直线与抛物线复习教师版
3.3.3直线与抛物线的位置关系课件(人教版)
3.3.3直线与抛物线的位置关系
学习目标
掌握抛物线的几何性质. 会判断直线与抛物线的位置关系.
准备好了吗？一起去探索吧！
抛物线的几何性质.
重点
难点
弦长公式的求解. 判断直线与抛物线的位置关系.
提问
探究一 抛物线的方程与性质
斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y2 4x 的焦点 F， 且与抛物线相交于 A,B 两点，求线段 AB 的长？
在前面椭圆，双曲线的学习中，我们也遇到过类似的直线与椭圆、 双曲线相交的问题，回忆一下是如何解决的？ 对于这道题你有什么解题思路？
解答方法一
将直线与抛物线联立为方程组，求出两个交点 A,B， 然后利用两点间的距离公式求 AB 的长.
解法一：可求得直线的方程为 y x 1，
yx1
联立直线的方程与抛物线的方程 y2 4 x ，整理得 x2 6x 1 0 ，
∵ M (2，y0 ) 在直线上，∴ y0 2 ，
AB
1 k 2 x2 x1
5
42
4
4 22
2
15 .
探究二 直线和抛物线的位置关系
（1） 设直线 l : y kx b ，抛物线 y2 2 p（x p 0），
ykxb
直线与抛物线交点的个数等价于方程组 y2 2 px 解的组数， 也等价于方程 ky2 2 py 2bp 0解的个数
a.当 k 0 时，若 0 ，则直线和抛物线相交，有两个公共点； 若 =0 ，则直线和抛物线相切，有一个公共点； 若 0 ，则直线和抛物线相离，无公共点.
b. 当 k=0 时，直线y=b与抛物线 y2 2 p（x p 0）相交， 有一个公共点.特别的，当直线l的斜率不存在时， 设 l : x m ，则当 m 0 时，l与抛物线相交，有两个公共点. 则当 m 0 时，l与抛物线相切，有一个公共点. 则当 m 0 时，l与抛物线相离，无公共点.
抛 物 线(二)复习课件
答案
9 4
解析 作AA1⊥l，BB1⊥l，设|BF|＝m， 过点B作BC⊥AA1于C， 由抛物线的定义知|AA1|＝2m，|BB1|＝m， 在△ABC中，|AC|＝m，|AB|＝3m， ∴kAB＝2 2，
直线AB的方程为y＝2 2(x－1)， 与抛物线方程联立，消去y得 2x2－5x＋2＝0， ∴AB的中点到准线的距离为 x1＋x2 9 2 ＋1＝4.
答案 0或1 解析
y＝kx＋2， 联立 2 得k2x2＋(4k－8)x＋4＝0，若k＝0， y ＝8x，
则满足题意；若k≠0，则Δ＝0，即64－64k＝0，解得k＝1，因 此当直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点时，k＝0 或1.
6．(2017· 广州模拟)已知以F为焦点的抛物线y2＝4x上的两点 → ＝2 FB → ，则弦AB的中点到抛物线准线的距离为 A，B满足 AF ________．
答案 解析 B 抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1.根
)
B．8 D．6
据抛物线定义，可得|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝ 8.故选B.
4．(2017· 豫晋冀三省一调)设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线 为l，P是抛物线上一点，若直线PF的倾斜角为120°，则|PF|等 于( ) A．2 C．3 8 B.3 10 D. 3
授 人 以 渔
题型一
点，求实数a的值．
直线与抛物线的位置关系
已知直线y＝(a＋1)x－1与曲线y2＝ax恰有一个公共
【解析】
y＝（a＋1）x－1， 联立方程 2 y ＝ax.
x＝1， (1)当a＝0时，此方程组恰有一组解 y＝0.
a＋1 2 (2)当a≠0，消去x，得 a y －y－1＝0.
第7节 第2课时 直线与抛物线的位置关系--2025年高考数学复习讲义及练习解析
第2课时直线与抛物线的位置关系课标解读考向预测1.会判断直线与抛物线的位置关系.2.会求直线与抛物线相交所得的弦长.3.能解决与抛物线的切线相关的简单几何问题.从近几年高考来看，直线与圆锥曲线的综合问题是高考考查的重点，高考试题中加大了思维能力的考查，以及二级结论的考查，减少了对复杂运算的考查．预计2025年高考对直线与抛物线综合问题考查的难度会增加，平时应注意二级结论的应用.必备知识——强基础1．直线与抛物线的位置关系(1)直线与抛物线的三种位置关系(2)设直线l ：y ＝kx ＋m ，抛物线：y 2＝2px (p >0)，将直线方程与抛物线方程联立，整理成关于x 的方程k 2x 2＋(2km －2p )x ＋m 2＝0.①若k ≠0，当Δ>0时，直线与抛物线04相交，有05两个交点；当Δ＝0时，直线与抛物线06相切，有07一个交点；当Δ<0时，直线与抛物线08相离，09无交点．②若k ＝0，直线与抛物线10只有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合．因此，直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的11必要不充分条件．2．弦长问题设直线与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2·（x1＋x2）2－4x1x2或|AB|＝1＋1k2|y1－y2|＝1＋1k2·（y1＋y2）2－4y1y2(k为直线的斜率，k≠0)．3．抛物线的焦点弦问题若MN为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦(过焦点的弦)，则焦点弦长为|MN|＝12x1＋x2＋p(x1，x2分别为M，N的横坐标)．设过抛物线焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则四种标准方程形式下的弦长公式如下表．标准方程弦长公式y2＝2px(p>0)|AB|＝x1＋x2＋py2＝－2px(p>0)|AB|＝p－(x1＋x2)x2＝2py(p>0)|AB|＝y1＋y2＋px2＝－2py(p>0)|AB|＝p－(y1＋y2)4.抛物线的切线(1)过抛物线y2＝2px(p>0)上的点P(x1，y1)的切线方程是y1y＝p(x＋x1)．(2)抛物线y2＝2px(p>0)的斜率为k的切线方程是y＝kx＋p2k(k≠0)．抛物线焦点弦的几个常用结论设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2＝p24，y1y2＝－p2；(2)若A在第一象限，B在第四象限，则|AF|＝p1－cosα，|BF|＝p1＋cosα，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2α(α为弦AB的倾斜角)；(3)1 |FA|＋1|FB|＝2p；(4)以弦AB为直径的圆与准线相切；(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切；(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上；(7)通径：过焦点与对称轴垂直的弦，长度为2p；(8)过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点．设直线l1的倾斜角为α，则|AB |＝2psin 2α，|DE |＝2psin ＝2p cos 2α.1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 到准线l 的距离为2，则过点A (－1，0)恰有2条直线与抛物线C 有且只有一个公共点．()(2)已知过抛物线C ：y 2＝x 的焦点F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，若直线l 垂直于x 轴，则|AB |＝1.()(3)在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 的倾斜角为60°且经过点F .若l 与C 交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则x 1x 2＝2.()答案(1)×(2)√(3)×2．小题热身(1)(人教A 选择性必修第一册3.3例4改编)斜率为3的直线过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则|AB |＝()A ．83B ．163C ．5D ．33答案B解析由题意得，抛物线的焦点为F (1，0)，直线AB 的方程为y ＝3(x －1)．＝3（x －1），2＝4x ，得3x 2－10x ＋3＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝103，所以|AB |＝x 1＋x 2＋2＝163.(2)(人教A 选择性必修第一册习题3.3T12改编)过定点P (0，1)且与抛物线y 2＝8x 有且仅有一个公共点的直线有________条．答案3解析当斜率不存在时，直线方程为x ＝0，只有一个公共点，符合题意；当斜率存在时，设直线方程为y ＝kx ＋1，＝kx ＋1，2＝8x ，得k 2x 2＋(2k －8)x ＋1＝0，当k ＝0时，直线方程为y＝1，只有一个公共点，符合题意；当k ≠0时，令Δ＝(2k －8)2－4k 2＝0，解得k ＝2，即直线与抛物线有一个公共点，符合题意．所以满足题意的直线有3条．(3)过点P (4，－3)作抛物线y ＝14x 2的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为________________．答案2x －y ＋3＝0解析设切点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，又y ′＝12x ，则切线PA 的方程为y －y 1＝12x 1(x －x 1)，即y ＝12x 1x －y 1，同理，切线PB 的方程为y ＝12x 2x －y 2，由P (4，－3)是PA ，PB 的交点可知，－3＝2x 1－y 1，－3＝2x 2－y 2，由两点确定一条直线，可得过A ，B 的直线方程为－3＝2x －y ，即2x －y ＋3＝0.(4)(2024·山东济南模拟)已知A ，B 为抛物线C ：x 2＝4y 上的两点，M (－1，2)，若AM →＝MB →，则直线AB 的方程为________________．答案x ＋2y －3＝0解析由题意知点M (－1，2)在抛物线内，且M (－1，2)是线段AB 的中点，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2，21＝4y 1，22＝4y 2，两式相减得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝4(y 1－y 2)，即k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 24＝－12，则直线AB 的方程为y －2＝－12(x ＋1)，即x ＋2y －3＝0.＋2y －3＝0，2＝4y ，消去y ，得x 2＋2x －6＝0，Δ＝22－4×(－6)＞0，故斜率为－12符合题意．因此直线AB 的方程为x ＋2y－3＝0.考点探究——提素养考点一抛物线的切线例1(1)过抛物线x 2＝4y 上一点(4，4)的抛物线的切线方程为()A ．2x －y －4＝0B ．2x ＋y －4＝0C ．x －2y ＋4＝0D ．x ＋2y ＋4＝0答案A解析解法一：设切线方程为y －4＝k (x －4)．－4＝k （x －4），2＝4y⇒x 2＝4(kx －4k ＋4)⇒x 2－4kx ＋16(k －1)＝0，由Δ＝(－4k )2－4×16(k －1)＝0，得k 2－4k ＋4＝0.∴k ＝2.故切线方程为y －4＝2(x －4)，即2x －y －4＝0.解法二：由x 2＝4y ，得y ＝x 24，∴y ′＝x 2.∴y ′|x ＝4＝42＝2.∴切线方程为y －4＝2(x －4)，即2x －y－4＝0.(2)(2023·四川成都适应性考试)已知A ，B 为抛物线y ＝x 2上两点，以A ，B 为切点的抛物线的两条切线交于点P ，过点A ，B 的直线斜率为k AB ，若点P 的横坐标为13，则k AB ＝________．答案23解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，以A ，B 为切点的抛物线的切线斜率分别为k A ，k B ，由y ＝x 2，得y ′＝2x ，故k A ＝2x 1，k B ＝2x 2，所以切线PA 的方程为y －x 21＝2x 1(x －x 1)，即x 21－2x 1x ＋y ＝0.同理可得，切线PB 的方程为x 22－2x 2x ＋y ＝0.设点P 的坐标为(x 0，y 0)，所以x 21－2x 1x 0＋y 0＝0，x 22－2x 2x 0＋y 0＝0，所以x 1，x 2为方程x 2－2x 0x ＋y 0＝0的两根，故x 1＋x 2＝2x 0，x 1x 2＝y 0，则k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 2＝2x 0＝23.【通性通法】求抛物线切线方程的方法方法一首先设出切线方程，然后与抛物线方程联立，利用判别式求解方法二首先求导得出切线的斜率，然后由点斜式得出切线方程方法三过抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)上一点P (x 0，y 0)的切线方程为y 0y ＝p (x ＋x 0)【巩固迁移】1．(多选)(2023·辽宁名校联考)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的准线l 的方程为y ＝－1，过C 的焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，以A ，B 为切点分别作C 的两条切线，且两切线交于点M ，则下列结论正确的是()A ．C 的方程为x 2＝2yB ．∠AMB ＝90°C ．M 恒在l 上D ．|MF |2＝|AF |·|BF |答案BCD解析由题得－p2＝－1，所以p ＝2，因此C 的方程为x 2＝4y ，A 错误；由题意可知AB 的斜率存在，F (0，1)，设AB 的方程为y ＝kx ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，＝kx ＋1，2＝4y ，得x 2－4kx－4＝0，所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.由y ＝14x 2得y ′＝12x ，所以AM 的斜率为k AM ＝12x 1，所以AM 的方程为y －y 1＝12x 1(x －x 1)，即y －14x 21＝12x 1(x －x 1)①，同理BM 的斜率为k BM ＝12x 2，所以BM 的方程为y －14x 22＝12x 2(x －x 2)②，所以k AM ·k BM ＝14x 1x 2＝－1，即AM ⊥BM ，所以∠AMB＝90°，B 正确；由①②得(x 2－x 1)y ＝14x 1x 2(x 2－x 1)，因为x 1≠x 2，所以y ＝－1，将y ＝－1代入①②得x ＝x 2＋x 12＝2k ，所以点M 的坐标为(2k ，－1)，又C 的准线l 的方程为y ＝－1，所以M 恒在l 上，C 正确；当AB 的斜率k 不为零时，则k MF ＝－1－12k ＝－1k ，所以k AB ·k MF ＝－1，所以AB ⊥MF ，当AB 的斜率k ＝0时，点M 的坐标为(0，－1)，显然AB ⊥MF ，在Rt △ABM 中，由△AMF ∽△MBF 得|MF ||AF |＝|BF ||MF |，所以|MF |2＝|AF |·|BF |，D 正确．故选BCD.考点二焦点弦问题例2(1)(2024·河北邯郸模拟)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，若|AF |＝2|BF |，则|AB |＝()A ．4B ．92C ．5D ．6答案B解析解法一：易知直线l 的斜率存在，设为k ，则其方程为y ＝k (x －1)．＝k （x －1），2＝4x ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，设点A ，B 的横坐标分别为x A ，x B ，则x A x B ＝1①，因为|AF |＝2|BF |，由抛物线的定义得x A ＋1＝2(x B ＋1)，即x A ＝2x B ＋1②，由①②解得x A ＝2，x B ＝12，所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝x A ＋x B ＋p ＝92.解法二：由对称性，不妨设点A 在x 轴的上方，如图，设A ，B 在准线上的射影分别为D ，C ，作BE ⊥AD 于E ，设|BF |＝m ，直线l 的倾斜角为θ，则|AB |＝3m ，由抛物线的定义知|AD |＝|AF |＝2m ，|BC |＝|BF |＝m ，所以cos θ＝|AE ||AB |＝13，所以sin 2θ＝89.又y 2＝4x ，知2p ＝4，故利用弦长公式，得|AB |＝2p sin 2θ＝92.解法三：因为|AF |＝2|BF |，所以1|AF |＋1|BF |＝12|BF |＋1|BF |＝32|BF |＝2p ＝1，解得|BF |＝32，|AF |＝3，故|AB |＝|AF |＋|BF |＝92.(2)(多选)(2023·湖北鄂州市教学研究室期末)已知抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，准线l 与y 轴的交点为D ，过点F 的直线m 与抛物线C 交于A ，B 两点，点O 为坐标原点．下列结论正确的是()A ．存在点A ，B ，使∠AOB ≤π2B ．|AB |的最小值为4C ．DF 平分∠ADBD ．若点M (2，3)是弦AB 的中点，则直线m 的方程为x －y ＋1＝0答案BCD解析抛物线C 的焦点F 的坐标为(0，1)，由题意分析可知，直线m 的斜率一定存在．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线m 的方程为y ＝kx ＋1，与抛物线C ：x 2＝4y 联立，得x 2－4kx －4＝0，所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4，所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋x 214·x 224＝－4＋1＝－3<0，所以∠AOB 为钝角，故A 错误；|AB |＝y 1＋y 2＋2＝kx 1＋1＋kx 2＋1＋2＝k (x 1＋x 2)＋4＝4k 2＋4≥4(当且仅当k ＝0时，等号成立)，故B 正确；因为点D (0，－1)，k DA ＋k DB ＝y 1＋1x 1＋y 2＋1x 2＝kx 1＋2x 1＋kx 2＋2x 2＝2kx 1x 2＋2（x 1＋x 2）x 1x 2＝2k ×（－4）＋2×4kx 1x 2＝0，即直线DA 和直线DB 的倾斜角互补，所以DF 平分∠ADB ，故C 21＝4y 1，22＝4y 2，两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝4(y 1－y 2)，因为点M (2，3)是弦AB 的中点，所以x 1＋x 2＝4，所以直线m 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 24＝1，所以直线m 的方程为x －y ＋1＝0，故D 正确．故选BCD.【通性通法】解决焦点弦问题的策略(1)利用抛物线的定义把过焦点的弦分成两个焦半径，然后转化为到准线的距离，再求解．(2)利用与抛物线焦点弦有关的二级结论求解．【巩固迁移】2．(2024·山东聊城质检)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，过F作斜率为2的直线l与抛物线交于A，B两点，若弦AB的中点到抛物线准线的距离为3，则抛物线的方程为()A．y2＝125x B．y2＝245xC．y2＝12x D．y2＝6x 答案B解析因为直线l的方程为y＝即y＝2x－p，2＝2px，＝2x－p，消去y，得4x2－6px＋p2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝3p2，又因为弦AB的中点到抛物线准线的距离为3，所以|AB|＝6，而|AB|＝x1＋x2＋p，所以x1＋x2＝6－p，故3p2＝6－p，解得p＝125，所以抛物线的方程为y2＝245x.故选B.3．(多选)(2023·新课标Ⅱ卷)设O为坐标原点，直线y＝－3(x－1)过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则()A．p＝2B．|MN|＝83C．以MN为直径的圆与l相切D．△OMN为等腰三角形答案AC解析对于A，直线y＝－3(x－1)过点(1，0)，所以抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F(1，0)，所以p2＝1，即p＝2，所以抛物线C的方程为y2＝4x，A正确；对于B，不妨设M(x1，y1)，N(x2，y2)，x1＞x2，＝－3（x－1），2＝4x，消去y并化简，得3x2－10x＋3＝0，解得x1＝3，x2＝13，所以|MN|＝x1＋x2＋p＝3＋13＋2＝163，B错误；对于C，设MN的中点为A，M，N，A到直线l的距离分别为d1，d2，d，因为d＝12(d1＋d2)＝12(|MF|＋|NF|)＝12|MN|，即A到直线l的距离等于|MN|的一半，所以以MN为直径的圆与直线l相切，C正确；对于D，由上述分析可知y1＝－3×(3－1)＝－23，y2＝－3×＝233，所以|OM|＝32＋（－23）2＝21，|ON |＝133，所以△OMN 不是等腰三角形，D 错误．故选AC.考点三直线与抛物线的综合问题例3(2023·重庆统考模拟预测)如图，已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，F 为其焦点，点A (2，y 0)在C 上，△OAF 的面积为4.(1)求抛物线C 的方程；(2)过点P (m ，0)(m >0)作斜率为－1的直线l 1交抛物线C 于点M ，N ，直线MF 交抛物线C 于点Q ，以Q 为切点作抛物线C 的切线l 2，且l 2∥l 1，求△MNQ 的面积．解(1)由题意，可知抛物线C 的焦点将A (2，y 0)代入抛物线C 的方程，得y 20＝4p ，且p >0，则|y 0|＝2p ，因为△OAF 的面积为12×p 2×2p ＝p p 2＝4，解得p ＝4，所以抛物线C 的方程为y 2＝8x .(2)由(1)可得抛物线C 的方程为y 2＝8x ，焦点F (2，0)，设直线l 1：x ＝－y ＋m (m >0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，Q (x 3，y 3)，＝－y ＋m ，2＝8x ，消去x ，得y 2＋8y －8m ＝0，则Δ＝64＋32m >0，可得y 1＋y 2＝－8，y 1y 2＝－8m ，因为点M (x 1，y 1)在抛物线上，则y 21＝8x 1，即x 1＝y 218，所以直线MF 的方程为x ＝x 1－2y 1y ＋2＝y 218－2y 1y ＋2＝y 21－168y 1y ＋2，＝y 21－168y 1y ＋2，2＝8x ，消去x ，得y 2＋16－y 21y 1y －16＝0，可得y 1y 3＝－16，即y 3＝－16y 1，则x 3＝y 21－168y 1×2＝32y 21，即因为l 2∥l 1，可设l 2：x ＝－y ＋n ，代入得32y 21＝16y 1＋n ，即n ＝32y 21－16y 1，所以l 2：x ＝－y ＋32y 21－16y 1，＝－y ＋32y 21－16y 1，2＝8x ，消去x ，得y 2＋8y ＋0，因为l 2为抛物线C 的切线，则Δ＝64－0，整理得y 21－8y 1＋16＝0，解得y 1＝4，又因为y 1＋y 2＝－8，y 1y 2＝－8m ，y 1y 3＝－16，可得y 2＝－12，m ＝6，y 3＝－4，即Q (2，－4)，l 1：x ＝－y ＋6，可得|MN |＝2×|4－(－12)|＝162，点Q (2，－4)到直线l 1：x ＋y －6＝0的距离d ＝|2－4－6|2＝42，所以S △MNQ ＝12|MN |·d ＝12×162×42＝64.【通性通法】解决直线与抛物线综合问题的策略(1)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线y 2＝2px 的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则一般用弦长公式．(2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．【巩固迁移】4．(2023·甘肃张掖高台县第一中学统考期末)已知点A (x 0，－2)在抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上，且A 到C 的焦点F 的距离与到x 轴的距离之差为12.(1)求抛物线C 的方程；(2)当p <2时，M ，N 是C 上不同于点A 的两个动点，且直线AM ，AN 的斜率之积为－2，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点E ，使得|DE |为定值．解(1)抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为准线方程为x ＝－p2，又点A (x 0，－2)在抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上，即(－2)2＝2px 0，∴x 0＝2p ，即－依题意，可得2p ＋p 2－2＝12，解得p ＝1或p ＝4，∴y 2＝2x 或y 2＝8x .(2)证明：∵p <2，∴y 2＝2x ，A (2，－2)．设MN ：x ＝my ＋n ，2＝2x ，＝my ＋n ，消去x ，整理得y 2－2my －2n ＝0，Δ＝4m 2＋8n >0，(ⅰ)且y 1＋y 2＝2m ，y 1y 2＝－2n ，∴k AM ·k AN ＝2y 1－2·2y 2－2＝－2，∴(y 1－2)(y 2－2)＝－2，即y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋6＝0，∴n ＋2m ＝3，适合(ⅰ)，将n ＝3－2m 代入x ＝my ＋n ，得x －3＝m (y －2)，－3＝0，－2＝0，＝3，＝2，∴直线MN 恒过定点Q (3，2)．又AD ⊥MN ，∴点D 在以AQ 为直径的圆上，∵A ，Q |AQ |＝（2－3）2＋（－2－2）2＝17，∴以AQ ＋y 2＝174，∴存在点使得|DE |＝172，为定值．课时作业一、单项选择题1．已知直线l 与抛物线x 2＝2py (p >0)只有一个公共点，则直线l 与抛物线的位置关系是()A ．相交B ．相切C ．相离D ．相交或相切答案D解析直线l 与抛物线的对称轴平行或直线l 与抛物线相切时只有一个公共点，所以D 正确．故选D.2．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若点C (x 1，0)与点D (x 2，0)关于直线x ＝32对称，则|AB |＝()A ．3B ．4C ．5D ．6答案C解析抛物线y 2＝4x ，∴p ＝2，过焦点F 的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则|AF |＝x 1＋p 2＝x 1＋1，|BF |＝x 2＋p 2＝x 2＋1，∴|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋2，又点C (x 1，0)与点D (x 2，0)关于直线x ＝32对称，则x 1＋x 2＝32×2＝3，∴|AB |＝3＋2＝5.3．(2023·四川资阳统考三模)已知抛物线C ：y 2＝8x ，过点P (2，－1)的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，若|AP |＝|BP |，则直线l 的斜率是()A ．－4B ．4C ．－14D ．14答案A解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，21＝8x 1，22＝8x 2，作差得y 21－y 22＝8(x 1－x 2)．因为|AP |＝|BP |，所以P 是线段AB 的中点，所以y 1＋y 2＝－2，则直线l 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝8y 1＋y 2＝－4.故选A.4.(2024·江西九江二模)青花瓷又称白地青花瓷，常简称青花，是中华陶瓷烧制工艺的珍品，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷．一只内壁光滑的青花瓷大碗水平放置在桌面上，瓷碗底座高为1cm ，瓷碗的轴截面可以近似看成是抛物线，碗里不慎掉落一根质地均匀、粗细相同且长度为22cm 的筷子，筷子的两端紧贴瓷碗内壁．若筷子的中点离桌面的最小距离为7cm ，则该抛物线的通径长为()A ．16B ．18C ．20D ．22答案C解析如图，建立平面直角坐标系，设抛物线为x 2＝2py (p >0)，焦点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵|AB |＝22，|AB |≤|AF |＋|BF |，∴y 1＋y 2＋p ≥22，设线段AB 的中点为M ，则2y M ＋p ≥22，由题意知，y M 的最小值为6，即12＋p ＝22，得p ＝10，∴该抛物线的通径长为2p ＝20.故选C.5．(2023·辽宁名校联考)过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点F 的直线l 交C 于A ，B 两点，点A 处的切线与x ，y 轴分别交于点M ，N .若△MON (O 为坐标原点)的面积为12，则|AF |＝()A ．2B ．3C ．4D ．5答案A解析由题意可知，直线l 的斜率存在，且过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点F ，与其交于A ，B 两点，设，14a又y ＝14x 2，所以y ′＝x 2，所以点A 处的切线方程为y －14a 2＝a2(x －a )．令x ＝0，可得y ＝－14a 2，即，－14a令y ＝0，可得x ＝a 2，即因为△MON 的面积为12，所以12×|－14a 2|×|a2|＝12，解得a 2＝4，所以|AF |＝14a 2＋1＝2.故选A.6．(2023·河北石家庄模拟)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的直线与抛物线交于A ，B 两点，若AB 中点的纵坐标为2，且|AB |＝8，则p ＝()A ．1B ．2C ．3D ．4答案B解析设直线AB ：y ＝k ≠0.2＝2px ，＝得k 2x 2－(k 2p ＋2p )x ＋k 2p 24＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝k 2p ＋2p k2＝p ＋2p k 2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－p )＝2pk .由题可知，x 1＋x 2＋p ＝8，y 1＋y 22＝2，＋pk2＝4，2，＝1，＝2.故选B.7．(2023·湖北武汉模拟)已知抛物线x 2＝2py (p >0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则该抛物线的准线方程为()A ．y ＝－3B ．y ＝－32C ．x ＝－3D ．x ＝－32答案B解析根据题意，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以x 21＝2py 1①，x 22＝2py 2②，由①－②，得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝2p (y 1－y 2)，即k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 22p ，因为直线AB 的斜率为1，线段AB 中点的横坐标为3，所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 22p ＝3p ＝1，即p ＝3，所以抛物线的方程为x 2＝6y ，准线方程为y ＝－32.故选B.8．已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，则|AB |＋|DE |的最小值为()A ．16B ．14C ．12D ．10答案A解析抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F (1，0)，由题意可知l 1，l 2的斜率存在且不为0.不妨设直线l 1的斜率为k ，则直线l 2的斜率为－1k ，故l 1：y ＝k (x －1)，l 2：y ＝－1k (x －1)．2＝4x ，＝k （x －1），消去y ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2＝2＋4k 2，由抛物线的定义可知，|AB |＝x 1＋x 2＋2＝4＋4k 2.同理可得|DE |＝4＋4k 2，∴|AB |＋|DE |＝8＋4k 2＋4k 2≥8＋216＝16，当且仅当1k 2＝k 2，即k ＝±1时取等号．故|AB |＋|DE |的最小值为16.二、多项选择题9．(2023·广州模拟)已知点O 为坐标原点，直线y ＝x －1与抛物线C ：y 2＝4x 交于A ，B 两点，则()A ．|AB |＝8B ．OA ⊥OBC ．△AOB 的面积为22D ．线段AB 的中点到直线x ＝0的距离为2答案AC解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为抛物线C ：y 2＝4x ，则p ＝2，焦点为(1，0)，则直线y ＝x －1过焦点．＝x －1，2＝4x ，消去y ，得x 2－6x ＋1＝0，则x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝1，y 1y 2＝(x 1－1)(x 2－1)＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝－4，所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8，故A 正确；因为OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝1－4＝－3≠0，所以OA 与OB 不垂直，故B 错误；原点到直线y ＝x －1的距离为d ＝12，所以△AOB 的面积为S ＝12|AB |·d ＝12×8×12＝22，故C 正确；因为线段AB 的中点到直线x ＝0的距离为x 1＋x 22＝62＝3，故D 错误．故选AC.10．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 到准线的距离为4，直线l 过点F 且与抛物线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若M (m ，2)是线段AB 的中点，则下列结论正确的是()A ．p ＝4B ．抛物线的方程为y 2＝16xC ．直线l 的方程为y ＝2x －4D ．|AB |＝10答案ACD解析由焦点F 到准线的距离为4，并根据抛物线的定义可知p ＝4，故A 正确；抛物线的方程为y 2＝8x ，故B 错误；因为焦点F (2，0)，y 21＝8x 1，y 22＝8x 2，若M (m ，2)是线段AB 的中点，则y 1＋y 2＝4，所以y 21－y 22＝8x 1－8x 2，即y 1－y 2x 1－x 2＝8y 1＋y 2＝84＝2，所以直线l 的方程为y ＝2x －4，故C 2＝8x ，＝2x －4，得x 2－6x ＋4＝0，所以x 1＋x 2＝6，所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋4＝10，故D 正确．故选ACD.三、填空题11．(2023·天津高考)过原点O 的一条直线与圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝3相切，交曲线y 2＝2px (p >0)于点P ，若|OP |＝8，则p 的值为________．答案6解析由题意得直线OP 的斜率存在．设直线OP 的方程为y ＝kx ，因为该直线与圆C 相切，所以|－2k |1＋k2＝3，解得k 2＝3.将直线方程y ＝kx 与曲线方程y 2＝2px (p >0)联立，得k 2x 2－2px＝0，因为k 2＝3，所以3x 2－2px ＝0，解得x ＝0或x ＝2p 3，设P (x 1，y 1)，则x 1＝2p3，又O (0，0)，所以|OP |＝1＋k 2|x 1－0|＝2×2p3＝8，解得p ＝6.12．(2024·陕西咸阳二模)过抛物线y ＝14x 2的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，若l的倾斜角为45°，则线段AB 的中点到x 轴的距离是________．答案3解析由题意，抛物线方程为x 2＝4y ，则F (0，1)，∴直线l 的方程为y ＝x ＋1，将直线方程代入抛物线方程，整理，得x 2－4x －4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4，故线段AB的中点的横坐标为x 1＋x 22＝2，代入直线l 的方程，得y ＝3，∴线段AB 的中点到x 轴的距离是3.13．(2024·贵州遵义统考)已知抛物线x 2＝2y 上两点A ，B 关于点M (2，t )对称，则直线AB 的斜率为________．答案2解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入抛物线方程x 2＝2y ，21＝2y 1，22＝2y 2，则x 21－x 22＝2(y 1－y 2)①，因为A ，B 两点关于点M (2，t )对称，则x 1≠x 2，x 1＋x 2＝4，所以由①得y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 22＝2，即直线AB 的斜率为2.14．(2023·山东鄄城三模)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，过A (－1，0)作抛物线C 的切线，切点为B ，|BF |＝3，则抛物线C 上的动点P 到直线l ：x －y ＋4＝0的距离与到y 轴的距离之和的最小值为________．答案32－2解析根据抛物线的对称性，不妨设B (x 0，y 0)(y 0>0)，由抛物线定义知，|BF |＝x 0＋p2＝3，∴x 0＝3－p2>0，∴p <6，∴y 0＝6p －p 2，当y >0时，y ＝2px ，∴y ′＝2p 2x ，∴2p23－p2＝6p －p 23－p 2＋1，解得p ＝0(舍去)或p ＝4或p ＝203(舍去)，则抛物线C 的方程为y 2＝8x ，焦点F (2，0)，准线方程为x ＝－2，焦点F (2，0)到直线l ：x －y ＋4＝0的距离d ＝|2－0＋4|12＋（－1）2＝32，抛物线C上的动点P 到直线l ：x －y ＋4＝0的距离与到y 轴的距离之和的最小值为32－2.四、解答题15．已知F 为抛物线T ：x 2＝4y 的焦点，直线l ：y ＝kx ＋2与T 交于A ，B 两点．(1)若k ＝1，求|FA |＋|FB |的值；(2)点C (－3，－2)，若∠CFA ＝∠CFB ，求直线l 的方程．解由已知得F (0，1)，设12＝kx ＋2，2＝4y ，得x 2－4kx －8＝0，所以x 1＋x 2＝4k ，①x 1x 2＝－8.②(1)|FA |＋|FB |＝x 214＋1＋x 224＋1＝（x 1＋x 2）2－2x 1x 24＋2.当k ＝1时，由①②，得|FA |＋|FB |＝10.(2)由题意可知，FA →1，x 214－FB →2，x 224－FC →＝(－3，－3)．由∠CFA ＝∠CFB ，得cos 〈FA →，FC →〉＝cos 〈FB →，FC →〉，即FA →·FC →|FA →||FC →|＝FB →·FC →|FB →||FC →|，又|FA |＝x 214＋1，|FB |＝x 224＋1，所以由FA →·FC →|FA →||FC →|＝FB →·FC→|FB →||FC →|，得4＋2(x 1＋x 2)－x 1x 2＝0，即4＋8k ＋8＝0，解得k ＝－32，所以直线l 的方程为3x ＋2y －4＝0.16．(2024·江西南昌等四地联考)已知直线l ：x －y ＋1＝0与抛物线C ：x 2＝2py (p >0)交于A ，B 两点，|AB |＝8.(1)求p ；(2)设抛物线C 的焦点为F ，过点F 且与l 垂直的直线与抛物线C 交于E ，G 两点，求四边形AEBG 的面积．解(1)设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，－y ＋1＝0，2＝2py ，可得x 2－2px －2p ＝0，易得Δ＝4p 2＋8p >0，所以x A ＋x B ＝2p ，x A x B ＝－2p ，则|AB |＝2×（x A ＋x B ）2－4x A x B ＝22×p 2＋2p ＝8，即p 2＋2p －8＝0，因为p >0，所以p ＝2.(2)由题意可得抛物线C 的焦点为F (0，1)，直线EG 的方程为x ＋y －1＝0.＋y －1＝0，2＝4y ，化简可得x 2＋4x －4＝0，则Δ＝16＋16>0，设E (x 1，y 1)，G (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4，y 1＋y 2＝2－(x 1＋x 2)＝6，则|EG |＝y 1＋y 2＋p ＝8，因为AB ⊥EG ，所以S 四边形AEBG ＝12|AB |·|EG |＝12×8×8＝32.17．(多选)(2023·云南昆明模拟)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，O 为坐标原点，过F 的直线与C 交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则()A ．∠AOB 可能为直角B ．x 1x 2为定值C ．若与抛物线C 分别相切于点A ，B 的两条切线交于点N ，则点N 在抛物线C 的准线上D ．以BF 为直径的圆与y 轴有两个交点答案BC解析设直线l AB ：x ＝ty ＋1，与y 2＝4x 联立并消去x ，得y 2－4ty －4＝0，y 1y 2＝－4，则x 1x 2＝y 21y 2216＝1，故B 正确；因为x 1x 2＝1，所以k OA ·k OB ＝y 1y 2x 1x 2≠－1，所以∠AOB ≠π2，故A 不正确；设N (x 0，y 0)，由y 2＝4x ，得y ＝±2x ，所以y ′＝±1x ，因为AN ，BN 均为切线，设k AN ＝1x 1，k BN ＝－1x 2，则AN 的方程为y －y 1＝1x 1(x －x 1)，化简，得yy 1－2x －2x 1＝0，BN 的方程为y －y 2＝－1x 2(x －x 2)，化简，得yy 2－2x －2x 2＝0，因为AN 与BN 的交点为N (x 0，y 0)，所以y 0y 1－2x 0－2x 1＝0，y 0y 2－2x 0－2x 2＝0，则直线AB 的方程为y 0y －2x 0－2x ＝0，由于直线AB 过点F (1，0)，所以x 0＝－1，又因为抛物线C 的准线方程为x ＝－1，所以点N 在抛物线C 的准线上，故C 正确；设BF 的中点，|BF |2＝1＋x 22，则以BF 为直径的圆与y 轴相切，故D 不正确．故选BC.18．(多选)(2023·河北秦皇岛模拟)过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上一点A (1，－4)作两条相互垂直的直线，与C 的另外两个交点分别为M ，N ，则()A ．C 的准线方程是x ＝－4B ．过C 的焦点的最短弦长为8C ．直线MN 过定点(0，4)D ．当点A 到直线MN 的距离最大时，直线MN 的方程为2x ＋y －38＝0答案AD解析将A (1，－4)代入C 的方程中，得p ＝8，所以C 的方程为y 2＝16x ，所以C 的准线方程是x ＝－4，故A 正确；当过C 的焦点且与x 轴垂直时弦长最短，此时弦长为16，故B 不正确；设y y 直线MN 的方程为x ＝my ＋n ，将直线MN 的方程代入C 的方程，得y 2－16my －16n ＝0，所以y 1＋y 2＝16m ，y 1y 2＝－16n .因为AM ⊥AN ，所以AM →·AN →＝1，y 1＋1，y 2＋＝（y 21－16）（y 22－16）256＋(y 1＋4)(y 2＋4)＝0.因为y 1≠－4，y 2≠－4，所以(y 1＋4)(y 2＋4)≠0，所以（y 1－4）（y 2－4）256＋1＝0，整理得y 1y 2－4(y 1＋y 2)＋272＝0，所以－16n －64m ＋272＝0，得n ＝－4m ＋17，所以直线MN 的方程为x ＝m (y －4)＋17，所以直线MN 过定点P (17，4)，故C 不正确；当MN ⊥AP 时，点A 到直线MN 的距离最大，此时直线MN 的方程为2x ＋y －38＝0，故D 正确．19．(2023·河北石家庄三模)已知M ，N 为抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上不同两点，O 为坐标原点，OM ⊥ON ，过O 作OH ⊥MN 于H ，且点H (2，2)．(1)求直线MN 的方程及抛物线C 的方程；(2)若直线l 与直线MN 关于原点对称，Q 为抛物线C 上一动点，求点Q 到直线l 的距离最短时，点Q 的坐标．解(1)如图，由点H (2，2)，得直线OH 的斜率为1，又OH ⊥MN ，则直线MN 的斜率为－1，故直线MN 的方程为y －2＝－(x －2)，整理，得直线MN 的方程为x ＋y ＝4.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，＋y ＝4，2＝2px ，得y 2＋2py －8p ＝0，1＋y 22p ，1y 2＝－8p ，由OM ⊥ON ，得OM →·ON →＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝y 21y 224p2＋y 1y 2＝0，因为y 1y 2≠0，所以y 1y 2＝－4p 2，所以－4p 2＝－8p ，解得p ＝2，故抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)设点A (x ，y )是直线l 上任一点，则点A 关于原点的对称点A ′(－x ，－y )在直线MN 上，所以－x ＋(－y )＝4，即直线l 的方程为x ＋y ＝－4.设点Q (x 0，y 0)，则y 20＝4x 0，点Q 到直线l 的距离d ＝|x 0＋y 0＋4|2＝|y 204＋y 0＋4|2＝（y 0＋2）2＋1242，当y 0＝－2时，d 取得最小值322，此时Q (1，－2)．20．(2023·辽宁沈阳模拟)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)，其焦点到准线的距离为2，直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，过A ，B 分别作抛物线C 的切线l 1，l 2，且l 1与l 2交于点M .(1)求p 的值；(2)若l 1⊥l 2，求△MAB 面积的最小值．解(1)由题意知，准线方程为y ＝－p 2，焦点到准线的距离为2，即p ＝2.(2)由(1)知，抛物线的方程为x 2＝4y ，即y ＝14x 2，所以y ′＝12x ，设12l 1：y －x 214＝x 12(x －x 1)，l 2：y －x 224＝x 22(x －x 2)，由于l 1⊥l 2，所以x 12·x 22＝－1，即x 1x 2＝－4.设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，与抛物线的方程联立，＝kx ＋m ，2＝4y ，消去y ，得x 2－4kx －4m＝0，Δ＝16k 2＋16m >0，所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4m ＝－4，所以m ＝1，即直线l ：y ＝kx ＋1，此时Δ＝16k 2＋16>0.＝x 12x －x 214，＝x 22x －x 224，＝2k ，＝－1，即M (2k ，－1)．点M 到直线l 的距离d ＝|k ·2k ＋1＋1|1＋k 2＝21＋k 2，|AB |＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝4(1＋k 2)，所以S ＝12×4(1＋k 2)×21＋k 2＝4(1＋k 2)32≥4，当k ＝0时，△MAB 的面积取得最小值4.。
抛物线复习PPT教学课件
春天来了，经受了风 霜考验的橘子树更加茂 盛。
那四季常青的叶片在明 媚的阳光下闪着绿油油 的光。
春天来了，经受了风 霜考验的橘子树更加茂 盛，那四季常青的叶片 在明媚的阳光下闪着绿 油油的光。
到了四五月，各种花 竞相开放，争奇斗艳， 而橘子树却不声不响地 长出米粒大小的花骨朵。
花骨朵绽放开来，形状像 茉莉，一瓣一瓣的，有指 甲那么大，小巧、洁白、 清新、朴素，一簇簇藏在 枝叶间，星星点点的，不 大起眼。
剥掉皮，就是鲜嫩的、 金黄色的瓤，掰一瓣放 入嘴里轻轻一咬，满嘴 都是甜甜的汁，使人感 到舒畅极了。
十一月左右，果实成熟了，绿叶 丛中露出了一盏盏红色的小灯笼。 它们有的两个一排，有的三个一束， 有的四五个抱成团……沉甸甸的，把 枝条儿越压越弯。走近细看，红橘的 皮上还有一个个的小窝窝呢。剥掉皮， 就是鲜嫩的、金黄色的瓤，掰一瓣放 入嘴里轻轻一咬，满嘴都是甜甜的汁， 使人感到舒畅极了。
所得的弦长 AB 3 5求此抛物线方程。
解：设所求的抛物线方程为y2 axa 0, 将y 2x 4代入y2 ax中，
整理得4x2 a 16x 16 01设Ax1, y1Bx2, y2 ,则x1，x2是方程1
的解，所以有x1
x2
a
1 4
6
,
x1x2
4
x1 x2
x1 x2 2 4x1x2
【例1】求满足下列条件的抛物线的标准方程， 并求对应抛物线的准线方程： (1)过点(–3，2)；
解答:(1)设所求的抛物线方程为y2＝－2px 或x2=２py(p>0)
∵过点（－３，２） ∴4=-2p(-3)或９＝２p·２
p 2 或p 9
3
4
∴所求的抛物线方程为:
【全程复习方略】2014-2015学年高中数学 2.4.2.2抛物线方程及性质的应用课件 新人教A版选修2-1
ky2-4y+8+12k=0.
①
(1)当k=0时，方程①化为-4y+8=0,即y=2,
此时过(-3,2)的直线方程为y=2,满足条件. (2)当k≠0时，方程①应有两个相等的实根， 所以
k 0, 0,
x1 x 2 y y2 2.可设直线的点斜式方程 2, 1 2. y-1=k(x-2),k≠0. 2 2
【自主解答】(1)设抛物线的方程为y2=kx，与y=x联立方程组， 消去y,得x2-kx=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2), 所以x1+x2=k. 又因为P(2,2)为AB的中点， 所以 x1 x 2 2，
2 y 4x,
ky2-4y+4-4k=0,
Δ=16-4k(4-4k)>0恒成立,
又由根与系数的关系得 y1 y 2 根据M为AB中点，所以
4 2, k
4 , k
所以所求直线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0. 当AB的斜率不存在时，显然不符合题意.
【方法技巧】“中点弦”问题解题策略两法
位置关系.
【自主解答】(1)选D.因为点(0，-1)在抛物线内部，故过该点 的直线斜率不存在时，与抛物线有一个公共点，是相交的；斜 率存在时，有两个公共点，因此公共点的个数是1或2.
y k x 1 , (2)由方程组 消去y得 2 y 4x,
k2x2+(2k2-4)x+k2=0,
【变式训练】求过点(2,1)的直线与抛物线y2=4x相交所得弦的 中点的轨迹方程. 【解题指南】可采用“点差法”，即用点差法表示出直线斜率 与用斜率公式求得的斜率相等建立方程求解. 【解析】设弦的中点为M(x,y)，弦的端点坐标分别为(x1,y1)， (x2,y2)，则x1+x2=2x，y1+y2=2y.
高中数学选修1-1人教A版：2.3.2直线与抛物线的位置关系课件
这时，直线l与抛物线只有一个公4 共点( 1 ,1 )
（2）当k 0时，方程①的判别式为
4
1(62k2k1)
高中数学选修1-1人教A版：2.3.2直线 与抛物 线的位 置关系 课件【 精品】
高中数学选修1-1人教A版：2.3.2直线 与抛物 线的位 置关系 课件【 精品】
（Ⅰ）由 0,即2k2k10,
得: Ax2+Bx+C=0
③△<0 相离
y
y
y
.. .. ..
o
Fx
o
Fx
o
Fx
对于“几何图形观察法”，其优点 在于可以根据图形的几何直观直接判 断，但由于手工作图会有一定的误差 ，这对于我们判断结果必定会产生影 响.
本节课我们利用解方程组即“代数
方法”解决“直线与抛物线公共点个 数”的问题.
三、例题讲解
解得 k 1,或k 1.
于是，当
k
1,或k
12 2时，方程①只有一个解，从而方
程组（*）只有一个解，这时，直线与抛物线只有一个
公共点. （Ⅱ）由
0,
即
2k2k10,
解得 1 k 1 .
于是，当 1k12且k2 0时，方程①有两个解，从而方
程组（*）有两个解.这时，直线与抛物线有两个公共点.
（二）归纳：抛物线的几何性质(复习回顾）
图形
准线
顶点 对称轴 e
y
l OF
y2 = 2px x （p>0）
F
(
p 2
,0)
x p 2
x≥0 y∈R
x轴
yl
FO
y2 = -2px x（p>0） F
(
抛物线专题辅导完整版(非常好)
1抛物线专题复习一：知识总结1、抛物线的定义:平面内点到定点的距离等于点到定直线的距离：即：PF d = 其中点F 为抛物线的焦点。
2、抛物线的标准方程、几何性质标准方程图形顶点对称轴焦点准线离心率焦半径焦点弦公式()022>=p pxyxyO Fl()0,0x 轴⎪⎭⎫ ⎝⎛0,2p 2px -=1=e02x p PF +=)(21x x p AB ++=PFQOxy23、抛物线的焦半径 ①()022>=p px y焦半径：x pPQ PF +==2； ②()022>-=p px y焦半径：x p PQ PF -==2③()022>=p py x焦半径：y pPQ PF +==2；④()022>-=p py x焦半径：y pPQ PF -==24、直线与抛物线的位置关系（1）当直线与对称轴平行时⇒有一个交点⇒相交（2）当直线与对称轴不平行时，则有① ② ③ ①当0∆>⇒两个焦点⇒相交； ②当0∆=⇒一个焦点⇒相切； ③当0∆<⇒没有焦点⇒相离；题型一：抛物线的定义应用1、抛物线y=42x 上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( ) A. 1617 B. 1615C.87D. 02、已知点P 在抛物线x y 42=上，那么点P 到点)1,2(-Q 的距离与点P 到抛物线焦点距离之和的最小值为 。
()022>-=p pxyxyO F l()0,0x 轴⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,2p2p x =1=e 02x pPF -=)(21x x p AB +-=()022>=p pyx()0,0y 轴⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0p 2py -=1=e02y p PF +=)(21y y p AB ++=()022>-=p pyx()0,0y 轴⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,0p2p y =1=e 02y pPF -=)(21y y p AB +-=PF OQxyPFQO xy PFOQxyOxyFFOxyOxy FOxyFOxyF33、已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点111222()()P x y P x y ，，，，333()P x y ，在抛物线上，且||1F P 、||2F P 、||3F P成等差数列， 则有 （ ） A ．321x x x =+ B ．321y y y =+ C ．2312x x x =+ D. 2312y y y =+4、已知点),4,3(A F 是抛物线x y 82=的焦点,M 是抛 物线上的动点,当MF MA +最小时，M 点坐标是A. )0,0(B. )62,3(C. )4,2(D. )62,3(-题型二：利用抛物线定义求轨迹方程1、一动点P 到y 轴距离比到点)0,2(M 的距离小2，则此动点P 的轨迹方程;2、求与圆C ：22(2)1x y ++=外切，且与直线1x =相切的动圆圆心M 的轨迹方程；3、已知动圆M 经过点)0,3(M 且与直线3:-=x l 相切，求动圆圆心M 的轨迹方程是；4、已知抛物线的焦点是(11)F ，，准线是20x y ++=，求抛物线的方程以及顶点坐标和对称轴方程； （参考：222880x y xy x y +---=；y x =；(00)，）题型三：距离问题1、已知F 是抛物线24y x =的焦点，点Q(2,2)，在抛物线上找一点P 使PQ PF +最小，求点P 的坐标；2、抛物线28y x =的焦点为F ，(4,2)A -为一定点，在抛物线上找一点M ；（1）当||||MA MF + 为最小时，求M 点的坐标； （2）当||||||MA MF -为最大时，求M 点的坐标；43、定长为4的线段AB 的端点A B 、在抛物线22y x =上移动，求线段AB 的中点M 到y 轴的距离的最小值，并求出此时AB 的中点M 坐标；4、求抛物线22y x =上到直线03=+-y x 距离最短距离，且求出此时的点的坐标；5、在抛物线24y x =上求一点，使该点到直线45y x =-的距离为最短，求该点的坐标；（），（121）6、已知抛物线2:ax y C =（a 为非零常数）的焦点为F ，点P 为抛物线c 上一个动点，过点P 且与抛物线c 相切的直线记为l ． （1）求F 的坐标；（2）当点P 在何处时，点F 到直线l 的距离最小；题型四：焦半径和焦点弦 （一）焦半径公式①()022>=p px y 焦半径：x pPQ PF +==2； ②()022>-=p px y 焦半径：x p PQ PF -==2③()022>=p py x 焦半径：y pPQ PF +==2； ④()022>-=p py xPF OQxyPF QO x y PFQ O xyPFOQxy5焦半径：y pPQ PF -==2（二）焦点弦公式（1）若AB 是过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的弦，且直线AB 的倾斜角为a ，则apAB 2sin 2= （2）若AB 是过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的弦，且点()()1122,,,A x y B x y ，则有 ①12AB x x p =++ ②pBF AF 211=+ ③2124p x x =④221p y y -=（3）通径（过焦点且垂直于抛物线对称轴）最短；当90α= ，2sin 1α=，p ap AB 2sin 22==最小1、已知抛物线2y x =上一点M 到焦点F 的距离为2，求点M 的坐标；（参考：77(,)24±） 2、过抛物线x y 42=的焦点作直线交抛物线于()11,y x A ，()22,y x B 两点，且621=+x x ，求||AB A 、10 B 、8 C 、6 D 、43、如果1P ，2P ，…，8P 是抛物线24y x =上的点，它们的横坐标依次为1x ，2x ，…，8x ，F 是抛物线的焦点，若)(,,,21*∈N n x x x n 成等差数列且45921=+++x x x ，则||5F P =（ ）A 、5B 、6C 、7D 、94、过抛物线x y 42=的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于)(422R a a a ∈++，则这样的直线 （ ） A 、有且仅有一条 B 、有且仅有两条 C 、1条或2条 D 、不存在5、过抛物线()02>=a axy 的焦点F 作直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 、QF 的长分别是p 、q ，则qp 11+ （ ） A 、a 2 B 、a 21 C 、a 4 D 、a46、已知过抛物线29y x =的焦点的弦AB 长为12，则直线AB 倾斜角为 。
第7节 第2课时 直线与抛物线--2025高中数学一轮复习课件基础版(新高考新教材)
高考总复习
第2课时
直线与抛物线
研考点
精准突破
考点一
直线与抛物线的位置关系
例1已知直线l:y=kx+1,抛物线C:y2=4x,当k为何值时,l与C:只有一个公共点?
有两个公共点?没有公共点?
= + 1,
解 联立 2
消去 y,得 k2x2+(2k-4)x+1=0,
= 4,
当 k=0 时,(*)式只有一个解
|AB|= 1 + 4|y1-y2|= 5 · 162 -8=4 15,
解得
3
p=- (舍)或
2
p=2.∴p=2.
(2)由(1)知抛物线 C 的方程为 y2=4x,F(1,0).
设 M(x3,y3),N(x4,y4),lMN:x=my+n,
= + ,
由 2
得 y2-4my-4n=0,
例3已知直线l与抛物线C:y=2x2相交于A,B两点,若线段AB的中点坐标为
(1,4),则直线l的方程为( A )
A.4x-y=0
B.2x-y=0
C.8x-y-6=0
D.x-2y+3=0
解析 设 A(x1,y1),B(x2,y2),
1 = 212 ,
2
2
由
得
y
-y
=2(
−
1
2
1
2 )=2(x1+x2)(x1-x2),
联立 2
= 4,
得ky2-4y+4k+8=0,当k=0时,此时y=2,与抛物线有唯一公共点;
当k≠0时,由Δ=(-4)2-4k×(4k+8)=0,解得k=-1±
抛物线(一轮复习)辅导教案
思维升华(1)抛物线有四种不同形式的标准方程，要掌握焦点与准线的距离，顶点与准线、焦点的距离，通径与标准方程中系数2p的关系．(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y2＝mx或x2＝my(m≠0)．(3)焦点到准线的距离，简称焦距，抛物线y2＝2px(p>0)上的点常设为(y22p，y)，便于简化计算．如图，抛物线E：y2＝4x的焦点为F，准线l与x轴的交点为A.点C在抛物线E上，以C为圆心，|CO|为半径作圆，设圆C与准线l交于不同的两点M，N.(1)若点C的纵坐标为2，求|MN|；(2)若|AF|2＝|AM|·|AN|，求圆C的半径．四、课堂小测1．抛物线y＝14x2的准线方程是()A．y＝－1 B．y＝－2C．x＝－1 D．x＝－22．已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为()A．－43B．－1C．－34D．－123．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为()A．x＝1 B．x＝－1C．x＝2 D．x＝－24．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦AB的两端点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2 x1x2的值一定等于()A．－4 B．4 C．p2D．－p25.如图，过抛物线y2＝2px (p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A、B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为() A．y2＝9xB．y2＝6xC．y2＝3xD．y2＝3x6．抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线x23－y23＝1相交于A、B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________.7．若抛物线y2＝4x上一点P到其焦点F的距离为3，延长PF交抛物线于Q，若O为坐标原点，则S△OPQ＝______.8．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的准线为l，过M(1,0)且斜率为3的直线与l相交于点A，与C 的一个交点为B ，若AM →＝M B →，则p ＝________.9.如图，已知抛物线y 2＝2px (p >0)有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，两直角边OA 与OB 的长分别为1和8，求抛物线的方程．10．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点． (1)若AF→＝2FB →，求直线AB 的斜率；(2)设点M 在线段AB 上运动，原点O 关于点M 的对称点为C ，求四边形OACB 面积的最小值．。
第六节 抛物线(一) 复习讲义
第六节 抛物线(一)一、抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的.轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线概念理解(1)定义的实质可以归纳为“一动三定”:一个动点M;一个定点F(焦点);一条定直线l(准线);一个定值(点M到点F的距离与它到定直线l的距离之比等于1).(2)定点F∉定直线l,否则动点M的轨迹不是抛物线,而是过点F且垂直于直线l的一条直线,如到点F(1,0)和到直线l:x+y-1=0的距离相等的点的轨迹方程是x-y-1=0,其轨迹是一条直线.二、抛物线的标准方程及其简单几何性质1.方程及其性质的理解(1)p 的几何意义:表示定点F 到定直线l 的距离,即焦点到准线的距离,p 值的大小(p>0),决定抛物线开口的大小,p 前面的符号决定抛物线开口的方向.(2)抛物线标准方程的特征与其他坐标系中位置之间关系:抛物线的标准方程只含有两项,分别是二次项和一次项,并位于等号两边.抛物线标准方程中一次项中变量的名称与抛物线对称轴名称相同,一次项系数的正负与对称轴所在坐标轴方向正负一致,简单记为“一次定轴,系数定向”.如x 2=-3y,因一次项是-3y,所以对称轴是y 轴,因-3<0,所以该抛物线开口方向向下,即与y 轴负方向一致.抛物线焦点位于对称轴上,焦点纵横坐标中,不为零的坐标等于一次项系数的14. 2.与抛物线标准方程及几何性质相关结论(1)以y 2=2px 为例,抛物线上一点到焦点的距离为|PF|=2p +x 0或|PF|=2p -x 0(x 0为点P 横坐标),结合抛物线在坐标系中位置进行记忆,也即“右加左减”.(2)以y 2=2px 为例,焦点弦AB 的性质有:(其中A(x 1,y 1),B(x 2,y 2) ,F 为焦点,θ为直线AB 倾斜角) ①x 1x 2=24p ,y 1·y 2=-p 2;②1AF+1BF=2p ;③S △AOB =22sin p θ;④|AB|=x 1+x 2+p=22sin pθ;⑤以AB 为直径的圆与准线相切.1.过点A(4,-2)的抛物线的标准方程为( A ) (A)y 2=x 或x 2=-8y (B)y 2=x 或y 2=8x (C)y 2=-8x (D)x 2=-8y解析:因为A点在第四象限,故设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0)或x2=-2my(m>0),将A点代入得2p=1或2m=8,所求抛物线方程为y2=x或x2=-8y.2.已知抛物线C与双曲线x2-y2=1有相同的焦点,且顶点在原点,则抛物线C的方程是( D )(A)y2=±(B)y2=±2x(C)y2=±4x (D)y2=±解析:由已知可知双曲线的焦点为设抛物线方程为y2=±2px(p>0),则2p=所以所以抛物线方程为y2=±故选D.3.已知点A是抛物线C:x2=2py(p>0)上一点,O为坐标原点.若A,B是以点M(0,10)为圆心,OA的长为半径的圆与抛物线C的两个公共点,且△ABO为等边三角形,则p的值是( C )(A)52(B)53(C)56(D)59解析: 如图,因为|MA|=|OA|,所以点A在线段OM的垂直平分线上.又因为M(0,10),所以可设A(x,5).由tan 30°=5x,得将,5)代入方程x2=2py,得p=56.4.若抛物线的焦点在直线x-2y-4=0上,则抛物线的标准方程是.解析:由x=0得y=-2,由y=0得x=4,即(0,-2)或(4,0)为抛物线的焦点.所以抛物线方程为y2=16x或x2=-8y.答案:y2=16x或x2=-8y5.过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点.若|AF|=3,则|BF|= .解析:由题意知,抛物线的焦点F的坐标为(1,0),又|AF|=3,由抛物线定义知,点A到准线x=-1的距离为3,所以点A的横坐标为2.将x=2代入y2=4x得y2=8,由图知点A的纵坐标所以所以直线AF的方程为由21),4,y x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩解得1,2x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩或x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩由图知,点B 的坐标为(12所以|BF|=12-(-1)=32.答案:32考点一 抛物线的定义及应用【例1】 设P 是抛物线y 2=4x 上的一个动点.(1)求点P 到点A(-1,1)的距离与点P 到直线x=-1的距离之和的最小值;(2)若B(3,2),求|PB|+|PF|的最小值.解:(1)如图,易知抛物线的焦点为F(1,0),准线是x=-1.由抛物线的定义知:点P 到直线x=-1的距离等于点P 到焦点F 的距离. 于是,问题转化为:在曲线上求一点P,使点P 到点A(-1,1)的距离与点P 到F(1,0)的距离之和最小.显然,连接AF 交抛物线于点P, 则所求的最小值为|AF|,解:(2)如图,过点B作BQ垂直准线于Q,交抛物线于点P1,则|P1Q|=|P1F|.则有|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=4.即|PB|+|PF|的最小值为4.(1)由抛物线定义,实现抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化.(2)注意灵活运用抛物线上一点P(x,y)到焦点F的距离|PF|=|x|+2p或|PF|=|y|+2p.1.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,点A∈l,线段AF交抛物线C于点B,若FA=3FB,则|AF|等于( B )(A)3 (B)4 (C)6 (D)7解析: 由已知B为AF的三等分点,作BH⊥l于H,如图,则|BH|=23|FK|=43,所以|BF|=|BH|=43,所以|AF|=3|BF|=4,故选B.2.已知点P是抛物线y2=4x上的动点,点P在y轴上的射影是M,点A 的坐标是(4,a),则当|a|>4时,|PA|+|PM|的最小值是.解析:将x=4代入抛物线的方程y2=4x,得y=±4.又|a|>4,所以A在抛物线的外部.由题意知F(1,0),设抛物线上点P到准线l:x=-1的距离为|PN|,由定义知,|PA|+|PM|=|PA|+|PN|-1=|PA|+|PF|-1.画出简图(图略),易知当A,P,F三点共线时,|PA|+|PF|取得最小值,此时|PA|+|PM|也最小,最小值为答案考点二抛物线的标准方程【例2】 (1)设斜率为2的直线l过抛物线y2=ax(a≠0)的焦点F,且和y轴交于点A,若△OAF(O为坐标原点)的面积为4,则该抛物线的方程为( )(A)y2=±4x (B)y2=±8x(C)y2=4x (D)y2=8x(2)抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点O是坐标原点,过点O,F的圆与抛物线C的准线相切,且该圆的面积为36π,则抛物线的方程为;(3)已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的方程为.解析:(1)抛物线y 2=ax(a ≠0)的焦点F 的坐标为 (4a ,0),则直线l 的方程为y=2(x-4a ),它与y 轴的交点为A(0,-2a ),所以△OAF 的面积为12·4a ·2a=4, 解得a=±8,所以抛物线的方程为y 2=±8x.故选B. (2)设满足题意的圆的圆心为M(x M ,y M ). 根据题意可知圆心M 在抛物线上. 又因为圆的面积为36π,所以圆的半径为6,则|MF|=x M +2p =6,即x M =6-2p , 又由题意可知x M =4p ,所以4p =6-2p ,解得p=8.所以抛物线方程为y 2=16x. 解析:(3)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), 则有21y =2px 1,22y =2px 2,两式相减得(y 1-y 2)(y 1+y 2)=2p(x 1-x 2), 又因为直线的斜率为1, 所以1212yy xx --=1,所以有y 1+y 2=2p,又线段AB 的中点的纵坐标为2, 即y 1+y 2=4,所以p=2, 所以抛物线的方程为y 2=4x.答案:(1)B (2)y2=16x (3)y2=4x求抛物线方程的基本方法(1)定义法:根据抛物线的定义得到p的值、焦点位置,然后根据抛物线方程的标准形式写出其方程.(2)待定系数法:焦点在x轴上的抛物线方程可以用y2=λx(λ≠0)表示,焦点在y轴上的抛物线方程可以用x2=λy(λ≠0)表示,根据已知得到关于λ的方程,求出λ.用“一次定轴,系数定向”确定抛物线的方程,然后用待定系数法求p 的值.在解决涉及焦点、顶点、准线等问题时,要注意利用几何图形的形象、直观的特点.焦点在直线3x-4y-12=0上的抛物线的标准方程为( C )(A)x2=16y或y2=16x (B)y2=16x或x2=12y(C)y2=16x或x2=-12y (D)x2=16y或y2=-12x解析:因为抛物线的焦点在坐标轴上,又在直线3x-4y-12=0上,所以令x=0得y=-3,令y=0,得x=4,所以焦点为(0,-3)或(4,0),所以抛物线方程为x2=-12y或y2=16x.考点三抛物线的焦点弦问题【例3】已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,斜率为线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)两点,且|AB|=9.(1)求该抛物线的方程;(2)O为坐标原点,C为抛物线上一点,若OC=OA+λOB,求λ的值.思路点拨:(1)利用焦点弦长公式求解.(2)由点C为抛物线上一点,可设出C点的坐标,利用OC=OA+λOB表示出点C的坐标,将点C的坐标代入抛物线方程求解.p),解:(1)直线AB的方程是与y2=2px联立,从而有4x2-5px+p2=0,p.所以x1+x2=54p+p=9,由抛物线定义得|AB|=x1+x2+p=54所以p=4,从而抛物线的方程为y2=8x.(2)由于p=4,4x2-5px+p2=0可化简为x2-5x+4=0,从而x1=1,x2=4,则y12从而设C(x3,y3),则OC=(x3,y3λ=(4λ又2y=8x3,即λ-1)]2=8(4λ+1),3即(2λ-1)2=4λ+1,解得λ=0或λ=2.解决与抛物线y 2=2px(p>0)的焦点弦有关的问题,常用到x 1x 2=24p ,y 1y 2=-p 2,|AB|=x 1+x 2+p=22sin p(θ为直线AB 的倾斜角),1AF+1BF =2p这些结论,就会带来意想不到的效果.1. 已知抛物线y 2=4x,圆F:(x-1)2+y 2=1,过点F 作直线l,自上而下顺次与上述两曲线交于点A,B,C,D(如图所示),则|AB|·|CD|的值正确的是( A )(A)等于1 (B)最小值是1 (C)等于4 (D)最大值是4解析:设直线l:x=ty+1,代入抛物线方程, 得y 2-4ty-4=0. 设A(x 1,y 1),D(x 2,y 2), 根据抛物线定义|AF|=x 1+1, |DF|=x 2+1,故|AB|=x 1,|CD|=x 2, 所以|AB|·|CD|=x 1x 2=214y ·224y =212()16y y ,而y 1y 2=-4,代入上式,得|AB|·|CD|=1. 故选A.2.已知抛物线y 2=4x 的焦点为F,过焦点的直线与抛物线交于A,B 两点,则当|AF|+4|BF|取得最小值时,直线AB 的倾斜角的正弦值为 .解析:由题意知F(1,0),当直线的斜率存在时, 设直线方程为y=k(x-1)(k ≠0), 由2(1),4,y k x y x =-⎧⎨=⎩消去y,得k 2x 2-(2k 2+4)x+k 2=0.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),x 1>0,x 2>0, 则x 1+x 2=2224k k +, ①x 1x 2=1, ②1AF+1BF =111x ++211x +=12121221x x x x x x +++++=22222422411k k k k +++++=1. 当直线的斜率不存在时,易知|AF|=|BF|=2, 故1AF+1BF=1.设|AF|=a,|BF|=b,则1a +1b=1, 所以|AF|+4|BF|=a+4b=(1a +1b )(a+4b)=5+4b a+a b ≥9,当且仅当a=2b 时取等号,故a+4b 的最小值为9,此时直线的斜率存在,且x 1+1=2(x 2+1), ③ 联立①②③得,x 1=2,x 2=12,k=±故直线AB答案考点四 易错辨析【例4】 设抛物线y 2=mx 的准线与直线x=1的距离为3,求抛物线方程.解:①当m>0时,准线方程为x=-4m , 因为准线与直线x=1的距离为3, 所以准线方程为x=-2即-4m =-2,m=8, 所以抛物线方程为y 2=8x. ②当m<0时,准线方程为x=-4m =4, 所以m=-16,此时抛物线方程为y 2=-16x,综上,所求抛物线方程为y 2=8x 或y 2=-16x.只考虑m>0的情况,忽视m<0属于知识错误,对y 2=2px(p>0)中p 几何意义的误解.抛物线C:y 2=2px(p>0)的焦点为F,A 是抛物线上一点,若A 到F 的距离是A 到y 轴距离的两倍,且△OAF 的面积为1,O 为坐标原点,则p 的值为( B )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 解析:不妨设A(x 0,y 0)在第一象限,由题意可知0002,211,22OAF p x x p S y ∆⎧+=⎪⎪⎨⎪=⋅⋅=⎪⎩即00,24,px y p⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以A(2p ,4p ),又因为点A 在抛物线y 2=2px 上,所以216p =2p ×2p ,即p 4=16, 又因为p>0,所以p=2, 故选B.抛物线的综合应用【例题】 已知抛物线C:y 2=2px(p>0)的焦点为F,直线y=4与y 轴的交点为P,与C 的交点为Q,且|QF|=54|PQ|. (1)求C 的方程;(2)过F 的直线l 与C 相交于A,B 两点,若AB 的垂直平分线 l ′与C 相交于M,N 两点,且A,M,B,N 四点在同一圆上,求l 的方程. 解:(1)设Q(x 0,4),代入y 2=2px 得x 0=8p. 所以|PQ|=8p ,|QF|=2p +x 0=2p +8p . 由题设得2p +8p =54×8p, 解得p=-2(舍去)或p=2. 所以C 的方程为y 2=4x.解:(2)依题意知l 与坐标轴不垂直,故可设l 的方程为x=my+1(m ≠0). 代入y 2=4x 得y 2-4my-4=0. 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), 则y 1+y 2=4m,y 1y 2=-4. 故AB 的中点为D(2m 2+1,2m),1-y 2|=4(m2+1).又l ′的斜率为-m,所以l ′的方程为x=-1m y+2m 2+3.将上式代入y 2=4x,并整理得y 2+4m y-4(2m 2+3)=0.设M(x 3,y 3),N(x 4,y 4),则y 3+y 4=-4m ,y 3y 4=-4(2m 2+3). 故MN 的中点为E(22m +2m 2+3,-2m ),|y 3-y 4,由于MN 垂直平分AB,故A,M,B,N 四点在同一圆上等价于|AE|=|BE|=12|MN|, 从而14|AB|2+|DE|2=14|MN|2, 即4(m 2+1)2+(2m+2m )2+(22m +2)2=22244(1)(21)m m m ++. 化简得m 2-1=0, 解得m=1或m=-1.所求直线l 的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.规范要求:利用待定系数法求抛物线的标准方程时,既要定位(确定抛物线开口方向),又要定量(确定参数p 的值). (1)中,需要计算p 值.(2)中,A,M,B,N 四点共圆,等价于|AE|=|BE|=12|MN|. 温馨提示: (1)问解答中,需要注意p>0的条件,即应舍去p=-2. (2)问解答中,要注意分析直线的斜率不存在的情形.【规范训练】 (2017·浙江卷) 如图,已知抛物线x 2=y,点A(-12,14),B(32,94),抛物线上的点P(x,y)(-12<x<32),过点B 作直线AP的垂线,垂足为Q.(1)求直线AP 斜率的取值范围; (2)求|PA|·|PQ|的最大值. 解:(1)设直线AP 的斜率为k, k=21412x x -+=x-12, 因为-12<x<32, 所以直线AP 斜率的取值范围是(-1,1). 解:(2)联立直线AP 与BQ 的方程110,24930,42kx y k x ky k ⎧-++=⎪⎪⎨⎪+--=⎪⎩解得点Q 的横坐标是x Q =22432(1)k k k -+++.因为12(x Q2,所以|PA|·|PQ|=-(k-1)(k+1)3. 令f(k)= -(k-1)(k+1)3, 因为f ′(k)=-(4k-2)(k+1)2,所以f(k)在区间(1,12)单调递增,在(12,1)上单调递减,因此当k=12时,|PA|·|PQ| 取得最大值2716.类型一 抛物线的定义及应用1.已知直线l 1:4x-3y+6=0和直线l 2:x=-1,抛物线y 2=4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( A ) (A)2 (B)3 (C)115(D)3716解析: 如图所示,过点P 作PM ⊥l 1,PN ⊥l 2,过抛物线焦点F(1,0)作FQ ⊥l 1于Q.由抛物线定义知|PN|=|PF|.显然点F,P,Q 三点共线时,动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和最小,最小值为465+=2,故选A.2.已知抛物线关于x 轴对称,它的顶点为坐标原点O,并且经过点M(2,y 0).若点M 到该抛物线焦点的距离为3,则|OM|等于( B )(C)4 解析:因为抛物线关于x 轴对称,且M(2,y 0)在抛物线上, 所以抛物线的标准方程可设为y 2=2px(p>0),其准线方程为x=-2p .由抛物线的定义, M 到准线x=-2p 的距离为3,即2+2p =3,故p=2,所以抛物线的标准方程为y 2=4x. 因为M(2,y 0)在抛物线上,所以2y =8.由两点间的距离公式知.故选B.3.若点P 到点F(0,2)的距离比它到直线y+4=0的距离小2,则P 的轨迹方程为( C ) (A)y 2=8x (B)y 2=-8x (C)x 2=8y (D)x 2=-8y解析:由题意,P 到F(0,2)的距离与它到直线y+2=0的距离相等,故P 的轨迹是以F 为焦点,y=-2为准线的抛物线,所以P 的轨迹方程为x 2=8y.4.过抛物线y 2=2x 的焦点作一条直线与抛物线交于A,B 两点,它们的横坐标之和等于2,则这样的直线( B ) (A)有且只有一条 (B)有且只有两条 (C)有且只有三条 (D)有且只有四条 解析:设该抛物线焦点为F,A(x A ,y A ),B(x B ,y B ),则|AB|=|AF|+|FB|=x A +2p +x B +2p=x A +x B +1=3>2p=2.所以符合条件的直线有且只有两条.故选B.5. 如图,设抛物线y 2=4x 的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点A,B 在抛物线上,点C 在y 轴上,则△BCF 与△ACF 的面积之比是( A )(A)11BF AF --(B)2211BF AF --(C)11BF AF ++ (D)2211BF AF ++解析: 由题可知抛物线的准线方程为x=-1.如图所示,过A 作AA 1⊥y 轴于点A 1,过B 作BB 1⊥y 轴于点B 1, 则BCF ACFSS∆∆=1sin 21sin 2CF BC FCB CF AC FCB ∠∠=BC AC=11BB AA =11BF AF --.类型二 抛物线的标准方程6.若抛物线y 2=2px(p>0)上一点P(2,y 0)到其准线的距离为4,则抛物线的标准方程为( C ) (A)y 2=4x (B)y 2=6x (C)y 2=8x (D)y 2=10x解析:因抛物线y 2=2px(p>0),其准线方程为x=-2p,点P(2,y 0)到准线的距离为4,所以︱-2p -2︱=4,得p=4.故抛物线的标准方程为y 2=8x.7.设抛物线C:y 2=2px(p>0)的焦点为F,点M 在C 上,|MF|=5.若以MF 为直径的圆过点(0,2),则抛物线C 的方程为( C ) (A)y 2=4x 或y 2=8x (B)y 2=2x 或y 2=8x(C)y 2=4x 或y 2=16x (D)y 2=2x 或y 2=16x解析:由已知得抛物线的焦点F(2p,0),设点A(0,2),M(x 0,y 0),则AF =(2p ,-2),AM =(22y p,y 0-2).由已知得,AF ·AM =0, 即20y -8y 0+16=0,因而y 0=4,M(8p,4). 由|MF|=5得,8p +2p =5, 又p>0,解得p=2或p=8,所以抛物线C 的方程为y 2=4x 或y 2=16x. 类型三 抛物线的焦点弦问题8.过抛物线y 2=2px(p>0)的焦点作直线交抛物线于P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2)两点,若x 1+x 2=2,|PQ|=4,则抛物线的方程是( A ) (A)y 2=4x (B)y 2=8x (C)y 2=2x (D)y 2=6x解析:由抛物线定义知|PQ|=x 1+x 2+p=4, 又x 1+x 2=2, 所以p=2,所以抛物线方程为y 2=4x. 故选A.9.已知抛物线y 2=4x 的焦点为F,过焦点F 的直线交该抛物线于A,B 两点,O 为坐标原点,若|AB|=6,则△AOB 的面积为( A )(D)4解析:因为抛物线y 2=4x 的焦点F 的坐标为(1,0),当直线AB 垂直于x 轴时,|AB|=4,不满足题意,所以设直线AB 的方程为y=k(x-1),与y 2=4x 联立,消去x 得ky 2-4y-4k=0.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则y 1+y 2=4k,y 1y 2=-4,所以|y 1-y 2因为1-y 2|=6,所以4(1+21k)=6,解得k=所以|y 1-y 2所以△AOB 的面积为12×1×故选A.。
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抛物线复习学案 班级______姓名______
1. 抛物线y=42
x 上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是____________
点拨：抛物线的标准方程为y x 412
=
，准线方程为16
1
-=y ,由定义知，点M 到准线的距离为1，所以点M 的纵坐标是
1615
2．过点(1,0)作斜率为－2的直线，与抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两点，则弦AB 的长为________
解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．
由题意知AB 的方程y ＝－2(x －1)，即y ＝－2x ＋2.
由⎩⎪⎨⎪⎧
y 2
＝8x ，y ＝－2x ＋2，
得x 2－4x ＋1＝0， ∴x 1＋x 2＝4，x 1·x 2＝1.
∴|AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝(1＋4)(16－4)＝5×12＝215.
3．已知直线y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点．若|F A |＝2|FB |，则k ＝___________
解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 易知x 1>0，x 2>0，y 1>0，y 2>0.
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝k (x ＋2)，y 2＝8x ，
得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0， ∴x 1x 2＝4.
①
∵|F A |＝x 1＋p 2＝x 1＋2，|FB |＝x 2＋p
2＝x 2＋2，
且|F A |＝2|FB |，∴x 1＝2x 2＋2.
②
由①②得x 2＝1，∴B (1,22)， 代入y ＝k (x ＋2)，得k ＝22
3
.
4．在抛物线y ＝4x 2上求一点，使该点到直线y ＝4x －5的距离最短，则该点的坐标是________．
解析：设与直线y ＝4x －5平行的直线为y ＝4x －b ， 代入y ＝4x 2得4x 2－4x ＋b ＝0. 令Δ＝16－16b ＝0，∴b ＝1， 得直线y ＝4x －1，
所以直线y ＝4x －1与抛物线相切，切点到y ＝4x －5的距离最短． 由4x 2－4x ＋1＝0，解得x ＝1
2，
所以y ＝1，所求点为(1
2，1)．
答案：(1
2
，1)
例题2．已知抛物线的焦点在y 轴上，抛物线上一点M (m ，－3)到焦点的距离为5，求m 的值，抛物线标准方程和准线方程．
解 设所求的抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，则焦点为F (0，－p
2)． ∵M (m ，－3)在抛物线上，且|MF |＝5， ∴⎩⎨⎧
m 2＝6p ，
m 2＋(－3＋p
2)2＝5，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧
p ＝4，m ＝±2 6.
∴m ＝±26，抛物线方程为x 2＝－8y ，准线方程为y ＝2.
例题3.如图已知AOB ∆的一个顶点为抛物线2
2y x =的顶点O ，A 、B 两点都在抛物线上，
且0
90AOB ∠=
.
（1） 证明直线AB 必过一定点； （2） 求AOB ∆面积的最小值.
抛物线练习 班级______姓名______
1．抛物线x 2＝ay 的准线方程是y ＝2，则实数a 的值为( )
A ．8
B ．－8 C.18
D ．－18
解析 x 2
＝ay 的准线方程为y ＝－a
4＝2，∴a ＝－8.
答案 B
2．顶点在原点，坐标轴为对称轴的抛物线过点(－2,3)，则它的方程是( )
A ．x 2＝－92y ，或y 2＝4
3x
B ．y 2
＝－92x ，或x 2
＝43
y
C ．x 2
＝4
3
y
D ．y 2
＝－9
2
x
解析 ∵点(－2,3)在第二象限，
∴设抛物线的标准方程为x 2＝2py (p >0)，或y 2＝－2p 1x (p 1>0)，把(－2,3)代入，得(－2)2＝2p ·3，或9＝－2p 1(－2)，
∴2p ＝43，或－2p ＝－9
2
，
故所求的抛物线方程为x 2
＝43y ，或y 2
＝－92
x .
3．(2010·辽宁)设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足，如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝( )
A ．4 3
B ．8
C ．8 3
D ．16
解析 抛物线y 2＝8x 的焦点F (2,0)，准线l ：x ＝－2，AF 的方程为y ＝－3(x －2)，与直线l 的交点为(－2,43)．
设P (x ，y )，∵PA ⊥l ，∴当y ＝43时， 有(43)2＝8x ，∴x ＝6. ∴|PF |＝|PA |＝6－(－2)＝8. 答案 B
4．过点M (3,2)作直线l 与抛物线y 2＝8x 只有一个交点，这样的直线共有( )
A ．0条
B ．1条
C ．2条
D ．3条
解析 因为点M (3,2)在抛物线y 2＝8x 的内部，所以过点M 平行x 轴的直线y ＝2，适合题意，因此只有一条．
答案 B
5．过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点，则OA →·OB →
的值是( )
A ．12
B ．－12
C ．3
D ．－3
解析 特例法，∵y 2＝4x 的焦点F (1,0)，设过焦点F 的直线为x ＝1，∴可求得A (1，－2)，B (1,2)．∴OA →·OB →＝1×1＋(－2)×2＝－3.
答案 D
6．已知抛物线C 的顶点为坐标原点，焦点在x 轴上，直线y ＝x 与抛物线C 交于A ，B 两点，若P (2,2)为AB 的中点，则抛物线C 的方
程为________．
解析 设抛物线方程为y 2＝ax (a ≠0)，
由方程组⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝x ，
y 2＝ax ，
得交点坐标为A (0,0)，B (a ，a )，而点P (2,2)为AB 的中点，从而a ＝4.
故所求抛物线方程为y 2＝4x . 答案 y 2＝4x
7．过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，作倾斜角为π
3的直线，交抛物线于A ，B 两点，则|AB |的长为________．
解析 由y 2＝4x 知F (1,0)，可得直线AB 的方程为y ＝3(x －1)，
与y 2
＝4x 联立，可求得A ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
13，－
233，B (3,23)． ∴|AB |＝⎝
⎛⎭⎪⎫3－132＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋2332＝163.
答案 16
3
8．若抛物线y 2
＝mx 与椭圆x 29＋y 2
5＝1有一个共同的焦点，则m ＝
__________.
解析 由x 29＋y 2
5＝1得焦点(－2,0)，(2,0)． 当焦点为(－2,0)时，抛物线开口向左，∴m ＜0.
∴⎩⎨⎧
－m ＝2p ，p
2＝2，
⇒m ＝－8；
当焦点为(2,0)时，抛物线开口向右，∴m ＞0.
∴⎩⎨⎧
m ＝2p ，p
2＝2，
⇒m ＝8.
答案 8或－8
9．已知抛物线y 2＝2x ，
(1)设点A 的坐标为(2
3，0)，在抛物线上求一点P ，使|P A |最小； (2)在抛物线上求一点P ，使P 到直线x －y ＋3＝0的距离最短，并求出距离的最小值．
解 (1)设P (x ，y )，则|P A |2
＝(x －23)2＋y 2
＝(x －23)2
＋2x ＝(x ＋13)2＋13.
∵x ≥0且在此区间上函数单调递增，故当x ＝0时，|P A |有最小值2
3，离A 点最近的点P (0,0)．
(2)设点P (x 0，y 0)是抛物线y 2＝2x 上任一点，则P 到直线x －y ＋3＝0的距离为
d ＝|x 0－y 0＋3|2＝|y 20
2－y 0＋3|
2
＝|(y 0－1)2＋5|
22
，
∴当y 0＝1，d 有最小值52
4. ∴点P 的坐标为(1
2，1)．
10．(2011·福建高考)如图，直线l ：y ＝x ＋b 与抛物线C ：x 2＝4y 相切于点A .
(1)求实数b 的值；
(2)求以点A 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程．
解：(1)由⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝x ＋b ，
x 2＝4y ，得x 2－4x －4b ＝0.(*)
因为直线l 与抛物线C 相切， 所以Δ＝(－4)2－4×(－4b )＝0. 解得b ＝－1.
(2)由(1)可知b ＝－1，故方程(*)为x 2－4x ＋4＝0. 解得x ＝2，代入x 2＝4y ，得y ＝1， 故点A (2,1)．
因为圆A 与抛物线C 的准线相切，
所以圆A 的半径r 就等于圆心A 到抛物线的准线y ＝－1的距离， 即r ＝|1－(－1)|＝2，
所以圆A 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.。