线性代数知识点总结第二章

线性代数知识点总结第二章 矩阵及其运算第一节 矩阵 定义由m n ⨯个数()1,2,,;1,2,,ija i m j n ==排成的m 行n 列的数表111212122212nn m m mna a a a aa a a a 称为m 行n 列矩阵。

简称m n ⨯矩阵，记作111212122211n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，简记为()()m n ij ij m nA A a a ⨯⨯===，,m n A ⨯这个数称为的元素简称为元。

说明 元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。

扩展几种特殊的矩阵：方阵 ：行数与列数都等于n 的矩阵A 。

记作：A n 。

行(列)矩阵：只有一行(列)的矩阵。

也称行(列)向量。

同型矩阵：两矩阵的行数相等，列数也相等。

相等矩阵：AB 同型,且对应元素相等。

记作：A ＝B 零矩阵：元素都是零的矩阵（不同型的零矩阵不同） 对角阵：不在主对角线上的元素都是零。

单位阵：主对角线上元素都是1，其它元素都是0，记作：E n (不引起混淆时，也可表示为E )（课本P29—P31）注意 矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个算式，一个数字行列式经过计算可求得其值，而矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数可以不同。

第二节 矩阵的运算矩阵的加法 设有两个m n ⨯矩阵()()ij ij A a B b ==和，那么矩阵A 与B 的和记作A B +，规定为111112121121212222221122n n n n m m m m mn mn a b a b a b a b a b a b A B a b a b a b +++⎛⎫⎪+++⎪+= ⎪⎪+++⎝⎭说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算。

（课本P33） 矩阵加法的运算规律()1A B B A +=+；()()()2A B C A B C ++=++()()1112121222113,()n n ij ij m nm n m m mn a a a a a a A a A a a a a ⨯⨯---⎛⎫⎪--- ⎪=-=-= ⎪⎪---⎝⎭设矩阵记，A -称为矩阵A 的负矩阵()()()40,A A A B A B +-=-=+-。

（课本P33） 数与矩阵相乘,A A A λλλ数与矩阵的乘积记作或规定为111212122211,n n m m mn a a a a a a A A A A A a a a λλλλλλλλλλλλλλ⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪⎪⎝⎭数与矩阵的乘积记作或规定为数乘矩阵的运算规律（设A B 、为m n ⨯矩阵，,λμ为数）()()()1A A λμλμ=； ()()2A A A λμλμ+=+；()()3A B A B λλλ+=+。

（课本P33） 矩阵相加与数乘矩阵统称为矩阵的线性运算。

矩阵与矩阵相乘 设(b )ij B =是一个m s ⨯矩阵，(b )ij B =是一个s n ⨯矩阵，那么规定矩阵A与矩阵B的乘积是一个m n ⨯矩阵(c)ij C =，其中()12121122j j i i is i j i j is sj sj b b a a a a b a b a b b ⎛⎫ ⎪ ⎪=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1sik kj k a b ==∑，()1,2,;1,2,,i m j n ==，并把此乘积记作C AB = 注意1。

A 与B 能相乘的条件是：A 的列数＝B 的行数。

2。

矩阵的乘法不满足交换律，即在一般情况下，AB BA ≠，而且两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵。

3。

对于n 阶方阵A 和B ，若AB=BA ，则称A 与B 是可交换的。

矩阵乘法的运算规律()()()1AB C A BC =； ()()()()2AB A B A B λλλ==()()3A B C AB AC +=+，()B C A BA CA +=+ ()4m n n n m m m n m n A E E A A ⨯⨯⨯⨯⨯==()5若A 是n 阶方阵，则称 A k 为A 的k 次幂，即kk A A A A =个，并且m k m kA A A +=，()km mk A A =(),m k 为正整数。

规定：A 0＝E注意 矩阵不满足交换律，即AB BA ≠，()kkkAB A B ≠（但也有例外）（课本P36）纯量阵 矩阵0E 0λλλλ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭称为纯量阵，作用是将图形放大λ倍。

且有()(E )E A A A λλλ==，A 为n 阶方阵时，有()(E )n n n n n E A A A λλλ==，表明纯量阵与任何同阶方阵都是可交换的。

（课本P36）转置矩阵把矩阵A 的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做A 的转置矩阵，记作A T，如122458A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，142528TA ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭。

转置矩阵的运算性质()()1TT AA =；()()2TT T A B A B +=+；()()3TT A A λλ=；()()4TT T AB B A =。

（课本P39） 方阵的行列式由n 阶方阵A 的元素所构成的行列式，叫做方阵A 的行列式，记作A 或det A （记住这个符号）注意矩阵与行列式是两个不同的概念，n 阶矩阵是n 2个数按一定方式排成的数表，而n阶行列式则是这些数按一定的运算法则所确定的一个数。

运算性质()1T A A =；()2nA A λλ=；(3)AB A B B A BA ===（课本P40）对称阵 设A 为n 阶方阵，如果满足A =A T ，即(),1,2,,ij ji a a i j n ==那么A 称为对称阵。

说明对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等，如果TA A =-则称矩阵A 为反对称的。

即反对称矩阵A =（a ij ）中的元素满足a ij ＝－a ji ，i ，j =1，2，…n 伴随矩阵行列式A 的各个元素的代数余子式ij A 所构成的如下矩阵112111222212n n nnnn A A A A A A A A A A *⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭称为矩阵A 的伴随矩阵。

性质 AA A A A E **==（易忘知识点）（课本P ？ ） 总结（1）只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算。

（2）只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘,且矩阵相乘不满足交换律。

（3）矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同。

第三节 逆矩阵定义对于n 阶矩阵A ，如果有一个n 阶矩阵B ,使得AB ＝BA ＝E 则说矩阵A 是可逆的，并把矩阵B 称为A 的逆矩阵。

1A A -的逆矩阵记作，1A B -=即。

说明1 A ，B 互为逆阵， A = B -12 只对方阵定义逆阵。

3.若A 是可逆矩阵，则A 的逆矩阵是唯一的。

定理1 矩阵A 可逆的充分必要条件是0A ≠，并且当A 可逆时，有1*1AA A-=（重要）（证明见课本P ？ ） 奇异矩阵与非奇异矩阵当0A =时，A 称为奇异矩阵，当0A ≠时，A 称为非奇异矩阵。

即0A A A ⇔⇔≠可逆为非奇异矩阵。

推论若(A=E)AB E =或B ，则1B A -=（证明见课本P ？ ）求逆矩阵方法**1(1)||||021(3)||A A A A A A -≠=先求并判断当时逆阵存在；（）求；求。

更好的求逆矩阵的方法--chapter3初等变换法（A,E) 逆矩阵的运算性质()()1111,,A A A A ---=若可逆则亦可逆且()()1112,0,,A A A A λλλλ--≠=若可逆数则可逆且。

()1113,,,A B AB AB B A ---=若为同阶方阵且均可逆则亦可逆且()。

（以上证明见课本P43）()()()114,,TT T A A A A --=若可逆则亦可逆且。

()115,A A A --=若可逆则有。

总结逆矩阵的计算方法()1待定系数法；()12A A A*-=利用公式；()()3初等变换法下一章介绍第四节 矩阵分块法矩阵分块将矩阵A 用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为A 的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。

分块的目的是为了简化运算。

分块矩阵的运算规则 加法 A 与B 同型，且A 、B 的分块方法相同，则A 与B 的和定义为对应子块相加。

数乘()ij A A λλ=。

转置112111121312222122231323,T T TT T T T A A A A A A A A A A A A A A ⎛⎫⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭设则。

(先外转再内转)乘法 首先AB 有意义，其次A 的列的分法与B 的行的分法相同。

,,A m l B l n ⨯⨯设为矩阵为矩阵分块成()1212,,(),()t n B B A A A A B B ⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭即列向量组即行向量组，1212,,,,,,,i i it j j tj A A A B B B 其中的列数分别等于的行数那么1111r s sr C C AB C C ⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭，()11,,;1,,tij ik kjk C A B i s j r ====∑其中。

结论 分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似。

分块对角阵（准对角矩阵）设A 为n 阶矩阵，若A 的分块矩阵只有在主对角线上有非零子块，其余子块都为零矩阵，且非零子块都是方阵，即12s A A A A ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，()1,2,iA i s =其中都是方阵，则有：121)s A A A A =。

122)0,,i s A A A A A A ⎛⎫⎪⎪≠= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭若每个则可逆且有，()1111121,2,,,,,i s A A i s A diag A A A ----⇔==可逆可逆且（diag （A ）表示对角阵A ）（课本P ？ ）有用的结论 TA A O,A O P?==设则（证明见课本）线性方程组的分块表示线性方程组1111221121122222m11m22m ..............................................n n n n n n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩，111112112221222212......A (), , , ...n n ij n m m m mnm x b a a a b x b a a a b a x b B x b a a a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭记， 其中A 为系数矩阵，x 称为未知数向量，b 称为常数向量，B 称为增广矩阵。