九年级数学实数
中考数学实数总复习
专题基础知识回顾一实数一、单元知识网络：二、考试目标要求：了解有理数、无理数、实数的概念；会比较实数的大小，知道实数与数轴上的点一一对应，会用科学记数法表示有理数；理解相反数和绝对值的概念及意义.进一步，对上述知识理解程度的评价既可以用纯粹数学语言、符号的方式呈现试题，也可以建立在应用知识解决问题的基础之上，即将考查的知识、方法融于不同的情境之中，通过解决问题而考查学生对相应知识、方法的理解情况.了解乘方与开方的概念，并理解这两种运算之间的关系.了解平方根、算术平方根、立方根的概念，了解整数指数幂的意义和基本性质.具体目标：1.有理数(1)理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小.(2)借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的相反数与绝对值(绝对值符号内不含字母).(3)理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算(以三步为主).(4)理解有理数的运算律，并能运用运算律简化运算.(5)能运用有理数的运算解决简单的问题.(6)能对含有较大数字的信息作出合理的解释和推断.2.实数(1)了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根.(2)了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根.(3)了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点—一对应.(4)能用有理数估计一个无理数的大致范围.(5)了解近似数与有效数字的概念.在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，并按问题的要求对结果取近似值.三、知识考点梳理知识点一、实数的分类1.按定义分类：2.按性质符号分类：注：0既不是正数也不是负数.3.有理数：整数和分数统称为有理数或者“形如 (m，n是整数n≠0)”的数叫有理数．4.无理数：无限不循环小数叫无理数．5.实数：有理数和无理数统称为实数．知识点二、实数的相关概念1.相反数(1)代数意义：只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数．0的相反数是0.(2)几何意义：在数轴上原点的两侧，与原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数，或数轴上，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称.(3)互为相反数的两个数之和等于0.a、b互为相反数 a+b=0.2.绝对值(1)代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．可用式子表示为：(2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离．距离是一个非负数，所以绝对值的几何意义本身就揭示了绝对值的本质，即绝对值是一个非负数．用式子表示：若a是实数，则|a|≥0．3.倒数(1)实数的倒数是；0没有倒数；(2)乘积是1的两个数互为倒数．a、b互为倒数 .4.平方根(1)如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根．一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．a(a≥0)的平方根记作．(2)一个正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根．a(a≥0)的算术平方根记作．5.立方根如果x3=a，那么x叫做a的立方根．一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根仍是零．知识点三、实数与数轴数轴定义：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫做数轴，数轴的三要素缺一不可．每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．知识点四、实数大小的比较1.对于数轴上的任意两个点，靠右边的点所表示的数较大.2.正数都大于0，负数都小于0，两个正数，绝对值较大的那个正数大；两个负数；绝对值大的反而小.3.对于实数a、b，若a-b＞0 a＞b；a-b=0 a=b；a-b＜0 a＜b.5.无理数的比较大小：利用平方转化为有理数：如果 a＞b＞0，a2＞b2 a＞b ；或利用倒数转化：如比较与 .知识点五、实数的运算1.加法同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数．2.减法减去一个数等于加上这个数的相反数．3.乘法几个非零实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数有奇数个时，积为负．几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．4.除法除以一个数，等于乘上这个数的倒数．两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数都得0．5.乘方与开方(1)an所表示的意义是n个a相乘，正数的任何次幂是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数．(2)正数和0可以开平方，负数不能开平方；正数、负数和0都可以开立方．(3)零指数与负指数6.实数的六种运算关系加法与减法互为逆运算；乘法与除法互为逆运算；乘方与开方互为逆运算.7.实数运算顺序加和减是一级运算，乘和除是二级运算，乘方和开方是三级运算．这三级运算的顺序是三、二、一．如果有括号，先算括号内的；如果没有括号，同一级运算中要从左至右依次运算．8.实数的运算律加法交换律：a+b=b+a乘法交换律：ab=ba知识点六、有效数字和科学记数法1.近似数：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数精确到哪一位．2.有效数字：一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位为止，所有的数字，都叫做这个近似数的有效数字．3.科学记数法：把一个数用 (1≤＜10，n为整数)的形式记数的方法叫科学记数法．四、规律方法指导1.数形结合思想实数与数轴上的点一一对应，绝对值的几何意义等，数轴在很多时候可以帮助我们更直观地分析题目，从而找到解决问题的突破口.2.分类讨论思想（算术）平方根，绝对值的化简都需要有分类讨论的思想，考虑问题要全面，做到既不重复又不遗漏.3.从实际问题中抽象出数学模型以现实生活为背景的题目，我们要抓住问题的实质，明确该用哪一个知识点来解决问题，然后有的放矢.4.注意观察、分析、总结对于寻找规律的题目，仔细观察变化的量之间的关系，尝试用数学式子表示规律.对于阅读两量大的题目，经常是把规律用语言加以叙述，仔细阅读，找到关键的字、词、句，从而找到思路. 经典例题精析考点一、实数概念及分类1. （2010上海）下列实数中，是无理数的为（）思路点拨：考查无理数的概念.2.下列实数、sin60°、、、3.14159、、、中无理数有( )个总结升华：对实数进行分类不能只看表面形式，应先化简，再根据结果去判断．举一反三：【变式1】把下列各数填入相应的集合里：(1)自然数集合：{ …}(2)整数集合：{ …}(3)分数集合：{ …}(4)无理数集合：{ …}答案：(1)自然数集合：(2)整数集合：(3)分数集合：(4)无理数集合：【答案】b,603，6n＋3考点二、数轴、倒数、相反数、绝对值4．（2010湖南益阳）数轴上的点a到原点的距离是6，则点a表示的数为（）思路点拨: 数轴上的点a到原点的距离是6的点有两个，原点的左边、右边各有一个。
实数初中数学知识点总结
实数初中数学知识点总结一、实数的定义与分类实数是数学中最基本的数系之一，包括有理数和无理数两大类。
有理数可以表示为两个整数的比值，形式为a/b，其中a和b为整数，b不为零。
无理数则不能表示为有理数的形式，例如圆周率π和黄金比例φ。
1.1 有理数有理数包括整数和分数。
整数包括正整数、负整数和零，分数则是整数的比值形式。
有理数可以表示为有限小数或无限循环小数。
1.2 无理数无理数是无限不循环小数，常见的无理数有圆周率π、自然对数的底数e等。
无理数不能表示为分数形式。
二、实数的性质实数具有以下性质：- 封闭性：实数的加法、减法、乘法和除法（除数不为零）都是封闭的。
- 有序性：实数集是一个有序集，任何两个实数都可以比较大小。
- 完备性：实数集中的任何有界数列都有一个极限，这个极限也是实数集中的数。
三、实数的运算3.1 加法实数的加法满足交换律和结合律。
两个实数相加，和的符号由绝对值大的数决定，同号相加取原来的符号，异号相加取绝对值大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
3.2 减法实数的减法可以转化为加法，即a - b = a + (-b)。
减法的顺序改变会改变结果的符号。
3.3 乘法实数的乘法满足交换律、结合律和分配律。
两个正实数相乘得正，两个负实数相乘得正，正实数与负实数相乘得负。
3.4 除法实数的除法可以转化为乘法，即a ÷ b = a × (1/b)。
除以一个非零实数，相当于乘以它的倒数。
四、实数的比较实数的大小比较遵循以下规则：- 正实数都大于零。
- 零大于所有的负实数。
- 负实数都小于零。
- 两个负实数比较大小，其绝对值大的反而小。
五、实数的平方根与立方根5.1 平方根实数a的平方根是一个数b，使得b² = a。
正实数有两个平方根，一个正数和一个负数；零的平方根是零；负数没有实数平方根。
5.2 立方根实数a的立方根是一个数b，使得b³ = a。
九年级数学实数的有关概念PPT教学课件
10．实数的分类
整数
有理数
实数
分数
(有限小数或无限循环小数 )
无理数 (无限不循环小数)
[例题评析]
例1 下列6个数：3.1415，2,2 2,2,30 .0,6 ta 4 3n 0,0
7
0。010010001，其中无理数的个数是( )．
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
说明 无理数是指无限不循环小数，如 2 ; 3 0.064 虽是用根号表示的
[ 1．1 基础练习]
1．填空：
（1）在 ,0 ,1 ,1,2 2 .7 .5 ., 1 , ( 3 )2 , ,8 2.6 696 9 969
2
7
(小数点后相邻两个6之间9的个数逐次加1)中，不属于正实数集合的
是
，属于负实数集合的是
，属于整实数集
合的是
，属于分数集合的是
，属于有理数集
合的是
，属于无理数集合的是
７．如果 x3 a ，那么x称为 a的立方根 ；一个数a的立方根记为 3 a ．
８．一个近似数的有效数字，是指从这个数的左边第一个非零数字起，到 右边最后一位数字止的所有数字．
９．科学记数法是把一个大于10或小于l的正数记成 a10n 的形式，其
中１≤a＜10 ( n是正整数)，这种记数的方法叫科学记数法．
初三总复习 第一篇 数与代数式
一 实数
第一讲 实数的有关概念
知识要点
1．规定了原点、单位长度、和正方向的直线叫做数轴。数轴 上的点与实数一一对应。
一个单位长度 原点
正方向
O
X
2. 只有符号不同的两个数，叫做互为相反数；零的相反数是
零；两个相反数的和是零。
九年级(初三)数学总复习(北师大版)第1课时实数的有关概念及运算
n 为整数)，这种记数法叫做科学记数法．
6．近似数与有效数字：一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这 个近似数精确到哪一位．这时，从左边第一个不是 0 的数字起，到精确 的数位止，所有的数字都叫做这个数的有效数字．
[辨析] (1)2.05 与 2.0500 的区别：2.05 精确到 0.01，有效数字 是 2,0,5；2.0500 精确到 0.0001，有效数字是 2,0,5,0,0.两者的精确 度和有效数字均不同，所以小数点后的“0”不能随意舍去． (2)对于带单位的近似数，则由近似数的位数和后面的单位共同确 定．如近似数 3.618 精确到千分位，3.618 万，数字 8 实际上是十位上 的数字，即精确到十位．
[解析]
解决这类题最好的方法是借助于方程来求解，可避
免出错．设这个数为 x，则(1)－x＝x，x＝0； 1 2 (2) ＝x，∴x ＝1，∴x＝±1；
x
(3)x ＝x，x －x＝0，x＝0 或 x＝1； (4)± x＝x，x ＝x，x＝0 或 x＝1(不合题意，舍去)； (5)|x|＝x，x≥0.
类型之二 实数的有关概念
命题角度： 1．数轴、相反数、倒数等概念 2．绝对值的概念及计算 填空题：
0 (1)相反数等于它本身的数是________ ． ±1 ． (2)倒数等于它本身的数是________
0 或1 (3)平方等于它本身的数是________ ．
0 (4)平方根等于它本身的数是________ ． 非负数 ． (5)绝对值等于它本身的数是________
3 3 ＋2 3＋1－ ＝2＋ 3. 2 2
(1)在进行实数的混合运算时，首先要明确与实数有关的概念、性 质、运算法则和运算律，要弄清按怎样的运算顺序进行．中考中常常 把绝对值、锐角三角函数、二次根式结合在一起考查． (2)要注意零指数幂和负指数幂的意义．负指数的运算： a ＝ (a≠0，且 p 是正整数)，零指数幂的运算：a ＝1(a≠0)．
初中数学【实数】评课稿
初中数学【实数】评课稿一、教师素质好，教学氛围和谐、积极。
教师的基本功扎实，讲授知识有深度、有广度、有技巧。
教师的形体语言亲切、自然，口头语言清晰、流畅、幽默。
营造了积极、和谐的教学氛围和平等、民主、自由的师生的关系，很好的实现了教师角色的转变。
为教师指导下学生自由地对科学的实验和知识探究作了很好的教学铺垫。
课堂气氛活泼有序、教师调控能力和应变能力强、富有激情。
使学生在轻松愉快的氛围中接受知识。
二、教学设计的评价教学设计理念依据新一轮基础课程改革《数学课程标准》中：让生活走向数学，让数学走向社会的基本理念，面向全体学生。
这节课彻底改变了学生被动接受的传统的教学模式，“在探究状态下学习”贯穿整个课堂教学。
整个课堂设计完整、结构紧凑、逻辑严密、前后呼应。
三、教学过程的评价1、首先从生活走向数学，导入新课。
（巧妙激趣）教师创设了一个真实的生活情景，让学生明白这么简单的生活小事中也包含着许多我们不知道的数学知识，激发学生学习欲望。
一开始就让学生处在浓厚的学习兴趣中。
2、注重探究，教学方法多样。
（大胆尝试，探究环环相扣，不断推出学生活动高潮）本节课在教学设计和实际授课中营造了浓厚的探究氛围，让学生始终处于积极的思考和探究活动中。
比如：有学生的独立思考、有分组交流合作学习，取长补短；有个小组间的评比等。
设计的分组实验让学生主动参与实验的设计和实施的全过程，到最后学生自主地总结出每一部分的实验结论和由学生自己对实验结论的综合总结。
“提出问题——猜测与假设——设计实验——分析论证——加以评估”探究环环相扣，都让学生自己去合作完成，将学生活动不断推向新的高潮，让所有的学生都明白了“探究的科学过程”和“探究的科学方法”，教给学生的不止是数学知识，更重要的是教会了科学探究的方法，这是这堂课学生最大的收获，真正培养了学生的探究精神和创新意识。
3、教师大胆创新，从生活中获取教学资源。
（展示教学能力）4、作业的设计精巧，满足不同层次学生的要求。
初三数学总复习学案(1)实数的概念
初三数学总复习实数的概念一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】1.实数的有关概念(1)有理数: 和 统称为有理数。
(2)有理数分类①按定义分: ②按符号分:有理数()()0()()()()⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩；有理数()()()()()()⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩（3）相反数：只有 不同的两个数互为相反数。
若a 、b 互为相反数，则 。
（4）数轴：规定了 、 和 的直线叫做数轴。
（5）倒数：乘积 的两个数互为倒数。
若a （a≠0）的倒数为1a.则 。
（6）绝对值：（7）无理数： 小数叫做无理数。
（8）实数： 和 统称为实数。
（9）实数和 的点一一对应。
2.实数的分类:实数()()()()()()()()()()()()⎧⎫⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎩⎪⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩⎭⎪⎪⎫⎧⎪⎨⎬⎪⎩⎭⎩零3.科学记数法、近似数和有效数字（1）科学记数法：把一个数记成±a×10n的形式（其中1≤a<10，n 是整数）（2）近似数是指根据精确度取其接近准确数的值。
取近似数的原则是“四舍五入”。
（3）有效数字：从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位止，所有的数字，都叫做这个数字的有效数字。
（二）：【课前练习】 1．|－22|的值是（ ）A ．－2 B.2 C ．4 D ．－4 2．下列说法不正确的是（ ）A ．没有最大的有理数B ．没有最小的有理数C ．有最大的负数D ．有绝对值最小的有理数3．在(0022sin 4500.2020020002273π⋅⋅⋅、、、、这七个数中，无理数有（ ） A ．1个；B ．2个；C ．3个；D ．4个 4．下列命题中正确的是（ ）A ．有限小数是有理数B ．数轴上的点与有理数一一对应C ．无限小数是无理数D ．数轴上的点与实数一一对应5．近似数0.030万精确到 位，有 个有效数字，用科学记数法表示为 万二：【经典考题剖析】1．在一条东西走向的马路旁，有青少年宫、学校、商场、医院四家公共场所．已知青少年宫在学校东300m 处，商场在学校西200m 处，医院在学校东500m 处．若将马路近似地看作一条直线，以学校为原点，向东方向为正方向，用1个单位长度表示100m ．（1）在数轴上表示出四家公共场所的位置；（2）列式计算青少年宫与商场之间的距离．：2．下列各数中：-1，0，169，2π，1.1010016.0, ,12-, 45cos ,- 60cos , 722,2,π-722.有理数集合{ …}； 正数集合{ …}； 整数集合{ …}； 自然数集合{ …}； 分数集合{ …}； 无理数集合{ …}； 绝对值最小的数的集合{ …}；3. 已知(x-2)2=0，求xyz 的值．．4．已知a 与 b 互为相反数，c 、d 互为倒数，m 的绝对值是2求32122()2()m ma b cd m -+-÷ 的值5. a 、b 在数轴上的位置如图所示，且a ＞b ，化简a a b b a -+--三：【课后训练】2、一个数的倒数的相反数是115,则这个数是（）A ．65B ．56C ．-65D ．－563、一个数的绝对值等于这个数的相反数，这样的数是（ ） A ．非负数 B ．非正数 C ．负数 D ．正数4. 数轴上的点并不都表示有理数，如图中数轴上的点P 所表示的数是 2 ”，这种说明问题的方式体现的数学思想方法叫做（ ） A ．代人法B ．换元法C ．数形结合D ．分类讨论5. 若a 的相反数是最大的负整数，b 是绝对值最小的数，则a ＋b=___________．6.已知x y y x -=-，4,3x y ==，则()3x y += 7.光年是天文学中的距离单位，1光年大约是9500000000000km ，用科学计数法表 示 (保留三个有效数字)0ba8.当a 为何值时有：①23a -=；②20a -=；③23a -=-9. 已知a 与 b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值是2的相反数的负倒数，y 不能作除数，求20022001200012()2()a b cd y x+-++的值．10. （1）阅读下面材料：点 A 、B 在数轴上分别表示实数a ，b ，A 、B 两点之间的距离表示为|AB|，当A 上两点 中有一点在原点时，不妨设点A 在原点，如图1－2－4所示，|AB|=|BO|=|b|=|a －b|；当A 、B 两点都不在原点时，①如图1－2－5所示，点A 、B 都在原点的右边，|AB|=|BO|－|OA|=|b|－|a|=b －a=|a －b|； ②如图1－2－6所示，点A 、B 都在原点的左边，|AB|=|BO|－|OA|=|b|－|a|=－b －(－a)=|a －b|；③如图1－2－7所示，点A 、B 在原点的两边多边，|AB|=|BO|+|OA|=|b|+|a|=a+(－b)=|a －b|综上，数轴上 A 、B 两点之间的距离|AB|=|a －b| （2）回答下列问题：①数轴上表示2和5的两点之间的距离是_____，数轴上表示－2和－5的两点之间的距离是____，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是______.②数轴上表示x 和－1的两点A 和B 之间的距离是________，如果 |AB|=2，那么x为_________．③当代数式|x+1|+|x －2|=2 取最小值时，相应的x 的取值范围是_________.四：【课后小结】初三数学总复习实数的运算一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】1. 有理数加、减、乘、除、幂及其混合运算的运算法则(1)有理数加法法则：①同号两数相加，取________的符号，并把__________②绝对值不相等的异号两数相加，取________________的符号，并用 ____________________。
九年级数学实数的混合运算
初三数学实数的混合运算2一．填空题〔共6小题〕1．计算：=．2．计算：﹣|﹣2|=．3．计算：|﹣3|++〔﹣1〕0=．4．计算|﹣|+的值是．5．计算：+〔﹣1〕0=．6．〔﹣1〕0+〔〕﹣1=．二．解答题〔共24小题〕7．计算：cos60°﹣2﹣1+﹣〔π﹣3〕0．8．计算：〔3﹣π〕0+4sin45°﹣+|1﹣|．9．计算：〔〕﹣2﹣〔π﹣〕0+|﹣2|+4sin60°．10．计算：+|2﹣3|﹣〔〕﹣1﹣〔2021 +〕0．11．计算：〔+﹣1〕〔﹣+1〕12．计算：〔﹣1〕4﹣2tan60°++．13．〔1〕计算：2﹣1﹣tan60°+〔π﹣2021 〕0+|﹣|；〔2〕解方程：x2﹣1=2〔x+1〕．14．计算：〔2021 ﹣π〕0+〔﹣〕﹣1+|﹣1|﹣3tan30°+6．15．计算：〔π﹣3.14〕0+﹣〔〕﹣2+2sin30°．16．计算：﹣12﹣2+50+|﹣3|．17．计算：+|﹣2|﹣〔〕﹣2+〔tan60°﹣1〕0．18．〔1〕计算：|1﹣|+〔﹣〕﹣2﹣+；〔2〕解方程：=1﹣．19．计算：2cos30°﹣|﹣1|+〔〕﹣1．20．计算：〔1﹣π〕0×﹣〔〕﹣1+|﹣2|．21．〔1〕计算：﹣〔﹣π〕0﹣2sin60°〔2〕化简：〔1+〕•．22．计算：|﹣3|﹣〔5﹣π〕0+．23．计算：〔4﹣π〕0+〔﹣〕﹣1﹣2cos60°+|﹣3|24．计算：〔﹣2〕2+|﹣1|﹣．25．计算〔﹣5sin20°〕0﹣〔﹣〕﹣2+|﹣24|+．26．计算：|﹣2|+3tan30°+〔〕﹣1﹣〔3﹣π〕0﹣．27．计算：|﹣2|++2﹣1﹣cos60°．28．〔1〕计算：〔﹣1〕2021 +sin30°﹣〔π﹣3.14〕0+〔〕﹣1；〔2〕解分式方程：+=1．29．求值：+〔〕2+〔﹣1〕2021 ．30．〔1〕计算：〔π﹣〕0+〔〕﹣1﹣﹣tan30°；〔2〕解方程：+=1；〔3〕解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．初三数学实数的混合运算2参考答案与试题解析一．填空题〔共6小题〕1．〔2021 春•期中〕计算：=．【解答】解：原式=．故答案为：．2．〔2021•〕计算：﹣|﹣2|= 1 ．【解答】解：原式=3﹣2=1，故答案为：1．3．〔2021•随州〕计算：|﹣3|++〔﹣1〕0= 2 ．【解答】解：原式=3﹣2+1=2．故答案为：2．4．〔2021•〕计算|﹣|+的值是．【解答】解：原式=﹣+=，故答案为：5．〔2021•资阳〕计算：+〔﹣1〕0= 3 ．【解答】解：原式=2+1=3．故答案为：3．6．〔2021•〕〔﹣1〕0+〔〕﹣1= 2021 ．【解答】解：原式=1+2021=2021 ．故答案为：2021 ．二．解答题〔共24小题〕7．〔2021•〕计算：cos60°﹣2﹣1+﹣〔π﹣3〕0．【解答】解：原式=﹣+2﹣1=1．8．〔2021•〕计算：〔3﹣π〕0+4sin45°﹣+|1﹣|．【解答】解：〔3﹣π〕0+4sin45°﹣+|1﹣|=1+4×﹣2﹣1=1﹣2+﹣1=9．〔2021 •〕计算：〔〕﹣2﹣〔π﹣〕0+|﹣2|+4sin60°．【解答】解：原式=4﹣1+2﹣+4×=5+．10．〔2021 •〕计算：+|2﹣3|﹣〔〕﹣1﹣〔2021 +〕0．【解答】解：原式=2+3﹣2﹣3﹣1=﹣1．11．〔2021 •〕计算：〔+﹣1〕〔﹣+1〕【解答】解：原式=[+〔﹣1〕][﹣〔﹣1〕]=〔〕2﹣〔﹣1〕2=3﹣〔2﹣2+1〕=3﹣2+2﹣1=2．12．〔2021 •〕计算：〔﹣1〕4﹣2tan60°++．【解答】解：原式=1﹣2=2．13．〔2021 •〕〔1〕计算：2﹣1﹣tan60°+〔π﹣2021 〕0+|﹣|；〔2〕解方程：x2﹣1=2〔x+1〕．【解答】解：〔1〕原式=﹣×+1+=﹣1；〔2〕方程整理得：x2﹣2x﹣3=0，即〔x﹣3〕〔x+1〕=0，解得：x1=﹣1，x2=3．14．〔2021 •〕计算：〔2021 ﹣π〕0+〔﹣〕﹣1+|﹣1|﹣3tan30°+6．【解答】解：原式=1﹣3+﹣1﹣+2=2﹣3．15．〔2021 •〕计算：〔π﹣3.14〕0+﹣〔〕﹣2+2sin30°．【解答】解：原式=1+2﹣4+2×=0．16．〔2021 •〕计算：﹣12﹣2+50+|﹣3|．【解答】解：原式=﹣1﹣2×3+1+3=﹣1﹣6+1+3=﹣3．17．〔2021 •〕计算：+|﹣2|﹣〔〕﹣2+〔tan60°﹣1〕0．【解答】解：原式=3+﹣2﹣9+1=﹣7．18．〔2021 •〕〔1〕计算：|1﹣|+〔﹣〕﹣2﹣+；〔2〕解方程：=1﹣．【解答】解：〔1〕原式=﹣1+4﹣﹣2=1；〔2〕去分母得：3=2x+2﹣2，解得：x=，经检验x=是分式方程的解．19．〔2021 •〕计算：2cos30°﹣|﹣1|+〔〕﹣1．【解答】解：原式=2×﹣+1+2=3．20．〔2021 •眉山〕计算：〔1﹣π〕0×﹣〔〕﹣1+|﹣2|．【解答】解：原式=1×3﹣7+2=3﹣7+2=﹣2．21．〔2021 •〕〔1〕计算：﹣〔﹣π〕0﹣2sin60°〔2〕化简：〔1+〕•．【解答】解：〔1〕原式=4﹣1﹣2×=4﹣1﹣3=0；〔2〕原式=•=．22．〔2021 •〕计算：|﹣3|﹣〔5﹣π〕0+．【解答】解：原式=3﹣1+5=7．23．〔2021 •贺州〕计算：〔4﹣π〕0+〔﹣〕﹣1﹣2cos60°+|﹣3|【解答】解：原式=1﹣2﹣2×+3=1﹣2﹣1+3=1．24．〔2021 •乌鲁木齐〕计算：〔﹣2〕2+|﹣1|﹣．【解答】解：原式=4+﹣1﹣3=．25．〔2021 •〕计算〔﹣5sin20°〕0﹣〔﹣〕﹣2+|﹣24|+．【解答】解：〔﹣5sin20°〕0﹣〔﹣〕﹣2+|﹣24|+=1﹣9+16﹣3=5．26．〔2021 •六盘水〕计算：|﹣2|+3tan30°+〔〕﹣1﹣〔3﹣π〕0﹣．【解答】解：原式=2﹣+3×+2﹣1﹣2=1．27．〔2021 •〕计算：|﹣2|++2﹣1﹣cos60°．【解答】解：原式=2+3+﹣=5．28．〔2021 •〕〔1〕计算：〔﹣1〕2021 +sin30°﹣〔π﹣3.14〕0+〔〕﹣1；〔2〕解分式方程：+=1．【解答】解：〔1〕〔﹣1〕2021 +sin30°﹣〔π﹣3.14〕0+〔〕﹣1=﹣1+﹣1+2=；〔2〕+=1去分母得：2+x〔x+2〕=x2﹣4，解得：x=﹣3，检验：当x=﹣3时，〔x+2〕〔x﹣2〕≠0，故x=﹣3是原方程的根．29．〔2021 •〕求值：+〔〕2+〔﹣1〕2021 ．【解答】解：原式=+﹣1=﹣．30．〔2021 •〕〔1〕计算：〔π﹣〕0+〔〕﹣1﹣﹣tan30°；〔2〕解方程：+=1；〔3〕解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．【解答】解：〔1〕原式=1+2﹣3﹣=3﹣；〔2〕方程两边同时乘以〔x+3〕〔x﹣3〕得，3+x〔x+3〕=x2﹣9，解得x=﹣4，代入〔x+3〕〔x﹣3〕得，〔﹣4+3〕〔﹣4﹣3〕=7≠0，故x=﹣4是原分式方程的解；〔3〕，由①得，y≥1，由②得，y＜2，故不等式组的解集为：1≤y＜2．。
初中数学知识归纳实数的性质
初中数学知识归纳实数的性质实数是数学中一种重要的数集，它包括有理数和无理数。
实数的性质涵盖了有序性、稠密性、无穷性以及连续性等方面。
本文将对初中数学中关于实数性质的知识进行归纳总结，并分别进行阐述。
一、实数的有序性实数具有可比较性，即任意两个实数可以通过大小比较的方式进行比较。
这是因为实数中每个数都可以用数轴上的一点表示出来，而数轴上的点是有序排列的。
对于任意两个实数a和b，存在以下三种可能的关系：1. a=b，即a与b相等；2. a<b，即a小于b；3. a>b，即a大于b。
二、实数的稠密性实数的集合在数轴上是稠密分布的。
这意味着，在任意两个实数之间，必定存在另外一个实数。
以有理数为例，对于任意两个有理数a和b（a<b），必定存在一个有理数c，使得a<c<b。
同样地，对于无理数也是如此。
这个性质使得实数集合中的数是无间隔的，没有“空隙”。
三、实数的无穷性实数集合是无穷的，即实数的个数是无穷多的。
在数轴上，实数可以无限延伸向左和向右。
即使在有理数中，我们也可以找到无数个数。
例如，对于任意一个有理数，总可以在它附近找到一个比它更小的有理数。
这告诉我们实数是没有边界的，它的数目是不可数的。
四、实数的连续性实数的连续性是指数轴上没有空隙，没有间断。
对于任意两个实数a和b（a<b），存在一个实数c在它们之间，即a<c<b。
这个性质可以用实数集合的稠密性来证明。
对于任意一个间隔，无论多么小，始终存在实数填补其中。
通过对初中数学中实数性质的归纳总结，我们可以看到实数集合是一个无穷且连续的数集。
实数的有序性可以让我们对实数进行比较和排序，而实数的稠密性和无穷性则保证了实数集合中的数密集地分布在数轴上。
实数的连续性使得实数集合没有间断，可以通过任意小的间隔将数轴上的实数划分为无数个区间。
了解实数的性质对于数学的学习和理解具有重要意义。
它不仅帮助我们建立起对实数集合的直观认识，而且为后续高中数学和大学数学的学习打下了坚实的基础。
初三数学教案-九年级数学实数的概念 精品
初三数学总复习实数的概念一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】1.实数的有关概念(1)有理数: 和 统称为有理数。
(2)有理数分类①按定义分: ②按符号分:有理数()()0()()()()⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩；有理数()()()()()()⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩（3）相反数：只有 不同的两个数互为相反数。
若a 、b 互为相反数，则 。
（4）数轴：规定了 、 和 的直线叫做数轴。
（5）倒数：乘积 的两个数互为倒数。
若a （a≠0）的倒数为1a.则 。
（6）绝对值：（7）无理数： 小数叫做无理数。
（8）实数： 和 统称为实数。
（9）实数和 的点一一对应。
2.实数的分类:实数()()()()()()()()()()()()⎧⎫⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎩⎪⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩⎭⎪⎪⎫⎧⎪⎨⎬⎪⎩⎭⎩零3.科学记数法、近似数和有效数字（1）科学记数法：把一个数记成±a×10n的形式（其中1≤a<10，n 是整数）（2）近似数是指根据精确度取其接近准确数的值。
取近似数的原则是“四舍五入”。
（3）有效数字：从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位止，所有的数字，都叫做这个数字的有效数字。
（二）：【课前练习】 1．|－22|的值是（ ）A ．－2 B.2 C ．4 D ．－4 2．下列说法不正确的是（ ）A ．没有最大的有理数B ．没有最小的有理数C ．有最大的负数D ．有绝对值最小的有理数3．在(0022sin 4500.2020020002273π⋅⋅⋅、、、、这七个数中，无理数有（ ）A ．1个；B ．2个；C ．3个；D ．4个 4．下列命题中正确的是（ ）A ．有限小数是有理数B ．数轴上的点与有理数一一对应C ．无限小数是无理数D ．数轴上的点与实数一一对应5．近似数0.030万精确到 位，有 个有效数字，用科学记数法表示为 万二：【经典考题剖析】1．在一条东西走向的马路旁，有青少年宫、学校、商场、医院四家公共场所．已知青少年宫在学校东300m 处，商场在学校西200m 处，医院在学校东500m 处．若将马路近似地看作一条直线，以学校为原点，向东方向为正方向，用1个单位长度表示100m ．（1）在数轴上表示出四家公共场所的位置；（2）列式计算青少年宫与商场之间的距离．：2．下列各数中：-1，0，169，2π，1.1010016.0, ,12-,45cos ,-60cos , 722,2,π-722.有理数集合{ …}； 正数集合{ …}； 整数集合{ …}； 自然数集合{ …}； 分数集合{ …}； 无理数集合{ …}； 绝对值最小的数的集合{ …}；3. 已知(x-2)2，求xyz 的值．．4．已知a 与 b 互为相反数，c 、d 互为倒数，m 的绝对值是2求32122()2()m ma b cd m -+-÷ 的值5. a 、b 在数轴上的位置如图所示，且a ＞b ，化简a a b b a -+--三：【课后训练】2、一个数的倒数的相反数是115,则这个数是（）A ．65B ．56C ．-65D ．－563、一个数的绝对值等于这个数的相反数，这样的数是（ ） A ．非负数 B ．非正数 C ．负数 D ．正数4. 数轴上的点并不都表示有理数，如图中数轴上的点P 所表示的数是 2 ”，这种说明问题的方式体现的数学思想方法叫做（ ） A ．代人法B ．换元法C ．数形结合D ．分类讨论5. 若a 的相反数是最大的负整数，b 是绝对值最小的数，则a ＋b=___________．6.已知x y y x -=-，4,3x y ==，则()3x y += 7.光年是天文学中的距离单位，1光年大约是9500000000000km ，用科学计数法表 示 (保留三个有效数字)0ba8.当a 为何值时有：①23a -=；②20a -=；③23a -=-9. 已知a 与 b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值是2的相反数的负倒数，y 不能作除数，求20022001200012()2()a b cd y x+-++的值．10. （1）阅读下面材料：点 A 、B 在数轴上分别表示实数a ，b ，A 、B 两点之间的距离表示为|AB|，当A 上两点 中有一点在原点时，不妨设点A 在原点，如图1－2－4所示，|AB|=|BO|=|b|=|a －b|；当A 、B 两点都不在原点时，①如图1－2－5所示，点A 、B 都在原点的右边，|AB|=|BO|－|OA|=|b|－|a|=b －a=|a －b|； ②如图1－2－6所示，点A 、B 都在原点的左边，|AB|=|BO|－|OA|=|b|－|a|=－b －(－a)=|a －b|；③如图1－2－7所示，点A 、B 在原点的两边多边，|AB|=|BO|+|OA|=|b|+|a|=a+(－b)=|a －b|综上，数轴上 A 、B 两点之间的距离|AB|=|a －b| （2）回答下列问题：①数轴上表示2和5的两点之间的距离是_____，数轴上表示－2和－5的两点之间的距离是____，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是______.②数轴上表示x 和－1的两点A 和B 之间的距离是________，如果 |AB|=2，那么x为_________．③当代数式|x+1|+|x －2|=2 取最小值时，相应的x 的取值范围是_________.四：【课后小结】初三数学总复习实数的运算一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】1. 有理数加、减、乘、除、幂及其混合运算的运算法则(1)有理数加法法则：①同号两数相加，取________的符号，并把__________②绝对值不相等的异号两数相加，取________________的符号，并用 ____________________。
初中数学知识点实数总结手写
初中数学知识点实数总结手写一、实数的定义与分类实数是数学中最基本的数系之一，包括所有的有理数和无理数。
有理数可以表示为两个整数的比，即分数形式，而无理数则不能表示为分数形式。
实数具有完备性，即任何实数序列都有一个极限，这个极限也是实数。
实数可以分为以下几类：1. 有理数：包括整数和分数，可以表示为a/b的形式，其中a和b都是整数，b≠0。
2. 无理数：不能表示为分数形式的数，如√2、π等。
3. 正实数：大于0的实数。
4. 负实数：小于0的实数。
5. 零：既不是正数也不是负数的特殊实数，用0表示。
二、实数的性质1. 有序性：实数具有大小顺序，可以比较大小。
2. 封闭性：实数的加法、减法、乘法和除法（除数不为零）都是封闭的，即运算结果仍然是实数。
3. 交换律：实数的加法和乘法满足交换律，即a+b=b+a，a*b=b*a。
4. 结合律：实数的加法和乘法满足结合律，即(a+b)+c=a+(b+c)，(a*b)*c=a*(b*c)。
5. 分配律：实数的乘法对加法满足分配律，即a*(b+c)=a*b+a*c。
三、实数的运算1. 加法：两个实数相加，和仍然是实数。
例如，3+4=7。
2. 减法：两个实数相减，差值是实数。
例如，7-4=3。
3. 乘法：两个实数相乘，积是实数。
例如，3*4=12。
4. 除法：实数相除，商是实数，但除数不能为零。
例如，12÷4=3。
5. 乘方：实数的乘方是将实数自身乘以指定次数。
例如，2的3次方是2*2*2=8。
6. 开方：求一个实数的平方根或其它次方根。
例如，√9=3，因为3*3=9。
四、实数的比较1. 正实数大于零和所有负实数。
2. 零大于所有负实数。
3. 负实数小于零和所有正实数。
4. 两个负实数中，绝对值大的数实际上更小。
五、实数的应用实数在日常生活中有广泛的应用，如计算价格、测量距离、统计数据等。
在数学的其他领域，如代数、几何、三角学和微积分中，实数也是不可或缺的基础。