向量空间练习
空间向量部分基础练习题
16一、选择题1.下列说法中不正确的是( )A. 平面α的法向量垂直于与平面α共面的所有向量B. 一个平面的所有法向量互相平行C. 如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直D. 如果a 、b 与平面α共面且n ⊥a ，n ⊥b ，那么n 就是平面α的一个法向量2.已知a ＝(cos α，1，sin α)，b ＝(sin α，1，cos α)，则向量a ＋b 与a －b 的夹角是( )A. 90°B. 60°C. 30°D. 0° 3.已知A 、B 、C 三点的坐标分别为A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C (3,7，λ)，若AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ等于( ) A. 28 B. －28 C. 14 D. －144.若向量{a ，b ，c }是空间的一个基底，则一定可以与向量p ＝2a ＋b ，q ＝2a －b 构成空间的另一个基底的向量是( )A. aB. bC. cD. a ＋b5.若直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，则能使l ∥α的是( )A. a ＝(1,0,0)，n ＝(－2,0,0)B. a ＝(1,3,5)，n ＝(1,0,1)C. a ＝(0,2,1)，n ＝(－1,0，－1)D. a ＝(1，－1,3)，n ＝(0,3,1)6.已知a ，b 是两异面直线，A ，B ∈a ，C ，D ∈b ，AC ⊥b ，BD ⊥b 且AB ＝2，CD ＝1，则直线a ，b 所成的角为( )A. 30°B. 60°C. 90°D. 45° 7.已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若点F 是侧面CD 1的中心，且AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD⃗⃗⃗⃗⃗ +mAB ⃗⃗⃗⃗⃗ −nAA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 则m ，n 的值分别为( ) A.11,22- B. 11,22-- C. 11,22- D. 11,228.已知A (－1,1,2)，B (1,0，－1)，设D 在直线AB 上，且AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，设C (λ，13＋λ，1＋λ)，若CD ⊥AB ，则λ的值为( )A. 116B. －116C. 12D. 13 9.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝√2，E 、F 分别是面A 1B 1C 1D 1、面BCC 1B 1的中心，则E 、F 两点间的距离为( )A. 1B. √52C. √62D. 32 10.如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，AB ＝1，BC ＝2，AA 1＝3，则点B 到直线A 1C 的距离为( )A. 27B. 2√357C. √357D. 111.如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，点E是棱AB 的中点，则点E 到平面ACD 1的距离为( )A. 12B. √22C. 13D. 16 12.如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是正方形ADD 1A 1和ABCD 的中心，G 是CC1的中点，设GF ，C 1E 与AB 所成的角分别为α，β，则α＋β等于( )A. 120°B. 60°C. 75°D. 90°二、填空题13.已知A (1,2,0)，B (0,1，－1)，P 是x 轴上的动点，当AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP⃗⃗⃗⃗⃗ 取最小值时，点P 的坐标为__________．14.已知正四棱台ABCD －A 1B 1C 1D 1中，上底面A 1B 1C 1D 1边长为1，下底面ABCD 边长为2，侧棱与底面所成的角为60°，则异面直线AD 1与B 1C 所成角的余弦值为__________．15.三棱锥P －ABC 中，PA ＝PB ＝PC ＝AB ＝AC ＝1，∠BAC ＝90°，则直线PA 与底面ABC 所成角的大小为________________．16.已知矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝，将矩形ABCD 沿对角线AC 折起，使平面ABC 与平面ACD 垂直，则B 与D 之间的距离为__________．三、解答题17.若e 1、e 2、e 3是三个不共面向量，则向量a ＝3e 1＋2e 2＋e 3，b ＝－e 1＋e 2＋3e 3，c ＝2e 1－e 2－4e 3是否共面？请说明理由．18.如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝2，AA1＝5，E、F分别为D1D、B1B上的点，且DE＝B1F ＝1.(1)求证：BE⊥平面ACF；(2)求点E到平面ACF的距离．19.如图，在四棱锥A－BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE＝∠BED＝90°，AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，AC＝√2．(1)证明：AC⊥平面BCDE；(2)求直线AE与平面ABC所成的角的正切值．20.如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，设AC与BD相交于点O，若∠DAB＝∠DBF＝60°，且F A＝FC．(1)求证：FC∥平面EAD；(2)求二面角A－FC－B的余弦值．21.如图，在四棱锥中，侧面为钝角三角形且垂直于底面，，点是的中点，，，.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）若直线与底面所成的角为60°，求二面角余弦值．22. 如图，在边长为4的菱形ABCD 中，60BAD ∠=，AC 与BD 交于点O ，将ADB ∆沿直线DB 折起到PDB ∆的位置（点P 不与A ，C 两点重合）.（1）求证：不论PDB ∆折起到何位置，都有BD ⊥平面PAC ；（2）当PO ⊥平面ABCD 时，点M 是线段PC 上的一个动点，若OM 与平面PBC 所成的角为30，求PM MC 的值.。
空间向量的数量积与向量积练习题
空间向量的数量积与向量积练习题在学习空间向量的数量积与向量积时，我们需要通过练习题来提高自己的理解和运用能力。
下面，我们将给出一些关于空间向量数量积与向量积的练习题，希望能够帮助大家更好地掌握这一知识点。
练习一：计算给定向量的数量积已知向量A = (-3, 2, 1) ，向量B = (4, -1, 5)，求向量A与向量B的数量积。
解答：根据数量积的定义，向量A与向量B的数量积为：A·B = AX * BX + AY * BY + AZ * BZ。
将向量A与向量B的坐标代入公式中，得到：A·B = (-3) * 4 + 2 * (-1) + 1 * 5 = -12 - 2 + 5 = -9。
练习二：计算给定向量的向量积已知向量A = (1, 2, -3) ，向量B = (4, -1, 2)，求向量A与向量B的向量积。
解答：根据向量积的定义，向量A与向量B的向量积为：A × B = (AY * BZ - AZ * BY , AZ * BX - AX * BZ , AX * BY - AY * BX)。
将向量A与向量B的坐标代入公式中，得到：A ×B = (2 * 2 - (-3) * (-1) , (-3) * 4 - 1 * 2 , 1 * (-1) - 2 * 4) = (4 - 3, -12 - 2, -1 - 8) = (1, -14, -9)。
练习三：判断两个向量的数量积与向量积的关系已知向量A = (1, -2, 3) ，向量B = (2, 4, 6)，求向量A与向量B的数量积与向量积，并判断两者之间的关系。
解答：首先，计算向量A与向量B的数量积：A·B = (1) * 2 + (-2) * 4 + 3 * 6 = 2 - 8 + 18 = 12。
然后，计算向量A与向量B的向量积：A ×B = (-2 * 6 - 3 * 4, 3 * 2 - 1 * 6, 1 * 4 - (-2) * 2) = (-12 - 12, 6 - 6, 4 + 4) = (-24, 0, 8)。
高中空间向量练习题及讲解讲解
高中空间向量练习题及讲解讲解### 高中空间向量练习题及讲解#### 练习题一：空间向量的坐标运算题目：设空间向量\( \vec{a} \)和\( \vec{b} \)的坐标分别为\( (1, 2, 3) \)和\( (4, -1, 2) \)，求向量\( \vec{a} + \vec{b} \)的坐标。
解答：向量加法遵循坐标的分量相加原则。
对于向量\( \vec{a} \)和\( \vec{b} \)，其坐标分别为\( (a_1, a_2, a_3) \)和\( (b_1,b_2, b_3) \)，向量和的坐标为\( (a_1 + b_1, a_2 + b_2, a_3 +b_3) \)。
将给定的向量坐标代入公式，得到：\[ \vec{a} + \vec{b} = (1 + 4, 2 - 1, 3 + 2) = (5, 1, 5) \]#### 练习题二：空间向量的模长题目：已知空间向量\( \vec{c} \)的坐标为\( (2, 3, -1) \)，求向量\( \vec{c} \)的模长。
解答：空间向量的模长可以通过以下公式计算：\[ |\vec{c}| = \sqrt{c_1^2 + c_2^2 + c_3^2} \]将向量\( \vec{c} \)的坐标代入公式，得到：\[ |\vec{c}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14} \]#### 练习题三：空间向量的夹角题目：设空间向量\( \vec{d} \)和\( \vec{e} \)的坐标分别为\( (1, 2, 1) \)和\( (2, 1, 3) \)，求向量\( \vec{d} \)和\( \vec{e} \)的夹角。
解答：空间向量\( \vec{d} \)和\( \vec{e} \)的夹角可以通过向量的点积来求得，公式为：\[ \cos \theta = \frac{\vec{d} \cdot \vec{e}}{|\vec{d}||\vec{e}|} \]首先计算点积：\[ \vec{d} \cdot \vec{e} = 1 \times 2 + 2 \times 1 + 1 \times 3 = 2 + 2 + 3 = 7 \]然后计算模长：\[ |\vec{d}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{6} \]\[ |\vec{e}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 3^2} = \sqrt{14} \]代入公式计算夹角的余弦值：\[ \cos \theta = \frac{7}{\sqrt{6} \times \sqrt{14}} \]最后，通过反余弦函数求得夹角\( \theta \)。
空间向量与立体几何练习题(带答案)
空间向量与立体几何练习题（带答案）一、选择题1．若空间向量a与b不相等，则a与b一定()A．有不同的方向B．有不相等的模C．不可能是平行向量D．不可能都是零向量【解析】若a＝0，b＝0，则a＝b，这与已知矛盾，故选D．【答案】D图2－1－72．如图2－1－7所示，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1，在下列选项中，CD→的相反向量是()A.BA→B．A1C1→C.A1B1→D．AA1→【解析】由相反向量的定义可知，A1B1→是CD→的相反向量．【答案】C图2－1－83．在如图2－1－8所示的正三棱柱中，与〈AB→，AC→〉相等的是() A．〈AB→，BC→〉B．〈BC→，CA→〉C．〈C1B1→，AC→〉D．〈BC→，B1A1→〉【解析】∵B1A1→＝BA→，∴〈BA→，BC→〉＝〈AB→，AC→〉＝〈BC→，B1A1→〉＝60°，故选D．【答案】D4．在正三棱锥A-BCD中，E、F分别为棱AB，CD的中点，设〈EF→，AC→〉＝α，〈EF→，BD→〉＝β，则α＋β等于()A.π6B．π4C.π3D．π2【解析】如图，取BC的中点G，连接EG、FG，则EG∥AC，FG∥BD，故∠FEG＝α，∠EFG＝β.∵A－BCD是正三棱锥，∴AC⊥BD．∴EG⊥FG，即∠EGF＝π2.∴α＋β＝∠FEG＋∠EFG＝π2.【答案】D5．如图2－1－9所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点为向量端点的所有向量中，直线AB的方向向量有()图2－1－9A．8个B．7个C．6个D．5个【解析】与向量AB→平行的向量就是直线AB的方向向量，有AB→，BA→，A1B1→，B1A1→，C1D1→，D1C1→，CD→，DC→，共8个，故选A.【答案】A二、填空题6．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则向量CE→和BD→的夹角为________．【解析】∵BD→为平面ACC1A1的法向量，而CE在平面ACC1A1中，∴BD→⊥CE→.∴〈BD→，CE→〉＝90°.【答案】90°7．下列命题正确的序号是________．①若a∥b，〈b，c〉＝π4，则〈a，c〉＝π4.②若a，b是同一个平面的两个法向量，则a＝B．③若空间向量a，b，c满足a∥b，b∥c，则a∥c.【解析】①〈a，c〉＝π4或3π4，①错；②a∥b；②错；③当c＝0时，推不出a∥c，③错；④由于异面直线既不平行也不重合，所以它们的方向向量不共线，④对．【答案】④8．在棱长为1的正方体中，S表示所有顶点的集合，向量的集合P＝{a|a ＝P1P2→，P1，P2∈S}，则在集合P中模为3的向量的个数为________．【解析】由棱长为1的正方体的四条体对角线长均为3知：在集合P 中模为3的向量的个数为8.【答案】8三、解答题图2－1－109．如图2－1－10所示，在长、宽、高分别为AB＝3、AD＝2、AA1＝1的长方体ABCD－A1B1C1D1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中，(1)单位向量共有多少个？(2)试写出模为5的所有向量；(3)试写出与AB→相等的所有向量．【解】(1)由于长方体的高为1，所以长方体4条高所对应的AA1→，A1A→，BB1→，B1B→，CC1→，C1C→，DD1→，D1D→这8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共8个．(2)由于这个长方体的左右两侧的对角线长均为5，故模为5的向量有AD1→，D1A→，A1D→，DA1→，BC1→，C1B→，B1C→，CB1→共8个．(3)与向量AB→相等的所有向量(除它自身之外)共有A1B1→，DC→及D1C1→3个．图2－1－1110．如图2－1－11所示，正四棱锥S－ABCD中，O为底面中心，求平面SBD的法向量与AD→的夹角．【解】∵正四棱锥底面为正方形，∴BD⊥AC，SO⊥AC又∵BD∩SO＝O∴AC⊥平面SBD．∴AC→为平面SBD的一个法向量．∴〈AC→，AD→〉＝45°.图2－1－1211．如图2－1－12，四棱锥P—ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD 为正方形且PD＝AD，E、F分别是PC、PB的中点．(1)试以F为起点作直线DE的一个方向向量；(2)试以F为起点作平面PBC的一个法向量．【解】(1)取AD的中点M，连接MF，连接EF，∵E、F分别是PC、PB的中点，∴EF綊12BC，又BC綊AD，∴EF綊12AD，则由EF綊DM知四边形DEFM是平行四边形，∴MF∥DE，∴FM→就是直线DE的一个方向向量．(2)∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC，又BC⊥CD，∴BC⊥平面PCD，∵平面PCD，∴DE⊥BC，又PD＝CD，E为PC中点，∴DE⊥PC，从而DE⊥平面PBC，∴DE→是平面PBC的一个法向量，由(1)可知FM→＝ED→，∴FM→就是平面PBC的一个法向量.。
空间向量练习卷
《空间向量》练习卷1、空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（）A．B．C．D．2、设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则k＝（）A．2 B．－4 C．－2 D．43、设点M是Z轴上一点,且点M到A（1,0,2）与点B（1,－3,1）的距离相等,则点M的坐标是( )A．（－3,－3, 0）B．（0,0,－3）C．（0,－3,－3）D．（0,0,3）4、已知空间四面体的每条边都等于1，点分别是的中点，则等于（）A．B．C．D．5、如图，在正方体，若，则的值为（）A．3 B．1 C．－1 D．－36、的三个内角的对边分别为，已知，向量，。
若，则角的大小为（）A．B．C．D．7、在ΔABC中，已知＝(2,4,0),＝(－1,3,0)，则∠ABC大小为（）.A．45°B．90°C．120°D．135°8、已知向量=（2，4，x），=（2，y，2），若||=6，⊥，则x+y的值是（）A．－3或1 B．3或－1 C．－3 D．19、如果正方体的棱长为，那么四面体的体积是：A．B．C．D．10、已知向量a=(3，5，-1)，b=(2，2，3)，c=(4，-1，-3)，则向量2a-3b+4c的坐标为( )A．(16，0，-23) B．(28，0，-23) C．(16，-4，-1) D．(0，0，9)分卷II 注释一、填空题(每小题5分共25分)11、已知，则的最小值是___ ____________．12、与A(-1，2，3)，B(0，0，5)两点距离相等的点P(x，y，z)的坐标满足的条件为__________．13、已知，且//(),则k=__ ____.14、正方体的棱长为，若动点在线段上运动，则的取值范围是______________.15、已知正方体中，E为的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为 .二、解答题(12+12+12+12+13+14)16、如图，在直四棱柱中，底面为平行四边形，且，，，为的中点.（Ⅰ）证明：∥平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.17、如图所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分别是A1B1、A1A的中点. （1）求的长；（2）求cos< >的值；（3）求证：A1B⊥C1M.18、长方体中，（1）求直线所成角；（2）求直线所成角的正弦.19、在边长是2的正方体-中，分别为的中点.应用空间向量方法求解下列问题.(1)求EF的长(2)证明：平面；(3)证明: 平面.20、如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，BC⊥侧面AA1C1C，AC=BC=1，CC1=2，∠CAA1=，D、E分别为AA1、A1C的中点．（1）求证：A1C⊥平面ABC；（2）求平面BDE与平面ABC 所成角的余弦值．21、如图所示，四边形为直角梯形，，，为等边三角形，且平面平面，，为中点．（1）求证：；（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值；（3）在内是否存在一点，使平面，如果存在，求的长；如果不存在，说明理由．。
空间向量及其线性运算练习题及答案
【巩固练习】 一、选择题1．下列各命题中，不正确的命题的个数为（ ）①||⋅=a a a ②()()(,)m m m λλλ⋅=⋅∈R a b a b ③()()⋅+=+⋅a b c b c a④22=a b b aA ．4B ．3C ．2D ．12.①若A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则有0AB BC CD DA +++=； ②|a |－|b |＝|a ＋b |是a 、b 共线的充要条件； ③若a 、b 共线，则a 与b 所在直线平行；④对空间任意一点O 与不共线的三点A 、B 、C ，若OP xOA yOB zOC =++ (其中x 、y 、z ∈R )，则P 、A 、B 、C 四点共面．其中不正确命题的个数是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．43.（2015秋 衡阳校级期中）如图，在四面体ABCD 中，E 、F 分别是棱AD 、BC 的中点，则向量EF 与AB 、CD 的关系是（ ）A ．1122EF AB CD =+ B ．1122EF AB CD =-+ C ．1122EF AB CD =- D ．1122EF AB CD =--4．已知A 、B 、C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点M 与点A 、B 、C 一定共面的是（ ） A ．OC OB OA OM ++= B ．OC OB OA OM --=2C ．OC OB OA OM 3121++= D ．OC OB OA OM 313131++=5.（2014秋·福建校级期末）如图所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点E 为上底面对角线A 1C 1的中点，若1BE AA xAB yAD =++，则（ ）A ．12x =-，12y = B ．12x =，12y =- C ．12x =-，12y =- D ．12x =，12y =6．（2015 四川校级模拟） 已知O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足[)+0,|AB |sin B ||sin AB ACOP OA AC Cλλ=+∈+∞（），则点P 的轨迹一定通过ΔABC 的（ ）A. 外心B.内心C. 重心D.垂心7．已知空间向量A ，B ，且2AB a b =+，56BC a b =-+，72CD a b =-，则一定共线的三点是（ ）．A ．A 、B 、D B ．A 、B 、C C ．B 、C 、D D ．A 、C 、D 二、填空题8.如果两个向量→-a ，→-b 不共线，则→-p 与→-a ，→-b 共面的充要条件是____________。
空间向量练习题
1．若A（0，2，），B（1，﹣1，），C（﹣2，1，）是平面α内的三点，设平面α的法向量=（x，y，z），则x：y：z=（）A．2：3：（﹣4）B．1：1：1 C．﹣：1：1 D．3：2：42．若=（1，﹣2，2）是平面α的一个法向量，则下列向量能作为平面α法向量的是（）A．（1，﹣2，0）B．（0，﹣2，2） C．（2，﹣4，4）D．（2，4，4）3．已知平面α的法向量为=（2，﹣2，4），=（﹣3，1，2），点A不在α内，则直线AB与平面的位置关系为（）A．AB⊥αB．AB⊂αC．AB与α相交不垂直D．AB∥α4．若平面α、β的法向量分别为=（2，﹣3，5），=（﹣3，1，﹣4），则（）A．α∥βB．α⊥βC．α、β相交但不垂直D．以上均不正确5．平面α的法向量为（1，0，﹣1），平面β的法向量为（0，﹣1，1），则平面α与平面β所成二面角的大小为．6．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥AB，AB=2AA1，M是AB的中点，△A1MC1是等腰三角形，D为CC1的中点，E为BC上一点．（1）若DE∥平面A1MC1，求；（2）求直线BC和平面A1MC1所成角的余弦值．7．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB=2，AA1=2，D是AA1的中点，BD与AB1交于点O，且CO⊥ABB1A1平面．（1）证明：BC⊥AB1；（2）若OC=OA，求直线CD与平面ABC所成角的正弦值．8．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC为等腰直角三角形，∠ABC=90°，AB=4，AA1=6，点M时BB1中点．（1）求证；平面A1MC⊥平面AA1C1C；（2）求点A到平面A1MC的距离．9．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，AB∥CD，∠BAD=，AB=1，CD=3，M为PC上一点，MC=2PM．（Ⅰ）证明：BM∥平面PAD；（Ⅱ）若AD=2，PD=3，求点D到平面PBC的距离．10．如图，已知平面QBC与直线PA均垂直于Rt△ABC所在平面，且PA=AB=AC．（Ⅰ）求证：PA∥平面QBC；（Ⅱ）PQ⊥平面QBC，求二面角Q﹣PB﹣A的余弦值．11．如图所示，在多面体A1B1D1DCBA中，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于F．（Ⅰ）证明：EF∥B1C；（Ⅱ）求二面角E﹣A1D﹣B1的余弦值．12．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1，边长为1，E为CC1上一点，且EC=（1）证明：B1D1∥平面BDE；（2）求二面角E﹣BD﹣C大小；（3）证明：平面ACC1A1⊥平面BDE．13．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=AA1=2，∠ABC=45°．（1）求直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积；（2）若D是AC的中点，求异面直线BD与A1C所成的角．14．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，（1）证明：BC1⊥面A1B1CD；（2）求直线A1B和平面A1B1CD所成的角．15．如图，正方形ABED、直角梯形EFGD、直角梯形ADGC所在平面两两垂直，AC∥DG∥EF．且DA=DE=DG=2，AC=EF=1．（Ⅰ）求证：四点B、C、G、F共面；（Ⅱ）求二面角D﹣BC﹣F的大小．16．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=2，AC=AA1=2，∠ABC=．（1）证明：AB⊥A1C；（2）求二面角A﹣A1C﹣B的正弦值．17．如图，在四棱锥O﹣ABCD中，OA⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，OA=2，M、N、Q分别为OA、BC、CD的中点．（Ⅰ）证明：DN⊥平面OAQ；（Ⅱ）求点B到平面DMN的距离．18．如图，在棱长AB=AD=2，AA1=3的长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是平面BCC1B1内动点，点F是CD的中点．（Ⅰ）试确定E的位置，使D1E⊥平面AB1F；（Ⅱ）求平面AB1F与平面ABB1A1所成的锐二面角的大小．19．如图，边长为1的正三角形SAB所在平面与直角梯形ABCD所在平面垂直，且AB∥CD，BC⊥AB，BC=1，CD=2，E、F分别是线段SD、CD的中点．（I）求证：平面AEF∥平面SBC；（Ⅱ）求二面角S﹣AC﹣F的大小．20．如图，在三棱锥D﹣ABC中，△ADC，△ACB均为等腰直角三角形AD=CD=，∠ADC=∠ACB=90°，M为线段AB的中点，侧面ADC⊥底面ABC．（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACD；（Ⅱ）求异面直线BD与CM所成角的余弦值；（Ⅲ）求二面角A﹣CD﹣M的余弦值．21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=6，PD=3，E、F分别是PB、CB上靠近点B的一个三等分点．（Ⅰ）求证：AC⊥DE；（Ⅱ）求EF与平面PAB所成角的正弦值．22．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是A1D1和A1B1的中点．（1）求异面直线AE和BF所成角的余弦值；（2）求平面BDD1与平面BFC1所成二面角的正弦值．23．已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1．AB=1，AA1=2，点E为CC1中点，点F为BD1中点．（1）证明EF为BD1与CC1的公垂线；（2）求点D1到面BDE的距离．24．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AD=a，AB=2a，E为A1B1的中点在．（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCE；（II）求二面角D﹣BE﹣C的余弦值．1．若A（0，2，），B（1，﹣1，），C（﹣2，1，）是平面α内的三点，设平面α的法向量=（x，y，z），则x：y：z=（）A．2：3：（﹣4）B．1：1：1 C．﹣：1：1 D．3：2：4选A．2．若=（1，﹣2，2）是平面α的一个法向量，则下列向量能作为平面α法向量的是（）A．（1，﹣2，0）B．（0，﹣2，2） C．（2，﹣4，4）D．（2，4，4）选C．3．已知平面α的法向量为=（2，﹣2，4），=（﹣3，1，2），点A不在α内，则直线AB与平面的位置关系为（）A．AB⊥αB．AB⊂αC．AB与α相交不垂直D．AB∥α选：D．4．若平面α、β的法向量分别为=（2，﹣3，5），=（﹣3，1，﹣4），则（）A．α∥βB．α⊥βC．α、β相交但不垂直D．以上均不正确选；C．5．平面α的法向量为（1，0，﹣1），平面β的法向量为（0，﹣1，1），则平面α与平面β所成二面角的大小为或．解：设平面α的法向量为=（1，0，﹣1），平面β的法向量为=（0，﹣1，1），则cos＜，＞==﹣，∴＜，＞=．∵平面α与平面β所成的角与＜，＞相等或互补，∴α与β所成的角为或．6．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥AB，AB=2AA1，M是AB的中点，△A1MC1是等腰三角形，D为CC1的中点，E为BC上一点．（1）若DE∥平面A1MC1，求；（2）求直线BC和平面A1MC1所成角的余弦值．解：（1）取BC中点N，连结MN，C1N，…（1分）∵M，N分别为AB，CB中点∴MN∥AC∥A1C1，∴A1，M，N，C1四点共面，且平面BCC1B1∩平面A1MNC1=C1N，又DE∩平面BCC1B1，且DE∥平面A1MC1，∴DE∥C1N，∵D为CC1的中点，∴E是的中点，∴．（2）连结B1M，因为三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，∴AA1⊥平面ABC，∴AA1⊥AB，即四边形ABB1A1为矩形，且AB=2AA1，∵M是AB的中点，∴B1M⊥A1M，又A1C1⊥平面ABB1A1，∴A1C1⊥B1M，从而B1M⊥平面A1MC1，∴MC1是B1C1在平面A1MC1内的射影，∴B1C1与平面A1MC1所成的角为∠B1C1M，又B1C1∥BC，∴直线BC和平面A1MC1所成的角即B1C1与平面A1MC1所成的角…（10分）设AB=2AA1=2，且三角形A1MC1是等腰三角形∴，则MC 1=2，，∴cos=，∴直线BC和平面A1MC1所成的角的余弦值为．…（12分）7．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB=2，AA1=2，D是AA1的中点，BD与AB1交于点O，且CO⊥ABB1A1平面．（1）证明：BC⊥AB1；（2）若OC=OA，求直线CD与平面ABC所成角的正弦值．【解答】（I）证明：由题意，因为ABB1A1是矩形，D为AA1中点，AB=2，AA1=2，AD=，所以在直角三角形ABB1中，tan∠AB1B==，在直角三角形ABD中，tan∠ABD==，所以∠AB1B=∠ABD，又∠BAB1+∠AB1B=90°，∠BAB1+∠ABD=90°，所以在直角三角形ABO中，故∠BOA=90°，即BD⊥AB1，又因为CO⊥侧面ABB1A1，AB1⊂侧面ABB1A1，所以CO⊥AB1所以，AB1⊥面BCD，因为BC⊂面BCD，所以BC⊥AB1．（Ⅱ）解：如图，分别以OD，OB1，OC所在的直线为x，y，z轴，以O为原点，建立空间直角坐标系，则A（0，﹣，0），B（﹣，0，0），C（0，0，），B1（0，，0），D（，0，0），又因为=2，所以所以=（﹣，，0），=（0，，），=（，，），=（，0，﹣），设平面ABC的法向量为=（x，y，z），则根据可得=（1，，﹣）是平面ABC的一个法向量，设直线CD与平面ABC所成角为α，则sinα=，所以直线CD与平面ABC所成角的正弦值为．…（12分）8．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC为等腰直角三角形，∠ABC=90°，AB=4，AA1=6，点M时BB1中点．（1）求证；平面A1MC⊥平面AA1C1C；（2）求点A到平面A1MC的距离．【解答】证明：（1）以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系，由题意A1（0，4，6），M（0，0，3），C（4，0，0），A（0，4，0），=（0，4，3），=（4，0，﹣3），=（0，0，6），=（4，﹣4，0），设平面A1MC的法向量为=（x，y，z），则，取x=3，得=（3，﹣3，4），设平面AA1C1C的法向量=（a，b，c），∴平面A1MC⊥平面AA1C1C．解：（2）∵=（0，0，6），平面A1MC的法向量=（3，﹣3，4），∴点A到平面A1MC的距离：d===．9．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，AB∥CD，∠BAD=，AB=1，CD=3，M为PC上一点，MC=2PM．（Ⅰ）证明：BM∥平面PAD；（Ⅱ）若AD=2，PD=3，求点D到平面PBC的距离．【解答】证明：（1）过M作MO⊥CD，交CD于O，连结BO，∵四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，AB∥CD，∠BAD=，AB=1，CD=3，M为PC上一点，MC=2PM，∴MO∥PD，OD=，∴OD AB，∴AD∥BO，∵AD∩PD=D，BO∩MO=O，AD、PD⊂平面ADP，BO、MO⊂平面BOM，∴平面ADP∥平面BOM，∵BM⊂平面BOM，∴BM∥平面PAD．解：（2）∵AD=2，PD=3，AB∥CD，∠BAD=，AB=1，CD=3，∴BD==，∴BD2+AB2=AD2，以D为原点，DB为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，B（，1，0），P（0，0，3），C（0，3，0），D（0，0，0），=（），=（），=（0，3，﹣3），设平面PBC的法向量=（x，y，z），∴点D到平面PBC的距离d===．10．图，已知平面QBC与直线PA均垂直于Rt△ABC所在平面，且PA=AB=AC．（Ⅰ）求证：PA∥平面QBC；（Ⅱ）PQ⊥平面QBC，求二面角Q﹣PB﹣A的余弦值．解：（I）证明：过点Q作QD⊥BC于点D，∵平面QBC⊥平面ABC，∴QD⊥平面ABC，又∵PA⊥平面ABC，∴QD∥PA，又∵QD⊂平面QBC，PA⊄平面QBC，∴PA∥平面QBC．（Ⅱ）方法一：∵PQ⊥平面QBC，∴∠PQB=∠PQC=90°，又∵PB=PC，PQ=PQ，∴△PQB≌△PQC，∴BQ=CQ．∴点D是BC的中点，连接AD，则AD⊥BC，∴AD⊥平面QBC，∴PQ∥AD，AD⊥QD，∴四边形PADQ是矩形．设PA=2a，∴，PB=2a，∴．过Q作QR⊥PB于点R，∴QR==，==，取PB中点M，连接AM，取PA的中点N，连接RN，∵PR=，，∴MA∥RN．∵PA=AB，∴AM⊥PB，∴RN⊥PB．∴∠QRN为二面角Q﹣PB﹣A的平面角．连接QN，则QN===．又，∴cos∠QRN===．即二面角Q﹣PB﹣A的余弦值为．（Ⅱ）方法二：∵PQ⊥平面QBC，∴∠PQB=∠PQC=90°，又∵PB=PC，PQ=PQ，∴△PQB≌△PQC，∴BQ=CQ．∴点D是BC的中点，连AD，则AD⊥BC．∴AD⊥平面QBC，∴PQ∥AD，AD⊥QD，∴四边形PADQ是矩形．分别以AC、AB、AP为x、y、z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz．不妨设PA=2，则Q（1，1，2），B（0，2，0），P（0，0，2），设平面QPB的法向量为．∵=（1，1，0），=（0，2，﹣2）．∴令x=1，则y=z=﹣1．又∵平面PAB的法向量为．设二面角Q﹣PB﹣A为θ，则|cosθ|===又∵二面角Q﹣PB﹣A是钝角∴．11．如图所示，在多面体A1B1D1DCBA中，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于F．（Ⅰ）证明：EF∥B1C；（Ⅱ）求二面角E﹣A1D﹣B1的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵B1C=A1D且A1B1=CD，∴四边形A1B1CD为平行四边形，∴B1C∥A1D，又∵B1C⊄平面A1EFD，∴B1C∥平面A1EFD，又∵平面A1EFD∩平面B1CD1=EF，∴EF∥B1C；（Ⅱ）解：以A为坐标原点，以AB、AD、AA1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系A﹣xyz 如图，设边长为2，∵AD1⊥平面A1B1CD，∴=（0，2，2）为平面A1B1CD的一个法向量，设平面A1EFD的一个法向量为=（x，y，z），又∵=（0，2，﹣2），=（1，1，0），∴，，取y=1，得=（﹣1，1，1），∴cos＜，＞==，∴二面角E﹣A1D﹣B1的余弦值为．12．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1，边长为1，E为CC1上一点，且EC=（1）证明：B1D1∥平面BDE；（2）求二面角E﹣BD﹣C大小；（3）证明：平面ACC1A1⊥平面BDE．【解答】（1）证明：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1，DD1∥BB1且DD1=BB1则：四边形DD1B1B是平行四边形．BD∥B1D1B1D1⊄平面BDE，BD⊂平面BDE，所以：B1D1∥平面BDE．（2）连接AC和BD交于点O，连接OE，所以：AC⊥DB，又EC⊥平面ABCD，DB⊂平面ABCD 所以：BD⊥平面COE则：OE⊥BD则：∠EOC是二面角E﹣BD﹣C的平面角．由于正方体的边长为1，EC=，解得：则：tan∠EOC=1则：∠EOC=45°即二面角E﹣BD﹣C大小为45°．（3）在正方体中，A1A⊥平面ABCD，AC⊥BD，则：BD⊥平面A1ACC1BD⊂平面BDE所以：平面ACC1A1⊥平面BDE．13．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=AA1=2，∠ABC=45°．（1）求直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积；（2）若D是AC的中点，求异面直线BD与A1C所成的角．解：（1）∵AB=AC=2，∠ABC=45°，∴∠BAC=90°，∴．又AA1=2，∴直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V=S△ABC×AA1=2×2=4．∴直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为4．（2）取AA1的中点M，连接DM，BM，∵D是AC的中点，∴DM∥A1C，∴∠BDM是异面直线BD与A1C所成的角．在△BDM中，，．即．∴异面直线BD与A1C所成的角为．14．（2014秋•XX期中）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，（1）证明：BC1⊥面A1B1CD；（2）求直线A1B和平面A1B1CD所成的角．解：（1）连接B1C交BC1于点O，连接A1O．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中因为A1B1⊥平面BCC1B1．所以A1B1⊥BC1．又∵BC1⊥B1C，又BC1∩B1C=O∴BC1⊥平面A1B1CD（2）因为BC1⊥平面A1B1CD，所以A1O为斜线A1B在平面A1B1CD内的射影，所以∠BA1O为A1B与平面A1B1CD所成的角．设正方体的棱长为a在RT△A1BO中，A1B=a，BO=a，所以BO=A1B，∠BA1O=30°，即直线A1B和平面A1B1CD所成的角为30°．15．如图，正方形ABED、直角梯形EFGD、直角梯形ADGC所在平面两两垂直，AC∥DG∥EF．且DA=DE=DG=2，AC=EF=1．（Ⅰ）求证：四点B、C、G、F共面；（Ⅱ）求二面角D﹣BC﹣F的大小．【解答】（Ⅰ）证明：取DG的中点M，连接AM，∵正方形ABED、直角梯形EFGD、直角梯形ADGC所在平面两两垂直，AC∥DG∥EF．且DA=DE=DG=2，AC=EF=1∴BF∥AM，AM∥CG，∴BF∥CG，∴四点B、C、G、F共面．（Ⅱ）以DE为x轴，以DG为y轴，以DA为z轴，建立空间直角坐标系，∵正方形ABED、直角梯形EFGD、直角梯形ADGC所在平面两两垂直，AC∥DG∥EF．且DA=DE=DG=2，AC=EF=1∴D（0，0，0），B（2，0，2），C（0，1，2）F（2，1，0），∴，，，，设平面DBC的法向量，则，，∴，解得=（1，2，﹣1），设平面FBC的法向量，则，，∴，解得=（1，2，1），设二面角D﹣BC﹣F的平面角为θ，则cosθ=|cos＜，＞|=||=．∴二面角D﹣BC﹣F的大小为arccos．16．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=2，AC=AA1=2，∠ABC=．（1）证明：AB⊥A1C；（2）求二面角A﹣A1C﹣B的正弦值．解：（1）证明：在△ABC中，由正弦定理可求得∴AB⊥AC以A为原点，分别以AB、AC、AA1为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，如图则A（0，0，0）B（2，0，0）即AB⊥A1C．（2）由（1）知设二面角A﹣A1C﹣B的平面角为α，=∴17．如图，在四棱锥O﹣ABCD中，OA⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，OA=2，M、N、Q分别为OA、BC、CD的中点．（Ⅰ）证明：DN⊥平面OAQ；（Ⅱ）求点B到平面DMN的距离．解：（Ⅰ）由题意，可知AO，AB，AD两两垂直，于是可如图建立空间直角坐标系，从而可得以下各点的坐标：A（0，0，0），B（2，0，0），D（0，2，0），O（0，0，2），M（0，0，1），N（2，1，0），Q（1，2，0），∵．∴．即AQ⊥DN．又知OA⊥DN，∴DN⊥平面OAQ．（Ⅱ）设平面DMN的法向量为，由．得即，令x=1，得平面DMN的法向量，∴点B到平面DMN的距离．18．如图，在棱长AB=AD=2，AA1=3的长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是平面BCC1B1内动点，点F是CD的中点．（Ⅰ）试确定E的位置，使D1E⊥平面AB1F；（Ⅱ）求平面AB1F与平面ABB1A1所成的锐二面角的大小．解：（Ⅰ）以A为原点，AB、AD、AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，A（0，0，0），F（1，2，0），B1（2，0，3），D1（0，2，3），设E（2，y，z），则，．（4分）由D1E⊥平面AB1F∴∴E（2，1，）为所求．…（6分）（Ⅱ）方法一：当D1E⊥平面AB1F时，=，又是平面A 1AB1的法向量，且．（8分）．∴面AB1F与平面ABB1A1所成的锐二面角的大小．（12分）方法二：取AB的中点G，可证：FG⊥平面ABB1A1，过点G作GH⊥AB1于H点，连接FH，则FH⊥AB1，所以∠GHF为所求二面角的平面角．…（9分）在△GHF中，FG=2，FH．∴面AB1F与平面ABB1A1所成的锐二面角的大小．（12分）19．如图，边长为1的正三角形SAB所在平面与直角梯形ABCD所在平面垂直，且AB∥CD，BC⊥AB，BC=1，CD=2，E、F分别是线段SD、CD的中点．（I）求证：平面AEF∥平面SBC；（Ⅱ）求二面角S﹣AC﹣F的大小．【解答】证明：（Ⅰ）∵fF别是CD的中点，∴FC=CD=1．又AB=1，所以FC=AB．∵FC∥AB，∴四边形ABCF四边形．∴AF∥BC∵E是SD的中点∴EF∥SC又∵AF∩EF=F，BC∩SC=C∴平面AEF∥平面SBC解：（II）取AB的中点O，连接SO，∵SO⊥△SAB，以O为原点，建立如图所示的空间坐标系O﹣xyz则有A（0，﹣，0），C（1，，0），S（0，0，），F（1，﹣，0），=（1，1，0），=（0，，），（7分）设平面SAC的法向量为=（x，y，z），由，即取x=1，，得=（1，﹣1，），平面FAC的法向量为=（0，0，1）．（10分）∴cos＜m，n＞==而二面角二面角S﹣AC﹣F的大小为钝角，∴二面角二面角S﹣AC﹣F的大小为π﹣arccos．20．如图，在三棱锥D﹣ABC中，△ADC，△ACB均为等腰直角三角形AD=CD=，∠ADC=∠ACB=90°，M为线段AB的中点，侧面ADC⊥底面ABC．（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACD；（Ⅱ）求异面直线BD与CM所成角的余弦值；（Ⅲ）求二面角A﹣CD﹣M的余弦值．解：（Ⅰ）证明：因为AC⊥BC，平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC=AC，BC⊂平面ABC，所以BC⊥平面ACD．（Ⅱ）取AC的中点为O，连接DO，OM．建立空间直角坐标系O﹣xyz如图所示．则A（1，0，0），C（﹣1，0，0），D（0，0，1），B（﹣1，2，0），M（0，1，0）．，所以异面直线BD与CM所成角的余弦值为（Ⅲ）平面ACD的法向量为，设平面MCD的法向量为，，由，得，取x=﹣1，得y=z=1，所以所以，二面角A﹣CD﹣M的余弦值为21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=6，PD=3，E、F分别是PB、CB上靠近点B的一个三等分点．（Ⅰ）求证：AC⊥DE；（Ⅱ）求EF与平面PAB所成角的正弦值．【解答】证明：（Ⅰ）∵PD⊥面ABCD，AC⊂面ABCD∴PD⊥AC∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC又∵PD∩BD=D，PD，BD⊂面PBD∴AC⊥面PBD又∵DE⊂面PBD∴AC⊥DE（Ⅱ）以点O为坐标原点，OB、OC所在的直线为x轴、y轴，建立空间直角坐标系，则∵AC=6，BD=6，PD=3，E、F分别是PB、CB上靠近点B的一个三等分点．∴P（﹣3，0，3），A（0，﹣3，0），B（3，0，0），C（0，3，0），∴==（2，0，﹣），==（﹣1，，0），∴=+=（1，，﹣），设平面PAB的法向量=（x，y，z），由=（3，﹣3，﹣3），=（6，0，﹣3）得，，即令z=2，则=（，，2）则EF与平面PAB所成角θ满足sinθ===，即为EF与平面PAB所成角的正弦值…（8分）22．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是A1D1和A1B1的中点．（1）求异面直线AE和BF所成角的余弦值；（2）求平面BDD1与平面BFC1所成二面角的正弦值．解：以A为坐标原点，AB，AD，AA1分别为X，Y，Z轴正方向，建立空间坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，则A（0，0，0），B（2，0，0），E（0，1，2），F（1，0，2），C1（2，2，2）（1）则=（0，1，2），=（﹣1，0，2）设异面直线AE和BF所成角为θ则cosθ==即异面直线AE和BF所成角的余弦值为（2）∵=（2，0，0）为平面BDD1的一个法向量，设向量为平面BFC 1的一个法向量则，即令z=1，则向量为平面BFC1的一个法向量∵cos==∴sin=∴平面BDD1与平面BFC1所成二面角的正弦值为23．已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1．AB=1，AA1=2，点E为CC1中点，点F为BD1中点．（1）证明EF为BD1与CC1的公垂线；（2）求点D1到面BDE的距离．解：（1）取BD中点M．连接MC，FM．∵F为BD1中点，∴FM∥D1D且FM=D1D．又EC CC1且EC⊥MC，∴四边形EFMC是矩形∴EF⊥CC1．又FM⊥面DBD1．∴EF⊥面DBD1．∵BD1⊂面DBD1．∴EF⊥BD1．故EF为BD1与CC1的公垂线．（Ⅱ）解：连接ED1，有V E﹣DBD1=V D1﹣DBE．由（Ⅰ）知EF⊥面DBD1，设点D1到面BDE的距离为d．则．∵AA 1=2，AB=1．∴，，∴．∴故点D1到平面DBE的距离为．24．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AD=a，AB=2a，E为A1B1的中点在．（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCE；（II）求二面角D﹣BE﹣C的余弦值．解：（Ⅰ）证明：∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BC⊥侧面ABB1A1，AE⊂侧面ABB1A1，∴AE⊥BC，在△ABE中，AB=2a，a，则有AB2=AE2+BE2，∴∠AEB=90°，∴AE⊥EB，又BC∩EB=B∴AE⊥平面BCE（6分）（II）以点D为坐标原点，建立如图所示的坐标系D﹣xyz．则D（0，0，0），B（2a，a，0），E（a，a，a，），A（0，a，0），=（a，a，a），设平面BDE的法向量为，则由=0，得，，令x=1，得，又由（I）AE⊥平面BCE，=（a，0，a）为平面BCE的法向量，cos＜即所求二面角D﹣BE﹣C的余弦值为..。
1.1 空间向量及其运算(精练)(原卷版).
1.1空间向量及其运算（精练）空间向量的线性运算1．（2022·全国·高二课时练习）在平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，顶点连接的向量中，与向量AD 相等的向量共有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．（2022·广东）在长方体1111ABCD A B C D -中，下列各式运算结果为1BD 的个数是（）①()111A D A A AB --；②()111BC BB D C +-；③()1AD AB DD --；④()1111B D A A DD --.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．（2022·河南）如图，在四面体OABC 中，OA a =，OB b =，OC c =，点M 、N 分别在线段OA 、BC 上，且2OM MA =，2CN NB =，则MN 等于（）A ．121333a b c++B ．121333a b c-+C ．121333a b c+-D ．121333a b c-++4．（2022·广西桂林）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，P 为1AD 与1A D 的交点，若AB a =，AD b =，1AA c =，则1=PC （）A ．1122a b c+-B ．1122a b c++C ．1122a b c-++D ．1122a b c--+5．（2022·浙江金华）在四棱锥A BCD -中，,M N 分别为,AB CD 的中点，则（）A ．111222MN AD AC AB =+-B ．111222MN AD AC AB =++C ．111222MN AD AC AB =--+D ．111222MN AD AC AB =-+6．（2022·广西）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，已知PA a =，PB b =，PC c =，12PE PD =，则BE =（）A ．131222a b c-+B ．111222a b c -+C ．131222a b c++D ．113222a b c-+7．（2022·河北·固安县第一中学高二阶段练习）如图所示空间四边形ABCD ，连接AC 、BD ，设M 、G 分别满足2BM MC =，2DG GC =，则MG AB AD -+等于（）A ．32DBB ．4MGC ．23GMD ．23MG8．（2022·山东青岛）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AC 与BD 的交点为M ，设11A B a =，11A D b =，1A A c =，则下列向量中与1B M 相等的向量为（）A ．1122a b c-++B ．111222a b c++C ．111222a b c--D ．1122a b c--+9．（2022·湖北黄冈·高二期末）已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为平行四边形，,M N 分别为PC ，PD 上的点，1,3CM PN ND CP ==，设,,AB a AD b AP c ===，则向量MN 用{},,a b c 为基底表示为（）A ．121333a b c++B ．121333a b c--C ．111366a b c--+D ．211366a b c--+10．（2022·山东聊城·高二期末）如图，在空间平移ABC 到111A B C △，连接对应顶点.M 是1CC 的中点，点N 在线段1BA 上，且12BN NA =，若1MN x AB y AC z AA =++，则x y z ++=（）A ．12B ．12-C ．1D ．1-11．（2022·全国·高二）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，1AA a =，11A B b =，11A D c =，O 为底面ABCD 的中心，G 为11D C O 的重心，则AG =（）A ．215326a b c++B ．2536a b c++C ．121336a b c++D ．1526a b c++12．（2022·全国·高二课时练习）已知在长方体1111ABCD A B C D -中，点E 是11A C 的中点，点F 是AE 的三等分点，且12AF EF =，则AF =（）A ．1111266AA AB AD ++B ．1111222AA AB AD ++C ．11122AA AB AD ++D ．1111366AA AB AD++13．（2022·湖南）四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，点E 为棱PC 的中点，若23AE x AB yBC z AP =++，则x y z ++等于（）A ．1B ．1112C ．116D ．214．（2022·海南华侨中学高二期末）在三棱锥P ABC -中，2MA PM →→=，3BN NC →→=，则（）A ．113344MN PA PB PC →→→→=-++B ．114343MN PA PB PC →→→→=--+C ．112363MN PA PB PC→→→→=-+D ．112323MN PA PB PC→→→→=-+-15．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，3AB =，2AD =，11AA =，则在以八个顶点中的两个分别为起点和终点的向量中：（1）模为5的向量是______；（2）AB 的相等向量是______；（3）1AA 的相反向量是______；（4）BC 的共线向量（平行向量）为______；（5）向量11A D ，11A B ，1CC ______（填“共面”或“不共面”）．空间向量的共线问题1．（2022云南）若空间中任意四点O ，A ，B ，P 满足OP mOA nOB =+，其中m ＋n ＝1，则（）A ．P ∈ABB ．P ∉ABC ．点P 可能在直线AB 上D ．以上都不对2．（2022·江苏）设,a b 是空间中两个不共线的向量，已知9AB a mb =+，2BC a b =--，2DC a b =-，且,,A B D 三点共线，则实数m =______．．3．（2022·全国·高二课时练习）已知A ，B ，C 三点共线，则对空间任一点O ，存在三个不为0的实数λ，m ，n ，使λOA +m OB +n OC =0，那么λ+m +n 的值为________.4．（2022·全国·高二课时练习）已知非零向量1e ，2e 不共线，则使12ke e +与12e ke +共线的k 的值是________．空间向量的共面问题1．（2022·江苏）A ，B ，C 三点不共线，对空间内任意一点O ，若311488OA OB O OC P →→→→=++，则P ，A ，B ，C 四点（）A ．一定不共面B ．一定共面C ．不一定共面D ．无法判断是否共面2．（2022·全国·高二课时练习）已知空间任一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，下列能得到P 、A 、B 、C 四点共面的是（）A ．OP OA OB OC=++B ．111333OP OA OB OC=++C ．1122OP OA OB OC=-++D ．以上都不对3．（2022·全国·高二课时练习）已知点O ，A ，B ，C 为空间中不共面的四点，且向量a OA OB OC =++，向量b OA OB OC =+-，则不能与a ，b 共同构成空间向量的一组基底的向量是（）A ．OAB ．OBC ．OCD ．以上都不能4．（2022·全国·高二课时练习）对于空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，有如下关系：623OP OA OB OC =++，则（）A ．四点O ，A ，B ，C 必共面B ．四点P ，A ，B ，C 必共面C ．四点O ，P ，B ，C 必共面D ．五点O ，P ，A ，B ，C 必共面5．（2022·湖北）若空间四点M ､A ､B ､C 共面且23OA OB OC kOM ++=则k 的值为（）A ．1B ．2C ．3D ．66．（2022·江苏）已知,,A B C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若由3OM OA OB OCλ=-+确定的点M 与,,A B C 共面，则λ的值为（）A ．2-B ．1-C ．1D ．27．（2022·江苏·滨海县五汛中学）（多选）若{,,}a b c 构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（）A ．b c +，b ，b c -B ．a ，a b +，a b -C ．a b +，a b -，cD ．a ，a b -，c8．（2022·江苏·宝应县氾水高级中学）（多选）下列条件中，使点P 与,,A B C 三点一定共面的是（）A ．1233PC PA PB=+B ．111333OP OA OB OC=++C ．OP OA OB OC =++D ．0OP OA OB OC +++=uu u r uu r uu u r uuu r r 9．（2022·江苏·淮安市）（多选）给出下列四个命题，其中是真命题的有（）A ．若存在实数x ，y ，使p xa yb =+，则p 与a ，b 共面；B ．若p 与a ，b 共面，则存在实数x ，y ，使p xa yb =+；C ．若存在实数x ，y ，使MP xMA yMB =+则点P ，M ，A ，B 共面；D ．若点P ，M ，A ，B 共面，则存在实数x ，y ，使MP xMA yMB =+．10．（2022·辽宁·本溪市）（多选）下列命题中正确的是（）A ．若AB ∥CD ，则AB ∥CDB ．a b a b +=+是,a b 共线的必要条件C ．,,A B C 三点不共线，对空间任一点O ，若111244OP OA OB OC =++，则,,,P A B C 四点共面D ．若,,,P A B C 为空间四点，且有PA PB PC λμ=+（,PB PC 不共线），则1λμ+=是,,A B C 三点共线的充要条件11．（2021·河南·范县第一中学高二阶段练习）（多选）下列命题不正确的是（）A ．若A ，B ，C ，D 是空间任意四点，则有0AB BC CD DA +++=uu u r uu u r uu u r uu u r rB ．“a b a b -=+”是“a 、b 共线”的充要条件C ．若a 、b 共线，则a 与b 所在直线平行D ．对空间任意一点O 与不共线的三点A 、B 、C ，若OP xOA yOB zOC =++(其中x 、y 、z ∈R )，则P 、A 、B 、C 四点共面．12（2022·全国·高二课时练习）在以下命题中：①三个非零向量a ，b ，c 不能构成空间的一个基底，则a ，b ，c 共面；②若两个非零向量a ，b 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a ，b 共线；③对空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若222OP OA OB OC =--，则P ，A ，B ，C 四点共面④若a ，b 是两个不共线的向量，且(,,,0)c a b R λμλμλμ=+∈≠，则{},,a b c 构成空间的一个基底⑤若{},,a b c 为空间的一个基底，则{},,a b b c c a +++构成空间的另一个基底；其中真命题的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3空间向量的数量积1．（2022·广西）如图，已知四面体ABCD 的所有棱长都等于a ，E ，F ，G 分别是棱AB ，AD ，DC 的中点．求：（1）AB AC ⋅uu u r uuu r ；（2）AD DB ⋅；（3）GF AC ⋅；（4）EF BC ⋅uu u r uu u r ；（5）FG BA ⋅；（6）GE GF ⋅．2．（2022·福建省宁德第一中学高二阶段练习）如图，三棱柱ABC A 1B 1C 1中，M ，N 分别是A 1B ，B 1C 1上的点，且BM ＝2A 1M ，C 1N ＝2B 1N ．设AB a =，AC b =，1AA c =．（1）试用a ，b ，c 表示向量MN ；（2）若∠BAC ＝90°，∠BAA 1＝∠CAA 1＝60°，AB ＝AC ＝AA 1＝1，求MN 的长．3．（2022·全国·高二课时练习）已知在平行六面体1111ABCD A B C D -中，2AB =，13AA =，1AD =，且113DAB BAA DAA π∠=∠=∠=.（1）求1B D 的长；（2）求1CD 与1B D 夹角的余弦值.4．（2022·全国·高二课时练习）如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，112AB AD AA ===，，60BAD ︒∠=，1A A 与AB 、AD 的夹角都为60︒求：（1）1AC 的长；（2）1BD 与AC 所成的角的余弦值．5．（2022·广东·深圳市罗湖外语学校）平行六面体ABCD A B C D ''''-，(1)若4AB =，3AD =，3AA '=，90BAD ∠=︒，60BAA '∠=︒，60DAA '∠=︒，求AC '长；(2)若以顶点A 为端点的三条棱长均为2，且它们彼此的夹角都是60°，则AC 与BD '所成角的余弦值．6．（2022·江苏宿迁·高二阶段练习）如图，三棱柱111ABC A B C -中，12AB AC AA ===，1160A AB A AC BAC ∠=∠=∠=︒，点M ，N 分别在1AC 和BC 上，且满足113AM AC =，13BN BC =.(1)证明：MN ∥平面11ABB A ；(2)若O 为1BC 中点，求AO 的长.空间向量的概念辨析1．（2022·全国·高二课时练习）下列说法中正确的是（）A．两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同B．若非零向量AB和CD是共线向量，则A、B、C、D四点共线C．在空间中，任意两个单位向量都相等D．零向量与任意向量平行2．（2022·江苏）（多选）下列命题中为真命题的是（）A．向量AB与BA的长度相等B．将空间中所有单位向量的起点移到同一点，则它们的终点构成一个圆C．空间向量就是空间中的一条有向线段D．方向相同且模相等的两个向量是相等向量3．（2022·江苏）(多选)下列命题中，真命题是（）A．向量AB与BA的长度相等B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同C．只有零向量的模等于0D．共线的单位向量都相等4．（2022·江苏·高二课时练习）（多选）下列命题中正确的是（）.A．单位向量都相等B．任一向量与它的相反向量不相等C．若A、B、C、D四点不共线，四边形ABCD是平行四边形的充要条件是AB DCD ．模为0是一个向量方向不确定的充要条件5．（2022·全国·高二课时练习）下列说法正确的是（）A ．任一空间向量与它的相反向量都不相等B ．将空间向量所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆C ．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小D ．不相等的两个空间向量的模必不相等6．（2022·全国·高二课时练习）下列关于空间向量的命题中，正确的个数是（）①在同一条直线上的单位向量都相等；②只有零向量的模等于0；③在正方体1111ABCD A B C D -中，1AD 与1BC 是相等向量；④在空间四边形ABCD 中，AB 与CD 是相反向量；⑤在三棱柱111ABC A B C -中，与1AA 的模一定相等的向量一共有3个A ．2B ．3C ．4D ．57.（2022·全国·高二课时练习）有下列命题：①若a 与b 平行，则a 与b 所在的直线平行；②若a 与b 所在的直线是异面直线，则a 与b 一定不共面；③若a 、b 、c 两两共面，则a 、b 、c 一定也共面；④若a 与b 是平面α上互不平行的向量，点A αÏ，点B α∉，则AB 与a 、b 一定不共面．其中正确命题的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．38．（2022·全国·高二）下面关于空间向量的说法正确的是（）A ．若向量a ，b 平行，则a ，b 所在直线平行B ．若向量a ，b 所在直线是异面直线，则a ，b 不共面C ．若A ，B ，C ，D 四点不共面，则,AB CD 不共面D ．若A ，B ，C ，D 四点不共面，则,,AB AC AD 不共面9．（2022·全国·高二单元测试）在下列命题中：①若向量,a b 共线，则,a b 所在的直线平行；②若向量,a b所在的直线是异面直线，则向量,a b一定不共面；③若三个向量,,a b c一定也共面；a b c两两共面，则三个向量,,④已知三个向量,,=++.a b c，则空间任意一个向量p总可以表示为p xa yb zc 其中正确命题的个数为（）A．0B．1C．2D．3 10．（2022·全国·高二）下列命题中正确的是（）.A．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线.B．向量a，b，c共面，即它们所在的直线共面C．若两个非零空间向量AB与CD满足0AB DAB CD+=，则//CD．若//a b，则存在唯一的实数λ，使a bλ=。
高二数学空间向量练习题
高二数学空间向量练习题1. 已知向量AB = 3i + 4j + 2k，向量AC = -5i + 2j - 6k，求向量AB + 2AC的模长。
2. 若向量a = 2i - j + 3k，向量b = i - 3j + 2k，求向量a + b的模长。
3. 已知三角形ABC中，向量AB = i - j + 2k，向量BC = 2i + 3j - k，向量CA = 3i + j - 4k，求三角形ABC的面积。
4. 若向量a = 3i - j + 4k，向量b = 2i + 2j - k，求向量a与向量b的夹角的余弦值。
5. 已知向量a = i + 2j - 3k，向量b = 2i + j + k，向量c = 3i - j + 2k，如果向量d满足a + d = 2b - c，求向量d的坐标表示。
6. 已知平面P的法向量为向量a = i + j + k，并且过点A(1, 2, -1)。
求平面P的解析式。
7. 已知平面P通过点A(1, 2, -1)，且平面P与向量a = 2i - j + k垂直。
求平面P的解析式。
8. 已知平面P过点A(1, 2, -1)，且平面P与向量a = 2i - j + k和向量b = -i + j - 2k都垂直。
求平面P的解析式。
解答：1. 向量AB + 2AC = 3i + 4j + 2k + 2(-5i + 2j - 6k)= 3i + 4j + 2k - 10i + 4j - 12k= -7i + 8j - 10k那么向量AB + 2AC的模长为√((-7)^2 + 8^2 + (-10)^2) = √149。
2. 向量a + b = (2i - j + 3k) + (i - 3j + 2k)= 3i - 4j + 5k那么向量a + b的模长为√(3^2 + (-4)^2 + 5^2) = √50。
3. 三角形ABC的面积可以通过向量积来计算。
首先计算向量AB与向量AC的向量积：AB × AC = (i - j + 2k) × (3i + j - 4k)= ((-1)(-4) - 2(1))i - (1(3) - (-4)(-1))j + ((1)(1) - (-1)(3))k= (-2i - 7j + 4k)那么三角形ABC的面积为|AB × AC| / 2 = |(-2i - 7j + 4k)| / 2 = √(4 + 49 + 16) / 2 = √(69) / 2。
空间向量及其运算(习题及答案)
空间向量及其运算（习题）例题示范例1：如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为上底面A 1B 1C 1D 1的中心，若1AE AA x AB y AD −−→−−→−−→−−→=++，则x ，y 的值分别为（）A ．11x y ==，B ．112x y ==，C ．1122x y ==，D ．112x y ==，思路分析：1111111111()21()21122AE AA A E AA A B A D AA AB AD AA AB AD −−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→=+=++=++=++∵1AE AA x AB y AD −−→−−→−−→−−→=++，∴1122x y ，==，故选C ．例2：如图，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =2，AA 1=2，AD =1，且AB ，AD ，AA 1两两之间的夹角都是60°，则11AC BD −−→−−→⋅=___________．思路分析：平行六面体中AB ，AD ，AA 1的长度和夹角都清楚，选取AB −−→，AD −−→，1AA −−→作为一组基底，表达1AC −−→和1BD −−→，利用数量积的运算法则进行计算．过程示范：设AB −−→=a ，AD −−→=b ，1AA −−→=c ，则111AC AB BC CC AB AD AA −−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→=++=++=++a b c ，11BD AB AD DD −−→−−→−−→−−→=-++=-++a b c ，11AC BD −−→−−→⋅=(a+b +c )⋅(-a +b +c )=-a 2+b 2+c 2+2b ⋅c =-4+1+4+2×1×2×12=3．例3：如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是A 1B 1，C 1D 1的一个四等分点，求BE 与DF 所成角的余弦值．思路分析：利用空间向量，将线线角转化为直线的方向向量的夹角问题．过程示范：设正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，如图，以1 DA DC DD −−→−−→−−→，，为单位正交基底建立空间直角坐标系D -xyz ，则B (1，1，0)，E (1，34，1)，D (0，0，0)，F (0，14，1)，∴BE −−→=(1，34，1)-(1，1，0)=(0，14-，1)，DF −−→=(0，14，1)-(0，0，0)=(0，14，1)，则174BE −−→=，174DF −−→=，BE −−→⋅DF −−→=0×0+(14-×14)+1×1=1516，151516cos 17171744BE DF BE DF BE DF −−→−−→−−→−−→−−→−−→<>===⨯⋅，，即BE 与DF 所成角的余弦值为1517． 巩固练习1.如图，在三棱锥O -ABC 中，M ，N 分别是AB ，OC 的中点，设OA OB OC −−→−−→−−→===a b c ，，，用a ，b ，c 表示MN −−→，则MN −−→=（）A ．12(b +c -a )B ．12(a +b -c )C ．12(a -b +c )D ．12(c -a -b)2.如图，在斜四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，各面均为平行四边形，设1AA AB AD −−→−−→−−→===，，a b c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下向量：−−→AP =__________，1−−→−−→+MP NC =__________．3.下列等式：①OP OA AB AC −−→−−→−−→−−→=--；②111632OP OA OB OC −−→−−→−−→−−→=++；③PA PB PC −−→−−→−−→++=0；④OP OA OB OC −−→−−→−−→−−→+++=0．其中使P ，A ，B ，C 四点共面的是__________．（填写序号）4.已知向量a =(2，-3，1)，b =(2，0，3)，c =(0，0，2)，则+-=a b c __________；()+=⋅a b c __________．5.已知向量a =(1，0，-1)，则下列向量与a 成60°夹角的是（）A ．(-1，1，0)B ．(1，-1，0)C ．(0，-1，1)D ．(-1，0，1)6.已知向量a =(2，-1，3)，b =(-4，2，x )，若a ⊥b ，则x 的值为__________．7.已知{a ，b ，c }是空间向量的一组基底，{a +b ，a -b ，c }是另一组基底，若向量p 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(4，2，3)，则p 在基底{a +b ，a -b ，c }下的坐标为___________________．8.如图，已知空间四边形ABCD 的每条边及对角线的长都为a ，E ，F ，G 分别是AB ，AD ，CD 的中点，则AB AC −−→−−→⋅=__________；AD DB −−→−−→⋅=__________；GF AC −−→−−→⋅=__________；EF BC −−→−−→⋅=__________；FG BA −−→−−→⋅=__________；GE GF −−→−−→⋅=__________．9.已知向量a =(1，0，-1)，b =(-1，1，2)．①a -b 与a 的夹角的余弦值为__________；②若k a +b 与a -2b 平行，则k 的值为__________；③若k a +b 与a +3b 垂直，则k 的值为__________．10.已知点M (-3，-2，0)在平面α内，且平面α的一个法向量是n =(6，-3，6)，则下列点在平面α内的是（）A ．(2，3，3)B ．(-2，0，1)C ．(-4，-4，0)D ．(3，-3，4)11.已知两不重合直线l 1，l 2的方向向量分别为v 1=(1，-1，2)，v 2=(0，2，1)，则l 1，l 2的位置关系是（）A ．平行B ．相交C ．垂直D ．不确定12.若直线l 的方向向量为e =(2，1，m )，平面α的一个法向量为n =(1，12，2)，且l ⊥α，则m 的值为________．13.给出下列命题：①若直线l的方向向量为a=(1，-1，2)，直线m的方向向量为b=(2，1，12 )，则l⊥m；②若直线l的方向向量为a=(0，1，-1)，平面α的一个法向量为n=(1，-1，-1)，且l⊄α，则l⊥α；③若平面α的一个法向量为n1=(0，1，3)，平面β的一个法向量为n2=(1，0，2)，则α∥β；④若平面α经过A(1，0，-1)，B(0，1，0)，C(-1，2，0)三点，且向量n=(1，u，t)是平面α的一个法向量，则u=1，t=0．其中属于真命题的是（）A．②③B．①④C．③④D．①②14.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1，BB1的中点，求CM与D1N所成角的余弦值．【参考答案】 巩固练习1.D2.12a b c ++，313222a b c ++3.①②③4.(4，-3，2)，95.B 6.1037.(3，1，3)8.212a ，212a -，212a -，214a ，214a -，214a 9.①5714；②12-；③15710.C 11.C 12.413.B 14.19。
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向量空间练习
一、 填空题
1、 已知关于基},,{321的坐标为（1，0，2），由基},,{321到基},,{321的过渡矩
阵为012001423，则关于基},,{321的坐标＿＿＿＿
2、 线性方程组123450xxxxx的一个基础解系中含有 个向量
3、 设12,,...,t是0AX的基础解系，0是AX的特解，则它的一般解为
4、数域F上全体反对称矩阵作成向量空间{|}nnTAFAA，则T的维数为______
5、0AX中共有1n个方程、2n个未知量，A的秩为3n，则它的基础解系所含解的个数为
6、两个有限维线性空间1V、2V同构的充分必要条件是
7、在3F中，若1(1,1,0)t，2(1,2,0)，23(0,0,1)t线性相关，则t
8、如果11dimVm，22dimVm，123dim()VVm，则12dim()VV__________
9、复数域C作为实数域R上的向量空间，则Cdim___________它的一个基为________
10、设基12,,,n到基12,,,n的过渡矩阵是A，而基12,,,n到基12,,,n的
过渡矩阵是B，则12,,,n到12,,,n的过渡矩阵是__________
11、若1212dim()dimdimVVVV，则12VV_______
二、判断题
1、321321,,xxxRxxxxWi且是向量空间3R的一个子空间 2、数域F上的每一个
向量空间都有基和维数 3、若向量组12,,,s（1s）线性相关，则存在某个向量是其余向量的
线性组合 4、若两个向量组等价，则它们所包含的向量的个数相同 5、若向量组12,,,s（1s）
线性相关，则每个向量都是其余向量的线性组合 6、若12,,,s与12,,,t都线性无关，则
12,,,s
,12,,,t也线性无关 7、n维向量空间V中任何n个线性无关的向量都是V的一
组基 8、对n维向量空间V中任何非零向量，在V中一定存在1n个向量
121,,,n
，使得
1121,,,,n
作成V的一组基 9、把复数域C看成实数域R上的向量空间，它与
2
R
是同构的
10、向量空间V中，基12,,,n到基12,,,n的过渡矩阵是可逆的 11、向量空间V的任意
两个子空间的交12VV与并12VV都是V的子空间12、集合,0nnWAAPA作成
nnP
的子空间 13、n维向量空间V中任何1n个向量都线性相关 14、两个等价的向量组一个线性
无关，则另一个也线性无关
三、选择题 1、设3阶矩阵A的行向量为线性无关的，下述结论中正确的是（ ）
(A) A的列向量线性无关 (B) A的列向量线性相关 (C) A的秩为2 (D) A的行列式为零。
2、以下集合是Rn的子空间的是( )A．1,0,,0,Znixxx B．121,,,0,Rnniiixxxxx
C．121,,,1,Rnniiixxxxx D．12,,,Znixxxx
3、（1）n维向量空间V的任意n个线性无关的向量都可构成V的基（2）设n，21,是向量空间
V
中的n个向量，且V中的每个向量都可由之线性表示，则n，21,是V的基（3）设
},{21n，
是向量空间V的基，如果}{21n，，与},{21n，等价，则}{21n，，也是V的基
（4）n维向量空间V的任意1n个向量线性相关。 以上说法中正确的有（ ）个。
（A）1 个 （B）2 个 （C）3 个 （D）4个
4、F3的两个子空间V1={(x1,x2,x3)|2x1-x2+x3=0}, V2={(x1,x2,x3)|x1+x3=0},则子空间V1V2的维数（ ）。
A．一维 B．二维 C．三维 D．零维
四、计算题 1、令2[]Fx是由域F上所有次数小于3的多项式构成的向量空间．（1） 证明21xx，
21x，2122xx是2[]Fx的一个基．（2） 求从基21xx，21x，2
122xx
到基1，x，
2
x
的过渡矩阵．（3）求2532xx在基21xx，21x，2122xx下的坐标．
2、已知1231,1,1,1,2,4,1,3,9是3F的一组基，求（1）1,1,3在
基123,,下的坐标;（2）在基112123123,,2下的坐标
3、求极大无关组，并用其线性表示其他向量12346,4,1,1,2,1,0,2,3,41,4,9,16,22,7,1,0,1,3
4、设1000,0100,0010,00014321是22F的一组基，而
2231,2121,1121,
25
32
4321
是另一组基，求由
4321
,,,
到4321,,,的过渡矩阵，并求向量2945在基4321,,,下的坐标
5、已知3维向量空间V的一组基321,,，设311，212，
3213（1）证明321,,也是V的一组基；（2）求由基321
,,
到基
321
,,
的过渡矩阵；（3）求向量32132在基321,,下的坐标．
6、121,2,1,0, 1,1,1,1, 12,1,0,1, 21,1,3,7. 设由12,生成的
子空间为1V, 由12,生成的子空间为2V. 求12VV和12VV的基与维数。
7、设R表示实数域，,abR是实常数，证明 （1）3(,,)0WxyzRxaybz是
3
R
的一个子空间 （2）求W的一组基与维数
五、计算题1、设向量组12,,,r线性无关，而12,,,,,r线性相关，但不能由
12,,,,r
线性表出，证明：可以由12,,,r线性表出
2、设A、B是两个固定的n阶矩阵，证明,nnWXXFAXXB是nnF的一个子空间
3、设A是一个固定的n阶矩阵，证明：（1）,nnWXAXXAXF是nnF的一个子空间；
（2）当A为对角矩阵时，写出W的维数及一组基
4、设[]nPx表示数域P上次数小于n的多项式及零多项式作成的向量空间，aP（1）验证
1()()0,()[]n
VfxfafxPx
是[]nPx的一个子空间；（2）求1V的一组基及维数
5、设在向量组r,,21中，01并且每一i都不能表成它的前1i个向量121,,i的
线性组合，证明r,,21线性无关
6、设是非齐次线性方程组AX的一个解，12,,,r是其导出组0AX的一个基础解系．证
明：12,,,,r线性无关