线性代数知识点总结第一章
考研数学《线性代数》考点知识点总结
4．两行(列)元素成比例的行列式为零．记作： rj ri k （ cj ci k ） D 0 ．
a11 a12 (a1i a1i ) a1n
a11 a12 a1i a1n a11 a12 a1i a1n
5． D
a21
a22
(a2i
a2i )a2n
D
a21
a22
a2i a2n
矩阵转置： 若 Α (aij ) ，则 ΑT (a ji ) (A B)T AT BT ，(AB)T BTAT 若 A AT ， A 为对称阵
方阵的行列式： n 阶方阵 A 元素构成的行列式，记 A 或 det A ．
伴随矩阵：
A11
A*
A12
A1n
A21 A22
二元线性 方程组：
aa1211xx
a12 y a22 y
b1 b2
第一章 行列式
D a11 a21
a12 a22
， D1
b1 b2
a12 a22
， D2
a11 a21
b1 b2
x D1 ， y D2
D
D
排列的逆 序数：
n
t ti （ ti 为排列 p1 p2 pn 中大于 pi 且排于 pi 前的元素个数）
D1 D
, x2
D2 D
,, xn
Dn D
，其中 D j
a11
an1
a1, j1 b1 a1, j1
an, j1 bn an, j1
a1n
ann
( j 1,2,, n) ．
定理 4： 若上线性方程组的系数行列式 D 0 ，则方程组一定有惟一解；若无解或有两个不同解，则 D 0 ．
线性代数重要知识点及典型例题答案
线性代数知识点总结第一章行列式二三阶行列式N阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n个元素的乘积的和a j n=迟（-1）"" "a ij i a2j2...a nj n j l j2 j n（奇偶）排列、逆序数、对换行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。
（转置行列式D=D T）②行列式中某两行（列）互换，行列式变号。
推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。
③常数k乘以行列式的某一行（列），等于k乘以此行列式。
推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零；推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零。
④行列式具有分行（列）可加性⑤将行列式某一行（列）的 k倍加到另一行（列）上，值不变行列式依行（列）展开：余子式皿厂代数余子式A j =（-1）厲皿耳定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。
克莱姆法则：D j非齐次线性方程组：当系数行列式D式0时，有唯一解：X j =—=1、2……n）D齐次线性方程组：当系数行列式D=1^0时，则只有零解逆否：若方程组存在非零解，则D等于零特殊行列式:a ii a i2 a i3 a ii a2i a3i①转置行列式：a2i a 22 a23 T a i2 a22 a32a3i a 32 a 33 a i3 a23 a33②对称行列式：a j = a j i③反对称行列式：a j = -a ji奇数阶的反对称行列式值为零⑤上（下）三角形行列式： 行列式运算常用方法（主要）行列式定义法（二三阶或零元素多的） 化零法（比例）化三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、lA* B = ( a ik )m*l * (b kj )l*n 二(•— a ik b kj ) m*n乘法1注意什么时候有意义般AB=BA ，不满足消去律；由 AB=0，不能得 A=0或B=0方幕：A kl A k ^ A k1 k2(A kl )k2 = A kl k2对角矩阵:若 AB 都是 N 阶对角阵，k 是数，则 kA 、A+B 、数量矩阵：相当于一个数（若……） 单位矩阵、上 （下）三角形矩阵（若……） 对称矩阵 反对称矩阵阶梯型矩阵：每一非零行左数第一个非零元素所在列的下方是0a 11 a 12 a 13④三线性行列式：a 21 a 22a 31a 33方法：用k022把a 2i 化为零，。
线性代数知识点总结(第1、2章)
线性代数知识点总结（第1、2章）（一）行列式概念和性质1、逆序数：所有的逆序的总数2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和3、行列式性质：（用于化简行列式）（1）行列互换（转置），行列式的值不变（2）两行（列）互换，行列式变号（3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k 乘此行列式（4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。
（5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不变。
（6）两行成比例，行列式的值为0。
（二）重要行列式4、上（下）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘6、Laplace展开式：（A是m阶矩阵，B是n阶矩阵），则7、n阶（n≥2）范德蒙德行列式数学归纳法证明★8、对角线的元素为a，其余元素为b的行列式的值：（三）按行（列）展开9、按行展开定理：（1）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值（2）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于0（四）行列式公式10、行列式七大公式：（1）|kA|=k n|A|（2）|AB|=|A|·|B|（3）|A T|=|A|（4）|A-1|=|A|-1（5）|A*|=|A|n-1（6）若A的特征值λ1、λ2、……λn，则（7）若A与B相似，则|A|=|B|（五）克莱姆法则11、克莱姆法则：（1）非齐次线性方程组的系数行列式不为0，那么方程为唯一解（2）如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解，则它的系数行列式必为0（3）若齐次线性方程组的系数行列式不为0，则齐次线性方程组只有0解；如果方程组有非零解，那么必有D=0。
（六）矩阵的运算12、矩阵乘法注意事项：（1）矩阵乘法要求前列后行一致；（2）矩阵乘法不满足交换律；（因式分解的公式对矩阵不适用，但若B=E,O,A-1，A*,f(A)时，可以用交换律）（3）AB=O不能推出A=O或B=O。
线性代数详细知识点
线性代数 第一章 行列式§1 二阶和三阶行列式一、二元一次线性方程组与二阶行列式结论：如果112212210a a a a -≠，如此二元线性方程组11112212112222a x a xb a x a x b +=⎧⎨+=⎩ 的解为122122*********b a a b x a a a a -=-，1121212112121a b b a x a b b a -=-。
定义：设11122122,,,a a a a ，记11221221a a a a -为11122122a a a a 。
称11122122a a a a 为二阶行列式 有了行列式的符号，二元线性方程组的求解公式可以改写为112222*********b a b a x a a a a =，111122211122122a b a b x a a a a =二、三阶行列式与三元一次线性方程组定义：111213212223313233a a a a a a a a a 112233122331132132132231122133112332a a a a a a a a a a a a a a a a a a =++---定理：如果1112132122233132330a a a D a a a a a a =≠，如此***123(,,)x x x 是下面的三元线性方程组的解111122133121122223323113223333a x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 当且仅当*1x =112132222333233/b a a b a a D b a a ,*2x =111132122331333/a b a a b a D a b a ,*3x =111212122231323/a a b a a b D a a b 其中111213212223313233a a a a a a a a a 为系数行列式。
大学线性代数最全知识点公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件
a12 a11a22 a12a21 .
a22
对于二元线性方程组
aa1211
x1 x1
a12 x2 a22 x2
b1 , b2 .
若记
D a11 a12 ,
系数行列式
a21 a22
第6页
aa1211
x1 x1
a12 x2 a22 x2
b1 , b2 .
D a11 a12 , a21 a22
定义: 一个排列中所有逆序总数称为此排列逆序 数.
第31页
比如: 排列32514 中, 0 01
32514
1 逆序数为3
故此排列逆序数为: 3+1+0+1+0 = 0+1+0+3+1 = 5. 逆序数为奇数排列称为奇排列; 逆序数为偶数排列称为偶排列. 计算排列逆序数办法 办法1: 分别计算出排在1,2, ···, n 前面比它大数码
b1 b2
a12 , a22
aa1211
x1 x1
a12 x2 a22 x2
b1 , b2 .
D2
a11 a21
b1 . b2
第9页
则二元线性方程组解为
b1
x1
D1 D
b2 a11
a21
a12 a22 , a12 a22
a11
x2
D2 D
a21 a11
a21
b1 b2 . a12 a22
第10页
a31 a32 a33
第18页
aa2111
x1 x1a12 x2 a22 源自2a13 x3 a23 x3
b1 , b2 ,
a31 x1 a32 x2 a33 x3 b3;
大一线性代数第一章知识点
大一线性代数第一章知识点线性代数是现代数学的一个重要分支，它研究向量空间和线性映射之间的关系。
在大一的线性代数课程中，第一章是介绍向量和矩阵的基本概念。
以下将对第一章的几个知识点进行论述。
一、向量的定义和性质在线性代数中，向量是一个有大小和方向的量。
它可以用一个有序的数组表示，每个数组元素代表向量在某个坐标轴上的分量。
向量有很多基本性质，包括加法、数乘、模长等。
其中，向量的加法和数乘是线性代数中最基本的运算。
向量的加法满足交换律和结合律，数乘满足结合律和分配律。
二、向量空间的定义和性质向量空间是指具有加法和数乘运算的集合，满足一定的公理。
在线性代数中，向量空间是向量运算的集合，它具有许多基本性质。
向量空间中的向量可以进行加法和数乘运算，并且满足一些规律，如交换律、结合律和分配律等。
三、矩阵的定义和性质矩阵是线性代数中另一个重要的概念。
它由若干行和列组成的矩形阵列。
矩阵可以表示为一个矩阵元素的矩阵，每个矩阵元素代表矩阵在某个位置上的值。
矩阵有许多基本性质，包括加法、数乘、乘法等。
矩阵的加法和数乘满足一些基本规律，如交换律和结合律。
矩阵的乘法是线性代数中比较复杂的运算，它是指将两个矩阵相乘得到一个新的矩阵，满足一定的规律。
四、矩阵的行列式和逆矩阵行列式是一个与矩阵相关的数值，它可以用来判断一个矩阵的特征。
对于一个n阶矩阵，它的行列式是一个数值，代表了矩阵的一些性质。
行列式有一些基本性质，如反演性、行列式的性质和行列式的计算方法等。
逆矩阵是指一个矩阵与其逆矩阵相乘得到单位矩阵。
只有非奇异矩阵才有逆矩阵，奇异矩阵没有逆矩阵。
矩阵的逆矩阵具有一些基本性质，如逆矩阵的性质和逆矩阵的计算方法等。
五、线性方程组的解法线性方程组是线性代数中的一个重要概念，它由一系列线性方程组成。
线性方程组的解是指使得方程组成立的未知数的值。
线性方程组的解法有很多种，包括高斯消元法、矩阵求逆法和向量法等。
高斯消元法是一种常用的解线性方程组的方法，它通过一系列消元和代入操作，将方程组转化为简化的阶梯形矩阵，进而求得方程组的解。
线性代数知识点归纳,超详细
线性代数复习要点第一部分行列式1. 排列的逆序数2. 行列式按行（列）展开法则3. 行列式的性质及行列式的计算行列式的定义1.行列式的计算：①(定义法)②（降阶法）行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.③(化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.④若都是方阵（不必同阶）,则⑤关于副对角线：⑥范德蒙德行列式：证明用从第n行开始，自下而上依次的由下一行减去它上一行的倍，按第一列展开，重复上述操作即可。
⑦型公式：⑧(升阶法)在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法.⑨(递推公式法) 对阶行列式找出与或,之间的一种关系——称为递推公式，其中,,等结构相同，再由递推公式求出的方法称为递推公式法.(拆分法) 把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，使问题简化以例计算.⑩(数学归纳法)2. 对于阶行列式，恒有：，其中为阶主子式；3. 证明的方法：①、；②、反证法；③、构造齐次方程组，证明其有非零解；④、利用秩，证明；⑤、证明0是其特征值.4. 代数余子式和余子式的关系：第二部分矩阵1.矩阵的运算性质2.矩阵求逆3.矩阵的秩的性质4.矩阵方程的求解1.矩阵的定义由个数排成的行列的表称为矩阵.记作：或①同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等.②矩阵相等: 两个矩阵同型，且对应元素相等.③矩阵运算a. 矩阵加（减）法：两个同型矩阵，对应元素相加（减）.b. 数与矩阵相乘：数与矩阵的乘积记作或，规定为.c. 矩阵与矩阵相乘：设, ,则，其中注：矩阵乘法不满足：交换律、消去律, 即公式不成立.a. 分块对角阵相乘：,b. 用对角矩阵○左乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的○行向量；c. 用对角矩阵○右乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的○列向量.d. 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘.④方阵的幂的性质：，⑤矩阵的转置：把矩阵的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做的转置矩阵，记作.a. 对称矩阵和反对称矩阵:是对称矩阵.是反对称矩阵.b. 分块矩阵的转置矩阵：⑥伴随矩阵：，为中各个元素的代数余子式.,, .分块对角阵的伴随矩阵：，矩阵转置的性质：矩阵可逆的性质：伴随矩阵的性质：（无条件恒成立）r(A)与r(A*)的关系若r（A）=n，则不等于0，A*=可逆，推出r（A*）=n。
考研数学《线性代数》考点知识点总结
n
aki Akj
k 1
Dij
D, 0,
当i 当i
j, n
j;
或
k 1
aik
Ajk
Dij
D, 0,
当i 当i
j, j; 其中ij
1, 0,
当i j, 当i j.
1 1 1 1
范德蒙德 行列式：
x1 Dn x12
x2 x22
x3 x32
x n 1 1
x n 1 2
x n 1 3
xn xn2 ＝ (xi x j ) ．证明用数学归纳法．
A
0
A2
0
A11
，若
A
0 ，则 A1
As
0
A
1 2
0
A
1 s
性质： A A1 A2 As ，且 Ai 0 (i 1,2, , s) ，则 A 0 ．
行向量：
α1T
A mn
α
T 2
，
α
T m
αiT (ai1, ai2, , ain )
列向量：
A (a1, a2 , , an )
线性方程组有解，称它相容；无解，就称 它不相容．
（iii）有无限多解的充分必要条件是 R( A) R( A, b) n ．
线性方程组 Ax b 有解的充要条件是 R(A) R(A, b) ．
n 元齐次线性方程组 Ax 0 有非零解的充要条件是 R(A) n ．
矩阵方程 AX B 有解的充要条件是 R(A) R(A, B) ．
定理 2： n 阶行列式可定义为 D (1)t a a p11 p2 2 apnn = (1)t a1p1 a2 p2 anpn ．
1．D=DT，DT 为 D 转置行列式．(沿副对角线翻转，行列式同样不变)
考研线性代数知识点全面总结
《线性代数》复习提纲第一章、行列式1．行列式的定义：用2n 个元素ij a 组成的记号称为n 阶行列式。
（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n 个元素乘积的代数和； （2）展开式共有n!项，其中符号正负各半；<2．行列式的计算一阶|α|=α行列式，二、三阶行列式有对角线法则； N 阶（n ≥3）行列式的计算：降阶法定理：n 阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。
方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。
~特殊情况：上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积；◊行列式值为0的几种情况：Ⅰ 行列式某行（列）元素全为0； Ⅱ 行列式某行（列）的对应元素相同；Ⅲ 行列式某行（列）的元素对应成比例； Ⅳ 奇数阶的反对称行列式。
3.概念：全排列、排列的逆序数、奇排列、偶排列、余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1(。
定理：一个排列中任意两个元素对换，改变排列的奇偶性。
奇排列变为标准排列的对换次数为基数，偶排列为偶数。
n 阶行列式也可定义：n q q q na a a ⋯=∑21t211-D ）（，t 为n q q q ⋯21的逆序数4.行列式性质：1、行列式与其转置行列式相等。
%2、互换行列式两行或两列，行列式变号。
若有两行(列)相等或成比例，则为行列式0。
3、行列式某行（列）乘数k,等于k 乘此行列式。
行列式某行（列）的公因子可提到外面。
4、行列式某行（列）的元素都是两数之和，则此行列式等于两个行列式之和。
5、行列式某行（列）乘一个数加到另一行（列）上，行列式不变。
6、行列式等于他的任一行（列）的各元素与其对应代数余子式的乘积之和。
（按行、列展开法则）}7、行列式某一行（列）与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和为0.5.克拉默法则：：若线性方程组的系数行列式0D ≠，则方程有且仅有唯一解DD D Dx D D n =⋯==n 2211x ,x ，，。
大一线性代数知识点汇总
大一线性代数知识点汇总一、向量和矩阵线性代数是数学中重要的一部分，其基础知识主要涉及向量和矩阵的运算。
在大一学习线性代数时，我们需要掌握以下的基本知识点：1. 向量的定义和表示：向量由有序数构成，可以用箭头表示，也可以用坐标表示。
2. 向量的加法和减法：向量的加法满足交换律和结合律，减法可以转化成加法运算。
3. 向量的数量积：向量的数量积表示两个向量的乘积，满足分配律、结合律和交换律。
4. 向量的模和单位向量：向量的模表示向量的长度，单位向量表示模为1的向量。
5. 矩阵的定义和表示：矩阵由数按一定的行列排列而成，可以用方括号表示。
6. 矩阵的加法和减法：矩阵的加法和减法满足相应的运算法则。
7. 矩阵的乘法：矩阵的乘法不满足交换律，但满足结合律。
8. 矩阵的转置：矩阵的转置是将矩阵的行变为列，列变为行。
9. 矩阵的逆：若矩阵A存在逆矩阵A^-1，则A*A^-1=A^-1*A=I，其中I为单位矩阵。
二、线性方程组线性方程组也是线性代数中的重要内容，大一时需要学习如下的知识点：1. 线性方程组的定义和表示：由n个线性方程组成，其中每个方程都是关于未知数x1, x2, ..., xn的线性方程。
2. 线性方程组的解集：线性方程组的解集可以为空集、有唯一解、有无穷多解。
3. 线性方程组的解法：求解线性方程组主要有高斯消元法、矩阵的方法和克拉默法则。
4. 线性方程组的矩阵表示：用矩阵和向量表示线性方程组，通过高斯消元法求解。
5. 线性相关和线性无关：向量组中的向量经线性组合得到零向量时，称这个向量组线性相关；线性无关则相反。
6. 矩阵的秩：矩阵的秩是指线性无关的行向量或列向量的最大个数。
三、向量空间和线性映射向量空间和线性映射是线性代数的重要内容，大一需要学习以下的知识点：1. 向量空间：满足若干规定条件的向量的集合。
2. 向量空间的子空间：向量空间的非空子集，在子集中仍然满足向量加法和数量乘法的封闭性。
3. 基和维数：一个向量空间中的一组向量如果既线性无关又能张成整个向量空间，则称为基，向量空间的基的个数称为维数。
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线性代数知识点总结第一章
线性代数知识点总结
第一章 行列式
第一节:二阶与三阶行列式
把表达式11221221aaaa称为11122122aaaa所确定的二阶行列式,并记作11122112aaaa,
即1112112212212122.aaDaaaaaa结果为一个数。
同理,把表达式112233122331132132112332122133132231,aaaaaaaaaaaaaaaaaa称为由数表
111213
212223
313233
aaa
aaa
aaa
所确定的三阶行列式,记作111213212223313233aaaaaaaaa。
即111213212223313233aaaaaaaaa=112233122331132132112332122133132231,aaaaaaaaaaaaaaaaaa
二三阶行列式的计算:对角线法则
注意:对角线法则只适用于二阶及三阶行列式的计算。
利用行列式计算二元方程组与三元方程组:
对二元方程组11112212112222axaxbaxaxb
设111221220aaDaa1121222baDba1112212.abDab
则1122221111122122babaDxaaDaa,1112122211122122.ababDxaaDaa
对三元方程组111122133121122223323113223333axaxaxbaxaxaxbaxaxaxb,
设1112132122233132330aaaDaaaaaa,
线性代数知识点总结第一章
1121312222333233baaDbaabaa,1111322122331333abaDabaaba,11121
321222
31323
aab
Daabaab
,
则11DxD,22DxD,33DxD。(课本上没有)
注意:以上规律还能推广到n元线性方程组的求解上。
第二节:全排列及其逆序数
全排列:把n个不同的元素排成一列,叫做这n个元素的全排列(或排列)。
n个不同的元素的所有排列的总数,通常用Pn (或An)表示。(课本P5)
逆序及逆序数:在一个排列中,如果两个数的前后位置与大小顺序相反,即前面的数大于后面
的数,那么称它们构成一个逆序,一个排列中,逆序的总数称为这个排列的逆序数。
排列的奇偶性:逆序数为奇数的排列称为奇排列;逆序数为偶数的排列称为偶排列。(课本P5)
计算排列逆序数的方法:
方法一:分别计算出排在1,2,,1,nnL 前面比它大的数码之与即分别算出
1,2,,1,nnL
这n个元素的逆序数,这个元素的逆序数的总与即为所求排列的逆序数。
方法二:分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之与,即算出排列中每个元素的逆
序数,这每个元素的逆序数之总与即为所求排列的逆序数。(课本上没有)
第三节:n阶行列式的定义
定义:n阶行列式111212122212LLMMOMLnnnnnnaaaaaaDaaa等于所有取自不同行、不同列的n个元素的乘积
1212n
ppnp
aaaL
的代数与,其中p1 p2 … pn就是1, 2, … ,n的一个排列,每一项的符号由其逆序数
决定。1112112222112211220100ntnnnnnnnnaaaaaDaaaaaaaLLLLLMMOML也可简记为detija,
其中ija为行列式D的(i,j元)。
根据定义,有121212111212122212121LLLLLMMOMLnnnntpppnppnppppnnnnaaaaaaDaaaaaa
说明:
1、行列式就是一种特定的算式,它就是根据求解方程个数与未知量个数相同的一次方
程组的需要而定义的;
2、n阶行列式就是!n项的代数与;
3、n阶行列式的每项都就是位于不同行、不同列n个元素的乘积;
线性代数知识点总结第一章
4、1212nppnpaaaL的符号为1t,t的符号等于排列12,,...nppp的逆序数
5、一阶行列式aa不要与绝对值记号相混淆。
推论1:上,下三角行列式的值均等于其主对角线上各元素的乘积 。
即1112112222112211220100ntnnnnnnnnaaaaaDaaaaaaaLLLLLMMOML
推论2:主对角行列式的值等于其对角线上各元的乘积,副对角行列式的值等于121nn乘
以其副对角线上各元的乘积。
即1212nnLO,1122121nnnnLN
第四节:行列式的性质
定义 记111212122212nnnnnnaaaaaaDaaaLLMMOM,112111222212nnTnnnnaaaaaaDaaaLLMMOML,行列式TD称为行列式
D
的转置行列式。
性质1 行列式与它的转置行列式相等。
说明 行列式中行与列具有同等地位,因此凡就是对行成立的行列式的性质的对列也成
立。
性质2 互换行列式的两行 ijrr或列ijcc,行列式变号。
推论 如果行列式有两行(列)完全相同,则此行列式为零。
性质3 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数()jkrk,等于用数k乘此行列式;
推论1 D的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到D的外面;
推论2 D中某一行(列)所有元素为零,则=0D。
性质4 行列式中如果有两行(列)元素成比例,则此行列式为零.
性质5 若行列式的某一列(行)的元素都就是两数之与,则
1112111212222212()()()iin
iin
nnnininn
aaaaaaaaaaDaaaaa
LL
LL
MMMM
LL
线性代数知识点总结第一章
1112111112112122222122221212inin
inin
nnninnnnninn
aaaaaaaa
aaaaaaaa
aaaaaaaa
LLLL
LLLL
LLLLLLLLLL
LLLL
性质6 把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去,行
列式的值不变。
计算行列式常用方法:①利用定义;②利用运算 ijrkr把行列式化为上三角形行列式,从而算
得行列式的值。
说明 行列式中行与列具有同等的地位,行列式的6个性质凡就是对行成立的对列也同样
成立。
第五节 行列式按行(列)展开
余子式 在n阶行列式中,把元素ija所在的第i行与第j列划去后,留下来的1n阶行列式
叫做元素ija的余子式,记作ijM。
代数余子式 1ijijijAM记,叫做元素ija的代数余子式。
引理 一个n阶行列式,如果其中第i行所有元素除(i,j)(,)ij元外ija都为零,那么这行列式
等于ija与它的代数余子式的乘积,即ijijDaA。
定理 n阶行列式 111212122212LLMMOMLnnnnnnaaaaaaDaaa等于它的任意一行(列)的各元素与其对应的
代数余子式的乘积之与,即
1122iiiiinin
DaAaAaAL
,(1,2,,)inL1122jjjjnjnjDaAaAaAL或,
(1,2,,)jnL
。
扩展 范德蒙德(Vandermonde)行列式1222212111112111()LLLMMOMLnnnijnijnnnnxxxDxxxxxxxx
展开定理推论 n阶行列式 111212122212LLMMOMLnnnnnnaaaaaaDaaa的任意一行(列)的各元素与另一行
线性代数知识点总结第一章
(列)对应的代数余子式的乘积之与为零,即
11220()isisinsn
aAaAaAisL
11220()jtjtnjnt
aAaAaAjtL或