统计物理试题及答案
……密 ………封 ……… 线 …… 以 ………内 ……… 答 ……… 题 ……… 无 …… 效………
电 子 科 技 大 学 2008 至 2009 学 年 第 1 学 期
热力学. 统计物理 课程考试题（A 卷）（120分钟） 考试形式： 闭卷 考试日期：2008年12月28日
课程成绩构成：平时 30 分， 期中 0 分， 实验 0 分， 期末 70 分
一. 填空题（本题共 7 题，每空 3 分，总共 21 分）
1. 假设一物质的体涨系数和等温压缩系数经过实验测得为：p p
V
V T T V V T
T p 1
1;11=?
??? ????-≡=??? ????≡
κα，则该物质的物态方程为：
const =T
pV 。
2. 1 mol 理想气体，保持在室温下（300=T K ）等温压缩，其压强从1n p 准静态变为10n p ，则气体在该过程所放出的热量为：31074.510ln ?=RT 焦耳。
3. 计算机的最底层结构是由一些数字逻辑门构成的，比如说逻辑与门，有两个输入，一个输出，请从统计物理的角度估算，这样的一个逻辑与门，室温下（300=T K ）在完成一次计算后，产生的热量是：
-21
10
87.22ln ?=kT 焦耳。
4. 已知巨热力学势的定义为μN F J -=，这里F 是系统的自由能，N 是系统的粒子数，μ是一个粒子的化学势，则巨热力学势的全微分为：μNd pdV SdT dJ ---=。
5. 已知粒子遵从经典玻耳兹曼分布，其能量表达式为()
c bx
ax p p p
m
z y x
+++++=2
2
22
21ε，其中c b a ,,是常
数，则粒子的平均能量为：kT 2。
6. 温度T 时，粒子热运动的热波长可以估算为：mkT
h kT
m h 22==λπλ或者。
7. 正则分布给出了具有确定的粒子数N 、体积V 、温度T 的系统的分布函数。假设系统的配分函数为Z ，微
……密 ………封 ……… 线 …… 以 ………内 ……… 答 ……… 题 ……… 无 …… 效………
观状态s 的能量为s E ，则处在微观状态s 上的概率为：Z
e
kT
E s S
-=
ρ。
二. 简答题(本题共 3 题，总共 30 分)
1. 请从微观和统计物理的角度解释：热平衡辐射的吉布斯函数为零的原因。 (10分)
答：（1）热力学中研究的热平衡辐射系统，是一个和腔壁达到热力学平衡的系统，热力学理论可
以证明，它的吉布斯函数为零。…………………………………………………………………（2分） （2）从微观角度看，平衡辐射场可以认为是光子气体，每一个单色平面波对应于一个能量和动量确定的光子，腔壁中的辐射场对应于能量和动量从零到无穷大连续取值的光子气体。辐射场和腔壁不断发生热交换，从微观角度来看，相当于交换光子，因此，腔壁中的光子数不守恒。（2分） （3）光子是玻色子，满足玻色分布。在确定玻色分布公式的时候，由于光子数不守恒，因此确定第一个拉氏乘子α的条件不存在，从物理上理解，这个拉氏乘子α就应该为零，因为kT
μ
α-=，
故化学势为零。……………………………………………………………………………………（4分） （4）化学势即为摩尔吉布斯函数（或者单个光子的吉布斯函数），光子气体的吉布斯函数等于摩尔数（或者平均分子数）乘上化学势，因此光子气体的吉布斯函数为零。…………………（2分）
2. 请说说你对玻耳兹曼分布的理解。 (10分)
答：（1）系统各个能级中的粒子数，构成一个数列，称为分布。物理上，需要在给定的分布下，
确定系统的微观状态数。………………………………………………………………………（3分） （2）玻耳兹曼系统是这样的一个系统，它的各个粒子是可以分辨的，因此，要确定玻耳兹曼的微观状态，就需要确定每一个粒子的微观状态，给出玻耳兹曼系统的一个分布，只是确定了每一个能级的粒子数，但是这些粒子是哪一些粒子并没有确定。…………………………………（3分） （3）由于等概率原理，在给定的宏观状态下，任何一种微观状态出现的概率是一样的。不同的分布对应的微观状态数是不一样的，因此，对应微观状态数最多的分布，出现的概率最大，这就是最概然分布。玻耳兹曼系统的最概然分布就是玻耳兹曼分布。……………………………（4分）
3. 等概率原理以及在统计物理学中的地位。 (10分)
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答：（1）作为热运动的宏观理论，热力学讨论的状态是宏观状态，由几个宏观参量表征，例如对
于一个孤立系统，可以用粒子数N 、体积V 和能量E 来表征系统的平衡态，状态参量给定之后，处于平衡态的系统的所有宏观物理量都具有确定值。…………………………………………（2分） （2）系统的微观状态是指构成系统的每一个粒子的力学运动状态，显然，在确定的宏观状态之下，系统可能的微观状态是大量的，而且微观状态不断地发生及其复杂的变化，例如，对于一个没有相互作用的系统中，总能量是由N 个单粒子能量的简单求和得到的，因此，将会有大量不同的方式选择个别粒子的能量使其总和等于总能量。………（2分）
（3）等概率原理认为：在任意时刻，该系统处于各个微观态中的任意一个状态都是同等可能的，也就是概率是一样的。对于一个孤立系统，数学表述就是：设所有可能的微观状态的数目Ω是粒子数N 、体积V 和能量E 的函数：),,(E V N Ω=Ω，则每一个微观状态的概率为Ω1。……（3分）
（4）统计物理认为，宏观物理量是相应的微观物理量的系综平均值，要求系综平均值，就必须知道系统在各个微观状态出现的概率。等概率原理给出了孤立系统的各个微观状态出现的概率，因此，只要知道总的微观状态数，就可以计算各种宏观物理量。这样，等概率原理在连接宏观物理量和相对应的微观物理量之间建立了一个可以计算的桥梁。当然，实际上，对给定的孤立系统，计算总的微观状态数一般是很困难的，但是它是分析其他问题（如分析正则分布和巨正则分布）的基础，等概率原理也称为微正则分布。………………………………………………………（3分）
三. 计算题(本题共 4 题，总共 49 分)
1. 一均匀杆的长度为 L ，单位长度的定压热容量为p c ，在初态时左端温度为 1T ，右端温度为 2T ， 21T T <，从左到右端温度成比例逐渐升高，考虑杆为封闭系统，请计算杆达到均匀温度分布后杆的熵增。（你可能要用到的积分公式为()??-?=
?x x x d dx x ln ln 。
）(10分) 答：设杆的初始状态是左端 0=l 温度为 1T ，右端 L l =为 2T ，从左到右端，位于 l 到dl l +的初始温度为
l L
T T T T 1
21-+
=，达到平衡后温度为
2
1
2T T -，这一小段的熵增加值为：
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l
L
T T T T T dl c T
dT dl
c dS p T T l L
T T T p 1
212
12
2ln
2
11
21-+
+?==?
+-+
………………………………………………………（4分）
根据熵的可加性，整个均匀杆的熵增加值为
??
?
???
?
??
-+?-+?=-+
+?==
?L p L
p L
p l L T T T dl c T T dl c l
L T T T T T dl c dS S 012
10
2
10
1
212
1ln 2
ln
2ln
?
??
?
??
-+?--?
-+?=L
p p l L T T T l L
T T d L
T T c T T L c 0
12
11
21
22
1ln )(
12
ln
?
?-?
-+?=2
1
ln 12
ln
1
22
1T T p p x dx L
T T c T T L c
()1211221
22
1ln ln 12
ln
T T T T T T T T L c T T L c p p +---?
-+?=………………………………（6分）
2. 设一物质的物态方程具有以下形式：T V f p )(=，试证明其内能和体积无关。(10分) 证明：以),(T V 作为自变量，则熵的全微分为：
dV V S dT T S dS T
V ??? ????+??? ????=………………………………（3分）
利用热力学基本微分方程，有：
dV
p V S T dT T S T pdV dV V S T dT T S T pdV
TdS dU T V T V ??
????-??? ????+???
????=-????????? ????+??? ????=-=
因此有：
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p V S T V U T
T -??? ????=??? ????………………………………（3分）
由麦氏关系代入上式，可以得到：
p T p T V U V
T -???
????=??? ????
利用物态方程可以知：
)(V f T p V
=???
???? 故有：
0)(=-=-???
????=??? ????p V Tf p T p T V U V
T …………………………（4分）
得证。
3. 表面活性物质的分子在液面上作二维自由运动，可以看作是二维气体。请用经典统计理论计算： （1）二维气体分子的速度分布和速率分布。(9分) （2）二维气体分子的最概然速率。(4分) 答：玻耳兹曼分布的经典表达式是
r
l l h e
a 0
1
ωβεα?=--…………………………………………（2分）
在没有外场时，二维情况下的分子质心运动能量的经典表达式为
)(2122
22
y x p p m
m
p
+=
=
ε
在面积A 内，分子质心平动动量在y x dp dp 范围内的状态数为
y x dp dp h
A 20
因此，在面积A 内，分子质心平动动量在y x dp dp 范围内的分子数为
y x p p mkT
dp dp e
h
A y x )
(2120
2
2
+-
-α
参数由总分子数为N 的条件定出
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N dp
dp e
h
A y
x p p mkT
y x =??
+-
-)
(2120
2
2
α
积分出，得
2
21h A
N mkT
e
πα
=
-
因此，质心动量在y x dp dp 范围内的分子数为
y x p p mkT
dp dp e
mkT
N y x )
(212
2
21+-
π
用速度作为变量，y y x x mv p mv p ==;，上式化为：
y x v v kT
m dv dv e
kT
m N y x )
(22
2
2+-π
这就是在面积A 内，分子在y x dv dv 范围内的分子数。用A
N n =表示单位面积内的分子数，则在单位面积内，
速度在y x dv dv 范围内的分子数为
y x v v kT
m y x y x dv dv e
kT
m n
dv dv v v f y x )
(22
22),(+-=π…………………………（5分）
这就是二维情况下的速度分布律。归一化条件为：
n dv dv e
kT
m
n dv dv v v f y x v v kT
m y x y x y x ==
????
+-
)
(22
22),(π
化为极坐标，并对角度进行积分，可得二维情况下的速率分布律
vdv e
kT
m n
dv v f v
kT
m 2
2)(-=…………………………………（2分）
最概然速率m v 满足条件：
0)()(2
2==-
v e
dv
d kT m n
dv
v df v
kT
m
由此得到：
m
kT v m =
……………………………………………（4分）
在这个速率附近，分子数最多。
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4.（1）证明，在二维情况下，对于非相对论粒子，压强和内能的关系为：
A
U p =
这里，A 是面积。这个结论对于玻尔兹曼分布、玻色分布和费米分布都是成立的。（8分） （2）假设自由电子在二维平面上运动，电子运动为非相对论性的，面密度为A
N n =，试求 0 K 时电子气体
的费米能量、内能和简并压强。(8分)
答：（1）不妨假设二维空间为正方形，边长为L ，根据周期性边界条件，二维自由粒子在x 和y 方向的动量分量的可能取值为：
,2,1,0;±±==x x x n n L h p
,2,1,0;±±==
y y y n n L
h p
因此对于非相对论的自由粒子，能量为：
1
222
2
222
)(21)()(
21
2-=+=
+=
=aA
n n A
h
m n n L
h
m m
p
y x y x n n
y
x ε
以单一指标l 代替),(y x n n ，上式可以记为：
1
-=aA
l ε
因此当有N 个粒子存在时，产生的压强为：
A
U a A
a aA
a A
p l
l
l l
l l
l l ∑∑∑
=
=--
=??-=--ε
ε1
2
)1(…………………（8分）
（2）在面积2L A =内，在dp p p +-内，自由粒子的量子态的数目为：
pdp
h
L π2)(2
由于电子自旋为21
，因此利用自由粒子的非相对论能量动量关系m
p
22
=ε，得到在ε
εεd +-内，自由电子的量子态的数目为：
ε
πεπd h
Am md h
A 2
2
422=
根据费米分布，一个量子态上的平均电子数为：
……密 ………封 ……… 线 …… 以 ………内 ……… 答 ……… 题 ……… 无 …… 效………
1
1+=
+βε
αe
f
在面积A 内，在εεεd +-内，自由电子的数目为：
ε
πεπμεβε
αd e
h
Am d e
h
Am dN kT
1
141
14)
(2
2
+=
+=
-+
在K 0=T 时，对上式积分，可以确定费米能量（零温时的化学势）：
?
=
≡?=
)
0(0
2
2
4)0(4μπμεεπn m
h
d h
Am N F ……………………………（4分）
面积A 内，在εεεd +-内，自由电子的能量为：
εεπμεd e
h
Am dU kT
1
14)
(2
+=
-
在K 0=T 时，对上式积分，得到自由电子的内能为：
)0(2
14)0()
0(0
2
μεεπμN d h
Am U =
=
?………………………………（2分）
在K 0=T 时的简并压强为：
)0(2
1)0(μn A
U p ==
………………………………………（2分）
热力学统计物理试题及其完整答案版
《热力学统计物理》试题参考解答及评分标准 一、1. B, 2. B, 3. A, 4. D, 5. B, 6. A, 7. C, 8. C, 9. A, 10. A. 评分标准：本题共20分， 每个答案2分。 二、 1. 状态， 2. 态， 系统从外界吸收， 3. p -, 4. ω )21(+ n , ,2,1,0=n , 5. l e a l l βεαω--=, 6. 0, 7. T V F )(??-, 8. 负温度状态, 9. n p T G ,)(??-， 10. n p S H ,)(??。 评分标准：本题共20分， 每个答案2分。 三、 1. 正确。 理由：pdV SdT dF --=。 2. 错误。 理由：T V F p ??? ????-=。 3. 错误。 理由：自由粒子为不受外力的作用而作自由运动的粒子。 4. 错误。 理由：组成玻色系统和费米系统的粒子是不可分辨的，而组成玻耳兹曼系统的 粒子是可以分辨的。 评分标准：每小题2.5分。其中判断1分，理由1.5分。 四、1．证: 由正则分布Es s e Z βρ-=1，得 s s E Z βρ--=ln ln . （1） 将上式代入广义熵的表示式，得 ]ln [ln ][ln ββ β??-=+=Z Z k U Z k . （2） 上式即正则系综中系统熵的表示式。 或者，由正则分布中熵的表示式出发 ][ln s s s E Z k βρ+=∑, （3） 利用（1）式，由上式得熵的普遍表示式 ∑-=s s s k S ρρln . (4) 评分标准：（1），（2）式各5分。 2. 证明：理想气体的热容量为n C ，则?dT C Q n =。由热力学第一定律得 pdV dT C dT C V n +=, 0)(=--pdV dT C C V n . (1) 将理想气体状态方程RT pV =微分，有
热力学统计物理 课后习题 答案
第一章 热力学的基本规律 1.1 试求理想气体的体胀系数α,压强系数β与等温压缩系数κT 。 解:已知理想气体的物态方程为nRT pV = 由此得到 体胀系数T pV nR T V V p 1 1== ??? ????= α, 压强系数T pV nR T P P V 1 1== ??? ????= β 等温压缩系数p p nRT V p V V T 1 )(112=-?? ? ??=???? ????- =κ 1.2证明任何一种具有两个独立参量T,P 的物质,其物态方程可由实验测量的体胀系数与等温压缩系数,根据下述积分求得()? -=dp dT V T καln ,如果P T T 1 ,1 = =κα,试求物态方程。 解: 体胀系数 p T V V ??? ????= 1α 等温压缩系数 T T p V V ???? ????-=1κ 以T,P 为自变量,物质的物态方程为 ()p T V V ,= 其全微分为 dp V dT V dp p V dT T V dV T T p κα-=? ??? ????+??? ????= dp dT V dV T κα-= 这就是以T,P 为自变量的完整微分,沿一任意的积分路线积分,得 ()?-=dp dT V T καln 根据题设 , 若 p T T 1,1== κα ????? ? ?-=dp p dT T V 11ln 则有 C p T V +=ln ln , PV=CT 要确定常数C,需要进一步的实验数据。 1.4描述金属丝的几何参量就是长度L,力学参量就是张力￡,物态方程就是(￡,L,T)=0,实验通常
在大气压下进行,其体积变化可以忽略。线胀系数定义为F T L L ??? ????= 1α ,等温杨氏模量定义为T L F A L Y ??? ????= ,其中A 就是金属丝的截面。一般来说,α与Y 就是T 的函数,对￡ 仅有微弱的依赖关系。如果温度变化范围不大,可以瞧作常数。假设金属丝两端固定。试证明,当温度由T1降至T2时,其张力的增加为)T -(T -Y A ￡12α=?。 解: f (￡,L,T)=0 ,￡=F￡(L,T) dT T dL L dT T d L T L ??? ????-??? ????+??? ????=￡￡￡￡ (dL=0) 1￡￡-=??? ??????? ??????? ????T F L L L T T αα YA L AY L L T L T T F L -=-=??? ??????? ????-=??? ????￡￡ dT YA d α-=￡ 所以 )T -(T -Y A ￡12α=? 1.6 1mol 理想气体,在27o C 的恒温下发生膨胀,其压强由20P n 准静态地降到1P n ,求气体所做 的功与所吸收的热量。 解:将气体的膨胀过程近似瞧做准静态过程。 根据? -=VB VA pdV W , 在准静态等温过程中气体体积由V A 膨胀到VB,外界对气体所做的功为 A B A B VB VA VB VA P P RT V V RT V dV RT pdV W ln ln -=-=-=-=? ? 气体所做的功就是上式的负值, - W =A B P P RT ln -= 8、31?300?ln20J= 7、47?10-3J 在等温过程中理想气体的内能不变,即?U=0 根据热力学第一定律?U=W+Q, 气体在过程中吸收的热量Q 为 Q= - W = 7、47?10-3J 1、7 在25o C 下,压强在0至1000pn 之间,测得水的体积为 V=18、066-0、715?10-3P+0、046?10-6P 2cm 3?mol -1 如果保持温度不变,将1mol 的水从1pn 加压至1000pn,求外界所作的功。 解:将题中给出的体积与压强的关系记为 V=A+BP+CP 2 由此得到 dV=(B+2CP)dP 保持温度不变,将1mol 的水从1Pn 加压至1000Pn,在这个准静态过程中,外界所作的功为
热力学与统计物理题
《热力学与统计物理》练习题 一 简答题 1．单元复相系的平衡条件； 2．熵增原理 3．能量均分定理 4．热力学第一定律； 5．节流过程 6．热力学第二定律的克氏表述 计算题 1. 1 mol 理想气体，在C 0 27的恒温下体积发生膨胀，由20大气压准静态地变到1大气压。求气体所作的功和所吸的热。 2．求证 （a ）0??? ????U V S 3．试证明在相变中物质摩尔内能的变化为 (1)p dT u L T dp ?=- 如果一相是气相，可看作理想气体，另一相是凝聚相，试将公式简化。 4. 1 mol 范氏气体，在准静态等温过程中体积由1V 膨胀至2V ，求气体在过程中所作的功。 5．试证明，在相同的压力降落下，气体在准静态绝热膨胀中的温度降落大于在节流过程中的 温度降落。 6．蒸汽与液相达到平衡。设蒸汽可看作理想气体，液相的比容比气相的比容小得多，可以略而不计。以 dv dT 表在维持两相平衡的条件下，蒸汽体积随温度的变化率。试证明蒸汽的两相平衡膨胀系数为
111dv L v dT T RT ???? =- ? ????? 7. 在C 0 25下，压力在0至1000atm 之间，测得水的体积为： 3623118.0660.715100.04610V p p cm mol ---=-?+??, 如果保持温度不变，将1 mol 的水从1 atm 加压至1000 atm ，求外界所作的功。 8．试讨论以平衡辐射为工作物质的卡诺循环，计算其效率。 9．在三相点附近，固态氨的饱和蒸汽压（单位为大气压）方程为 3754 ln 18.70p T =- 液态的蒸汽压方程为 3063 ln 15.16p T =- 试求三相点的温度和压力，氨的气化热和升华热，在三相点的熔解热 10. 在C 0 0和1atm 下，空气的密度为300129.0-?cm g 。空气的定压比热 11238.0--??=K g cal C p ，41.1=γ。今有327cm 的空气， (i)若维持体积不变，将空气由C 0 0加热至C 0 20，试计算所需的热量。 (ii)若维持压力不变，将空气由C 0 0加热至C 0 20，试计算所需的热量。 11．满足C pV n =的过程称为多方过程，其中常数n 为多方指数。试证，理想气体在多方过程中的热容量n C 为 V n C n n C 1 --= γ 其中/p V C C γ= 12．写出以i T,V,n 为自变量的热力学基本等式，并证明：
热力学统计物理总复习知识点
热力学部分 第一章热力学的基本规律 1、热力学与统计物理学所研究的对象：由大量微观粒子组成的宏观物质系统 其中所要研究的系统可分为三类 孤立系：与其他物体既没有物质交换也没有能量交换的系统； 闭系：与外界有能量交换但没有物质交换的系统； 幵系：与外界既有能量交换又有物质交换的系统。 2、热力学系统平衡状态的四种参量：几何参量、力学参量、化学参量和电磁参量。 3、一个物理性质均匀的热力学系统称为一个相；根据相的数量，可以分为单相系和复相系。 4、热平衡定律（热力学第零定律）：如果两个物体各自与第三个物体达到热平衡，它们彼此也处在热平衡? 5、符合玻意耳定律、阿氏定律和理想气体温标的气体称为理想气体。 6、范德瓦尔斯方程是考虑了气体分子之间的相互作用力（排斥力和吸引力），对理想气体状态方程作了修正之后的实际气体的物态方程。 7、准静态过程：过程由无限靠近的平衡态组成，过程进行的每一步，系统都处于平衡态。 8、准静态过程外界对气体所作的功：dW PdV，外界对气体所作的功是个过程量。 9、绝热过程：系统状态的变化完全是机械作用或电磁作用的结果而没有受到其他影响。绝热过程中内能U是一个态函数：W U B U A 10、热力学第一定律（即能量守恒定律）表述：任何形式的能量，既不能消灭也不能创造，只能从一种形式转换成另一种形式，在转换过程中能量的总量保持恒定；热力学表达式： U B U A W Q ;微分形式：dU dQ dW 11、态函数焓H: H U pV，等压过程：H U p V，与热力学第一定律的公式一比 较即得：等压过程系统从外界吸收的热量等于态函数焓的增加量 12、焦耳定律：气体的内能只是温度的函数，与体积无关，即U U（T）o
热力学与统计物理试题及答案
热力学与统计物理试题及 答案 Revised by BLUE on the afternoon of December 12,2020.
一．选择（25分 ） 1.下列不是热学状态参量的是（ ） A.力学参量 B 。几何参量 C.电流参量 D.化学参量 2.下列关于状态函数的定义正确的是（ ) A.系统的吉布斯函数是：G=U-TS+PV B.系统的自由能是：F=U+TS C.系统的焓是：H=U-PV D.系统的熵函数是：S=U/T 3.彼此处于热平衡的两个物体必存在一个共同的物理量，这个物理量就是（ ） A.态函数 B.内能 C.温度 D.熵 4.热力学第一定律的数学表达式可写为（ ） A.W Q U U A B +=- B.W Q U U B A +=- C.W Q U U A B -=- D.W Q U U B A -=- 5.熵增加原理只适用于（ ） A.闭合系统 B.孤立系统 C.均匀系统 D.开放系统
二．填空（25分） 1.孤立系统的熵增加原理可用公式表示为（）。 2.热力学基本微分方程du=（）。 3.热力学第二定律告诉我们，自然界中与热现象有关的实际过程都是（）。 4.在S.V不变的情况下，平衡态的（）最小。 5.在T.VB不变的情形下，可以利用（）作为平衡判据。 三.简答（20分） 1.什么是平衡态平衡态具有哪些特点 2. 3.什么是开系，闭系，孤立系？ 四.证明（10分） 证明范氏气体的定容热容量只是温度的函数,与比容无关 五．计算（20分） 试求理想气体的体胀系数α，压强系数β，等温压缩系数 T K
参考答案 一.选择 1~5AACAB 二.填空 1. ds≧0 2. Tds-pdv 3. 不可逆的 4. 内能 5. 自由能判据 三．简答 1.一个孤立系统，不论其初态如何复杂，经过足够长的时间后，将会达到这样状态，系统的各种宏观性质在长时间内不发生变化，这样的状态称为热力学平衡态。特点：不限于孤立系统 弛豫时间 涨落 热动平衡 2.开系：与外界既有物质交换，又有能量交换的系统
热力学与统计物理第二章知识总结
§内能、焓、自由能和吉布斯函数的全微分 热力学函数中的物态方程、内能和熵是基本热力学函数，不仅因为它们对应热力学状态描述第零定律、第一定律和第二定律，而且其它热力学函数也可以由这三个基本热力学函数导出。 焓：自由能： 吉布斯函数： 下面我们由热力学的基本方程(1) 即内能的全微分表达式推导焓、自由能和吉布斯函数的全微分 焓、自由能和吉布斯函数的全微分 o焓的全微分 由焓的定义式，求微分，得， ； 将（1）式代入上式得(2) o自由能的全微分 由得 (3) o吉布斯函数的全微分 (4)
从方程（1）（2）（3）（4）我们容易写出内能、焓、自由能和吉布斯函数的全微分dU，dH，dF，和dG独立变量分别是S，V；S，P；T，V和T，P 所以函数U（S，V），H（S，P），F（T，V），G（T，P）就是我们在§将要讲到的特性函数。下面从这几个函数和它们的全微分方程来推出麦氏关系。 二、热力学（Maxwell）关系(麦克斯韦或麦氏) ~ (1)U（S，V） 利用全微分性质（5） 用（1）式相比得（6） 再利用求偏导数的次序可以交换的性质，即 （6）式得（7） （2）H（S，P） 同（2）式相比有 由得（8） （3）F（T，V） ~
同（3）式相比 （9） （4）G（T，P） 同（4）式相比有 （10） （7），（8），（9），（10）式给出了热力学量的偏导数之间的关系，称为麦克斯韦（）关系，简称麦氏关系。它是热力学参量偏导数之间的关系，利用麦氏关系，可以从以知的热力学量推导出系统的全部热力学量，可以将不能直接测量的物理量表示出来。例如，只要知道物态方程，就可以利用（9），（10）式求出熵的变化，即可求出熵函数。 §麦氏关系的简单应用 证明 ' 1. 求 选T,V为独立变量，则内能U（T,V）的全微分为 （1）
热力学统计物理试题(B卷)
热力学·统计物理试题（B 卷） 适用于200×级本科物理学专业 (200×-200×学年度第×学期) 1. (10分) 证明范氏气体的定容热容量只是温度的函数,与比容无关. 2. (20分) 试证明，相变潜热随温度的变化率为 βp c dT dL =-α p c -+T L αβαβv v L T v T v p p -??? ????????? ????-???? ? ??? 如果β相是气相，α相是凝聚相，试证明上式可简化为： α βp p c c dT dL -= 3．(10分) 若将U 看作独立变数T , V , n 1,… n k 的函数，试证明： （1）V U V n U n U i i i ??+??=∑ （2）V U v n U u i i i ??+??= 4．（20分） 试证明，对于遵从玻尔兹曼分布的系统，熵函数可以表示为 ∑-=s Ps Ps Nk S ln 式中P s 是总粒子处于量子态s 的概率，1Z e N e P s s s βεβεα---= =,∑s 对粒子的所有量子态求和。 5．（20分） 铁磁体中的自旋波也是一种准粒子,遵从玻色分布,色散关系是 2Ak =ω.试证明在低温下,这种准粒子的激发所导致的热容与2/3T 成正比. 6．（20分） 在极端相对论情形下电子能量与动量的关系为cp =ε,其中c 为光速.试求自由电子气体在0K 时的费米能量,内能和简并压.
附标准答案 1. (10分) 解证：范氏气体()RT b v v a p =-??? ? ? +2
由式(2.2.7)? T v U ??? ????=T V T p ??? ????-p =T 2 v a p b v R =-- (5分) T v U ??? ????=2v a ?)(),(0T f v a U v T U +-= =V C V T U ??? ????=)(T f ' ；与v 无关。 (5分) 2．(20分) 证明：显然属于一级相变; ()())(αβS S T L -=; 其中())(,T p T S S =， 在p ～T 相平衡曲线上. ()[]??? ? ??????+??? ?????+-=dT dp p S T T S T S S dT dL αβ 其中：=??? ?????T S () P T S ???? ????β()P T S ???? ????-α =???? ??????dT dp p S [()P T S ???? ????β()P T S ? ??? ????-α]dT dp ? (5分) 又有：T C P =P T S ??? ????；()())(αβS S T L -= 由麦氏关系(2.2.4): -=???? ????T p S P T V ??? ???? （5分） 上几式联立(并将一级相变的克拉伯珑方程代入)得： βp c dT dL =-α p c -+T L αβαβv v L T v T v p p -??? ????????? ????-???? ? ??? (5分) 若β相是气相，α相是凝聚相；() αV ～0；()p T V ???? ???α～0； β相按理想气体处理。pV=RT ?α βp p c c dT dL -= (5分) 3．（10分） 证明：（1） ),,,(),,,(11k k n n V T U n n V T U ΛΛλλλλ=
关于计算物理习题
第一章绪论 1. 什么是计算物理？计算物理与计算数学有何不同？ 答：计算物理学是以计算机及计算机技术为工具和手段，运用计算数学的方法解决复杂物理问题的一门应用科学。计算物理是用计算机作为实现手段的实验物理或“计算机实验”，计算数学则是解决物理问题的理论基础。 2. 试阐述计算机模拟方法与理论、实验方法相比有什么特殊的优点和局限性。 答：优点：1.省时省钱 2.具有更大的自由度和灵活性 3.能够模拟极端条件下的实验 缺点：1、不能获得物理定律和理论公式 2、计算结果缺乏严格的论证，其结果仍需实验验证 3. 试阐述计算物理学和实验物理及理论物理的关系？计算物理在物理学研究中 主要用于什么方面？ 答： 计算物理在物理学研究中主要用于模拟实验并提供数据，用于验证理论方程还可以与实验结果对照或作为实验的参考数据。 4. 利用计算物理解决问题时，不同计算方法的选取会有什么影响？数值计算的 误差包括哪些方面？在计算中如何减小误差？ 答：不同的方法选取会影响到计算的时间长短和计算结果的正确性。数值计算的误差包括：模型误差、观测误差、方法误差、舍入误差。减小误差的方式有：1.两个相近的近似数相减
时，有效数字会严重损失，实际计算时要尽量避免；2.保护重要的物理参量；3.注意计算步骤的简化，减少算术运算的次数。 5.计算物理有哪些工作步骤？ 答：1.物理机理，2.数学提法，3.离散模型，4.算法程序，5.上机计算，6.结果分析。 6. 离散化与逼近的含义是什么？收敛性与稳定性的含义。 答：离散化是为了能让计算机处理数据所做的必要步骤，逼近则是为了让结果尽量接近真值的方式。收敛性是指通过数值计算得到的近似解是否逼近数学模型的的真解这样一个性质，稳定性是指在数值计算中，误差的传播能否得到控制这样一个性质。 第二章随机数和蒙特卡洛方法 1. 随机数列的类型和产生方法？任意分布的伪随机变量的抽样方法有哪些? 答：随机数的类型有真随机数、准随机数、伪随机数，产生方法有：物理方法和数学方法。伪随机变量的抽样方法有：直接抽样法（反函数法）、变换抽样法、舍选抽样法、复合抽样法、特殊抽样法。 2. 采用线性同余法（参见公式(2.2.3)）产生伪随机数。取a=5，c=1，m=16和x0=1 记录下产生出的前20 数，它产生数列的周期是多少？ 答：6、31、156、781、3906、19531、97655、 3. 简要叙述蒙特卡洛方法的基本思想。 答：针对待求问题，根据物理现象本身的统计规律，或人为构造一合适的依赖随机变量的概率模型，使某些随机变量的统计量为待求问题的解，进行大统计量N→∞的统计实验方法或计算机随机模拟方法。 4.蒙特卡洛方法对随机数有较高的要求，然而实际应用的随机数通常都是通过某些数学公式计算而产生的伪随机数，但是，只要伪随机数能够通过随机数的一系列的统计检验，我们就可以把它当作真随机数放心使用。在产生伪随机数的方法中，有比较经典的冯·诺曼平方取中法和线性同余法，请分别写出它们的递推关系式？对于伪随机数一般需要做哪些统计检验（至少写出四个）？ 答：平方去中法：X n+1=[X n2/2r](mod22r) ξn=X n/22r 线性同余法：X i+1=a·X i+c (mod M) ξi+1=X i+1/M 伪随机数的统计检验：独立性检验和均匀性检验。 5.蒙特卡洛方法计算中减少方差的技术有哪些？
热力学统计物理总复习知识点说课材料
热力学统计物理总复 习知识点
概 念 部 分 汇 总 复 习 热力学部分 第一章 热力学的基本规律 1、热力学与统计物理学所研究的对象：由大量微观粒子组成的宏观物质系统 其中所要研究的系统可分为三类 孤立系：与其他物体既没有物质交换也没有能量交换的系统； 闭系：与外界有能量交换但没有物质交换的系统； 开系：与外界既有能量交换又有物质交换的系统。 2、热力学系统平衡状态的四种参量：几何参量、力学参量、化学参量和电磁参 量。 3、一个物理性质均匀的热力学系统称为一个相；根据相的数量，可以分为单相 系和复相系。 4、热平衡定律(热力学第零定律）：如果两个物体各自与第三个物体达到热平 衡，它们彼此也处在热平衡. 5、符合玻意耳定律、阿氏定律和理想气体温标的气体称为理想气体。 6、范德瓦尔斯方程是考虑了气体分子之间的相互作用力（排斥力和吸引力）, 对理想气体状态方程作了修正之后的实际气体的物态方程。 7、准静态过程：过程由无限靠近的平衡态组成，过程进行的每一步，系统都处 于平衡态。 8、准静态过程外界对气体所作的功：，外界对气体所作的功是个 过程量。 9、绝热过程：系统状态的变化完全是机械作用或电磁作用的结果而没有受到其 他影响。绝热过程中内能U 是一个态函数：A B U U W -= V p W d d -=
10、热力学第一定律（即能量守恒定律）表述：任何形式的能量，既不能消灭 也不能创造，只能从一种形式转换成另一种形式，在转换过程中能量的总量保 持恒定；热力学表达式：Q W U U A B +=-；微分形式：W Q U d d d += 11、态函数焓H ：pV U H +=，等压过程：V p U H ?+?=?，与热力学第一定 律的公式一比较即得：等压过程系统从外界吸收的热量等于态函数焓的增加 量。 12、焦耳定律：气体的内能只是温度的函数，与体积无关，即)(T U U =。 13．定压热容比：p p T H C ??? ????=；定容热容比：V V T U C ??? ????= 迈耶公式： nR C C V p =- 14、绝热过程的状态方程：const =γpV ；const =γ TV ；const 1 =-γγT p 。 15、卡诺循环过程由两个等温过程和两个绝热过程组成。正循环为卡诺热机，效率211T T - =η，逆循环为卡诺制冷机，效率为2 11T T T -=η（只能用于卡诺热机）。 16、热力学第二定律：克劳修斯表述：不可能把热量从低温物体传到高温物体 而不引起其他变化（表明热传导过程是不可逆的）； 开尔文（汤姆孙）表述：不可能从单一热源吸收热量使之完全变成有用的功 而不引起其他变化（表明功变热的过程是不可逆的）； 另一种开氏表述：第二类永动机不可能造成的。 17、无摩擦的准静态过程是可逆过程。
计算物理基础
装订线 北京师范大学2007 ～2008 学年第二学期期末考试试卷（A卷） 课程名称计算物理基础任课教师姓名：彭芳麟 卷面总分： 100 分考试时长： 100 分钟考试类别：闭卷□√开卷□其他□院（系）：物理专业：物理年级： 06 姓名：学号： 阅卷教师（签字）： 一.选择题(10分) (对下面语句加以判断) 1. W = [ ]; ( 对) 2. a=5, A=7, Aa=9; ( 对) 3. x=0:0.1:6; A=[x; 4*x]; B=sin(A); plot(x,B) ( 对) 4. u = 1E-4 ( 对 ) 5. syms x, y, z, a, b ( 错 ) 二.填空题(10分) 列举冒号:的各种功能. 表示取从x到y的数值，如 x = 1:5; % x = 1 2 3 4 5 还可以设置步进 x = 1:2:10; % x = 1 3 5 7 9 表示取全部行/列及其它维数 A为矩阵， 则B=A(:,2:3)表示截取A矩阵中“所有行”的“2~3”列的元素，并组成数组B。 2.程序中将长的语句分行书写时应该在分行处加上的符号是：。。。 3.在语句后面加上分号;的作用是：结束语句 4.方括号[ ]的功能有：矩阵运算
5.花括号{ }功能：用于单元阵列的赋值、定义字符串数组、引用结构数组元素 三.说明下列指令的用法与功能(10分) 1.pause ：停顿：例如：pause （0.5）； 2.sphere 画三维球体：例如sphere(0.5); 3.polar 极坐标画图：th=0:0.01:pi; polar (th,sin(th*pi).*cos(th)) 4.demo 查看示例 5.format 改变显示方式 四.简答题(20分) 1. 叙述调试程序的方法 对于很简单的程序，直接运行皆可，MATLAB 会自动检测有错误的语句。 对于和复杂的程序，可以逐句运行，看看每句执行的情况，如果有错，随时修正。 更复杂的程序，可以分块设置间断点，然后分块调试，调试一部分程序在调试下一部分程序。 2.实时动画有两种,简单叙述它们的画法. MATLAB 用图像句柄来控制图形对象。通过查看图形句柄的所包含的图形属性，并通过改变其中的函数值及线形来改变图形。 五.程序题(20分) 1. 已知 24210.2;( 1.6 1.6)2y x x x +-=-≤≤,这是一个隐函数, a) 用隐函数作图指令可以直接画它图形,请写出相应的语句。 ezplot('y^2+0.5*x^4-x^2=0.2',[-1.6,1.6]) b) 如果不用这种指令作图，则很烦琐，为了对比，请再编一个程序画图，不得用隐函数作图的指令。 y=solve('y^2+0.5*x^4-x^2-0.2','y')； 解出y 关于x 的函数在用x=-1.6:0.1:1.6； 在求出y ；plot （x ，y ）； 2. 高斯—勒让德积分公式是 11 1()()N n n n f x dx w f x =-=∑?，取N=3， 1321321/20.774597;00.555556;0.88888935()2 2x x x w w w f x x =-=====??=+ ??? 编出计算程序，要求不得用for 循环语句 。 f=@(x)(1.5*x+2.5).^0.5; w1=0.555556;w3=w1;w2=0.888889;
西南大学2016网络统计物理基础作业及答案
2016《统计物理基础》0132作业及答案1、下列系统遵循泡利不相容原理的是______ 光子系统 自由电子系统∨ 玻耳兹曼系统 2、电子是_____________ 1.玻耳兹曼粒子 2.费米子 3.玻色子 3、费米分布为____________ 1. w/(exp(a+be)+1) 2. w/(exp(a+be)-1) 3. w(exp(a+be)+1) 4. wexp(-a-be) 4、玻色分布为____________ 1. w/(exp(a+be)+1) 2. w/(exp(a+be)-1) 3. w(exp(a+be)+1) 4. wexp(-a-be) 5、玻耳兹曼分布为____________ 1. w/(exp(a+be)-1) 2. wexp(-a-be) 3. w/(exp(a+be)+1) 4. w(exp(a+be)+1) 6、热力学基本方程为dG =________ 1. TdS —PdV 2. TdS+Vd 3. -SdT-pdV 4. -SdT+Vd 7、从热力学基本方程出发,dF =_____ 1. TdS —PdV 2. TdS+Vd 3. -SdT-pdV
4. -SdT+Vd 8、从热力学基本方程出发,dH =_____ 1. TdS —PdV 2. TdS+Vdp 3. -SdT-pdV 4. -SdT+Vdp 9、热力学基本方程为dU =________ 1. TdS —PdV 2. TdS+Vd 3. -SdT-pdV 4. -SdT+Vd 10、玻尔兹蔓常数K= 1. 0 2. 8.31J 3. 1.38* 1023J/K 4. 1.38* 1023 11、照能量均分定理，刚性双原子分子理想气体的内能＝_____ 1. 0 2. 1/2kT 3. 5NkT/2 4. 2kT 12、理想气体的焦耳—汤姆孙系数u=___ 1. 1 2. 2 3. 0 4. 3 13、工作于温度为500C与10000C的两热源之间的热机或致冷机热机效率的最大值n=______ 1. 120% 2. 5 3.5% 3. 7 4.5% 4. 24% 14、根据热力学判据，对等温等压系统，平衡态系统的 _____为最小
统计物理试题
一．简要回答下列问题 a) 等几率原理 b) 能量均分定理 c) 玻色--爱因斯坦凝聚 d) 自发对称破缺 二.设有N 个定域粒子组成的系统，粒子之间相互作用很弱，可以忽略。设粒子只有三个非简并能级，能量分别为,0,εε-，系统处于平衡态，温度为T 。求： (1） 系统的配分函数和熵S 的表达式; (2) 内能U 及热容C （T ），并求其0T T →→∞与的极限 (3) 0 ()/?dT C T T ∞ =? 三.N 个二维各向同性简谐振子组成的近独立粒子系统处于平衡态（温度为T ），假设粒子遵 从Boltzmann 分布，其能量表达式是2 22221()()22 x y m p p x y m ωε=+++，量子化的本征能级是(1)n E n ω=+，其中n=0，1，2， 。。。。。 （1） 在什么条件下简谐振子能级量子化效应可以忽略？ （2） 分别在高温和低温条件下，计算系统的内能和热容量 提示：高温条件可直接利用能量均分定理; 低温条件首先要计算系统的配分函数 四.考虑二维自由电子气体系统，其能量色散关系为()22/2p x y p p m ε=+,m 为常数，设面积为S ，总的粒子数为N (1）求零温下系统的化学势(0)μ及内能U (2）不用计算，从物理分析判断低温下定容热容量与温度的关系是什么? 为什么? 五. 铁磁固体低温下的元激发称为自旋波，它可以看作是一种粒子数不守恒的玻色型元激发，其能谱为r p αε=，其中 ||p p → =, α 和 r 均为常数。 (1) 求这种元激发的态密度)(εD ； （2） 实验发现在足够低的温度下，热容2/3~T C ，试由此确定r 。
热力学统计物理总复习知识点
热力学部分 第一章 热力学的基本规律 1、热力学与统计物理学所研究的对象：由大量微观粒子组成的宏观物质系统 其中所要研究的系统可分为三类 孤立系：与其他物体既没有物质交换也没有能量交换的系统； 闭系：与外界有能量交换但没有物质交换的系统； 开系：与外界既有能量交换又有物质交换的系统。 2、热力学系统平衡状态的四种参量：几何参量、力学参量、化学参量和电磁参量。 3、一个物理性质均匀的热力学系统称为一个相；根据相的数量，可以分为单相系和复相系。 4、热平衡定律(热力学第零定律）：如果两个物体各自与第三个物体达到热平衡，它们彼此 也处在热平衡. 5、符合玻意耳定律、阿氏定律和理想气体温标的气体称为理想气体。 6、范德瓦尔斯方程是考虑了气体分子之间的相互作用力（排斥力和吸引力）,对理想气体状 态方程作了修正之后的实际气体的物态方程。 7、准静态过程：过程由无限靠近的平衡态组成，过程进行的每一步，系统都处于平衡态。 8、准静态过程外界对气体所作的功：，外界对气体所作的功是个过程量。 9、绝热过程：系统状态的变化完全是机械作用或电磁作用的结果而没有受到其他影响。绝 热过程中内能U 是一个态函数：A B U U W -= 10、热力学第一定律（即能量守恒定律）表述：任何形式的能量，既不能消灭也不能创造， 只能从一种形式转换成另一种形式，在转换过程中能量的总量保持恒定；热力学表达式： Q W U U A B +=-；微分形式：W Q U d d d += 11、态函数焓H ：pV U H +=，等压过程：V p U H ?+?=?，与热力学第一定律的公 式一比较即得：等压过程系统从外界吸收的热量等于态函数焓的增加量。 12、焦耳定律：气体的内能只是温度的函数，与体积无关，即)(T U U =。 13．定压热容比：p p T H C ??? ????=；定容热容比：V V T U C ??? ????= 迈耶公式：nR C C V p =- 14、绝热过程的状态方程：const =γpV ；const =γ TV ；const 1 =-γγT p 。 15、卡诺循环过程由两个等温过程和两个绝热过程组成。正循环为卡诺热机，效率 211T T -=η，逆循环为卡诺制冷机，效率为2 11T T T -=η（只能用于卡诺热机）。 16、热力学第二定律：克劳修斯表述：不可能把热量从低温物体传到高温物体 而不引起其他变化（表明热传导过程是不可逆的）； 开尔文（汤姆孙）表述：不可能从单一热源吸收热量使之完全变成有用的功而不引起其 他变化（表明功变热的过程是不可逆的）； 另一种开氏表述：第二类永动机不可能造成的。 V p W d d -=
计算物理习题
第二章 习题 （1） 采用线性同余法（参见公式(2.2.3)）产生伪随机数。取5a =，1c =，16m =和 01x =.记录下产生出的前20数，它产生数列的周期是多少？ （2） 取137a =，187c =，256m =和01x =，用线性同余法产生出三维数组 {}12,,n n n ξξξ++和二维数组{}1,n n ξξ+，然后分别绘出其三维和二维分布图形。 （3） 用“投针法”计算出圆周率的数值，画出程序流程框图，并编写程序。 （4） 已知电子在物质中的作用截面电子对光电总σσσσ++=com pton ，试写出电子在物质 层中相互作用的抽样程序框图和程序。 （5） 编写一个程序按照ξληln 1 --=产生随机数序列{}i η，并绘图表明其分布满足分布 密度函数 ???>>=-其它, 00,0,)(λλλx e x f x 。 （6） τ轻子的平均寿命为s 13104.3-?，试写出N 个τ轻子在实验室系中以速度v 运动 的飞行距离的抽样程序框图和程序。 （7） 写出各向同性分布的角度 ?θ, 抽样程序（?θθd d d sin =Ω）。 （8） 如分布密度函数为n y x x e n y x f -=),(，（其中，n y x ,0,1≥≥为整数），试写出抽样程序框图和程序。 （9） 证明Breit-Wigner 分布 220)(1)(Γ +-Γ=x x x f π 可以通过0()i i x x cot πξ=-Γ抽样得到 。 （10） 归一化黑体辐射频谱为 )()1 (15 )(4 4T k h x dx e x dx x f x νπ=-=其中 证明如下抽样步骤得到的抽样分布满足上面的分布，求出它的抽样效率。 抽样步骤：让L 等于满足下面不等式的整数l 的最小值， 4 141 190l j j ξπ=≥∑ 然后置)ln(1 5432ξξξξL x - =，其中i ξ为 [0，1] 区间均匀分布的伪随机数。
热力学统计物理精彩试题
简述题 1. 写出系统处在平衡态的自由能判据。 一个处在温度和体积不变条件下的系统，处在稳定平衡态的充要条件是，对于各种可能的有限虚变动，所引起的自由能的改变均大于零。即0F ?>。 2. 写出系统处在平衡态的吉布斯函数判据。 一个处在温度和压强不变条件下的系统，处在稳定平衡态的充要条件是，对于各种可能的有限虚变动，所引起的吉布斯函数的改变均大于零。即0G ?>。 3. 写出系统处在平衡态的熵判据。 一个处在内能和体积不变条件下的系统，处在稳定平衡态的充要条件是，对于各种可能的有限虚变动，所引起的熵变均小于零。即 0S ?< 4. 熵的统计解释。 由波耳兹曼关系ln S k =Ω 可知，系统熵的大小反映出系统在该宏观状态下所具有的可能的微观状态的多少。而可能的微观状态的多少，反映出在该宏观平衡态下系统的混乱度的大小。故，熵是系统内部混乱度的量度。 5. 为什么在常温或低温下原子内部的电子对热容量没有贡献？ 不考虑能级的精细结构时，原子内的电子激发态与基态的能量差为1~10eV ，相应的特征温度为4 5 K 10~10。在常温或低温下，电子通过热运动获得如此大的能量而跃迁到激发态的概率几乎为零，平均而言电子被冻结基态，因此对热容量没有贡献。 6. 为什么在常温或低温下双原子分子的振动对热容量贡献可以忽略？ 因为双原子分子的振动特征温度3 K θ~10v ，在常温或低温下 kT < 第五题 /*计算物理作业 3.5题 *学号：20092200129 */ 程序： public class sun { public static void main(String argv[]){ double del=1e-6; int n=10,m=10; double h=Math.PI/(2*n); //Evaluate the derivative and output the result int k=0; for(int i=0;i<=n;++i){ double x=h*i; double d=(f(x+h)-2*f(x)+f(x-h))/(h*h); double f2=firstOrderDerivative3(x,h,d,del,k,m); double df2=f2-O(x,f2); System.out.println("x="+x); System.out.println(" f＂(x)="+f2); System.out.println("Error in f＂(x):"+df2); System.out.println(); System.out.println(); } } //Method to carry out 2st-order derivative throuth the adaptive scheme. public static double firstOrderDerivative3(double x,double h,double d,double del,int step,int maxstep){ step++; h=h/2; double d2=(f(x+h)-2*f(x)+f(x-h))/(h*h); if(step>=maxstep){ System.out.println("Not converged after"+step+"recursions"); return d2; } else{ if((h*h*Math.abs(d-d2)) 热力学·统计物理试题（B 卷） 适用于200×级本科物理学专业 (200×-200×学年度第×学期) 1. (10分) 证明范氏气体的定容热容量只是温度的函数,与比容无关. 2. (20分) 试证明，相变潜热随温度的变化率为 β p c dT dL =-αp c -+T L αβαβ v v L T v T v p p -??? ????????? ????-???? ???? 如果β相是气相，α相是凝聚相，试证明上式可简化为： α βp p c c dT dL -= 3．(10分) 若将U 看作独立变数T , V , n 1,… n k 的函数，试证明： （1）V U V n U n U i i i ??+??= ∑ （2）V U v n U u i i i ??+??= 4．（20分） 试证明，对于遵从玻尔兹曼分布的系统，熵函数可以表示为 ∑-=s Ps Ps Nk S ln 式中P s 是总粒子处于量子态s 的概率，1Z e N e P s s s βεβεα---= =,∑s 对粒子的所有量子态求和。 5．（20分） 铁磁体中的自旋波也是一种准粒子,遵从玻色分布,色散关系是2 Ak =ω.试证明在低温下,这种准粒子的激发所导致的热容与2 /3T 成正比. 6．（20分）在极端相对论情形下电子能量与动量的关系为 cp = ε,其中c为光速.试求自 由电子气体在0K时的费米能量,内能和简并压. 附标准答案 1. (10分) 解证：范氏气体()RT b v v a p =-?? ? ??+ 2 由式(2.2.7)? T v U ??? ????=T V T p ??? ????-p =T 2 v a p b v R =-- (5分) T v U ??? ????=2v a ?)(),(0T f v a U v T U +-= =V C V T U ??? ????=)(T f ' ；与v 无关。 (5分) 2．(20分) 证明：显然属于一级相变; ()())(αβS S T L -=; 其中())(,T p T S S =， 在p ～T 相平衡曲线上. ()[]??? ? ??????+??? ?????+-=dT dp p S T T S T S S dT dL αβ 其中：=??? ?????T S ()P T S ???? ????β()P T S ???? ????-α =???? ??????dT dp p S [()P T S ? ??? ? ???β()P T S ???? ????-α]dT dp ? (5分) 又有：T C P =P T S ??? ????；()() )(αβS S T L -= 由麦氏关系(2.2.4): -=???? ????T p S P T V ??? ???? （5分） 上几式联立(并将一级相变的克拉伯珑方程代入)得： β p c dT dL =-αp c -+T L αβαβ v v L T v T v p p -??? ????????? ????-???? ???? (5分) 若β相是气相，α相是凝聚相；() αV ～0；()p T V ???? ???α～0； β相按理想气体处理。pV=RT计算物理课后部分习题答案
热力学统计物理试题(B卷)