高中数学一轮复习 第3讲 圆的方程
高中数学一轮复习课件：第九章 解析几何(必修2、选修1-1)9-3
(2)①方程 x2＋y2－6x－6y＋14＝0 可变形为(x－3)2＋(y－3)2
＝4.
yx表示圆上的点 P 与原点连线的斜率，显然当 PO(O 为原点)
与圆相切时，斜率最大或最小，如图①所示．
设切线方程为 y＝kx，即 kx－y＝0，
由圆心 C(3,3)到切线的距离等于半径 2，
可得|3kk2－＋31|＝2，解得 k＝9±25 14，
y 轴交于 A，B 两点，点 P 在圆(x－2)2＋y2＝2 上，则△ABP 面积
ห้องสมุดไป่ตู้
的取值范围是( )
A．[2,6]
B．[4,8]
C．[ 2，3 2] D．[2 2，3 2]
(2)已知点 P(x，y)在圆 C：x2＋y2－6x－6y＋14＝0 上．
①求yx的最大值和最小值；
②求 x＋y 的最大值与最小值．
考点三 与圆有关的轨迹问题 【例 3】 设定点 M(－3,4)，动点 N 在圆 x2＋y2＝4 上运动，
P 为线段 MN 的中点，求点 P 的轨迹方程．
[思路引导]
设所求点 Px，y
→
寻求与已知 点N的关系
→
用x，、y表 示点N
→
代入点N 满足方程
[解] 设 P(x，y)，N(x0，y0)，∵P 为 MN 的中点，
[答案] D
3．若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4 的内部，则实数 a 的取
值范围是( )
A．(－1,1)
B．(0,1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．a＝±1
[解析] 因为点(1,1)在圆的内部， 所以(1－a)2＋(1＋a)2<4，所以－1<a<1.故选 A．
空间中的外接球进阶求法 讲义-2023届高三数学一轮复习
空间中的外接球摘要：本文主要讨论一些常见空间几何体的外接球半径的求解方法，总结相应的公式。
对于更一般的几何体的外接球，用多种方法进行求解，本文引用了最新高考题以及课本中的例题，对于教师教学和学生自学都有参考作用。
一、旋转体外接球的公式在高中阶段，忧外接球的旋转体就是圆台，圆柱，圆锥，任何一个这三类旋转体，都有外接球，下面推导相应的外接球公式 1、圆台外接球半径公式的推导圆台的外接球公式为()hr r r r h h r r l l R 24242221222212212-++=+=……（1），其中l 为圆台的母线长，h 为圆台的高，1r 、2r 为圆台的上、下底面的半径，下面推导公式。
先证明一个引理：引理1：ABC ∆中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，c h 为c 边上的高线，ABC ∆外接圆半径为：ch ab R 2=。
证明：由三角形面积公式c ABC ch C ab S 21sin 21==∆，不难得到R Cc h ab 2sin ==，即ch abR 2=。
所有参数的意义如上文，设一个圆台的轴截面为等腰梯形ABCD ，其中CD AB //，12r AB =，22r CD =，l BC AD ==。
显然梯形ABCD 的高即为圆台的高h 。
由托勒密定理可得2124r r l BC AD CD AB BD AC +=⋅+⋅=⋅。
由于BD AC =，所以2124r r l AC +=。
不难得到等腰梯形ABCD 的外接圆即为圆台外接球的大圆，ABC ∆的外接圆半径与等腰梯形ABCD 半径相同，故只需求ABC ∆的外接圆半径。
而由引理1可得：hr r l l R 24212+=。
考虑等腰梯形ABCD 的腰()2212r r h l -+=，代入公式整理可得：()hr r r r hR 242221222212-++=。
例1：（2022年高考卷II 第七题）正三棱台高为1，上下底边长分别是33和34，所有顶点在同一球面上，则球的表面积是（） A 、π100 B 、π128 C 、π144 D 、π192 代入公式（1）可得圆台外接球半径为5，则外接球表面积为π100，选A 2、圆柱与圆锥的外接球半径公式若令r r r ==21，h l =，即可得到圆柱的外接球半径公式：224r l R += (2)，其中r 为底面半径，l 为母线长。
高三数学第一轮复习知识点总结
高三数学第一轮复习知识点总结高三数学第一轮复习知识点总结第一：高考数学中有函数、数列、三角函数、平面向量、不等式、立体几何等九大章节。
主要是考函数和导数，这是我们整个高中阶段里最核心的板块，在这个板块里，重点考察两个方面：第一个函数的性质，包括函数的单调性、奇偶性;第二是函数的解答题，重点考察的是二次函数和高次函数，分函数和它的一些分布问题，但是这个分布重点还包含两个分析就是二次方程的分布的问题，这是第一个板块。
第二：平面向量和三角函数。
重点考察三个方面：一个是划减与求值，第一，重点掌握公式，重点掌握五组基本公式。
第二，是三角函数的图像和性质，这里重点掌握正弦函数和余弦函数的性质，第三，正弦定理和余弦定理来解三角形。
难度比较小。
第三：数列。
数列这个板块，重点考两个方面：一个通项;一个是求和。
第四：空间向量和立体几何。
在里面重点考察两个方面：一个是证明;一个是计算。
第五：概率和统计。
这一板块主要是属于数学应用问题的范畴，当然应该掌握下面几个方面，第一……等可能的概率，第二………事件，第三是独立事件，还有独立重复事件发生的概率。
第六：解析几何。
这是我们比较头疼的问题，是整个试卷里难度比较大，计算量最高的题，当然这一类题，我总结下面五类常考的题型，包括第一类所讲的直线和曲线的位置关系，这是考试最多的内容。
考生应该掌握它的通法，第二类我们所讲的动点问题，第三类是弦长问题，第四类是对称问题，这也是2008年高考已经考过的一点，第五类重点问题，这类题时往往觉得有思路，但是没有答案，当然这里我相等的是，这道题尽管计算量很大，但是造成计算量大的原因，往往有这个原因，我们所选方法不是很恰当，因此，在这一章里我们要掌握比较好的算法，来提高我们做题的准确度，这是我们所讲的第六大板块。
第七：押轴题。
考生在备考复习时，应该重点不等式计算的方法，虽然说难度比较大，我建议考生，采取分部得分整个试卷不要留空白。
这是高考所考的七大板块核心的考点。
高三数学第一轮复习计划(推荐10篇)
高三数学第一轮复习计划(推荐10篇)高三数学第一轮复习计划篇一高考数学命题近年来经历了由“知识立意”向“能力立意”的转变，体现了对能力和潜能的考察，使知识考查服务于能力考查。
针对这一命题走向，怎样在短暂的时间内搞好总复习，提高效率，减轻负担是我的核心理念。
一、夯实基础。
今年高考数学试题的一个显著特点是注重基础。
扎实的数学基础是成功解题的关键，从学生反馈来看，平时学习成绩不错但得分不高的主要原因不在于难题没做好，而在于基本概念不清，基本运算不准，基本方法不熟，解题过程不规范，结果“难题做不了，基础题又没做好”，因此在第一轮复习中，我们将格外突出基本概念、基础运算、基本方法，具体做法如下：1.注重课本的基础作用和考试说明的导向作用；2.加强主干知识的生成，重视知识的交汇点；3.培养逻辑思维能力、直觉思维、规范解题习惯；4.加强反思，完善复习方法。
二、解决好课内课外关系。
课内：（1）例题讲解前，留给学生思考时间；讲解中，让学生陈述不同解题思路，对于解题过程中的闪光之处或不足之处进行褒扬或纠正；讲解后，对解法进行总结。
对题目尽量做到一题多解，一题多用。
一题多解的题目让学生领会不同方法的优劣，一题多用的题目让学生领会知识间的联系。
（2）学生作业和考试中出现的错误，不但指出错误之处，更要引导学生寻根问底，使学生找出错误的真正原因。
（3）每节课留10分钟让学生疏理本节知识，理解本节内容。
课外：除了正常每天布置适量作业外，另外布置一两道中档偏上的题目，判作业时面批面改，指出知识的疏漏。
三、注重师生互动1.多让学生思考回答问题，对于有些章节知识，按难易程度选择六至八道，尽量独自完成，无法独立解决的可以提示思路。
2.让学生自我小结，每一章复习完后，是络结构，包括典型题目、思想方法、解题技巧，易错易做之题；3.每次考试结束后，让学生自己总结：①试题考查了哪些知识点；②怎样审题，怎样打开解题思路；③试题主要运用了哪些方法，技巧，关键步在哪里；④答题中有哪些典型错误，哪些是知识、逻辑心理因素造成，哪些是属于思路上的。
高中数学(高一至高三)知识点汇总
高中数学第一部分必备知识点第二部分学习难点必修1知识点重难点高考考点第一章：集合与函数1.1.1、集合1.1.2、集合间的基本关系1.1.3、集合间的基本运算1.2.1、函数的概念1.2.2、函数的表示法1.3.1、单调性与最大（小）值1.3.2、奇偶性重点：1、集合的交、并、补等运算。
2、函数定义域的求法3、函数性质难点：函数的性质1、集合的交、并、补等运算。
2、集合间的基本关系3、函数的概念、三要素及表示方法4、分段函数5、奇偶性、单调性和周期性第二章：基本初等函数（Ⅰ）2.1.1、指数与指数幂的运算2.1.2、指数函数及其性质2.2.1、对数与对数运算2..2.2、对数函数及其性质2.3、幂函数重点：1、指数函数的图像与性质2、对数函数的图像与性质3、特殊的幂函数的图像与性质4、指数、对数的运算难点：1、指数函数与对数函数相结合2、指数对数与不等式、导数、三角函数等结合1、指数函数的图像与性质2、对数函数的图像与性质3、特殊的幂函数的图像与性质4、指数、对数的运算5、数值大小的比较6、习惯与不等式、导数、三角函数等结合，难度较大第三章：函数的应用3.1.1、方程的根与函数的零点3.1.2、用二分法求方程的近似解3.2.1、几类不同增长的函数模型3.2.2、函数模型的应用举例重点：1、零点的概念2、二分法求方程近似解的方法难点：1、函数模型2、函数零点与导数，含有字母的参数相结合1、零点的概念2、二分法必修2知识点重难点高考考点第一章：空间几何体1、空间几何体的结构2、空间几何体的三视图和直观图3、空间几何体的表面积与体积重点：1、认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征2、几何体的三视图和直观图3、会利用公式求一些简单几何体的表面积和体积难点：空间想象能力1、几何体的三视图和直观图2、空间几何体的表面积与体积第二章：点、直线、平面之间的位置关系（重点）1、空间点、直线、平面之间的位置关系2、直线、平面平行的判定及其性质3、直线、平面垂直的判定及其性质重点：1、线面平行、面面平行的有关性质和判定定理2、证明线面垂直3、点到平面的距离难点：1、线面垂直2、点到平面的距离1、以选择填空的形式考查线与面、面与面的平行关系，考查线面位置的关系2、以解答的形式考查线与面、面与面的位置3、证明线面垂直4、点到平面的距离第三章：直线与方程1、直线的倾斜角与斜率2、直线方程3、直线的交点坐标与距离公式重点：1、初步建立代数方法解决几何问题的观念2、正确将几何条件与代数表示进行转化3、掌握直线方程并会用于定理地研究点与直线、直线与直线的位置关系。
高中数学一轮复习三角函数的图像与性质：第3节扇形的弧长及面积公式
第3节扇形的弧长及面积公式【基础知识】弧长公式：l＝|α|r，扇形面积公式：S扇形＝12lr＝12|α|r2.【规律技巧】(1)弧度制下l＝|α|·r，S＝12lr，此时α为弧度．在角度制下，弧长l＝nπr180，扇形面积S＝nπr2360，此时n为角度，它们之间有着必然的联系．(2)在解决弧长、面积及弓形面积时要注意合理应用圆心角所在的三角形．【典例讲解】【例1】已知一扇形的圆心角为α(α>0)，所在圆的半径为R.(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；(2)若扇形的周长是一定值C(C>0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？【解析】(1)设弧长为l，弓形面积为S弓，则α＝60°＝π3，R＝10，l＝π3×10＝10π3(cm)，S弓＝S扇－S△＝12×10π3×10－12×102×sinπ3＝503π－5032＝50π3－32(cm2)．【规律方法】涉及弧长和扇形面积的计算时，可用的公式有角度表示和弧度表示两种，其中弧度表示的公式结构简单，易记好用，在使用前，应将圆心角用弧度表示．弧长和扇形面积公式：l＝|α|R，S＝12|α|R2＝12lR.【变式探究】已知扇形的周长为 4 cm，当它的半径为______ cm和圆心角为________弧度时，扇形面积最大，这个最大面积是________ cm2.【答案】12 1【针对训练】1、已知扇形的周长是 6 cm，面积是 2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是()A．1或4 B．1C．4 D．8【答案】A2、已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？【答案】当r＝10，θ＝2时，扇形面积最大3.一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为()A.π3B.2π3C. 3D.2【答案】C【解析】设圆的半径为R，则其内接正三角形的边长为3R，即该圆弧的弧长为3R，于是其圆心角的弧度数为 3.故选C.4.一扇形的圆心角为120°，则此扇形的面积与其内切圆的面积之比为________．【答案】(7＋43)∶9【练习巩固】1．(1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角；(2)一个扇形OAB的面积是 1 cm2，它的周长是 4 cm，求圆心角的弧度数和弦长AB.【解析】(1)设圆心角是θ，半径是r，则2r＋rθ＝10，1 2θ·r2＝4，解得r＝4，θ＝12或r＝1，θ＝8(舍去)．∴扇形的圆心角为1 2 .(2)设圆的半径为r cm，弧长为l cm，则12lr＝1，l＋2r＝4，解得r＝1，l＝2.∴圆心角α＝lr＝2.如图，过O作OH⊥AB于H，则∠AOH＝1 rad.∴AH＝1·sin 1＝sin 1 (cm)，∴AB＝2sin 1 (cm)．2．如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0，1)，此时圆上一点P的位置在(0，0)，圆在x轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于(2，1)时，OP→的坐标为________．【答案】(2－sin 2，1－cos 2) 3．已知扇形的半径是2，面积为8，则此扇形的圆心角的弧度数是（）A ．4B ．2 C．8 D．1【答案】A 【解析】试题分析：记扇形的圆心角为,42,.2rS 扇，故选A ．考点：1、扇形面积公式．4．（2015秋?友谊县校级期末）一个扇形的面积为3π，弧长为2π，则这个扇形中心角为（）A ．B．C ．D ．【答案】D 【解析】试题分析：由扇形面积公式得θr=2π，θｒ2=3π，先解出r 值，即可得到θ值．解：设这个扇形中心角的弧度数是θ，半径等于r ，则由题意得θr=2π，θｒ2=3π，解得 r=3，θ＝．故选：D ．考点：扇形面积公式．5．已知扇形的圆心角为060，所在圆的半径为10cm ，则扇形的面积是________2cm ．【答案】503【解析】试题分析：由扇形的面积公式，得该扇形的面积为350100321212RS；故填503．考点：扇形的面积公式．6．在半径为2的圆中，一扇形的弧所对的圆心角为60°，则该扇形的弧长等于．【答案】32【解析】试题分析：圆心角为60°即32233l r考点：弧长公式7．已知扇形的圆心角为0120，半径为3，则扇形的面积为______．【答案】3【解析】试题分析：21203oQ ，扇形所对的弧长2323l，扇形面积为12332S ．考点：扇形面积．8．已知扇形的周长等于它所在圆的周长的一半，则这个扇形的圆心角是______．【答案】2【解析】试题分析：设扇形的半径R ，弧长，根据题意R l R 2，解得2Rl ，而圆心角2Rl 考点：圆心角公式9．（2015秋?溧阳市期末）已知扇形的半径为1cm ，圆心角为2rad ，则该扇形的面积为cm 2．【答案】1【解析】试题分析：直接求出扇形的弧长，然后求出扇形的面积即可．解：扇形的圆心角为2，半径为1，扇形的弧长为：2，所以扇形的面积为：=1．故答案为：1．考点：扇形面积公式．10．圆锥的轴截面是正三角，则它的侧面展开扇形圆心角为弧度．【答案】【解析】试题分析：设圆锥的底面半径为r ，母线为l ，则l=2r ，于是侧面展开图的扇形半径为l ，弧长为2πr ，∴圆心角α＝=π．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台），圆锥的侧面展开图．【名师点睛】旋转体的侧面展开图问题：1．圆柱的侧面展开图是矩形，矩形的高是圆柱的高（母线），矩形的底是圆柱的底面周长．2．圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，侧面展开图扇形的中心角是，则2r l．3．圆台的上、下底面半径分别为r,R ，母线长为l ，侧面展开图圆环的中心角为，则2R r l．11．如图，点P 从（1,0）出发，沿单位圆按顺时针方向运动3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为．【答案】13,22【解析】试题分析：由三角函数定义知：13cos(),sin(),3232xy ，因此Q 点的坐标为13,22考点：三角函数定义【名师点睛】定义法求三角函数值的两种情况（1）已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后利用三角函数的定义求解．（2）已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数的定义求解相关的问题．若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角α的三角函数值．。
高中数学第一轮复习
高中数学第一轮复习1高中数学第一轮复习建构知识网络第一轮复习应将教材中大量的数学概念、定理、公式等陈述性知识，让学生在主动参与、积极构建的基础上，进行梳理、归纳，按教材中每章小结的知识网络图形成本章的知识结构;将教材中章与章之间的知识网络按知识的内在联系和规律，形成中学数学学科越来越有层次的知识体系和网络，以便应用时能迅速、准确地提取相关知识，解决数学问题。
这样，学生在整个学习过程中会体会到教材所蕴涵的数学思想、数学，从而形成解决问题的方式。
比如，对于“函数”这一章的复习，学生在教师指导下首先将高中所学的函数知识(函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等)进行系统梳理，并用简明的图表形式把基础知识进行串联，以便找出自己的缺漏，明确复习的重点，合理安排复习计划。
否则，学生在梳理知识的过程中过于被动、机械，只是将课本或是参考书中的内容抄在本子上，就会将知识与方法隔裂开来，整理的东西自然就没什么用。
注重基础，立足教材第一轮复习要注重基础、立足教材。
即要认真阅读、梳理教材，挖掘教材中概念、定理、公式和习题的可变因素进行深入的理解、应用，夯实教材的基础知识、基本技能、基本方法和基本题型。
比如，“数列”这一章中的等差数列和等比数列的前n项求和公式的推导过程分别使用了“倒序相加法”和“错位相减法”，而这两种方法又是数列求和的重要方法。
因此，在复习中我们要紧扣课本，对课本中的例题、知识点加以概括和延伸，达到举一反三、触类旁通的效果;要通过师生共同挖掘一些辐射作用强的知识点，以点连成线，以线连成面，构成一个严格有序的知识体系;要通过分析综合、比较归类、抽象概括、归纳演绎等思维方法，把长期学习的各部分知识“组装”起来，融会贯通，透彻理解，使之形成系统化知识。
2高中数学必修一复习策略全面复习，不忘第一轮复习为全面复习阶段，指导思想是“既要全面系统地梳理知识，不留空白和死角，又要适当突出重点”。
按《考试说明》对知识内容的不同层次要求，全面系统地复习，切实抓好“三基”的学习，形成知识网络，以求融会贯通。
2025届高中数学一轮复习课件《计数原理》ppt
高考一轮总复习•数学
第20页
解析：(1)因为学生只能从东门或西门进入校园， 所以 3 名学生进入校园的方式共 23＝ 8(种)．因为教师只可以从南门或北门进入校园， 所以 2 名教师进入校园的方式共有 22＝ 4(种)．所以 2 名教师和 3 名学生进入校园的方式共有 8×4＝32(种)．故选 D．
A．12 种 B．24 种 C．72 种 D．216 种
高考一轮总复习•数学
第15页
(2)设 I＝{1,2,3,4}，A 与 B 是 I 的子集，若 A∩B＝{1,2}，则称(A，B)为一个“理想配集”．若
将(A，B)与(B，A)看成不同的“理想配集”，
按其中一个子集中元素个数分类23个个；； 4个.
即十位数字最小． 称该数为“驼峰数”．比如 102,546 为“驼峰数”，由数字 1,2,3,4 构成的无重复数字 的“驼峰数”有________个．
高考一轮总复习•数学
第22页
解析：(1)由分步乘法计数原理知，用 0,1，…，9 十个数字组成三位数(可有重复数字) 的个数为 9×10×10＝900，组成没有重复数字的三位数的个数为 9×9×8＝648，则组成有 重复数字的三位数的个数为 900－648＝252.故选 B．
(2)根据题意知，a，b，c 的取值范围都是区间[7,14]中的 8 个整数，故公差 d 的范围是区 间[－3,3]中的整数．①当公差 d＝0 时，有 C18＝8(种)；②当公差 d＝±1 时，b 不取 7 和 14， 有 2×C16＝12(种)；③当公差 d＝±2 时，b 不取 7,8,13,14，有 2×C14＝8(种)；④当公差 d＝±3 时，b 只能取 10 或 11，有 2×C12＝4(种)．综上，共有 8＋12＋8＋4＝32(种)不同的分珠计数 法．
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第3讲 圆的方程随堂演练巩固1.点P (2,-1)为圆22(1)25x y -+=内弦AB 的中点,则直线AB 的方程是( )A.x -y -3=0B.2x +y -3=0C.x +y -1=0D.2x -y -5=0【答案】A【解析】因为过圆心和点P 的直线垂直于弦AB 所在的直线,设圆心C(1,0),直线C P 、AB 的斜率分别为CP k 、AB k ,则1CP AB k k ⋅=-,即0(1)112AB k --⋅=-,-所以1AB k =. 又直线AB 过点P (2,-1),所以直线AB 的方程为y +1=x -2,即x -y -3=0.2.已知点O (0,0),A(6,0),B(0,8),C(5,8),下列判断正确的是( )A.O 、A 、B 、C 四点共圆,且圆的半径为5B.O 、A 、B 、C 四点不共圆,点C 在过O 、A 、B 三点的圆外C.O 、A 、B 、C 四点不共圆,点C 在过O 、A 、B 三点的圆内D.O 、A 、B 、C 四点共圆,且圆的半径为25【答案】C【解析】由于OA OB ⊥,∴过O 、A 、B 三点的圆以AB 长为直径.圆心M (3,4),半径r=2216852+=. ∴M e 的方程为22(3)(4)25x y -+-=.由于2(53)(8-+-24)2025=<,∴点C(5,8)在M e 的内部.3.由直线y =x +1上的一点向圆22(3)1x y -+=引切线,则切线长的最小值为( ) A.1 B.22 C.7 D.3【答案】C【解析】如图所示,设直线上一点P ,由P 所引圆的切线的切点为Q ,圆心为M ,则|PQ |即为切线长,MQ 为圆M 的半径,长度为1,|PQ |2221PM MQ PM =||-||=||-,要使|PQ |最小,即求|PM |的最小值,此题转化为求直线y =x +1上的点到圆心M 的最小距离,设圆心到直线y =x +1的距离为d,则22221(1)d ==,+-∴|PM |的最小值为22.∴|PQ |221(22)17PM =||-≥-=.4.若圆心在直线2x -y -7=0上的圆C 与y 轴交于两点A(0,-4),B(0,-2),则圆C 的方程为 .【答案】22(2)(3)5x y -++=【解析】圆心是AB 的垂直平分线和直线2x -y -7=0的交点,则圆心为E (2,-3),r=|EA |415=+=,故圆的方程为222(2)(3)5x y r -++==.课后作业夯基基础巩固1.圆心在y 轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的方程是( )A.22(2)1x y +-=B.22(2)1x y ++=C.22(1)(3)1x y -+-=D.22(3)1x y +-= 【答案】A【解析】设圆的圆心为C(0,b ),则22(01)(2)1b -+-=,∴b =2.∴圆的标准方程是22(2)1x y +-=.2.若方程222(2)20a x a y ax a ++++=表示圆,则a 的值是( )A.-1B.2C.-1或2D.1【答案】A【解析】当方程222(2)20a x a y ax a ++++=表示圆时,0a ≠. ∴方程可转化为22222a x y x a a++++10a =. 若方程表示圆,则有2222214440a a D E F a a +⎧=,⎪⎨⎪+-=->,⎩即1210a a a a =-=,⎧⎨<≠,⎩或且 也即a =-1时方程表示圆. 3.已知圆的方程为22268x y x y +-++=0,那么下列直线中经过圆心的直线的方程为( )A.2x -y +1=0B.2x -y -1=0C.2x +y +1=0D.2x +y -1=0【答案】C【解析】圆的方程可化为22(1)(3)2x y -++=,圆心为(1,-3),而(1,-3)满足2x +y +1=0. ∴直线2x +y +1=0过圆心.4.已知两点A(-1,0),B(0,2),点P 是圆22(1)1x y -+=上任意一点,则△PAB 面积的最大值与最小值分别是( )A.12(45)2, B.11(45)(45)22+, 545,D.1152)52)22, 【答案】B【解析】如图,圆心(1,0)到直线AB :2x -y +2=0的距离为45d =故圆上的点P 到直线AB 的距离的415+,415-.又|AB |5=,故△PAB 面积的最大值和最小值分别是552222+,-. 5.若两条直线y =x +2a ,y =2x +a 的交点P 在圆22(1)(1)4x y -+-=的内部,则实数a 的取值范围是( ) A.115a -<< B.a >1或15a <- C.115a -≤< D.1a ≥或15a ≤- 【答案】A【解析】由22y x a y x a =+,⎧⎨=+,⎩ 得P (a ,3a ),∴22(1)(31)4a a -+-<.∴115a -<<,故应选A. 6.若圆22240x y x y +--=的圆心到直线x -y -a =0的距离为22,则a 的值为( ) A.-2或2B.12或32C.-2或0D.2或0 【答案】C【解析】∵圆22240x y x y +--=的圆心(1,2)到直线x -y -a =0的距离为22,∴22=.∴a =-2或a =0,选C. 7.已知圆C 的方程为22(3)(4)25x y -+-=.设过点(3,5)的直线l 将圆C 分成两段弧,当其中的劣弧最短时,直线l 被圆C 截得的弦长为( )A.66B.46C.266 【答案】B【解析】依题意知劣弧最短时,弦长最短,故过点(3,5)的最短弦长为2225146-=,选B. 8.设A 为圆22(1)1x y -+=上的动点,PA 是圆的切线且|PA |=1,则P 点的轨迹方程是( )A.22(1)4x y -+=B.22(1)2x y -+=C.22y x =D.22y x =- 【答案】B【解析】作图可知圆心(1,0)到P 2,所以P 在以(1,0)为圆心,2为半径的圆上,其轨迹方程为2(1)x -22y +=.9.已知圆C:2223x y x ay +++-=0(a 为实数)上任意一点关于直线l :x -y +2=0的对称点都在圆C 上,则a = . 【答案】-2 【解析】由题意,知直线x -y +2=0需经过圆心(1)2a -,-,所以1202a -++=,从而有a =-2. 10.已知M 是圆C:221x y +=上的动点,点N(2,0),则M N 的中点P 的轨迹方程是 .【答案】221(1)4x y -+= 【解析】设P (x 00)()y M x y ,,,,则00222x x y y =-,=,∵22001x y +=,∴点P 的轨迹方程是221(1)4x y -+=. 11.已知直线1l :4x +y =0,直线2l :x +y -1=0以及2l 上一点P (3,-2).求圆心C 在1l 上且与直线2l 相切于点P 的圆的方程.【解】设圆心为C(a ,b ),半径为r,依题意,得b =-4a .又2PC l ⊥,直线2l 的斜率21k =-,∴过P ,C 两点的直线的斜率2(4)13PC a k a---==,- 解得a =1,b =-4,r=|P C|22=.故所求圆的方程为22(1)(4)8x y -++=.12.如图,已知点A(-1,0)与点B(1,0),C 是圆221x y +=上的动点,连接BC 并延长至D,使得|CD |=|BC |,求AC 与OD 的交点P 的轨迹方程.【解】设动点P (x ,y ),由题意可知P 是△AB D 的重心.由A(-1,0),B(1,0),令动点00()C x y ,,则00(212)D x y -,,由重心坐标公式:0011(21)323x x y y -++-⎧=,⎪⎨⎪=,⎩则0003123(0)2x x y y y +⎧=,⎪⎨⎪=≠,⎩ 代入221x y +=,整理得 所求轨迹方程为2214()(0)39x y y ++=≠. 13.已知圆M 过两点C(1,-1),D(-1,1),且圆心M 在x +y -2=0上.(1)求圆M 的方程;(2)设P 是直线3x +4y +8=0上的动点,PA 、PB 是圆M 的两条切线,A 、B 为切点,求四边形PAM B 面积的最小值.【解】 (1)设圆M 的方程为222()()(0)x a y b r r -+-=>. 根据题意,得222222(1)(1)(1)(1)20a b r a b r a b ⎧-+--=,⎪--+-=,⎨⎪+-=,⎩解得a =b =1,r=2,故所求圆M 的方程为22(1)(1)4x y -+-=.(2)因为四边形PAM B 的面积12PAM PBM S S S =+=V V |AM |⋅|PA |12+|BM |⋅|PB |, 又|AM |=|BM |=2,|PA |=|PB |,所以S =2|PA |,而|PA|==即S =因此要求S 的最小值,只需求|PM |的最小值即可,即在直线3x +4y +8=0上找一点P ,使得|PM |的值最小,所以|PM|min 3==.所以四边形PAM B 面积的最小值为S===.拓展延伸14.已知方程2222(3)2(14)x y t x t y +-++-+4169t +=0表示一个圆.(1)求t 的取值范围;(2)求该圆半径的取值范围;(3)当t 在上述范围内变化时,求该圆圆心的轨迹方程.【解】(1)方程表示圆的充要条件是224D E F +-=24(3)t ++4(1-2244)4(169)0t t -+>,解得17-<t<1,即t 的取值范围是{t|117t -<<}. (2)圆的方程可化为[x -2(3)]t ++22[(41)]y t --=23167()77t --+,所以r =≤.因此0r <≤. (3)设圆心P 的坐标为00()x y ,,则 020341x t y t =+,⎧⎨=-,⎩消去参数t 得2004(3)y x =--201(7<04)x <. 因此圆心P 的轨迹方程为y =4(x -23)-201(7<x <4).。