BY Y E T T T T T T T T T +∑=+∑=+∑=+∑=+∑====)()()()()]()([)(]

)()([)()]

)()([()]([)]([)]([)(

注意根据求迹的规则，)()(BA tr AB tr =，而对一阶矩阵，迹即其本身。 现在用V 代替Y ，P 代替B ，可得：)()()()(V PE V E PD tr PV V E T VV T +=

因为：AQ N B BQ N QA AQ N QA Q aa T X X aa T aa T VV 1

??11----= ()

()()

)

()

()()()(??1??1

??1

??11

1

??111??11bb X X aa T X X aa T X X c

c aa

T X X aa T aa

T

aa T X X aa T aa T aa T X X aa T aa T VV N Q tr c B N B Q tr c N B BQ tr I tr N B BQ N AQA N

AQA tr AQ

N B BQ N A AQ N A tr AQ

N B BQ N PQA AQ N PQA tr PQ tr -=-=-=-=-=-=--?---------

c

c I ?表示c 阶单位阵， c

c c I tr ?=)(，因为)(1

111??-----=bb cc T bb bb X X CN N C N N Q ，所以：

{}

s

u I tr u N N tr u C CN N tr u C N C N tr I tr N CN N C N N tr N Q tr s

s cc cc

T bb cc cc T bb u

u bb

bb cc T bb bb bb X X -=-=-=-=-=-=?-----?----)

()()

()

()()()(1

111

11

111??

这样最后有r s u c PQ tr VV =--=)()(，而0)(=V E ，那么

[]20

20

20

)()()(σσσr s u c PQ tr PD tr VV VV =--==；r

PV V E T )

(20

=σ，即20?σ

是20σ的无偏估计量。

由于证明一，二，三，四都是由概括平差模型（附有限制条件的条件平差）推证，而其他模型可视为概括模型的特例，故上述结论使用于其他任一平差方法，从而知最小二乘平差所得估值具有优良统计性质。