奇异积分算子交换子的一个加权估计
加权Morrey-Herz空间上极大交换子的估计
2010年8月第16卷第3期安庆师范学院学报(自然科学版)J o ur nal o f A nqi n0T eac her s C ol lege(N at u r al Sci ence Edi t ion)A ug．2010V O I．16N o．3加权M or r ey—H er z空间上极大交换子的估计康金强，刘国华(安徽师范大学数学计算机科学学院，安徽芜湖241003)擒要：本文在加权M or r ey--H er z空闯上讨论了有B M O函数与极大算子生成的交换予的有界性．关■词：交换子-M or re y--H er z空间；极大算子#B M O函数中圈分类号：0174．2文献标识码t A文章缩号：1007—4260(2010)03—0012一050引言及主要结果近年来，交换子得到了广泛的重视与研究，并取得了丰硕的成果。
文献[1]给出了极大算子交换子在M or r ey--H er z空间上的有界性。
受此启发，本文证明了极大算子交换子在加权M or r ey—H er z空间上的有界性。
首先介绍一些记号与定义，设埘是R”上的权函数且1≤P<∞。
加权的Lebesgue空间L’(cI，)定义为L’(叫)={厂s I l，(z)o p(。
)=(I D，．I，(z)I Pa,(x)dx)i<。
}对k∈Z，记B t一{z∈R”z z I≤2‘}，A。
=B。
＼B卜l且‰一Z A t，其中Z^．表示A I上的特征函数。
记百1+争=1，万1十71=1，6(z)在球B，的平均值为6BJ=rh．f。
，6(z)dx。
在本文中c表示大于0的常数，但在不同的地方可能不同。
定义1c2]设∞是非负局部可积函数，M是H ar dy—L i t t l e w ood极大算子。
若存在一个常数C，使得’j‰(z)≤已(z)a．e．z∈R4则称∞为A。
权，记为叫∈A，。
定义2c3]设b∈B M O，M是H ar dy—L i t t t l ew ood极大算子。
带粗糙核的多线性奇异积分算子在加权Herz空间上的有界性
安庆 师 范学院 学报 （自然科 学版 ）
Ｊ ｕ ｌ ｆ ｎ ｉ ｅ ｃ ｅ Ｃｏｌｇ （ ｔｒｌ ｃ ｎｅ Ｅ ｉ ｎ ｏ ｍａ ｑｎ Ｔ ａ ｈ ｍ ｌ ｅ Ｎａｕａ Ｓ ｉ ｃ ｄｔ ） ｏＡ ｇ ｅ ｅ ｉ ｏ
Ｓｅ ｔ２ １ ｐ．０ ２
则 易知 ： 的核 可表示 为 ：
， ； ，√＋， ） ； …√一 ｇ ； … 。 。 √）
（） ５
（） ６
Ｋ 。 ，ｌ … ， １ ＋， ， ，＝Ｋ（ｊＹ ， ， ｌ 乃＋， ， （ ） ， 一， ， ， １ … Ｙ ） ｙ ，ｌ … 一， ， １ … Ｙ ）
ｉ＝ １ … ， ＝０，， ， 有 ： ， ｍ， １ … ｍ， Ｊ （ ， ， ， ’’ ，１ … ， ≤ ，ｌ … ， ）一 ， ， “ （ ， ， Ｙ ）Ｊ ，
咖 （
其 中 ，ｔ ≤ｌ —Ｙ Ｉ ２ 。
） ＋
等
（ ８ ）
（） ９
假定 Ｈ ： ｚ 假定存在算子｛ 。 Ｂ ｝ 其核 ６ Ｙ 满足条件（ ）（）并存在核 霹（， 一Ｙ ） ， （ ） ３ ，４ ， Ｙ ， 可表示
（， ， （ ） （ ｇ ） 】 ｄ ｄ ｘ 一ｙ Ｙ ・ ）（ ｄ … ｙ ｘ ｙ ｍ １・ ｙ
（） ７
， ， … ｇ∈Ｓ Ｒ ） ｎ ｓｐｆ ｎ ｓｐｇ＝ ， （ 且 ｐ ｐ 则存在函数 ∈Ｃ Ｒ 且 ｓｐ ￣ ∈ ［ ，］对 ８＞０ ｕ ￣ ｕ （ ） ｕｐｂ 一１ １ ， ，
Ｒｒ （ ） ， Ｒ
（） １
其 中 ， √ ｇ ∈ Ｓ Ｒ ）且 ｎ ｓｐｆ ｎ ｓｐ ｇ ＝ ， Ｙ ， ， ∈ （ ｛ ＝Ｙ … ， （ ｕ ｐｊ ｕ ｐ ，。… Ｙ Ｒ ）’＼ 。＝ … ＝） ｝ ，
极大高阶交换子的端点估计
收稿 日期： ０ ００ — ２ 修订 日期： ０ １ １—８ ２ １ —９２ ； ２ １ — １１
Ｅ— ａ ｌ ｍ ｉ：ｑｉ ｏｄ ｎ１ ０１ １ ３．ｏ ａ ａ ０ ＠ ６ ｃｍ
基金项 目：国家 自 然科学基金 （１７ ０２ 和 哈尔滨师范大学博士项 目资助 １０ １５）
ＮＯ２ ．
乔 丹等 ：极 大 高阶交 换子 的端 点估 计
交 换子 ［ Ｔ 的一个 自然 的推 广为 ｂ ］ ，
ｆｘ ＝ ／ （ 一６ ） （ ）（ ｄ （） ６ ） （ ） —ｙｆｙ ｙ （ ）
Ｒ忆
其 中 ｍ ∈Ｎ， 称这些交 换子 为高 阶交换子 ． 注意到 ｍ ＝０ 时，霹 ＝Ｔ就是 Ｃ ｌｅ ｎＺｇ ｎ ａ ｒ —ｙｍｕｄ ｄ６ 奇异积 分算 子 ，有
：ｆ ＞ ｃ￣ Ｉｌ ｌ ） Ｉ（ Ｉ 。 ｆ （ ｏ Ｔ ￣ ｌ Ｔ）＋＋ ｂ ｌ （１ ｇ ｙ
满足如下不等式
Ｌ ： ， ｛Ｒ ｍ ｙ￣ （ ｅ
且
Ｉ。 ｌ ｂ ｌ ￣
（ｌ ） １ｏ ＋＋ ｇ
在 （ （ ＜Ｐ＜ （） Ｒ ）１ ２ 上有界 ． Ｏ
关键词：极大高阶交换子；奇异积分算子 ；双倍 Ｙｏ ｎ ｕ ｇ函数．
Ｍ Ｒ（０ ０ ２ ０ ）主题分类 ： ２ ２； ７ ４ 中图分类号：０ ７． 文献标识码 ： ４Ｂ ０ ４Ｂ ７ １７ ６ Ａ 文章编号 ： ０ ３ ９８２ １）２ ２—６ １０— ９ （ ２０— ０１ ３ ０ ３
θ型Calderón-Zygmund算子交换子的CBMO估计
θ型Calderón-Zygmund算子交换子的CBMO估计
程培松
【期刊名称】《新疆大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2009(026)002
【摘要】讨论了满足一定条件的θ型Calderón-Zygmund奇异积分与CBMO函数生成的交换子在日HAbp空间及Herz型Hardy空间上的有界性.
【总页数】6页(P164-169)
【作者】程培松
【作者单位】新疆大学数学与系统科学学院,新疆,乌鲁木齐,830046
【正文语种】中文
【中图分类】O174.2
【相关文献】
1.一类多线性Calderón-Zygmund算子交换子的估计 [J], 王光庆;周疆
2.Calderón-Zygmund型算子及其交换子的sharp极大函数估计 [J], 林燕
3.强奇异Calderón-Zygmund算子的交换子的双权BMO估计 [J], 李倩丽;毛素珍;陈冬香
4.多线性强奇异Calderón-Zygmund算子的多线性迭代交换子的Sharp极大和加权估计 [J], 林燕; 韩妍妍
5.带Dini核的多线性Calderón-Zygmund算子及其交换子的一些估计 [J], 赵毅春;周疆
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南京大学学报数学半年刊
周 娟， 侯兴华， 朱月萍 （１） １８
、 ， ｛
第 ２期
带非线性 Ｎ ｕ ｎ 边值 的热方程的爆破 （ ｅｍａ ｎ 英文） ＬＲ Ｃ ｏｓ — ｒｓ ｄ积的 Ｍａｃｋ 定理 （ ｅ ｓｈｅ 英文） 弱群缠绕结构与弱 Ｈ ｐ 群 （ 代数 （ ｏｆ 余） 英文） 交换 环上上三角矩 阵的乘法 自同构 （ 英文） Ｂ ｎｃ ａ ａｈ空间中非 Ｌｐｃｉ ｉ ｉ ｈ ｚ ｎ一般半群的非线性遍历定理 （ ｓ ｔａ 英文）
Ｔｈ ｉｔ ｎ ｅ ｏ ｒｏ ｉ ｏ ｕｔｏ ｓ ｏ ａ ｓ ｏ ｉ ｅ ｅ ｔａ ｌｙ Ｅｑ ａ ｉ ｎ ｙ Ｅｓ ｉ ｔｎ ｅ Ｅｘ ｓ ｅ ｃ ｆＰｅ ｉ ｄ ｃ Ｓ ｌ ｉ ｎ ｆａ Ｃｌ ｓ ｆＤ ｆ ｒ ｎ ｉ ｌＤｅａ ｕ ｔｏ ｓ ｂ ｔ ｍａ ｉ ｇ
Ｍａｌ ｎ ｅ ｓ ｖ Ｉｄ ｘ… ． ．… ．．… ． ． ． ．．… ． ．．… … ． ｅ ｇＲ ｎ ｏ … ． ．． … … … ．． ． ．． Ｃｈ ｎ ｏ ｇ＆ ＸｕＺ ｏ ｇ ｉｇ（） ｈ ｎ ｂｎ ８
Ｄｉｇ ｎａ ｏ ｓ ｄ Ｐｒ ｄｕ ｔ ｖ ｒＷ ｅ ｋ Ｈｏ ｆＡｌｅ ｒ ｎ ｅｒＳ ｍ ｉｉ ｐ ｉｉｙ ａ ｏ ｌＣｒ ｓｅ ｏ ｃｓｏ ｅ ａ — ｐ ｇ ｂ ａ ａ ｄ Ｔｈ ｉ ｅ ｓｍ ｌ ｔ ｓ ｃ
… ． ． ． ． … ． … ． ． … … ． … ． ． ． ． ． … ． … … ． … ． ． ． ． ． ． … ． ．
Ｃ ｅｇ ｕ ｎ ｕ ｈｎ ａ ｇｏ＆ Ｗａ ｇ ｈ ａ ｈｎ （６ Ｑ ｎ ｕｎ ｏ ｇ １） Ｓ
Ｇ ｌ ｂ ｌＨｏ ｏ ｏ ｐ ｉ ｍ ｎ ｈ ｉｔ ｎ ｅ ｏ ｏ ｕ ｉ ｎ ｏ ｒｏ ｉ ａ ｌ ｒ ｕ ｂｅ ｎ ｅ ｖ ｔｖ ｏ ａ ｍｅ ｍ ｒ ｈ ｓ ａ ｄ ｔ ｅ Ｅｘ ｓ ｅ ｃ ｆＳ ｌ ｔｏ ｓ ｆ ｒ Ｐｅ ｉ ｄ ｃ ｌ Ｐｅ ｔ ｒ ｄ Ｃｏ ｓ ｒ ａ ｉ ｅ ｙ
齐型空间上带非光滑核的奇异积分算子的极大交换子的有界性
１ 相 关 定 义
近 年来 奇异 积分 算子及 其 交换子 得 到 了广 泛 的研 究 ， 并取 得 了丰硕 的成果 ， 自文 献 ［ １ ］的作 者 给出带 非
光滑核的奇异积分算子的定义以来 ， 许多学者对带非光滑核的奇异积分算子及交换子做 了大量的研究 ， ２ ０ ０ ３ 年文献［ ２ ］ 的作者证明了带非光滑核的奇异积分算子 Ｔ与Ｂ ＭＯ 函数生成的交换子在齐型空间上是有界的， 最近文献 ［ ３ ］ 的作者对带光滑核 的奇异积分算子 Ｔ与 Ｂ ＭＯ 函数生成的极大交换子在齐型空间上做出了加
引用格式 ： 王永艳 ， 束字 ． 齐型空间上带非光滑核的奇异积分算子 的极大交换子的有界性 ［ Ｊ ］ ． 自 然科学版 ： 安徽 师范大学学报 ， ２ ０ １ ３ ， ３ ６ （ ３ ） ： ２ １ ６
—
２ ２ １ ．
３ ６卷第 ３期
王永艳 ， 束 字 ： 齐型空 间上 带非光滑核的奇异 积分算子 的极大交换子 的有 界性
第３ ６卷 ３期
２ ０１ ３ 年 ５月
安徽 师范 大 学学报 （ 自然科学版 ） Ｊ ｏ ｕ ｍ￣ ｏ ｆ Ａ ｎ ｈ ｕ ｉ Ｎｏ ｒ ｍａ ｌ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ（ Ｎａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ）
Ｖｏ １ ． ３ ６ Ｎｏ． ３ Ｍａ ｖ． ２０ １ ３
齐型 空 间上 带 非 光 滑核 的奇 异 积分 算 子 的 极大 交换 子 的Leabharlann 界 性 王永 艳 ， 束
（ １ ． 安徽师范大学 数学计算机科学学院 ， 安徽 芜湖
宇２
２ ４ １ ０ ０ ３ ； ２ ． 安徽商贸职业技 术学 院 经 济贸易系 ， 安徽 芜湖 ２ ４ １ ０ ０ ２ ）
Theta(t)型奇异积分算子在Banach空间值上的加权有界性
文章 编 号 ： ２ ５７ ９ （ ０ ７ ０ —６ ７Ｏ ０ ５ — ７ ７ ２ ０ ） ６ ０ ８ 一８
１ 引 言
对 于奇 异积分算 子有界性 的研究 ， 已经取得 了丰硕 的成果 ， 尤其 是随着 一些空 间的分解 理论的建立 ， 使得 它们 在这些 空间上 的有界性 问题 得到解 决． 但对 于彭 立 中和 Ｙ ｂ ｔ 分 别 ａ ｕａ 在文献［ ］ ［ ］ ７ 和 ８ 中引进 的 （） Ｃ ｌｅｂ — ｙ ｍｕ ｄ算 子 的研究 相对 少 一 些 ， 们 引进 这 ｔ型 ａｄ ｒｎＺ ｇ ｎ 他 类算 子是有其 较深刻 的微分方 程背景 的． 我们在 文献Ｅ ｉ ［ ］ ［ ］ ｌ 、 ２ 、３ 通过 对这类算 子的一些 研 究 可以看到它 要相对复 杂一些 ， 对于加权 的情形 有 些是 有一 定难 度 的 ； 于其 在 Ｂ ｎ ｃ 对 ａ ａｈ空 间值 上 的有界 性 问题 讨论 更少 ， 因之 一是 Ｂ ｎ ｃ 原 ａ ａｈ空间不 完全 具备 通 常 的实空 间 的好性 质， 因此研究过 程必然要 复杂一些 ． 我们 曾在［ ］ １ ］ ２ 和［４ 中得 到过几个有 界性 的结论 ， 这里 我 们将 主要对满足某 种条件 的 Ｂ ｎ ｃ 的加权情 形进 行研 究 ， 过 比较精 细 的讨论 ， 到 了 ａ ａｈ值 经 得
Ｊ Ｒ
定 义 Ｂ ａ ａｈ值 Ｈａｄ Ｂ ｎ ｃ ｒｙ空间 Ｈｈ ） （ 定义为 ：
Ｈ （ ） ｛ ∈Ｌ（ ） ｆ ｈ 一 ｆ ： 一∑ ， ｌ ｌ 。， ∑ ＜。）
竿 ｌ ＝ ｌ
其中ａ均为Ｂ值 子， 数 义为 ｌ ｌ 一ｉ｛ Ｊ Ｊ 原 且范 定 ＪＪ 厂 ｎ∑ ） ｆ ．
带非光滑核的多线性奇异积分算子的有界性
ｊ ｘＹ一 （，）ｘ Ｃ， ∈Ｒ ． Ｋ（，） ＹＩ ２ Ｙ ｄ
具有 核 Ｉｔ ，） （（ Ｙ 且满足 ｘ
（） 存在 叵等逼 近 ”｛ ， ＞０ 使得 ２ ｔｔ ｝
Ｉ ｔ ， Ｉ ｃｔ 。 Ｘ—Ｙ ｃｔ／， Ｉ （ ） ４一／，ｌ （Ｘ ｌ ３ ｌ ｘＹ 一Ｋｔ ， ｌ ｃｔ ｘ一 一 一 ， ｆ Ｃｔ／， Ｋ（，） （ ） ４ ／Ｉ ｌ Ｘ—Ｙ ｘ Ｊ ３
其 中 ｓ为正 的有界 递减 函数 且满 足：对 某 个 Ｅ ０ 有 ＞ ，
ｌ ｎ ｅ ｆ ｉ ｒ ＋ ｓ ｒ ）＝ ０ ａ ｒ ．
定义 ２ 称线性 算 子 Ｔ 为带 非光 滑 核 的奇 异积 分算 子 ，如 果 在 。Ｒ ） （ 上有 界 ，且
存在 核 Ｋ（， ） ｘ Ｙ 使得
数学物理学报
ｈ ｔ ： ａｔｍｓ ｐ ａ ． ｔｐ／ ｃａ ． ｍ． ｃ ／ ｗｉ ｃｎ
带非光滑核的多线性奇异积分算子 的有界性
刘 岚 拮
（ 沙理工大学数学系 长沙 ４ ０ ７ ） 长 １０ ７
摘要 ： 该文对带非光滑核的多线性奇异积分算子建立了 ｓ ａｐ函数估计，作为应用，得到了该 ｈｒ 多线性奇异积分算子 的 Ｌ （ １＜Ｐ＜。 ）范数 不等式。 。 关键词：多线性算子；奇 异积分算子； Ｓ ａｐ函数估计； Ｂ ｈｒ ＭＯ 空间．
ｓ ｕ ｐ Ｑ Ｉ
古『 ｂ ｆＩ－Ｉ ６ Ｑ， 。） ｄ （
其中 均 ＝ｆ Ｑｒ
ｂｘｄ ．由文献 ［ １］有 （）ｘ ９ ６， ，
（ 罂 。 ｃ， ） ／（ Ｉ ≈ Ｉ ｄ ｂ ｙ
ｌ —ｂ Ｍ ＣｋｂＢ Ｏ ｋ １ Ｉ ２ＱＩ Ｏ ｂ ｌ Ｂ ＨｌＭ ， ． Ｉ 称函数 ｂ属于 Ｂ ＭＯ（ ， Ｒ ）如果 ６ 孝属 于 Ｌｔ ｅ ｏ ｄ极大 算子 ，即 ｉｌ ｏ ｔｗ （ ）且 令 ｌｌＭ ， ｊｌ ｏ＝ Ｉ＃ｌ。 Ｂ ６ Ｉ 。 ｂ Ｊ ．令 Ｍ 为 Ｈａｄ— Ｌ ｒｙ