量子力学第三章讲解
第三章 力学量用算符表达 §3.1 算符的运算规则 一、算符的定义: 算符代表对波函数进行某种运算或变换的符号。 ?Au v = 表示?把函数u 变成 v , ?就是这种变换的算符。 为强调算符的特点,常常在算符的符号上方加一个“^”号。但在不会引起误解的地方,也常把“^”略去。 二、算符的一般特性 1、线性算符 满足如下运算规律的算符?,称为线性算符 11221122 ???()A c c c A c A ψψψψ+=+ 其中c 1, c 2是任意复常数,ψ1, ψ2是任意两个波函数。 例如:动量算符?p i =-?, 单位算符I 是线性算符。 2、算符相等 若两个算符?、?B 对体系的任何波函数ψ的运算结果都相同,即??A B ψψ=,则算符?和算符?B 相等记为??A B =。 3、算符之和 若两个算符?、?B 对体系的任何波函数ψ有:?????()A B A B C ψψψψ+=+=,则???A B C +=称为算符之和。 ????A B B A +=+,??????()()A B C A B C ++=++ 4、算符之积 算符?与?B 之积,记为??AB ,定义为 ????()()AB A B ψψ=?C ψ= ψ是任意波函数。一般来说算符之积不满足交换律,即????AB BA ≠。 5、对易关系 若????AB BA ≠,则称?与?B 不对易。 若A B B A ????=,则称?与?B 对易。 若算符满足????AB BA =-, 则称?A 和?B 反对易。 例如:算符x , ?x p i x ?=-?不对易
证明:(1) ?()x xp x i x ψψ?=-?i x x ψ?=-? (2) ?()x p x i x x ψψ?=-?i i x x ψψ?=--? 显然二者结果不相等,所以: ??x x xp p x ≠ ??()x x xp p x i ψψ-= 因为ψ是体系的任意波函数,所以 ??x x xp p x i -= 对易关系 同理可证其它坐标算符与共轭动量满足 ??y y yp p y i - =,??z z zp p z i -= 但是坐标算符与其非共轭动量对易,各动量之间相互对易。 ??0??0y y z z xp p x xp p x -=??-=?,??0??0x x z z yp p y yp p y -=??-=?,??0??0x x y y zp p z zp p z -=???-=?? ????0x y y x p p p p -=,????0y z z y p p p p -=,????0z x x z p p p p -= ????0xy yx -=,????0y z z y p p p p -=,????0z x x z p p p p -= 写成通式(概括起来): ??x p p x i αββααβδ-= (1) ????0x x x x αββα-= ????0p p p p αββα-= 其中,,,x y z αβ=或1,2,3 量子力学中最基本的对易关系。 注意:当?与?B 对易,?B 与?对易,不能推知?与?对易与否。 6、对易括号(对易式) 为了表述简洁,运算便利和研究量子力学与经典力学的关系,人们定义了对易括号: ??????[,]A B AB BA ≡- 这样一来,坐标和动量的对易关系可改写成如下形式: ?[,]x p i αβαβδ= 不难证明对易括号满足下列代数恒等式: 1) ????[,][,]A B B A =- 2) ???????[,][,][,]A B C A B A C +=+ 3) ?????????[,][,][,]A BC B A C A B C =+ ,?????????[,][,][,]AB C A B C A C B =+,]?,?[]?,?[B A k B k A = 4) ?????????[,[,]][,[,]][,[,]]0A B C B C A C A B ++= ——称为 Jacobi 恒等式。
普通化学课件 北大 卞江教授 第一章
北京大学化学学院 2006级
“这里要根绝一切犹豫, “Qui si convien lasciare ogni sospetto, Ogni这里任何怯懦都无济于事。” viltà convien che qui sia morta.”
普通化学
Dante (1265-1321) 但丁 Divine 《神曲》地狱篇,第三歌 Comedy, Inferno, Canto III
Introduction, General Chemistry, CCME, Peking University. 2006
Jiang Bian
绪 论
1. 2. 3. 4. 5. 6.
1. 什么是化学?
7. 如何在大学获得成功? 8. 如何学好普通化学? 9. 科学方法论 10. 科学计算:有效数字 11. 关于我们的课程
什么是化学? 为什么要学习化学? 化学简史:从黑色魔 术到科学 化学王国的版图 化学的理论支柱 化学:面向未来
基本定义: “化学是研究物质的性质、组成、结构和化学变化及 其能量变化的规律的科学” 简单定义: “化学是一门关于变化的科学。”
Introduction, General Chemistry, CCME, Peking University. 2006
Jiang Bian
Introduction, General Chemistry, CCME, Peking University. 2006
Jiang Bian
2. 为什么要学习化学?(1)
为什么要学习化学?(2)
化学是我们认识自然的重要途径 化学是一项智力挑战 化学与人类社会的发展息息相关 化学是生动的和激动人心的
化学:一门中心科学
Introduction, General Chemistry, CCME, Peking University. 2006 Jiang Bian Introduction, General Chemistry, CCME, Peking University. 2006 Jiang Bian
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量子力学辅导材料
(一) 单项选择题 1.能量为100ev 的自由电子的De Broglie 波长是 A. 1.2A 0. B. 1.5A 0. C. 2.1A 0. D. 2.5A 0 . 2. 能量为0.1ev 的自由中子的De Broglie 波长是 A.1.3A 0. B. 0.9A 0. C. 0.5A 0. D. 1.8A 0 . 3. 能量为0.1ev ,质量为1g 的质点的De Broglie 波长是 A.1.4A 0 . B.1.9?1012 -A 0 . C.1.17?10 12 -A 0. D. 2.0A 0 . 4.温度T=1k 时,具有动能E k T B = 3 2 (k B 为Boltzeman 常数)的氦原子的De Broglie 波长是 A.8A 0 . B. 5.6A 0 . C. 10A 0 . D. 12.6A 0 . 5.用Bohr-Sommerfeld 的量子化条件得到的一维谐振子的能量为( ,2,1,0=n ) A.E n n = ω. B.E n n =+()1 2 ω. C.E n n =+()1 ω. D.E n n =2 ω. 6.在0k 附近,钠的价电子的能量为3ev ,其De Broglie 波长是 A.5.2A 0. B. 7.1A 0. C. 8.4A 0. D. 9.4A 0 . 7.钾的脱出功是2ev ,当波长为3500A 0 的紫外线照射到钾金属表面时,光电子的最大能量为 A. 0.25?1018-J. B. 1.25?1018-J. C. 0.25?1016-J. D. 1.25?1016-J. 8.当氢原子放出一个具有频率ω的光子,反冲时由于它把能量传递给原子而产生的频率改变为 A. 2μc . B. 22μc . C. 22 2μc . D. 2 2μc . https://www.360docs.net/doc/b216230792.html,pton 效应证实了 A.电子具有波动性. B. 光具有波动性. C.光具有粒子性. D. 电子具有粒子性. 10.Davisson 和Germer 的实验证实了 A. 电子具有波动性. B. 光具有波动性. C. 光具有粒子性. D. 电子具有粒子性. 11.粒子在一维无限深势阱U x x a x x a (),,,=<<∞≤≥???000 中运动,设粒子的状态由ψπ()sin x C x a = 描写,其归一化常数C 为 A. 1a . B.2a . C.12a . D.4 a . 12. 设ψδ()()x x =,在dx x x +-范围内找到粒子的几率为 A.δ()x . B.δ()x dx . C.δ2()x . D.δ2()x dx .
北京大学量子力学期末试题
量子力学习题(三年级用) 北京大学物理学院 二O O三年
第一章 绪论 1、计算下列情况的Broglie d e -波长,指出那种情况要用量子力学处理: (1)能量为eV .0250的慢中子 () 克2410671-?=μ .n ;被铀吸收; (2)能量为a MeV 的5粒子穿过原子克2410646-?=μ.a ; (3)飞行速度为100米/秒,质量为40克的子弹。 2、两个光子在一定条件下可以转化为正、负电子对,如果两光子的能量相等,问要实现这种转化,光子的波长最大是多少? 3、利用Broglie d e -关系,及园形轨道为各波长的整数倍,给出氢原子能量 可能值。
第二章 波函数与波动力学 1、设()() 为常数a Ae x x a 222 1 -= ? (1)求归一化常数 (2).?p ?,x x == 2、求ikr ikr e r e r -=?=?1121和的几率流密度。 3、若() ,Be e A kx kx -+=? 求其几率流密度,你从结果中能得到什么样的结 论?(其中k 为实数) 4、一维运动的粒子处于 ()? ? ?<>=?λ-0 00x x Axe x x 的状态,其中,0>λ求归一化系数A 和粒子动量的几率分布函数。 5、证明:从单粒子的薛定谔方程得出的粒子的速度场是非旋的,即求证 0=υ?? 其中ρ= υ/j 6、一维自由运动粒子,在0=t 时,波函数为 ()()x ,x δ=?0 求: ?)t ,x (=?2
第三章 一维定态问题 1、粒子处于位场 ()00 0000 ??? ?≥?=V x V x V 中,求:E >0V 时的透射系数和反射系数(粒子由右向左运动) 2、一粒子在一维势场 ?? ???>∞≤≤<∞=0 000x a x x V ) x ( 中运动。 (1)求粒子的能级和对应的波函数; (2)若粒子处于)x (n ?态,证明:,/a x 2= () .n a x x ?? ? ??π-=-2222 6112 3、若在x 轴的有限区域,有一位势,在区域外的波函数为 如 D S A S B D S A S C 22211211+=+= 这即“出射”波和“入射”波之间的关系,
北京大学量子力学期末试题12页
量 子 力 学 习 题 (三年级用) 北京大学物理学院 二O O 三年 第一章 绪论 1、计算下列情况的Broglie de -波长,指出那种情况要用量子力学处理: (1)能量为eV .0250的慢中子( ) 克24 10 671-?=μ.n ;被铀吸收; (2)能量为a MeV 的5粒子穿过原子克24 10 646-?=μ.a ; (3)飞行速度为100米/秒,质量为40克的子弹。 2、两个光子在一定条件下可以转化为正、负电子对,如果两光子的能量相等,问要实现这种转化,光子的波长最大是多少? 3、利用Broglie de -关系,及园形轨道为各波长的整数倍,给出氢原子能量可能值。 第二章 波函数与波动力学 1、设()() 为常数a Ae x x a 222 1 -= ? (1)求归一化常数 (2).?p ?,x x == 2、求ikr ikr e r e r -=?=?1121和的几率流密度。 3、若( ) ,Be e A kx kx -+=?求其几率流密度,你从结果中能得到什么样 的结论?(其中k 为实数) 4、一维运动的粒子处于 的状态,其中,0>λ求归一化系数A 和粒子动量的几率分布函数。
5、证明:从单粒子的薛定谔方程得出的粒子的速度场是非旋的,即求证 其中ρ=/ 6、一维自由运动粒子,在0=t 时,波函数为 求:?) t ,x (=?2 第三章 一维定态问题 1、粒子处于位场 中,求:E >0V 时的透射系数和反射系数(粒子由右向左运动) 2、一粒子在一维势场 中运动。 (1)求粒子的能级和对应的波函数; (2)若粒子处于)x (n ?态,证明:,/a x 2= 3、若在x 轴的有限区域,有一位势,在区域外的波函数为 如 D S A S B D S A S C 22211211+=+= 这即“出射”波和“入射”波之间的关系, 证明:0 1 1222112112 22 2 21 212211 =+=+=+**S S S S S S S S 这表明S 是么正矩阵 4、试求在半壁无限高位垒中粒子的束缚态能级和波函数 5、求粒子在下列位场中运动的能级 6、粒子以动能E 入射,受到双δ势垒作用
北京大学 真题量子力学
北京大学2003——2012学年 量子力学 考研真题 与原子物理试题答案 可能会有用的公式: 薛定谔方程: ?H i t ψψ?=? 一维定态薛定谔方程:()()()2 2 2 2d V x x E x m dx ψψ??-+= ??? 动量算符: ?p i x ?=? 高斯积分: 2 x e dx α∞ --∞ = ? 一。[30分]一维无限深方势阱: 质量为 m 的粒子在一维无限深方势阱中运动,势阱可表示为: ()()0;0,;0,x a V x x x a ∈??=?∞<>?? 1。[10分]求解能量本征值 n E 和归一化的本征函数()n x ψ; 2。[5分]若已知 0t =时,该粒子状态为:()) 12,0()()x x x ψψψ= +,求t 时刻该粒子的波函数; 3。[5分]求 t 时刻测量到粒子的能量分别为1E 和2E 的几率是多少? 4。[10分]求t 时刻粒子的平均能量E 和平均位置x 。 解:1)[10分]
222 22n n n x a n E ma πψπ???=? ??????=?? 2)[5分] ()(),n iE t n n x t x e ψψ- = 时刻的波函数:( )1212,()()iE t iE t x t x e x e ψψψ--? ?=+?? 3)[5分] t 时刻测量到粒子的能量为1E 的几率是:()() 2 11 ,,2 x t x t ψψ= 时刻测量到粒子的能量为2E 的几率是:()() 2 21,,2 x t x t ψψ= 4)[10分] 平均能量:()()()()22122 5?,,,,24E E E x t E x t x t i x t t ma πψψψψ+?====? 平均位置: ()()()12216,,cos 29E E t a a x x t x x t ψψπ-??== - ??? 二。[30分]一维线性谐振子: 质量为m 的粒子在一维线性谐振子势:22 ()2 m x V x ω= 中运动。按占有数表象,哈密顿可写为: ( ) ? 12 H a a ω=+ 。这里 ?a 是湮灭算符, ? ?a 是产生算符: ?i a x p m i a x p m ωω??=+??? ?? ? ?=-???? 已知一维线性谐振子基态波函数为: 1。[10分]利用产生算符性质: ()()?01?a x x ψψ=,求线性谐振子第一激发态在坐标表象下的波函数:()1x ψ;(()1 2 42 0m x m x e ωωψπ-??= ??? ) 2。[10分]假设粒子处在基态()0x ψ,突然改变一维线性谐振子的“振动频率”为2ωω'=,粒子新的基态能是多少?新的基态波函数是 什么?
北京大学量子力学复习提纲
北京大学量子力学复习提纲 第一章 绪论 1.德布罗意关系, E h νω== (1) h p n k λ == (2) 2.微观粒子的波粒二象性. 3. 电子被V 伏电压加速,则电子的德布罗意波长为 12.25 h A λ=≈ (3) 第二章 波函数和薛定谔方程 1.波函数的统计解释: 波函数在空间某一点的强度()2 ,r t ψ和在该处找到粒子的几率成正比,描写粒子的波是几率波. 其中2 w * =ψψ=ψ代表几率密度. 2.态叠加原理: 如果1ψ和2ψ是体系的可能状态,那么它们的线性叠加 1122c c ψ=ψ+ψ,也是体系的一个可能状态. 3. 薛定谔方程和定态薛定谔方程
薛定谔方程 ()(),?,r t i H r t t ?ψ=ψ? (4) 定态薛定谔方程 ()()?H r E r ψ=ψ (5) 其中 ()2 2?2H U r μ =-?+ (6) 为哈密顿算符,又称为能量算符, 4. 波函数的标准条件: 有限性,连续性(包括ψ及其一阶导数)和单值性. 5. 波函数的归一化, 1d τ* ∞ ψψ=? (9) 6.求解一维薛定谔方程的几个例子. 一维无限深势阱及其变种, 一维线性谐振子; 势垒贯穿. 第三章 量子力学中的力学量 1. 坐标算符, 动量算符及角动量算符;构成量子力学力学量的法则; 2. 本征值方程,本征值,本征函数的概念 ?F ψλψ= (10)
3. 厄密算符的定义,性质及与力学量的关系. ?F dx ψφ* =? ()?F dx ψφ* ? (11) 实数性: 厄密算符的本征值是实数. 正交性: 厄密算符的属于不同本征值的两个本征函数 相互正交. 完全性: 厄密算符?F 的本征函数()n x φ和()x λφ组成完全系, 即任一函数()x ψ可以按()n x φ和()x λφ展开为级数: ()()()n n n x c x c x d λλψφφλ = +∑? (12) 展开系数: ()()n n c x x dx φ ψ*=?, (13) ()()c x x dx λλφψ* =?. (14) 2 n c 是在()x ψ 态中测量力学量F 得到n λ的几率, 2 c d λλ是在()x ψ态中测量力学量F ,得到测量结果在λ 到d λλ+范围内的几率. 4. 2?L 和?Z L 算符的本征值方程,本征值和本征函数. ()22?1L l l ψψ=+, ?z L m ψψ= 本征函数 (),lm Y θφ.