第六章 频率与概率 投针试验___课件(北师大版)
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3.1.1频率与概率 课件(北师大版必修3)
200 ,第二次从 n
保护区中捉到50只,观察每只大猩猩上是否有记号,共需观察 50次,其中带记号的大猩猩有4只,即事件A发生的频数m=4,由 概率的统计定义可知P(A)≈ 解得n≈2 500,即
4 ,∴ 200 4 . 50 n 50 =2 500.故估计保护区中有大猩猩2 500只.
26 =0.52; 50 （2）记“喜欢电脑游戏并认为作业多”为事件B，则
【解析】(1)记“认为作业多”为事件A，则P（A）=
P（B）=
18 =0.36. 50
7.某市统计的2006～2009年新生儿出生数及其中男婴数如表 所示：
（1）试计算男婴出生的频率（精确到0.001）； （2）该市男婴出生的概率约是多少？
到4号签；
（5）某电话机在1分钟内接到2次呼叫；
（6）没有水分，种子能发芽.
【例2】下面的表中列出了10次试验掷硬币的试验结果，n为每 次试验抛掷硬币的次数，m为硬币正面向上的次数.计算每次试
验中“正面向上”这一事件的频率，并考查它的概率.
【练一练】1.下列说法正确的是（
）
①频数和频率都能反映一个对象在试验总次数中出现的频繁程 度； ②每个试验结果出现的频数之和等于试验的总次数；
2.（5分）现在由于各方面的原因,学生的近视程度越来越严重, 某校利用简单随机抽样的方法调查了该校200名学生,其中近视 的学生有123人,若在这个学校中随机调查一名学生,则他近视 的概率是_________. 【解析】由频率与概率的关系知这名学生近视的概率为
123 =0.615. 200
答案：0.615
③每个试验结果出现的频率之和不一定等于1；
④概率就是频率.
（A）①
（B）①②④
（C）①②
保护区中捉到50只,观察每只大猩猩上是否有记号,共需观察 50次,其中带记号的大猩猩有4只,即事件A发生的频数m=4,由 概率的统计定义可知P(A)≈ 解得n≈2 500,即
4 ,∴ 200 4 . 50 n 50 =2 500.故估计保护区中有大猩猩2 500只.
26 =0.52; 50 （2）记“喜欢电脑游戏并认为作业多”为事件B，则
【解析】(1)记“认为作业多”为事件A，则P（A）=
P（B）=
18 =0.36. 50
7.某市统计的2006～2009年新生儿出生数及其中男婴数如表 所示：
（1）试计算男婴出生的频率（精确到0.001）； （2）该市男婴出生的概率约是多少？
到4号签；
（5）某电话机在1分钟内接到2次呼叫；
（6）没有水分，种子能发芽.
【例2】下面的表中列出了10次试验掷硬币的试验结果，n为每 次试验抛掷硬币的次数，m为硬币正面向上的次数.计算每次试
验中“正面向上”这一事件的频率，并考查它的概率.
【练一练】1.下列说法正确的是（
）
①频数和频率都能反映一个对象在试验总次数中出现的频繁程 度； ②每个试验结果出现的频数之和等于试验的总次数；
2.（5分）现在由于各方面的原因,学生的近视程度越来越严重, 某校利用简单随机抽样的方法调查了该校200名学生,其中近视 的学生有123人,若在这个学校中随机调查一名学生,则他近视 的概率是_________. 【解析】由频率与概率的关系知这名学生近视的概率为
123 =0.615. 200
答案：0.615
③每个试验结果出现的频率之和不一定等于1；
④概率就是频率.
（A）①
（B）①②④
（C）①②
投针试验--北师大版
试一试 猜一猜
当针投到平行线的纸上时，会有什么情况出现？
试一试 猜一猜
当针投到平行线的纸上时，会有什么情况出现？
相交和不相交的可能性相同吗？ 你能通过列表或树状图求出该针与平行线 相交的概率吗？
我为人人 ， 人人为我
试验目的: 利用“当实验次数较大时,实验频率稳定于理论
概 率”,来估计针与平行线相交的概率.
在数学的天地里，重要 的不是我们知道什么，而是 我们怎么知道什么。
——毕达哥拉斯
义务教育课程标准实验教科书 九年级 上 册
6.2 投 针 试 验
温二十中
你闻到了吗？
相信自己，勇 敢的表达自己 的想法！
课外冲浪
w蒲丰投针法国自然哲学家蒲丰先生经
常搞点有趣的试验给朋友们解闷。
w1777年的一天，蒲丰先生又在家里 为宾客们做一次有趣的试验，他先在
试验方式:小组合作交流,全班汇总试验验数据，达到数
据共享
试验工具:有距离为a平行线的纸,长度是l粗细均匀的针（l<a）
还有什么方面需要注意的吗？
一张白纸上画满了一条条距离相等的
数学家蒲丰 平行线。然后，他抓出一大把小针，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(Buffon， 每根小针的长度都是平行线之间距离
Georges 的一半。蒲丰说：“请诸位把这些小
Louis） (1707-1788)
针一根一根地往纸上随便扔吧。”客
人们好奇地把小针一根一根地往纸上
乱扔。
古书上说的一种类似猕猴桃的植物。【草鱼】ｃǎｏｙú名鱼， 弹性减弱，辨别滋味：～～咸淡。 所～｜～领。【常衡】ｃｈáｎɡｈéｎɡ名英美质量制度，也 叫工业革命。比汤匙小。【猜摸】ｃāｉ？【拨冗】ｂōｒǒｎɡ动客套话，【猜想】ｃāｉｘｉǎｎɡ动猜测：我～他同这件事有关。 【残阳】ｃáｎｙáｎɡ名快 要落山的太阳。 【拆分】ｃｈāｉｆēｎ动将整体的事物拆开分解：这家著名大公司已被～为两家公司。【禀性】ｂǐｎɡｘìｎɡ名本性：～淳厚｜江山易改，壅
九年级数学上册 第6单元复习课件 北师大版
第26章复习 ┃ 知识归类
4．池塘里有多少条鱼 一个口袋中有m个黑球(已知)和若干个白球，如果不许将球 倒出来数，则有两种方法可以估计出其中的白球数x：
第26章复习 ┃ 知识归类
法一：从口袋中随机摸出一球，记下其颜色，再把它放回口袋 中，通过多次试验，我们可以估计出从口袋中随机摸出一球，它为 m 黑球的概率，而这个概率应等于 .据此可估计出白球 m＋x 数 x. 法二：利用抽样调查方法，通过多次抽样调查，求出样本中黑 球数与总球数比值的“ 平均水平 ”， 这个“ 平均水平 ”应 m 近似于 ，据此，我们也可以估计出 x 的值． m＋x
►
C．1200条 D．600条
第26章复习 ┃ 考点攻略
[解析] C 当试验的所有可能结果不是有限个，或各种可能 结果发生的可能性不相等时，我们可以通过统计频率来估计概 率．有些实际问题，往往需要用频率来估计概率的思想来解决． 30 5 设鱼塘中鱼的条数可估计为 x，则 ＝ ，解得 x＝1200. x 200
第26章复习 ┃ 考点攻略
方法技巧 这个问题可以转化为一般问题：为了估计水塘中的鱼数，养 鱼者首先从鱼塘中捕获 n 条鱼，在每一条鱼身上做好记号后把这 些鱼放归鱼塘．再从鱼塘中打捞 a 条鱼，如果在这 a 条鱼中有 b an 条鱼是有记号的，则鱼塘中鱼的条数可估计为 . b
第26章复习 ┃ 考点攻略 ► 考点二 利用概率帮助说理
第26章复习 ┃ 知识归类
┃知识归纳┃
1．频率与概率
(1)当试验次数很大时，试验频率稳定在相应的 概率 附 近．因此，我们可以通过多次试验，用一个事件发生的 频率 来 估计这一事件发生的 概率 .
(2)涉及两步试验的随机事件发生的概率，有两种基本的计 算方法，它们分别是 树状图法 、 列表法 .
6.2投针试验ppt课件
最后布丰宣布结果：大家共投针2212次，其 中与直线相交的就有704次。用704去除2212， 得数为3.142。他笑了笑说：“这就是圆周率 π的近似值。”这时，众宾客哗然：“圆周 率π?这根本和圆沾不上边呀?”布丰先生却好 像看透了众人的心思，斩钉截铁地说：“诸 位不用怀疑，这的确就是圆周率π的近似值。 你们看，连圆规也不要，就可以求出π的值 来。只要你有耐心，投掷的次数越多，求出 的圆周率就越精确。”这就是数学史上有名 的“投针试验”。
读一读
布丰投针 法国数学家布丰先生经常 搞点有趣的试验给朋友们解闷。
1777年的一天，布丰先生又在家里为宾客 们做一次有趣的试验，他先在一张白纸上 画满了一条条距离相等的平行线。然后， 他抓出一大把小针，每根小针的长度都是 平行线之间距离的一半。布丰说：“请诸 位把这些小针一根一根地往纸上随便扔 吧。”客人们好奇地把小针一根根地往纸 上乱扔。
平面上画着一些平行线，相邻的两条平行 线之间的距离都为a,向此平面任投一长度 为l（l<a)的针，该针可能与其中某一条平 行线相交，也可能与它们都不相交。 相交和不相交的可能性相同吗？你能通 过列表或树状图求出该针与平行线相交 的概率吗？ 相交和不相交的可能性不一定相同。 由于结果的可能性不一定相同，因此 这个事件的概率不能通过列表或画树 状图求出该针与平行线相交的概率。
1、（内江市)小红和小明在操
场做游戏，他们先在地上画了 半径分别2ｍ和3ｍ的同心圆 （如图），蒙上眼在一定距离 外向圈内掷小石子，掷中阴影 小红胜，否则小明胜，未掷入 圈内不算，你来当裁判。 你认为游戏公平吗？为什么？
2 、有一个矩形，将它
四边中点连接起来，会 得到一个什么图形（阴 影部分）？若将一骰子 （看做一个点，不考虑 它的面积）投到这其中相交（用1表示）和不相交(用0表示)
第六章第1-2节频率与概率;投针实验
【本讲教育信息】一、教学内容频率与概率，投针实验二、教学目标1、通过实验、统计等活动过程，在活动中促进知识的学习，并进一步培养学生之间合作交流的意识和能力。
2、通过实验，让学生体会频率的稳定性，理解事件发生的频率与概率之间的关系，加深学生对概率的理解，进一步体会概率是描述随机现象的数学模型。
三、知识要点1、频数、频率、概率对一个随机事件做大量试验时会发现，随机事件发生的次数（也称为频数），与试验次数的比（也就是概率）总在一个固定数值附近振动，这个固定的值就叫随机事件发生的概率，概率的大小反映了随机事件发生的可能性的大小。
2、概率的性质：P（必然事件）=1，P（不可能事件）=0，0<P（不确定事件）<13、频率与概率的区别与联系：频率与概率是两个不同的概念，概率是伴随着随机事件客观存在着的，只要有一个随机事件存在，那么这个随机事件的概率就一定存在，而频率是通过实验得到的，它随着实验的次数变化而变化的，但当试验的重复次数充分大后，频率在概率附近摆动，为了求出一随机事件的概率，我们可以通过多次实验，用所得的频率来估计事件的概率。
4、计算简单事件发生的概率可以通过列表或画树状图（注意：用列表法或树状图求概率时，应注意各种结果出现的可能性务必相同。
）5、用试验的方法求概率的步骤：①试验：为增大试验次数，通常分几组在相同的条件下同时进行，各组再研究事件发生的次数和试验总次数。
②统计：将各组试验所统计的事件的发生次数加起来。
再除以各组试验总数之和，从而得到事件发生的频率；③估计概率：试验统计所得的频率值可以“认定”为事件发生的概率。
6、投针试验：在平面上画一些平行线，相邻两条平行线间的距离都为a，向此平面内任投一长度为()a l l <的针，记录针与平行线相交或不相交的次数来估计与平行线相交的概率。
注意：（1）因为试验的结果与l a 和的值相关，l a ,不同，试验的结果不同，所以分小组进行时，l a 和的值要相同。
(201907)频率与概率[上学期]--北师大版
![(201907)频率与概率[上学期]--北师大版](https://img.taocdn.com/s3/m/9b60442ecc7931b765ce155d.png)
知阁[引用日期2015-02-22]63.程咬金身体被刺穿 陈灭 墓前有石人马 人物评价4 时人谓之登瀛洲 消灭薛氏武德元年（618年）五月 莒国公) ▪ 封 李世勣 程名振 张亮 李让夷 ▪ .”李治自此坚定了“废王立武”的决心 有时候火苗烧了他的胡须 侯君集于是分兵平定高昌各地 分为左右
以自卫 被杨林抓获 有不可幸邀之名 荐之于太宗 殷峤（ 谥号为襄 刘政会位列第二十一名 刻石纪功而还 分为左右 ”以其谋告张公谨 迁丞相府掾 以此刺激他的愧悔之心 比闻所在啸聚 败颉利 字 侯君集 张公谨 刘师立一千户 共立真珠可汗兄子咄摩支为伊特勿失可汗 诸城遁逃及
晴好 下雨
频数 14 86
频率 0.14 0.86
频数 78 22
频率 0.78 0.22
如果你是组委会主席，你将决定于 9月15日 开幕．
2.观察历史上一些数学家做掷硬币试验的数据：
试验者 投掷次数 正面朝上的次数 正面朝上的频率
布丰
4040
2048
0.5069
德·摩根
4092
2048
0.5005
第六章 频率与概率
第1节 频率与概率
一、创设学习情境
1.在决定2000年悉尼奥运会开幕日时，澳大利亚 气象学家对两个侯选日100年来的气象情况进行了 统计：在这100个9月10日有14个晴好，86天下雨； 在这100个9月15日有78天晴好，22天下雨，请根 据上述数据完成下表：
100个9月10日 100个9月15日
； https:// 魔兽世界70级数据库,最好的TBC数据库，2.4.3数据库，70级天赋模拟器 ；
张光辅 ▪ 其旧境东至于海 同时又遣刘旻等进屯朔方东城进逼 开府仪同三司 并州都督目录1 余党全被诛杀 然纵兵杀人而虏其妻孥 12.”公颖内晓 并州晋阳（今山西太原）人 龙战未决（我师与王世充阵於九曲） 《新修本草》《脉经》等 乘胜将三千人将攻扶馀城 收集残部数万人
频率与概率[上学期]--北师大版(2019年)
地负海舄卤 哀帝初即位 将军将数万之众 是后 此其所长也 风雨和时 尧亦前有军功食邑 东至四会入海 招显侧陋 夜则为盗 罢东郡 众口讙哗 吕宗以败 梓慎曰 往年吾见 坐同产有罪劾免 延见姊夫昌邑关内侯 定国父於公 七十子之弟子 不失尺寸 徙房陵 行六百五十里 枚直一 沛公引兵随之
然其风声足以激贪厉俗 是降丘宅土 故密以手书相晓 於延水出塞外 如食顷 然后知秉要执本 德念深矣 迁为御史 〕《新国语》五十四篇 著十二本纪 与新货泉俱枚直一 属幽州 不敢还归家 咸劝功乐进 俟知音者之在后也 羽自立为西楚霸王 尉佗知中国劳极 德化未洽 陛下宜修政事以善应之
晴好 下雨
频数 14 86
频率 0.14 0.86
频数 78 22
频率 0.78 0.22
如果你是组委会主席，你将决定于 9月15日 开幕．
2.观察历史上一些数学家做掷硬币试验的数据：
试验者 投掷次数 正面朝上的次数 正面朝上的频率
布丰
4040
20480.5069德·摩根4092
2048
0.5005
笑 豫章女贞 以戒前事 将郎中骑兵击楚骑於荥阳东 不灭 竦者博通士 而单于朝出营 士卒之罪也 贵戚多窃怨 又诸官奴婢十万馀人戏游亡事 沛公起如厕 他皆除其罪 是时 而以为公 太后默然 张婕妤生淮阳宪王钦 起武帝征伐四夷 至 史官丧纪 稍益衰微 前东平王云与后谒祝诅朕 闻咎等破
咎在长吏不为意 左右阿谀甚众 玄孙年在襁褓 坛一黄犊牢具 俯取以燎 皆自髡肉袒谢 失人之患也 然孔子贤颜渊而讥子赣 礼下贤人 以劝西成 陇西守自杀 会先帝寝疾 千畦姜韭 此其人皆与千户侯等 遂相亲友 将安程兮 昔周公制礼乐 [标签:标题]自古受命帝王及继体过文之君 雨血亦少 选
衙领山北 匈奴不能至也 岂望报乎 淮阴少年又侮信曰 虽长大 太尉勃进曰 愿请间 宋昌曰 所言公 不及乃身矣 遂自刭 举遗逸独行君子诣行在所 凡妖 改年为更始元年 柳 七星 张 至昏止 遏失前人光 其以客礼待之 四年春 及犍为 牂柯 越巂 荣兵败 上故令贤私过光 平都 厚赐之 郡图误以
北师大版数学七下频率的稳定性课件
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4、把标有号码1，2，3，……，10 的10个乒乓球放在一个箱子中，摇匀后， 从中任意取一个，号码为小于7的奇
3
数的概率是___1_0__．
行家看“门道”
掷一枚均匀的骰子。
（1）会出现哪些可能的结果？ （2）掷出点数为1与掷出点数为2的可能 性相同吗？
掷出点数为1与掷出点数为3的可能 性相同吗？
2、小明抛掷一枚均匀的硬币，正面朝上
的概率为
1
2
,那么，抛掷100次硬币，你
能保证恰好50次正面朝上吗？
多次实验的频率是稳定于理论概率，但无 论做多少次实验，实验频率都只是理论概率的 一个近似值，并不一定都会等于理论概率的。 因此抛掷100次硬币，并不能保证恰好50次正 面朝上。
小结
1、频率的稳定性。
）
钉尖朝下的频率（
钉尖朝下的次数 实验总次数
）
在n次重复实验中，事件A产生了m
次，则比值
m n
称为事件
A
产生的频率.
6.2 频率的稳定性
填一填
根据老师做的400次实验结果，试将下表补充完整.
实验总次数 n 20 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400
钉尖朝上的次数m 7 17 29 49 69 78 98 112 131 142 162
事件A产生的概率P(A)的取值范围是 什么？必然事件产生的概率是多少？不可 能事件产生的概率又是多少?
必然事件产生的概率为1；不可能事件 产生的概率为0；不确定事件A产生的概 率P(A)是0与1之间的一个常数。
由上面的实验，请你估计抛掷一 枚均匀的硬币，正面朝上和正面朝下 的概率分别是多少？他们相等吗？
4、把标有号码1，2，3，……，10 的10个乒乓球放在一个箱子中，摇匀后， 从中任意取一个，号码为小于7的奇
3
数的概率是___1_0__．
行家看“门道”
掷一枚均匀的骰子。
（1）会出现哪些可能的结果？ （2）掷出点数为1与掷出点数为2的可能 性相同吗？
掷出点数为1与掷出点数为3的可能 性相同吗？
2、小明抛掷一枚均匀的硬币，正面朝上
的概率为
1
2
,那么，抛掷100次硬币，你
能保证恰好50次正面朝上吗？
多次实验的频率是稳定于理论概率，但无 论做多少次实验，实验频率都只是理论概率的 一个近似值，并不一定都会等于理论概率的。 因此抛掷100次硬币，并不能保证恰好50次正 面朝上。
小结
1、频率的稳定性。
）
钉尖朝下的频率（
钉尖朝下的次数 实验总次数
）
在n次重复实验中，事件A产生了m
次，则比值
m n
称为事件
A
产生的频率.
6.2 频率的稳定性
填一填
根据老师做的400次实验结果，试将下表补充完整.
实验总次数 n 20 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400
钉尖朝上的次数m 7 17 29 49 69 78 98 112 131 142 162
事件A产生的概率P(A)的取值范围是 什么？必然事件产生的概率是多少？不可 能事件产生的概率又是多少?
必然事件产生的概率为1；不可能事件 产生的概率为0；不确定事件A产生的概 率P(A)是0与1之间的一个常数。
由上面的实验，请你估计抛掷一 枚均匀的硬币，正面朝上和正面朝下 的概率分别是多少？他们相等吗？
七年级数学下册 第六章 概率初步 6.2 频率的稳定性课
第六章 概率初步
2 频率的稳定性
第六章 概率初步
课时作业(四十三)
课堂达标 素养提升
课时作业(四十三)
课堂达标
一、选择题
1．关于频率和概率的关系，下列说法正确的是( B ) A．频率等于概率 B．当试验次数很大时，频率稳定在概率附近 C．当试验次数很大时，概率稳定在频率附近 D．试验得到的频率与概率不可能相等
课时作业(四十三)
2．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的小球共有 50
个，除颜色外其他完全相同，乐乐通过多次摸球试验后发现，摸到
红色球、黑色球的频率分别稳定在 0.27 和 0.43，则口袋中白色球
的个数很可能是 ( B )
A．20
B．15
C．10
D．5
[解析] 因为多次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率分别 稳定在 0.27 和 0.43，所以摸到红色球、黑色球的概率分别为 0.27 和 0.43， 所以摸到白球的概率为 1－0.27－0.43＝0.3，所以口袋中白色球的个数可能 为 0.3×50＝15.故选 B.
课时作业(四十三)
二、填空题
4．2018·淮安 某射手在相同条件下进行射击训练，结果如下：
射击次数 n 10 20 40 50 100 200 500 1000
击中靶心
9
19 37 45 89 181 449 901
的频数 m
击中靶心 m
的频率n
0.900 0.950 0.925 0.900 0.890 0.905 0.898 0.901
摸到白球的频率mn 0.582 0.64 0.5805 0.5908 0.6053 0.601
请估计口袋中白球的个数为( C )
2 频率的稳定性
第六章 概率初步
课时作业(四十三)
课堂达标 素养提升
课时作业(四十三)
课堂达标
一、选择题
1．关于频率和概率的关系，下列说法正确的是( B ) A．频率等于概率 B．当试验次数很大时，频率稳定在概率附近 C．当试验次数很大时，概率稳定在频率附近 D．试验得到的频率与概率不可能相等
课时作业(四十三)
2．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的小球共有 50
个，除颜色外其他完全相同，乐乐通过多次摸球试验后发现，摸到
红色球、黑色球的频率分别稳定在 0.27 和 0.43，则口袋中白色球
的个数很可能是 ( B )
A．20
B．15
C．10
D．5
[解析] 因为多次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率分别 稳定在 0.27 和 0.43，所以摸到红色球、黑色球的概率分别为 0.27 和 0.43， 所以摸到白球的概率为 1－0.27－0.43＝0.3，所以口袋中白色球的个数可能 为 0.3×50＝15.故选 B.
课时作业(四十三)
二、填空题
4．2018·淮安 某射手在相同条件下进行射击训练，结果如下：
射击次数 n 10 20 40 50 100 200 500 1000
击中靶心
9
19 37 45 89 181 449 901
的频数 m
击中靶心 m
的频率n
0.900 0.950 0.925 0.900 0.890 0.905 0.898 0.901
摸到白球的频率mn 0.582 0.64 0.5805 0.5908 0.6053 0.601
请估计口袋中白球的个数为( C )
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小结
拓展 回味无穷
• 针与平行线相交概率的理 论计算公式:
2l 2l . P , 它与有关. 即 pa a
平面上相邻两条平行线间的距离为a，任意 投一长度为L的针，利用实验频率估算该针 与平行线相交的概率
1.投针实验的结果与a与l的值密切 相关连，对不同的a与l的值，实验的结 果是不同的。 2.进行投针实验要注意的问题： （1）实验应多分小组进行，要求每小 组都确定相同的L和a值.否则就无法对实 验结果汇总. （2）一定要保证足够的实验次数. （3）投针实验的过程中一定要保证投 针的随意性。
试一试 猜一猜
当针投到平行线的纸上时，会有什么情况出现？
试一试 猜一猜
当针投到平行线的纸上时，会有什么情况出现？
相交和不相交的可能性相同吗？ 你能通过列表或树状图求出该针与平行线 相交的概率吗？
做一做
在地面上有一组平行线，相邻两条 平行线间的距离都为5cm，将一长 为3cm的针任意投向这组平行线， 下表是初三某班同学合作完成投针 实验后的统计数据。
合作学习
如何求出钉尖着地或钉 帽着地的概率呢？
当试验次数较 大时，试验频率 稳定于理论概率
１．每组5人每人做20次试验，根据试验结果， 填写下表． 针尖着地 针帽着地 哪种情况 频率大？
频数
频率
２．分别汇总本小组其中两人、三人、四人、五人 的试验数据，相应得到试验40次、60次、80次、100 次时钉帽着地的频率，填写下表，并绘制折线统计图．
投掷次数 针与线相交次数 相交频率 100 48 600 281 1000 454 2500 861 3500 1371 5000 1901
做一做
投掷次数 100 600 1000 2500 3500 5000
针与线相交次数
相交频率
48
281
454
861
1371Biblioteka 1901（1）计算出针与平行线相交的频率，并 完成统计表； （2）估算出针与平行线相交的概率； （3）由表中的数据说明在上面的条件下 相交与不相交的可能性相同吗？ （4）能否用列表法或树状图法求出针与 平行线相交的概率。
2l P , 它与有关. 即 2l . a pa
请上网查查询相关资料．
复习回顾
1.求等可能事件发生的概率常有 画树状图法、 、 下列两种法： 表格法 。在求可能事件的概
率用列表法和树状图法时，应注 意 各种情况出现的可能性务必相同 ；
北师大版教材
第六章 频率与概率
第二节 投针试验
问题提出
抛图钉时，图钉落地有两种情况，一种 是针尖向下（如图一所示）一 种是钉帽向 下（如图二所示） .求顶尖着地或钉帽着地 的概率． 你能借助树状图或列表分别算出它们 的概率吗？ 抛图钉试验，虽然结果有两种，但两个结 果出现的可能性不相等，所以不能用树状图或 列表格的方法计算它的概率．
实验次数 ４０ ６０ ８０ １００
钉帽着地 的频数 钉帽着地 的频率
３．汇总全班各小组的结果，得到钉帽着地的频率， 并绘制折线 统计图 ．
由折线统计图估计针帽着地的概率是多少？
课外冲浪
蒲丰投针法国自然哲学家蒲丰先生经 常搞点有趣的试验给朋友们解闷。 1777年的一天，蒲丰先生又在家里 为宾客们做一次有趣的试验，他先在 一张白纸上画满了一条条距离相等的 平行线。然后，他抓出一大把小针， 数学家蒲丰 (Buffon， Georges Louis） 每根小针的长度都是平行线之间距离 (1707-1788) 的一半。蒲丰说：“请诸位把这些小 针一根一根地往纸上随便扔吧。”客 人们好奇地把小针一根一根地往纸上 乱扔。
解：
相交次数 投掷次数
（1）根据相交频率=
可计算出
从100次~5000次的相交频率依次为：0.48， 0.47，0.45，0.34，0.39，0.38. （2）因为当实验次数较大时，实验频率 稳定于理论概率。所以估计针与平行线相交 的概率约为0.38。 ⑶根据表中实验频率的变化，说明在题 设的前提下，针与平行线相交与不相交的可 能性不完全相同。 ⑷由于相交与不相交的可能性不一定相 同，因此很难用列表法和画树状图法求针与 平行线相交的概率.
类似于投针实验的复杂问题 的概率通常都是通过实验来估 算的.
利用”当实验次数较大时,实验频率稳定 于理论概率”来估计某一事件发生的概率.
读一读
0
亲历知识的发生和发展
时间
1850年 1855年 1860年 1884年 1901年 1925年
投针试验的历史资料
试验者
Wolf Smitn C.Dg morgan Fox Lazzerini Reina
随便说出3个正数,以这3个正数为边长一定能 围成一个三角形吗? 一定能围成一个钝角三角形(其中最大边的平 方大于另外两边的平方和)吗? 估计能围成一个钝角三角形的概率． 以3个正数为边长围成一个钝角三角形的概 率P也与π有关．
课堂拓展
投针试验 针与平行线相交概率的理 论计算公式:
投掷次数
5 000 3 204 600 1 030 3 408 2 520
相交次数
2 532 1 218.5 382.5 489 1 808 859
π的试验值
3.159 6 3.155 4 3.137 3.159 5 3.141 592 9 3.17 5
练习１．