(新教材)2022年人教B版数学必修第四册学案：11.1.4 棱锥与棱台 (含解析)
新教材数学人教B版必修第四册练习：11.1.3 多面体与棱柱Word版含解析
11.1.3多面体与棱柱必备知识基础练进阶训练第一层知识点一多面体相关概念．如图所示的多面体中，底面ABCDE为正五边形，回答下列问题：1)写出多面体的体对角线；2)指出多面体的顶点数V、棱数E、面数F，以及它们满足的关系式；3)写出与棱AB异面的棱；4)写出AB与平面BCC1B1的位置关系，并用符号表示．．如图所示的多面体，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为1的正方形，且DP＝BE＝1，△APE，△PEC都为等边三角形．1)写出直线AB与平面PAD，平面EBC与平面ABE的位置关系，并用符号表示；2)知识点二棱柱的结构特征.下列说法正确的是()．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体．九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面均为平行四边形．下列关于棱柱的说法：所有的面都是平行四边形；②每一个面都不会是三角形；③两底面平行，并且各侧棱也平行；④被平面截成的两部分可以都是棱柱．中正确的说法的序号是________．．如图所示，长方体ABCDA1B1C1D1，M，N分别为棱A1B1，C1D1的中点．1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？2)用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几知识点三棱柱的有关计算.如图所示，在长方体中，AB＝2cm，AD＝4cm，AA′＝3cm.求：1)这个长方体的表面积；2)体对角线BD′的长；3)在长方体表面上连接A、C′两点的所有曲线的长度的最小值．．如图所示，直平行六面体ABCDA1B1C1D1，底面ABCD为菱形，边长为2cm，∠ABC＝120°，高AA1＝6cm.求：1)体对角线AC1的长；2)1关键能力综合练进阶训练第二层、选择题．下列几何体中棱柱有()．5个B．4个．3个D．2个．如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是()．棱柱．棱台．棱柱与棱锥的组合体．不能确定．如图，三棱柱ABCA1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是()．CC1与B1E是异面直线．C1C与AE相交．AE与B1C1是异面直线．AE与平面A1B1C1相交．如图，①～⑤均由4个棱长为1的小正方体构成，模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成．现从模块①～⑤中选出三个放到模块⑥上，使得模块⑥成为一个棱长为3的大正方体．则下列选择方案中，能够完成任务的为()．模块①②⑤B．模块①③⑤．模块②④⑤D．模块③④⑤．(探究题)水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的表面展开图(图中数字写在正方体的外表面上)，若图中“0”上方的“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是()．1B．2．快D．乐．长方体的高为1，底面积为2，垂直于底的对角面的面积是5，则长方体的表面积等于()．27B．43．10D．6、填空题．一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60cm，则每条侧棱长为________cm.．用一个平面去截一个正方体，截面边数最多是________条．．在长方体ABCDA1B1C1D1中，与面对角线BC1所在的直线异面的棱有________________________；在长方体的六个面中，与BC1相交的平面有__________________________．、解答题0．底面ABCD为菱形的直棱柱ABCDA1B1C1D1，其底面对角线AC，BD的长分别为2和23，高AA1的长为3，求：1)这个棱柱的体对角线长AC1，BD1；2)学科素养升级练进阶训练第三层．(多选)正方体截面的形状有可能为()．正三角形B．正方形．正五边形D．正六边形．如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝BC＝22，CC1＝4，∠ABC＝90°，E、F分别是AA1，C1B1的中点，沿棱柱的表面从点E到点F的最短路径的长度为________．．(学科素养——运算能力)如图是棱长都为1的直平行六面体ABCDA1B1C1D1，且∠DAB＝60°.1)写出直线AB与直线CC1，直线AC1与平面ABCD，平面ABCD与平面A1B1C1D1之间的位置关系；2)求这个直平行六面体的表面积；3)求线段AC1的长．11．1.3多面体与棱柱必备知识基础练．解析：(1)体对角线有AC1，AD1，BD1，BE1，CE1，CA1，DA1，DB1，EB1，EC1；2)顶点数V＝10，棱数E＝15，面数F＝7，满足V＋F－E＝2；3)与棱AB异面的棱有CC1，DD1，EE1，B1C1，C1D1，A1E1，D1E1；4)AB与平面BCC1B1的相交于点B，即AB∩平面BCC1B1＝B.．解析：(1)直线AB与平面P AD相交于点A，即AB∩平面P AD＝A；平面EBC与平面ABE 相交于BE，即平面EBC∩平面ABE＝BE.2)因为PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AD，PD⊥DC.为四边形ABCD是边长为1的正方形，且DP＝1，以S四边形ABCD＝1，S△P AD＝S△PDC＝12，为△APE，△PEC都为等边三角形，且P A＝PC＝2，所以S△APE＝S△PEC＝12×2×62＝32.为在△ABE，△BCE中，且AB＝BC＝BE＝1，E＝EC＝2，所以BE⊥AB，BE⊥BC，以S△ABE＝S△BCE＝12，以表面积为1＋12×4＋32×2＝3＋ 3.．答案：D析：选项A，B都不正确，反例如图所示．选项C也不正确，上、下底面是全等的菱形，各侧面是全等的正方形的四棱柱不是正方体．根据棱柱的定义知选项D正确．．答案：③④析：①错误，棱柱的底面不一定是平行四边形；②错误，棱柱的底面可以是三角形；③正确，由棱柱的定义易知；④正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱．所以说法正确的序号是③④.．解析：(1)是棱柱，并且是四棱柱，因为以长方体相对的两个面作底面，是互相平行的，其余各面都是矩形，且四条侧棱互相平行，符合棱柱的定义．2)截面BCNM右上方部分是三棱柱BB1MCC1N，左下方部分是四棱柱ABMA1DCND1.．解析：(1)底面ABCD的面积为2×4＝8cm2，侧面BCC′B′的面积为4×3＝12cm2，侧面ABB′A′的面积为2×3＝6cm2，所以表面积为(8＋12＋6)×2＝52cm2.2)因为DD′⊥底面ABCD，所以DD′⊥BD.Rt△ABD中，BD2＝22＋42＝20，在△BDD′中，DD′＝3，由勾股定理得，BD′＝29.3)将长方体的表面展开为平面图形，这就将原问题转化为平面问题．本题所求必在下面所示的三个图中，从而连接AC′的诸曲线中长度最小的为41cm(如图乙所示)．．解析：(1)连接AC，AC1，则CC1⊥AC，又AC＝23，CC1＝6，所以AC1＝43cm.2)如图，将直平行六面体展开，连接AA1′，因为AA′＝8cm，AA1＝6cm，根据两点之间线段最短，AA1′＝82＋62＝10cm.所以所用细线最短需要10cm.关键能力综合练．答案：D析：由棱柱定义知，①③为棱柱．．答案：A析：如图，∵平面AA1D1D∥平面BB1C1C，∴有水的部分始终有两个平面平行，而其余各面都易证是平行四边形(水面与两平行平面的交线)因此呈棱柱形状．．答案：C析：由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内，故C1C与B1E是共面的，所以A错误；由于C1C 在平面C1B1BC内，而AE与平面C1B1BC相交于E点，点E不在C1C上，故C1C与AE是异面直线，B错误；同理AE与B1C1是异面直线，C正确；而AE⊂平面ABC，平面ABC∥平面A 1B 1C 1，所以AE ∩平面ABC ＝∅，所以AE ∥平面A 1B 1C 1，D 错误．．答案：A．答案：B析：由题意，将正方体的展开图还原成正方体，1与乐相对，2与2相对，0与快相对，所以下面是2.．答案：C析：设长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c ，则c ＝1，ab ＝2，a 2＋b 2·c ＝5，a ＝2，b ＝1，故长方体的表面积S ＝2(ac ＋bc ＋ab )＝10.．答案：12析：因棱柱有10个顶点，所以该棱柱为五棱柱，共有五条侧棱，所以侧棱长为605＝12(cm)． ．答案：6析：如图，所得截面为六边形．．答案：AD ，CD ，AA 1，DD 1，A 1B 1，A 1D 1平面ABCD ，平面A 1B 1C 1D 1，平面ABB 1A 1，平面DCC 1D 1析：由异面直线的定义知，与BC 1所在的直线异面的棱有AD ，CD ，AA 1，DD 1，A 1B 1，A 1D 1；由图观察得，在长方体的六个面中，与BC 1相交的平面有平面ABCD ，平面A 1B 1C 1D 1，平面ABB 1A 1，平面DCC 1D 1.0．解析：(1)∵CC 1⊥平面ABCD ，DD 1⊥平面ABCD ，CC 1⊥AC ，DD 1⊥BD ，AC 1＝22＋32＝13，BD 1＝(23)2＋32＝21. 2)设该棱柱的底面边长为a ，由题意得 ＝12＋(3)2＝2，S 棱柱表＝2S 底＋S 侧 2×2×12×1×23＋4a ×343＋24.该棱柱的表面积为24＋4 3.学科素养升级练．答案：ABD析：画出截面图形如图，以画出正三角形但不是直角三角形(如图1)；以画出正方形(如图2)；过正方体的一个顶点去切就可得到五边形．但此时不可能是正五边形(如图3)；方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，且可以画出正六边形(如图4)．故选ABD.．答案：32析：因为E、F两点分别在AA1，C1B1上，所以展开后的图形中必有AA1、C1B1，故展开方式有以下四种：①沿CC1将平面ACC1A1和平面BCC1B1展开至同一平面，如图(1)，F2＝22＋(4＋2)2＝22＋82；②沿B1B将平面A1ABB1和平面BCC1B1展开至同一平面，如图(2)，EF2＝22＋(32)2＝22；③沿A1B1将平面A1ABB1和平面A1B1C1展开至同一平面，如图(3)，EF2＝(22)2＋(2＋2)2＝14＋42；④沿A1C1将平面ACC1A1和平面A1B1C1展开至同一平面，如图(4)，EF2＝32＋32＝18.经比较可得，EF的最小值为3 2.．解析：(1)直线AB与直线CC1异面，直线AC1∩平面ABCD＝A，平面ABCD∥平面A1B1C1D1.2)底面ABCD是如图所示的菱形，由已知可得：BD＝1，AC＝3，此该底面的面积为12×1×3＝3 2.因为每个侧面的面积为1，所以表面积为3＋4.3)因为是直平行六面体，所以CC1⊥平面ABCD，所以CC1⊥AC. Rt△ACC1中，由AC＝3，CC1＝1，∴AC1＝2.。
新教材人教B版高中数学选择性必修第四册课时练习-棱锥与棱台
课时练习(十二) 棱锥与棱台(建议用时：40分钟)一、选择题1．若一个正棱锥的各棱长和底面边长均相等，则该棱锥一定不是()A．三棱锥B．四棱锥C．五棱锥D．六棱锥D[因为正六边形的边长与它的外接圆半径相等，所以满足上述条件的棱锥一定不是六棱锥．]2．如图所示，不是正四面体(各棱长都相等的三棱锥)的展开图的是()A．①③B．②④C．③④D．①②C[可选择阴影三角形作为底面进行折叠，发现①②可折成正四面体，③④不论选哪一个三角形作底面折叠都不能折成正四面体．]3．下面说法中，正确的是()A．上下两个底面平行且是相似四边形的几何体是四棱台B．棱台的所有侧面都是梯形C．棱台的侧棱长必相等D．棱台的上下底面可能不是相似图形B[由棱台的结构特点可知，A、C、D不正确．]4．下列三种叙述，其中正确的有()①两个底面平行且相似，其余的面都是梯形的多面体是棱台；②如图所示，截正方体所得的几何体是棱台；③有两个面互相平行，其余四个面都是梯形的六面体是棱台．A．0个B．1个C．2个D．3个A[①不正确，因为不能保证各侧棱的延长线交于一点．②不正确，因为所得几何体两底面不相似，侧棱延长后不交于一点．③不正确，因为它们的侧棱延长后不一定交于一点，用一个平行于楔形底面的平面去截楔形，截得的几何体虽有两个面平行，其余各面是梯形，但它不是棱台．]5．正三棱锥的底面边长为a ，高为66a ，则此棱锥的侧面积等于( ) A ．34a 2 B ．32a 2 C ．334a 2 D ．332a 2A [如图，在三棱锥S -ABC 中，AB ＝a ，SO ＝66a ，于是OD ＝13·AB ·sin 60°＝36a ，从而SD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫66a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫36a 2＝a2，故三棱锥的侧面积为S ＝3×12×a ×a 2＝34a 2.]二、填空题6．如图，已知四边形ABCD 是一个正方形，E ，F 分别是边AB 和BC 的中点，沿折痕DE ，EF ，FD 折起得到一个空间几何体，则这个空间几何体是________(只填几何体的名称)．三棱锥 [折起后是一个三棱锥(如图所示)．]7．若一个棱台共有21条棱，则这个棱台是________棱台．七 [由棱台的概念可知，棱台的上下底面为相似多边形，边数相同；侧面为梯形，侧面个数与底面多边形边数相同，可知该棱台为七棱台．]8．侧面是直角三角形的正三棱锥，底面边长为a ，该三棱锥的表面积为________．3＋34a 2[底面边长为a，则斜高为a2，故S侧＝3×12×a×12a＝34a2.而S底＝34a2，故S表＝3＋34a2.]三、解答题9．试从正方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点中任取若干，连接后构成以下空间几何体，并且用适当的符号表示出来．(1)只有一个面是等边三角形的三棱锥；(2)四个面都是等边三角形的三棱锥；(3)三棱柱．[解](1)如图所示，三棱锥A1-AB1D1(答案不唯一)．(2)如图所示，三棱锥B1-ACD1(答案不唯一)．(3)如图所示，三棱柱A1B1D1-ABD(答案不唯一)．10．如图，正四棱台AC′的高是17 cm，两底面的边长分别是4 cm和16 cm，求这个棱台的侧棱长和斜高．[解]设棱台两底面的中心分别是O′和O，B′C′，BC的中点分别是E′，E.连接O′O，E′E，O′B′，OB，O′E′，OE，则四边形OBB′O′，OEE′O′都是直角梯形．在正方形ABCD中，BC＝16 cm，则OB＝8 2 cm，OE＝8 cm；在正方形A′B′C′D′中，B′C′＝4 cm，则O′B′＝2 2 cm，O′E′＝2 cm.在直角梯形O′OBB′中，BB′＝OO′2＋(OB－O′B′)2＝172＋(82－22)2＝19(cm)．在直角梯形O′OEE′中，EE′＝OO′2＋(OE－O′E′)2＝172＋(8－2)2＝513(cm)．即这个棱台的侧棱长为19 cm，斜高为513 cm.11．(多选题)对有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体，下列说法正确的是()A．可能是棱锥B．可能是棱台C．一定不是棱锥D．一定不是棱柱BCD[有两个面互相平行，故此多面体一定不是棱锥，其余各面都是梯形，所以也不是棱柱，棱柱的侧面都是平行四边形，选B、C、D．]12．若棱长为1的正四面体ABCD中，M和N分别是边AB和CD的中点，则线段MN的长度为()A．22B． 2 C．33D．2A[如图，连接AN，BN，∵正四面体ABCD的棱长为1，N是CD的中点，∴BN＝AN＝3 2.∵M是AB的中点，∴MN⊥AB，∴MN＝BN2－BM2＝34－14＝22.]13．已知正三棱锥的高是10 cm，底面积是12 3 cm2，则它的侧棱长是________cm.229 [如图，已知三棱锥高SO＝10 cm，S正△ABC＝123，∴底面正三角形边长BC＝4 3.又O为△ABC中心，∴OC＝23CD＝23·32·43＝4.在Rt△SOC中，SC＝SO2＋OC2＝102＋42＝229.]14．在如图所示的三棱锥A-BCD中，BD＝2，DC＝3，∠DAB＋∠BAC＋∠DAC ＝90°，∠ADB＝∠BDC＝∠ADC＝90°.现有一只蚂蚁从点D出发经三棱锥A-BCD 的三个侧面绕行一周后回到点D，则蚂蚁爬行的最短距离为________．52[三棱锥的侧面展开图如图(实线部分)所示．由题意知，蚂蚁爬行的最短距离即为DD ′. ∵∠DAB ＋∠BAC ＋∠DAC ＝90°， ∴∠DAD ′＝90°.∵∠ADB ＝∠BDC ＝∠ADC ＝90°且AD ＝AD ′， ∴四边形ADED ′为正方形． 由题意，得BC ＝22＋32＝13， 设CE ＝x ，则BE ＝13－x 2. ∵DE ＝D ′E ，∴3＋x ＝2＋13－x 2，解得x ＝2， ∴DE ＝D ′E ＝5， ∴DD ′＝25＋25＝5 2.]15．设正三棱锥S -ABC 的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO ＝3，求此正三棱锥的表面积．[解] 如图所示，设正三棱锥的底面边长为a ，斜高为h ′，过O 作OE ⊥AB ，垂足为E ，连接SE ，则SE ＝h ′.∵S 侧＝2S 底，∴3×12ah ′＝34a 2×2，∴a ＝3h ′. ∵SO ⊥OE ，且OE ＝13×32a ＝36×3h ′＝h ′2， ∴由SO 2＋OE 2＝SE 2，得32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫h ′22＝h ′2，∴h ′＝23，a ＝3h ′＝6，∴S底＝34a2＝34×62＝93，S侧＝2S底＝183，∴S表＝S侧＋S底＝183＋93＝27 3.。
11.1.4 棱锥与棱台 练习(1)(原卷版)
11.1.4棱锥与棱台【基础练习】一、单选题1．下列几何体是棱台的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．如图，在三棱台111ABC A B C -中，截去三棱锥1A ABC -，则剩余的部分是（ ）A ．三棱锥B ．四棱锥C ．三棱柱D ．五棱锥3．棱锥被平行于底面的平面所截，若截面面积与底面面积之比为1∶2，则此棱锥的高被分成的两段之比为（ ）A ．1∶2B ．1∶4C ．1∶－1)D ．1∶＋1)4．正三棱锥的侧棱长为2，高为1，则该正三棱锥的底面周长为（ ）A ．6B ．9C ．12D ．185．《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设1AA 是正六棱柱的一条侧棱，AA为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（）如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以1A．4B．8C．12D．16二、填空题6．正三棱锥的底面边长为3，则此正三棱锥的高为______.7．如图，正四棱锥P﹣ABCD的侧棱长为4，侧面的顶角均30°，过点A作一截面与PB、PC、PD分别相交于E、F、G，则四边形AEFG周长的最小值为_____．8．已知一个正四棱台的上、下底面的边长分别为1和2，其侧面积恰等于两底面积之和，则该正四棱台的高为___________．三、解答题9，求它的斜高.10．已知四棱台的上底面、下底面分别是边长为4、8，求四棱台的高．【提升练习】一、单选题1．用一个平面去截一个四棱锥，截面形状不可能的是()A．四边形B．三角形C．五边形D．六边形2．设棱锥的底面面积是8cm2，那么这个棱锥的中截面的面积是（）A．4cm2B．2C．2cm2D23．某人用如图所示的纸片，沿折痕折后粘成一个四棱锥形的“走马灯”，正方形做灯底，且有一个三角形面上写上了“年”字，当灯旋转时，正好看到“新年快乐”的字样，则在①、②、③处应依次写上（）A ．快、新、乐B ．乐、新、快C ．新、乐、快D ．乐、快、新4．如图，记长方体1111ABCD A B C D -被平行于棱11B C 的平面EFGH 截去右上部分后剩下的几何体为Ω，则下列结论中不正确的是( )A ．//EH FGB ．四边形EFGH 是平行四边形C ．Ω是棱柱D ．Ω是棱台5．以三棱台的顶点为三棱锥的顶点，这样可以把一个三棱台分成三棱锥的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．0二、填空题6．关于如图所示几何体的正确说法为_____．①这是一个六面体；②这是一个四棱台；③这是一个四棱柱；④这是一个四棱柱和三棱柱的组合体；⑤这是一个被截去一个三棱柱的四棱柱．7．如图，是一个四棱锥的平面展开图，其中间是边长为2的正方形，上面三角形是等边三角形，左、右三角形是等腰直角三角形，则此四棱锥的体积为_____．8．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，2AB =，13AA =，O 为上底面中心．设正四棱柱1111ABCD A B C D -与正四棱锥1111O A B C D -的侧面积分别为1S ，2S ，则21S S =__________． 三、解答题9．在正方形ABCD 中，,E F 分别为,AB BC 的中点，现在沿,DE DF 及EF 把,ADE CDF ∆∆和BEF ∆折起，使,,A B C 三点重合，重合后的点记为P ．（1）依据题意制作这个几何体．（2）这个几何体有几个面，每个面的三角形为什么形状的三角形？（3）若正方形的边长为2a ，则每个面的三角形的面积为多少？10．正六棱锥被过棱锥高的中点且平行于底的平面所截，得到正六棱台和较小的棱锥.（1）求大棱锥、小棱锥、棱台的侧面积之比；（2）若大棱锥的侧棱长为12cm，小棱锥的底面边长为4cm，求截得的棱台的侧面积与全面积.。
第4课时 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
|第4课时棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积|知识技能1．知道棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式．2．能用公式解决简单的实际问题思想方法通过经历几何体的侧面展开过程，感知几何体的形状，理解几何体的表面积的推导过程，提高空间思维能力和空间想象力．数学素养1．在探索棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的过程中，发展直观想象和逻辑推理素养．2．在求棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的过程中，发展直观想象和数学运算素养．重点：棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积公式的推导与应用．难点：通过柱、锥、台的侧面展开图特点理解侧面积计算公式的结构特征．问题导引预习教材P114～115，思考下面的问题：1．前面我们已经研究了棱柱、棱锥、棱台的有关概念和特征，也了解了其平面展开图，那么怎样计算其表面积呢？2．怎样计算棱柱、棱锥、棱台的体积呢？即时体验1．棱长为a的正方体的表面积为6a2．2．已知一个长方体的底面是面积为4m2的正方形，它的侧面展开图正好也是一个正方形，那么这个长方体的侧面积是(B)A．16m2B．64m2C．48m2D．24m23．若一个正方体的棱长是另一个正方体棱长的2倍，则其体积是另一个正方体体积的(B)A．4倍B．8倍C．2倍D．16倍4．若一个长方体的体积是1．8dm3，宽是15cm，高是6cm，则它的长是(A)A．2dm B．20dmC．2cm D．45cm一、数学运用[1]巩固练习正棱台的侧面积求解方法及求解公式，提升学生的数学运算能力．已知正四棱台(上、下底面都是正方形，上底面的中心在下底面的投影是下底面的中心)的下底面边长为8，高和上底面边长都是4，求它的侧面积．[1](见学生用书课堂本P53)[处理建议]由正棱台的侧面积计算公式可知，首先要求出它的斜高，故应构造出包含高和斜高的直角三角形求解．[规范板书]解解法1：如图①，E,E1分别是BC,B1C1的中点，O,O1分别是下、上底面的中心，则O1O为正四棱台的高，所以O1O＝4．(例1答图①)连接OE,O1E1，则OE＝12AB＝12×8＝4,O1E1＝12A1B1＝2．过点E1作E1H⊥OE，垂足为H，则E1H＝O1O＝4,OH＝O1E1＝2，所以HE＝OE－O1E1＝2．在Rt△E1HE中，E1E2＝E1H2＋HE2＝82＋22＝22×17，所以E1E＝217，因此S侧＝4×12×(BC＋B1C1)×E1E＝2×(8＋4)×217＝4817．解法2：如图②，正四棱台的侧棱延长交于一点P ．取B 1C 1,BC 的中点E 1,E ，则EE 1的延长线必过点P (以后可以证明)，O 1,O 分别是正方形A 1B 1C 1D 1与正方形ABCD 的中心．(例1答图②)由正棱台的定义有O 1E 1＝12A 1B 1＝2,OE ＝12AB ＝4，所以有PO 1PO ＝O 1E 1OE ＝24，即PO 1PO 1＋O 1O＝12， 所以PO 1＝O 1O ＝4．在Rt △PO 1E 1中，PE 21＝PO 21＋O 1E 21＝82＋22＝22×17, PE 2＝PO 2＋OE 2＝162＋42＝42×17，所以E 1E ＝PE －PE 1＝417－217＝217．从而S 侧＝4×12×(BC ＋B 1C 1)×E 1E ＝2×(8＋4)×217＝4817．[题后反思] (1)解决有关正棱台的问题时，常用的两种解题思路：一是把基本量转化到直角梯形中去解决；二是把正棱台还原成正棱锥，利用正棱锥的有关知识来求解．(2)求解正棱台的表面积时注意棱台的四个基本量：底面边长、高、斜高、侧棱，并注意两个直角梯形的应用：①高、侧棱、上下底面多边形的中心与顶点连线所成的直角梯形；②高、斜高、上下底面边心距所成的直角梯形．已知正三棱台的上、下底面的边长分别为2和4，棱台的侧棱长为3，求它的侧面积．[规范板书] 解 如图，作出正三棱台ABC -A 1B 1C 1，过点B 作BM ⊥B 1C 1于点M ．易知在Rt △BB 1M 中，B 1M ＝1,BB 1＝3，(变式答图)故BM ＝BB 21－B 1M 2＝2，所以S 侧＝12×(2＋4)×3×2＝92． [题后反思] 此题中构造包含侧棱和斜高的直角三角形是解题的关键．[2]通过求基本量求棱柱、棱锥、棱台的体积．若一个正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为15，求这个三棱锥的体积．[2](见学生用书课堂本P53)[处理建议] 由三棱锥的体积公式知，首先要求出三棱锥的高这一基本量， 故应构造包含侧棱和高的直角三角形．[规范板书] 解 作AO ⊥平面BCD ，垂足为O ．(例2答图)由题意知O 为正三角形的中心，连接BO 并延长，交CD 于点M ，则M 为CD 的中点．在Rt △ABO 中，AO ＝AB 2－BO 2＝(15)2－(23)2＝3，所以V A -BCD ＝13Sh ＝13×93×3＝9．[题后反思] 本题的关键是求出三棱锥的高．已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为20和30的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面的面积之和，求棱台的高和体积．[规范板书] 解 如图，在三棱台ABC -A ′B ′C ′中，O ′，O 分别为上、下底面的中心，D ′，D 分别是B ′C ′，BC 的中点，连接OO ′，A ′D ′，AD,DD ′，则点O,O ′分别在AD,A ′D ′上，DD ′是等腰梯形BCC ′B ′的高，记为h 0，所以S 侧＝3×12×(20＋30)h 0＝75h 0．(变式答图)上、下底面面积之和为S 上＋S 下＝34×(202＋302)＝3253．由S 侧＝S 上＋S 下，得75h 0＝3253，所以h 0＝1333． O ′D ′＝13×32×20＝1033， OD ＝13×32×30＝53．记棱台的高为h ，则h ＝O ′O ＝h 20－(OD －O ′D ′)2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13332－⎝⎛⎭⎪⎫53－10332＝43， 故棱台的体积V ＝h 3(S 上＋S 下＋S 上S 下)＝433×⎝ ⎛⎭⎪⎫3253＋34×20×30＝1900．[3]棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积公式的运用．如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，用截面截下一个棱锥C -A 1DD 1，求三棱锥C -A 1DD 1的体积与剩余部分的体积之比．[3](例3)(见学生用书课堂本P54)[处理建议] 求三棱锥的体积主要有三种方法：①直接法，②割补法，③等价转化法．本题使用割补法最为便捷．[规范板书] 解 设D 1A 1＝a,D 1D ＝b,D 1C 1＝c ，则长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的体积为abc ．而三棱锥C -A 1DD 1的体积为13×12×a ×b ×c ＝16abc ，因此剩余部分的体积为abc －16abc ＝56abc ，所以C -A 1DD 1的体积与剩余部分的体积之比为1∶5．[题后反思] (1)割补法：分割法和补形法统称为割补法．当一个几何体的形状不规则时，常将此几何体通过分割或补形的方法变为一个或几个规则、体积易求的几何体，然后计算．(2)三棱锥也即四面体C -A 1DD 1的体积可以根据条件选择恰当的一面作为底，方便求面积．如图，在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，截去三棱锥A 1-ABD ，求剩余的几何体A 1B 1C 1D 1-DBC 的表面积．(变式1)[规范板书] 解 由图可知△A 1BD 是边长为2a 的等边三角形，其面积为32a 2，故所求几何体A 1B 1C 1D 1-DBC 的表面积S ＝S △A 1BD ＋3S △DBC ＋3S 正方形A 1B 1C 1D 1＝32a 2＋3×12×a 2＋3a 2＝3＋92a 2．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E,F分别为AB,AC的中点，平面EB1C1F将三棱柱分成两部分，求这两部分的体积之比．(变式2)[规范板书]解截面EB1C1F将三棱柱分成两部分，一部分是三棱台AEF-A1B1C1，另一部分是一个不规则几何体，故可以利用棱柱的体积减去棱台的体积求得．设三棱柱ABC-A1B1C1的底面积为S，高为h，则△AEF的面积为14S，由于V1＝VAEF-A1B1C1＝13·h·⎝⎛⎭⎪⎫S4＋S＋S2＝712hS，剩余的不规则几何体的体积为V2＝V－V1＝hS－712hS＝512hS，所以两部分的体积之比为V1∶V2＝7∶5．[4]求组合体的表面积和体积．已知一个造桥用的钢筋混凝土预制件的尺寸如图所示(单位：m)，那么浇制一个这样的预制件需要多少立方米的混凝土(钢筋的体积忽略不计，精确到0．01m3)？[4](例4)(见学生用书课堂本P54)[处理建议]可将题中图形看作是大长方体减去一个以等腰梯形为底面的四棱柱，也可看作一个长方体加上两个以直角梯形为底面的四棱柱．[规范板书]解将预制件看成由一个长方体挖去一个底面为等腰梯形的四棱柱后剩下的几何体．S底＝0．6×1．1－12×(0．5＋0．3)×0．3＝0．54(m2)，V＝S底·h＝0．54×24．8≈13．39(m3)．故浇制一个这样的预制件需要约13．39m3的混凝土．[题后反思]求组合体的表面积或体积，首先应弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应该怎样求，然后再根据公式求出各面的面积，最后再相加或相减．求体积时也要先弄清组成，求出各简单几何体的体积，然后再相加或相减．某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，求此几何体的体积．(变式)[规范板书]解此几何体为正四棱台与正四棱柱的组合体，而V正四棱台＝1 3(82＋42＋82×42)×3＝112(cm3)，V正四棱柱＝4×4×2＝32(cm3)，故V＝112＋32＝144(cm3)．[题后反思](1)复习三视图的知识；(2)计算组合体的体积时，应先考虑组合体的结构特征，然后将其转化为计算柱、锥、台、球等常见几何体的体积．[5]求不规则几何体(可分割成棱柱或棱锥)的体积．*如图，在几何体ABCEDF中，AB＝8,BC＝10,AC＝6，侧棱AE,CF,BD 均垂直于底面ABC,BD＝3,FC＝4,AE＝5，求该几何体的体积．(例5)[处理建议] 空间几何体ABCFED 不是棱柱、棱锥、棱台，可将其分割成两个图形分别求体积．[规范板书] 解 由题意可知△ABC 为直角三角形，且∠BAC 为直角． 如图，取CM ＝AN ＝BD ，连接DM,MN,DN ．(例5答图)因为AB ＝8,AC ＝6,BD ＝3，所以三棱柱ABC -NDM 的体积为12×8×6×3＝72．因为CM ＝AN ＝BD ＝3,CF ＝4,AE ＝5,AC ＝6，所以MF ＝1,NE ＝2,NM ＝AC ＝6,DN ＝AB ＝8，从而四棱锥D -MFEN 的体积为13×12×(1＋2)×6×8＝24，所以所求几何体的体积为72＋24＝96．[题后反思] 求几何体体积的常用方法：如图，在多面体ABCDEF 中，已知四边形ABCD 是边长为4的正方形，EF ∥AB,EF ＝2,EF 上任意一点到平面ABCD 的距离均为3，求该多面体的体积．(变式)[规范板书] 解 如图，连接EB,EC,AC ，易知V 四棱锥E -ABCD ＝13×42×3＝16．(变式答图)因为AB ＝2EF ,EF ∥AB ，所以S △EAB ＝2S △BEF ，从而V 三棱锥F -EBC ＝V 三棱锥C -EFB ＝12V 三棱锥C -ABE ＝12V 三棱锥E -ABC ＝12×12V 四棱锥E -ABCD ＝4， 故该多面体的体积V ＝V 四棱锥E -ABCD ＋V 三棱锥F -EBC ＝16＋4＝20．[题后反思] 把该几何体分割成一个四棱锥与一个三棱锥的组合体，求出它的体积即可．二、课堂练习1．已知正四棱柱的底面边长是3cm ，侧面的对角线长是3 5 cm ，则这个正四棱柱的表面积为90cm 2．2．已知各面均为等边三角形的四面体的表面积为3，则其棱长等于(A)A ．1B ．233C ．22D ． 23．已知一个正三棱柱的底面边长为3，且侧棱长为底面边长的2倍，则该正三棱柱的体积为(D)A ．52B ．72C ．332D ．92提示算出底面正三角形的面积和侧棱的长即可求解．4．已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥A-BB1C1的体积为(A)A．312B．34C．612D．64提示过点A作AE⊥BC，则AE为三棱锥A-BB1C1的高．三、课堂小结1．在解决棱锥、棱台的侧面积、表面积及体积问题时往往将已知条件归结到一个直角三角形中求解，为此在解此类问题时，要注意直角三角形的应用．2．求三棱锥体积的常用方法：①直接法；②割补法；③等价转化法．。
人教B版(2019)必修第四册过关斩将第十一章立体几何初步11.1.4棱锥与棱台
人教B 版（2019）必修第四册过关斩将第十一章立体几何初步11.1.4棱锥与棱台学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．棱锥的侧面和底面可以都是（ ）A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形 2．若正棱锥底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是（ ）A ．三棱锥B ．四棱锥C ．五棱锥D ．六棱锥 3．对于棱锥，下列叙述正确的是（ ）A ．四棱锥共有四条棱B ．五棱锥共有五个面C ．六棱锥共有六个顶点D ．任何棱锥都只有一个底面4．下列说法中，正确的个数是( )①由五个面围成的多面体只能是三棱柱；②由若干个平面多边形所围成的封闭几何体是多面体；③仅有一组对面平行的五面体是棱台.A ．0B ．1C ．2D ．3 5．有下列三个说法：①两个互相平行的面是正方形，其余各面都是四边形的几何体一定是棱台；②有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台.其中正确的有( )A ．0B ．1C ．2个D ．3个 6．如图，正三棱锥S ABC -中，30BSA ︒∠=，2SB =，一质点自点B 出发，沿着三棱锥的侧面绕行一周回到点B 的最短路线的长为( )A ．2B ．4C ．D ．7．一个正三棱锥的底面边长为3，则它的侧棱长为( )A ．2B ．C ．3D ．4二、填空题 8．一个几何体的表面展开平面图如图，该几何体中的与“数”字面相对的是“__________”字面.9．正四棱锥S ABCD -的所有棱长都等于a ，过不相邻的两条侧棱作截面，则截面的面积为_____.三、解答题10．若正三棱台的高为3，上、下底面边长分别为2和4，求这个棱台的侧棱长和斜高. 11．侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a 时，求该棱锥的表面积. 12．如图，正四棱台1111ABCD A B C D -，它的上底面是边长为2的正方形，下底面是边长为4的正方形，侧棱长为2，侧面是全等的等腰梯形，求四棱台的表面积．参考答案1．A【解析】【分析】根据棱锥的定义可知，棱锥的侧面一定是三角形，即可得出．【详解】根据棱锥的定义可知，棱锥的侧面一定是三角形，所以三棱锥的侧面和底面可以都是三角形. 故选：A.【点睛】本题主要考查棱锥的定义应用，属于基础题．2．D【解析】正四面体，正方体，正五棱锥的底面边长与侧棱长相等．因为正六边形的中心到各个顶点的距离相等且等于正六边形的边长，所以不存在底面边长和侧棱长相等的六棱锥，故选D 3．D【分析】根据棱锥的定义即可判断各选项的真假．【详解】对于A，四棱锥共有八条棱，故A错误；对于B，五棱锥共有六个面，故B错误；对于C，六棱锥共有七个顶点，故C错误；对于D，根据棱锥的定义知，D正确.故选：D.【点睛】本题主要考查棱锥的定义应用，属于基础题．4．B【分析】结合多面体的结构特征进行判定，由五个面围成的多面体可能是锥体.【详解】①中，由五个面围成的多面体可以是四棱锥，所以①中说法不正确；②中，根据几何体的性质和结构特征可知，多面体是由若干个平面多边形所围成的封闭几何体，所以中说法正确；③中，仅有一组对面平行的五面体可以是三棱柱，所以③中说法不正确.故选：B.【点睛】本题主要考查多面体的结构特征，熟知常见几何体的特征是求解的关键，侧重考查概念的理解和辨析.5．A【分析】利用模型和反例进行判断.【详解】当两个互相平行的正方形全等时，不是棱台，故①中说法错误；②③可用反例去检验，如图（1）（2）所示，故②③中说法错误.故选：A.【点睛】本题主要考查对棱台概念的理解，明确棱台的结构特征是求解的关键，侧重考查直观想象的核心素养.6．C【分析】先作出三棱锥的侧面展开图，利用平面图形中两点之间直线段最短可得最短路线的长.【详解】将三棱锥S ABC -沿侧棱SB 展开，其侧面展开图如图所示，则BB '即为最短路线.因为30,2BSA SB ︒∠==，所以BB S '∆为等腰直角三角形，故沿着三棱锥的侧面绕行一周回到点B 的最短路线的长为BB '==故选：C.【点睛】本题主要考查利用侧面展开图求解最短距离问题，准确作出展开图是求解的关键，侧重考查直观想象和数学运算的核心素养.7．C【分析】作出三棱锥的高，结合直角三角形可求侧棱长.【详解】如图所示，正三棱锥S ABC -中，点O 为ABC ∆的中心，SO 为正三棱锥的高，则3SO AB ==，易知OA =Rt SOA ∆中，3SA ===.故选：C.【点睛】本题主要考查三棱锥的侧棱长的求解，三棱锥中的有关计算要注意直角三角形的使用，侧重考查数学运算的核心素养.8．学【详解】把平面图还原是一个三棱台，两个三角形分别为上下底面，所以与数对应的是学,故答案为 学.9．212a 【分析】根据截面的特征知，截面是等腰三角形，求出底和高可得面积.【详解】取AC 的中点O ，连接SO ，则SO AC ⊥，如图所示.∵正四棱锥S ABCD -的所有棱长都等于a ，,AC SO ∴===，则截面SAC ∆的面积为21122a =. 故答案为：212a . 【点睛】 本题主要考查四棱锥的截面面积求解，明确截面的特征性质是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.10．棱台的侧棱长为3【分析】正棱台两底面中心分别为O 和1O ，AB 和11A B 的中点分别是E ，1E ，四边形11OAAO ，11OEE O 都是直角梯形，在这两个直角梯形中计算．【详解】如图，正三棱台111ABC A B C -中，两底面中心分别为O 和1O ，AB 和11A B 的中点分别是E ，1E ，连接1OO ，1EE ，11O A ，OA ，11O E ，OE ，则四边形11OAAO ，11OEE O 都是直角梯形.在等边ABC ∆中，4AB =，则3OA =，3OE =.在等边111A B C ∆中，112A B =，则113O A =，113O E =. 在直角梯形11OAAO 中，13OO =，所以13AA ===，即棱台的侧棱长为3. 在直角梯形11OEE O 中，13EE ===，【点睛】 本题考查求正棱台的斜高，解题关键是掌握正棱台中的两个直角梯形：两底面中心与一条侧棱的两个顶点构成直角梯形，两底面中心与在同一侧面的上下底两边的中点构成直角梯形．112 【分析】先求三个侧面的面积，再求解底面积，从而可得棱锥的表面积. 【详解】∵正三棱锥的侧面都是等腰直角三角形，且底面边长为a ，，∴该棱锥的表面积2221334224S a a a ⎛⎫=+⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查三棱锥表面积的求解，表面积包含侧面积和底面积，侧面积可利用侧面积公式求解，侧重考查数学运算的核心素养.12．20+【解析】试题分析：根据棱台的结构特征，得出上、下底面边长，斜高等，利用公式求解，即可得出结论．试题解析：∵正四棱台的上底面是边长为2的正方形，下底面是边长为4的正方形， ∴上底面、下底面的面积分别是4，16，∵侧棱长为2，侧面是全等的等腰梯形，∴=∴侧面的面积为()1242⨯+=∴四棱台的表面积为416420++=+考点：棱台的侧面积与表面积．。
(新教材)2020人教B(2019)中数学必修第四册素养突破课时素养评价十一11.1.4 棱锥与棱台
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课时素养评价十一棱锥与棱台(25分钟·50分)一、选择题(每小题4分,共16分,多选题全部选对得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)1.(2019·天津高一检测)下列说法不正确的是( )A.三棱锥是四面体B.三棱台是五面体C.正方体是四棱柱D.四棱柱是长方体【解析】选D.三棱锥有四个面,三棱台有五个面,所以A,B正确.正方体是四棱柱,但是四棱柱不一定是长方体,所以C正确,D错误.2.如图所示,在四面体P-ABC中,PA=PB=PC=2.∠APB=∠BPC=∠APC=30°,一只蜜蜂从A点出发沿四面体的表面绕行一周,再回到A点,则蜜蜂经过的最短路程是( )A.2B.10C.2D.10【解析】选C.将四面体沿PA剪开,并展成如图所示的平面图形,则AA′就是所求的最短路程.因为∠APA′=90°,PA=PA′=2,所以最短路程AA′为2.3.正方体的8个顶点中,有4个恰为正三棱锥的顶点,则正方体与正三棱锥的表面积之比是( )A. B. C. D.【解析】选B.不妨设正三棱锥的顶点为A,C,B1,D1,设正方体的棱长为1,则正三棱锥的棱长为.所以正方体的表面积为6,正三棱锥的表面积为2.所以它们的表面积之比为.4.(多选题)如果一个棱锥的各条棱长都相等,那么这个棱锥可能是( )A.三棱锥B.四棱锥C.五棱锥D.六棱锥【解析】选ABC.由题意可知,每个侧面均为等边三角形,因为每个侧面的顶角为60°,故三棱锥、四棱锥、五棱锥都有可能,若是六棱锥,因为6×60°=360°,所以顶点会在底面上,因此这个棱锥一定不是六棱锥.二、填空题(每小题4分,共8分)5.已知,在正四棱锥P-ABCD中,底面面积为16,一条侧棱的长为2,则该棱锥的高为________.【解析】如图所示,P点在底面上的射影O是底面正方形的中心,所以OA=2.又PA=2,所以在Rt△POA中可求得PO=6.答案:66.一个棱锥被平行于底面的平面所截,若截面面积与底面面积之比为4∶9,则此棱锥的侧棱被分成的上、下两部分之比为________.【解析】设棱锥为S-ABCD,截面为A′B′C′D′,则=,所以==.所以=.答案:2∶1三、解答题(共26分)7.(12分)试从正方体ABCD -A1B1C1D1的八个顶点中任取若干个点,连接后构成以下空间几何体,并且用适当的符号表示出来.(1)只有一个面是等边三角形的三棱锥;(2)四个面都是等边三角形的三棱锥;(3)三棱柱.【解析】(1)如图所示,三棱锥A1-AB1D1(答案不唯一).(2)如图所示,三棱锥B1-ACD1(答案不唯一).(3)如图所示,三棱柱A1B1D1-ABD(答案不唯一).【加练·固】画一个三棱台,再把它分成:(1)一个三棱柱和另一个多面体.(2)三个三棱锥,并用字母表示.【解析】画三棱台一定要利用三棱锥.(1)如图①所示,三棱柱是棱柱A′B′C′ AB″C″,另一个多面体是C′B′BCC′′B′′.(2)如图②所示,三个三棱锥分别是A′ ABC,B′ A′BC,C′ A′B′C.8.(14分)正四棱台ABCD-A1B1C1D1的高是17 cm,两底面的边长分别是4 cm和16 cm,求这个棱台的侧棱长和斜高. 世纪【解析】设棱台两底面的中心分别是O1和O,B1C1和BC的中点分别是E1和E,如图所示,连接O1O,E1E,AC,BD,A1C1,B1D1,OE,O1E1,则OBB1O1和OEE1O1都是直角梯形.因为A1B1=4 cm,AB=16 cm,所以O1E1=2 cm,OE=8 cm,O1B1=2 cm,OB=8 cm.因此BB1==19(cm),EE1==5(cm),即这个棱台的侧棱长是19 cm,斜高是5 cm.(15分钟·30分)1.(4分)在四棱锥的四个侧面中,直角三角形最多可有( )A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】选D.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中取四棱锥A1-ABCD,则此四棱锥的四个侧面全为直角三角形.2.(4分)正四棱台两底面边长分别为3 cm和5 cm,那么它的中截面面积为( ) A.2 cm2 B.16 cm2 C.25 cm2 D.4 cm2【解析】选B.如图所示,取A′A,B′B的中点分别为E,F,所以EF=(3+5)=4(cm).所以S截=42=16(cm2).3.(4分)如图所示,关于该几何体的说法正确的序号为________.(1)这是一个六面体.(2)这是一个四棱台.(3)这是一个四棱柱.(4)此几何体可由三棱柱截去一个三棱柱得到.(5)此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱得到.【解析】(1)正确,因为该几何体有六个面,所以它是一个六面体.(2)错误,因为该几何体侧棱的延长线不能交于一点,所以它不是一个棱台.(3)正确,如果将该几何体的前后两个面作为底面,则它可以看作是一个四棱柱.(4)、(5)都正确,如图所示.答案:(1)(3)(4)(5)4.(4分)一个正四棱台上、下底面边长分别为a,b,高是h,则它的一个对角面(经过不相邻两条侧棱的截面)的面积是________.【解析】可知对角面是上、下底分别为a和b,高为h的等腰梯形,其面积S=(a+b)h=.答案:5.(14分)棱台的两底面都是矩形,两底面对角线交点的连线是棱台的高且长为12 cm,上底的周长为112 cm,下底的长和宽分别为54 cm和30 cm.求棱台的侧面积. 世纪【解析】设上底面的长为x cm,宽为(56-x)cm,把棱台恢复成棱锥以后小棱锥的高为h cm.则==,所以x=36,56-x=20.设侧面梯形的高分别为y cm,z cm.则y==15,z==13.所以S侧=(54+36)×13+(30+20)×15=1 170+750=1 920(cm2).答:棱台的侧面积是1 920 cm2.【加练·固】已知棱锥V-ABC的底面面积是64 cm2,平行于底面的截面面积是4 cm2,棱锥顶点V在截面和底面上的射影分别是O1,O,过O1O的三等分点作平行于底面的截面,求各截面的面积.【解析】设棱锥的高为h,其顶点到已知截面的距离VO1=h1,O1O的三等分点为O2,O3,由已知得=,所以=.所以h1=h.所以O1O=VO-VO1=h-h=h.而O1O2=O2O3=O3O,所以O1O2=O2O3=O3O=×h=h.所以VO2=h+h=,VO3=h+h+h=h.设过O2,O3的截面面积分别为S2,S3,底面△ABC的面积为S.因为S2∶S=∶h2,所以S2=S=16(cm2).因为S3∶S=∶h2,所以S3=S=36(cm2).所以两截面的面积分别为16 cm2和36 cm2.1.用一个平面去截一个三棱锥,截面形状是( )世纪A.四边形B.三角形C.三角形或四边形D.不可能为四边形【解析】选C.当截面图形如图所示时,依次为三角形与四边形.2.一个棱台的上、下底面积之比为4∶9,若棱台的高是4 cm,求截得这个棱台的棱锥的高. 世纪【解析】如图所示,将棱台还原为棱锥,设PO是原棱锥的高,O′O是棱台的高.因为棱台的上、下底面积之比为4∶9,所以它的底面对应边之比为A′B′∶AB=2∶3.所以PA′∶PA=2∶3.由于A′O′∥AO,所以=,即==.所以PO=12 cm,即原棱锥的高是12 cm.关闭Word文档返回原板块。
新教材人教B版必修第四册 11.1.3 多面体与棱柱 课件(34张)
【补偿训练】 现有一个底面是菱形的直四棱柱,它的体对角线长为9和15,高是5,求该
直四棱柱的侧面积. 【解析】如图,设底面对角线AC=a,BD=b, 交点为O,对角线A1C=15,B1D=9,
所以a2+52=152,b2+52=92,所以a2=200,b2=56.
因为该直四棱柱的底面是菱形,
【定向训练】 如图,在直三棱柱ABB1-DCC1中,∠ABB1=90°,AB=4,BC=2,CC1=1,DC上有一动
点P,则△APC1周长的最小值是________.
【解析】把△DCC1展到四边形ABCD所在的平面上,如图所示,
连接AC1,则PA+PC1≥AC14=2 2 12 =5,
又在直三棱柱ABB1-DCC1中, AC1= 42 22 12 21, 所以△APC1的周长的最小值为5+ 21 . 答案:5+
【类题通法】 几种常见四棱柱的关系
【定向训练】 一个棱柱是正四棱柱的条件是 ( )
A.底面是正方形,有两个面是矩形的四棱柱 B.底面是正方形,两个侧面垂直于底面的四棱柱 C.底面是菱形,且有个顶点处的两条棱互相垂直的四棱柱 D.底面是正方形,每个侧面都是全等的矩形的四棱柱
【解析】选D.选项A,B中,两个面为相对侧面时,四棱柱不一定是直四棱柱,C中 底面不是正方形,故排除选项A,B,C.
(3)棱柱的表示法. 用底面上的顶点来表示.如:如图所示的棱柱可以表示为棱柱ABCDEFA1B1C1D1E1F1,也可表示为棱柱AD1等.
(4)棱柱的分类. 按底面的_形__状__分为:三棱柱、四棱柱、五棱柱…… 棱柱又分为斜棱柱和直棱柱. ①斜棱柱:侧棱_不__垂__直__于底面的棱柱. ②直棱柱:侧棱_垂__直__于底面的棱柱. ③正棱柱:底面是正多边形的_直__棱__柱__.
新教材高中数学第11章平面与平面垂直学案含解析新人教B版必修第四册
新教材高中数学学案含解析新人教B版必修第四册11.4.2 平面与平面垂直最新课程标准：1.了解面面垂直的定义．(重点) 2.掌握面面垂直的判定定理和性质定理．(重点) 3.灵活运用线面、面面垂直的判定定理和性质定理解决空间中的位置关系问题．(难点)知识点一平面与平面垂直①定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直．②画法：记作：________.图形语言知识点三状元随笔若定理中的“交线”改为“一条直线”，结论会是什么？[提示]相交或平行．[基础自测]1．设平面α⊥平面β，在平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b，则() A．直线a必垂直于平面βB．直线b必垂直于平面αC．直线a不一定垂直于平面βD．过a的平面与过b的平面垂直2．空间四边形ABCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，那么有()A．平面ABC⊥平面ADCB．平面ABC⊥平面ADBC．平面ABC⊥平面DBCD．平面ADC⊥平面DBC3．下列四个命题中，正确的序号有________．①α∥β，β⊥γ，则α⊥γ；②α∥β，β∥γ，则α∥γ；③α⊥β，γ⊥β，则α⊥γ；④α⊥β，γ⊥β，则α∥γ.4．平面α⊥平面β，α∩β＝l，n⊂β，n⊥l，直线m⊥α，则直线m与n的位置关系是________．题型一平面与平面垂直的判定例1如图，AB是⊙O的直径，P A垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上异于A、B的任意一点，求证：平面P AC⊥平面PBC.方法归纳证明面面垂直的方法(1)判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为“线面垂直”；(2)性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面．跟踪训练1如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．求证：平面AEC⊥平面PDB.题型二 面面垂直性质定理的应用 例2如图所示，P 是四边形ABCD 所在平面外的一点，四边形ABCD 是边长为a 的菱形且∠DAB ＝60°，侧面P AD 为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD .(1)若G 为AD 的中点，求证：BG ⊥平面P AD ； (2)求证：AD ⊥PB .状元随笔(1)菱形ABCD ，∠DAB ＝60 °→△ABD为正三角形→BG ⊥AD ――→面PAD ⊥底面ABCDBG ⊥平面PAD(2)要证AD ⊥PB ，只需证AD ⊥平面PBG 即可．【证明】 (1)如图，在菱形ABCD 中，连接BD ，由已知∠DAB ＝60°，∴△ABD 为正三角形，∵G 是AD 的中点，∴BG ⊥AD . ∵平面P AD ⊥平面ABCD ，且平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，∴BG ⊥平面P AD . (2)如图，连接PG .∵△P AD 是正三角形，G 是AD 的中点，∴PG ⊥AD ，由(1)知BG ⊥AD .又∵PG ∩BG ＝G . ∴AD ⊥平面PBG .而PB ⊂平面PBG ，∴AD ⊥PB .方法归纳(1)面面垂直的性质定理，为线面垂直的判定提供了依据和方法．所以当已知两个平面垂直的时候，经常找交线的垂线，这样就可利用面面垂直证明线面垂直．(2)两平面垂直的性质定理告诉我们要将面面垂直转化为线面垂直，方法是在其中一个面内作(找)与交线垂直的直线．跟踪训练2 如图所示，四棱锥V －ABCD 的底面是矩形，侧面VAB ⊥底面ABCD ，又VB ⊥平面VAD .求证：平面VBC ⊥平面VAC .题型三 垂直关系的综合应用 状元随笔1．如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面是边长为a 的正方形，侧棱PD ＝a ，PA ＝PC ＝2a ，你能证明PD ⊥平面ABCD 吗？[提示] ∵PD ＝a ，DC ＝a ，PC ＝2a ， ∴PC 2 ＝PD 2＋DC 2，∴PD ⊥DC. 同理可证PD ⊥AD ，∵AD ⊂平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ，且AD ∩DC ＝D ， ∴PD ⊥平面ABCD.2．如图所示，已知圆锥的顶点为S ，AB 为底面圆O 的直径，点D 为线段AB 上一点，且AD ＝13DB ，点C 为圆O 上一点，且BC ＝3AC ，P 为母线SA 上的点，其在底面圆O 上的正投影为点D ，求证：PA ⊥CD.[提示] 连接CO(图略)，由3AD ＝DB 知，D 为AO 的中点，又AB 为圆O 的直径， ∴AC ⊥CB ，由3AC ＝BC 知，∠CAB ＝60 °， ∴△ACO 为等边三角形，从而CD ⊥AO. ∵点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D ，∴PD ⊥平面ABC ，又CD ⊂平面ABC ，∴PD ⊥CD ， 由PD ∩AO ＝D 得，CD ⊥平面PAB ， 又PA ⊂平面PAB ，∴PA ⊥CD.3．试总结线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化关系． [提示] 垂直问题转化关系如下所示：例3如图，在四棱锥P－ABCD中，侧面P AD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，N是PB的中点，过A，D，N三点的平面交PC于M，E 为AD的中点．求证：(1)EN∥平面PDC；(2)BC⊥平面PEB；(3)平面PBC⊥平面ADMN.状元随笔(1)证明EN∥DM；(2)由AD∥BC可证AD⊥平面PEB；(3)利用(2)可证PB⊥平面ADMN.方法归纳垂直关系的相互转化在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．每一种垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的，其转化关系如下：状元随笔应用面面垂直的性质定理，注意三点：①两个平面垂直是前提条件；②直线必须在其中一个平面内；③直线必须垂直于它们的交线．跟踪训练3如图，在三棱锥P－ABC中，P A⊥AB，P A⊥BC，AB⊥BC，AB＝BC，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．(1)求证：P A⊥BD；(2)求证：平面BDE⊥平面P AC.教材反思1．本节课的重点是掌握两个平面互相垂直的定义和画法，理解并掌握两个平面垂直的判定定理与性质定理，并能解决有关面面垂直的问题．难点是综合利用线面、面面垂直的判定定理与性质定理解决关于垂直的问题．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)利用线面垂直的性质证明平行问题．(2)应用面面垂直的判定与性质证明垂直问题．(3)掌握垂直关系的转化．3．本节课的易错点是垂直关系转化中易出现转化混乱错误．11．4.2平面与平面垂直新知初探·自主学习知识点一α⊥β知识点二垂线⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥βl ⊂α 知识点三一个平面内 垂直 a ⊂α [基础自测]1．解析：当α⊥β，在平面α内垂直交线的直线才垂直于平面β，因此，垂直于平面β内的一条直线b 的直线不一定垂直于β，故选C.答案：C2．解析：∵AD ⊥BC ，AD ⊥BD ，BC ∩BD ＝B ，∴AD ⊥平面BCD .又∵AD ⊂平面ADC ，∴平面ADC ⊥平面DBC .答案：D3．解析：③④不正确，如图所示，α⊥β，γ⊥β，但α，γ相交且不垂直． 答案：①②4．解析：因为α⊥β，α∩β＝l ，n ⊂β，n ⊥l ， 所以n ⊥α.又m ⊥α，所以m ∥n . 答案：平行 课堂探究·素养提升例1 【证明】 连接AC ，BC ，则BC ⊥AC ，又P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴P A ⊥BC ，而P A ∩AC ＝A ， ∴BC ⊥平面P AC ， 又BC ⊂平面PBC ， ∴平面P AC ⊥平面PBC .跟踪训练1 证明：∵AC ⊥BD ，AC ⊥PD ，PD ，BD 为平面PDB 内两条相交直线， ∴AC ⊥平面PDB .又∵AC ⊂平面AEC ， ∴平面AEC ⊥平面PDB .跟踪训练2 证明：∵平面VAB ⊥底面ABCD ，且BC ⊥AB ，平面VAB ∩平面ABCD ＝AB . ∴BC ⊥平面VAB ，∴BC ⊥VA ，又VB ⊥平面VAD ，∴VB ⊥VA ，又VB ∩BC ＝B ， ∴VA ⊥平面VBC ，∵VA ⊂平面VAC . ∴平面VBC ⊥平面VAC .例3 【证明】 (1)∵AD ∥BC ，BC ⊂平面PBC ，AD ⊄平面PBC ， ∴AD ∥平面PBC .又∵平面ADMN ∩平面PBC ＝MN ，∴AD ∥MN . 又∵BC ∥AD ，∴MN ∥BC .又∵N 是PB 的中点，∴点M 为PC 的中点．∴MN ∥BC 且MN ＝12BC ，又∵E 为AD 的中点，∴MN ∥DE ，且MN ＝DE . ∴四边形DENM 为平行四边形．∴EN ∥DM ，且EN ⊄平面PDC ，DM ⊂平面PDC . ∴EN ∥平面PDC .(2)∵四边形ABCD 是边长为2的菱形， 且∠BAD ＝60°，∴BE ⊥AD .又∵侧面P AD 是正三角形，且E 为AD 中点， ∴PE ⊥AD ，BE ∩PE ＝E ，∴AD ⊥平面PBE . 又∵AD ∥BC ，∴BC ⊥平面PEB . (3)由(2)知AD ⊥平面PBE ， 又PB ⊂平面PBE ，∴AD ⊥PB .又∵P A ＝AB ，N 为PB 的中点，∴AN ⊥PB . 且AN ∩AD ＝A ，∴PB ⊥平面ADMN . 又∵PB ⊂平面PBC .∴平面PBC ⊥平面ADMN .跟踪训练3 证明：(1)因为P A ⊥AB ，P A ⊥BC ，AB ∩BC ＝B ， 所以P A ⊥平面ABC .又因为BD ⊂平面ABC ，所以P A ⊥BD . (2)因为AB ＝BC ，D 为AC 的中点， 所以BD ⊥AC .由(1)知，P A ⊥BD ，又AC ∩P A ＝A ， 所以BD ⊥平面P AC . 因为BD ⊂平面BDE ， 所以平面BDE ⊥平面P AC .。
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11.1.4棱锥与棱台最新课程标准：1.理解棱锥、棱台的定义和结构特征．(重点) 2.在棱柱、棱锥、棱台中构造恰当的特征图形，研究其中的线段数量关系和位置关系．(难点)定义有一个面是________，其余各面都是有一个________的三角形，由这些面围成的多面体图示及相关概念底面：多边形面侧面：有________的各个三角形面侧棱：相邻两________的公共边顶点：各侧面的________分类按底面多边形的边数分：三棱锥、四棱锥……定义用一个________于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分图示及相关概念上底面：原棱锥的________下底面：原棱锥的________侧面：除上下底面以外的面侧棱：相邻两侧面的________顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点分类按由几棱锥截得分：三棱台、四棱台……[基础自测]1．棱锥的侧面和底面可以都是()A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形2．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)有一个底面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体是棱锥．()(2)棱台的侧棱长都相等．()(3)棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形．()(4)棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形．()3．下面四个几何体中，是棱台的是()4．一个棱柱至少有________个面，顶点最少的一个棱台有________条侧棱．5．画一个三棱台，再把它分成：(1)一个三棱柱和另一个多面体；(2)三个三棱锥，并用字母表示．题型一棱锥、棱台的概念及多面体的表面展开图例1下列关于棱锥、棱台的说法中，正确说法的序号是________．(1)用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台；(2)棱台的侧面一定不会是平行四边形；(3)棱锥的侧面只能是三角形；(4)棱台的各侧棱延长后必交于一点；(5)棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．【解析】(1)错误，若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台；(2)正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；(3)正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形；(4)正确，棱台是由平行于棱锥底面的平面截得的，故棱台的各侧棱延长后必交于一点；(5)错误，如图所示四棱锥被平面PBD截成的两部分都是棱锥．【答案】(2)(3)(4)方法归纳1．判断一个几何体是何种几何体，一定要紧扣棱柱、棱锥、棱台的结构特征，注意概念中的特殊字眼，切不可马虎大意，如棱柱的概念中的“相邻”，棱锥的概念中的“公共顶点”，棱台的概念中的“棱锥”“平行”等．2．多面体展开图问题的解题策略(1)绘制展开图：绘制多面体的表面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型．在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其表面展开图．(2)由展开图复原几何体：若是给出多面体的表面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推．同一个几何体的表面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个表面展开图．跟踪训练1如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？状元随笔可将展开图沿虚线折起来，便得到原几何体，再结合结构特征判断为何种几何体．题型二几何体的计算问题状元随笔 1.计算正三棱锥中底面边长，斜高，高时，通常是将所求线段转化到直角三角形中，常用到的直角三角形有哪些？[提示]常用到的直角三角形有：①由斜高、高、底面中心到边的距离构成的三角形，②由高、侧棱和底面中心与底面顶点的连线构成的三角形．2．其他正棱锥的计算是否与正三棱锥计算用同样的方法？[提示]是．3．正棱台中的计算呢？[提示]根据正棱锥与正棱台的关系，转化到直角梯形中求解．例2正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为23，求正三棱锥的高．状元随笔正三棱锥⇒侧棱、高和底面三角形外接圆半径组成直角三角形⇒勾股定理求解．跟踪训练2(1)将本例中“侧棱长为23”，改为“斜高为23”，则结论如何？(2)将本例中“三棱锥”改为“四棱锥”，如何解答？方法归纳1．正棱锥中的直角三角形的应用已知正棱锥如图(以正四棱锥为例)，其高PO，底面为正方形，作PE⊥CD于E，则PE 为斜高．(1)斜高、侧棱构成直角三角形，如图中Rt△PEC.(2)斜高、高构成直角三角形，如图中Rt△POE.(3)侧棱、高构成直角三角形，如图中Rt△POC.2．正棱台中的直角梯形的应用已知正棱台如图(以正四棱台为例)，O1，O分别为上、下底面中心，作O1E1⊥B1C1于E1，OE⊥BC于E，则E1E为斜高，(1)斜高、侧棱构成直角梯形，如图中梯形E1ECC1.(2)斜高、高构成直角梯形，如图中梯形O1E1EO.(3)高、侧棱构成直角梯形，如图中梯形O1OCC1.题型三几何体的表面积例3已知正四棱锥底面边长为4，高与斜高夹角为30°.求它的侧面积和表面积．状元随笔根据多面体的侧面积公式，可以先求出相应多面体的底面边长和各侧面的斜高，进而由公式求解．方法归纳(1)要求锥体的侧面积及表面积，要利用已知条件寻求公式中所需的条件，一般用锥体的高、斜高、底面边心距等量组成的直角三角形求解相应的量．(2)空间几何体的表面积运算，一般是转化为平面几何图形的运算，往往通过解三角形来完成．跟踪训练3已知正三棱锥P－ABC的底面边长为4 cm，它的侧棱与高所成的角为45°，求正三棱锥的表面积．教材反思1．本节课的重点是理解并掌握棱柱、棱锥、棱台的定义和结构特征，难点是在描述和判断几何体结构特征的过程中培养观察能力和空间想象能力．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)有关棱柱结构特征的解题策略．(2)判断棱锥、棱台形状的方法．(3)绘制展开图和由展开图还原几何体的方法．3．本节课的易错点是理解棱柱、棱锥、棱台的结构特征及其关系中出现偏差而致错.11．1.4棱锥与棱台新知初探·自主学习知识点一多边形公共顶点公共顶点侧面公共顶点知识点二平行截面底面公共边[基础自测]1．解析：棱锥的侧面都是三角形，所以底面和侧面相同只能是三角形．答案：A2．答案：(1)√(2)×(3)×(4)×3．解析：棱台的侧棱延长后相交于同一点，故C正确．答案：C4．解析：面最少的棱柱是三棱柱，它有5个面；顶点最少的一个棱台是三棱台，它有3条侧棱．答案：5 35．解：画三棱台一定要利用三棱锥．(1)如图①所示，三棱柱是棱柱A′B′C′－AB″C″，另一个多面体是C′B′BCC″B″.(2)如图②所示，三个三棱锥分别是A′－ABC，B′－A′BC，C′－A′B′C.课堂探究·素养提升跟踪训练1解：由几何体的侧面展开图的特点，结合棱柱，棱锥，棱台的定义，可把侧面展开图还原为原几何体，如图所示：所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台．例2【解】作出正三棱锥如图，SO为其高，连接AO，作OD⊥AB于点D，则点D 为AB的中点．在Rt△ADO中，AD＝32，∠OAD＝30°，故AO＝32cos∠OAD＝ 3.在Rt△SAO中，SA＝23，AO＝3，故SO ＝SA 2－AO 2＝3，其高为3.跟踪训练2 解：(1)在Rt △SDO 中，SD ＝23，DO ＝12AO ＝32，故SO ＝SD 2－DO 2＝12－34＝352.(2)如图正四棱锥S －ABCD 中，SO 为高，连接OC .则△SOC 是直角三角形，由题意BC ＝3，则OC ＝322，又因为SC ＝23，则SO ＝SC 2－OC 2＝12－92＝152＝302.故其高为302.例3【解】 如图所示，设正四棱锥的高为PO ，斜高为PE ，底面边心距为OE ，它们组成一个直角三角形POE .∵OE ＝42＝2，∠OPE ＝30°，∴PE ＝OE sin 30°＝212＝4.∴S 正四棱锥侧＝12ch ′＝12×(4×4)×4＝32，S 表面积＝42＋32＝48.即该正四棱锥的侧面积是32，表面积是48.跟踪训练3【解析】 如图所示，设O 为正三角形ABC 的中心，连结PO ，连结AO 并延长交BC 于D ，连结PD ，则PO 是正三棱锥P －ABC 的高．由正三角形ABC 的性质知，D 是BC 的中点， 又PB ＝PC ，故PD ⊥BC ，即PD 是三棱锥的斜高．由已知∠APO ＝45°，AO ＝23×32×4＝433 (cm)，所以P A ＝2AO ＝2×433＝463(cm)，所以PB ＝463 (cm)．所以PD ＝PB 2－BD 2＝⎝⎛⎭⎫4632－22＝2153 (cm)．所以正三棱锥P －ABC 的侧面积为： S 侧＝3S △PBC ＝3×12×4×2153＝415 (cm 2)，底面积：S 底＝12×42×32＝43(cm 2)．故S 表面积＝S 侧＋S 底＝415＋43＝4(15＋3) (cm 2)．。