对数函数幂函数
天才在于勤奋 1 2.2对数与对数运算
2. 2. 1对数与对数运算（1）
【使用说明】:
1.课前认真研读课本，完成自主研读学习单设计的问题..
2.课堂内限时完成合作探究学习单，书写规范.
3.找出疑问和不能独立解决的问题，通过合作探究，教师指导等方式解决.
4.课后认真完成反馈巩固学习单.
【学习目标】
1. 理解对数的概念；
2. 能够说明对数与指数的关系；
3. 掌握对数式与指数式的相互转化.
※自主研读学习单※
复习1：庄子：一尺之棰，日取其半，万世不竭.
（1）取4次，还有多长？
（2）取多少次，还有0.125尺？
复习2：假设2002年我国国民生产总值为a 亿元，如果每年平均增长8%，那么经过多少年国民生产是2002年的2倍？（只列式）
上述都是已知底数和幂的值求指数，就是我们要学习的对数，你能给出对数的定义吗？
新知：
一般地，如果x a N =(0,1)a a >≠，那么数 x 叫做以a 为底 N 的对数（logarithm ）.
记作 log a x N =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数
1.我们通常将以10为底的对数叫做常用对数（common logarithm ），并把常用对数10log N 简记为lgN
2．在科学技术中常使用以无理数e=2.71828……为底的对数，以e 为底的对数叫自然对数，并把自然对数log e N 简记作lnN
请将复习1和2中的式子转化为对数形式：
反思：
（1）指数与对数间的关系？
0,1a a >≠时，x
a N =? .
（2）在对数式N a x log = 中，底数a 和真数Ｎ的取值范围是什么？（3）log 1a =_______ ， log a a =_______
（4）在指数式和对数式中都含有a ，x ，N 这三个量，那么这三个量在两个式中各有什么异同点？
※合作探究学习单※
例1下列指数式化为对数式，对数式化为指数式.
（1）712128-=；（2）327a =；（3）12log
325=-（4）lg0.001=3-；
例2求下列各式中x 的值：
（1）642log 3x =；（2）log 86x =-；
（3）lg 4x =；（4）3ln e x =.
(５)log 2(log 5x)＝0；(６)log 3(lgx)＝1；
思考探究log ?n a a = log ?a N a =
练习：求下列各式的值.
lg0.001=_______ 5log 25=_______
21log 16=_______ lg10000=_______
※巩固提升学习单※
1. 将下列指数式化成对数式，对数式化成指数式.
（1）53243=；（２）430a = （３）12log 164=-；（４）2log 1287=；２.有下列说法：
①零和负数没有对数；②任何一个指数式都可以化成对数式；③以10为底的对数叫做常用对数；④以e 为底的对数叫做自然对数．
其中正确命题的个数为 ( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3. log += （）.
A. 1
B. －1
C. 2
D. －2
4. 对数式2log (5)a a b --=中，实数a 的取值范围是（）.
A ．(,5)-∞
B ．(2,5)
C ．(2,)+∞
D ． (2,3)(3,5)
5．方程3log 2x ＝14
的解是( )
A ．x ＝19
B ．x ＝3
3 C ．x ＝ 3 D ．x ＝9
6．若log a 5
b ＝
c ，则下列关系式中正确的是( )
A ．b ＝a 5c
B ．b 5＝a c
C ．b ＝5a c
D ．b ＝c 5a
7．若log a 3＝m ，log a 5＝n ，则a 2m ＋n 的值是( ) A ．15
B ．75
C ．45
D ．225
8．已知log 7[log 3(log 2x )]＝0，那么21
-x ＝________.
9 计算：
1(3+=_______
10. 若log 1)1
x =-，则x=________，若y =，则y=___________.
11. 计算：
（1）3log 243=_______；（2）(2log (2=_______
12
．计算下列各式：
(1)10lg 3－10log 41＋2log 26；
(2)22＋log 23＋32－log 39.
2.2对数与对数运算
2. 2. 1对数与对数运算（2）
【使用说明】:
1.课前认真研读课本，完成自主研读学习单设计的问题..
2.课堂内限时完成合作探究学习单，书写规范.
3.找出疑问和不能独立解决的问题，通过合作探究，教师指导等方式解决.
4.课后认真完成反馈巩固学习单.
【学习目标】
1. 掌握对数的运算性质，并能理解推导这些法则的依据和过程；
2. 能较熟练地运用对数运算法则解决问题
※自主研读学习单※
一、复习引入：
复习1：
（1）对数定义：如果x a N =(0,1)a a >≠，那么数 x 叫做，记作 .
（2）指数式与对数式的互化：
x a N =? .
复习2：幂的运算性质.
（1）=n
m a a ；（2）()m n a = ；
（3）()n ab = .
复习3：根据对数的定义及对数与指数的关系解答：
（1）设log 2a m =，log 3a n =，求m n a +；
（2）设log a M m =，log a N n =，试利用m 、n 表示log (a M ·)N ．
二、问题引入：
探究任务：对数运算性质及推导
问题：由p q p q a a a +=，如何探讨log a MN 和log a M 、log a N 之间的关系？
根据上面的证明和对数的定义和指数运算法则推导能否得出以下式子？
如果 a > 0，a ≠ 1，M > 0， N > 0 ，则
（1）log ()log log a a a MN M N =+；
（2）log log log a a a M M N N
=-；（3）log log ()n a a M n M n R =∈.
三、新知探究
① 对数的换底公式log log log b a b N N a
=；
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② 对数的倒数公式1
log log a b b a
=.
③ 对数恒等式：log log n
n a a N N =，
log log m n a a n
N N m
=，
※合作探究学习单※
例1用log a x , log a y , log a z 表示下列各式：（1）2log a xy
z ；（2） log a .
练习1：已知lg2＝0.3010，lg3＝0.4771，求lg6、.
2. 计算：7
lg142lg lg7lg183
-+-；
例2 设lg 2a =,lg3b =，试用a 、b 表示5log 12. 练习. 1 lg 243
lg9
.=_____________ log 916·log 881=___________ 2．若log 51
3
·log 36·log 6x ＝2，则x=__________________ ※巩固提升学习单※
1. 计算：
（1；
（2）2lg 2lg2lg5lg5+?+.
2. 设a 、b 、c 为正数，且346a b c ==，求证：111
2c a b
-=.
3 下列等式成立的是（） A ．222log (35)log 3log 5÷=- B ．222log (10)2log (10)-=- C ．222log (35)log 3log 5+=
D ．3322log (5)log 5-=-
4. 如果lgx =lga +3lgb －5lgc ，那么（）.
A ．x =a +3b －c
B ．35ab x c =
C ．3
5ab x c
=
D ．x =a +b 3－c 3
5 若()2lg 2lg lg y x x y -=+，那么（）.
A ．y x =
B ．2y x =
C ．3y x =
D ．4y x = 6．已知log 89＝a ，log 25＝b ，则lg 3等于( )
A.a b －1
B.32(b －1)
C.3a
2(b ＋1)
D.3(a －1)2b
7计算：（1）99log 3log 27+= ；
（2）2121
log log 22+= .
8.
计算：15
lg 23= . 9．(1)计算：lg 12－lg 5
8
＋lg 12.5－log 89·log 34；
(2)已知3a ＝4b ＝36，求2a ＋1
b
的值．
2.2对数与对数运算
2. 2. 1对数与对数运算（3）习题
【使用说明】:
1.课前认真研读课本，完成自主研读学习单设计的问题..
2.课堂内限时完成合作探究学习单，书写规范.
3.找出疑问和不能独立解决的问题，通过合作探究，教师指导等方式解决.
4.课后认真完成反馈巩固学习单. 【学习目标】
1. 能较熟练地运用对数运算性质进行运算；
2. 提高准确运算能力..
※自主研读学习单※
一、复习引入：
复习1：对数的运算性质及换底公式.
如果 a > 0，a ≠ 1，M > 0， N > 0 ，则（1）log ()a MN =______________ ；
（2）log a
M N =______________ ；（3）
log n
a M =______________ ；换底公式log a
b =______________ ；
复习2：已知32log = a ， 7
3log = b ，用 a ，b 表示5642log .
※合作探究学习单※
1．若log 51
3
·log 36·log 6x ＝2，则x 等于 ( )
A ．9 B.19 C ．25 D.1
25
2．若log a 2＝m ，log a 5＝n ，则a 3m ＋
n ＝________.
3． (lg 5)2＋lg 2·lg 50＝________.
4．计算下列各式的值：
(1)12lg 3249－4
3
lg 8＋lg 245；
(2)lg 52＋2
3
lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2.
※巩固提升学习单※
2
5()a -（a ≠0）化简得结果是（）. A ．－a B ．a 2 C ．｜a ｜ D ．a 2. 若 log 7［log 3（log 2x ）］＝0，则1
2
x =（）.
A. 3
B.
C.
3. 已知35a
b
m ==，且112
a b +=，则m 之值为（）.
A ．15
B ．225
4．已知log 89＝a ，log 25＝b ，则lg 3等于( )
A.a b －1
B.32(b －1)
C.3a
2(b ＋1)
D.3(a －1)2b
5．若lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个根，则(lg a
b
)2的值等于( )
A ．2 B.12 C ．4 D.1
4
．
6. 化简：
（1）
()()24525log 5+log 0.2log 2+log 0.5.
（2）0.21log 35-；
（3）4912
log 3log 2log ?-.
7．若a 、b 是方程2(lg x )2－lg x 4＋1＝0的两个实根，求
lg(ab )·(log a b ＋log b a )的值．
8. 若
()()
lg lg2lg2lg lg
x y x y x y
-++=++，求
x
y的值．
2.2对数函数及其性质
2. 2. 2对数函数及其性质（1）
【使用说明】:
1.课前认真研读课本，完成自主研读学习单设计的问题..
2.课堂内限时完成合作探究学习单，书写规范.
3.找出疑问和不能独立解决的问题，通过合作探究，教师指导等方式解决.
4.课后认真完成反馈巩固学习单. 【学习目标】
1. 理解对数函数概念
2. 通过比较、对照的方法，引导学生结合图象类比指数函数，探索研究对数函数的性质，培养数形结合的思想方法，学会研究函数性质的方法.
※自主研读学习单※
新知探究
一般地，当a ＞0且a ≠1时，函数log a y x =叫做对数函数(logarithmic function)，自变量是x ；函数的定义域是（0，+∞）.
同一坐标系中画出下列对数函数的图象.
2log y x =；0.5log y x =.
例1求下列函数的定义域：
（1）2
log a y x =；（2）log (3)a y x =-；
（3）0.2log (6)y x =--；（4）y
练习：求函数y =的定义域.
例2比较大小：
（1）
ln3.4,ln8.5；（2）0.30.3log 2.8,log 2.7；（3）log 5.1,log 5.9a a .(4)log 7
6, log 6
7
(5)log 23 ,33log
例3利用对数函数单调性求值域
（1）
2log y x = x ∈[2,8] ，变式：x ∈(0,4)时值域
（2）
0.5log y x = x ∈[2,8]，变式：x ∈(0,4)时值域
（3）f (x )＝log 2(3x ＋1)
※巩固提升学习单※
1. 当a>1时，在同一坐标系中，函数x
y a -=与log a y x =的图象是（）.
指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质
指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质 （一）指数与指数函数 1．根式 （1）根式的概念 （2）．两个重要公式 ①?? ??????<-≥==)0()0(||a a a a a a a n n ； ②a a n n =)(（注意a 必须使n a 有意义）。 2．有理数指数幂 （1）幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1)m n a a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂: 10,,1)m n m n a a m n N n a - *= = >∈>、且 ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。 （2）有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q ); ②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q ); ③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q );. 3．指数函数的图象与性质 n 为奇数 n 为偶数
注：如图所示，是指数函数（1）y=a x ,（2）y=b x,（3）,y=c x （4）,y=d x 的图象，如何确定底数a,b,c,d 与1之间的大小关系？ 提示：在图中作直线x=1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c 1>d 1>1>a 1>b 1,∴c>d>1>a>b 。即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。 （二）对数与对数函数 1、对数的概念 （1）对数的定义 如果(01)x a N a a =>≠且，那么数x 叫做以a 为底，N 的对数，记作log N a x =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。 （2）几种常见对数 2、对数的性质与运算法则 （1）对数的性质（0,1a a >≠且）：①1 log 0a =，②l o g 1a a =，③l o g N a a N =，④l o g N a a N =。
指数函数对数函数和幂函数知识点归纳
一、幂函数 1、幂的有关概念 正整数指数幂： ...() n n a a a a n N =∈ 零指数幂： 01(0) a a =≠ 负整数指数幂： 1 (0,) p p a a p N a -=≠∈ 分数指数幂：正分数指数幂的意义是： (0,,,1) m n m n a a a m n N n =>∈> 且 负分数指数幂的意义是： 1 (0,,,1) m n m n m n a a m n N n a a - ==>∈> 且 2、幂函数的定义 一般地,函数 a y x =叫做幂函数,其中x是自变量，a是常数（我们只讨论a是有理数的情况)． 3、幂函数的图象 幂函数a y x = 当 11 ,,1,2,3 32 a= 时的图象见左图；当 1 2,1, 2 a=--- 时的图象见上图： 由图象可知，对于幂函数而言,它们都具有下列性质:
a y x =有下列性质： （1)0a >时： ①图象都通过点(0,0)，(1,1); ②在第一象限内，函数值随x 的增大而增大，即在(0,)+∞上是增函数． （2）0a <时： ①图象都通过点(1,1)； ②在第一象限内，函数值随x 的增大而减小，即在(0,)+∞上是减函数； ③在第一象限内，图象向上与y 轴无限地接近，向右与x 轴无限地接近． （3)任何幂函数的图象与坐标轴至多只有一个交点； （4）任何幂函数图象都不经过第四象限； (5）任何两个幂函数的图象最多有三个交点． 二、指数函数 ①定义：函数)1,0(≠>=a a a y x 且称指数函数, 1）函数的定义域为R ； 2）函数的值域为),0(+∞； 3）当10<a 时函数为增函数. 4）有两个特殊点:零点(0,1)，不变点(1,)a . 5）抽象性质： ()()(),()()/()f x y f x f y f x y f x f y +=?-= 三、对数函数 如果b a N =（0a >，1a ≠)，那么b 叫做以a 为底N 的对数,记作log a N b = log b a a N N b =?=(0a >，1a ≠，0N >）． 1．对数的性质 ()log log log a a a MN M N =+． log log log a a a M M N N =-．
幂函数、指数函数和对数函数_对数及其运算法则_教案
幂函数、指数函数和对数函数·对数及其运算法则·教案 如果a（a＞0，a≠1）的b次幂等于N，就是ab=N，那么数b就叫做以a为底N的对数，记作 logaN=b， 其中a叫做底数，N叫做真数，式子logaN叫做对数式． 练习1 把下列指数式写成对数形式： 练习2 把下列对数形式写成指数形式： 练习3 求下列各式的值： 因为22=4，所以以2为底4的对数等于2． 因为53=125，所以以5为底125的对数等于3． 师：由定义，我们还应注意到对数式logaN=b中字母的取值范围是什么？ 生：a＞0且a≠1；b∈R；N∈R． 师：N∈R？（这是学生最易出错的地方，应一开始让学生牢牢记住真数大于零．） 生：由于在实数范围内，正数的任何次幂都是正数，因而ab=N中N总是正数． 师：要特别强调的是：零和负数没有对数． 师：定义中为什么规定a＞0，a≠1？ 生：因为若a＜0，则N取某些值时，b可能不存在，如b=log（-2）8不存在；若a=0，则当N不为0时，b不存在，如log02不存在；当N为0时，b可以为任何正数，是不唯一的，即log00有无数个值；若a=1，N 不为1时，b不存在，如log13不存在，N为1时，b可以为任何数，是不唯一的，即log11有无数多个值．因此，我们规定：a＞0，a≠1． 师：（板书）对数logaN（a＞0且a≠1）在底数a=10时，叫做常用对数，简记lgN；底数a=e时，叫做自然对数，记作lnN，其中e是个无理数，即e≈2.718 28……． 练习4 计算下列对数： lg10000，lg0.01，2log24，3log327，10lg105，5log51125． 师：请同学说出结果，并发现规律，大胆猜想． 生：2log24=4．这是因为log24=2，而22=4． 生：3log327=27．这是因为log327=3，而33=27． 生：10lg105=105． 生：我猜想alogaN=N，所以5log51125=1125． alogaN=N（a＞0，a≠1，N＞0）．（用红笔在字母取值范围下画上曲线） 证明：设指数等式ab=N，则相应的对数等式为logaN=b，所以ab=alogaN=N． 师：你是根据什么证明对数恒等式的？ 生：根据对数定义． 师：（分析小结）证明的关键是设指数等式ab=N．因为要证明这个对数恒等式，而现在我们有关对数的知
指数函数对数函数幂函数练习题大全答案
一、选择题（每小题 4分，共 计40分） 1．下列各式中成立的一项是 （） A ．71 7 7)(m n m n =B ． 3 3 39=C ．4 343 3)(y x y x +=+D ．31243)3(-=- 2．化简)3 1 ()3)((65 613 12 12 13 2b a b a b a ÷-的结果 （） A ．a 9- B ．a - C ．a 6 D ．2 9a 3．设指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x ，则下列等式中不正确．．． 的是 （） A ．f (x +y )=f(x )·f (y ) B ．) () (y f x f y x f =-） （ C ．)()] ([)(Q n x f nx f n ∈= D ．)()]([· )]([)]([+∈=N n y f x f xy f n n n 4．函数2 1 ) 2()5(--+-=x x y （） A ．}2,5|{≠≠x x x B ．}2|{>x x C ．}5|{>x x D ．}552|{><
指数函数、对数函数、幂函数的图像和性质知识点总结
(一）指数与指数函数 1.根式 （1）根式的概念 （２)．两个重要公式 ①?? ??????<-≥==)0()0(||a a a a a a a n n ; ②a a n n =)(（注意a 必须使n a 有意义）。 2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1)m n m n a a a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂: 10,,1)m n m n m n a a m n N n a a - *= = >∈>、且 ③０的正分数指数幂等于０，0的负分数指数幂没有意义． 注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。 （2)有理数指数幂的性质 ①a r ａｓ =a r+ｓ （ａ＞0,r 、ｓ∈Ｑ）; ②（a r )s ＝a rs (a>0,r 、s ∈Q ）; ③(ａb)r =a r ｂs (a>０,b>0,r ∈Q );. 3.指数函数的图象与性质 y ＝ａ ｘ a>1 0 图象 定义域R 值域(０，+∞) 性质(１)过定点（0，1) （2)当ｘ＞0时，y>1; x<０时，0 一、指数函数 1．形如(0,0)x y a a a =>≠的函数叫做指数函数，其中自变量是x ，函数定义域是R ，值域是(0,)+∞． 2.指数函数(0,0)x y a a a =>≠恒经过点(0,1)． 3.当1a >时，函数x y a =单调性为在R 上时增函数； 当01a <<时，函数x y a =单调性是在R 上是减函数． 二、对数函数 1． 对数定义： 一般地，如果a （10≠>a a 且）的b 次幂等于N , 即N a b =，那么就称b 是以a 为底N 的对数，记作 b N a =log ，其中，a 叫做对数的底数，N 叫做真数。 着重理解对数式与指数式之间的相互转化关系，理解，b a N =与log a b N =所表示的是,,a b N 三个量之间的同一个关系。 2. 对数的性质： （1）零和负数没有对数；（2）log 10a =；（3）log 1a a = 这三条性质是后面学习对数函数的基础和准备，必须熟练掌握和真正理解。 3. 两种特殊的对数是：①常用对数：以10作底 10log N 简记为lg N ②自然对数：以e 作底（为无理数），e = 28…… ， log e N 简记为ln N ． 4.对数恒等式（1）log b a a b =；（2）log a N a N = 要明确,,a b N 在对数式与指数式中各自的含义，在指数式b a N =中，a 是底数，b 是指数，N 是幂；在对数式log a b N =中，a 是对数的底数，N 是真数，b 是以a 为底N 的对数，虽然,,a b N 在对数式与指数式中的名称不同，但对数式与指数式有密切的联系：求 对数log a N 就是求b a N =中的指数，也就是确定a 的多少次幂等于N 。 三、幂函数 1．幂函数的概念：一般地，我们把形如y x α =的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是 分数指数幂 1、用根式的形式表示下列各式)0(>a （1）5 1a = （2）32 a - = 2、用分数指数幂的形式表示下列各式： （1）3 4y x = （2）)0(2>=m m m 3、求下列各式的值 （1）2 325= （2）32 254- ?? ??? = 4、解下列方程 （1）13 1 8 x - = （2）151243 =-x 分数指数幂（第 9份）答案 1 2、33 2 22 ,x y m 3、（1）125 （2） 8125 4、（1）512 （2）16 指数函数（第 10份） 1、下列函数是指数函数的是 （ 填序号） （1）x y 4= （2）4 x y = （3）x y )4(-= （4）2 4x y =。 2、函数)1,0(12≠>=-a a a y x 的图象必过定点 。 3、若指数函数x a y )12(+=在R 上是增函数，求实数a 的取值范围 。 4、如果指数函数x a x f )1()(-=是R 上的单调减函数，那么a 取值范围是 （ ） A 、2a C 、21< 5、下列关系中，正确的是 （ ） A 、51 31 )21()21(> B 、2.01.022> C 、2 .01.022--> D 、11 5311()()22 - - > 6、比较下列各组数大小： （1）0.5 3.1 2.3 3.1 （2）0.3 23-?? ? ?? 0.24 23-?? ? ?? （3） 2.52.3- 0.10.2- 7、函数x x f 10)(=在区间[1-，2]上的最大值为 ，最小值为 。 函数x x f 1.0)(=在区间[1-，2]上的最大值为 ，最小值为 。 8、求满足下列条件的实数x 的范围： （1）82>x （2）2.05 一、选择题（每小题4分，共计40分） 1．下列各式中成立的一项是 （ ） A ．71 7 7)(m n m n = B ． 33 39= C ．4 343 3 )(y x y x +=+ D ．31243)3(-=- 2．化简)3 1 ()3)((65 61 3 12 12 13 2b a b a b a ÷-的结果 （ ） A ．a 9- B ．a - C ．a 6 D ．2 9a 3．设指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x ，则下列等式中不正确．．． 的是 （ ） A ．f (x +y )=f(x )·f (y ) B ．) () (y f x f y x f =-） （ C ．)()] ([)(Q n x f nx f n ∈= D ．)()]([· )]([)]([+∈=N n y f x f xy f n n n 4．函数2 10 ) 2()5(--+-=x x y （ ） A ．}2,5|{≠≠x x x B ．}2|{>x x C ．}5|{>x x D ．}552|{>< （一）指数与指数函数 1．根式 （1）根式的概念 （2）．两个重要公式 ①????????<-≥==)0()0(||a a a a a a a n n ； ②a a n n =)(（注意a 必须使n a 有意义）。 2．有理数指数幂 （1）幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1)m n a a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂: 10,,1)m n m n a a m n N n a - *= = >∈>、且 ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。 （2）有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q ); ②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q ); ③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q );. 3．指数函数的图象与性质 n 为奇数 n 为偶数 注：如图所示，是指数函数（1）y=a x ,（2）y=b x,（3）,y=c x （4）,y=d x 的图象，如何确定底数a,b,c,d 与1之间的大小关系？ 提示：在图中作直线x=1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c 1>d 1>1>a 1>b 1,∴c>d>1>a>b 。即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。 （二）对数与对数函数 1、对数的概念 （1）对数的定义 如果(01)x a N a a =>≠且，那么数x 叫做以a 为底，N 的对数，记作log N a x =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。 （2）几种常见对数 2（1）对数的性质（0,1a a >≠且）：①1log 0a =，②l o g 1a a =，③l o g N a a N =，④l o g N a a N =。 （2）对数的重要公式： 百度文库 - 让每个人平等地提升自我 【巩固练习】 1．下列函数与 y x 有相同图象的一个函数是（ ） A ． y x 2 B ． y x 2 x C ． y a log a x (a 0且 a 1) D ． y log a a x 2．函数 y 3x 与 y 3 x 的图象关于下列那种图形对称（ ） A ． x 轴 B ． y 轴 C ．直线 y x D ．原点中心对称 3．（ 2015 年山东高考）若函数 f (x) 2x 1 是奇函数，则使 f （ x ）＞ 3 成立的 x 的取值范围为（ ） 2x a A ．（－ ∞，－ 1） B ．（－ 1， 0） C ．（ 0,1） D ．（ 1，+∞） 4．（ 2017 广西一模） 已知函数 f ( x) 2, 0 x 1 x (log 1 4x 1) f (log 3 x 1) 5 1, x 1 ，则不等式 log 2 4 的解集为（ ） 1 B ．[1，4] 1 D ．[1，+∞） A ． ( ,1) C ． ( ,4] 3 lg x 3 3 5．为了得到函数 y 的图象，只需把函数 y lg x 的图象上所有的点（ ） 10 A ．向左平移 3 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度； B ．向右平移 3 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度； C ．向左平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度； D ．向右平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度； 6．函数 y log 1 ( x 2 5x 6) 的定义域为（ ）； (x 2 ) A ． 1 , 2 3, B ． 1 ,1 1,2 3, 2 2 C ． 3 , 2 3, D ． 1, 3 3 , 2 3, 2 2 2 2 1 7．当 0 高中数学精英讲解-----------------幂函数、指数函数、对数函数 【第一部分】知识复习 【第二部分】典例讲解 考点一：幂函数 例1、比较大小 例2、幂函数，(m∈N)，且在(0，＋∞）上是减函数，又，则m= A．0B．1C．2D．3 解析：函数在(0，＋∞)上是减函数，则有，又，故为偶函数，故m为1． 例3、已知幂函数为偶函数，且在区间上是减函数．(1)求函数的解析式；(2)讨论的奇偶性． ∵幂函数在区间上是减函数，∴，解得，∵，∴．又是偶数，∴，∴． (2)，． 当且时，是非奇非偶函数；当且时，是奇函数； 当且时，是偶函数；当且时，奇又是偶函数． 例4、下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系 (1)(A)，(2)(F)，(3)(E)，(4)(C)，(5)(D)，(6)(B). 变式训练： 1、下列函数是幂函数的是（） A．y=2x B．y=2x－1C．y=(x＋1)2D．y= 2、下列说法正确的是（） A．y=x4是幂函数，也是偶函数B．y=－x3是幂函数，也是减函数 C．是增函数，也是偶函数D．y=x0不是偶函数 3、下列函数中，定义域为R的是（） A．y=B．y=C．y=D．y=x－1 4、函数的图象是（） A．B．C．D． 5、下列函数中，不是偶函数的是（） A．y=－3x2B．y=3x2C．D．y=x2＋x－1 6、若f(x)在[－5，5]上是奇函数，且f(3)＜f(1)，则（） A．f(－1)＜f(－3)B．f(0)＞f(1) C．f(－1)＜f(1)D．f(－3)＞f(－5) 7、若y=f(x) 是奇函数，则下列坐标表示的点一定在y=f(x)图象上的是（）A．(a，－f(a))B．(－a，－f(a)) C．(－a，－f(－a))D．(a，f(－a )) 8、已知，则下列正确的是（） A．奇函数，在R上为增函数B．偶函数，在R上为增函数 对数函数与幂函数 教学目标 一、教学知识点 1、对数函数的概念. 2、对数函数的图象和性质 3、幂函数的概念。 4、五种幂函数的图象并归纳他们的基本性质，并能进行简单的应用。 二、能力训练要求 1、理解对数函数的的概念. 2、掌握对数函数的图象和性质. 3、培养学生数形结合的意识. 4、理解幂函数的概念。 5、理解五种幂函数的图象并归纳他们的基本性质，并能进行简单的应用。 教学重点 对数函数的图象和性质 幂函数的概念 从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质 教学难点 对数函数指数函数的关系 画五个具体幂函数的图象并由图象概括其性质，体会图象的变化规律 对数及其对数函数 1、对数的概念 （1）定义：如果)1,0(≠>a a a 且的b 次幂等于N ，就是N a b =，那么数b 称以a 为底N 的对数，记作,log b N a =其中a 称对数的底，N 称真数。 ①以10为底的对数称常用对数，N 10log 记作N lg ； ②以无理数)71828.2( =e e 为底的对数称自然对数，N e log ，记作N ln ； （2）基本性质： ①真数N 为正数（负数和零无对数）；2）01log =a ； ③1log =a a ；4）对数恒等式：N a N a =log 。 （3）运算性质：如果,0,0,0,0>>≠>N M a a 则 ①N M MN a a a log log )(log +=； ②N M N M a a a log log log -=；③∈=n M n M a n a (log log R ）。 （4）换底公式：),0,1,0,0,0(log log log >≠>≠>= N m m a a a N N m m a 两个非常有用的结论①1log log =?a b b a ；②b m n b a n a m log log =。 【注】指数方程和对数方程主要有以下几种类型： (1) a f(x)=b ?f(x)=log a b, log a f(x)=b ?f(x)=a b ; （定义法） (2) a f(x)=a g(x)?f(x)=g(x), log a f(x)=log a g(x)?f(x)=g(x)>0（转化法） (3) a f(x)=b g(x)?f(x)log m a=g(x)log m b (取对数法) (4) log a f(x)=log b g(x)?log a f(x)=log a g(x)/log a b(换底法) 2．对数函数定义 一般地，当a >0且a ≠1时，函数y=㏒2 x .叫做对数函数. 在 a b = N 中, 底数a 不变, 指数b 变为x , 幂N 变为y, 得到指数函数y= a x . 在 a b = N 中, 底数a 不变,指数b 变为y,幂N 变为 x , 得到对数函数y = log a x. 这里大家要明确，对数函数与指数函数互为反函数，所以，对数函数的解析式可以由指数函数求反函数得到，对数函数的定义域、值域也就是指数函数的值域、定义域.即对数函数的定义域是（0，+∞），值域是R. 幂函数、指数函数和对数函数-对数及其运算 法则-教案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 幂函数、指数函数和对数函数·对数及其运算法则·教案 教学目标 1．理解并记忆对数的定义，对数与指数的互化，对数恒等式及对数的性质．2．理解并掌握对数运算法则的内容及推导过程． 3．熟练运用对数的性质和对数运算法则解题． 教学重点与难点 重点是对数定义、对数的性质和运算法则．难点是对数定义中涉及较多的难以记忆的名称，以及运算法则的推导． 教学过程设计 师：（板书）已知国民生产总值每年平均增长率为7.2％，求20年后国民生产总值是原来的多少倍？ 生：设原来国民生产总值为1，则20年后国民生产总值y=（1+7.2％） 20=1.07220，所以20年后国民生产总值是原来的1.07220倍． 师：这是个实际应用问题，我们把它转化为数学中知道底数和指数，求幂值的问题．也就是上面学习的指数问题． 师：（板书）已知国民生产总值每年平均增长率为7.2％，问经过多年年后国民生产总值是原来的4倍？ 师：（分析）仿照上例，设原来国民生产总值为1，需经x年后国民生产总值是原来的4倍．列方程 1.072x=4． 我们把这个应用问题转化为知道底数和幂值，求指数的问题，这是上述问题的逆问题，即本节的对数问题． 师：（板书）一般地，如果a（a＞0，a≠1）的b次幂等于N，就是ab=N，那么数b就叫做以a为底N的对数，记作 logaN=b， 其中a叫做底数，N叫做真数，式子logaN叫做对数式． 师：请同学谈谈对对数这个定义的认识． 生：对数式logaN实际上就是指数式中的指数b的一种新的记法． 生：对数是一种新的运算．是知道底和幂值求指数的运算． （此刻并不奢望学生能说出什么深刻认识，只是给他们自己一个去思维认识对数这个定义的机会．） 师：他们说得都非常好．实际上ab=N这个式子涉及到了三个量a，b，N，由方程的观点可得“知二求一”．知道a，b可求N，即前面学过的指数运算；知道b（为自然数时），N可求a，即初中学过的开 记作logaN=b．因此，对数是一种新的运算，一种知道底和幂值求指数的运算．而每学一种新的运算，首先要学习它的记法，对数运算的记法为logaN，读作：以a为底N的对数．请同学注意这种运算的写法和读法． 师：实际上指数与对数只是数量间的同一关系的两种不同形式．为了更深入认识并记忆对数这个概念，请同学们填写下列表格．（打出幻灯） 指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质 (一)指数与指数函数 1.根式 (1)根式的概念 (2).两个重要公式 ①?? ??????<-≥==)0()0(||a a a a a a a n n ; ②a a n n =)((注意a 必须使n a 有意义)。 2.有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1)m n a a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂: 10,,1)m n m n a a m n N n a - *= = >∈>、且 ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义、 注:分数指数幂与根式可以互化,通常利用分数指数幂进行根式的运算。 (2)有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q ); ②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q ); ③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q );、 3.指数函数的图象与性质 n 为奇数 n 为偶数 图象 定义域R 值域(0,+∞) 性质(1)过定点(0,1) (2)当x>0时,y>1; x<0时,0 (一)指数与指数函数 1.根式 (1)根式的概念 (2).两个重要公式 ①?? ??????<-≥==)0()0(||a a a a a a a n n ; ②a a n n =)((注意a 必须使n a 有意义)。 2.有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1)m n m n a a a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂: 10,,1)m n m n m n a a m n N n a a - *= = >∈>、且 ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义、 注:分数指数幂与根式可以互化,通常利用分数指数幂进行根式的运算。 (2)有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q ); ②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q ); ③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q );、 3.指数函数的图象与性质 y=a x a>1 0 图象 定义域R 值域(0,+∞) 性质(1)过定点(0,1) (2)当x>0时,y>1; x<0时,0 高中数学幂函数、指数函数与对数函数(经典练习 题) 高中数学精英讲解-----------------幂函数、指数函数、对数函数【第一部分】知识复习 【第二部分】典例讲解 考点一：幂函数 例1、比较大小 例2、幂函数，(m∈N)，且在(0，＋∞)上是减函数，又，则m= A．0 B．1 C．2 D．3 解析：函数在(0，＋∞)上是减函数，则有 又，故为偶函数，故m为1．， 例3、已知幂函数为偶函数，且在区间上是减函数． (1)求函数的解析式； (2)讨论的奇偶性．∵幂函数在区间 ∴．又上是减函数，∴是偶数，∴，∴，解得．，∵， (2)，． 当且时，是非奇非偶函数；当且时，是奇函数；当且时，是偶函数；当且时，奇又是偶函数． 例4、 下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系 (1) 变式训练： (A)，(2)(F)，(3)(E)，(4)(C)，(5)(D)，(6)(B). 1、下列函数是幂函数的是（） A．y=2x B．y=2x－1 C．y=(x＋1)2 D．y= 2、下列说法正确的是（） A．y=x4是幂函数，也是偶函数 B．y=－x3是幂函数，也是减函数 是增函数，也是偶函数 D．y=x0不是偶函数 C． 3、下列函数中，定义域为R的是（） A．y= B．y= C．y= D．y=x1 － 4、函数的图象是（） A．B．C．D． 5、下列函数中，不是偶函数的是（） A．y=－3x2 B．y=3x2 C． 6、若f(x)在[－5，5]上是奇函数，且f(3)＜f(1)，则（） D．y=x2＋x－1 A．f(－1)＜f(－3) B．f(0)＞f(1) C．f(－1)＜f(1) D．f(－3)＞ f(－5) 7、若 y=f(x) 是奇函数，则下列坐标表示的点一定在y=f(x)图象上的是 （） A．(a，－f(a)) B．(－a，－f(a)) C．(－a，－f(－a)) D．(a，f(－a )) 8、已知，则下列正确的是（） A．奇函数，在R上为增函数 B．偶函数，在R上为增函数 C．奇函数，在R上为减函数 D．偶函数，在R上为减函数 9、若函数f(x)=x2＋ax是偶函数，则实数a=（） A．－2 B．－1 C．0 D．1 10、已知f(x)为奇函数，定义域为，又f(x)在区间上为增函数，且 f(－1)=0，则满足f(x)>0的的取值范围是（） A． B．(0，1) C． D． 11、若幂函数的图象过点，则_____________． 12、函数的定义域是_____________． 13、若，则实数a的取值范围是_____________． 指数、对数、幂函数知识归纳 知识要点梳理 知识点一：指数及指数幂的运算 1.根式的概念 的次方根的定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中 当为奇数时，正数的次方根为正数，负数的次方根是负数，表示为；当为偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为.负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0. 式子叫做根式，叫做根指数，叫做被开方数. 2.n次方根的性质： (1)当为奇数时，；当为偶数时， (2) 3.分数指数幂的意义： ； 注意：0的正分数指数幂等与0，负分数指数幂没有意义. 4.有理数指数幂的运算性质： (1) (2) (3) 知识点二：指数函数及其性质 1.指数函数概念：一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为. 2. 函数 图象过定点，即当时， 变化对图象的影在第一象限内，从逆时针方向看图象， 看图象， 知识点三：对数与对数运算 1.对数的定义 (1)若，则叫做以为底的对数，记作，叫做底数，叫做真数. (2)负数和零没有对数. (3)对数式与指数式的互化：. 2.几个重要的对数恒等式：，，. 3.常用对数与自然对数：常用对数：，即；自然对数：，即(其中…). 4.对数的运算性质 如果，那么①加法： ②减法：③数乘：④ ⑤⑥换底公式： 知识点四：对数函数及其性质 1.对数函数定义 一般地，函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域. 2. 且 图象过定点，即当时， 上是增函数上是减函数 变化对图在第一象限内，从顺时针方向看图象， 看图象， 1.反函数的概念 设函数的定义域为，值域为，从式子中解出，得式子.如果对于在中的任何一个值，通过式子，在中都有唯一确定的值和它对应，那么式子表示是的函数， 函数叫做函数的反函数，记作，习惯上改写成. 2.反函数的性质 (1)原函数与反函数的图象关于直线对称. (2)函数的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域. (3)若在原函数的图象上，则在反函数的图象上. (4)一般地，函数要有反函数则它必须为单调函数. 一、 幂函数 1、幂的有关概念 正整数指数幂： ...() n n a a a a n N =∈ 零指数幂： 01(0) a a =≠ 负整数指数幂： 1 (0,) p p a a p N a -=≠∈ 分数指数幂：正分数指数幂的意义是： (0,,,1) m n m n a a a m n N n =>∈> 且 负分数指数幂的意义是： 1 (0,,,1) m n m n m n a a m n N n a a - ==>∈> 且 2、幂函数的定义 一般地，函数 a y x =叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数(我们只讨论a是有理数 的情况)．3、幂函数的图象 幂函数a y x = 当 11 ,,1,2,3 32 a= 时的图象见左图；当 1 2,1, 2 a=--- 时的图象见上图： 由图象可知，对于幂函数而言，它们都具有下列性质： a y x =有下列性质： (1)0a >时： ①图象都通过点(0,0)，(1,1)； ②在第一象限内，函数值随x 的增大而增大，即在(0,)+∞上是增函数． (2)0a <时： ①图象都通过点(1,1)； ②在第一象限内，函数值随x 的增大而减小，即在(0,)+∞上是减函数； ③在第一象限内，图象向上与y 轴无限地接近，向右与x 轴无限地接近． (3)任何幂函数的图象与坐标轴至多只有一个交点； (4)任何幂函数图象都不经过第四象限； (5)任何两个幂函数的图象最多有三个交点． 二、指数函数 ①定义：函数)1,0(≠>=a a a y x 且称指数函数， 1）函数的定义域为R ； 2）函数的值域为),0(+∞； 3）当10<a 时函数为增函数. 4）有两个特殊点：零点(0,1)，不变点(1,)a . 5）抽象性质： ()()(),()()/()f x y f x f y f x y f x f y +=?-= 三、对数函数 如果b a N =（0a >，1a ≠），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N b = log b a a N N b =?=（0a >，1a ≠，0N >）． 指数.对数.幂函数基本性质和运算 注意：奇函数在原点两侧单调性相同；偶函数在原点两侧单调性相反。用来判断幂函数在 (),0-∞上的单调性 1.求值：（1）33log 5log 15-=____________;(2)2345log 3log 4log 5log 2???=__________ (3)2 115113366 22263a b a b a b ??????-÷-= ??? ??????? _____;(4)324 3 16881- ??? ? ??=_________________ 2.比较大小：（1）0.8 0.73 ,3；（2）ln1.4,ln1.6（3）32log 2,log 3 （4）372log log 6log 0.8π， ，；（5）0.7 0.60.6,0.7 3．函数y ＝(x ＋4)2 的递减区间是( ) A ．(－∞，－4) B ．(－4，＋∞) C ．(4，＋∞) D ．(－∞，4) 4．函数f (x )＝(m 2－m －1)x m 2－2m －3是幂函数，且在x ∈(0，＋∞)上是减函数，则实数m ＝( ) 5．关于x 的函数y ＝(x －1)α (其中α的取值范围可以是1,2,3，－1，)的图象恒过点________． 6．已知(1)() ()1 12 2 432m m - - +<-,(2)()()lg 4lg 32m m +>-,求m 的取值范围 7.解不等式：（1）()lg2lg 3x x >-；（2）1 23142x x +-?? ≥ ? ?? ；（3）()12 log 242x -≥- 8.函数的定义域（1）x x y --= 2)1(log 2（2）31 log (32) y x = -9.已知{}2log ,1A y y x x ==>，1,12x B y y x ?????? ==>?? ??????? ，求A B I 10函数12 log 3,1y x x =+≥的值域 11.求下列函数在[]3,5x ∈的值域（1）()2log 1y x =-+1；（2）212x y -?? = ? ??指数函数、对数函数、幂函数教案
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