可交换矩阵的几个充要条件及其性质

可交换矩阵的几个充要条件及其性质 在高等代数中,矩阵是一个重要的内容.由矩阵的理论可知,矩阵的乘法不同于数的乘法,矩阵的乘法不满足交换律,即当矩AB有意义时,矩阵BA未必有意义,即使AB,BA都有意义时它们也不一定相等.但是当A,B满足一定条件是,就有BAAB,此时也称A与B是可交换的,可交换矩阵有许多良好的性质,本文主要研究矩阵可交换的几个条件及其常见的性质.本文矩阵均指n阶实方阵.

§1 矩阵可交换成立的几个充分条件 定理1.1(1)设A,B至少有一个为零矩阵,则A,B可交换; (2)设A,B至少有一个为单位矩阵,则A,B可交换; (3)设A,B至少有一个为数量矩阵,则A,B可交换; (4)设A,B均为对角矩阵,则A,B可交换; (5)设A,B均为准对角矩阵,则A,B可交换; (6)设*A是A的伴随矩阵,则A与*A可交换; (7)设A可逆,则A与1A可交换; (8)设EAB,则A,B可交换. 证 (1)对任意矩阵A,均有OAAO,O表示零距阵,所以A,B至少有一个为零矩阵时,A,B可交换; (2)对任意矩阵A,均有EAAE,E表示单位矩阵，所以A,B至少有一个为单位矩阵时,A,B可交换; (3)对任意矩阵A,均有AkEkEA)()(,k为任意实数,则)(kE为数量矩阵,所以A,B

至少有一个为数量矩阵时,A,B可交换; (4),(5)显然成立; (6)AAEAAA**,所以矩阵A与其伴随矩阵可交换;

(7)AAEAA11,所以矩阵A与其逆矩阵可交换; (8)当EAB时,A,B均可逆,且互为逆矩阵,所以根据(7)可知A,B可交换.

定理1.2(1)设BAAB,其中,为非零实数, 则A,B可交换, (2)设EABAm,其中m为正整数,为非零实数,则A,B可交换. 证 (1)由BAAB可得EEBEA))((,即EEBEA))((

1

,故

依定理1.1(8)得EEAEB))((1

,于是EEBABA,所以

ABBABA;

(2)由EABAm得EBAAm)(1,故依定理1.1(8)得EABAm)(1,于是EBAAm,所以可得BAAB.

定理1.3(1)设A可逆,若OAB或ABA或BAA,则A,B可交换; (2)设A,B均可逆,若对任意实数k,均有BkEAA)(,则A,B可交换. 证 (1)若OAB,由A可逆得OABABAAB

)()(11

,从而OBA,故BAAB;

若ABA,同理可得EABABAAB

)()(11

,故BAAB;

若BAA,则EABAAABB

11

)()(,故BAAB.

(2)因A,B均可逆,故由BkEAA)(得kEA可逆,且AkEAB1)(,则

,))(())((])[()(])[(])[(''1''''1'''''1'''''1'''ABkEAkEAABkEAkAAABkEAAkEABAkEABkEABA

两边取转置可得BAAB.或由 ,)(])[()()()()(])[(])[(111112111111111ABkEAAkEABkEAkAABkEAAkEABAkEABkEABA

两边取逆可得BAAB. §2 矩阵可交换成立的几个充要条件 定理2.1下列均是A,B可交换的充要条件: (1)***)(BAAB; (2)''')(BAAB; (3)))(())((22BABABABABA; (4)2222)(BABABA. 证 (1))因为***

)(BAAB,两边同时取伴随矩阵可得BAAB;

)因为BAAB,两边同时取伴随矩阵可得***)(BAAB; (2))因为''')(BAAB,两边取转置可得BAAB; )因为BAAB,两边取转置可得''')(BAAB; (3))因为22))((BBAABABABA,))((22BABABA, 所以BAAB; 同理由22

))((BBAABABABA,可证BAAB,

)因为BAAB,且22))((BBAABABABA, 所以))((

22

BABABA;

同理由22))((BBAABABABA,可证))((22

BABABA;

(4))因为222)(BBAABABA,又由条件知2222)(BABABA,所以BAAB; )因为BAAB,222)(BBAABABA,所以2222)(BABABA;

定理2.2可逆矩阵A,B可交换的充要条件是111)(BAAB. 证 )因为111)(

BAAB,两边取逆可得BAAB;

)因为BAAB,两边取逆可得111)(BAAB;

定理2.3(1)设A,B均为(反)对称矩阵,则A,B可交换的充要条件是AB为对称矩阵; (2)设A,B有一个为对称矩阵,另一个为反对称矩阵,则A,B可交换的充要条件是AB为反对称矩阵. 证 (1)设A,B均为对称矩阵,由定理2.1(2)ABBAAB

'''

)(,因此AB为对称矩

阵; 若A,B均为反对称矩阵,则ABBABAAB))(()(

'''

,因此AB也为对称矩阵.

(2)若A,B中有一个为对称矩阵,不妨设A为对称矩阵,则B为反对称矩阵,则,)()('''ABBABAAB 因此AB为反对称矩阵.

定理2.4设A,B均为对称正定矩阵,则A,B可交换的充要条件是AB为对称正定矩阵. 证 充分性由定理2.3(1)可得,下面证明必要性. 因A,B为对称正定矩阵,故有可逆矩阵P,Q,使'

PPA,'QQB,于是

''QQPPAB,'''1))((QPQPABPP

所以ABPP1为对称正定矩阵,其特征值全为正数.而AB与ABPP1相似,从而AB的特征值也全为正数,因此AB为对称正定矩阵.

§3 可交换矩阵的一些性质 定义3.1 (1)幂等矩阵:若A为矩阵,且AA2,则A幂等矩阵.

(2)幂零矩阵:若A为矩阵,且)(*ZkOAk,则A为幂零距阵. (3)幂幺矩阵:若A为矩阵,且EAk,E为单位矩阵,则A为幂幺矩阵.

性质3.1设A,B可交换,则有: (1)))(B()B)((1-m211-m21BABAABAABABAmmmmmm; (2)nkkknknnBACBA0)((矩阵二项式定理). (3)ABABmm,kkkBAAB)(,llBABA,其中lkm,,都是正整数; (4)ABfBAf)()(,其中)(Bf是B的多项式,即A与B的多项式可交换; 证 (1)对m用数学归纳法可证得. 当1m时,明显成立. 假设当km时,有 ),)((121kkkkkBBAABABA 下证当1km时结论也成立.

),)(())()(())()(())((1121121111BABBAABABBAABABBAABABABBAABABAkkkkkkkkkkkkkk



故对一切正整数m,结论成立. (2)用数学归纳法 当1n时,BABABA

111

)(,结论成立.

假设当kn时,有 ,C)(11-kk11kkkkkkBABBACABA 下面证当1kn时结论也成立.由BAAB得ijji

ABBA,于是

,)(C)1())(C()()()(111ik1111-kk111kiikikkkkkkkkkkkBBACBACABABABBACABABABA

而ikikikCikikikiikikkikikikikCC11)!1(!)!1()!1(!!)1(!)!1()!1(!)!(!!

.

所以11k1111C)(kkkkkkk

BABBACABA.

故对一切正整数n,二项式定理成立. （3）由BAAB可得