一种解析的反向运动学方法

以一ｌ’＝只‘＋ｄ。．１（Ｐ０一只。）／ＩＰｏ—Ｐ．‘Ｉ
（３）
此时可能会出现整体关节链放大但局部关节链存在缩小
的效果。本文采用如下的折中方法来改善效果。具体做法为：
以Ｐ０为球心、ｌ ＰｏＰ。。Ｉｌ Ｐｏ只一：ｌ／Ｉ ｔ ｏｐ川ｌ为半径的球，同以
Ｐ。。为球心、破一。为半径的球相交于一圆，再计算点ＰＩ一。到该圆
１解析的求解方法
如图ｌ所示，给定初始关节链Ｐ０…Ｐ州Ｐ川只和末端效应 器Ｐ。’的位置及旋转分量，对应的多关节反向运动学的求解问 题可以描述为：求解出中间节点Ｐ。…只一：只一。对应的新位置 Ｐ：…ｔ一，戌一：Ｐ：一，及对应的旋转变量。
本文首先给出了关于解的存在性的简单判断方法，即起始 节点到末端效应器的长度若大于关节链的长度，则无解。在可 能有解的情况下，本文采用逐步简化的思路，先给出解析的方 法来确定关节点Ｐ。．。的新位置，从而将ｎ个关节的反向运动 学问题转换为ｎ—１个关节的反向运动学问题；依次求解 Ｐ。．：、只．，、…、Ｐ３的位置及其旋转变量，直到剩下的关节个数 为３。当ｎ＝３时，对其应用解析的求解方法拍’“。 １．１关节点尸。．，新位置的确定
ｃ瑚（一）＝ｎＩ·也昔日＝ａｒｇ ｃｏｓ（＾·门２）
（６）
ｅ＝＾×ｔｈ／Ｊ ｑ ｘｎｚ
（７）
则Ⅳ’的旋转四元数可以表示为
Ｑ＝（吼，ｇ，。吼。‰）
（８）
其中：吼＝ｓｉｎ（Ｏ／２）ｅ，，ｑｒ＝ｓｉｎ（０／２）ｅ，，吼＝ｓｉｒＩ（ａ／２）乞，‰＝ｏ唱（∥２）。
１．２三个关节情形的解析求解方法
当最后剩下三个节点时，如图６所示，求中间节点Ｍ’的位 置及对应旋转四元数。由已知Ⅳ，的位置，则原问题简化为对 起始节点为ｓ、效应器位置为Ⅳ’的求中间节点肘’的位置及对 应旋转问题。文献［７］有关于此问题求解的详细介绍，本文只 给出其主要步骤。
ｉｔｅｒａｔｉｖｅ ｍｅｔｈｏｄｓ，ｔｈｅ ｎｅｗ ｍｅｔｈｏｄ ｎｅｅｄｅｄ ｎｏ ｉｔｅｒａｔｉｖｅ ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ ａｎｄ ｈａｄ ｂｅｔｔｅｒ ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ ｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙ．Ｉｔ ｓｅｅｍｅｄ ｍｏｒｅ ｓｕｉｔ—
ａｂｌｅ ｆｏｒ ｈｉｓｈ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｖｉｔｙ ａｎｄ ｒｅａｌ－ｔｉｍｅ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ ｓｕｃｈ硒ｍｏｔｉｏｎ ｅｄｉｔｉｎｇ．Ｅｘａｍｐｌｅｓ ｓｈｏｗ ｔｈｅ ｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙ ｏｆ ｔｈｅ ｎｅｗ ｍｅｔｈｏｄ．
主要研究方向为虚拟现实、计算机动画；陈小雕（１９７６．），男。博士，主要研究方向为计算机辅助几何设计、计算机图形学等．
万方数据
第６期
王毅刚，等：一种解析的反向运动学方法
·２３６９·
关节点只一。的新位置。如图２所示，由已知的初始关节位置容 易得出关节的长度。令ｄｌ为Ｐ。Ｐ…的长度，无论末端效应器位 于哪一点，其关节的长度应该保持不变，根据此关节移动的特 点来分析推导中间关节的位置和它们对应的旋转变量。
的最短距离，为所求出的ＪＰ。一。。
求关节只一。的旋转四元数，如图５所示。先对向量 只．。只、只一。‘只‘作单位化处理，如下：
一＝只一１只＝（以一只．１）／Ｉ匕一巳。ｌ
（４）
也＝只一ｌ。只’＝（Ｐｎ’Ｐ。一ｌ’）／ｌＰ。’一Ｐ。一１’Ｉ
（５）
则由向量，’。旋转到向量仃２的角度。和单位旋转轴ｅ，分别求得
依次调整各个关节的角度，每次调整都使终端逼近目标位置。 求解的过程是在反复迭代过程中进行的，它对于最终的求解有 一定的限定，如果迭代次数没有超过预定次数，且终端和目标 位置的距离在能够控制的误差范围之内，则求解成功；反之则 认为无解。伪逆方法通过构造雅可比矩阵逐步迭代来获取最 终结果。非线性优化方法将关节角度作为白变量，把前末端位 置与约束位置之间的距离作为目标函数并使用修正的ＢＦＧＳ 算法优化求解。迭代方法的计算效率较低，可能需要很多次迭 代后才得到一个最终结果；在精确结果存在的情况下有时只能 得到近似的解甚至由于迭代次数过多而无法得到解。
图４特殊情况 图５求解关节旋转 图６求解中间节点
对此情形，由三角形性质，三条边边长都固定，固定其中两
点，则另一点必在一圆周上。取该圆平面同向量ＳⅣ的交点为
Ｃ，圆的半径为ｒ，向量助，，轴沿圆心在圆上的投影，向量哟
￡序阳Ｓ￣，的叉乘。得出的值如下所示：
ｎ＝ＳＮ’／ＩＳＮ’Ｉ
（９）
￡，＝［一ｙ＋（ｙ·，，）ｎ］／Ｉ—ｙ＋（Ｙ·，，），｝ｌ
ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００１－３６９５．２００９．０６．１１１
Ｋｉｎｄ ｏｆ ａｎａｌｙｔｉｃａｌ ｉｎｖｅｒｓｅ ｋｉｎｅｍａｔｉｃｓ ｍｅｔｈｏｄ
Ｄｉａｎｚｉ‰妙，Ｈａｎｇｚｈｏｕ ＷＡＮＧ Ｙｉ—ｇａｎｇ，ＷＵ Ｚｉ—ｚｈａｏ，ＣＨＥＮ Ｘｉａｏ·ｄｉａｏ
（Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆＧｒａｐｈｉｃｓ＆Ｉｍａｇｅ，Ｈａｎｇｚｈｏｕ
置。由肘’的位置，与前面类似可计算出关节肘的旋转四元数
Ｑ肼和关节ｓ的旋转四元数Ｑ。。
２实验结果
本文在ＣＡＬ３Ｄ和ＯＳＧ开源库基础上给出两个例子测试 本文的算法效果，其中ＣＡＬ３Ｄ库负责读取人体骨架信息，ＯＳＧ 负责渲染。第一个例子以实现手捉住杯子的反向运动学求解 为例，实现效果如图７所示。第二个例子实现了双手抱球的效 果，如图８所示。
假设关节链及末端效应器如图３所示，待求的Ｐ。．。。必在 以只’为球心、ｄ。为半径的球面上。在此以只一，到只，，’移动
最小为原则来确定只一。’。如图３所示，画只一。与Ｐ。’的连线，
单位化该连线向量，并求出只一。’：
ｔ＇ｌ；（Ｐ。一ｌ—Ｐ。。）／ＩＰ。一Ｉ—ｔ’Ｉ
（１）
Ｐ。一ｌ。＝Ｐ。。＋ｄ。．１ｎ
（２）
目前用得较多的还是传统的求解方法，它主要有两类方 法，即解析的方法Ｍ’７１和迭代的方法¨以“。懈析的方法直接给 出公式来计算中间关节的位置和方向，效率非常高。目前该方 法的应用主要针对三种关节情形哺．７］，本文将对其进行扩展， 提出一种在多关节的情形下使用该方法进行反向运动学求解。 迭代的方法主要有循环坐标下降（ＣＣＤ）方法喁］、伪逆方 法一“ｕ和基于非线性优化技术¨２１的求解方法。ＣＣＤ方法是 一种启发式的迭代搜索方法，它通过从关节链的末端开始向后
第２６卷第６期 ２００９年６月
计算机应用研究 Ａｐ——ｐｌｉ—ｃ—ａｔｉｏｎ Ｒ——ｅｓ—ｅ—ａ．ｒ．．ｃｈ ｏｆ Ｃｏｍｐｕｔｅｒｓ
Ｖ０１．２６ Ｎｏ．６ Ｊｕｎ．２００９
一种解析的反向运动学方法术
王毅刚，吴子朝，陈小雕
（杭州电子科技大学图形图像研究所，杭州３１００１８）

摘要：针对多关节的反向运动学（ＩＫ）提出一种解析的求解方法，直接给出公式来求解关节链中所有待求关节
Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｉｎｖｅｒｓｅ ｋｉｎｅｍａｔｉｃｓ（ＩＫ）；ｍｕｌｔｉ－ｊｏｉｎｔ；ｃｈａｒａｃｔｅｒ ａｎｉｍａｔｉｏｎ
０引言
虚拟角色运动的生成和编辑是计算机动画研究的重点之 一…。在计算机中，虚拟角色通常由一组用刚体表示的骨骼 组成，骨骼与骨骼之间由关节连接。当给定各个关节的角度 时，可以很容易应用正向运动学方法得到虚拟角色的姿态。在 交互式操作、轨迹控制等许多应用中需要根据虚拟角色某一骨 骼（通常是肢体末端）的方位反求其他各个关节的旋转角度， 即反向运动学的求解问题。许多学者研究了通过建模的求解 方法，如基于人体运动学、基于动力学等旧１。建模的方法理论 上可以较好地模拟虚拟角色的运动，但在实际应用中也存在一 些问题，具体表现为：若模型过于简单，不能较好地反映真实的 运动；若模型过于复杂，则很难找到合适的求解方法。最近也 有人通过对大量的样本进行学习和聚类，然后对已有运动数据 进行插值的方法来求解反向运动学问题ｐ。Ｊ。依靠统计学习 和插值的方法来模拟物体运动的客观规律也不是一件容易的 事情，它对样本有着非常高的要求。
本节针对Ⅳ（Ｎ＞３）个关节的情形给出解析的方法来确定
收稿日期：２００８—０７·２３；修回日期：２００８．０９．１６
基金项目：国家自然科学基金资助项目（６０７７３１７９）；国家“９７３”计划资助项目
（２（Ｋ１４ＣＢ３１８０００）
作者简介：王毅刚（１９７１一），男，河南嵩县人，教授，主要研究方向为虚拟现实（ｙｉｇａｌｌｇ．ｗａｎｇ＠ｈｄｕ．ｅｄｕ．ｃｎ）；吴子朝（１９８２－），男，硕士研究生，
的位置和旋转变量。同传统的迭代方法相比，该方法省却了繁琐的迭代计算，具有更高的求解效率，可以应用于
角色动作、运动轨迹的设计、编辑及优化等交互性强和实时性要求高的应用中。
关键词：反向运动学；多关节点；角色动画
中图分类号：ＴＰ３９１
文献标志码：Ａ
文章编号：１００１－３６９５（２００９）０６．２３６８—０２
３结束语
本文提出了一种解析的反向运动学方法，可适用于对虚拟
人关节的仿真控制。本文方法针对具有三个以上关节的关节
链给出解析的公式用于计算中间各个关节的新位置及对应的
旋转分量，具有很高的计算效率。实验结果也表明该方法能较
好地满足高实时性的交互场景的应用需求。下一步的研究工
作将考虑基于关节约束的解析方法在多关节链反向运动学求
（１０）
ｙ＝ｕ×，ｔ
（１１）
则角度ａ、圆心Ｃ和半径ｒ可直接计算：
ｃ蚰（口）＝（遥一斫一Ｉ ｓⅣ７ １２）／（一２ｄＩ ＳＮ’１）
（１２）
ｃ；眦ｌｃ∞（ｏ）
（１３）
ｒ＝ｄｌ ｓｉｎ（ｏ）
（１４）
由此，关节的位置肘’可以算出为
Ｍ’＝ｃ＋ｒ［Ｕ ｃｏｓ（口）＋ｙ ｓｉｎ（伊）］
（１５）
其中：角度ｏ∈（ｏ，２１Ｔ），则可取０＝０代人式中计算出Ｍ’的位
他图片作训练的方式。图６为分别采用左转２５。、３００和６０。人 耳图片作为测试的识别结果。其中，横坐标为线性判别分析得 到的投影空间的维数，纵坐标为识别率。可以看出，随着特征 空间维数的增加，识别率也在提高。除了左转６００图片识别率 较低，为５３．２％外，其他的识别率均较稳定。与基于势能阱特 征的识别方法相比，ＰＣＡ＋ＬＤＡ方法的识别率有明显提高。