Dpiudn2011考研高等数学公式(word版,全面)
2011考研数学归纳--高等数学(精心整理版).
【连续、可导、可微】对于一元函数：连续函数不一定可导（y=x的绝对值），可导函数一定连续；对于多元函数则两者都不一定，即不能互相推出。
而不论是一元还是多元函数，可微都等同于可导【极值与导数】（取极值的必要条件）设函数f(x)在x0处可导，且在x0处取极值，则f'(x0)=0. （取极值的第一充分条件）设函数f(x)在x0的某一邻域内可微，且f'(x0)=0（或f(x)在x0处连续，但f'(x0)不存在.）(1)若当x经过x0时，f'(x)由“+”变“-”，则f(x0)为极大值；(2)若当x经过x0时，f'(x)由“-”变“+”，则f(x0)为极小值；(3)若f'(x)经过x=x0的两侧不变号，则f(x0)不是极值.(取极值的第二充分条件)设f(x)在点x0处有f''(x)≠0，且f'(x0)=0，则当f''(x0)<0时，f(x0)为极大值；当f''(x0)>0时，f(x0)为极小值.注：如果f''(x0)＝0，此方法失效【渐进线】水平渐近线：自变量趋近于无穷大时，因变量趋近于某常数垂直渐近线：自变量趋近于某常数时，因变量趋近于无穷大斜渐近线：若a=limx→∞f(x),b=li m[f(x)-ax]，则y=ax+b称为y=f(x)的斜渐近线x→∞x【凹凸性】根据图形的斜率来记忆，凹凸的方向是相对于y轴的正方向而言公式定理基本概念辨析注意事项【常用的等价无穷小当x→x时】 sinx⎫arcsinx⎪1⎪1-cosx x2tanx⎪2⎪⎬ x,1arctanx⎪1(1+x)n-1 xnln(1+x)⎪⎪ex-1⎪⎭【基本导数与微分表】y=tanx y'=y=cotx y'=-1=se2cx 2cosx1=-cs2cx 2sinxny=secx y'=secxtaxt y=cscx y'=-cscxcoxy=arcsinxy'= y=arccosxy'=y=arctanx y'=1 1+x21 1+x2y=arccotx y'=-【基本积分公式】1⎰x=lnx+C（注意绝对值）1⎰sinxdx=⎰cscxdx=lncscx-cotx+C 1⎰cosxdx=⎰secxdx=lnsecx+tanx+C⎰secxtanxdx=secx+C⎰cscxcotxdx=-cscx+C ⎰tanxdx=-lncosx+C⎰cotxdx=lnsinx+C ⎰a2dx1x=arctan+C2aa+x⎰1+xdx2=arctanx+C =arcsinx+C 2=arcsinx+Cadx1a+x=ln2⎰a-x2aa-x+Cdx11+x=2⎰1-x2ln1-x+C=lnxC【积分重点公式】(1)设f(x)在[-l,l]上连续，则⎰l-lf(x)dx=⎰[f(x)+f(-x)]dx =⎪⎨0lfx）为奇函数⎧0,当（2f(x)dx,当（fx）为偶函数⎪⎩⎰0l（2）设（fx）是以T为周期的连续函数，a为任意实数，则⎰a+Taf(x)dx=⎰T0f(x)dx=1a24⎰T2T-2f(x)dx. (3)⎰0=⎧n-1n-31π ,当n为偶数⎪⎪ nn-222nn(4)⎰2sinxdx=⎰2cosxdx⎨00⎪n-1n-3 2 1,当n为奇数⎪nn-23⎩ππ（5）⎰sinnxcosmxdx=⎰-ππ2π0⎧π,n=m sinnxcosmxdx=⎨⎩0,n≠m⎰π-πsinnxcosmxdx=⎰sinnxcosmxdx=0 02π⎰π-πcosnxcosmxdx=⎰2π0⎧π,n=m cosnxcosmxdx=0=⎨⎩0,n≠m【常用高阶导数公式】(sinkx)(n)=knsin(kx+n⋅) 2(coskx)(n)=kncos(kx+n⋅) 2ππ莱布尼兹公式：若u(x),v(x)均n阶可导，则 (uv)【重点公式】Th1(费马定理)若函数f(x)满足条件： (n)i(i)(n-i)，其中u(0)=u，v(0)=v=∑cnuvi=0n(1)函数f(x)在x0的某邻域内有定义，并且在此邻域内恒有f(x)≤f(x0)或f(x)≥f(x0),(2) f(x)在x0处可导,则有 f'(x0)=0Th2 (罗尔定理) 设函数f(x)满足条件：(1)在闭区间[a,b]上连续；(2)在(a,b)内可导，则在(a,b)内∃一个ξ，使f'(ξ)=0 Th3 (拉格朗日中值定理) 设函数f(x)满足条件：(1)在[a,b]上连续；(2)在(a,b)内可导；则在(a,b)内∃一个ξ，使 f(b)-fa()=f'(ξ) b-a Th4 (柯西中值定理) 设函数f(x)，g(x)满足条件：(1)在[a,b]上连续；(2)在(a,b)内可导且f'(x)，g'(x)均存在，且g'(x)≠0则在(a,b)内∃一个ξ，使 f(b)-f(a)'fξ() =g(b)-g(a)'gξ()泰勒公式: 设函数f(x)在点x0处的某邻域内具有n+1阶导数，则对该邻域内异于x0的任意点，在x0与之间至少∃一个ξ，使得xxf(x=)fx0f(x0)n12 +(x-x)+R)'''+(fx)x-x(+f)x(x-x)+ (0n(x)000n!2!(n)(n+1)f(ξ) 其中 Rn(x)=(x-x0)n+1称为f(x)在点x0处的n阶泰勒余项.令x0=0，则n 阶泰(n+1)!勒公式1f(n)(0)n2f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)x+ +x+Rn(x)……(1)其中 2!n!f(n+1)(ξ)n+1，在0与之间.(1)式称为麦克劳林公式ξxRn(x)=x(n+1)!常用五种函数在x0=0处的泰勒公式121nxn+1ξe=1+x+x+ +x+e 或 =1+x+1x2+ +1xn+o(xn)2!n!(n+1)!2!n!x13xnnπxn+1n+1sinx=x-x+ +sin+sin(ξ+π) 或 3!n!2(n+1)!213xnnπ=x-x+ +si+ox(n )3!n!212xnnπxn+1n+1cosx=1-x+ +cos+cos(ξ+π) 或 2!n!2(n+1)!212xnnπn )=1-x+ +co+ox(2!n!2n1213(-1)nxn+1n-1x 或 ln(1+x)=x-x+x- +(-1)+n+123n(n+1)(1+ξ)n1213n-1x=x-x+x- +(-1)+o(xn)23n(1+x)m=1+mx+m(m-1)2m(m-1) (m-n+1)n +m(m-1) (m-n+1)xn+1(1+ξ)m-n-1 x++x(n+1)!2!n!或 (1+x)m=1+mx+m(m-1)x2+ 2!+m(m-1) (m-n+1)nx+o(xn)n!估值定理：设m≤f(x)≤M,x∈[a,b],其中m,M为常数，则m(b-a)≤⎰f(x)dx≤M(b-a)ab 积分中值定理：设f(x)在[a,b]上连续，则在[a,b]上至少∃一个ξ,使⎰f(x)dx=(b-a)f(ξ)ab【不等式证明公式】定积分不等式证明中常用的不等式(1)a2+b2≥2ab (2a)>0a,+(3)柯西不等式：(⎰f(x)g(x)dx)2≤ab1≥ 2a(⎰baf2(x)dx ⎰g2(x)dx,a)(b) 其中（fx），（gx）在［a，b］上连续【多元函数的极值公式】Th（取极值的必要条件）1设z=f(x,y)在P(x0,y0)点的一阶偏导数存在，且'⎧⎪fx(x0,y0)=0P(x0,y0)是z=f(x,y)的极值点，则⎨'⎪⎩fy(x0,y0)=0Th（函数取极值的充分条件）2设z=f(x,y)在P(x0,y0)点的某邻域内有连续的二阶偏导数,且f'x(x0,y0)=0,f'y(x0,y0)=0[f"xy(x0,y0)]2-f"x2(x0,y0) f"y2(x0,y0)<0 则P(x0,y0)是z=f(x,y)的一个极值点(1)若f"x2(x0,y0)>0(或f"y2(x0,y0)>0),则P(x0,y0)为极小值点。
考研高等数学公式(word版-全面)
高等数学公式导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：222212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， 一些初等函数： 两个重要极限：三角函数公式：ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x ax dx C shx chxdx C chx shxdx C aa dx a Cx ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx xdxC tgx xdx x dxxx)ln(ln csc csc sec sec csc sinsec cos 22222222Ca x x a dx Cx a x a a x a dx Ca x a x a a x dx C a xarctg a x adx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Ca x a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππxx arthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx ee shx x x xx xxxx-+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim0==+=∞→→e xxxx x x·诱导公式：·和差角公式： ·和差化积公式：·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R C c B b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ 高阶导数公式——莱布尼兹（）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u vu C uv +++--++''-+'+==---=-∑中值定理与导数应用：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( αααααααααα23333133cos 3cos 43cos sin 4sin 33sin tg tg tg tg --=-=-=αααααααααααααα222222122212sin cos sin 211cos 22cos cos sin 22sin tg tg tg ctg ctg ctg -=-=-=-=-==拉格朗日中值定理。
考研高等数学公式(word版,全面)
高等数学公式导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分： 222212211cos 12sin udu dx x tg u uu x uu x +==+-=+=， ， ， ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a xxln 1)(logln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin xarcctgx xarctgx xx xx +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x ax dx Cshx chxdx C chx shxdx Caadx aC x ctgxdx x Cx dx tgx x Cctgx xdx xdxC tgx xdx x dxxx)ln(ln csc csc sec seccsc sinsec cos 22222222Cax xa dxCx a x a ax a dx C a x a x a a x dx C ax arctg a x a dxCctgx x xdx Ctgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Ca x ax a x dx x a Ca x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n nnn arcsin22ln 22)ln(221cos sin22222222222222222222220ππ一些初等函数： 两个重要极限：三角函数公式： ·诱导公式：·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin2cos cos 2cos 2cos 2cos cos 2sin2cos2sin sin 2cos 2sin 2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( xx arthx x x archx x x arshx ee e e chxshx thx ee chx ee shx xxx x xxxx-+=-+±=++=+-==+=-=----11ln 21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim==+=∞→→e xx x xx x·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctgtg·正弦定理：R CcBb Aa 2sin sin sin ===·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k nn uvvuk k n n n v un n v nuv uvuCuv +++--++''-+'+==---=-∑中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。
(整理)考研必备考研数学公式(高数,线性代数)全收录
高等数学公式篇·平方关系：sin^2(α)+cos^2(α)=1tan^2(α)+1=sec^2(α)cot^2(α)+1=csc^2(α)·积的关系：sinα=tanα*cosαcosα=cotα*sinαtanα=sinα*secαcotα=cosα*cscαsecα=tanα*cscαcscα=secα*cotα·倒数关系：tanα·cotα=1sinα·cscα=1cosα·secα=1直角三角形ABC中,角A的正弦值就等于角A的对边比斜边,余弦等于角A的邻边比斜边正切等于对边比邻边,·三角函数恒等变形公式·两角和与差的三角函数：cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβsin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)·三角和的三角函数：sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγcos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγtan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)·辅助角公式：Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)tant=B/AAsinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B·倍角公式：sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]·三倍角公式：sin(3α)=3sinα-4sin^3(α)cos(3α)=4cos^3(α)-3cosα·半角公式：sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα·降幂公式sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))·万能公式：sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]·积化和差公式：sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]·和差化积公式：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]·推导公式tanα+cotα=2/sin2αtanα-cotα=-2cot2α1+cos2α=2cos^2α1-cos2α=2sin^2α1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2·其他：sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0三角函数的角度换算[编辑本段]公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ＋α）＝sinαcos（2kπ＋α）＝cosαtan（2kπ＋α）＝tanαcot（2kπ＋α）＝cotα公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanαcot（π＋α）＝cotα公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanαcot（π－α）＝－cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotα公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotαcot（π/2＋α）＝－tanαsin（π/2－α）＝cosαcos（π/2－α）＝sinαtan（π/2－α）＝cotαcot（π/2－α）＝tanαsin（3π/2＋α）＝－cosαcos（3π/2＋α）＝sinαtan（3π/2＋α）＝－co tαcot（3π/2＋α）＝－tanαsin（3π/2－α）＝－cosαcos（3π/2－α）＝－sinαtan（3π/2－α）＝cotαcot（3π/2－α）＝tanα(以上k∈Z)部分高等内容[编辑本段]·高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易得)：sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i) cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2 tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)]泰勒展开有无穷级数，e^z=exp(z)＝1＋z/1！＋z^2/2！＋z^3/3！＋z^4/4！＋…＋z^n/n！＋…此时三角函数定义域已推广至整个复数集。
2011年考研数学一真题及解析(公式及答案修正版)
A = E 0
知， α1 ,α 2 ,α 3 ,α 4 都是 Α x = 0 的解，且 Α x = 0 的极大线生无关组就是其基础解系，又
∗ ∗
1 1 0 0 A = (α1 ,α 2 ,α 3 ,α 4 ) = α1 + α 3 = 0 ， 所 以 α1 , α 3 线 性 相 关 ， 故 α1，α 2，α 4 或 1 1 0 0
） (D)
α1，α 3
(B)
α1，α 2
(C)
α1，α 2，α 3
α 2，α 3，α 4
【答案】 D 【考点分析】本题考查齐次线性方程组的基础解系，需要综合应用秩，伴随矩 阵等方面的知识，有一定的灵活性。
= A 【解析】由 Αx = 0 的基础解系只有一个知 r ( A) = 3 ，所以 r ( A∗ ) = 1 ，又由 A
∫
x
0
π tan tdt 0 ≤ x ≤ 的弧长 s = 4
【考点分析】本题考查曲线弧长的计算，直接代公式即可。
π
4
π
4
【解析】 s =
∫
0
(y )
' 2
dx = tan xdx = sec 2 x − 1dx = tan x − x 04 = 1−
0 0
∫
π
4 2
∫
π
4
π
π
4
10、微分方程 y ′ + y = e − x cos x 满足条件 y (0) = 0 的解为 y = 【答案】 y = sin xe − x 【考点分析】本题考查一阶线性微分方程的求解。先按一阶线性微分方程的求解步骤求出 其通解，再根据定解条件，确定通解中的任意常数。 【解析】原方程的通解为
考研高等数学高数公式
考研高等数学高数公式在考研高等数学中，高数公式是非常重要的一部分，掌握了这些公式可以帮助我们更好地理解和解决数学问题。
下面是一些常见的高数公式。
1.导数相关公式：-基本导数公式：$\frac{d(c)}{dx}=0$ （常数导数为0）$\frac{d(x^n)}{dx}=nx^{n-1}$ （幂函数的导数）$\frac{d(\sin x)}{dx}=\cos x$ （正弦函数的导数）$\frac{d(\cos x)}{dx}=-\sin x$ （余弦函数的导数）$\frac{d(\tan x)}{dx}=\sec^2 x$ （正切函数的导数）-乘法法则：$\frac{d(uv)}{dx}=u\frac{dv}{dx}+v\frac{du}{dx}$ （两个函数的乘积的导数）-除法法则：$\frac{d(\frac{u}{v})}{dx}=\frac{v\frac{du}{dx}-u\frac{dv}{dx}}{v^2}$ （两个函数的商的导数）-复合函数求导法则：$\frac{d(u(v))}{dx}=\frac{du}{dv}\cdot\frac{dv}{dx}$ （复合函数的导数）2.积分相关公式：-不定积分公式：$\int kdx=kx+C$ （常数的积分）$\int x^ndx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$ （幂函数的不定积分，n不等于-1）$\int e^xdx=e^x+C$ （指数函数的不定积分）$\int \sin xdx=-\cos x+C$ （正弦函数的不定积分）$\int \cos xdx=\sin x+C$ （余弦函数的不定积分）$\int \tan xdx=-\ln，\cos x，+C$ （正切函数的不定积分）-定积分基本公式：$\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$ （定积分的基本公式）$\int_{a}^{b}kdx=k(b-a)$ （常数的定积分）-分部积分法则：$\int u dv=uv-\int v du$ （分部积分法则）3.极限相关公式：-基本极限：$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$ （正弦函数的极限）$\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x}=0$ （余弦函数的极限）-洛必达法则：若$\lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}g(x)=0$，则$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$ （洛必达法则）-泰勒展开公式：$f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3+...$ （泰勒展开公式）以上只是一些高等数学中常用的公式，掌握了这些公式可以帮助我们更好地理解和解决数学问题。
考研高等数学二公式word版(整理版)
高等数学公式导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， ax x aa a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ一些初等函数： 两个重要极限：三角函数公式： ·诱导公式：函数 角A sin cos tg ctg -α -sinα cosα -tgα -ctgα 90°-α cosα sinαctgαtgα 90°+α cosα -sinα -ctgα -tgα 180°-α sinα-cosα -t gα-ctgα 180°+α -sinα -cosα tgα ctgα 270°-α -cosα -sinα ctgα tgα 270°+α -cosα sinα -ctgα -tgα360°-α -sinα cosα -tgα -ctgα 360°+αsinαcosαtgαctgα·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( xxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x xx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim 0==+=∞→→e xxx x x x·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。
2011考研必备：考研数学公式手册
警11考研必备:考研数学公式手册高等数学公式f yjx 2 +crdx =丄 y/x 2 +a 2 + — In(x ++ /) + C J 2 2 f y/x 2 -a'dx = — >jx~ - a 2 - — In x + yjx 1 -a~ + C J 2 2 ________ ___________________ 2f y/a 2-x 2dx = — \/a 2 -x 2+ — arc sin — + C J2 2 a导数公式: 基本积分表:(Zaiiv)' = sec" x (cotx)' = -csc 2 x (secx)r = secx ・/anx (cscx)' = -cscx-cotx (log“ Q =1x\n a(arcsinx/ = ‘ ， =Jl - x 2 (arc COSY )' = - ，- .(arctanx)f = —J1 + f (arcctanx)9 = - 一J1 + fj tanxdx = - In |cosx| + C J cotxdx = ln|s in x| + C j sec xdx = ln|secx + Zaav| + C J c scxdx = In |cscx - cotv] + Cf —— = f sec 2xdx = tanx + C Jcos* x J(=fcsc 2 xdx = -cotx + C J sin" x 」 | secx-tan xdx = secx + C I cscx ・cotxJx = - cscx + CI chxdx = shx + Cf , = ln(x + yjx 2 ±a 2) + C Jylx 2±a 2^shxdx = chx + C三角函数的有理式积分:. 111 1 -M2 sin x = ------ , cosx = ---------- -1 + “2 1 + M2Xit = tun —92dx =2du\ + u2一些初等函数: 个重要极限：双曲正弦:= sinxx=1X . -x 双曲余弦“.今lim (1 + 丄)x=e = 2.718281828459045...双曲正切,thx= — =e~e chx e x+e Aarshx = In(x + +1)archx = ± ln(x + ylx2一1). 1 i 1 + xarthx = —In -----2 1 — x三角函数公式:-诱导公式:2■和差角公式: 差化积公式: •倍角公式:sin 2a = 2 sin a cos acos2a = 2cos 2 a-1 = l-2sin 2 a = cos' a-sin' asin(a±0) = sinacos0土cosasin 0 cos(tz±0) = cosacos0q ：sinasin 0 tan(&±0)=⑸2 ±50l + tana-tan/7 c 、 cota-cot/7 + 1cot(a ± 0)= ---------------------cot0土cota. ・ q ・ & + 0 a_0 sin a + sin b = 2sin ------ cos ------- —2 2sin a-sin 0 = 2cos^—^sin —―—2 2 c c a+p a-pCOSQ+COS0 = 2cos — cos —^― a c・ a + fl ・ a_0cot 2a =cot 2 a_l2 cot a・半角公式:c 2 =a 2 +b 2 - labcosC高阶导数公式一莱布尼兹(Leibniz)公式:艸W+咛宀2+〃心)广5严宀…+M中值定理与导数应用:拉格朗日中值定理:=广(§)0-a) 柯西中值定理严―乍■F(b)-F@)F 《)当F(x) = x 时，柯西中值定理就超立格朗日中值定理。
2011考研高数第六章 基本公式
微积分部分
第六章
定积分
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例7 若已知产量为零时的成本为C1，而且产量为 q时有边际成本C’(q)=aq+b，求总成本函数C。 解 总成本函数为
C = C1 + ∫ (ax + b) dx
0
q
1 2 = C1 + ax + bx 2 0 1 2 = aq + bq + C1. 2
Q f ( x ) < 1,
∴ F ′( x ) = 2 − f ( x ) > 0,
x
F (x)在[0,1]上为单调增加函数. F(0) = −1 < 0,
F (1) = 1 − ∫0 f ( t )dt = ∫0 [1 − f ( t )]dt > 0,
1
1
即原方程在[0 1]上只有一个解 [0， 上只有一个解. 所以 F ( x ) = 0 即原方程在[0，1]上只有一个解.
微积分部分
第六章
～
定积分
, 得 c = 1. 2
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例3 设f(x)在[0, +∞)内连续且f(x)>0. 证明函数
在(0, +∞)内为单调增加函数. 证明 因为
x
∫0 tf (t)dt F(x) = x ∫0 f (t)dt
x
x
F′(x) =
xf (x)∫0 f (t)dt − f (x)∫0 tf (t)dt (∫0 f (t)dt)2
定积分
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返回
例3. 计算
3 dx = arctan x 解: ∫ = arctan 3 − arctan(−1) 2 −1 1+ x −1 π π 7 = − (− ) = π 3 4 12 例4. 计算正弦曲线
考研数学公式大全
考研数学公式大全数学是考研的核心科目之一，而掌握必要的数学公式则是取得好成绩的关键。
以下是一份考研数学公式大全，涵盖了高等数学、线性代数和概率论与数理统计中的重要公式，希望能对备考研究生入学考试的同学有所帮助。
一、高等数学1、求导法则本文1)链式法则：f(u)f'(u)=f'(u)du本文2)乘积法则：f(u)g(u)=f'(u)g(u)+f(u)g'(u)本文3)指数法则：f(u)^n=nu'f(u)/(n-1)!2、求极值本文1)极值条件：f'(x)=0本文2)极值定理：f(x)在x=a处取得极值，则f'(a)=03、积分公式本文1)牛顿-莱布尼茨公式：∫f(x)dx=F(b)-F(a)，其中F'(x)=f(x)本文2)微分定理：d/dx∫f(x)dx=f(x)本文3)积分中值定理：若f(x)在[a,b]上连续，则至少存在一点c∈[a,b]，使得∫f(x)dx=f(c)(b-a)4、不定积分公式本文1)幂函数积分：∫x^n dx=(n+1)/n+1 x^(n+1)/n+1+C本文2)三角函数积分：∫sinx dx=cosx+C，∫cosx dx=-sinx+C 5、定积分公式本文1)矩形法：若a<=x<=b，a<=y<=b，则∫(a,b)(x^2+y^2)dx=∫(a,b)x^2 dx+∫(a,b)y^2 dx=(b-a)(x^2+y^2)/2本文2)梯形法：若a<=x<=b，a<=y<=b，则∫(a,b)(x^2+y^2)dx=∫(a,b)x^2 dx+∫(a,b)y^2 dx=(b-a)(x^2+[by]+[ax])/3二、线性代数6、行列式公式本文1)行列式展开式：D=a11A11+a12A12+...+an1An1，其中Aij为行列式中第i行第j列的代数余子式本文2)范德蒙行列式：V=(∏i=1n[(x-a)(i-1)]^(n-i)) / (∏i=1n[(x-a)(i-1)])，其中ai为行列式中第i行第i列的元素7、矩阵公式本文1)矩阵乘法：C=AB，其中Cij=∑AikBkj，k为矩阵乘法的维数本文2)逆矩阵：A^-1=(1/∣A∣)A，其中∣A∣为矩阵A的行列式值，A为矩阵A的伴随矩阵8、向量公式本文1)向量内积：〈a,b〉=a1b1+a2b2+...1、求导法则本文1)链式法则：若f是一个包含x和函数u=u(x)，则f' = f'[u(x)] * u'(x)。
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生命是永恒不断的创造，因为在它内部蕴含着过剩的精力，它不断流溢，越出时间和空间的界限，它不停地追求，以形形色色的自我表现的形式表现出来。
－－泰戈尔高等数学公式导数公式：基本积分表：ax x aa a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x Cx dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰+-+--=-+++++=+-===-Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn ln )ln(221cos sin 22222222222222222ππ三角函数的有理式积分：222212211cos 12sin ududx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， 一些初等函数： 两个重要极限：三角函数公式： ·诱导公式：·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( xxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x xx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim 0==+=∞→→e xxx x x x·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。
时，柯西中值定理就是当柯西中值定理：拉格朗日中值定理：x x F f a F b F a f b f a b f a f b f =''=---'=-)(F )()()()()()())(()()(ξξξ曲率：.1;0.)1(lim M s M M :.,13202aK a K y y ds d s K M M sK tg y dx y ds s =='+''==∆∆='∆'∆∆∆==''+=→∆的圆：半径为直线：点的曲率：弧长。
：化量；点，切线斜率的倾角变点到从平均曲率：其中弧微分公式：ααααααααααααααα23333133cos 3cos 43cos sin 4sin 33sin tg tg tg tg --=-=-=αααααααααααααα222222122212sin cos sin 211cos 22cos cos sin 22sin tg tg tg ctg ctg ctg -=-=-=-=-==定积分的近似计算：⎰⎰⎰----+++++++++-≈++++-≈+++-≈ban n n ban n ba n y y y y y y y y nab x f y y y y n a b x f y y y nab x f )](4)(2)[(3)(])(21[)()()(1312420110110 抛物线法：梯形法：矩形法：定积分应用相关公式：⎰⎰--==⋅=⋅=bab a dt t f a b dx x f a b y k rmm k F Ap F sF W )(1)(1,2221均方根：函数的平均值：为引力系数引力：水压力：功：空间解析几何和向量代数：。
代表平行六面体的体积为锐角时，向量的混合积：例：线速度：两向量之间的夹角：是一个数量轴的夹角。
是向量在轴上的投影：点的距离：空间ααθθθϕϕ,cos )(][..sin ,cos ,,cos Pr Pr )(Pr ,cos Pr )()()(2222222212121*********c b a c c c b b b a a a c b a c b a r w v b a c b b b a a a kj ib ac b b b a a a b a b a b a b a b a b a b a b a a j a j a a j u j z z y y x x M Md zyx z y xzy xzyxz y xzy x z y x zz y y x x z z y y x x u u⋅⨯==⋅⨯=⨯=⋅==⨯=++⋅++++=++=⋅=⋅+=+=-+-+-==（马鞍面）双叶双曲面：单叶双曲面：、双曲面：同号）（、抛物面：、椭球面：二次曲面：参数方程：其中空间直线的方程：面的距离：平面外任意一点到该平、截距世方程：、一般方程：，其中、点法式：平面的方程：113,,22211};,,{,1302),,(},,,{0)()()(1222222222222222222220000002220000000000=+-=-+=+=++⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+===-=-=-+++++==++=+++==-+-+-cz b y a x c z b y a x q p z q y p x c z b y a x ptz z nty y m tx x p n m s t p z z n y y m x x C B A DCz By Ax d c zb y a x D Cz By Ax z y x M C B A n z z C y y B x x A多元函数微分法及应用zy z x y x y x y x y x F F y zF F x z z y x F dx dy F F y F F x dx y d F F dx dy y x F dy yvdx x v dv dy y u dx x u du y x v v y x u u xvv z x u u z x z y x v y x u f z tvv z t u u z dt dz t v t u f z y y x f x y x f dz z dz zu dy y u dx x u du dy y z dx x z dz -=∂∂-=∂∂=⋅-∂∂-∂∂=-==∂∂+∂∂=∂∂+∂∂===∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂==∆+∆=≈∆∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=， ， 隐函数＋， ， 隐函数隐函数的求导公式： 时，，当 ：多元复合函数的求导法全微分的近似计算： 全微分：0),,()()(0),(),(),()],(),,([)](),([),(),(22),(),(1),(),(1),(),(1),(),(1),(),(0),,,(0),,,(y u G F J y v v y G F J y u x u G F J x v v x G F J x u G G F F vG uG v FuFv u G F J v u y x G v u y x F vu v u ∂∂⋅-=∂∂∂∂⋅-=∂∂∂∂⋅-=∂∂∂∂⋅-=∂∂=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=⎩⎨⎧== 隐函数方程组：微分法在几何上的应用：),,(),,(),,(30))(,,())(,,())(,,(2)},,(),,,(),,,({1),,(0),,(},,{,0),,(0),,(0))(())(())(()()()(),,()()()(000000000000000000000000000000000000000000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x F z y x F z y x F n z y x M z y x F G G F F G G F F G G F F T z y x G z y x F z z t y y t x x t M t z z t y y t x x z y x M t z t y t x z y x z y x z y x yx yx x z x z z y z y -=-=-=-+-+-==⎪⎩⎪⎨⎧====-'+-'+-''-='-='-⎪⎩⎪⎨⎧===、过此点的法线方程：：、过此点的切平面方程、过此点的法向量：，则：上一点曲面则切向量若空间曲线方程为：处的法平面方程：在点处的切线方程：在点空间曲线ωψϕωψϕωψϕ方向导数与梯度：上的投影。