沪教版 八年级数学 寒假班讲义 分式方程(解析版)

可化为一元二次方程的分式方程知识结构模块一：分式方程及其解法知识精讲1、分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2、解分式方程的方法通过去分母把分式方程转化为整式方程，再求解．3、增根的概念分式方程在化整式方程求解过程中，整式方程的解如果使得分式方程中的分母为0，那么这个解就是方程的增根．4、解分式方程的一般步骤（1）方程两边都乘以最简公分母，去分母，化成整式方程；（2）解这个整式方程，求出整式方程的根；（3）检验．有两种方法：①将求得的整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，则这个根为增根，方程无解；如果最简公分母不等于0，则这个根为原方程的根，从而解出原方程的解；②直接代入原方程中，看其是否成立．如果成立，则这个根为原方程的根，从而解出原方程的解；如果不成立，则这个根为增根，方程无解．5、分式方程组的概念由两个或两个以上的分式方程构成的方程组叫做分式方程组．6、解分式方程组的方法找出分式方程组中相同的分式进行换元，将分式方程组转化为整式方程组，解方程组，然后进行检验．【例1】在3253x +=；11(1)(1)432x x ++-=；21x-=；2371x x x ++=-；1(37)x x -中，分式 方程有（ ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】根据分式方程的定义，分母中含有未知数的方程是分式方程，（1）（2）两个方程分 母中不含未知数，（5）不是方程，（3）（4）满足定义，故选B ．【总结】考查分式方程的定义，注意前提是方程，且方程分母中必含有字母．【例2】分式方程2227381x x x x x +=+--的最简公分母是____________． 【答案】3x x -．【解析】分式方程中三个分母位置上分别为2x x +，2x x -，21x -，分解因式的结果分别为()1x x +，()1x x -，()()11x x +-，由此可得方程的最简公分母为()()311x x x x x +-=-． 【总结】考查分式方程的最简公分母，将每个分母因式分解，取相同因式的最高次数乘积即为分式方程的最简公分母．【例3】直接写出下列分式方程的根：（1）11211x x x -=---：_________________；（2）11111x x x -=---：_________________； （3）2121x x -=-：_________________；（4）2111x x -=-：_________________． 【答案】（1）2x =；（2）无解；（3）无解；（4）0x = ． 【解析】（1）根据等式性质，两边同时加上分式部分，即得2x =， 检验得2x =是原分式方程的根；（2）根据等式性质，两边同时加上分式部分，即得1x =，检验得1x =为方程的增根， 即方程无解；（3）约分得12x +=，解得1x =，检验得1x =为方程的增根，即方程无解；例题解析（4）约分得11x +=，解得0x =，检验得0x =是原分式方程的根． 【总结】考查根据等式的性质求解简单的分式方程，注意求解结果是否是增根．【例4】用换元法解方程221165380x x x x ⎛⎫⎛⎫+++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设1y x x =+，则方程变为( )A ．265380y y +-=B ．265400y y +-=C ．265260y y +-=D ．265500y y +-=【答案】D【解析】1y x x =+，则有22221122x x y x x ⎛⎫+=+-=- ⎪⎝⎭，原方程即为()2625380y y -+-=，展开整理即为265500y y +-=，故选D ．【总结】考查分式方程中换元法的应用，注意含有未知数部分的恒等变形转化．【例5】解方程： （1）3363142x x -=-+；（2）43252x xx x =++；（3）23312222x x x x x ++=--+-． 【答案】（1）123x =，29x =-；（2）10x =，267x =-；（3） 无解． 【解析】（1）方程两边同乘()()43123x x -+，得()()()()42312831x x x x +--+=-，整理得2325180x x +-=，解得123x =，29x =-，经检验，123x =，29x =-都是原方程的根；（2）方程两边同乘()()3252x x ++，得()()52432x x x x +=+，整理得2760x x +=，解得：10x =，267x =-，经检验，10x =，267x =-都是原方程的根；（3）方程两边同乘()()212x x +-，得()()()63221x x x ++-=+，整理得220x x --=，解得：11x =-，22x =，经检验，11x =-，22x =都是原方程的增根，即原方程无解． 【总结】考查分式方程的解法，注意检验所求是否为增根．【例6】解方程：（1）2213211x x x x -=+--； （2）24221422x x x x =++--+；（3）23211214124x x x x++=+--． 【答案】（1）13x =-；（2）6x =；（3）54x =．【解析】（1）方程两边同乘21x -，得()221213x x x x +=-+-，整理得23210x x --=，解得：113x =-，21x =，经检验，21x =是原方程的增根，即原方程的根为13x =-；（2）方程两边同乘24x -，得()()2442222x x x x =--++-，整理得24120x x --=，解得：16x =，22x =-，经检验，22x =-是原方程的增根，即原方程的根为6x =； （3）两边同乘()2241x -，得()()()2621421241x x x x -+-+=-，整理得 281450x x -+=，解得：112x =，254x =，经检验，112x =是原方程的增根， 即原方程的根为54x =． 【总结】考查分式方程的解法，注意检验所求是否为增根．【例7】已知关于x 的方程22312x m x x x +-=-+-有增根，求m 的值． 【答案】12m =或3m =．【解析】分式方程两边同乘22x x +-，得()223x m +=-，分式方程有增根，由220x x +-=，解得：11x =，22x =-，即为原分式方程的增根，代入相应整式方程得39m -=或30m -=，解得12m =或3m =．【总结】考查分式方程的增根，代入相应的整式方程可使得方程成立且使得分式分母为0的未知数的值．【例8】已知关于x 的方程7155x m xx x--=---无解，求m 的值． 【答案】3m =．【解析】分式方程两边同乘5x -，得()75x x m x -=---，整理解得：2x m =+，因为原 分式方程无解，则相应解应为分式方程的增根，即得25x m =+=，解得3m =． 【总结】考查分式方程的无解，即由相应整式方程求得的解是分式方程的增根．【例9】已知关于x 的方程301a xx +-=+的根是负数，求a 的取值范围． 【答案】3a <且1a ≠．【解析】分式方程两边同乘1x +，得()310a x x +-+=，整理解得：32a x -=，方程的根是 负数，则有302a x -=<，得3a <，同时分式方程的根不能为相应增根，即312a x -=≠-，得1a ≠，由此即得3a <且1a ≠．【总结】考查分式方程的解满足条件的求解，注意方程的解不能为相应的增根．【例10】解方程：（1）2220383x x x x+-=+；（2）2191502x x x x ⎛⎫⎛⎫+-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【答案】（1）15x =-，22x =，31x =-，42x =-；（2）11x =，22x =，312x =． 【解析】（1）令23x x a +=，原方程即为208a a-=，两边同乘a 整理得28200a a --=， 解得：110a =，22a =-；由2310x x +=，解得：15x =-，22x =； 由232x x +=-，解得：11x =-，22x =-；经检验，15x =-，22x =，31x =-，42x =-都是原方程的根；（2）令1x a x +=，原方程即为29502a a -+=，解得12a =，252a =； 由12x x+=，整理得2210x x -+=，解得：121x x ==； 由152x x +=，整理得22520x x -+=，解得12x =，212x =； 经检验，11x =，22x =，312x =都是原方程的根． 【总结】考查用换元法求解具有特殊形式的分式方程，注意对方法的总结．【例11】解方程：（1）225(16(1)1711x x x x +++=++）；（2）2216104()933x x x x+=-．【答案】（1）1x =，2x ；（2）13x =+，23x =，32x =-，46x =．【解析】（1）令211x a x +=+，原方程即为6517a a+=，两边同乘a 整理得251760a a -+=，解得：125a =，23a =；由21215x x +=+，整理得25230x x -+=，方程无解；由2131x x +=+，整理得2320x x --=，解得：1x =，2x =；经检验，1x 2x = （2）令43x a x -=，则有2222164889333x x a x x ⎛⎫+=-+=+ ⎪⎝⎭，原方程即为281033a a +=，整理得231080a a -+=，解得：12a =，243a =；由423x x-=，整理得26120x x --=，解得：13x =，23x =； 由4433x x -=，整理得24120x x --=，解得：12x =-，26x =；经检验，13x =+，23x =-32x =-，46x =都是原方程的根． 【总结】考查用换元法求解有特殊形式的分式方程．【例12】解方程组：（1）413538x y x y x y x y ⎧+=⎪+-⎪⎨⎪-=⎪+-⎩；（2）132013251x y x y ⎧+=⎪-⎪⎨⎪-=-⎪-⎩．【答案】（1）01x y =⎧⎨=⎩；（2）565x y =⎧⎪⎨=⎪⎩．【解析】（1）令1a x y =+，1b x y =-，原方程组即为43538a b a b +=⎧⎨-=⎩，解得：11a b =⎧⎨=-⎩， 由此可得11x y =+，11x y =--，由此得11x y x y +=⎧⎨-=-⎩，解得：01x y =⎧⎨=⎩， 经检验，01x y =⎧⎨=⎩是原分式方程的根；（2）令11a y =-，原方程组即为320235x a x a +=⎧⎨-=-⎩，解得：55x a =⎧⎨=⎩，由此可得：151y =-，解得：65y =， ∴565x y =⎧⎪⎨=⎪⎩， 经检验，565x y =⎧⎪⎨=⎪⎩是原分式方程的根．【总结】考查利用换元法求分式方程组的解，注意解完之后要检验．【例13】解方程组：（1）253489156x x x x +=+++++； （2）11212736x x x x x x ++-=-++++． 【答案】（1）16x =，2334x =-；（2） 92x =-． 【解析】（1）对分式方程移项通分得()()()()()()()()21538495681569x x x x x x x x +-++-+=++++，展开即得2266231201554x x x x x x -+-+=++++， 由此即得60x -+=或22231201554x x x x ++=++，解得：16x =，2334x =-， 经检验，16x =，2334x =-都是原分式方程的根；（2）对分式方程变形得1111112736x x x x --=--++++， 由此得11112736x x x x +=+++++，两边分别通分即得222929914918x x x x x x ++=++++，两边分母不同，则必有290x +=，解得92x =-，经检验，92x =-是原分式方程的根．【总结】考查特殊形式分式方程的解法，注意相应分母的关系，分组两边分别通分计算．【例14】解方程：226205x x +-=+． 【答案】11x =，21x =-．【解析】令25x a +=，则有25x a =-，原方程即为6520a a+--=， 两边同乘a 整理，得2760a a -+=，解得：11a =，26a =； 由251x +=，方程无解； 由256x +=，解得：11x =，21x =-； 经检验，11x =，21x =-都是原方程的根．【总结】考查用换元法解分式方程，注意取值范围和增根．【例15】a 为何值时，关于x 的方程211a a x +=+无解? 【答案】12a =-或0a =．【解析】分式方程两边同乘1x +，得：()211a a x +=+，展开移项得1ax a =+，当0a =时，方程无解； 当0a ≠时，1a x a +=，方程无解，即得11a x a+==-， 解得12a =-；综上，12a =-或0a =．【总结】考查分式方程的无解，即由相应整式方程求得的解是分式方程的增根，注意考虑未知项系数为0的情况．【例16】已知关于x 的方程222022x x x k x x x x-+++=--只有一个解，求k 的值及这个解． 【答案】72k =-时，1212x x ==或4k =-时，1x =或8k =-时，1x =-．【解析】方程两边同乘22x x -，得()22220x x x k +-++=，展开整理得：22240x x k -++=，分式方程可能产生增根，即当相应整式方程有两解时，分式方程仅有一解，由此需进行 分类讨论：①当整式方程有两相等实数根时，()()224240k ∆=--⨯+=，解得：72k =-，此时方程为212202x x -+=，解得：1212x x ==，此时分式方程只有一个解，符合题意； ②当整式方程有一根为分式方程增根0x =时，此时有40k +=，解得：4k =-， 此时方程为2220x x -=，解得：10x =，21x =，此时分式方程只有一个解1x =， 符合题意；③当整式方程有一根为分式方程增根2x =时，此时有2222240k ⨯-⨯++=， 解得：8k =-，此时方程为22240x x --=，解得：12x =，21x =-， 此时分式方程只有一个解1x =-，符合题意；综上，72k =-或4k =-或8k =-．【总结】考查分式方程只有一个解的情况，方程为二次方程时，注意包含方程有一个根为分式方程的增根的情形．【例17】解关于x 的方程：22112()3()1x x x x+-+= 【答案】12x =，212x =． 【解析】令1x a x +=，则有22221122x x a x x ⎛⎫+=+-=- ⎪⎝⎭，原方程即为()22231a a --=，展开整理得22350a a --=，解得：11a =-，252a =； 由11x x+=-，整理得210x x ++=，方程无解； 由152x x +=，整理得22520x x -+=，解得：12x =，212x =； 经检验，12x =，212x =都是原方程的根． 【总结】考查用换元法求解有特殊形式的分式方程，注意解完之后进行检验．【例18】解关于x 的方程()()450b x a xa b b x a x+-=-+≠+-． 【答案】12a b x -=，245a bx -=．【解析】令a x kb x -=+，原方程即为45k k=-，两边同乘k 整理，得2540k k -+=， 解得：11k =，24k =； 由1a x b x -=+，又0a b +≠，可解得：2a bx -=； 由4a x b x -=+，又0a b +≠，可解得：45a bx -=； 经检验，12a b x -=，245a bx -=都是原方程的根． 【总结】考查用换元法求解有特殊形式的分式方程．【例19】已知方程22222(1)21()x ax a a x a +-++=+有实数根，求实数a 的取值范围． 【答案】1122a -≤≤且0a ≠．【解析】展开得()()22222222121x a x a ax a a x a +--+++=+，根据等式性质移项得()()222220x ax a ax x a +-+=+，即为()20x a x a x a ⎡⎤+-=⎢⎥+⎣⎦，由此得()0x a x a x a +-=+， 移项得()2a x a x +=，展开整理得()223210ax a x a +-+=， 当0a =时，方程有实数根0x =是分式方程的增根，应舍去；当0a ≠时，方程为一元二次方程，此时根据韦达定理可得2122112a x x a a a-+=-=-，可知1x 、2x 不可能同时为a -，分式方程有实数根，则相应的整式方程应满足()2232214410a a a a ∆=--⋅=-+≥，得1122a -≤≤；综上，实数a 的取值范围为：1122a -≤≤且0a ≠．【总结】考查分式方程有实数根的情形，对分式方程整理变形满足相应的条件即可．1、列方程（组）解应用题时，如何找“相等关系” （1）利用题目中的关键语句寻找相等关系； （2）利用公式、定理寻找相等关系； （3）从生活、生产实际经验中寻找相等关系．【例20】要在规定日期内完成一项工程，如甲队单独做，刚好按期完成；如乙队单独做，则要超过规定时间3天才能完成；甲、乙两队合作2天，剩下的工程由乙队单独做，则刚好按期完成.那么求规定日期为x 天的方程是（）． A ．2213x x x -+=+B ．233x x =+ C ．2213x x x ++=+D ．213xx x +=+ 【答案】D【解析】设工作总量为“1”，则甲工作量+乙工作量=1，根据工作总量=工作效率×工作天 数，乙工作天数为x 天，由此可知选D ．【总结】考查工程问题中的单位“1”，注意分清对应的工作效率和工作时间．【例21】某车间加工300个零件，在加工80个以后，改进了操作方法，每天能多加工15 个，一共用6天完成了任务.如果设改进操作后每天加工x 个零件，那么下列根据题意 列出的方程中，错误的是（ ）A ．8030080615x x -+=-B ．30080615x -=-C ．80(6)8030015x x -+=-D ．8015300806x x-=--【答案】B例题解析知识精讲模块二 分式方程应用题【解析】略【总结】考查根据题意列方程的应用，根据工作量和工作效率、工作时间之间的相互关系进行列方程的应用．【例22】甲、乙两个工程队合做一项工程，6天可以完成．如果单独工作，甲队比乙队少用5天完成．两队单独工作各需多少天完成?【答案】甲单独需10天完成，乙单独需15天完成．【解析】设甲单独需用x 天完成，则乙单独需用()5x +天完成，依题意可得11615x x ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭，整理得27300x x --=，解得：13x =-，210x =，经检验，13x =-，210x =都是原方程的根，但13x =-不合题意应舍去，即得10x =，即甲单独需10天完成，乙单独需10515+=天完成．【总结】考查工程问题中的列方程解应用题，把工作总量当作单位“1”解题．【例23】登山比赛时，小明上山时的速度为a 米/分，下山的速度是b 米/分，已知上山和下山的路径是一样的，求小明在全程中的平均速度?【答案】2aba b+．【解析】设小明上山的路程为sm ，则整个过程中小明总行程为2sm ， 根据平均速度=总行程÷总时间，即得平均速度22s abv s s a ba b==++． 【总结】考查平均速度的求取，平均速度==总行程÷总时间，与行程远近无关，注意平均速度的求法．【例24】甲、乙两人分别从相距9千米的A 、B 两地同时出发，相向而行，1小时后相遇．相 遇后，各自继续以原有的速度前进，已知甲到B 地比乙到A 地早27分钟，求两人的速度各是多少?【答案】甲速度为5/km h ，乙速度为4/km h ．【解析】设甲速度为/xkm h ，则乙速度为()9/x km h -，927min 20h =，依题意可得999920x x-=-，整理得2311800x x+-=，解得：136x=-，25x=，经检验，136x=-，25x=都是原方程的根，但136x=-不合题意应舍去，即得5x=，即甲速度为5/km h，乙速度为954/km h-=．【总结】考查行程问题中的列方程解应用题，根据相遇问题的基本关系一个条件作设一个条件列式进行求解．【例25】甲、乙两辆车同时从A地出发开往距A地240千米的B地，结果甲车比乙车早到了60分钟；第二次，乙车提速30千米/时，结果比甲车早到了20分钟，求第一次甲、乙两车的速度各是多少?【答案】甲速度为80/km h，乙速度为60/km h．【解析】设甲车xh到达B地，60min1h=，120min3h=，依题意可得24024030113xx-=+-，整理得232330x x+-=，解得1113x=-，23x=，经检验，111 3x=-，23x=都是原方程的根，但111 3x=-不合题意应舍去，即得3x=，可得甲速度为24080/3km h=，乙速度为24060/31km h=+．【总结】考查行程问题中的列方程解应用题，根据行程问题的基本等量关系一个条件作设一个条件列式进行求解，注意本题中用时间作设速度列式解题更方便．【例26】某服装厂接到一宗生产13万套衣服的业务，在生产了4万套后，接到了买方急需货物的通知，为满足买方的要求，该厂改进了操作方法，每月能多生产1万套，一共5个月完成了这宗业务．求改进操作方案后每月能生产多少万套衣服?【答案】3万套．【解析】设改进操作方案后每月能生产x万套衣服，则改进之前每月生产()1x-万套，依题意可得413451x x-+=-，整理得251890x x-+=，解得：135x=，23x=，经检验，13 5x=，23x=都是原方程的根，但13 5x=不合题意应舍去，即得：3x=，即改进操作方案后每月能生产3万套衣服．【总结】考查工作总量问题，一个条件作设一个条件列式进行求解．【习题1】已知方程：（1）2412x x -=-；（2）221x x =-；（3）11x x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭；（4）232x x -=，其中是分式方程的有_____________．【答案】（1）、（2）、（3） ．【解析】根据分式方程的定义，分母中含有未知数的方程是分式方程，（1）、（2）、（3）满足 条件，（4）方程中不含有分式，故答案为（1）、（2）、（3）．【总结】考查分式方程的定义，注意前提是方程，且方程分母中必含有字母．【习题2】当x 取何值时，分式方程1112x x x +=--的最简公分母的值等于0? 【答案】1x =或2x =．【解析】分式方程的最简公分母为()()12x x --，最简公分母值为0，即()()120x x --=， 解得：1x =或2x =．【总结】考查分式方程的最简公分母，将每个分母因式分解，取相同因式的最高次数乘积即为分式方程的最简公分母．【习题3】分式方程22228(2)331112x x x x x x +-+=-+，如果设2221x xy x +=-，那么原方程可以化为关于y 的整式方程为 ．【答案】281130y y -+=．【解析】2221x x y x +=-，则有22112x x x y -=+，原方程即为3811y y +=，整理化作关于y 的整式方 程即为281130y y -+=．【总结】考查利用换元法对复杂形式的分式方程进行转化，注意最终要化成整式方程的形式．随堂检测【习题4】解方程：（1）26531111x x x x =++--+；（2）22161242x x x x +-=--+； （3）243455121760x x x x x x --+=---+． 【答案】（1）9x =；（2）5x =-；（3）12x =，29x =．【解析】（1）方程两边同乘21x -，得()()2615131x x x x =--++-，整理得2890x x --=， 解得：11x =-，29x =，经检验，11x =-是原方程的增根，即原方程的根为9x =；（2）方程两边同乘24x -，得()22162x x +-=-，整理得23100x x +-=， 解得：12x =，25x =-，经检验，12x =是原方程的增根，即原方程的根为5x =-； （3）两边同乘21760x x -+，得()()()4123545x x x x ----=-，整理得211180x x -+=，解得“”12x =，29x =，经检验，12x =，29x =都是原方程的根． 【总结】考查分式方程的解法，注意检验所求是否为增根．【习题5】解方程：221313x x x x ++=+．【答案】11x =，21x = 【解析】令1x a x =+，原方程即为2133a a +=，整理即为231060a a -+=，解得：1a =2a =由1x x =+，解得：1x =- 由1x x =+，解得：1x =经检验11x =，21x =都是原分式方程的根． 【总结】考查利用换元法解分式方程．【习题6】解方程组311332412463324x y x y x y y x ⎧+=⎪+-⎪⎨⎪-=⎪+-⎩【答案】1011711x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．【解析】令132a x y =+，14b x y =-，原方程组即为13312463a b a b ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得：1413a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 由此可得113241143x y x y ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪-⎩， 去分母得32443x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得：1011711x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，经检验，1011711x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩是原分式方程的根．【总结】考查用换元法解有特殊形式的分式方程组，注意验根．【习题7】若分式方程22111x m x x x x x++-=++产生增根，求m 的值． 【答案】2m =-或1m =．【解析】方程两边同乘2x x +，得()()22211x m x -+=+，展开整理得2220x x m ---=，分式方程产生增根，即当相应整式方程有两解时，分式方程仅有一解，由此需进行分类 讨论：①整式方程有一根为分式方程增根0x =时，此时有20m --=，解得：2m =-； ②整式方程有一根为分式方程增根1x =-时，此时有()()212120m --⨯---=， 解得：1m =；综上，2m =-或1m =．【总结】考查分式方程有增根的情况，即对应的整式方程有一个根为分式方程的增根．【习题8】甲、乙两地间铁路长400千米，现将火车的行驶速度每小时比原来提高了45千米，因此，火车由甲地到乙地的行驶时间缩短了2小时．求火车原来的速度． 【答案】75/km h ．【解析】设火车原来的速度为/xkm h ，依题意可得400400245x x -=+，整理得24590000x x +-=，解得：1120x =-，275x =，经检验，1120x =-，275x =都是原方程的根，但1120x =-不合题意应舍去，即得75x =，即可得火车原来速度为75/km h ．【总结】考查行程问题中的列方程解应用题，根据行程问题的基本等量关系一个条件作设一个条件列式进行求解．【习题9】某市为了美化环境，计划在一定的时间内完成绿化面积200万亩的任务，后来市 政府调整了原定计划，不但绿化面积要在原计划的基础上增加20%，而且要提前1年 完成任务．经测算，要完成新的计划，平均每年的绿化面积必须比原计划多20万亩，求原计划平均每年的绿化面积．【答案】原计划平均每年绿化面积40万亩．【解析】设原计划平均每年的绿化面积为x 万亩，则新计划每年()20x +万亩，依题意可得()200120%200120x x ⨯+-=+，整理得26040000x x +-=， 解得：1100x =-，240x =，经检验，1100x =-，240x =都是原方程的根，但1100x =-不合题意应舍去，即得40x =，即原计划平均每年的绿化面积为40万亩．【总结】考查工作量的问题，根据相应的等量关系式列方程求解．【习题10】解方程：221114(4)12()12433x x x -=-++．【答案】11x =21x =，33x =+43x =【解析】方程两边同乘12展开得22364881616x x x x-+=--+， 根据等式的性质移项变形得2668120x x x x ⎛⎫⎛⎫---+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因式分解得：66260x x x x ⎛⎫⎛⎫----= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，由此可得620x x --=或660x x --=；由620x x--=，整理得2260x x --=，解得：11x =+21x =由660x x--=，整理得2660x x --=，解得：13x =+23x =经检验，11x =+，21x =-33x =，43x =- 【总结】考查用整体思想先对分式方程变形，然后求解分式方程的根，注意对方法的总结．【习题11】解方程：596841922119968x x x x x x x x ----+=+----． 【答案】12314x =． 【解析】对分式方程变形得1155514219968x x x x -++=++-----， 根据等式的性质可变形得115519986x x x x -=-----， 两边分别通分即得221010281711448x x x x =-+-+， 由此可得22281711448x x x x -+=-+， 解得：12314x =， 经检验，12314x =是原分式方程的根． 【总结】考查特殊形式分式方程的解法，注意相应分母的关系，分组两边分别通分计算．【习题12】已知关于x 的方程21221232a a x x x x ++=---+有增根，求a ． 【答案】32a =-或2a =-．【解析】方程两边同乘232x x -+，得()2122x a x a -+-=+，展开整理得()134a x a +=+，当10a +≠，即1a ≠-时，得341a x a +=+，分式方程可能产生增根，由此进行分类讨论： ①整式方程根为分式方程增根1x =时，此时有3411a a +=+，解得32a =-； ②整式方程有一根为分式方程增根2x =时，此时有3421a a +=+，解得2a =-； 综上，32a =-或2a =-．【总结】考查分式方程有增根的情况，即对应的整式方程根为分式方程的增根．【习题13】已知：关于x 的方程227()72120a ax x a x x+--++=只有一个实数根，求a ．【答案】94a =或4a =． 【解析】整理原方程得27120a a x x x x ⎛⎫⎛⎫+-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因式分解得340a a x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，由此可得30a x x +-=或40ax x+-=，分别整理得：230x x a -+=和240x x a -+=， 两方程根的判别式分别为194a ∆=-，2164a ∆=-． 因为方程仅有一实数根，所以940a -=或1640a -=， 解得：94a =或4a =．【总结】考查分式方程的根与对应整式方程的根相结合的问题，根据实际题目进行问题的分析转化，解决问题．【作业1】下列哪个分式方程（ ）的根是2x =.A ．2321x x -=+ B ．3221x x-=+ C ．3101x -=+ D ．222x x x =-- 课后作业【答案】C【解析】根据分式方程解的定义，代入C 选项使得方程左右两边相等且有意义，故选C ． 【总结】考查分式方程的解，代入使得分式方程左右两边相等即可．【作业2】用换元法解方程组56111211x y xy ⎧-=⎪+⎪⎨⎪=-⎪+⎩时，如果设___________=u ，___________=v ，那么原方程组可以化为二元一次方程组____________________． 【答案】1x ，11y +，56112u v u v -=⎧⎨=-⎩．【解析】略【总结】考查用换元法对有特殊形式的分式方程组换元．【作业3】已知方程22113()()40x x x x +++-=，若设1x y x+=，则原方程化为（）．A ．23540y y +-=B ．23100y y +-=；C ．23520y y -+=D ．23520y y ++=【答案】B【解析】由1x y x +=，则有22221122x x y x x ⎛⎫+=+-=- ⎪⎝⎭，原方程即为()23240y y -+-=，展开整理即为23100y y +-=，故选B ．【总结】考查用换元法对有特殊形式的分式方程进行转化求解．【作业4】如果24410x x -+=，那么2x的值是 ． 【答案】1． 【解析】分解因式得2210x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，由此得210x -=，得：21x =． 【总结】考查利用因式分解整体思想解分式方程．【作业5】解方程：（1）21421242x x x x++=+--； （2）2154111x x x x --=+--． 【答案】（1）1x =；（2）2x =-．【解析】（1）方程两边同乘24x -，得()()224224x x x x -+-+=-，整理得：2320x x -+=， 解得：11x =，22x =，经检验，22x =是原方程的增根，即原方程的根为1x =；（2）方程两边同乘21x -，得()()21514x x -++=，整理得2320x x ++=，解得：11x =-，22x =-，经检验，11x =-是原方程的增根，即原方程的根为2x =-．【总结】考查分式方程的解法，注意检验所求是否为增根．【作业6】解方程： （1）223121x x x x +-=+； （2）2322x x x x --=-．【答案】（1）1x =，2x =2）11x =-，21x =． 【解析】（1）令21x a x =+，原方程即为132a a-=，两边同乘a 整理得23210a a --=， 解得：113a =-，21a =；由2113x x =-+，整理得2310x x ++=，方程无解；由211x x =+，整理得210x x --=，解得：1x =，2x =经检验，1x =，2x =（2）令2xax-=，原方程即为32aa-=，两边同乘a整理得2230a a--=，解得：13a=，21a=-；由23xx-=，解得1x=-；由21xx-=-，解得1x=；经检验，11x=-，21x=都是原方程的根．【总结】考查用换元法求解有特殊形式的分式方程．【作业7】解下列方程组：（1）22125134x yx y⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩；（2）53327235572x yy x⎧+=⎪+-⎪⎨⎪+=⎪-+⎩．【答案】（1）612xy=⎧⎨=⎩；（2）613377xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．【解析】（1）令1ax=，1by=，原方程组即为1222354a ba b⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得：16112ab⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，由此可得1161112xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得：612xy=⎧⎨=⎩，经检验，612xy=⎧⎨=⎩是原分式方程的根；（2）令12ax=+，17by=-，原方程组即为3532355a bb a⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩，解得：1320712ab⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，由此可得11322017712xy⎧=⎪+⎪⎨⎪=-⎪-⎩，即得202131277xy⎧+=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，解得：613377xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，经检验，613377xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩是原分式方程的根．【总结】考查利用换元法解分式方程组，注意解完后要检验．【作业8】当m 为何值时，关于x 的方程22111x m x x x x --=+--无实根？ 【答案】74m <或2m =． 【解析】方程两边同乘2x x -，得()()221x x m x x x ---=-+，展开整理得220x x m -+-=，因为分式方程无实根，即整式方程无实数根或方程两根都为分式方程的增根，由此进行 分类讨论：①整式方程没有实数根时，()()21420m ∆=---<，解得：74m <； ②整式方程两根分别为10x =和21x =时，此时有20m -=，解得：2m =； 综上，74m <或2m =． 【总结】考查分式方程没有实根的情况，方程为二次方程时，注意包含方程两根都为分式方程的增根的情形．【作业9】甲、乙两艘旅游客轮同时从台湾某港出发来厦门．甲沿直线航行180海里到达厦门，乙沿原来航线绕道香港后来厦门共航行720海里，结果比甲晚20小时到达厦门，已知乙速比甲速每小时快6海里，求甲客轮的速度． （其中两客轮的速度都大于16海里 /小时）【答案】甲客轮速度为18海里/h ，乙客轮速度为24海里/h ．【解析】设甲客轮速度为x 海里/h ，则乙客轮速度为()6x +海里/h ， 依题意可得720180206x x-=+，整理得221540x x -+=，解得：13x =，218x =， 经检验，13x =，218x =都是原方程的根，但13x =不合题意应舍去，即得18x =，即甲客轮速度为18海里/h ，乙速度为18624+=海里/h ．【总结】考查行程问题中的列方程解应用题，根据相遇问题的基本关系一个条件作设一个条件列式进行求解．【作业10】如图所示，A B 、两港中间有C D 、两岛，AB AC AD 、、的距离分别为72海里，18海里，27海里，有甲、乙两艘军舰分别从A B 、两港同时出发，水流由A 流到B ，流速为2海里/时，第一次任务是到达C 岛，甲比乙早到2小时；第二次任务是到达D 岛， 甲又比乙早到1小时．求甲、乙在静水中的速度．【答案】甲在静水中的速度为16海里/h ，乙在静水中的速度为20海里/h ．【解析】设甲在静水中的速度为x 海里/h ，乙在静水中的速度为y 海里/h ， 依题意可得721818222722727122y x y x -⎧-=⎪-+⎪⎨-⎪-=⎪-+⎩，令12a y =-，12b x =+，原方程组即为5418245271a b a b -=⎧⎨-=⎩， 解得：118118a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，由此可得1121811218y x ⎧=⎪-⎪⎨⎪=⎪+⎩，由此得218218y x -=⎧⎨+=⎩，解得1620x y =⎧⎨=⎩， 经检验，1620x y =⎧⎨=⎩是原分式方程的根，且符合题意， 即甲在静水中速度为16海里/h ，乙在静水中速度为20海里/h ．【作业11】解方程：11111726x x x x +=+----． 【答案】4x =． 【解析】对分式方程两边分别通分即得22282887812x x x x x x --=-+-+，两边分母不同， 则必有280x -=，解得：4x =，经检验，4x =是原分式方程的根．【总结】考查特殊形式分式方程的解法，注意相应分母的关系，分组两边分别通分计算，解完后注意要检验．【作业12】若关于x 的方程22111x m x x x x --=+--无实数根，求m 的取值． 【答案】74m <或2m =． 【解析】去分母，得：22(1)()x x m x x x ---=-+，化简，得：220x x m --+=， 因为原方程无实数根，所以0<或者是所求得的解为原方程的增根， 当0<时，即14(2)470m m --+=-<， 解得：74m <． 当0x =时，2m =； 当1x =时，2m =． 综上，当原方程无实数解时，74m <或2m =． 【总结】本题主要考查了对分式方程无解的理解，注意分情况讨论．。