小学数学解题技巧大全
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【小学数学解题思路大全】式题的巧解妙算(一)
1.特殊数题(1)21-12
当被减数和减数个位和十位上的数字(零除外)交叉相等时,其差为被减数与减数十位数字的差乘以9。
因为这样的两位数减法,最低起点是21-12,差为9,即(2-1)×9。减数增加1,其差也就相应地增加了一个9,故31-13=(3-1)×9=18。减数从12—89,都可类推。
被减数和减数同时扩大(或缩小)十倍、百倍、千倍……,常数9也相应地扩大(或缩小)相同的倍数,其差不变。如
210-120=(2-1)×90=90,
-=(6-5)×=。
—
(2)31×51
个位数字都是1,十位数字的和小于10的两位数相乘,其积的前两位是十位数字的积,后两位是十位数字的和同1连在一起的数。
若十位数字的和满10,进1。如
证明:(10a+1)(10b+1)
=100ab+10a+10b+1
=100ab+10(a+b)+1
(
(3)26×86 42×62
个位数字相同,十位数字和是10的两位数相乘,十位数字的积与个位数字的和为积的前两位数,后两位是个位数的积。若个位数的积是一位数,前面补0。
证明:(10a+c)(10b+c)
=100ab+10c(a+b)+cc
=100(ab+c)+cc (a+b=10)。
(4)17×19
十几乘以十几,任意一乘数与另一乘数的个位数之和乘以10,加个位数的积。
)
原式=(17+9)×10+7×9=323
证明:(10+a)(10+b)
=100+10a+10b+ab
=[(10+a)+b]×10+ab。
(5)63×69
十位数字相同,个位数字不同的两位数相乘,用一个乘数与另个乘数的个位数之和乘以十位数字,再乘以10,加个位数的积。
原式=(63+9)×6×10+3×9
=72×60+27=4347。
;
证明:(10a+c)(10a+d)
=100aa+10ac+10ad+cd
=10a[(10a+c)+d]+cd。
十位数字相同,个位数字的和为10,用十位数字加1的和乘以十位数字的积为前两位数,后两位是个位数的积。如
证明:(10a+c)(10a+d)
=100aa+10a(c+d)+cd
)
=100a(a+1)+cd(c+d=10)。
(7)38×22
十位数字的差是1,个位数字的和是10且乘数的个位数字与十位数字相同的两位数相乘,积为被乘数的十位数与个位数的平方差。
原式=(30+8)×(30-8)
=302-82=836。
(8)88×37
被乘数首尾相同,乘数首尾的和是10的两位数相乘,乘数十位数字与1的和乘以被乘数的相同数字,是积的前两位数,后两位是个位数的积。
|
(9)36×15
乘数是15的两位数相乘。
被乘数是偶数时,积为被乘数与其一半的和乘以10;是奇数时,积为被乘数加上它本身减去1后的一半,和的后面添个5。
=54×10=540。
55×15
~
(10)125×101
三位数乘以101,积为被乘数与它的百位数字的和,接写它的后两位数。125+1=126。
原式=12625。
再如348×101,因为348+3=351,
原式=35148。
(11)84×49
一个数乘以49,把这个数乘以100,除以2,再减去这个数。
原式=8400÷2-84
-
=4200-84=4116。
(12)85×99
两位数乘以9、99、999、…。在被乘数的后面添上和乘数中9的个数一样多的0、再减去被乘数。
原式=8500-85=8415
不难看出这类题的积:
最高位上的两位数(或一位数),是被乘数与1的差;
最低位上的两位数,是100与被乘数的差;
*
证明:设任意两位数的个位数字为b、十位数字为a(a≠0),则
如果被乘数的个位数是1,例如
31×999
在999前面添30为30999,再减去30,结果为30969。
71×9999=709999-70=709929。
这是因为任何一个末位为1的两位自然数都可表示为(10a+1)的形式,由9组成的自然数可表示为(10n-1)的形式,其积为
$
(10a+1)(10n-1)=10n+1a+(10n-1)-10a。
(13)1÷19
这是一道颇为繁复的计算题。
原式=。
根据“如果被除数不变,除数扩大(或缩小)若干倍,商反而缩小(或扩大)相同倍”和“商不变”性质,可很方便算出结果。
原式转化为÷,把看作2,计算程序:
(1)先用÷2=。
(2)把商向右移动一位,写到被除数里,继续除
】
如此除到循环为止。
@
仔细分析这个算式:
加号前面的是÷2的商,后面的×÷中×=,就是把商向右移动一位写到被除数里,除以。这样我们又可把除数看作2继续除,依此类推。
除数末位是9,都可用此法计算。
例如1÷29,用÷3计算。
1÷399,用÷40计算。
2.估算
数学素养与能力(含估算能力)的强弱,直接影响到人们的生活节奏和工作、学习、科研效率。已经引起世界有关专家、学者的重视,是个亟待研究的课题。
美国数学督导委员会,提出的12种面向全体学生的基本数学能力中,第6种能力即估算:“学生应会通过心算或使用各种估算技巧快速进行近似计算。当解题或购物中需要计算时,估算可以用于考查合理性。检验预测或作出决定……”
)
(1)最高位估算
只计算式中几个运算数字的最高位的结果,估算整个算式的值大概在什么范围。
例1 1137+5044-3169
最高位之和1+5-3=3,结果在3000左右。
如果因为忽视小数点而算成560,依据“一个不等于零的数乘以真分数,积必小于被乘数”估算,错误立即暴露。
例3 ×
整体思考。
!
因为≈50,
而50×≈50×=75,
又>50,>,
所以×>75。
另外9×1=9,
所以原式结果大致是75多一点,三位小数的末位数字是9。
例4 3279÷79
把3279和79,看作3200和80。准确商接近40,若相差较大,则是错的。
&
(2)最低位估算
例如,6403+232+1578
3+2+8=13,原式和的末位必是3。
(3)规律估算
和大于每一个加数;
两个真分数(或纯小数)的和小于2;
一个真分数与一个带分数(或一个纯小数与一个带小数)的和大于这个带分数(或带小数),且小于这个带分数(或带小数)的整数部分与2的和;
—
两个带分数(或带小数)的和总是大于两个带分数(或带小数)整数部分的和,且小于这两个整数部分的和加上2;
奇数±奇数=偶数,偶数±偶数=偶数,奇数±偶数=奇数;
差总是小于被减数;
整数与带分数(或带小数)的差小于整数与带分数(或带小数)的整数部分的差;带分数(或带小数),与整数的差大于带分数(或带小数)的整数部分与整数的差。
带分数(或带小数)与真分数(或纯小数)的差小于这个带分数(或带小数),且大于带分数(或带小数)减去1的差;
&
带分数与带分数(或带小数与带小数)的差小于被减数与减数的整数部分的差,且大于这个差减去1;
如果两个因数都小于1,则积小于任意一个因数;
若两个因数都大于1,则积大于任意一个因数;
带分数与带分数(或带小数与带小数)的积大于两个因数的整数部分的积,且小于这两个整数部分分别加1后相乘的积;例如,
A<AB<B。
!
若除数<1,则商>被除数;
若除数>1,则商<被除数;
若被除数>除数,则商>1;
若被除数<除数,则商<1。
(4)位数估算
整数减去小数,差的小数位数等于减数的小数位数;例如,320-,差为两位小数。
最高位的乘积满十的两个整数相乘的积的位数,等于这两个数的位数和;
/
例如,451×7103
最高位的积4×7=28,满10,结果是3+4=7(位数)。在整除的情况下,被除数的前几位不够除,商的位数等于被除数的位数减去除数的位数;
例如,147342÷27
14不够27除,商是4-2=2(位数)。
被除数的前几位够除,商的位数等于被除数的位数与除数位数的差加上1。
例如,30226÷238
302够238除,商是5-3+1=3(位数)。
(5)取整估算
…
把接近整数或整十、整百、……的数,看作整数,或整十、整百…的数估算。
如+≈2+1,和定小于3。
12×≈10×10,积接近100。
3.并项式
应用交换律、结合律,把能凑整的数先并起来或去括号。
例1 ++
=++
¥
=+10=
=3-3=0
例3 -+
=--
=12-=
例4 1600÷(400÷7)
=1600÷400×7
=4×7
@
=28
4.提取式
根据乘法分配律,可逆联想。
=+×=10×
=4
5.合乘式
、
=×10×1=875
=8-7=1
6.扩缩式
例1 ×16+×36
=×(64+36)
(
=×100=40
例2 16×45
7.分解式
例如,14×72+42×76
=14×3×24+42×76
=42×(24+76)
~
=42×100=4200
8.约分式
=3×7×2=42
例2 169÷4÷7×28÷13
?
=1988
《
例7 1988 ÷989被除数与除数,分别除9.拆分式
10.拆积式
例如,32××25
= 8××(4×25)
=10×100=1000
¥
11.换和式
=+×8
=1+=
例4 -
=+-+
—
=-6=
12.换差式
13.换乘式
】
例1 123+234+345+456+567+678=(123+678)×3
=801×3=2403
例2+++×25
=×(4×25)=672
例3 45000÷8÷125
=45000÷(8×125)
=45000÷1000=45
【
例4 ÷÷25
=÷×4×25)
=÷80
=÷8=
例5 33333×33333
=11111×99999
=11111×(100000-1)
=00-11111
|
=89
综合应用,例如
=1000+7=1007
=+--×(转)
=[+-+]×(合)
=8×
:
=8×(125+(拆)
=8×125+8×=1002
例如,5600÷(25×7)
=5600÷7÷25
=800÷25=32
15.直接除
,
17.以乘代加
例1 7+4+5+2+3+6
=9×3=27
如果两个分数的分子相同,且等于分母之和(或差),那么这两个分数的和(或差)等于它们的积。
18.以乘代减
¥
知,两个分数的分子都是1,分母是连续自然数,其差等于其积。
可见,各分数的分子都是1。第一个减数的分母等于被减数的分母加1。第二个减数的分母等于被减数的分母与第一个减数的分母的积加1,第n个减数的分母等于被减数的分母与第一、二、……第n-1个减数的分母的连乘积加上1。(n为不小于2的自然数)其差等于其积
19.以加代乘
一个整数与一个整数部分和分子都是1,分母比整数(另个乘数)小1
>
20.以除代乘
例如,25×8
=8×(100÷4)
=÷4
=00
21.以减代除
=1986-662=1324
|
3510÷15
=(3510-1170)÷10=234
22.以乘代除
例如,÷4÷6×24÷27
23.以除代除
&
观察其特点,
24.并数凑整
例如,372+499
=372+500-1=871
-
=-13+=
25.拆数凑整
|
例如,476+302
=476+300+2=778
-
=-3-=
26.加分数凑整
应用“被减数、减数同时增加或减少相同的数,其差不变”的性质,使原来减去一个带分数或带小数,变成减去整数。
]
例3 =+-+
==
30.凑公因数
例如,1992×+1982×
=1992×+(1992-10)×
=1992×+1992××
=1992×+-725
=199200-725=198475
$
或原式=(1982+10)×+1982×
……
31.和差积法
32.直接写得数
观察整数和分数部分,显然原式=3。
|
33.变数为式
……
/
34.分解再组合
例如,(1+2+3+...+99)+(4+8+12+ (396)
=(1+2+3+...+99)+4(1+2+3+ (99)
=5(1+2+3+ (99)
35.先分解再通分
~
有的学生通分时用短除法,找了许多数试除都不行,而断定57和76为互质数。
判断两个数是否互质,不必用2、3、5、……逐个试除。把其中一个分解质因数,看另一个数能否被这里的某个质因数整除即可。
57=3×19,如果57和76有公有的质因数,只可能是3或19。用3、19试除,
[57,76]=19×3×4=228。
26=2×13,65和91是13的倍数。
:
最小公分母为
13×2×5×7=910。
37.巧用分解质因数
教材中讲分解质因数,主要是为了求几个数的最大公约数和最小公倍数,给通分和约分打基础。其实,分解质因数在解题中很有用处。提供新解法,启迪创造思维。
例1 184×75
原式=2×2×46×3×5×5
=46×3×(2×5)2
=138×100=13800。
…
38.“1、1”法
一个整数减去一个带分数,可用这个整数减去比减数的整数部分多1的数,再从1中减去分数部分。
为便于记忆,称“1、1”法。
39.“1,9,9…10”法
一个整数减去一个小数(末位不为0),可先减去比小数高位多1的数,再从9中减去其它位数,最后从10中减去末位数。
40.改变运算顺序
例1 650×74÷65
(
=(650÷65)×74
=10×74=740
例2 176×98÷49
=176×(98÷49)
=176×2=352
例3 7÷13×52÷4
例4 102×99-×99×8
=102×99-1×99
=99×(l00+1)
=9900+99=9999
41.用数据
熟记一些特殊数据,可使计算简捷、迅速。
例1 由37×3=111
知 37×6=111×2=222
;
37×15=37×3×5=555
例3 1000以内(不包括整十、整百)只含因数2或5的2、4、8、16、32、64、128、256、512;
5、25、125、625。
这些数作分母的分数才能化成有限小数,不需试除。
…
例4 特殊分数化小数
分母是5、20、25、50的最简分数,在化为小数时,把分子相应地扩大2、5、4、2倍,再缩小10、100倍。
分母是8的最简分数,分子是1、3,小数的第一位也是1、3。
分母是9的最简分数,循环节的数字和分子的数字相同。
}
例5 1~9π
1×= 6×=
2×= 7×=
3×= 8×=
4×= 9×=
5×=
熟记这些数值,可口算。
》
×13=10π+3π=
×89=90π-π
= π×
变为整数,三位数前面补0改为四位数,
这样不会把数位搞错,将结果左端的0去掉,点上小数点得。也可从高位算起。
42.想特殊性
)
所以可直接得0。
例3 除数为1,则商就是被除数。
43.想变式
…
44.用规律
例1 682+702
两个连续奇(偶)数的平方和,等于这两个数之积的2倍加4的和。
原式=68×70×2+4
=9520+4=9524。
例2 522-512=52+51=103
两个连续自然数的平方差,等于这两个数的和。
例3 18×19+20
$
任意三个连续自然数,最小数与中间数的乘积加上最大数的和,等于最大数与中间数的乘积减去最小数。
原式=20×19-18=362。
例4 16×17-15×18
四个连续自然数,中间两个的积比首尾两个的积多2。
原式=2。
证明:设任意四个连续自然数分别为a-1、a、a+1、a+2,
则a(a+1)-(a-1)(a+2)
=a2+a-a2-a+2=2。
*
例5 一个从第一位开始有规律循环的多位数(包括整数部分是0的纯循环小数),乘以一个与其循环节位数相同的数,其规律适用于一些题的简算。
ABAB×CD=(AB×100+AB)×CD
=AB×100×CD+AB×CD
=(CD×100+CD)×AB
=CDCD×AB
如:125×5×1616×78
=125×5×7878×16
=(125×8)×(5×2)×7878
<
=
45.基础题法
在基础题上深化。例如,
观察(1)的解题过程,
"
46.巧归纳
例如,1+2+…+100+99+…+1
1~100的和为5050,再加一倍为10100,减去多加的100为10000。但速度太慢。
!
有相同的行数和列数,用点或圈列成正方形的数,叫作正方形数。
由图知
1+2+3+2+1=32,
1+2+3+4+5+4+3+2+1=52。
不难发现,和为最大加数的平方。显然,
5+6+…+29+30+29+…+6+5
=302-42-4
'
=900-16-4=880。
【小学数学解题思路大全】巧想妙算文字题(一)
1.想数码
例如,1989年“从小爱数学”邀请赛试题6:两个四位数相加,第一个四位数的每一个数码都不小于5,第二个四位数仅仅是第一个四位数的数码调换了位置。某同学的答数是16246。试问该同学的答数正确吗(如果正确,请你写出这个四位数;如果不正确,请说明理由)。
思路一:易知两个四位数的四个数码之和相等,奇数+奇数=偶数,偶数+偶数=偶数,这两个四位数相加的和必为偶数。
相应位数两数码之和,个、十、百、千位分别是17、13、11、15。所以该同学的加法做错了。正确答案是
思路二:每个数码都不小于5,百位上两数码之和的11只有一种拆法5+6,另一个5只可能与8组成13,6只可能与9组成15。这样个位上的两个数码,8+9=16是不可能的。
!
不要把“数码调换了位置”误解为“数码顺序颠倒了位置。”
2.尾数法
例1 比较 1222×1222和 1221×1223的大小。
由两式的尾数2×2=4,1×3=3,且4>3。
知 1222×1222>1221×1223
例2 二数和是382,甲数的末位数是8,若将8去掉,两数相同。求这两个数。
由题意知两数的尾数和是12,乙数的末位和甲数的十位数字都是4。
由两数十位数字之和是8-1=7,知乙数的十位和甲数的百位数字都是3。
^
甲数是348,乙数是34。
例3 请将下式中的字母换成适当的数字,使算式成立。
由3和a5乘积的尾数是1,知a5只能是7;
由3和a4乘积的尾数是7-2=5,知a4是5;……不难推出原式为
142857×3=428571。
例如,从1~10的十个数中,每次取两个数,要使其和大于10,有多少种取法
^
思路一:较大数不可能取5或比5小的数。
取6有6+5;
取7有7+4,7+5,7+6;
…………………………………………
取10有九种 10+1,10+2,……10+9。
共为 1+3+5+7+9=25(种)。
思路二:两数不能相同。较小数为1的只有一种取法1+10;为2的有2+9,2+10;……较小数为9的有9+10。
共有取法1+2+3+4+5+4+3+2+1=25(种)
;
这是从较小数想起,当然也可从9或8、7、……开始。
思路三:两数和最大的是19。两数和大于10的是11、12、 (19)
和是11的有五种1+10,2+9,3+8,4+7,5+6;和是11~19的取法
5+4+4+3+3+2+2+1+1=25(种)。
4.想大小数之积
用最大与最小数之积作内项(或外项)的积,剩的相乘为外项(或内项)的积,由比例基本性质知
?
交换所得比例式各项的位置,可很快列出全部的八个比例式。
5.由得数想
例如,思考题:在五个中间加上怎样的运算符号和括号,等式就成立其结果是
0,,1,,2。
从得数出发,想:
两个相同数的差,等于0;
\
一个数加上或减去0,仍等于这个数;
一个因数是0,积就等于0;
0除以一个数(不是0),商等于0;
两个相同数的商为1;
1除以,商等于2;……
解法很多,只举几种:
-×××=0
---×=0
`
++×-=0\
+--×=0
-××+=
++--=
+×+—=
+×+-=
÷+-×=1
:
-÷++=1
+÷-+=1
-++÷=
+×++=
+++-=
÷+÷-=
÷÷+-=2
+÷+-=2
;
++-÷=2
[+×+]÷=2
6.想平均数
思路一:由“任意三个连续自然数的平均数是中间的数”。设第一个数为“1”,则中间数占
知这三个数是14、15、16。
^
二、一个数分别为
16-1=15,
15-1=14 或 16-2=14。
若先求第一个数,则
思路三:设第三个数为“1”,则第二、三个数,
[
知是15、16。
思路四:第一、三个数的比是7∶8,第一个数是2÷(8-7)×7=14。
若先求第三个数,则
2÷(8-7)×8=16。
7.想奇偶数
例1 思考题:在1、2、3、4、5、6、7、8、9九个数字中,不改变它们的顺序、在它们中间添上加、减两种符号,使所得的结果都等于100。
例如
&
1+23-4+5+6+78-9=100123+45-67+8-9=100
你还能想出不同的添法吗
1+2+3+4+5+6+7+8+9=45。若去掉7和8间的“+”,式左为1+2+3+4+5+6+78+9,比原式和增大了78-(7+8)=63,即
1+2+3+4+5+6+78+9
绍。如果式左变为
.
12+3+4+5+6+7+89。
[12-(1+2)]+[89-(8+9)]=81。即 12+3+4+5+6+7+89=45+81=100+26。
要将“+”变为“-”的数和为13,在3、4、5、6、7中有6+7,3+4+6,因而有
12+3+4+5-6-7+89=100,
12-3-4+5-6+7+89=100,
同理得
12+3-4+5+67+8+9=100,
1+23-4+56+7+8+9=100,
)
1+2+34-5+67-8+9=100,
123-4-5-6-7+8-9=100,
123+4-5+67-89=100,
123-45-67+89=100。
为了减少计算。应注意:
(1)能否在1、23、4、5、6、7、89中间添上加、减(不再去掉某两数间的加号),结果为100呢
1、23、5、7、89的和或差是奇数,4、6的和或差是偶数,奇数±偶数=奇数,结果不会是100。
(2)有一个是四位数,结果也不可能为100。因为1234减去余下数字组成(按顺序)的最大数789,再减去余下的56,差大于100。
|
例2 求59~199的奇数和。
由从1开始的连续n个奇数和、等于奇数个数n的平方
1+3+5+7+……+(2n-1)=n2
奇数比它对应的序数2倍少1。用n表示任意一个自然数,它对应的奇数为2n-1。
例如,32对应奇数2×32-1=63。奇数199,从1起的连续奇数中排列在100(2n-1=199,n=100)的位置上。
知1~199的奇数和是1002=10000。此和包括59,2n-1=57、n=29、1~57的奇数和为292=841。
所求为 10000-841=9159。
或者 59=30×2-1,302=900,
)
10000-900+59=9159。
例1 思考题:在1、2、3、4、5、6、7、8、9九个数字中,不改变它们的顺序、在它们中间添上加、减两种符号,使所得的结果都等于100。
例如
1+23-4+5+6+78-9=100123+45-67+8-9=100
你还能想出不同的添法吗
1+2+3+4+5+6+7+8+9=45。若去掉7和8间的“+”,式左为1+2+3+4+5+6+78+9,比原式和增大了78-(7+8)=63,即
、
1+2+3+4+5+6+78+9
绍。如果式左变为
12+3+4+5+6+7+89。
[12-(1+2)]+[89-(8+9)]=81。即 12+3+4+5+6+7+89=45+81=100+26。
要将“+”变为“-”的数和为13,在3、4、5、6、7中有6+7,3+4+6,因而有
&
12+3+4+5-6-7+89=100,
12-3-4+5-6+7+89=100,
同理得
12+3-4+5+67+8+9=100,
1+23-4+56+7+8+9=100,
1+2+34-5+67-8+9=100,
123-4-5-6-7+8-9=100,
123+4-5+67-89=100,
(
123-45-67+89=100。
为了减少计算。应注意:
(1)能否在1、23、4、5、6、7、89中间添上加、减(不再去掉某两数间的加号),结果为100呢
1、23、5、7、89的和或差是奇数,4、6的和或差是偶数,奇数±偶数=奇数,结果不会是100。
(2)有一个是四位数,结果也不可能为100。因为1234减去余下数字组成(按顺序)的最大数789,再减去余下的56,差大于100。
例2 求59~199的奇数和。
由从1开始的连续n个奇数和、等于奇数个数n的平方
¥
1+3+5+7+……+(2n-1)=n2
奇数比它对应的序数2倍少1。用n表示任意一个自然数,它对应的奇数为2n-1。
例如,32对应奇数2×32-1=63。奇数199,从1起的连续奇数中排列在100(2n-1=199,n=100)的位置上。知1~199的奇数和是1002=10000。此和包括59,2n-1=57、n=29、1~57的奇数和为292=841。
所求为 10000-841=9159。
或者 59=30×2-1,302=900,
10000-900+59=9159。
\
8.约倍数积法
任意两个自然数的最大公约数与最小公倍数的积,等于这两个自然数的积。
证明:设M、N(都是自然数)的最大公约数为P,最小公倍数为Q、且M、N不公有的因数各为a、b。
那么 M×N=P×a×P×b。
而 Q=P×a×b,
所以 M×N=P×Q。
例1 甲乙两数的最大公约数是7,最小公倍数是105。甲数是21,乙数是多少
;
这两个互质数的积为1×155=155,还可分解为5×31。
所求是1和155,5和31。
例3 两数的最大公约数是4,最小公倍数是40,大数是数的倍,求各数。
由上述定理和题意知两数的积,是小数平方的倍。
小数的平方为4×40÷=64。
小数是8。
—
大数是8×=20。
算理:4×40=8×20=8×(8×=82×。
9.想份数
}
#
10.巧用分解质因数
例1 四个比1大的整数的积是144,写出由这四个数组成的比例式。
144=24×32
=(22×3)×[(2×3)×2]
=(4×3)×(6×2)
可组成4∶6=2∶3等八个比例式。
例2 三个连续自然数的积是4896,求这三个数。
4896=25×32×17
(
=24×17×(2×32)
=16×17×18
1728=26×33=(22×3)3=123
385=5×7×11
例4 1992年小学数学奥林匹克试题初赛(C)卷题3:找出1992的所有不同的质因数,它们的和是多少1992=2×2×2×3×83
#
2+3+83=88
例5 甲数比乙数大9,两数的积是1620,求这两个数。
=(32×22)×(32×5)
甲数是45,乙数是36。
例6 把14、30、33、75、143、169、4445、4953分成两组,每组四个数且积相等,求这两组数。
八个数的积等于2×7×2×3×5×3×11×3×5×5×11×13×13×13×5×7×127×3×13×127。
每组数的积为2×32×52×7×11×132×127。两组为
:
例7 600有多少个约数
600=6×100=2×3×2×2×5×5
=23×3×52
只含因数2、3、5、2×3、2×5、3×5、2×3×5的约数分别为:
2、22、23;
3;
5、52;
,
2×3、22×3、23×3;
2×5、22×5、23×5、2×52、22×52、23×52;
3×5、3×52;
2×3×5、22×3×5、23×3×5、2×3×52、22×3×52、23×3×52。
不含2×3×5的因数的数只有1。
这八种情况约数的个数为;
3+1+2+3+6+2+6+1=24。
不难发现解题规律:把给定数分解质因数,写成幂指数形式,各指数分别加1后相乘,其积就是所求约数的个数。(3+1)×(1+1)×(2+1)=24。
&
17.想法则
用来说明运算规律(或方法)的文字,叫做法则。
子比分母少16。求这个分数
由“一个分数乘以5,是分子乘以5分母不变”,结果是分子的5倍比 3倍比分母少16。知
分子的5-3=2(倍)是2+16=18,分子为18÷2=9,分母为9×5-2=43或9×3+16=43。
18.想公式
`
证明方法:
以分母a,要加(或减)的数为
(2)设分子加上(或减去)的数为x,分母应加上(或减去)的数为y。
^
例1 1992年小学数学奥林匹克试题初赛(C)卷题6:有甲、乙两个多少倍
200÷16=(倍)。
…
例2 思考题:三个最简真分数,它们的分子是连续自然数,分母大于10,且它们最小公分母是60;其中一个分数的值,等于另两个分数的和。写出这三个分数。
由“分母都大于10,且最小公分母是60”,知其分母只能是12、15、20;12、15、30;12、15、60。
由“分子是连续自然数”,知分子只能是小于12的自然数。
满足题意的三个分数是
(二)第400个分数是几分之几
—
此题特点:
(2)每组分子的排列:
假设某一组分数的分母是自然数n,则分子从1递增到n,再递减到1。分数的个数为n+n-1=2n-1,即任何一组分数的个数总是奇数。
(3)分母数与分数个数的对应关系,正是自然数与奇数的对应关系
分母:1、2、3、4、5、……
分数个数:1、3、5、7、9、……
~
(4)每组分数之前(包括这组本身)所有分数个数的和,等于这组的组号(这一组的分母)的平方。
例如,第3组分数前(包括第3组)所有分数个数的和是32=9。
10×2-1-6=13(个)位置上。
分别排在81+7=88(个),81+13=94(个)的位置上。
或者102=100, 100-12=88。
100-6=94, 88+6=94。
问题(二):由上述一串分数个数的和与组号的关系,将400分成某数的平方,这个数就是第400个分数所在的组数400=202,分母也是它。
{
第400个分数在第20组分数中,400是这20组分数的和且正好是20的平方无剩余,故可断定是最后一个,即
若分解为某数的平方有剩余,例如,第415个和385个分数各是多少。
逆向思考,上述的一串分数中,分母是35的排在第几到第几个
352-(35×2-1)+1
=1225-69+1=1157。
排在1157-1225个的位置上。
20.由规则想
小学数学重点知识点与解题技巧汇总
小学数学重点知识点与解题技巧汇总 一、小学数学几何形体周长面积体积计算公式 长方形正方形 长方形的周长=(长+宽)×2 C=(a+b)×2 正方形的周长=边长×4 C=4a 长方形的面积=长×宽S=ab 正方形的面积=边长×边长S=a.a 三角形平行四边形梯形 三角形的面积=底×高÷2。公式S= a×h÷2 平行四边形的面积=底×高S=ah 梯形的面积=(上底+下底)×高÷2 S=(a+b)h÷2 圆形 直径=半径×2 d=2r 半径=直径÷2 r= d÷2 圆的周长=圆周率×直径=圆周率×半径×2 c=πd =2πr 圆的面积=圆周率×半径×半径 角度体积 内角和:三角形的内角和=180度。 长方体的体积=长×宽×高公式:V=abh
长方体(或正方体)的体积=底面积×高公式:V=abh 正方体的体积=棱长×棱长×棱长公式:V=aaa 圆柱的体积:圆柱的体积等于底面积乘高。公式:V=Sh 圆锥的体积=1/3底面×积高。公式:V=1/3Sh 表面积 圆柱的表(侧)面积:圆柱的表(侧)面积等于底面的周长乘高。公式:S=ch=πdh=2πrh 圆柱的表面积:圆柱的表面积等于底面的周长乘高再加上两头的圆的面积。公式:S=ch+2s=ch+2πr2 分数 分数的加、减法则:同分母的分数相加减,只把分子相加减,分母不变。异分母的分数相加减,先通分,然后再加减。 分数的乘法则:用分子的积做分子,用分母的积做分母。 分数的除法则:除以一个数等于乘以这个数的倒数。 二、单位换算 距离换算 1公里=1千米 1千米=1000米 1米=10分米
1分米=10厘米 1厘米=10毫米 面积换算 1平方米=100平方分米 1平方分米=100平方厘米 1平方厘米=100平方毫米 1公顷=10000平方米 1亩=666.666平方米 体积换算 1立方米=1000立方分米 1立方分米=1000立方厘米 1立方厘米=1000立方毫米 1升=1立方分米=1000毫升 1毫升=1立方厘米 重量、货币换算 1吨=1000千克 1千克= 1000克= 1公斤= 2市斤1元=10角1角=10分1元=100分
小学数学解题思路技巧二年级用
小学数学解题思路技巧 二年级用 文件管理序列号:[K8UY-K9IO69-O6M243-OL889-F88688]
余数的妙用 本系列贡献者:[知识要点] 1.被除数=除数×商+余数; 2.余数要比除数小; 3.会解有余数除法的应用题。 [范例解析] 例1如图1-1。把14个乒乓球平均分给三个班,每班分得几个?还余下几个? 解 14÷3 = 4余2 每班分得4个还余2个。 例2下面三个竖式,哪个对?哪个不对?为什么不对? 解第一个竖式不对,它的余数8比除数5还大,还可商1,即商应为8; 第二个竖式也不对,因商和除数的积不能大于被除数; 第三个竖式是对的,余数3小于除数5。 说明计算有余数的除法,余数一定要比除数小。这时被除数、除数、商和余数的关系是: 被除数 = 除数×商+余数
被除数-余数 = 除数×商 例3把11、12、13、14、15、16、17分别除以3时,各得哪些余数? 解 11÷3 = 3余2; 12÷3 = 4余0; 13÷3 = 4余1; 14÷3 = 4余2; 15÷3 = 5余0; 16÷3 = 5余1; 17÷3 = 5余2。 说明一串连续数除以同一个数,因为它们的余数小于除数,所以余数重复出现。 “余数”在我们生活中还有不少的用处呢! 例4国庆节挂彩灯,用六种颜色的灯泡,按红、黄、蓝、白、绿、紫的次序装配,总共要装50只灯,每种颜色的灯泡各需要多少只? 解可以这样想,六种颜色的灯泡作为一组,50只灯泡可以分成 50÷6 = 8(组)余2(只) 于是,其中有四种颜色的灯泡各配8只,另两种颜色的灯泡各配9只。 例5今天是星期三,再过20天是星期几? 解今天是星期三,因为一个星期有7天,以星期一为星期的第一天计算,因已经过了3天。所以有 (20+3)÷7 = 3余2 即再过20天是星期二。 例6把4、7、18、2四个数填入下式的括号中。 ()÷() = ()余()
(完整)小学六年级数学计算题强化训练集
六年级数学计算训练(一) 分数: 1、直接写出结果(每题2分,共38分): 2.2+ 3.57= 1.125×8= 35×314 = 4-25 = 2÷1 2 = 1-16 -1 3 = 12 +13 = 3.25×4= 11 4 ×8+8×1 4 = 3.8+6.2= 8.1÷3×2= =?3311 5 568-198= 0.65÷1.3= =-3243 =÷831 =-?)6141(48 75×10%= =?+253 52 1. 用递等式计算,能简算的简算(每题6分,共48分) (1) 745185485+÷? (2) ]23)45.025.1[(4.3?+÷(3) 12 5 )731(35÷-? (4) 118)26134156(?-? (5) 138 7 131287÷+? (6) 89 ×[ 34 —( 716 —0.25)] (7)[1.9—1.9×(1.9—1.9)]+1.9 (8) 8× 317 ÷[1÷(31 5 -2.95)] 2. 3.求未知数x (每题7分,共14分) (1) 314341=+x x (2)9 32 :87:167=x
六年级数学计算训练(二) 分数 3. 一、直接写出得数。 (每题3分,共36分) 0.8×0.6= 0.9+99×0.9= 1÷2325 = 58 ×4 15 = 9÷3 7 = 5π= 7.2÷8×4= 3.25×4= 3.3-0.7= 13 +25 = 2-7 11 = 8π= 4. 二、解方程或比例。(每题5分,共15分) 14 ∶12=X ∶25 1.250.25 =X 1.6 5 X +3.25×4=17 5. 三、能简便计算的就简便计算。(每题4分,共48分) 158+32-43 (23 +215 )×45 3060÷15-2.5×1.04 6. (54+41)÷37+107 (5分) 61+43×3 2 ÷2 (98—274)÷271 4.67-(2.98+0.67) 46× 4544 20×(54+107-4 3) 136+137×13 30÷(43—83) 7 6×31÷149
小学数学解题思路巧解妙算大全2
【小学数学解题思路大全】巧解妙算(二) 1.特殊数题(1)21-12 当被减数和减数个位和十位上的数字(零除外)交叉相等时,其差为被减数与减数十位数字的差乘以9。 因为这样的两位数减法,最低起点是21-12,差为9,即(2-1)×9。减数增加1,其差也就相应地增加了一 个9,故31-13=(3-1)×9=18。减数从12—89,都可类推。 被减数和减数同时扩大(或缩小)十倍、百倍、千倍……,常数9也相应地扩大(或缩小)相同的倍数,其差不变。如 210-120=(2-1)×90=90, 0.65-0.56=(6-5)×0.09=0.09。 (2)31×51 个位数字都是1,十位数字的和小于10的两位数相乘,其积的前两位是十位数字的积,后两位是十位数字的 和同1连在一起的数。 若十位数字的和满10,进1。如 证明:(10a+1)(10b+1) =100ab+10a+10b+1 =100ab+10(a+b)+1 (3)26×86 42×62 个位数字相同,十位数字和是10的两位数相乘,十位数字的积与个位数字的和为积的前两位数,后两位是个 位数的积。若个位数的积是一位数,前面补0。 证明:(10a+c)(10b+c) =100ab+10c(a+b)+cc =100(ab+c)+cc (a+b=10)。 (4)17×19 十几乘以十几,任意一乘数与另一乘数的个位数之和乘以10,加个位数的积。 原式=(17+9)×10+7×9=323 证明:(10+a)(10+b) =100+10a+10b+ab =[(10+a)+b]×10+ab。 (5)63×69 十位数字相同,个位数字不同的两位数相乘,用一个乘数与另个乘数的个位数之和乘以十位数字,再乘以10,加个位数的积。 原式=(63+9)×6×10+3×9 =72×60+27=4347。 证明:(10a+c)(10a+d) =100aa+10ac+10ad+cd =10a[(10a+c)+d]+cd。 (6)83×87 十位数字相同,个位数字的和为10,用十位数字加1的和乘以十位数字的积为前两位数,后两位是个位数的 积。如 证明:(10a+c)(10a+d) =100aa+10a(c+d)+cd =100a(a+1)+cd(c+d=10)。
小学数学解题11种方法
小学数学是令很多孩子头疼的科目,其实,只要掌握了数学学习的方法和思维,学习过程就变得通透了。 多种数学思维解决问题 在小学数学解题方法中,运用概念、判断、推理来反映现实的思维过程,叫抽象思维,也叫逻辑思维。 抽象思维又分为:形式思维和辩证思维。客观现实有其相对稳定的一面,我们就可以采用形式思维的方式;客观存在也有其不断发展变化的一面,我们可以采用辩证思维的方式。形式思维是辩证思维的基础。 形式思维能力:分析、综合、比较、抽象、概括、判断、推理。 辩证思维能力:联系、发展变化、对立统一律、质量互变律、否定之否定律。 小学数学要培养孩子初步的抽象思维能力,重点突出在:
(1)思维品质上,应该具备思维的敏捷性、灵活性、联系性和创造性。 (2)思维方法上,应该学会有条有理,有根有据地思考。 (3)思维要求上,思路清晰,因果分明,言必有据,推理严密。 (4)思维训练上,应该要求:正确地运用概念,恰当地下判断,合乎逻辑地推理。1、对照法 如何正确地理解和运用数学概念?小学数学常用的方法就是对照法。根据数学题意,对照概念、性质、定律、法则、公式、名词、术语的含义和实质,依靠对数学知识的理解、记忆、辨识、再现、迁移来解题的方法叫做对照法。 这个方法的思维意义就在于,训练孩子对数学知识的正确理解、牢固记忆、准确辨识。例1:三个连续自然数的和是18,则这三个自然数从小到大分别是多少?
对照自然数的概念和连续自然数的性质可以知道:三个连续自然数和的平均数就是这三个连续自然数的中间那个数。 例2:判断题:能被2除尽的数一定是偶数。 这里要对照“除尽”和“偶数”这两个数学概念。只有这两个概念全理解了,才能做出正确判断。 2、公式法 运用定律、公式、规则、法则来解决问题的方法。它体现的是由一般到特殊的演绎思维。公式法简便、有效,也是孩子学习数学必须学会和掌握的一种方法。但一定要让孩子对公式、定律、规则、法则有一个正确而深刻的理解,并能准确运用。 例3:计算59×37+12×59+59 59×37+12×59+59
新苏教版小学六年级下册数学易错题集汇编
赵集中学六年级下册数学易错题集(2017/4/24) 学校__________ 班级_____ 姓名_______ 一、填空题 1、9÷( )= 18 ( ) =( ):36 = 0.75=( )% =( )折 2.沿着圆柱的高剪,侧面展开得到一个( ),它的一条边就等于圆柱的( ),另一条边就等于圆柱的( )。如果沿着圆柱的高剪,展开得到正方形,那么正方形边长等于圆柱的( )和( )。 3、某种盐水的含盐率是9 ℅,也就是在( )克水中放入9克盐。 4、一根长3米的圆柱形木料,平均截成4段后,表面积增加了12平方分米,原来这根木料的体积是( )立方分米。 5、把4∶15的前项加上2.4,要使比值不变,比的后项应加上( )。在比例里两个内项互为倒数,那么两个外项也( )。 6.在比例式 4 1 :31=32:24中,如果一个外项改成3,要使比例式仍然成立,另一个外项应改成( )。 7、一张精密零件图纸的比例尺是40:1,在图纸上量得零件的长是15厘米。这个零件实际长 ( )厘米。 8、有一只酒瓶子里装有480毫升的白酒,正着放酒水高20厘米,倒着放, 空5厘米。这只瓶子的容积是( )毫升。 9、在一个圆柱形的水桶里,垂直放入一段半径是2厘米的圆钢,如果把它完全放入水中,桶里的水就上升10厘米,如果把水中的圆钢露出水面6厘米, 那么,这时桶里的水就下降3厘米。这根圆钢的高是( )厘米,体积是( )立方厘米 10、一幅地图的比例尺 ,把这个比例尺改写成数值比例尺是( )。 11、有一块长24厘米、宽18厘米的长方形硬纸板,小明横着卷成一个圆柱,得到圆柱的体积是( )立方厘米,小华竖着也卷成一个圆柱,得到圆柱的体积是( )立方厘米。(圆周率取3进行计算) 12、甲数的58 等于乙数的1 2 ,甲数∶乙数=( )∶( )。 13.白兔的只数比黑兔少 6 1,白兔的只数是黑兔的( )( ) ,黑兔的只数是白兔的( ) ( ) , 黑兔的只数比白兔多( )( ) ,黑兔的只数占兔子总数的( ) ( ) 。 二、选择(共6分) 1、一张图纸长30厘米,张工程师打算把一个实际长度是2.1毫米的零件画到这张图纸上,可选
小学数学解题思路技巧(一、二年级用)-10
调整法趣谈 本系列贡献者:与你的缘[知识要点] 1.调整法的意义。 我们看下面的点子图: ●●●●●●● 图3-16 它一共有二组,一组有5个点子,另一组有两个点子,图中一共有多少个点子? 算式:5+2 = 7(个)。现在问:怎样改变点子图,来表示算式2+5呢?我们可用交换点子位置或移动点子位置来改变。如图所示: 这种通过交换点子位置或移动点子位置的操作过程,我们较做调整法。 2.调整法的用途,我们通过举例来说明。 [范例解析] 例1右面正方形方格中的数字,怎样移动才能使横行和竖行三个数相加的和相等? 分析我们可从图中观察到:竖行三数的和都是6,它们相等,打上“√”号,而横行三数的和都不相等,因此,要调整位置的是横行的数字。我们只要按照下面图3-19箭头所示进行交换调整,问题就得到解决。 说明凡是符合条件的横行或竖行打上“√”,可使问题一目了然,方便调整。 例2图中有“+”、“-”、“×”、“÷”四种运算符号。移动这些符号,使每行每列的四种符号不相同。
分析通过观察,发现3-20中只有从左数第二列符号与题目要求不同,因此我们先考虑列的情况,第一列多“+”号,缺“÷”号,而第三列多“÷”号缺“+”,如下图交换后,把符合条件的行与列打上“√”。 经过第一次交换后,图3-21中只有第一行和第二行以及第三列和第四列不符合条件,而第三列多“×”号,缺“-”号,第四列多“-”号,缺“×”号,只要再按如图3-22交换就完全符合条件。 说明较复杂的方阵游戏,多调整几次,是可解决问题的, 调整中不想走弯路,这就要靠智慧了。 例3把1~7这七个数填在图3-23中的小圆圈中,使每一 个圆周上四个数字的和都等于17。 分析此题有两种做法。 第一种做法:开始在小圆圈里任填1~7这七个数,并且两个大圆周上的四个数的和都不等于17。如图3-24的填法。 我们观察到,只要首先将2与7交换,就能使右边大圆周上四个数字的和等于17。 这时,左边大圆周上四个数的和是:1+3+7+4 = 15比17少2,要使右边圆周上的四个数字的和不变,只要4与6交换即可。 第二种做法:首先在1~7这7个数字中选四个数字, 并且四个数的和等于17。例如选(1+3+6+7 = 17) 1,3,6,7四数填在一个圆周上,其他三数任填在另 一圆周上的小圆圈里。如果另一圆周上四个数字之和不等于17,只要按前面调整的方法,只经过一此调整就行了。如图3-25所示。
小学数学50道经典应用题解题思路+模板
小学数学50道经典应用题解题思路+模板 1、已知一张桌子的价钱是一把椅子的10倍,又知一张桌子比一把椅子多288元,一张桌子和一把椅子各多少元? 解题思路: 由已知条件可知,一张桌子比一把椅子多的288元,正好是一把椅子价钱的(10-1)倍,由此可求得一把椅子的价钱。再根据椅子的价钱,就可求得一张桌子的价钱。 答题: 解:一把椅子的价钱: 288÷(10-1)=32(元) 一张桌子的价钱: 32×10=320(元) 答:一张桌子320元,一把椅子32元。 2、3箱苹果重45千克。一箱梨比一箱苹果多5千克,3箱梨重多少千克? 解题思路: 可先求出3箱梨比3箱苹果多的重量,再加上3箱苹果的重量,就是3箱梨的重量。 答题: 解:45+5×3=45+15=60(千克) 答:3箱梨重60千克。
3、甲乙二人从两地同时相对而行,经过4小时,在距离中点4千米处相遇。甲比乙速度快,甲每小时比乙快多少千米? 解题思路: 根据在距离中点4千米处相遇和甲比乙速度快,可知甲比乙多走4×2千米,又知经过4小时相遇。即可求甲比乙每小时快多少千米。答题: 解:4×2÷4=8÷4=2(千米) 答:甲每小时比乙快2千米。 4、李军和张强付同样多的钱买了同一种铅笔,李军要了13支,张强要了7支,李军又给张强0.6元钱。每支铅笔多少钱? 解题思路: 根据两人付同样多的钱买同一种铅笔和李军要了13支,张强要了7支,可知每人应该得(13+7)÷2支,而李军要了13支比应得的多了3支,因此又给张强0.6元钱,即可求每支铅笔的价钱。 答题: 解:0.6÷[13-(13+7)÷2]=0.6÷[13—20÷2]=0.6÷3=0.2(元)答:每支铅笔0.2元。 5、甲乙两辆客车上午8时同时从两个车站出发,相向而行,经过一段时间,两车同时到达一条河的两岸。由于河上的桥正在维修,车辆禁止通行,两车需交换乘客,然后按原路返回各自出发的车站,到站时已是下午2点。甲车每小时行40千米,乙车每小时行 45千米,两地相距多少千米?(交换乘客的时间略去不计)
小学数学解题方法解题技巧之设数法
小学数学解题方法解题 技巧之设数法 CKBOOD was revised in the early morning of December 17, 2020.
第一章小学数学解题方法解题技巧之设数法 当应用题中没有解题必需的具体的数量,并且已有数量间的关系很抽象时,如果假设题中有个具体的数量,或假设题中某个未知数的数量是单位1,题中数量之间的关系就会变得清晰明确,从而便于找到解答问题的方法,我们把这种解答应用题的方法叫做设数法。 实际上设数法是假设法中的一种方法,因为它的应用比较多,所以我们把它单列为一种解题方法。 在用设数法解答应用题设具体数量时,要注意两点:一是所设数量要尽量小一些;二是所设的数量要便于分析数量关系和计算。 (一)设具体数量 例1 一艘轮船从甲港开往乙港,去时顺水,每小时行驶30千米;返回时逆水,每小时行驶20千米。求这艘轮船往返的平均速度。(适于五年级程度) 解:甲、乙两港之间的路程没有给,要求往返的平均速度就比较困难。我们可以设甲、乙两港之间的路程为60千米(60是轮船往返速度30和20的最小公倍数)。
这样去时用的时间是: 60÷30=2(小时) 返回时用的时间是: 60÷20=3(小时) 往返一共用的时间是: 3+2=5(小时) 往返的平均速度是: 60×2÷5=24(千米/小时)综合算式: 60×2÷(60÷30+60÷20)=120÷(2+3) =120÷5
=24(千米/小时) 答略。 *例2光华小学中、高年级共有学生600名,如果中年级派出本年级人数 位“1”。假设高年级增加20名学生,这样中、高年级人数从原来的600名增加到: 600+20=620(名) 中年级人数是: 高年级的人数是: 600-320=280(人) 答略。例3 某人骑一辆自行车从甲地去乙地,每小时行15千米;从乙地回到甲地,每小时行10千米。求此人骑自行车往返甲、乙两地的平均速度。(适于六年级程度)解:题中缺少“甲、乙两地的距离”的具体数量。我们可以任意设一个数为甲、乙两地的路程。 如设30千米为甲、乙两地路程,这辆自行车往返甲、乙两地的平均速度是:
学生学习方法小学数学解题思路大全
1.想数码 例如,1989年“从小爱数学”邀请赛试题6:两个四位数相加,第一个四位数的每一个数码都不小于5,第二个四位数仅仅是第一个四位数的数码调换了位置。某同学的答数是16246。试问该同学的答数正确吗?(如果正确,请你写出这个四位数;如果不正确,请说明理由)。 思路一:易知两个四位数的四个数码之和相等,奇数+奇数=偶数,偶数+偶数=偶数,这两个四位数相加的和必为偶数。 相应位数两数码之和,个、十、百、千位分别是17、13、11、15。所以该同学的加法做错了。正确答案是 思路二:每个数码都不小于5,百位上两数码之和的11只有一种拆法5+6,另一个5只可能与8组成13,6只可能与9组成15。这样个位上的两个数码,8+9=16是不可能的。 不要把“数码调换了位置”误解为“数码顺序颠倒了位置。” 2.尾数法 例1比较 1222×1222和 1221×1223的大小。 由两式的尾数2×2=4,1×3=3,且4>3。 知 1222×1222>1221×1223 例2二数和是382,甲数的末位数是8,若将8去掉,两数相同。求这两个数。 由题意知两数的尾数和是12,乙数的末位和甲数的十位数字都是4。 由两数十位数字之和是8-1=7,知乙数的十位和甲数的百位数字都是3。 甲数是348,乙数是34。 例3请将下式中的字母换成适当的数字,使算式成立。 由3和a5乘积的尾数是1,知a5只能是7; 由3和a4乘积的尾数是7-2=5,知a4是5;……不难推出原式为 142857×3=428571。 3.从较大数想起 例如,从1~10的十个数中,每次取两个数,要使其和大于10,有多少种取法? 思路一:较大数不可能取5或比5小的数。 取6有6+5; 取7有7+4,7+5,7+6;
小学数学常用解题技巧(解几何题技巧)
小学数学常用解题技巧:解几何题技巧 解几何题技巧 1.等分图形 【均分整体】有些几何问题,只要把大图形均分为若干个小图形,就能找到问题的答案。 例如,下面两图中的正方形分别内接于同一个等腰直角三角形(内接指四个顶点全在三角形的边上)。已知左图(图4.11)中正方形面积为72平方厘米,求右图( 4.12)中正方形的面积。 由于左右两个三角形完全相同,我们不妨把这两个图形进行等分,看看这两个正方形分别与同一个等腰直角三角 形有什么样的关系。等分后的情况见图 4.13和图 4.14。 积是 图4.12的正方形面积是 【均分局部】有些几何问题,整体的均分不太方便,或不能够办到,这时可以考虑把它的局部去均分,然后从整 体上去观察,往往也能使问题获得解决。 例如图 4.15,在正方形ABCD中,画有甲、乙、丙三个小正方形。问:乙、丙面积之和与甲相比,哪一个大些? 大家由前面的“均分整体”已经知道,像甲、乙这样的两个正方形,面积不是相等的。如图 4.16,经过等分,正方形甲的面积等于△ABC面积的一半;正方形丙的面积等于△EDF的一半,正方形乙的面积等于梯形ACFE面积的一半。这样,一个大正方形ABCD,就划分成了三个局部:等腰直角△ABC;等腰梯形ACFE;等腰直角△EDF。其中甲、乙、丙的面积分别为各自所在图形的一半,而△EDF的面积加梯形ACFE的面积等于△ADC的面积,即等于△ABC的面积。所以,乙、丙面积之和等于甲的面积。
2.平移变换 【平移线段】有些几何问题,通过线段的上、下、左、右平移以后,能使问题很快地得到正确的解答。 例如,下面的两个图形(图 4.17和图4.18)的周长是否相等? 单凭眼睛观察,似乎图 4.18的周长比图 4.17的要长一些。但把有关线段平移以后,图 4.18就变成了图 4.19,其中的线段,有的上移,有的左移,有的右移,它可移成一个正方形。于是,不难发现两图周长是相等的。 【平移空白或阴影部分】有些求阴影部分或空白部分面积的几何题,采用平移空白部分或平移阴影部分的办法, 往往能化难为易,很快使问题求得解答。例如,计算图 4.20中阴影部分的面积。 圆面积”,然后相加,得整个阴影部分的面积。这显然是很费时费力的。但认真观察一下就会发现,图 4.20左半左上部的空白部分,与右半左上部的阴影部分大小一样,只需将右半左上部的阴影部分,平移到左半左上部的空白部分,所 有的阴影部分便构成一个正方形了(如图 4.21)。所以,阴影部分的面积很快就可求得为5×5=25。 又如,一块长30米,宽24米的草地,中间有两条宽2米的走道,把草地分为四块,求草地的面积(如图 4.22)。 这只要把丙向甲平移靠拢,把丁向乙平移靠拢,题目也就很快能解答出来了。(具体解法略) 3.旋转变换 【旋转成定角】例如下面的题目: “在图 4.23中,半径为8厘米的圆的内外各有一个正方形,圆内正方形顶点都在圆周上,圆外正方形四条边与圆 都只有一个接触点。问:“大正方形的面积比小正方形的面积大多少?”
小学数学解题思路技巧二年级用
找规律填数 本系列贡献者:与你的缘[知识要点] 1.数列填数; 2.阵图填数。 [范例解析] 例1找规律填出后面三个数: ⑴3,4,6,9,13,18,______,______,______; ⑵56,61,47,44,______,______,______; ⑶3,9,27,______,______,______; ⑷7,14,21,28,______,______,______; ⑸0,1,1,2,3,5,8,______,______,______。 解⑴这一列数,从第二个数开始,逐渐增大,那它是按什么规律变化的呢?我们仔细观察,第二个数4比第一个数3大1;第三个数比第二个数大2;第四个数比第三个数大3;第五个数比第四个数大4;第六个数比第五个数大5。如图3-1所示。 即是按照加1、加2、加3、加4、……的规律加下去。因此,应填24,31,39。 ⑵这一列数正好⑴相反,它们是逐渐减少。其中,第二个数51比第一个数56少5; 第三个数又比第二个数少4;第四个数比第三个数少3。如图3-2所示。 即是按照减5、减4、减3、……的规律减下去。因此,应填42,41,40。
⑶ 这一列数中,第二个数是第一个数的3倍;第三个数又是第二个数的3倍,如图3-3所示。 图3-3 即是按照前一个数扩大3倍,得后一个数的规律算下去。因此,应填81,243,729。 ⑷ 我们观察发现,这一列数中的第二个数是第一个数的2倍,第三个数又是第一个数的3倍,第四个数是第一个数的4倍,如图3-4所示。 即是按照把第一个数扩大2倍、3倍、4倍……的规律酸下去因此,应填35,42,49。 ⑸ 这一列数的变化规律较复杂一点,要仔细地观察。我们改变一下观察研究的顺序,即从8起往左看,可看出:8是3+5的和,5又是它的前两个数2+3的和,3则是1+2的和,2是1+1的和,1是0+1的和。如图3-5所示。 即是按照后一个数是前两个数的和的规律算下去。因此,应填13,21,34。 说明 在一列数中填数,关键是要找出这列数中各数之间的变化规律,按规律酸下去,才 能正确填才其中的缺数。 例2 你能把空缺的数填出来吗? 分析 我们发现,这已知的7个数字之间找不出它们的变化规律。因此,我们应该变换观 察的角度,即分单双位上的数考虑,这就将一列数分才人下的两列数: 前一 列数是按照后一个数是前一个数加1的规律算下去,因此,空缺数应填5。 说明 有时一列数是由两个有规律的数串混合组成的。在填空缺数时,应注意这一点。 例3 找规律,很快把图3-6 中小圆圈里的数填出来。
小学数学应用题解题技巧大全
小学数学应用题解题技巧大全 小升初应用题大全,可分为一般应用题与典型应用题。1归一问题 【含义】在解题时,先求出一份是多少(即单一量),然后以单一量为标准,求出所要求的数量。这类应用题叫做归一问题。【数量关系】总量÷份数=1份数量1份数量×所占份数=所求几份的数量另一总量÷(总量÷份数)=所求份数 【解题思路和方法】先求出单一量,以单一量为标准,求出所要求的数量。例1买5支铅笔要0.6元钱,买同样的铅笔16支,需要多少钱?解(1)买1支铅笔多少钱?0.6÷5=0.12(元) (2)买16支铅笔需要多少钱?0.12×16=1.92(元)列成综合算式0.6÷ =0.12(元) (2)买16支铅笔需要多少钱?0.12×16=1.92(元)列成综合算式0.6÷5×16=0.12×16=1.92(元)答:需要1.92元。例23台拖拉机3天耕地90公顷,照这 样计算,5台拖拉机6天耕地多少公顷?解(1)1台拖拉机1天耕地多少公顷?90÷3÷3=10(公顷)(2)5台拖拉机6天耕地多少公顷?10×5×6=300(公顷)列成综合算式90÷3÷3×5×6=10×30=300(公顷)答:5台拖拉机6天耕地300公顷。例35辆汽车4次可以运送100吨钢材,如果用同样的7辆汽车运送105吨钢材,需要运几次? 解(1)1辆汽车1次能运多少吨钢材?100÷5÷4=5(吨)(2)7辆汽车1次能运多少吨钢材?5×7=35(吨) (3)105吨钢材7辆汽车需要运几次?105÷35=3(次)列成综合算式105÷(100÷5÷4×7)=3(次)答:需要运3次。2归总问题【含义】解题时,常常先找出“总数量”,然后再根据其它条件算出所求的问题,叫归总问题。所谓“总数量”是指货物的总价、几小时(几天)的总工作量、 几公亩地上的总产量、几小时行的总路程等。【数量关系】1份数量×份数=总量总量÷1份数量=份数 总量÷另一份数=另一每份数量 【解题思路和方法】先求出总数量,再根据题意得出所求的数量。 例1服装厂原来做一套衣服用布3.2米,改进裁剪方法后,每套衣服用布2.8米。原来做791套衣服的布,现在可以做多少套? 解(1)这批布总共有多少米?3.2×791=2531.2(米)(2)现在可以做多少套?2531.2÷2.8=904(套)列成综合算式3.2×791÷2.8=904(套)答:
小学六年级经典难题-奥数题
1、某校参加数学竞赛的男生人数比女生人数的4倍少8人,比女生人数的3倍多24人,这个学校参加数学竞赛的男生有多少人?女生有多少人? 2、修一条长200米的水渠,已经修了80米,再修多少米刚好修了这条水渠的3/5? 3、一本书600页,第一天看了它的1/4,第二天看了它的2/5,两天一共看了多少页? 4、爱达花园小学向希望工程捐款,六(1)班捐的占六年级的1/3,六年级捐的占全校捐款的1/4,全校共捐款2400元,六(1)班捐了多少元?(用两种方法解答) 5、甲乙两地相距60千米,汽车从甲地开往乙地,当汽车超过全程中点10千米时,还剩下全程的几分之几? 6、学校去年植树120棵,今年植树的棵树比去年的3/4多5棵,今年植树多少棵?
7、学校今年植树120棵,比去年的3/5多5棵,去年植树多少棵? 8、一筐苹果,第一次卖出它的一半,第二次卖出的是第一次的4/5,还剩下这筐苹果的几分之几没有卖? 9、一个乒乓球从25米的高空下落,每次弹起的高度是下落高度的2/5,它第四次下落后又能弹起多少米? 10、一批加工服装的任务按4:5分配给甲、乙两个车间,实际甲车间生产了450套,超过分配任务的1/4。这批服装共有多少套? 11、某年七月份雨天是晴天的2/3,阴天是晴天的2/5,这个月晴天有几天? 12、商场有白、蓝、花布一共1380米,白、花布米数的比是5∶6,花布的米数是蓝布的3/2倍,三种布各有多少米?
13、三组同学采集树种,甲组、乙组、丙组的工作效率的比是5∶3∶4。甲组采集了15千克,乙组比丙组少采集多少千克? 14、甲数是乙数的3/5,丙数是甲数的2/3,丙数是乙数的几分之几? 15、每台拖拉机每小时耕地5/7公顷,8台拖拉机45分钟耕多少公顷? 16、一根绳子,第一次剪去它的1/2,第二次剪去剩下的1/3,第三次剪去又剩下的1/4,剩下的绳子是原来的几分之几? 17、一种混凝土的水泥、黄沙和石子的比是2∶3∶5,如果有3/4吨的水泥搅拌混凝土,需要黄沙和石子个多少吨。 18、小红8天读一本书的2/5,剩下的准备6天读完,平均每天读这本书的几分之几?
小学数学解题思路技巧(一、二年级用)-12.
复杂的变式游戏 本系列贡献者:与你的缘[知识要点] 1.用火柴棒组成计算器显示数字; 2.用“去”、“添”、“移”进行组数游戏和变式游戏。 [范例解析] 例1如“”是由4根火柴棒组成的计算器显示的数字,你能用不同的火柴棒组成0~9各个数字吗? 解二根四根五根六根七根 图4-3 例2用20根火柴组成以下各数: ⑴组成一个三位数,最大的是_______,最小的是_______; ⑵组成一个四位数,最大的是_______,最小的是_______。 分析三位数中最大的是999,但组成一个9只需要6根火柴,三个9共用18根火柴,按题目要求,还有两根火柴没用,要加火柴,就要变数,8是用七根火柴组成,故有两个9要变成8,要保持最大,只能是十位和个位上两个9变成8,因此,最大是988,同样的道理,可得出三位数中最小是688,四位数中最大是9991,最小是1000。 解⑴最大是:(20根火柴)
最小是:(20根火柴) ⑵ 由解⑴的分析,可得出⑵的结果如下: 最大是:(20根火柴) 最小是: (20根火柴) 说明 此例是组数游戏,完成这样的游戏,不但要求学生掌握数字、数位、位数及比较数的大小方法等数学基础知识和基本技能,而且还要求认真分析、合理计算、严密推理、灵活摆布、否则是无法下手的。 在游戏时,可以改变所给火柴根数,改变组数要求 。 例3 移动两根火柴使等式成立: 分析 1985与61是绝对不相等的,要使它们成等式,只有把一边去掉火柴二根,移到适当的位置变成运算符号,成一个等式。我们观察发现,19-8-5 = 6,正好将右边的“1”(二根火柴)去掉,移到左边的8前,5前成“—”号。 解 例4 移动一根、二根、三根、四根火柴,使等式成立,各有多少种移法? 解 移一根: 移二根: 移三根:
小学六年级数学详细计算题强化训练集
运算定律练习题 (1)乘法交换律:a×b=b×a (2)乘法结合律:(a×b)×c=a×(b×c) 38×25×4 42×125×8 (25×125)×(8×4) 49×4×5 38×125×8×3 (125×25)×4 5 ×289×2 (125×12)×8 125×(12×4) (2) 乘法交换律和结合律的变化练习 125×64 44×25 125×24 25×28 (3)加法交换律:a+b=b+a (4)加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c) 357+288+143 158+395+105 167+289+33 129+235+171+165 378+527+73 169+78+22 58+39+42+61 138+293+62+107 (5)乘法分配律:(a+b)×c=a×c+b×c (6)正用练习 (80+4)×25 (20+4)×25 (125+17)×8 25×(40+4)15×(20+3) (5)乘法分配律正用的变化练习: 36×3 25×41 39×101 125×88 201×24 (6)乘法分配律反用的练习: 34×72+34×28 35×37+65×37 85×82+85×18 25×97+25×3 76×25+25×24 (7)乘法分配律反用的变化练习: 38×29+38 75×299+75 64×199+64 35×68+68+68×64 (8)其他的一些简便运算。☆思考题:
800÷25 6000÷125 3600÷8÷5 58×101-58 74×99 【思路导航】在除法里,被除数和除数同时乘或除以一个相同的数,商不变。 325÷25 =(325×4)÷(25×4) =1300÷100 =13 【练一练1】 (1)450÷25 (2)525÷25 (3)3500÷125 (4)10000÷625 (5)49500÷900 (6)9000÷225 【经典例题二】计算25×125×4×8 【思路导航】如果先把25与4相乘,可以得到100,同时把125与8相乘,可以得到1000;再把100和1000相乘就可以了。运用了乘法交换律和结合律。 25×125×4×8 =(25×4)×(125×8) =100×1000 =100000 【练一练2】 (1)125×15×8×4 (2)25×24 (3)125×16 (4)75×16 (5)125×25×32 (6)25×5×64×125 【经典例题三】计算: (1)125×34+125×66 (2)43×11+43×36+43×52+43 【思路导航】利用乘法分配律来计算这两题 (1)125×34+125×66 (2)43×11+43×36+43×52+43 =125×(34+66)=43×(11+36+52+1) =125×100 =43×100 =12500 =4300 【练一练3】计算下面各题: (1)125×64+125×36 (2)64×45+64×71-64×16 (3)21×73+26×21+21 【经典例题四】计算 (1)(360+108)÷36 (2)1÷2+3÷2+5÷2+7÷2 【思路导航】两个数的和、差除以一个数,可以用这个数分别去除这两个数,再求出两个商的和(差)。利用这一性质,可以使计算简便。 (1)(360+108)÷36 (2)1÷2+3÷2+5÷2+7÷2 =360÷36+108÷36 =(1+3+5+7)÷2 =10+3 =16÷2 =13 =8 【练一练4】(1)(720+96)÷24 (2)(4500-90)÷45 (3)6342÷21
小学数学解题思路技巧
余数的妙用 本系列贡献者:[知识要点] 1.被除数=除数×商+余数; 2.余数要比除数小; 3.会解有余数除法的应用题。 [范例解析] 例1如图1-1。把14个乒乓球平均分给三个班,每班分得几个?还余下几个? 解14÷3 = 4余2 每班分得4个还余2个。 例2下面三个竖式,哪个对?哪个不对?为什么不对? 解第一个竖式不对,它的余数8比除数5还大,还可商1,即商应为8; 第二个竖式也不对,因商和除数的积不能大于被除数; 第三个竖式是对的,余数3小于除数5。 说明计算有余数的除法,余数一定要比除数小。这时被除数、除数、商和余数的关系是: 被除数= 除数×商+余数 被除数-余数= 除数×商 例3把11、12、13、14、15、16、17分别除以3时,各得哪些余数?
解11÷3 = 3余2;12÷3 = 4余0;13÷3 = 4余1;14÷3 = 4余2; 15÷3 = 5余0;16÷3 = 5余1;17÷3 = 5余2。 说明一串连续数除以同一个数,因为它们的余数小于除数,所以余数重复出现。 “余数”在我们生活中还有不少的用处呢! 例4国庆节挂彩灯,用六种颜色的灯泡,按红、黄、蓝、白、绿、紫的次序装配,总共要装50只灯,每种颜色的灯泡各需要多少只? 解可以这样想,六种颜色的灯泡作为一组,50只灯泡可以分成 50÷6 = 8(组)余2(只) 于是,其中有四种颜色的灯泡各配8只,另两种颜色的灯泡各配9只。 例5今天是星期三,再过20天是星期几? 解今天是星期三,因为一个星期有7天,以星期一为星期的第一天计算,因已经过了3天。所以有 (20+3)÷7 = 3余2 即再过20天是星期二。 例6把4、7、18、2四个数填入下式的括号中。 ()÷()= ()余() 分析第一个括号是被除数,它必须填最大的一个数18。其次,除数比余数要大,因此,第二个括号中的数必须比最后一个括号中的数要大,但是7×4大于18,所以最后一个括号中只能填数4。即题中式子填数如下: (18 )÷(7 )= (2 )余(4 )
小学数学解题方法解题技巧之数的大小比较
第一章小学数学解题方法解题技巧之数的大小比较【分数、小数大小比较】 (全国第二届“华杯赛”决赛口试试题) 讲析:这两个分数如果按通分的方法比较大小,计算将非常复杂。于是可采用比较其倒数的办法去解答。倒数大的数反而较小。 个数是______。 (1992年全国小学数学奥林匹克决赛试题) 讲析:将给出的六个数分别写成小数,并且都写出小数点后面前四位数,则把这六个数按从大到小排列是:
【算式值的大小比较】 例1 设A=9876543×3456789; B=9876544×3456788。 试比较A与B的大小。 (1990年《小学生数学报》小学数学竞赛试题) 讲析:可将A、B两式中的第一个因数和第二个因数分别进行比较。这时,只要把两式中某一部分变成相同的数,再比较不同的数的大小,这两个算式的大小便能较容易地看出来了。于是可得 A =9876543×(3456788+1) =9876543×3456788+9876543; B =(9876543+1)×3456788 =9876543×3456788+3456788; 所以,A>B。 例2 在下面四个算式中,最大的得数是算式______。
(1992年全国小学数学奥林匹克决赛试题) 讲析:如果直接把四个算式的值计算出来,显然是很麻烦的,我们不妨运用化简繁分数的方法,比较每式中相同位置上的数的大小。 比较上面四个算式的结果,可得出最大的得数是算式(3)。 例3 图5.1中有两个红色的正方形和两个蓝色正方形,它们的面积 问:红色的两个正方形面积大还是蓝色的两个正方形面积大? (全国第四届“华杯赛”决赛口试试题) 讲析:
人教版小学六年级数学易错计算题集锦
小学六年级易错计算题集锦 1.庆祝“六一“节,学校扎了红花180朵,黄花234朵,白花360朵,把这些花扎成三色的花束,所有的花束里的红花朵数相同,黄花朵数相同,百花朵数相同,至多扎几束花正好把花用完?每束中的红花,黄花,白花各几朵? 2.从运动场一端到另一端全长96米,每隔4米插一面红旗,现在要改成每隔6米插一面红旗,问有多少面红旗不必拔去? 3.师徒两人做零件,师傅每小时做36个,徒弟每小时做28个。徒弟做8小时后,师傅才开始和徒弟一起做。师傅做多少小时后与徒弟做的零件一样多? 4.某路桥公司承担张营村公路加宽硬化工程,甲工程队单独做需要15天,乙工程队单独做需要10天。甲,乙两队合作5天后,因连续大雨,另一条道路被冲毁,公司需要抽调一个工程队参加抢修会战。你认为应抽那个工程队?说出理由。留下的工程队还需要几天才能吧这项工程做完 5. 机械厂要生产一批零件,厂长把生产任务交给甲车间。甲车同主任说:“我们二十天刚好可以完成任务。”甲车间生产了5天后厂长接到客户的电话,要求7天后提货,厂长尽可能满足客户的要求,于是把剩下的生产任务交给乙车间。乙车间主任说:“这些任务我们可能在7天内完成,需要12天才能完成。厂长说:”那你们与甲车间共同来完成这些任务。”甲乙两车间能不能在7天内完成剩下的生产任务? 6,。一本故事书有320页,第一天看了3/8第二天看了1/5,第三天应从第几页看? 7.有25吨大米,第一天卖出1/4吨,第二天卖出余下的1/4,第两天共出多少吨? 8. 要修一条公路,第一天修10分之3千米,第二天修5分之2千米,第三天修的恰好是前两天的6分之5,三天一共修多少千米?
小学数学应用题解题思路及方法
小学数学应用题解题思路及方法30类典型应用题: 1、归一问题 【含义】在解题时,先求出一份是多少(即单一量),然后以单一量为标准,求出所要求的数量。这类应用题叫做归一问题。 【数量关系】 总量÷份数=1份数量1份数量×所占份数=所求几份的数量另一总量÷(总量÷份数)=所求份数 【解题思路和方法】先求出单一量,以单一量为标准,求出所要求的数量。 1、买5支铅笔要0.6元钱,买同样的铅笔16支,需要多少元 2、3台拖拉机3天耕地90公顷,照这样计算,5台拖拉机6 天耕地多少公顷? 3、5辆汽车4次可以运送100吨钢材,如果用同样的7辆汽车运送105吨钢材,需要运几次? 2、归总问题 【含义】解题时,常常先找出“总数量”,然后再根据其它条件算出所求的问题,叫归总问题。所谓“总数量”是指货物的总价、几小时(几天)的总工作量、几公亩地上的总产量、几小时行的总路程等。 【数量关系】 1份数量×份数=总量 总量÷1份数量=份数 总量÷另一份数=另一每份数量 【解题思路和方法】先求出总数量,再根据题意得出所求的数量。 4、服装厂原来做一套衣服用布3.2米,改进裁剪方法后,每套衣服用布2.8米。原来做791套衣服的布,现在可以做多少套? 5、小华每天读24页书,12天读完了《红岩》一书。小明每天读36页书,几天可以读完《红岩》? 6、食堂运来一批蔬菜,原计划每天吃50千克,30天慢慢消费完这批蔬菜。后来根据大家的意见,每天比原计划多吃10千克,这批蔬菜可以吃多少天? 3、和差问题【含义】已知两个数量的和与差,求这两个数量各是多少,这类应用题叫和差问题。 【数量关系】 大数=(和+差)÷2 小数=(和-差)÷2 【解题思路和方法】 简单的题目可以直接套用公式;复杂的题目变通后再用公式。